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A REPRESENTAÇÃO PICTÓRICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
EXPLORANDO O MODELO DE BARRAS
Leticia Rangel
Colégio de Aplicação da UFRJ
Projeto Fundão
Rita Meirelles
Colégio de Aplicação da UFRJ
Projeto Fundão
Raquel Cupolillo
Colégio de Aplicação da UFRJ
Projeto Fundão
Camila Sajnim
Bolsista Pibex do Projeto Fundão. Aluno do curso
de Licenciatura em Matemátca da UFRJ.
Luiz Felipe Almeida
Bolsista Pibex do Projeto Fundão. Aluno do curso
de Licenciatura em Matemátca da UFRJ.
RESUMO
O Projeto Fundão Matemática, visando ao desenvolvimento profissional permanente do professor e ao ensino
da disciplina, atua investigando e repensando modelos e práticas de ensino de matemática nas diferentes etapas
da Educação Básica. Como uma das linhas de trabalho, o Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão Matemática
vem investigando o potencial do Modelo de Barras (também conhecido como Método de Singapura) como
estratégia de resolução de problemas (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al,
2005). São objetivos da oficina proposta: (i) Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como estratégia
para a resolução de problemas próprios do Ensino Fundamental e (ii) Explorar e discutir recursos tecnológicos
que amparem a utilização desse método. Frações será o assunto central que determinará a seleção de problemas.
Esse tema foi escolhido por incorporar diversos aspectos (tais como representações e operações) comumente
reconhecidos por professores da Educação Básica por envolverem obstáculos de aprendizagem e dificuldades
com metodologias de ensino (STREEFLAND, 1991; BERTONI, 2008)
Palavras-chave: Modelo de Barras, Resolução de Problemas, Ensino de Frações, Método de Singapura.
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Introdução
A proposta do Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão é refletir sobre o conhecimento tecnológico
pedagógico de conteúdo (PALIS, 2010), buscando compreender o impacto do uso de recursos tecnológicos na
prática e no conhecimento do professor. Busca-se também investigar as potencialidades e as limitações da
integração e da articulação de tecnologia no ensino e na aprendizagem. Como princípio de trabalho, para
investigar o uso da tecnologia no ensino, o Grupo parte de um conteúdo matemático relevante para a prática do
professor. Ao longo de 2016, o assunto que mobilizou o estudo e que caracteriza esta oficina é frações. Esse
tema foi escolhido por incorporar diversos aspectos (tais como representações e operações) comumente
reconhecidos por professores da Educação Básica por envolverem obstáculos de aprendizagem e dificuldades
com metodologias de ensino (STREEFLAND, 1991; BERTONI, 2008).
A utilização de representação pictórica para a resolução de problemas de matemática na Educação
Básica tem recebido a atenção de educadores. Em particular, a atenção tem se voltado para o Modelo de Barras
(QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005), também conhecido como
Método de Singapura1 por estar fortemente incorporado ao ensino de matemática desse país, que vem obtendo
destaque no PISA2. Esse método se baseia na representação visual como forma de abordagem de problemas
aritméticos e algébricos no ensino básico. O Modelo de Barras se apresenta como uma estratégia em que a
representação, a partir de desenho, prepara os alunos para pensar analiticamente, proporcionando uma
importante transição entre o concreto e o abstrato (FORSTEN, 2010). Pode não parecer uma estratégia
inovadora usar representações diversas por meio de desenhos para amparar a resolução de problemas que
envolvem raciocínios aritméticos e algébricos. Afinal, os gregos já faziam isso desde a época de Euclides. No
entanto, o Modelo de Barras tem se apresentado como um recurso que sistematiza essa estratégia para a
resolução de problemas e tem sido fortemente adotado em livros didáticos em vários países. Assim, o Grupo de
Tecnologia decidiu por investigar esse método e recursos computacionais que amparam a sua aplicação. Entre
os recursos tecnológicos pesquisados para amparar a aplicação do método destacam-se: “Thinking Blocks”,
1 É importante esclarecer que o “método de Singapura” não é reduzido ao Modelo de Barras. O Método Singapura, no
que diz respeito à Matemátca, compõe uma filosofia de ensino adotada no sistema de educação de Singapura que tem
como uma dos pontos centrais a resolução de problemas (BALDIN, 2013). 2 Programme for International Student Assessment. http://www.oecd.org/pisa/.
3
disponível em http://www.mathplayground.com/thinkingblocks.html, e “Fraction Bars”, disponível em
http://www.kaputcenter.umassd.edu/products/software /fractionbars/fb_web_files/index.html.
Em particular, o grupo vem desenvolvendo e aplicando de forma investigativa atividades que envolvem
o Modelo de Barras em turmas de Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRJ. Essas atividades
fundamentam a oficina proposta. Assim, tendo como referência o trabalho investigativo realizado pelo grupo, a
oficina aborda a resolução de problemas em uma perspectiva colaborativa, em que os participantes terão a
oportunidade de utilizar o Modelo de Barras na resolução de problemas e de conhecer recursos tecnológicos
para esse fim. São objetivos da oficina proposta: (i) Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como
estratégia para a resolução de problemas próprios do Ensino Fundamental e (ii) Explorar e discutir recursos
tecnológicos que amparem a utilização desse método. Frações será o assunto central que determinará a seleção
de problemas.
A Representação Pictórica na Resolução de Problemas: Explorando o Modelo de Barras
O Modelo de Barras, também conhecido como Modelo de Representação por Desenho de Singapura ou
simplesmente por Método de Singapura (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et
al, 2005), oferece uma abordagem visual para a solução de problemas aritméticos e algébricos. No entanto, é
importante observar que o uso do modelo de barras para resolver problemas não pode ser considerado como
exclusivo da Matemática de Singapura, tampouco deve-se atribuir a eles a criação dessa estratégia. No entanto,
o Modelo de Barras tem ganhado notoriedade como estratégia e tem tido um papel relevante nos livros
didáticos de vários países.
De maneira geral, o Modelo de Barras é uma forma de dar significado a partir de representação
pictórica para o que está sendo apresentado de forma retórica em um problema que envolve raciocínios
aritmético e algébrico. Essa metodologia tem se apresentado com uma ferramenta particularmente relevante na
resolução de problemas envolvendo frações. Por exemplo, consideremos o problema apresentado a seguir:
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Estratégias algébricas e aritméticas para resolver esse problema não costumam ser facilmente alcançadas pelos
alunos. Observe que, se a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos for indicada por x, então a
solução do problema pode ser dada por:
1
2[(𝑥 −
1
3𝑥) −
1
3(𝑥 −
1
3𝑥)] = 12
Ou, simplesmente,
1
2[2
3(
2
3𝑥)] = 12
Portanto, x = 54.
Qualquer professor com experiência no ensino de matemática na Educação Básica pode atestar que não
é simples apresentar nem discutir qualquer dessas soluções em sala de aula. A representação algébrica é
reconhecidamente desafiadora para o ensino da matemática nessa etapa da escolaridade (USINSKIN, 1994).
No entanto, pelo Modelo de Barras, a representação do problema, e sua resolução, podem parecer bem
mais simples. Sendo a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos representada por uma “barra”,
como o retângulo em verde na Figura 1, o problema pode ser representado, e a solução obtida, como ilustrado.
Observe que, nesse caso, a barra assume o papel da incógnita ou, em linguagem algébrica típica, o papel de “x”.
Rita foi trabalhar e deixou uma bandeja de brigadeiros para seus três filhos com o
seguinte bilhete:
“Queridos, dividam igualmente esses brigadeiros que estou deixando.
Beijos da mamãe”
O primeiro filho chegou, pegou a terça parte que lhe cabia e saiu. Em seguida, o
segundo filho chegou e não viu nenhum dos irmãos. Pensando que fosse o primeiro,
pegou a terça parte dos brigadeiros que havia e saiu. Mais tarde, o terceiro filho
encontrou 12 brigadeiros na bandeja. Acreditando que fosse o segundo, pegou metade
e saiu. Quantos brigadeiros a mãe havia deixado para os três filhos?
(Clube de Matemática da OBMEP – adaptada)
5
Assim, a barra vai sendo adequadamente dividida e as quantidades correspondentes aos brigadeiros que cada
irmão pegou identificadas na representação em barras. Claro que esta não é a única solução possível a partir do
Modelo de Barras, ela tem caráter apenas ilustrativo.
Figura 1 – Solução do problema proposto pelo Modelo de Barras.
É importante observar que a resolução de problemas pelo Modelo de Barras deve ser encarada como
uma etapa (inicial) para a construção de um raciocínio algébrico. A resolução de problemas exige a habilidade
de leitura e de compreensão do que se lê, estabelecer uma estratégia de resolução, efetuar os cálculos
necessários e verificar a solução. O Modelo de Barras se faz presente na compreensão do que se lê, na
construção de estratégia e no processo de cálculo. No entanto, é importante que os alunos sejam incetivados a
também construir a linguagem algébrica e a representar e solucionar os problemas dessa forma.
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Atividades iniciais
Inicialmente os participantes serão convidados a conhecer e a aplicar o Modelo de Barras em problemas
que envolvem: adição e subtração de frações, multiplicação de frações, divisão de frações, razão e sistemas de
equações lineares. Nessa etapa, pretende-se utilizar lápis e papel para o desenvolvimento das soluções. A opção
pelo lápis e papel tem como objetivo não limitar nem vincular o método a recursos computacionais, que nem
sempre estão disponíveis para o professor. Serão também analisadas e discutidas soluções apresentadas por
alunos que utilizaram o método na resolução de problemas simples. Objetiva-se que a discussão alcance a
reflexão sobre os potenciais e as limitações do Modelo de Barras. Como exemplo, segue uma das soluções
apresentadas por um aluno do 8º ano do Ensino Fundamental ao utilizar o modelo:
Figura 2 – Solução apresentada por um aluno utilizando o Modelo de Barras.
Explorando recursos computacionais
Em seguida, os participantes serão apresentados a recursos computacionais próprios para a aplicação do
Modelo de Barras na resolução de problemas. Também aqui serão propostas a resolução e a análise de soluções
de problemas resolvidos a partir do Modelo de Barras, inclusive soluções apresentadas por alunos (Figura 3).
Pretende-se que o uso dos recursos computacionais seja enriquecido pela discussão sobre as limitações e os
potenciais dos softwares utilizados para a aplicação do método e dos recursos em si.
7
Figura 3 – Solução apresentada por um aluno utilizando o Modelo de Barras com o auxílio do “Thinking
Blocks”
Para encerrar a oficina, pretende-se que, a partir do debate geral, os participantes compartilhem,
considerando sua experiência e sua prática, suas impressões sobre o Modelo de Barras, destacando potenciais e
limitações para o ensino da Matemática. Acredita-se que, dessa forma, a oficina também será uma fonte de
dados e de novos conhecimentos para o trabalho investigativo desenvolvido pelo Grupo de Tecnologia do
Projeto Fundão Matemática.
Considerações Finais
Esta oficina constitui uma tentativa de promover o conhecimento e investigar potenciais e limitações do
Modelo de Barras a partir da interação de maneira colaborativa entre professores do Ensino Básico. Serão
apresentados e discutidos problemas que tradicionalmente são resolvidos por estratégias algébricas, envolvendo
os raciocínios pré-algébrico e algébrico no contexto de frações.
8
Espera-se que essa iniciativa contribua para a formação e o desenvolvimento profissional permanente do
professor, oferecendo a oportunidade de reflexão sobre novas possibilidades para o ensino e a divulgação e a
avaliação do Modelo de Barras no contexto da Educação Básica no Brasil. Em particular, recomenda-se essa
oficina para professores que atuam no Ensino Fundamental – Anos Iniciais (1º ao 5º ano), uma vez que o
Modelo de Barras se apresenta como um método potencialmente importante também para a resolução de
problemas no contexto de números naturais (FORSTEN, 2010). Além disso, acredita-se que o trabalho com
esse método desde as séries iniciais pode facilitar muito a sua aplicação na aprendizagem da Matemática.
Referências:
BALDIN, YYB, (2013). Texto explicativo sobre a chamada Matemática da Singapura, comunicação pessoal ,
disponibilizada para o projeto PROF-OBMEP (2012-2014).
BERTONI, N.E. (2008). A construção do número fracionário. In: Boletim de Educação Matemática, ano 21,
n.31. pp. 209-237. Rio Claro: UNESP.
FORSTEN, C. (2010). Step-by-Step Model Drawing. Solving Word Problems the Singapore Way. Crystal
Springs Books, Peterborough, USA.
GINSBURG, Alan; LEINWAND, Steven; ANSTROM, Terry; POLLOCK, Elizabeth. (2005). What the
United States Can Learn From Singapore’s World-Class Mathematics System (and what Singapore can
learn from the United States): An Exploratory Study. America Institute for Research. Washington, DC.
PALIS, G. L R. (2010). O conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo do professor de Matemática.
Educação Matemática Pesquisa. SP, v.12, n.3, pp. 432-451.
QUEIROZ, Jonas M,S. (2014). Resolução de Problemas da Pre-Álgebra e Álgebra para Fundamental II do
Ensino Básico com auxilio do Modelo de Barras, Dissertação de Mestrado Profissional PPGECE,
UFSCar. Disponível em site www.ppgece.ufscar.br na área de dissertações.Disponível em
https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/4473.
STREEFLAND, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental
Research. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
USINSKIN, Z. (1994). Concepções sobre Algebra da Escola Média e Utilizações das Variáveis. Em:
COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (org). As Idéias da Álgebra. Atual Editora. São Paulo.
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Atividades Iniciais
01. Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesa o tijolo?
02. Valéria conseguiu arrecadar 78 latas de leite para doação. Bernardo conseguiu um pouco mais do que
Valéria. Cada um levará a doação que conseguiu para uma instituição de caridade diferente da do outro.
Para que ambos pudessem ter a mesma quantidade de latas de leite para doar, Bernardo deu a quarta parte
do que arrecadou para Valéria. Quantas latas de leite Bernardo arrecadou?
03. A programação de uma oficina prevê que 3
5 do tempo total seja destinado a atividades iniciais, que a terça
parte do tempo envolva o uso de recursos computacionais e que os 10 minutos finais sejam destinados à
avaliação. Qual o tempo total previsto para a oficina?
04. Mônica e Felipe juntos têm R$ 158. Felipe possui R$30,00 a menos do que Mônica. Qual a quantia que
Mônica tem?
05. Um artesão faz um cinto com 3
5 de um metro de couro. Quantos cintos do mesmo tipo poderão ser feitos
com 18 metros de couro?
06. Marcus pecisava entregar os convites para a sua festa de aniversário. Planejou fazer isso na segunda e na
terça. Na segunda conseguiu entregar 18 convites. No entanto, na terça-feira conseguiu entregar apenas 2
3
do restante. Ficaram ainda 12 convites para serem entregues. Quantos convites Marcus precisava entregar?
07. Um grande depósito foi esvaziado a 1
3 da sua capacidade e, mais tarde, foram retirados
3
4 do que ficou.
Sabe-se que no reservatório ainda restaram 20 mil litros de água. Qual é a capacidade total desse
reservatório?
08. Rita traz trufas para vender nos intervalos das aulas. Hoje Rita vendeu três quintos de suas trufas no
período da manhã e um quarto do restante das trufas no período da tarde. Se Rita vendeu pela manhã 200
trufas a mais do que vendeu à tarde, quantas trufas Rita fez?
09. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00; nesta venda
ganhou 3
4 do que despendera. Por quanto comprou o terreno?
10. Nina e Ana possuíam juntas 125 cartões. Nina possuía 19 cartões a mais do que Ana. Quando Ana perdeu
alguns cartões, Nina passou a ter o quádruplo dos cartões de Ana. Quantos cartões Ana perdeu?
10
Algumas soluções
05
Solução algébrica:
3
5 ------- 1
18 ------- x
3
5 . x = 18
x = 18 . 5
3 =30
Resposta: Poderão ser feitos 30 cintos.
08
Solução algébrica:
(3/5)T - 200 = (1/4)(2/5)T
3T/5 - T/10 = 200
5T = 2000
T = 400
Resposta: Rita fez 400 trufas.
11
10
Solução Algébrica:
Etapa 1
N + A = 125
N = A + 19
Logo:
A + 19 + A = 125
A + A = 106
A = 53 e N = 72
Etapa 2
N = 4 . (A – X)
Logo,
A – X = N/4 53 – X = 72/4 53 – X = 18.
Portanto, X = 35.
Ou
Logo, N = 4A – 4X 4X = 4A – N 4X = 4.53 – 72
4X = 212 – 72 4X = 140.
Portanto, X = 35.
Resposta: Ana perdeu 35 cartões.
12
Atividades com o uso de Recurso Computacional
01. Camillinha usa 2
3 de uma xícara de farinha para fazer 3 cupcakes. Seguindo a mesma receita, quantas
xícaras de farinha Camilinha usaria para fazer 1 cupcake?
02. Paulo gastou 3
4 do que possuía e, a seguir, a metade do restante. Ficou ainda com R$ 7,00. Quanto Paulo
possuía?
03. Laura gastou 20% do seu dinheiro para comprar um vestido. Ela gastou dois terços da quantia restante em
um livro e ainda lhe sobraram R$ 72,00. Quanto Laura tinha no início?
04. Em uma biblioteca há 6 estantes completas. Essas estantes serão substituídas por novas cuja capacidade de
cada uma é 3
4 das estantes antigas. Quantas novas estantes serão necessárias para acomodar todos os livros
que estavam nas estantes antigas?
05. Letícia, Rita e Raquel conseguiram juntas 140 pacotes de fraldas para doar a uma instituição de caridade.
Rita foi a campeã em arrecadação! A quantidade de pacotes que Rita conseguiu foi sete vezes maior que a
arrecadada por Leticia e Raquel conseguiu 85 pacotes de frada a menos do que Rita. Quanto pacotes de
fralda Rita conseguiu para a doação?
06. Desafio! Existem canetas, lápis e borrachas na gaveta de uma escrivaninha. A razão de canetas para lápis é
2 para 3. A razão de borrachas para lápis é de 1 para 3. Se existem 4 canetas na gaveta, quantos lápis há a
mais do que os borrachas?
07. A diferença entre as capacidades de uma jarra e uma garrafa é de 300 mL, A razão entre as capacidades da
jarra e da garrafa é de 3 para 5. Qual o capacidade da jarra e da garrafa juntas?
08. No início da semana um laboratório comprou 1 litro de um produto por R$ 4,20 mas só usou 800 mL antes
de o produto perder a validade e ter que ser descartado. Na semana seguinte, a pessoa responsável pela
compra resolveu comprar duas embalagens de 500 mL do mesmo produto, pagando por cada uma R$ 5,00.
Dessa vez, conseguiu aproveitar todo o produto comprado. Em qual semana o produto utilizado teve menor
custo?
09. Uma lagarta está dentro de uma caixa. Na primeira hora ela sobe 1
3 da altura da caixa e escorrega
1
6. Na
segunda hora sobe mais 1
2 da distância que falta percorrer. Após a segunda hora, que fração da altura da
13
caixa falta para que a lagarta chegue ao topo da caixa? Se a caixa tem 48 cm de altura, a quantos
centímetros essa fração corresponde?
10. Um pequeno artesão compra mensalmente certa quantidade de latas (iguais) de um tipo especial de tinta
para a produção de suas peças. Essa tinta é consumida da seguinte maneira: 8
9 da tinta de uma lata é
utilizado para colorir peças artesanais, 2
3 da tinta de uma lata é utilizado para pintar peças básicas e ainda
sobram 500 mL de tinta, que geralmente são consumidos em peças extras. Qual a capacidade de uma
dessas latas de tinta? Quantas latas de tinta o artesão costuma comprar mensalmente?
Algumas soluções
03
Solução Algébrica:
0,20 x + 2
3 . 0,80 x + 72 = x
72 = x – 20
100 x –
2
3 .
80
100 x
72 = 300
300 x –
60
300 x –
160
300 x
72 = 80
300 x 72 =
4
15 x
72 . 15 = 4x
18 . 15 = x
Portanto,
x = 270
Resposta: Laura tinha – R$ 270,00.
14
05
Solução Algébrica 1: R = 7L
A = R - 85
L + R + A = 140
L + 7L + 7L - 85 = 140
15L = 140 + 85
15L = 225
L = 15
R = 7 . 15
R = 105
Solução Algébrica 2: 7x + x + 7x = 140 + 85
15x = 225
x = 225/15
x = 15 Resposta: Rita conseguiu 105 pacotes para a doação.
07
Solução Algébrica:
Logo,
Resposta: A capacidade é de 1.200 mL.
