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Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Caro(a) concurseiro(a),

Primeiramente, gostaramos de fazer uma breve apresentao.Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou Auditor-Fiscal Tributrio Municipal deSo Paulo (Fiscal do ISS/SP) desde 1998. Alm disso, sou professor deContabilidade (Geral, Avanada e de Custos), Estatstica e Econometria emcursos preparatrios para concursos pblicos. Servi Marinha do Brasil, por 14anos, como oficial de carreira. Posteriormente, atuei como consultor/instrutorna rea de tecnologia da informao por 8 anos. Sou Bacharel em CinciasNavais (nfase em Eletrnica) pela Escola Naval e em Engenharia Eltrica(nfase em Telecomunicaes) pela Escola Politcnica da Universidade de SoPaulo. Sou Doutor em Engenharia Eltrica pela Escola Politcnica da USP.Ministro cursos de graduao e de ps-graduao na USP, PUC-SP eUniversidade Paulista (UNIP).

Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal doBrasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 etrabalho na Coordenao-Geral de Fiscalizao. Sou professor de ContabilidadeGeral, Avanada, Anlise das Demonstraes Financeiras, Contabilidade deCustos, Matemtica Financeira, Estatstica e Raciocnio Lgico. Alm disso,trabalhei, durante 17 anos, na Marinha da Brasil, como oficial de carreira e 1ano, no Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada, como assessor dapresidncia. Sou Bacharel em Cincias Navais (nfase em Eletrnica) pelaEscola Naval e em Engenharia Eltrica (nfase em Telecomunicaes) pelaEscola Politcnica da Universidade de So Paulo.

Vamos ao nosso curso. Reforando as palavras do Prof. Vicente Paulo, a Esafresolveu pegar muita gente pelo p e vem destruindo nas provas deRaciocnio Lgico. Foi assim nas provas de Auditor-Fiscal da Receita Federal doBrasil, Analista Tributrio da Receita Federal do Brasil, Analista dePlanejamento e Oramento do MPOG, Analista da Susep. Enfim, uma novatendncia da Esaf.

Portanto, precisamos estudar esta matria com mais calma, pois, muitosconceitos s foram vistos no segundo grau (Tudo bem, pode rir, pois somosadolescentes do sculo passado a, naquela poca, ainda existia o segundograu. Risos. Conhecemos o Hebert Viana, dos Paralamas do Sucesso, quandoele ainda tinha topete).

Neste curso vamos ensinar Matemtica, Matemtica Financeira, Geometria,Trigonometria, Estatstica e Raciocnio Lgico para os traumatizados da Esaf.Vamos ensinar em detalhes, explicando o que for preciso.

Portanto, vamos comear a nossa longa jornada rumo ao conhecimento doRaciocnio Lgico Quantitativo Padro Esaf de Qualidade. Ou seja, o curso voltado para todos os concursos, com foco em questes da Esaf, que cobramRaciocnio Lgico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes daMatemtica.



O curso ter uma aula por semana e ter a durao de cerca de cinco meses emeio ( para voc aprender mesmo). Vamos detalhar a teoria e resolverexerccios da Esaf, relativos quela teoria, em cada aula. Caso os exerccios daEsaf, para determinado assunto, no sejam suficientes, utilizaremos exercciosde outras bancas ou exerccios inditos, pois os conceitos matemticos nomudam. Veja o contedo programtico: Aula Data Contedo 0 12/05 Introduo.1 26/05 Sinais, Fraes, Decimais.2 02/06 Expoentes e Radicais.3 09/06 Fatorao.4 16/06 Aplicaes da lgebra Equaes e Inequaes Parte 1 5 23/06 Aplicaes da lgebra Equaes e Inequaes Parte 26 30/06 Conjuntos e Funes.7 07/07 Matrizes, Determinantes e Soluo de Sistemas Lineares.8 14/07 Trigonometria.9 21/07 Geometria.10 28/07 Estruturas Lgicas: Proposies; Valores Lgicos das

Proposies; Sentenas Abertas; Nmero de Linhas daTabela Verdade; Conectivos; Proposies Simples;Proposies Compostas. Tautologia. Contradio.Contingncia. Implicaes Lgicas: Implicao entreProposies; Propriedade das Implicaes Lgicas; Relaesentre Implicaes. Equivalncias Lgicas: Equivalncia entreProposies; Equivalncia entre Sentenas Abertas;Propriedade das Equivalncias Lgicas; Operao comConjuntos.

11 04/08 Lgica de Argumentao e Diagramas Lgicos.12 11/08 Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meio

de: raciocnio matemtico (que envolvam, entre outros,conjuntos numricos racionais e reais - operaes,propriedades, problemas envolvendo as quatro operaesnas formas fracionria e decimal; conjuntos numricoscomplexos; nmeros e grandezas proporcionais; razo eproporo; diviso proporcional; regra de trs simples ecomposta; porcentagem); raciocnio sequencial; orientaoespacial e temporal; formao de conceitos; discriminaode elementos Parte 1

13 18/08 Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meiode: raciocnio matemtico (que envolvam, entre outros,conjuntos numricos racionais e reais - operaes,propriedades, problemas envolvendo as quatro operaesnas formas fracionria e decimal; conjuntos numricoscomplexos; nmeros e grandezas proporcionais; razo eproporo; diviso proporcional; regra de trs simples ecomposta; porcentagem); raciocnio sequencial; orientaoespacial e temporal; formao de conceitos; discriminao



de elementos Parte 214 25/08 Representao Grfica de Dados Estatsticos. Distribuio de

Freqncia. Estatstica Descritiva: grficos, tabelas, medidasde Posio, medidas de disperso, assimetria e curtose.

15 01/09 Teoria Elementar da Probabilidade.Combinaes, Arranjos e Permutao.

16 08/09 Variveis Aleatrias e Principais Distribuies deProbabilidade.

17 15/09 Esperana, Correlao e Regresso.18 22/09 Amostragem.19 29/09 Estimao de Parmetros.20 06/10 Testes de Hiptese e Significncia.

Inferncia: intervalos de confiana. Testes de hipteses paramdias e propores.

21 13/10 Regresso Linear Simples.22 20/10 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples.

Equivalncia Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva.Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos:Desconto racional simples e desconto comercial simples.

23 27/10 Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto.Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitaisequivalentes. Capitalizao contnua. Equivalncia Compostade Capitais. Descontos: Desconto racional composto edesconto comercial composto.

24 03/11 Sistemas de Amortizao25 10/11 Taxa Interna de Retorno: TIR do acionista e TIR do projeto.

Payback e Valor Presente Lquido. Metodologia deprecificao de ttulos pblicos e privados: ttulos pr-fixados, ttulos ps-fixados, ttulos com pagamentos decupons, debntures.

Finalmente, esperamos que este curso seja bastante til para voc e que possaauxili-lo de forma substantiva na preparao da disciplina de RaciocnioLgico Quantitativo.

As dvidas sero sanadas por meio do frum do curso, ao qual todos osmatriculados tero acesso. As crticas ou sugestes podero ser enviadas paraas seguintes caixas postais:Prof. Moraes Junior: [email protected]. Alexandre Lima: [email protected].

Finalmente, gostaramos de salientar a voc, concurseiro(a): NUNCA DESISTADOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre arbtrio para que possamosdeterminar nosso destino. Se voc deseja ser aprovado em um concursopblico, lute por isso, faa com dedicao, com sacrifcio, sempre visando aoseu objetivo. Desta forma, voc conseguir ser aprovado!

Prof. Alexandre Lima Prof. Moraes Junior

Maio/2010



Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados Aula 00

Conceitos Iniciais Parte 1: Sinais, Fraes e Decimais.

Contedo 1. Introduo ................................................................................................................................ 5

1.1. Nmeros ......................................................................................................................... 5

1.2. Outros Conceitos Iniciais Importantes ............................................................. 10

1.3. Exerccios de Fixao ............................................................................................... 14

1.4. Gabarito ........................................................................................................................ 15

1.5. Exerccios de Fixao Comentados e Resolvidos .......................................... 16

2. Bibliografia ............................................................................................................................. 25



1. Introduo

1.1. Nmeros

Como poderamos falar de matemtica sem os nmeros? Impossvel, no? Acada dia, por mais que voc no queira, acaba falando de nmeros.

Voc precisa de um nmero para definir o tempo que voc gasta para ir de suacasa para o seu trabalho; voc precisa verificar os preos (nmeros) deroupas, de alimentos, de ingressos de cinema, do litro da gasolina; vocprecisa de nmeros para falar a sua idade; voc precisa de um nmero paradefinir as questes que voc acertou em uma prova de Raciocnio Lgico.Enfim, os nmeros esto sempre presentes em sua vida.

Como precisaremos de nmeros em, praticamente, todo o nosso curso, vamoscomear, ento, a aprender os tipos de nmeros.

Os nmeros naturais so utilizados para contar itens (pessoas, animais,coisas, ou quaisquer itens que no podem ser divididos). Caso eu perguntequal a sua idade, voc me responder: 23 anos. Est a um nmero natural.Portanto, os nmeros naturais so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,...

Quer ver outro exemplo? Quantas pessoas foram ao ltimo jogo de futebol doBrasil com a Argentina? 50.000 (cinqenta mil) pessoas. Temos outro nmeronatural.

Repare que o zero (0) representa um valor nulo. Se voc for ao zoolgico comseu filho e ele te perguntar: Pai, quantos elefantes podem ser colocados dentrode um fusca? (Risos). Se voc for srio, responder: Nenhum (zero).Contudo, se quiser fazer graa, dir: 2 (dois) na frente e 3 (trs) atrs. Olhaos nmeros naturais a!

Memorize para a prova:

Os nmeros inteiros englobam os nmeros naturais (inteiros positivos) eseus opostos (inteiros negativos), ou seja, so conhecidos como nmerosinteiros positivos e negativos, tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

Vou dar um exemplo de nmero inteiro negativo que foi um fato da minhavida de concurseiro. Comecei a estudar para concursos em 1998, ainda nosculo passado.

Nmeros Naturais: so nmeros utilizados para expressar quantidadesinteiras. conjunto dos nmeros naturais.= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} nmeros naturais.



O primeiro concurso que fiz, ainda sem experincia alguma e com poucotempo de estudo, foi para o TCU (queria treinar e me acostumar com oambiente de prova).

A banca examinadora era o Cespe que, normalmente, faz provas por itens,onde o concurseiro deve avaliar se o item est certo ou errado. Alm disso, sevoc avaliar o item de acordo com o gabarito (acertar a resposta), voc ganhaum ponto. Por outro lado, a cada item que voc marcar em desacordo com ogabarito (errar a resposta), voc perde um ponto. H ainda a opo de deixaro item em branco (no marcar nem certo e nem errado). Nessa situao, vocno ganha e nem perde ponto.

Bom, como eu no sabia nada de concursos (risos), li o edital e decidi, antesde fazer a prova, que no deixaria itens em branco, ou seja, marcaria todos,seja como certo ou como errado. Para aqueles itens que eu no tivesse certezautilizaria o bom e velho chute.

Ainda havia uma informao do edital que determinava que o candidato seriaeliminado se ficasse com nota negativa em alguma disciplina ( issomesmo!!!). E o que aconteceu comigo? Exatamente, isso! Fui eliminado, pois,em Informtica, fiquei com -4 (menos quatro). Olha o nosso nmero inteironegativo.

Para entender melhor este meu trgico exemplo da vida real, vamos fazerum exemplo com nmeros! Exemplo: Moraes Junior, concurseiro novato, se inscreveu no concurso doTCU. Na disciplina de Informtica eram 20 itens a ser analisados e MoraesJunior preencheu todos (com certo ou errado). Sabendo-se que Moraes Junioracertou 8 (oito) itens, qual ser a sua nota final na disciplina considerando quecada erro elimina um acerto, ou seja, cada acerto vale 1 ponto e cada errovale -1 ponto?

Total de Itens da Prova = 20Nmero de Acertos = 8Nmero de Erros = Total de Itens Nmero de Acertos = 20 8 = 12

Pela regra, cada acerto vale 1 (um) e cada erro vale -1 (menos um). Portanto,a nota final seria:

Nota Final na Disciplina = Acertos Erros = 8 12 = -4 (menos quatro). Estafoi a minha nota: um nmero inteiro negativo.




Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao smbolo que representa os inteiros( ) indica a excluso do 0 (zero). Por outro lado, o mais (+) subscrito aosmbolo indica os inteiros no negativos e o menos indica os inteiros nopositivos. Juntando o asterisco (*) com o mais, temos os inteiros positivos ejuntando o asterisco (*) com o menos, temos os inteiros negativos.

Os prximos nmeros que veremos so os nmeros racionais. Caramba, quehistria essa de nmero racional? Calma, vamos ao conceito. Os nmerosracionais so aqueles que podem ser descritos em forma de frao, ou seja,todos os nmeros racionais possuem uma frao equivalente. Pode-se concluirque os nmeros racionais englobam os nmeros inteiros e, consequentemente,englobam os nmeros naturais.

E o que so fraes? Veja:

min

a numerador

b deno ador= (frao)

So exemplos de nmeros racionais:3

4= 0,75;

7

5;1

10= 0,1; etc.

Repare que existem nmeros racionais cujas casas decimais se repetem deacordo com um padro (4,156156156.... ou 0,777777777...). Esse nmerosso conhecidos como dzimas peridicas.

Vamos ver um exemplo que utilize nmeros racionais, que uma adaptao deum problema do livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan.

Exemplo: Suponha que voc possua um camelo de sua propriedade e que trsirmos te contrataram para dividir a herana deles, de 35 camelos, pois elesno estavam conseguindo chegar a um acordo. De acordo com o testamentodo pai, a herana deveria ser dividida da seguinte forma: o irmo mais velhofica com a metade dos camelos, o irmo do meio com a tera parte e o irmomais novo com a nona parte. Voc no pode dividir um mesmo camelo, pois,deste modo teria que mat-lo. Assinale a alternativa que deixaria todos osirmos felizes na partilha da herana, cumprindo o disposto no testamento:

Nmeros Inteiros: so nmeros que possuem as caractersticas dosnmeros naturais, mas podem ser positivos ou negativos.

= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} nmeros inteiros conjunto dos nmeros inteiros.

+ conjunto dos nmeros inteiros no negativos (inclui o zero).

conjunto dos nmeros inteiros no positivos (inclui o zero).*

+ conjunto dos nmeros inteiros positivos (no inclui o zero).*

conjunto dos nmeros inteiros negativos (no inclui o zero).



(a) 18 camelos para o irmo mais velho; 10 camelos para o irmo do meio e 7camelos para o irmo mais novo.(b) 18 camelos para o irmo mais velho; 12 camelos para o irmo do meio e 4camelos para o irmo mais novo e 1 camelo para voc.(c) 17 camelos para o irmo mais velho; 12 camelos para o irmo do meio e 6camelos para o irmo mais novo.(d) 17 camelos para o irmo mais velho; 11 camelos para o irmo do meio e 6camelos para o irmo mais novo e 2 camelos para voc.(e) 17 camelos para o irmo mais velho; 11 camelos para o irmo do meio e 5camelos para o irmo mais novo e 2 camelos para voc.

Resoluo

Se voc colocar tambm o seu camelo como parte da herana, teramos:

Camelos dos irmos = 35Seu Camelo = 1Total de Camelos = 35 + 1 = 36

Efetuando a partilha:Irmo mais velho = 36/2 = 18 camelos (deveria receber 35/2 = 17,5 camelose recebeu 18 saiu feliz).

Irmo do meio = 36/3 = 12 camelos (deveria receber 35/3 = 11,666666...camelos e recebeu 12 saiu feliz).

Irmo mais novo = 36/9 = 4 camelos (deveria receber 35/9 = 3,888888...camelos e recebeu 4 saiu feliz).

Total dos Irmos = 18 + 12 + 4 = 34 camelos (todos saram felizes)

Voc efetuaria a partilha e ainda sairia com 2 camelos (1 que j era seu) eoutro da prpria herana. Isto que negcio da China! Risos.

E a, qual o mistrio deste problema. Como pode todos os irmos saremfelizes e voc ainda ganhar um camelo?

simples. Repare:Irmo mais velho = 35/2 = (17 + 1/2) = 17,5 camelosIrmo do meio = 35/3 = (11 + 2/3) = 11,66666... camelosIrmo mais novo = 35/9 = (3 + 8/9) = 3,88888... camelos

Soma = 17,5 + 11,66666... + 3,88888.. = 33,055555....

Ou seja, a soma da partilha no d os 35 camelos da herana, pois h umasobra de quase 2 camelos. Ou seja, voc percebeu isso e ainda ganhou umcamelo!GABARITO: B




O smbolo representa o conjunto de nmeros racionais.O smbolo indica pertence a.O smbolo | indica tal que.O smbolo indica diferente de.

Portanto, vamos escrever { | / , , , 0}x x n d n d d= = em portugus:o conjunto dos nmeros racionais formado por nmeros x tal que x igual a uma frao (n/d), onde n pertence ao conjunto dos nmeros inteiros, dpertence ao conjunto dos nmeros inteiros e d diferente de zero.

Os nmeros irracionais, como o prprio nome diz, so irracionais. Risos. Ouseja, so nmeros no racionais, ou opostos aos nmeros racionais, nopodendo, por conseguinte, ser representados por fraes. So conhecidoscomo dzimas no peridicas.


O smbolo representa o nmero irracional pi.

Finalmente, os nmeros reais! Como o prprio nome indica, os nmeros reaisrepresentam valores reais. Os nmeros reais podem ser representados porfraes, nmeros inteiros, com casas decimais, sem casas decimais, pordzimas peridicas, por dzimas no peridicas.

Enfim, os nmeros reais englobam todos os nmeros racionais (que jenglobam os inteiros e, consequentemente, os naturais) e irracionais.

O que so casas decimais? Casas decimais so os nmeros localizados direitada vrgula.

Exemplo: 3,1415 possui quatro casas decimais, que so: 1, 4, 1 e 5.

Nmeros Racionais: { | / , , , 0}x x n d n d d= = nmeros quepodem ser escritos na forma de frao, onde n o numerador e d odenominador. Exemplos: 3/4 = 0,75; 7/5; 1/10 = 0,1; 1/3 = 0,33333... (dzimaperidica); etc.

Nmeros Irracionais: no podem ser escritos com fraes e possuem umnmero infinito de casas decimais.

I = {x | x uma dzima no peridica}nmeros irracionais.Exemplos: 3,01234567134....; 3 = 1,732050807...; = 3,1415....




Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao smbolo que representa os reais ( )indica a excluso do 0 (zero). Por outro lado, o mais (+) subscrito ao smboloindica os reais no negativos e o menos indica os reais no positivos.Juntando o asterisco (*) com o mais, temos os reais positivos e juntando oasterisco (*) com o menos, temos os reais negativos.

Portanto, poderamos fazer a seguinte representao dos nmeros:

Nota: Ainda h os nmeros imaginrios (fruto da nossa imaginao. Risos),mas veremos em aula posterior.

1.2. Outros Conceitos Iniciais Importantes

Uma varivel representa algo que desconhecido, ou seja, algo que vocquer calcular em um problema, tambm denominada de incgnita. Portanto,uma varivel sempre ser a representao de um nmero. Normalmente, soutilizadas letras para representar as variveis.

No exemplo na minha nota negativa na prova de Informtica, a varivel justamente a nota que tirei na prova, que, no caso, poderia ter chamado den.

Uma operao representa uma combinao de um ou mais nmeros gerandoum resultado. Ou seja, as operaes so adio, subtrao, multiplicao,diviso, razes, expoentes, etc. Como exemplo, temos que 3 + 5 = 8.

Nmeros Reais: representam valores reais e incluem a totalidade dosnmeros racionais e irracionais.

= {x | x racional ou x irracional} nmeros reais. conjunto dos nmeros reais.

+ conjunto dos nmeros reais no negativos (inclui o zero).

conjunto dos nmeros reais no positivos (inclui o zero).

*

+ conjunto dos nmeros reais positivos (no inclui o zero).

*

conjunto dos nmeros reais negativos (no inclui o zero).

I



Uma expresso representa qualquer combinao de valores e operaes.Como exemplo, temos a expresso 3xy + 5z.

Um termo o agrupamento de um ou mais fatores, como por exemplo, 3xy.

Uma equao demonstra a relao entre duas expresses iguais. Comoexemplo, temos a equao 3xy + 5z = 10.

Uma constante um nmero que nunca muda de valor em uma equao.Uma varivel tambm pode ser uma constante (que estranho, no?) desdeque seja definido um valor constante para tal. Como exemplo, sabemos que onmero 10 uma constante e as variveis a e b na equao ax + b = 0, tambm so definidas como constantes.

Um expoente um nmero sobrescrito a uma varivel ou a um nmero.Como exemplo, temos 32 (2 expoente) e x5 (5 expoente).

Os principais smbolos utilizados em lgebra so:

+: Significa adicionar ou somar. O resultado da adio a soma.

: significa subtrair ou diminuir. O resultado da subtrao a diferena.

x ou . (ponto): significa multiplicar ou vezes. O resultado da multiplicao oproduto e os valores que sero multiplicados so os multiplicadores ou fatores.

ou : ou / ou - (linha de frao): Significa dividir. O resultado oquociente e o nmero que divide o dividendo o divisor.

.a b q r= +

a = dividendo b = divisor q = quociente r = resto

min

a numerador

b deno ador=

Representando de forma diferente:

a b

r q



Exemplo: Quantas quinzenas existem em um ano de 365 dias?

Uma quinzena possui 15 dias. A varivel que queremos calcular o nmero dequinzenas, que chamarei de z.

Se montssemos a nossa estrutura: 365 = z . 15 + r

Dividindo 365 por 15, teramos:

365 15

5 24

Ou seja, um ano de 365 dias possui 24 quinzenas e 5 dias. Se o ano fossebissexto, com 366 dias, teria 24 semanas e 6 dias.

Nota: As regras para fazer divises sero vistas em aula posterior.

: significa raiz quadrada (ser vista com mais detalhes em aula posterior).

| |: significa mdulo ou valor absoluto de um nmero.

Exemplo: |-3| = 3; |3| = 3. Ou seja, o mdulo de um nmero positivo elemesmo; e o mdulo de um nmero negativo, a distncia deste nmero at ozero.

= : significa que o primeiro valor igual ao valor seguinte.

ou : significa que o primeiro valor diferente do valor seguinte.

: significa que o primeiro valor aproximadamente igual ao valor seguinte.

: significa que o primeiro valor menor que ou igual ao valor seguinte.

: significa que o primeiro valor maior que ou igual ao valor seguinte.

< : significa que o primeiro valor menor que o valor seguinte.

> : significa que o primeiro valor maior que o valor seguinte.




Para resolver problemas, voc deve considerar os sinais de agrupamento, pois,caso no faa dessa maneira, no chegar ao resultado correto. Os sinais deagrupamento so:

(): parnteses

[]: colchetes

{ }: chaves

Exemplo: 10 x (5 2) primeiro, voc deve calcular aquilo que est dentrodos parnteses, logo, 10 x 3 = 30.

Se fosse calcular da esquerda para direita, sem respeitar os parnteses,teramos: 10 x 5 2 = 50 2 = 48, que no corresponde ao resultado correto.


+ soma subtrao ou : ou / ou --- divisox ou . multiplicao

raiz quadrada| | valor absoluto ou mdulo= igualou diferente aproximadamente igual menor ou igual maior ou igual> maior< menor

Agrupamentos: ( ) parnteses[ ] colchetes{ } chaves



1.3. Exerccios de Fixao Nesta aula sero poucos exerccios, pois ainda estamos na parte introdutriada matria. Minha inteno fazer, em mdia, de 20 a 30 exerccios por aula,e todos sero comentados e resolvidos.

1.(Analista de Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags- 2010-FCC) Sendo x e y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy igual a xy. Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx) igual a

(A) 2x(B) 2y(C) 2(xy)(D) 2(xy)(E) 2x 2.(Analista Judicirio-rea Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total

de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:2

5deveriam ser

analisados e4

7referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa

informao, correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivoNUNCA poderia ser um nmero compreendido entre

(A) 10 e 50.(B) 60 e 100.(C) 110 e 160.(D) 150 e 170.(E) 180 e 220.

3.(Analista de Planejamento e Oramento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que

os nmeros x, y e z so nmeros racionais. Sabe-se, tambm, que2 3

3 3

xz

y

=

Com essas informaes, conclui-se que:

a) x. y = 6b) x + y = 6c) x. y = 0d) x/y = 6e) x. y = 6



4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20questes, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 pontopor cada questo no respondida corretamente. Andr obteve 20 pontos. Qualseria a nota de Andr, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada respostaerrada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?

(A) 12(B) 16(C) 20(D) 22(E) 24

5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opes abaixo verdadeira.

a) Para algum nmero real x, tem-se que x < 4 e que x > 5

b) Para todo nmero real y, tem-se que y < 3 e que y > 2

c) Para algum nmero real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0

d) Para algum nmero real k, tem-se que k > 5 e que k2 5k = 0

e) Para todo nmero real positivo x, tem-se que x2> x 1.4. Gabarito

1. C 2. D 3. E 4. E 5. C



1.5. Exerccios de Fixao Comentados e Resolvidos 1.(Analista de Processos Organizacionais-Administrao-Bahiags- 2010-FCC) Sendo x e y nmeros reais, definiremos a operao tal que xy igual a xy. Partindo-se dessa definio, correto dizer que (xy) (yx) igual a

(A) 2x(B) 2y(C) 2(xy)(D) 2(xy)(E) 2x Resoluo Primeiramente, no precisa se assustar com smbolo e outros que possamvir a aparecer em questes desse tipo. O que voc precisa tirar deinformao da questo qual o significado do smbolo.

No caso desta questo, o smbolo significa o sinal de menos. Portanto:xy = xy; ou seja, = (menos).

Portanto, basta pegar a informao dada na questo, substituir na expressoque a questo informa e calcular o resultado. Vamos l:

(xy) (yx) = (x y) (y x). Beleza at aqui?

Bom, na prxima aula, veremos os sinais e as operaes entre eles. Contudo,para resolver esta questo, precisamos ter este conhecimento. Ento, vou falaraqui, mas repetirei na prxima aula.

Repare que, no segundo termo: (y x) = (+ y x). Se retirarmos osparnteses, teramos: + y x = y + x. Portanto, o que temos queguardar no momento, para adio e subtrao, :

1. Normalmente, no mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ouseja, (x + y) = (+ x + y).

2. Menos () com mais (+) igual a menos (): + = .

3. Menos () com menos () igual a mais (+): = +.

Voltando, a nossa questo, teramos:(xy) (yx) = (x y) (y x) = x y y + x = 2x 2y.

Como aparece o nmero 2 nos dois termos, podemos colocar em evidncia(todos os termos esto multiplicados por 2). Logo: 2x 2y = 2 . (x y).GABARITO: C



2.(Analista Judicirio-rea Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total

de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:2

5deveriam ser

analisados e4

7referiam-se ao atendimento ao pblico interno. Com essa

informao, correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivoNUNCA poderia ser um nmero compreendido entre

(A) 10 e 50.(B) 60 e 100.(C) 110 e 160.(D) 150 e 170.(E) 180 e 220.

Resoluo Se consideramos que o nmeros total de projetos igual a X, sabemos que:

Projetos a serem analisados = X .2

5

Projetos relacionados ao pblico interno = X .4

7Repare que o nmero de projetos a serem analisados e o nmero de projetosrelacionados ao pblico interno devem ser nmeros naturais, certo? Claro!Voc j viu algum analisar meio processo ou um processo negativo? Risos.

Pois . Esta a informao chave da questo, pois, se so nmeros naturais,o nmero total de processos deve ser divisvel por 5 e divisvel por 7. Tambmfalaremos dos critrios de divisibilidade em aula posterior, mas, no momento,temos que saber que, se um nmero deve ser divisvel por 5 e divisvel por 7,ele deve ser divisvel por 5 x 7 = 35. Generalizando, se um nmero divisvel por A e divisvel por B, ele deve ser divisvel por A . B (A multiplicado por B). Portanto, basta conhecer os mltiplos de 35 para verificarmos a respostacorreta. Veja:

1 x 35 = 352 x 35 = 703 x 35 = 1054 x 35 = 1405 x 35 = 1756 x 35 = 2107 x 35 = 245



Logo, o nmero total de projetos X pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210,245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas no halgum dos nmeros supramencionados:

(A) 10 e 50. 35 est compreendido entre 10 e 50.(B) 60 e 100. 70 est compreendido entre 60 e 100.(C) 110 e 160. 105 e 140 esto compreendidos entre 110 e 160.(D) 150 e 170. no h nmero divisvel por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. 210 est compreendido entre 180 e 220.GABARITO: D

3.(Analista de Planejamento e Oramento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que

os nmeros x, y e z so nmeros racionais. Sabe-se, tambm, que2 3

3 3

xz

y

=

Com essas informaes, conclui-se que:

a) x. y = 6b) x + y = 6c) x. y = 0d) x/y = 6e) x. y = 6 Resoluo A questo informa que x, y e z so nmeros racionais (representados porfrao).

Como z pode ser representado por uma frao, no podemos ter a raizquadrada de trs (que um nmero irracional) no valor de z. Falaremos derazes em aula posterior, mas, para j comear a se acostumar:

3 1,73205...=

A melhor maneira de resolver esta questo analisando as alternativas:

a) x. y = 6

De acordo com a alternativa: x . y = 6. Para isolarmos o x, deve-se dividir osdois lados da equao por y. Deste modo, a igualdade no se altera. Quer verum exemplo numrico para entender melhor? Ento, vamos l:

2 x 3 = 6 (ok). Se dividirmos os dois lados da equao por 2, teramos:

2 3 63 3

2 2

= = (ok).



Voltando questo:

x . y = 6. Dividindo os dois lados da equao por y.

. 6 6x yx

y y y

= =

Substituindo o valor de x na expresso dada pelo enunciado da questo:

2 3

3 3

xz

y

=

62 3

3 3

yz

y

=

Repare que, para eliminar o y que denominador de -6, debemos multiplicarpor y o numerador e o denominador de z, que a igualdade no ser alterada. Vejamos:

662 3 2 3

6 2 3 2(3 3)

3 3 (3 3) (3 3) (3 3)

yy

y y y y yz

yy y y y y y y=

+= = =

i

i

(no racional).

Na expresso 6 2 3y , como -6 igual a -2 x 3, podemos colocar o -2 emevidncia. Veja:

6 2 3 2 3 2 3 2.(3 3)y y y = = +

A alternativa est INCORRETA. b) x + y = 6

x + y = 6 x = 6 y

Aqui, para isolar x, passei o y para o outro lado da equao e, com isso, o sinalse inverte. Quer ver um exemplo numrico:

3 + 5 = 8 3 = 8 5 = 3 (ok)


2 3

3 3

xz

y

=

(6 ) 2 3

3 3

yz

y

=

(no racional). A alternativa est INCORRETA.



c) x. y = 0

Mais uma propriedade que ser vista em aula posterior: Se x . y = 0, x = 0 ou y = 0 ou x = y = 0. Veja exemplos numricos:

x = 0 e y = 4 0 x 4 = 0x = 3 e y = 0 3 x 0 = 0x = 0 e y = 0 0 x 0 = 0

Portanto, temos trs opes para substituir na expresso dada no enunciado:x = 0; ou y = 0; ou x = y = 0

0 2 3 2 30

3 3 3 3

2 3 2 30

33 0. 3

0 2 3 2 30 0

33 0. 3

x z zy y

x xy z z

x e y z z

= = =

= = =

= = =

A alternativa est INCORRETA.

d) x/y = 6

E agora? Como faremos para isolar o x. Simples! Basta multiplicar por y nosdois lados da equao. Vamos ver um exemplo numrico:

12 126 2 6 2 12 12( )

2 2ok= = =

6 6 6x x

y y x yy y= = =i i


2 3

3 3

xz

y

=

6 2 3

3 3

yz

y

=

(no racional). A alternativa est INCORRETA.



e) x. y = 6 x . y = 6. Dividindo os dois lados da equao por y.

. 6 6x yx

y y y= =


2 3

3 3

xz

y

=


2 3

3 3

xz

y

=

62 3

3 3

yz

y

=

Repare que, para eliminar o y que denominador de 6, debemos multiplicarpor y o numerador e o denominador de z, que a igualdade no ser alterada. Vejamos:

662 3 2 3

6 2 3 2(3 3) 2

3 3 (3 3) (3 3) (3 3)

yy

y y y y yz

y yy y y y y y y=

= = = =

i

i

( racional).

Na expresso 6 2 3y , como 6 igual a 2 x 3, podemos colocar o 2 emevidncia. Veja:

6 2 3 2 3 2 3 2.(3 3)y y y = =

Alm disso, podemos cortar (3 3)y , no numerador e no denominador.

Com isso, sobrar apenas2

y. Como, pela questo, y um nmero racional,

2

y

tambm ser racional. A alternativa est CORRETA.GABARITO: E



4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20questes, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 pontopor cada questo no respondida corretamente. Andr obteve 20 pontos. Qualseria a nota de Andr, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada respostaerrada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?

(A) 12(B) 16(C) 20(D) 22(E) 24 Resoluo Caramba! At parece o meu exemplo da vida real! Risos.

Total de Questes da Prova = 20

Regras:Questo Certa = 4 pontosQuesto Errada = -1 ponto (perde 1 ponto)Nota da Prova = 20 pontos

Se considerarmos que Andr acertou C questes, teramos que o nmero dequestes erradas seria:

Questes Erradas (E) = Total de Questes da Prova Questes Certas E = 20 C

A nota da prova ser formada da seguinte maneira:Nota da Prova = (Questes Certas x Pontos Por Questo Certa) + (QuestesErradas x Pontos Por Questo Errada)

Substituindo os valores, teramos:20 = C x 4 + E x (-1) 20 = 4C + (20 C) x (-1) 20 = 4C 20 + C (lembre que C x -1 = C = + C) 20 + 20 = 4C + C 5C = 40

C =40

5C = 8

Portanto, o nmero de questes erradas ser: E = 20 C = 20 8 = 12

Agora, de acordo com a questo, houve alterao da pontuao das certas edas erradas, da seguinte forma:

Questo Certa = 6 pontosQuesto Errada = -2 pontos (perde 2 pontos)



Total de Questes Certas = 8Total de Questes Erradas = 12

Nessa situao, a nota da prova ser:

Nota da Prova = Questes Certas x Pontos Por Questo Certa + QuestesErradas x Pontos Por Questo Errada

Substituindo os valores, teramos:Nota da Prova = 8 x 6 + 12 x (-2) (lembre que +12 x -2 = + 24 = 24) Nota da Prova = 48 24 = 24 GABARITO: E

5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opes abaixo verdadeira.





e) Para todo nmero real positivo x, tem-se que x2> x

Resoluo Vamos analisar as alternativas:


No h nmero real que seja, simultaneamente, menor que 4 e maior que 5.A alternativa est INCORRETA.


Esta alternativa no vlida para todo nmero real y. Por exemplo, para yigual 2,5; y maior que 2 e menor que 3. Contudo, para y igual 5; y maior que 2 e no menor que 3. A alternativa est INCORRETA.


Ns veremos equao do segundo grau e potncias em aula posterior, masperceba que esta equao pode ser resolvida sem conhecer todos osconceitos. Veja:

x2 + 5x = 0



x2 o mesmo que x vezes x, ou seja, x.x. Portanto, teramos:

x.x + 5x = 0. Como x aparece nos dois termos direita da equao,podemos coloc-lo em evidncia:

x . (x + 5) = 0. Lembra da questo 3, alternativa c? x . y = 0. Qual era asoluo? x = 0 ou y = 0 ou x = 0 e y = 0.

No caso dessa equao, x . (x + 5) = 0, as solues ou razes da equaosero x = 0 e x + 5 = 0 x = 5

Ou seja, as razes da equao so reais (0 e 5) e so menores que 4. Logo, a alternativa est CORRETA.


Resoluo da equao: k2 5k = 0 k . (k 5) = 0

Razes: k = 0 e k 5 = 0 k = 5

Ou seja, uma das razes da equao, k = 5, no maior que 5 (k > 5) e simigual a 5. A alternativa est INCORRETA.

e) Para todo nmero real positivo x, tem-se que x2> x

Esta alternativa no vlida para todo nmero real x. Por exemplo, para xigual a 1. x2 = 12 = 1 . 1 = 1 = x. A alternativa est INCORRETA.

GABARITO: C

Espero que tenha gostado desta introduo e te aguardo na prxima aula.

Abraos e at a prxima aula,

Bons estudos,

Moraes [email protected]

Alexandre [email protected]



2. Bibliografia

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AFRFB_racioc_logico_traumatizados_alexandre_lima_moraes_Aula 00.pdf