Alberto Raposo – PUC-Rio INF 1366 – Computação Gráfica Interativa Clipping (Recorte) Alberto B. Raposo e Marcelo Gattass [email protected] abraposo/INF1366/index.htm

Alberto Raposo – PUC-Rio

INF 1366 – Computação Gráfica Interativa

Clipping (Recorte)

Alberto B. Raposo e Marcelo Gattass

[email protected]://www.tecgraf.puc-rio.br/~abraposo/INF1366/index.htm

http://www-nt.inf.puc-rio.br/cgilua/cgilua.exe/index.html

http://www-nt.inf.puc-rio.br/cgilua/cgilua.exe/index.html

http://www.puc-rio.br/


Pipeline GráficoModeling

Transformations

Illumination(Shading)

Viewing Transformation(Perspective / Orthographic)

Clipping

Projection (to Screen Space)

Scan Conversion(Rasterization)

Visibility / Display

Cluter & Durand, MIT


Clipping (Recorte)• Partes do objeto

fora do volume de visualização(view frustum) são removidas

Modeling Transformations

Illumination(Shading)

Viewing Transformation(Perspective / Orthographic)

Clipping

Projection (to Screen Space)

Scan Conversion(Rasterization)

Visibility / Display



Por que o recorte?

• Não perder tempo rasterizando objetos fora da janela de visualização!

• Classes de algoritmos:– Pontos– Linhas – Polígonos


Ponto em retângulo

xm

ym

x

y

xp

yp

2.tol

2.tol

int pontInRect(int xm, int ym, float xp, float yp, float tol) {

return ( (xp>=xm-tol) && (xp<=xm+tol) ) &&

( (yp>=ym-tol) && (yp<=ym+tol) );

}


Casos de clipping de linhas

A

B

C

E

(x1, y1)

(x2, y2)

D

(x’1, y’1)

(x’2, y’2)


Casos Triviais

• Grande otimização: aceitar/rejeitar casos triviais

• Testar extremidades do segmento de reta

D. Brogan, Univ. of Virginia


Aceitação Trivial

• Como saber se uma linha está totalmente dentro de uma janela?

• R: se ambas as extremidades estão dentro de todas as arestas da janela, a linha está totalmente dentro da janela

Essa linha estátrivialmente dentro


Rejeição Trivial

• Como saber se uma linha está totalmente fora de uma janela?

• R: se ambas as extremidades estão do mesmo lado (de fora) de uma aresta da janela, a linha pode ser rejeitada

Essa linha está fora, mas não cai no caso trivial, pois as extremidades não estão do mesmo “lado“ de uma mesma aresta

Essa linha está trivialmente fora


Recorte de Linhas em Relação ao Viewport

• Combinando casos triviais– Aceitar (desenhar) linhas com ambos os pontos extremos

dentro de todas as arestas da janela de visualização

– Rejeitar linhas com ambos extremos fora de uma mesma aresta da janela de visualização

– Reduzir outros casos aos casos triviais, encontrando intrerseções e dividindo os segmentos



Cohen-Sutherland Line Clipping

0000 00100001

1001

0101 0100

1000 1010

0110

ymax

xmax

– Dividir janela de visualização em regiões definidas pelas arestas da janela

– Atribuir código (outcode) de 4 bits para cada região:• Bit 1 indica que valor y dos pontos está acima de ymax

• Outros bits indicam relação com outros vértices da janela



Cálculo do código de um vértice

Outcode compOutCode(double x, double y, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax){ Outcode code; code.top = 0, code.bottom = 0, code.right = 0, code.left = 0, code.all = 0; if (y > ymax) { code.top = 1; code.all += 8; } else if(y < ymin) { code.bottom = 1; code.all += 4; } if (x > xmax) { code.right = 1; code.all += 2; } else if(x < xmin) { code.left = 1; code.all += 1; } return code;}

1001 1000 1010

0001 0000 0010

0101 0100 0110



• Para cada segmento de reta– Atribua o outcode para cada extremo – Se ambos outcodes = 0, aceitação trivial

• if (bitwise OR = 0)

– Caso Contrário• bitwise AND para os outcodes dos vértices

• if result 0, rejeição trivial



– Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados

• Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza

• Ache a interseção da linha com a aresta

• Descarte a parte do segmento do lado de fora da aresta e atribua novo outcode ao novo vértice

• Aplique os testes triviais; repetidamente se necessário




• Se a linha não cai nos casos triviais, subdividi-la de forma que um ou os dois segmentos possam ser descartados

• Selecione uma aresta da janela de visualização que a linha cruza– Cheque as arestas na mesma ordem sempre

• Ex: top, bottom, right, left

A

B

D E

C




• Ache a interseção da linha com a aresta

A

B

D E

C






A

B

DC






A

B

C



Interseção com Janela de Visualização

– (x1, y1), (x2, y2): interseção com aresta vertical direita: xright

• yintersect = y1 + m(xright – x1)

– onde m=(y2-y1)/(x2-x1)

– (x1, y1), (x2, y2): interseção com aresta horizontal de baixo: ybottom

• xintersect = x1 + (ybottom – y1)/m

– onde m=(y2-y1)/(x2-x1) D. Brogan, Univ. of Virginia


void CohenSutherlandLineClipAndDraw(double x0, double y0, double x1, double y1, double xmin, double xmax, double ymin, double ymax, int value){ outcode outcode0, outcode1, outcodeOut, CompOutCode(); double x, y; boolean accept = FALSE, done = FALSE;

outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax);

do { if (outcode0.all == 0 && outcode1.all == 0) { accept = TRUE; done = TRUE; /* trivial draw and exit */ } else if((outcode0.all & outcode1.all) != 0) { done = TRUE; /* trivial reject and exit */ } else { if (outcode0.all != 0) outcodeOut = outcode0; else outcodeOut = outcode1;

if (outcodeOut.top) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymax - y0) / (y1 - y0); y = ymax; } else if(outcodeOut.bottom) { x = x0 + (x1 - x0) * (ymin - y0) / (y1 - y0); y = ymin; } else if(outcodeOut.right) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmax - x0) / (x1 - x0); x = xmax; } else if(outcodeOut.left) { y = y0 + (y1 - y0) * (xmin - x0) / (x1 - x0); x = xmin; } if (outcodeOut.all == outcode0.all) { x0 = x; y0 = y; outcode0 = CompOutCode(x0, y0, xmin, xmax, ymin, ymax); } else { x1 = x; y1 = y; outcode1 = CompOutCode(x1, y1, xmin, xmax, ymin, ymax); }

} /* Subdivide */ } while (!done);

if (accept) DrawLineReal(x0, y0, x1, y1, value);}

Algoritmo de Cohen-Sutherland


Cohen-Sutherland

– Outcodes facilitam descoberta de casos triviais• Melhor algoritmo quando casos triviais são comuns

– Os casos não triviais, por outro lado:• Têm custo elevado

• Geram às vezes recortes redundantes

• Existem algoritmos mais eficientes


Equações Paramétricas

• Equações de reta– Explícita: y = mx + b– Implícita: Ax + By + C = 0

– Paramétrica: linha definida por 2 pontos, P0 e P1

• P(t) = P0 + (P1 - P0) t, onde P é vetor [x, y]T

• x(t) = x0 + (x1 - x0) t

• y(t) = y0 + (y1 - y0) t


Equação Paramétrica da Reta• Descreve segmento (linha finita)

– 0 <=t <= 1• Define linha entre P0 e P1

– t < 0• Define linha antes de P0

– t > 1• Define linha depois de P1


Linhas Paramétricas e Clipping• Definir cada linha na forma paramétrica:

– P0(t)…Pn-1(t)

• Definir cada aresta da janela de visualização na forma paramétrica:– PL(t), PR(t), PT(t), PB(t)

• Realiza testes de interseção de Cohen-Sutherland usando linhas e arestas apropriadas


Equações: Line / Edge Clipping• Equações paramétricas permitem recortes mais eficientes

• Linha 0:– x0 = x0

0 + (x01 - x0

0) t0

– y0 = y00 + (y0

1 - y00) t0

• x00 + (x0

1 - x00) t0 = xL

0 + (xL1 - xL

0) tL

• y00 + (y0

1 - y00) t0 = yL

0 + (yL1 - yL

0) tL

– Resolver para t0 e/ou tL

• View Window Edge L:– xL = xL

0 + (xL1 - xL

0) tL

– yL = yL0 + (yL

1 - yL0) tL



Limitações de Cohen-Sutherland

• Só funciona para janelas de visualização retangulares

• Algoritmo para recorte em janelas convexas arbitrárias:– Cyrus-Beck


Algoritmo de Cyrus-Beck

• Queremos otimizar o cálculo das interseções linha/linha– Começa com equação paramétrica da linha:

• P(t) = P0 + (P1 - P0) t

– E um ponto e a normal de cada aresta da janela• PL, NL



• Encontre t tal que:

• NL [P(t) - PL] = 0

• Substitua P(t) pela equação da linha:

– NL [P0 + (P1 - P0) t - PL] = 0

• Encontre t– t = NL [PL – P0] / -NL [P1 - P0]

PL

NL

P(t)Inside

P0

P1



Algoritimo de Cyrus-Beck

PEi

N Ei

P0 P1

P t P P P t 0 1 0( )

N P t PEi Ei 0

)(tP

Produto escalar de 2 vetores


Algoritimo de Cyrus-Beck

PEi

N Ei

P0 P1

P t P P P t 0 1 0( )

0 EiEi PtPN

N P t PEi Ei 0 N P t PEi Ei 0

N P t PEi Ei 0

tN P P

N P PEi Ei

Ei

0

1 0



• Compute t para a interseção da linha com todos as arestas da janela

• Descarte todos (t < 0) e (t > 1)

• Classifique as interseções restantes em – Potentially Entering (PE)

– Potentially Leaving (PL)

• NL [P1 - P0] > 0 implica PL

• NL [P1 - P0] < 0 implica PE


Entrando ou Saindo ?

P0P1

Ei

N Ei

N P P PEEi 1 0 0

P0

P1

Ei

N Ei

N P P PLEi 1 0 0


Cálculo das interseções

PL

PEPL

PE

PE

PE

PL

PL

C

B

A

PE

PE

PL

PL


• Para cada reta:– Ache o PE com maior t

– Ache o PL com menor t

• Recorte nesses 2 pontos


PE

PLP1

PL

PE

P0



Cyrus-Beck - caso geral{ Calcule Ni e escolha um PEi para cada aresta

tE = 0; tL = 1; for(cada aresta ){ if (Ni.(P1-P0)!=0 ){ /* aresta não é paralela ao segmento */ calcule t; use sign of Ni.(P1-P0) para categorizar como PE ou PL; if( PE ) tE = max(tE, t); if( PL ) tL = min(tL, t); } else { /* aresta paralela ao segmento */ if (Ni.(P0-PEi) > 0) /* está fora */ return nil; } if(tE > tL) return nil; else return P(tE) and P(tL) as true clip intersections; } }}


Caso particular: Liang e Barsky

• Janela retangular: linhas de recorte horizontais e verticais:– Normais: (-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)

• Soluções para t: -(x0 - xleft) / (x1 - x0)

(x0 - xright) / -(x1 - x0)

-(y0 - ybottom) / (y1 - y0)

(y0 - ytop) / -(y1 - y0)


Liang e Barsky

Ei NEi PEi t

left: x = xmin (-1, 0) (xmin, y)-(x0-xmin)(x1-x0)

right: x = xmax (1, 0) (xmax, y)(x0-xmax)-(x1-x0)

bottom: y = ymin (0,-1) (x, ymin)-(y0-ymin)(y1-y0)

top: y = ymax (0, 1) (x, ymax)(y0-ymax)-(y1-y0)

xmin xmax

ymin

ymax

x

y


Comparação

• Cohen-Sutherland– Clipping repetitivo é caro

– Melhor utilizado quando a maioria das linhas se encaixam nos casos de aceitação e rejeição triviais

• Cyrus-Beck– Cálculo de t para as interseções é barato

– Computação dos pontos (x,y) de corte é feita apenas uma vez

– Algoritmo não considera os casos triviais

– Melhor usado quando a maioria das linhas precisa ser recortada



Recorte de Polígonos

• Mais complicado

• Ainda mais quando polígono é côncavo



Recorte de Polígonos

• Mais complexo que corte de linhas– Input: polígono– Output: polígono original, novo(s) polígono(s), ou

nada

• A melhor otimização são os casos de aceitação ou rejeição trivial…


• O que pode acontecer com um triângulo?

• Possibilidades:

triângulo triângulo

Tarefa complicada!!!

triângulo quad triângulo 5-gon

• Quantos lados pode ter um triângulo recortado? D. Brogan, Univ. of Virginia


Quantos lados?

•Sete…



Tarefa complicada!!!

Polígono côncavo múltiplos polígonos



Algoritmo de Sutherland-Hodgman

• Idéia básica:– Considerar cada aresta da janela de visualização

individualmente– Recortar o poligono pela equação de cada

aresta



Sutherland-Hodgman Clipping




























• Idéia básica:– Considerar cada aresta da janela de visualização

individualmente– Recortar o poligono pela equação de cada aresta– Depois de fazer isso para todas as arestas, o polígono está

completamente recortado



Sutherland - Hodgman • Clip contra uma aresta (plano) de cada vez



• Input/output do algoritmo– Input: lista ordenada dos vértices do polígono – Output: lista dos vértices recortados, com alguns

vértices originais (possivelmente) e outros novos (possivelmente)



Sutherland-Hodgman Clipping• Aresta de s a p se enquadra em um dos 4 casos:

(Linha azul pode ser reta ou plano)

inside outside

s

p

p output

inside outside

s

p

no output

inside outside

sp

i output

inside outside

sp

i outputp output



Clipping de polígonos(Hodgman & Suterland)

• Para cada aresta (plano) teste um segmento de cada vez• Existem quatro casos possiveis para um vértice e seu antessessor

S

P

guarde Pguarde P

S

P

SP

guarde Iguarde I

I

S P

guarde I, Pguarde I, P

I

interno saindo externo entrando

(a) (b) (c) (d)


Sutherland-Hodgman Clipping• 4 casos:

– s e p dentro do plano• Coloque p para output (guarde p)• Nota: s já estaria no output pela aresta anterior

– s dentro do plano e p fora• Ache ponto de interseção i• guarde i

– s e p fora do plano • Não coloque nada no output

– s fora do plano e p dentro• Ache ponto de interseção i• guarde i, e também p D. Brogan, Univ. of Virginia


Clipping de polígonos(Exemplo 1)

1

23

4

56

A

B

S P Ação

1 2 x

2 3 store A,3

3 4 store 4

4 5 store 5

5 6 store B

6 1 x



1

S P Ação1 2 store A2 3 x3 4 store B,44 5 store 55 6 store C6 1 store D,1

32

45

6A B

CDx x x x

1 45

BCDA



1

S P Ação

1 A store 1, A

A B store BB 4 store E4 5 store F,55 C store CC D store D

45

A B

CDx x x x

E

F

x

x

D 1 x

B, E, F, 5, C, D, 1, AB, E, F, 5, C, D, 1, A


Teste Point-to-Plane

• Teste geral para verificar se ponto p está “dentro” de um plano P, definido por q e n:

(p - q) • n < 0: p “dentro” de P

(p - q) • n = 0: p exatamente em P

(p - q) • n > 0: p “fora” de P

Lembrar que: p • n = |p| |n| cos ()

= ângulo entre p e n

P

np

q

P

np

q

P

np

q



Interseção Linha-Plano

• Aresta intercepta plano P onde L(t) está em P– q é ponto em P

– n é a normal ao plano P

(L(t) - q) • n = 0

(L0 + (L1 - L0) t - q) • n = 0

t = [(q - L0) • n] / [(L1 - L0) • n]

– O ponto de interseção i = L(t) para o valor de t encontrado acima



Weiler-Atherton Clipping• Estratégia: “caminhar” pelas bordas do

polígono e da janela• Polígonos são orientados no sentido anti-

horário (CCW)



Weiler-Atherton Clipping

• Encontre pontos de interseção



Weiler-Atherton Clipping

• Marque os pontos onde o polígono entra na janela de recorte



Weiler-Atherton Clipping• Enquanto houver interseção de

entrada não processada:– “caminhar” pelas bordas do polígono

ou da janela



Regras da “caminhada”• Par In-to-out:

– Grave o ponto de interseção– Caminhe pela aresta do polígono (ccw)

• Par Out-to-in:– Grave o ponto de interseção– Caminhe pela aresta da janela (ccw)


















ou da janela





ou da janela





ou da janela





ou da janela



Dificuldades• E se um vértice do polígono está na borda da

janela?• E se estiver “quase” na borda?

– Problema de precisão

• Welcome to the real world of geometry!



Informações Adicionais

• Peter Shirley. Fundamentals of Computer Graphics, A K Peters, Ltd., Natick, MA, USA, 2002.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Phlips, L. R., Introduction to Computer Graphics, Addison-Wesley, 1995.

• D. F. Rogers, Procedural Elements for Computer Graphics, McGraw-Hill, 1988.

• Marcelo Gattass: notas de aula. http://www.tecgraf.puc-rio.br/~mgattass/cg.html

Documents

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