ESTATSTICA INFERENCIAL OU INDUTIVA DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 2 DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE Nestecaptulovamosdarcontinuidadeaoestudodeprobabilidades,introduzindoosconceitosdevariveis aleatrias e de distribuies de probabilidade. VARIVEIS ALEATRIAS Avarivelaleatria(v.a)umavarivelquetemumvalornico(determinadoaleatoriamente)paracada resultadodeumexperimento.Umavarivelaleatriaassociaumvalornumricoacadaresultadodeum fenmeno aleatrio. Como exemplos, podemos citar: -o nmero de usurios que consultam um site de busca, em um certo tempo do dia,-o nmero de atletas com leses traumticas no joelho,-o nmero de ovos de codorna incubados durante um perodo, o tempo de uso de uma mquina agrcola, - a presso sangunea de mulheres na menopausa, dentre outros.-nmero de alunos que no compareceram a aula de estatstica num determinado dia. -altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente Muitas vezes no estamos interessados propriamente no resultado de um experimento aleatrio, mas em alguma caractersticanumricaaeleassociada.Essacaractersticachamadavarivelaleatria.Suponhamosum espaoamostralSequeacadapontoamostralsejaatribudoumnmero.Fica,ento,definidaumafuno chamada varivel aleatria. SNmero associado ao ponto amostral s Exemplo-Oespaoamostralrelativoao"lanamentosimultneodeduasmoedas"S={(ca,ca),(ca,co), (co,ca),(co,co)}eseXrepresentao"nmerodecaras"queaparecem,acadapontoamostralpodemos associarumnmeroparaX,deacordocomogrfico.(Xavarivelaleatriaassociadaaonmerodecaras observado) S X = nmero de caras obtido -O resultado zero caras ocorre somente uma vez. -O resultado 1 cara ocorre duas vezes. -O resultado 2 caras ocorre uma vezes NOTA-AvarivelaleatriaXumaassociaodepontosnoespaoamostralcompontosnaretados nmeros reais (0, 1, 2, 3, . . . ). Na realidade, uma varivel aleatria definida atravs de uma funo em que o domnio o conjunto de todos os resultados possveis do experimento (conjunto S) e a imagem o conjunto de (ca, ca) (ca, co) (co, ca) (co, co) 2 1 1 0 s X(s) PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 3 todos os valores assumidos pela varivel aleatria (conjunto X). Note que a varivel aleatria no resultado do experimento, mas sim um valor associado a este. Podemos colocar os resultados do experimento anterior em forma de tabela. Ponto AmostralX = Nmero de caras. (Valor da v.a.) (ca,ca)2 (ca,co)1 (co,ca)1 (co,co)0 Uma varivel aleatria pode ser classificada como varivel aleatria discreta ou varivel aleatria contnua. -Varivelaleatriadiscreta:aquelaqueassumevaloresinteirosefinitos.Umavarivelaleatria discreta tem uma quantidade enumervel de valores, onde enumervel se refere ao fato de que podem existirinfinitosvalores,masquepodemserassociadosaumprocessodecontagem.Noexemplo anterior, X uma varivel aleatria discreta, j que podemos contar o nmero de caras. Exemplos Nmero de acidentes ocorridos em uma semana. Nmero de defeitos por pea produzida. Nmero de vitrias obtidas por um atleta. Nmero de filhos do sexo masculino por casal.

-Varivelaleatriacontnua:aquelaquepodeassumirinmerosvaloresnumintervalodenmeros reais e medida numa escala contnua. Exemplos Temperatura ( C),Peso. Altura. Outros exemplos SejaXarespostaaumaquestocomSim,No,NoSei.Xnoumav.a,poissovariveis qualitativas.Seja Y onmero de Sim. Y uma v.a. discreta, pois podemos contar. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE Adistribuiodeprobabilidadedeumavariveldescrevecomoasprobabilidadesestodistribudassobreos valores da varivel aleatria. Uma distribuio de probabilidade associa cada valor que a v.a pode assumir, com suas respectivas probabilidades. Numa definio mais formal: SejaXumavarivelaleatriaquepodeassumirosvaloresnx x x , , ,2 1 .Acadavalor ix correspondempontos doespaoamostral.Associamos,ento,acadavalor ix aprobabilidade ip deocorrnciadetaispontosno espao amostral. PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 4 UmaDistribuiodeProbabilidadeumalistadetodososresultadosdeumexperimentoesuas probabilidades associadas. ExemploLanamentodeduasmoedas,comXavarivelaleatriaassociadaaonmerodecaras observado. -S = {(ca, ca), (ca, co), (co, ca), (co, co)} -X = nmero de caras observado. X = 0 corresponde ao evento (co,co) com probabilidade 41 X = 1 corresponde ao evento (ca, co), (co, ca) com probabilidade 42 X = 2 corresponde ao evento {(ca, ca) com probabilidade 41 X = nmero de caras P(X) = probabilidade associada Em forma de tabela. X = Nmero de caras (Valor da v.a.) P(X) 01/4 12/4 21/4 TOTAL1 FUNO DE PROBABILIDADE Deformamaisrigorosa,umafunomatemticaemqueodomnioosvalorespossveisdeumavarivel aleatria (nx x x , , ,2 1 ) e a imagem so as suas probabilidades associadas ( ) ( , ), ( ), (2 1 nx p x p x p ). Essa funo, assim definida, denominada FUNO PROBABILIDADE e denotamos por A funo P(ix ) ser uma funo de probabilidade se satisfizer as seguintes condies: (1) P(ix ) >0, para todo ix(2) =1 ) (ix P

0 1 2

1/4 2/4 1/4 0 f(x) = P(X = ix ) ou P(ix ) ou ip PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 5 GRFICO DE UMA FUNO DE PROBABILIDADE A coleo de pares ordenados (ix , P(ix )), i = 1, 2, 3, .... , n, denominamos distribuio de probabilidade da v.a X, que pode ser representada por meio de tabelas e grficos. Exemplo-ConsideremosadistribuiodefreqnciasrelativaaonmerodeacidentesdiriosnaEPTG durante o ms de janeiro, de 12:00 as 14:00. Nmero de AcidentesFrequncia 022 15 22 31 TOTAL30 Podemos ento escrever a tabela de distribuio de probabilidade:Nmero de AcidentesFreqncia P(X) 02222/30 = 0,73 15 5/ 30 = 0,17 22 2/30 = 0,07 31 1/30 = 0,03 Total301,00 Em um dia, a probabilidade de: -No ocorrer acidentes de 0,73. -Ocorrer um acidente de 0,17. -Ocorrerem dois acidentes de 0,07. -Ocorrerem trs acidentes de 0,03. GRFICO . 22/30 5/302/30 1/30 0 1 2 3Probabilidade Nmero de acidentes P(x) x PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 6 DISTRIBUIES DISCRETAS DE PROBABILIDADE Definio 1 Uma distribuio discreta de probabilidade enumera cada valor que a v.a pode assumir, ao lado de sua probabilidade. A cada valor de uma varivel aleatria discreta pode ser atribuda uma probabilidade. Ao aumentar cada valor davarivelaleatriacomasuaprobabilidadecorrespondente,forma-seumadistribuiodiscretade probabilidade. As distribuies discretas de probabilidades envolvem variveis relativas a dados que podem ser contados. Dentre as distribuies discretas de probabilidade, destacamos. -Distribuio Binomial -Distribuio Multinomial -Distribuio de Poisson -Distribuio de Bernoulli -Distribuio Geomtrica -Distribuio Hipergeomtrica Faremos apenas uma breve introduo da distribuio binomial. As outras distribuies ficam como pesquisa para aqueles que desejam aprofundar mais nos tipos de distribuies discretas de probabilidade. DISTRIBUIO BINOMIAL Adistribuiobinomialcaracteriza-seporexperimentosqueapresentamapenasdoisresultados:sucessoou fracasso. Exemplos de distribuies binomiais -Cara ou coroa -Sim ou no-Positivo ou negativo -Empregado ou desempregado -Fator Rh,etc

A distribuio binomial tem as seguintes caractersticas: -Considereumexperimentoqueapresentaapenasdoisresultadospossveisquesocategorias mutuamente exclusivas: sucesso ou fracasso. -So repetidos diversas vezes este mesmo experimento. -Aprobabilidadepdesucessopermanececonstanteparacadatentativa.Conseqentemente,a probabilidade q de falha tambm permanece constante. -As tentativas so independentes, significando que o resultado de uma tentativa no afeta o resultado de qualquer outra tentativa. FRMULA PARA A DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE BINOMIAL Suponhamosquerealizamosummesmoexperimentonvezes,sucessivamenteeindependentes.A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas dada pela funo onde,k n kq pknk X P ||.|

\|= = ) ( PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 7 -n o nmero de tentativas -k o nmero de sucessos observados -p a probabilidade de sucesso em cada tentativa -q a probabilidade de falha em cada tentativa, que igual a 1- p O termo )! ( !!k n knkn=||.|

\|, e chamado de termo binomial. Por isso distribuio binomial. -n! L-se n fatorial.-Por exemplo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. -0! = 1 -1! = 1. Exemplo-O Departamento de Estatstica do Trabalho de um municpio estimou que 20% da populao esto desempregadas. Uma amostra de 14 trabalhadores obtida deste municpio. Calcule a probabilidade de: (a) trs trabalhadores estarem desempregados na amostra. (b) no mnimo um dos trabalhadores da amostra est desempregado. (c)no mximo dois dos trabalhadores estarem desempregados. -Soluo- Dados: n = 14 e p = 20% = 0,2. Neste caso, q = 1 p = 1- 0,2 = 0,8. (a) trs trabalhadores estarem desempregados na amostra. 250 , 0 8 , 0 2 , 0)! 3 14 ( ! 3! 14) 3 (3 14 3= = =X P (b) no mnimo um dos trabalhadores da amostra est desempregado. Neste caso, temos que subtrair a probabilidade do fracasso, ou seja, de se ter 0 desempregado. Ou seja, ) 0 ( 1 ) 1 ( = = > X P X P 044 , 0 8 , 0 2 , 0)! 0 14 ( ! 0! 14) 0 (0 14 0= = =X P 956 , 0 044 , 0 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( = = = = > X P X P (c)no mximo dois dos trabalhadores estarem desempregados. Neste caso, P(xs 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2). Como j temos P(x = 0) no item b, precisamos apenas de P(x = 1) e P(x = 2). 250 , 0 8 , 0 2 , 0)! 1 14 ( ! 1! 14) 1 (1 14 1= = =X P154 , 0 8 , 0 2 , 0)! 2 14 ( ! 2! 14) 2 (2 14 2= = =X PLogo, 448 , 0 250 , 0 154 , 0 044 , 0 ) 2 ( = + + = s X PPSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 8 PARAMETROS x ESTATSTICAS -Parmetros:somedidaspopulacionaisquandoseinvestigaapopulaoemsuatotalidade,nestecaso impossvel fazer inferncias, pois toda a populao foi investigada. -EstatsticasouEstimadores: so medidas obtidas daamostra, torna-se possvel neste caso utilizarmos as teorias inferncias para que possamos fazer concluses sobre a populao. PARAMETROS PARA UMA DISTRIBUIO BINOMIAL MDIA E VARINCIA DE DISTRIBUIO BINOMIAL A mdia (mi) de uma distribuio binomial dada pela frmula: e a varincia 2o(sigma ao quadrado) dada pela frmula: onde -p = probabilidade do sucesso -q = probabilidade do fracasso -n = numero de experimentos Exemplo: Para calcular a mdia e varincia de ocorrncia de cara em 100 lanamentos de uma moeda, = n.p = 100 . = 50 caras 2o= n.p.q = 100 . . = 25 EXERCCIOS 1-Uma moeda jogada 10 vezes. Calcule a probabilidade (a) de dar pelo menos duas caras;R: 98,93%(b) de ocorrer seis caras;R: 20,51%(c) de no dar nenhuma coroa;R: 0,098%(d) de dar pelo menos uma coroa; R: 99,90%(e) de no dar 5 caras e 5 coroas R: 75,39% 2-Admitindo que o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calculea probabilidade de um casal comseisfilhosterquatrofilhoshomenseduasmulheres.R: 23,44% 3- Admitindo que X tem distribuio de probabilidade de Poisson, encontre as probabilidades: = n.p 2o = n.p.q PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 9 (a) P(X=5) quando = 3,0 R: 10,08%(b) P(X 2) quando = 5,5)R: 8,84%(c) P(X 4) quando = 7,5)R: 5,91%(d) P(X = 8) quando = 4,0 R: 2,98% 4- Sabe-se que 20% dos animais submetidos a certo tratamento sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X o nmero no sobreviventes. (a)Qual a distribuio de X?(a)Calcular eo .R: = 4o = 1,79 5- Uma loja atende, em mdia, dois clientes por hora. Calcule a probabilidade de em uma hora:(a) atender exatamente dois clientes. R: 27%(b) atender trs clientes. R: 18% DISTRIBUIES CONTNUAS DE PROBABILIDADE Dentre as distribuies contnuas de probabilidade, destacamos: -Distribuio Uniforme ou Retangular -Distribuio Exponencial -Distribuio Normal ou Gaussiana -Distribuio 2_-Distribuio t de Student -Distribuio de Snedecor Estudaremosnestaseoapenasadistribuionormalougaussiana,porserumadasmaisimportantes distribuiesestatsticas.Emseesadiante,estudaremosadistribuio 2_ etdeStudent.Asoutras distribuies ficam como pesquisa para aqueles que se interessarem. DISTRIBUIO NORMAL OU GAUSSIANA Dentreasdistribuiesdevarivelaleatriacontnua,amaisimportante(emaisutilizadanaprtica)a distribuio normal. Geralmente citada como curva normal ou curva de Gauss. A Distribuio Normal essencialmente importante na estatstica por quatro razes principais: 1-Inmerosfenmenoscontnuosobservadosnanaturezaapresentamumadistribuiodeprobabilidade aproximadamentebemcomportada(aproximadamentenormal)oupodemseraproximadospormeio dela. Por exemplo, variveis que seguem a distribuio normal ou gaussiana: -valores da hemoglobina em pacientes sadios,-presso arterial sistlica,-temperatura corporal,-altura,-medidas de testes psicolgicos,-tempo de vida til de um dispositivo eletrnico, etc. 2-Podemos utiliz-la para aproximar vrias distribuies de probabilidade discretas. 3-Ela oferece a base para a inferncia estatstica clssica, devido sua afinidade com o teorema do limite central (ser estudado mais a frente). 4-Outrarazodaimportnciadomodelonormalqueasdistribuiesamostraisdeestatsticascomo mdiasepropores,podemseraproximadaspeladistribuionormal,istomuitoimportanteparao estudo de inferncia estatstica. PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 10 PRINCIPAIS CARACTERSTICAS DA DISTRIBUIO NORMAL A mdia, mediana e a moda so iguais e localizadas no pico da distribuio. Acurvanormaltemformatodesino,unimodalnocentroexatodadistribuioesimtricaem relao a sua mdia. Elaassintticaacurvaaproxima-secadavezmaisdoeixox,medidaqueseafastadamdiaem ambos os lados, mas nunca toca efetivamente o eixo. A varivel pode assumir qualquer valor real. Areatotalsobacurvavale100%ou1,onde50%dareaestabaixodamdiae50%acimada mdia. Osvaloresmaioresemenoresqueamdiaocorremcomigualprobabilidade,isto,ambasas probabilidades so iguais a 0,5. Escrevemos: P(X > mdia) = P(X < mdia) = 0,5 Osvalorescentraissomaisfreqenteseosvaloresextremosmaisraros.Ouseja,devidoformada curva,hpoucosresultadosmuitobaixosepoucosresultadosmuitoelevados(acurvacainos extremos esquerdo e direito, o que se deve s baixas freqncias encontradas), enquanto a maioria dos resultados encontra-se junto mdia. Figura 1 Caractersticas de uma Distribuio Normal AsdistribuiesnormaisforamdescobertasnosculoXVII,pelomatemticofrancsAbrahamDeMoivre, quandodeuseqnciaaostrabalhosdosmatemticossuosJacobBernoulli(Leidosgrandesnmeros)ede seusobrinhoNicolausBernoulli.Em1783,outromatemtico,Laplace,utilizouaidiaparadescrevera distribuiodoserros,eGaussaempregouparaanalisardadosastronmicos,em1809.Gausseoutros cientistasobservaramquemensuraesrepetidasdeumamesmaquantidade(comoadistnciadaLuaoua massadeumobjeto)tendiamavariar,equandosecoletavagrandenmerodessasmensuraes,dispondo-as numadistribuiodefreqncia,elasseapresentavamrepetidamentecomformaanlogaFigura2.Ecomo essaformagrficavinhaassociadaaoserrosdemensurao,estadistribuiocomeouaserconhecidacomo distribuio normal dos erros, ou simplesmente distribuio normal. Figura 2 Distribuio normal PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 11 A CURVA NORMAL Se X for uma varivel aleatria contnua e tiver uma distribuio normal com -Mdia =(l-se mi) e -Desvio padro = o(l-se sigma), pode-seconstruirogrficodeumacurvanormalusandoaseguintefuno,chamadafunodensidadede probabilidade f.d.p: (I) onde, - + < < x-= mdia da distribuio (valor esperado) -o= desvio padro - = (PI) = 3,1416 .... -e = 2,7182 .... Observeque,comooexponenciale =2,7182....e=(pi)soconstantes,umacurvanormaldepende completamentedosparmetroseo .Ouseja,cadadistribuionormalficadeterminadopelosseus parmetrosmdiaedesviopadro,respectivamente.Anotaodeumadistribuionormalexpressada seguinte maneira: -L-se: a varivel aleatria X tem distribuio normal com mdia e desvio padro o . Figura 3 Curva de uma distribuio normal Umadistribuionormalpodeterqualquermdiaequalquerdesviopadro.Podemtermdiasdiferentes (Figura4),desviospadrodiferentes(Figura5)ouambasascoisas.Issoaconteceporqueacurvanormal trabalha diretamente com as variveis originais X e os seus parmetros da distribuio. 22121) (|.|

\| =o t oxe X f X ~ N( ;o ) PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 12 Figura 4 Populaes normais com mdias diferentes e mesmo desvio padro Figura 5 Populaes normais com desvios padro diferentes e mesma mdia. Assim, cada par de parmetros (, ) define uma distribuio normal distinta, determinandocompletamente o aspectodacurvanormal.Amdiadalocalizaodoeixodesimetriaeodesviopadrodescrevequantoos dadosseespalhamemtornodamdia.Portanto,acadamudanaempelomenosumdosparmetros,temos outra distribuio Exemplo 1 - A figura mostra as curvas de densidade para alturas de mulheres e homens adultos nos EUA. PROBABILIDADE DE UMA VARIVEL ALEATRIA SOB A CURVA NORMAL Quandotemosemmosumavarivelaleatriacomdistribuionormal,nossoprincipalinteresseobtera probabilidadedessavarivelaleatriaassumirumvaloremumdeterminadointervalo,porexemplo,no intervalo (a, b), isto PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 13 P(a < X < b) Exemplo2- Seja Xa varivel aleatria que representa os QI,s de candidatos a uma vaga de emprego. Vamos supor que essa varivel tenha distribuio normal com mdia = 100 e desvio padro = 12. PodehaverinteresseemconheceraprobabilidadedeumcandidatoescolhidoaoacasoterumQIcomvalor entre-70 e 115 P(a < X < b) = P(70 < X < 115) -ou maior que 115 P(X > b) = P(X > 115) -ou menor que 70 P(X 115) = P(Z > 1,25). 2 PASSO Verificar na tabela I o valor da probabilidade para Z = 1,25. Aqui uma observao importante na leitura da Tabela de distribuio normal padronizada. A tabela I fornece a probabilidadeentreamdia=0equalquervalorZpositivo,comonoitem(a).Masaqui,queremosuma probabilidade acima deste valor Z positivo, ou seja, acima de Z = 1,25, como no grfico acima. A tabela I no fornece este valor. Mas, voltando nas principais caractersticas da distribuio normal, temos que: A rea total sob a curva vale 100% ou 1, onde 50% da rea est abaixo da mdia = 0 e 50% acima da mdia = 0. Portanto, a probabilidade de Z ser maior que zero 0,5, ou seja, P(Z > 0) = 0,5. Assim, podemos subtrair a probabilidade para Z entre 0 e 1,25 (calculado no item (a)) de 0,5, e obtemos assim a probabilidade para Z maior que 1,25. Ou seja: P(Z > 1,25) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 1,25) P(Z > 1,25) = 0,5 0,3944 P(Z > 1,25) = 0,1056 Assim, a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso ter QI acima de 115 0,1056 ou 10,56%. (c)Entre 70 e 100, ou seja, P(70 < X < 100). 1 PASSO Padronizar as variveis aleatrias X = 70 e X = 100. -Para X = 100 Z = 0, padronizada no item (a). PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 17 -Para X = 70 5 , 212100 70 ===o XZ Logo, a P(70 < X < 100) = P(-2,5 < Z < 0).Um valor de Z = -2,5 indica que o valor X = 70 est localizado a 2,5 desvios padro abaixo da mdia = 100. 2 PASSO Verificar na tabela I o valor da probabilidade para Z = -2,5. AquimaisumaobservaoimportantenaleituradaTabeladedistribuionormalpadronizada.AtabelaI forneceaprobabilidadeentreamdia=0equalquervalorZpositivo.Masaqui,temosumvalordeZ negativo.Mas,comomencionadoanteriormente,asimetriaemtornode=0permiteobteraprobabilidade entrequaisquervaloresdeZnegativosoupositivos.Sendoassim,poressasimetria,ovalordaprobabilidade para quaisquer valores de Z entre -2,5 e a mdia = 0 a mesma entre a mdia = 0 e Z = 2,5, ou seja, P(-2,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 2,5) Logo, na 1 coluna encontramos o valor 2,5. Em seguida, encontramos na 1 linha, o valor 0,00. Na interseo da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,4938. Ou seja, P(-2,5 < Z < 0) = 0,4938 Assim, a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso ter QI entre 70 e 100 0,4938 ou 49,38%, isto , P(70 < X < 100) = 0,4938 ou 49,38% (d) menor que 70, ou seja, P(X< 70) 1 PASSO Padronizar a varivel aleatria X = 70. Padronizada no item (c). Vale Z = -2,5. Logo, a P(X < 70) = P(Z < -2,5) 2 PASSO Verificar na tabela I o valor da probabilidade para Z = -2,5. Aqui temos que proceder comonos itens (b) e (c), pois a TabelaI fornece a probabilidade paraZ entre-2,5 e mdia=0(porsimetria,entre=0e2,5)eaquiqueremosaprobabilidadeparaZmenorque-2,5(por simetria, maior que 2,5). PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 18 Assim, temos que subtrair a probabilidade para Z entre 0 e 2,5 (calculado no item (c)) e 0,5, e obtemos assim a probabilidade para Z maior que 2,5. Por simetria, obtemos para Z menor que -0,25. P(Z < -2,5) = P(Z > 2,5) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 2,5) P(Z < -2,5) = P(Z > 2,5) = 0,5 - 0,4938 P(Z < -2,5) = P(Z > 2,5) = 0,0062 Assim, a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso ter QI abaixo de 70 de 0,0062 ou 0,62%, isto , P(X < 70) = 0,0062 ou 0,62% (e)Entre 70 e 115, ou seja, P(70 < X < 115) Pelos itens anteriores, as variveis aleatrias X = 70 e X = 115 j esto padronizadas. Assim, P(70 < X < 115) = P(-2,5 < Z < 1,25) Observe que aqui estamos somando as probabilidades de duas regies: -A regio entre 70 e 100 e a regio entre 100 e 115. P(70 < X < 115) = P(70 < X < 100) + P(100 < X < 115) Como j calculamos estas probabilidades nos itens anteriores, temos o seguinte: P(-2,5 < Z < 1,25) = P(-2,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,25) P(-2,5 < Z < 1,25) = 0,4938 + 0,3944 P(-2,5 < Z < 1,25) = 0,8882 Assim, a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso ter QI entre70 e 115 de 0,8882 ou 88,82%, isto , P(70 < X < 115) = 0,8882 ou 88,82% (f)Entre 110 e 130, ou seja, P(110 < X < 140) 1 PASSO Padronizar as variveis aleatria X = 110 e X = 140. -Para X = 110 83 , 012100 110===o XZ-Para X = 130 33 , 312100 140===o XZLogo, a P(110 < X < 140) = P(0,83 < Z < 3,33). PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 19 Temos: P(0,83 < Z < 3,33) = P(0 < Z < 3,33) - P(0 < Z < 0,83) 2 PASSO Verificar na Tabela I o valor da probabilidade para Z = 0,83 e Z = 3,33. -Para Z = 0,83 temos 0,2967. -Para Z = 3,33 temos 0,4996. Portanto, P(0,83 < Z < 3,33) = P(0 < Z < 3,33) - P(0 < Z < 0,83) P(0,83 < Z < 3,33) = 0,4996 - 0,2967 P(0,83 < Z < 3,33) = 0,2029 Assim, a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso ter QI entre110 e 140 de 0,2029 ou 20,29%, isto , P(110 < X < 140) = 0,2029 ou 20,29% EXERCCIOS 1-SendoZumavarivelaleatriacomdistribuionormalpadronizada,calculeasprobabilidadesabaixo, desenhando suas curvas. (a) P(0 < Z < 1,44)(e) P(Z > -2,03) (b) P(-0,85 < Z < 0) (f) P(Z > 1,08) (c) P(-1,48 < Z < 2,05)(g) P(Z < -0,66) (d) P(0,72 < Z < 1,89) (h) P(Z < 0,60) Respostas (a) 0,4251(c) 0,9104 (e) 0,9788(g) 0,2546 (b) 0,3023(d) 0,2064 (f) 0,1401(h) 0,7258 2-Umtestepadronizadodeescolaridadetemdistribuionormalcommdia=100edesviopadro10. Determine a probabilidade de um indivduo submetido ao teste ter nota: (a)Maior que 120. (b) Maior que 80. (c)Entre 85 e 115. (d) Maior que 100. Respostas (a) 0,0228(b) 0,9772 (c) 0,8664(g) 0,5 3- Suponha que entre pacientes o nvel de colesterol tenha uma distribuio aproximadamente Normal de mdia 105 mg por 100 ml e um desvio padro 9 mg por 100 ml. Qual a proporo de diabticos que tem nveis entre 90 e 125 mg por 100 ml? Resposta: 0,9393 PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 20 4-Umadistribuionormaltemdesviopadroiguala5etalque43,94%dosvaloresestoabaixode35. Determine sua mdia. Resposta: 27,25 5- Os pesos de pessoas em determinada faixa etria so normalmente distribudos com uma mdia de 72 Kg e um desvio padro de 6 Kg. Encontre o peso X abaixo do qual se encontram 10% das pessoas mais leves (abaixo da mdia). Resposta: 64,32 Kg 6- Uma universidade decidiu introduzir novo sistema de classificar os resultados: -Os alunos que obtiverem uma nota abaixo de 40 sero REPROVADOS, -De 40 a 60 sero APROVADOS, e -Acima de 60 sero classificados como APROVADOS COM LOUVOR. Todas as notas vo de 0 a 100. Dadoquesesabequeanotamdiadosalunosemdeterminadaunidadefoide54comdesviopadrode8, encontre: (a)A proporo de alunos que se pode esperar que alcance cada uma das notas possveis. (b) A nota que se espera que 5% de alunos mais fracos obtenham. 7-Asalturasdosalunosdedeterminadaescolasonormalmentedistribudascommdia1,60medesvio padro de 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: (a)Entre 1,50 e 1,80 m. (b) Mais de 1,75 m. (c)Menos de 1,48 m. (d) Qual deve ser a altura mnima para escolhermos 10% dos mais altos (acima da mdia) ? Respostas (a) 0,3779(b) 0,3085(c) 0,3446(g) 1,98 m 8- Numa fbrica foram instaladas 1000 lmpadas novas.Sabe-se que a durao mdia das lmpadas de 800 horasedesviopadrode100horas,comdistribuionormal.Determinaraquantidadedelmpadasque duraro:(a) Menos de 500 horas.(b) Mais de 700 horas.(c) Entre 516 e 814 horas. Respostas: (a) 1,4(b) 841,3(c) 120,8 9-Sejaumtestedeintelignciaaplicadoaumgrupode1000alunosdeumaescolasuperior.Obteve-seuma distribuio normal, com mdia de 32 e desvio padro de 4. Pergunta-se. (a)Qual o nmero de alunos com notas superiores a 38?(b) Qual o nmero de alunos com notas inferiores a 35?(c)Qual o nmero de alunos com notas compreendidas entre 27 e 31? Respostas: (a) 67 (b) 773 (c) 296 10-ArendaanualmdiadeumagrandecomunidadepodeseraproximadaporumadistribuionormalcommdiadeR$7.000,00edesviopadrodeR$3.000,00. (a) Que porcentagem da populao ter renda superior a R$ 13.000,00?(b) Abaixo de qual renda temos 15% da populao? Respostas: (a) 2,28 %(b) R$ 3880 11- Os resultados de um concurso de habilitao tiveram distribuio normal com mdia 50 e desvio padro 10. Os candidatos sero classificados conforme o seguinte critrio decrescente: PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 21 -A - 10 % das notas -B - 15 % das notas -C - 50 % das notas -D - 15 % das notas -E - 10 %das notas. Determine as notas limites para a classificao dos candidatos. Resposta: A - acima de 62,8 B - entre 56,7 e 62,8 C - entre 43,3 e 56,7 D - entre 37,2 e 43,3 F - abaixo de 37,2 12- Suponhamos que o nvel educacional de adultos de certo pais apresenta distribuio normal com mdia de 11 anos e desvio padro de 2 anos. Determine: (a) a probabilidade de que um adulto, escolhido aleatoriamente, tenha entre 9 e 14 anos de tempo de estudo. (b) a probabilidade de que um adulto tenha mais de 18 anos de estudo. (c)onumerodeadultosqueseesperaquetenhammenosde7anos,considerandoumaamostrade500 adultos. Resposta (a) 0,7745; (b) 0; (c) 11,40. 13- O tempo que os alunos gastam para fazer uma prova normalmente distribudo commdia de 72 minutos e desvio-padro de 5 minutos. Determine a probabilidade de um aluno gastar: (a) mais de 84 minutos; (b) mais de 48 minutos; (c) entre 70 e 84 minutos; (d) entre 60 e 70 minutos.. Resposta (a) 0,0082; (b) 1; (c) 0,6472; (d) 0,3364. 14-Osalriodosfuncionriosdeumaempresanormalmentedistribudocommdiade500reaisedesvio-padro de 10 reais. Determine a percentagem de funcionrios cujo salrio situa-se: (a) acima de 510 reais; (b) abaixo de 495 reais; (c) entre 480 e 520 reais; (d) abaixo de 525,8 reais; (e) exatamente em 520 reais. Resposta (a) 15,87%; (b) 30,85%; (c) 95,44%; (d)99,51%; (e) 0. 15-Paraasfamliasdecertosstatusscio-econmico,adespesacomalimentaonormalmentedistribuda commdiade1400unidadesmonetrias,comdesvio-padrode180unidadesmonetrias.Considerandoum totalde16000famlias destaclassesocial,determineonumerodefamliasemqueogastocomalimentao seja: (a) maior que 1600 unidades monetrias; (b) menor que 1700 unidades monetrias. Resposta (a) 2136; (b) 15240. 16- 0 contedo liquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante normalmente distribudo com mdia de 300 ml e desvio-padro de 2 ml. (a) Determine o percentual de garrafas cujo contedo seja inferior a 302 ml. (b) Entre 200 garrafas, quantas devero ter menos de300 ml? PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 22 Resposta (a) 99,86%; (b) 100. 17-Opesode600estudantesnormalmentedistribudocommdiade65,3kgedesviopadrode5,5kg. Determine o numero de estudantes que pesam: (a) entre 60 e 70 kg; (b) mais de 63,2 kg; (c) menos de 68 kg. Resposta (a) 380; (b) 389; (c) 413. PSICOLOGIA ESTATSTICA INFERENCIAL 1/2012Pgina 23 Tabela I Distribuio Normal Padro - rea sob a curva normal de 0 a1z P(0 < Z < 1z ) Z 0,000,01 0,020,030,04 0,050,060,070,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 0,00000 0,003990,007980,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,031880,03586 0,03983 0,043800,047760,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,071420,07535 0,07926 0,083170,087060,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,110260,11409 0,11791 0,121720,125520,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,148030,15173 0,15542 0,159100,162760,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,184390,18793 0,19146 0,194970,198470,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,219040,22240 0,22575 0,229070,232370,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,251750,25490 0,25804 0,261150,264240,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,282300,28524 0,28814 0,291030,293890,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,310570,31327 0,31594 0,318590,321210,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,336460,33891 0,34134 0,343750,346140,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,359930,36214 0,36433 0,366500,368640,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,381000,38298 0,38493 0,386860,388770,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,399730,40147 0,40320 0,404900,406580,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,416210,41774 0,41924 0,420730,422200,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,430560,43189 0,43319 0,434480,435740,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,442950,44408 0,44520 0,446300,447380,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,453520,45449 0,45543 0,456370,457280,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,462460,46327 0,46407 0,464850,465620,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,469950,47062 0,47128 0,471930,472570,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,476150,47670 0,47725 0,477780,478310,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,481240,48169 0,48214 0,482570,483000,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,485370,48574 0,48610 0,486450,486790,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,488700,48899 0,48928 0,489560,489830,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,491340,49158 0,49180 0,492020,492240,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,493430,49361 0,49379 0,493960,494130,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,495060,49520 0,49534 0,495470,495600,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,496320,49643 0,49653 0,496640,496740,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,497280,49736 0,49744 0,497520,497600,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,498010,49807 0,49813 0,498190,498250,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,498560,49861 0,49865 0,498690,498740,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,498960,49900 0,49903 0,499060,499100,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,499260,49929 0,49931 0,499340,499360,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,499480,49950 0,49952 0,499530,499550,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,499640,49965 0,49966 0,499680,499690,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,499750,49976 0,49977 0,499780,499780,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,499830,49983 0,49984 0,499850,499850,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,499880,49989 0,49989 0,499900,499900,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,499920,49992 0,49993 0,499930,499930,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,499950,49995 0,49995 0,499950,499960,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,499970,49997 0,49997 0,499970,499970,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,499980,49998