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LENIMAR NUNES DE ANDRADE

INTRODUCAO A ALGEBRA:QUESTOES COMENTADAS E RESOLVIDAS

1a edicao

ISBN 978-85-917238-0-5

Joao Pessoa

Edicao do Autor

2014


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Prefacio

Este texto foi elaborado para a disciplina Introducao a Algebra que passou a

ser ministrada na UAB/UFPB a partir de 2010. E um complemento de outro texto

que contenha o desenvolvimento detalhado da teoria. Dedica-se principalmente a

alunos dos cursos de Licenciatura ou Bacharelado em Matematica, Fsica, Qumica

ou Engenha Eletrica (Telecomunicacoes).

No incio, fazemos um pequeno resumo dos assuntos vistos ao longo do semes-tre: operacoes binarias, grupos, aneis, corpos e polinomios. Depois, iniciamos

a resolucao de varios exerccios relacionados com os esses temas para ajudar na

fixacao do conteudo. No final, sao apresentados alguns testes do tipo multipla esco-

lha.

E importante observar que os exerccios foram colocados em ordem crescente de

dificuldade. Os que iniciam com A (Ex.: A1, A2, etc.) sao os mais faceis, os que

iniciam com B (Ex.: B1, B2, etc.) sao os medios e os que iniciam com C sao

os mais difceis.

Joao Pessoa, 8 de janeiro de 2014

Lenimar Nunes de Andrade

i


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Sumario

1 Resumo da teoria 1

1.1 Operacoes binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Principais proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Homomorfismos de aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Aneis-quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Grau de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Notacao usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.13 Polinomios irredutveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Operacoes binarias 28

3 Grupos e subgrupos 38

4 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cclicos 48

5 Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes 58

6 Aneis, subaneis, aneis de integridade, corpos 64

7 Homomorfismos de aneis, ideais, aneis-quocientes 74

8 Polinomios 82

9 Exerccios de revisao 92

10 Testes 10010.1 Operacoes binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2 Grupos e subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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10.3 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cclicos . . . . . . . . . . . 109

10.4 Classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes . . . . . . . 113

10.5 Aneis, subaneis, aneis de integridade, corpos . . . . . . . . . . . . . 116

10.6 Homomorfismos e isomorfismos de aneis . . . . . . . . . . . . . . 119

10.7 Ideais e aneis-quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10.8 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

iii


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Captulo 1

Resumo da teoria

1.1 Operacoes binarias

Umaoperacao binaria

(ou simplesmente umaoperacao

) sobre um conjunto

A e uma funcao deA A em Aque associa a cada par (x,y) A A um unicoelemento deA quee denotado por x y.

Comutatividade

Uma operacaosobreA ecomutativaquandox y =y x,x,y A

Exemplos

A adicao de inteiros e comutativa, ou seja, x +y =y +x,x,y . A multiplicacao de inteiros tambeme comutativa, ou seja,x y =y x, x,y . A multiplicacao de matrizes nao e uma operacao comutativa, isto e, existem

matrizesA e Btais queAB BA.

1


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A composicao de funcoes tambem naoe uma operacao comutativa, istoe, exis-tem funcoes f eg tais que f g g f.

Associatividade

Uma operacaosobreA eassociativaquandox (y z) =(x y) z,x,y,z A

Exemplos

A adicao de numeros reais e associativa, ou seja, x + (y + z) = (x + y) + z,x,y,z .

A multiplicacao de numeros reais e associativa, ou seja, x(yz) = (xy)z,x,y,z . A subtracao de numeros reais nao e uma operacao associativa. Por exemplo,

5 (2 1) = 5 1 = 4 e (5 2) 1 = 3 1 = 2 de onde temos que5 (2 1) (5 2) 1.

Elemento neutro

Um elemento e A e denominado elemento neutro para a operacaosobre Aquandox e =e x = x,x A

Exemplos

O 0 (zero)e o elemento neutro da adicao de inteiros. O 1 (um)e o elemento neutro da multiplicacao de inteiros.

A matriz identidaden n e o elemento neutro da operacao de multiplicacao dematrizesn n.

A operacao de potenciacao xy = xy definida sobre os inteiros positivos naotem elemento neutro.

Elemento inverso

Se uma operacao

sobreApossuir elemento neutroe, entao um elemento x

A

e denominadoinvertvel(ou simetrizavel) quando existir x1 Atal quex x1 = x1 x =e

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Exemplos

Todo x possui um inverso com relacaoa operacao de adicao de inteiros: eo inteirox. Por exemplo, o inverso (aditivo) de 3e o3.

Na multiplicacao usual dos numeros racionais, todo x =

p

q possui um

inverso (multiplicativo) que e o elemento x1 = qp

, com excecao apenas do 0

(zero) que nao tem inverso com relacaoa multiplicacao.

Distributividade

Sejam e duas operacoes definidas sobre um conjuntoA . Dizemos que edistributiva com relacao aquando

x

(y

z) = x

y

x

z,

x,y,z

A

e

(x y) z = x z y z,x,y,z A.

Exemplo

No conjunto dos numeros inteiros, a multiplicacao e distributiva com relacao a

adicao porque:

x (y +z) = x y +x z (x +y) z = x z +y z

para quaisquerx,y,z .

Parte fechada

Consideremos um conjuntoA ,Xum subconjunto deA euma operacaodefinida sobre A. Dizemos que Xeparte fechada de Acom relacao a operacao

quandox,y X x y X.

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Tabua de uma operacao

Atabuade uma operacao definida sobre um conjunto finito A ={a1, a2, , an}e uma tabela onde o resultado da operacao aiaj e colocado na i-esima linha e j-esima coluna.

a1 a2 a3 a4 a5a1 a1 a1 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a1 a5a2 a2 a1 a2 a2 a2 a3 a2 a4 a2 a5a3 a3 a1 a3 a2 a3 a3 a3 a4 a3 a5a4 a4 a1 a4 a2 a4 a3 a4 a4 a4 a5a5 a5

a1 a5

a2 a5

a3 a5

a4 a5

a5

1.2 Grupos

Umgrupoe um conjunto G no qual esta definida uma operacao que satisfazas seguintes propriedades:

e associativa, ou seja, x (y z) =(x y) z,x,y,zG

admite elemento neutro, ou seja,

e

G tal que x

e =e

x = x,

x

G

Para cada elemento xG,x1 G tal que x x1 = x1 x =eAlem disso, sefor comutativa, entao o grupoG e denominadocomutativoou abe-liano.

Exemplos

O conjunto dos inteiros com a adicao usuale um grupo. O conjunto dos numeros reais nao nulos com a operacao de multiplicacao

usuale um grupo.

Grupos de permutacoes

Sejam E um conjunto nao vazio e SEo conjunto de todas as funcoes bijetoras

f : E E. Com a operacao de composicao de funcoes, (SE, ) e um grupodenominadogrupo de permutacoes sobreE.

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Notacao

Em particular, quando E ={1, 2, , n}, onden e um inteiro positivo fixado, SEe denotado por Sn. Se f : E Efor tal que f(i) = ai, para todo i E, entao fcostuma ser denotada na forma

f = 1 2 3 n

a1 a2 a3 an

O total de funcoes que podem ser construdas dessa formae den!.

Exemplo

Sejam E ={1, 2, 3} e, S3 definidas por = 1 2 3

3 1 2 e =

1 2 3

1 3 2 .

Entao = = 1 2 3

2 1 3

.

Grupos de classes de restos

Sejam n> 1 um inteiro en ={0,1, , n 1}, onde a={a+kn | k },a .O conjunton e denominado conjunto dasclasses de restos modulon. Definindo-se

a seguinte operacao de adicao sobre n

x +y = x +y,

entao (n, +)e um grupo abeliano.

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Exemplo

Escolhendon =5, temos que em 5 sao validas as igualdades:

1 + 2= 3, 2 +2= 4, 0 + 3= 3

2 + 3= 0, 4 +3= 2, 3 + 3= 1

Subgrupos

Seja (G, ) um grupo. Um subconjunto nao vazio H G que seja fechado comrelacao a operacao e denominado um subgrupo deG quando (H, ) tambem forum grupo.

Exemplos

H=(, +)e um subgrupo deG =(, +) O conjuntoHdos inteiros pares com a operacao de adicao usuale um subgrupo

deG =(, +).

O conjuntoH=(+, )d o snumeros reais positivos com a operacao de multiplicacaousuale um subgrupo deG =(, )

O conjuntoN =(, ) dos reais negativos com a multiplicacao naoe subgrupodeG =(, ), porqueNnaoe fechado com relacaoa multiplicacao.

1.3 Homomorfismo de grupos

Uma funcao fde um grupo (G, ) em um grupo (J, ) chama-se umhomomor-fismoquando

f(x y) = f(x)f(y),x,yG.

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Exemplos

Se G = J = (, +), entao f : G J, f(x) = 2x e um homomorfismo degrupos porque f(x +y) =2(x +y) =2x + 2y = f(x) + f(y),x,yG.

SeG =(,

) e J =(,

), entao f :

, f(x) = x2 e um homomorfismo

de grupos porque f(x y) =(x y)2 = x2 y2 = f(x) f(y),x,y . SejamG = ( , +), J = (, ) e g : , g(x,y) = 2xy. Para

quaisquer (a, b), (c, d), temos que: g((a, b) + (c, d)) = g(a + c, b + d) =2(a+c)(b+d) =2(ab)+(cd) = 2ab 2cd = g(a, b) g(c, d).Logo,g e um homomorfismo deG em J.

Nucleo de um homomorfismo

Se f : G J for um homomorfismo de grupos, o nucleo de f, denotado porN(f), e o conjunto de todos os elementos do domnioG cujas imagens atraves de f

sao iguais ao elemento neutro de J:

N(f) ={xG| f(x) =eJ}

Exemplos

Vamos determinar o nucleo de cada um dos homomorfismos dos exemplos ante-

riores.

Seja f : (, +)

(, +), f(x) = 2x. O elemento neutro do contradomnio de

f e o 0 (zero). Se x N(f), entao f(x) =02x =0 x =0. Logo, o nucleode f e formado apenas pelo 0 (zero), istoe,N(f) ={0}.

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SejamG = (, ), J =(, ), f :G J, f(x) = x2. O elemento neutro de Je o 1 (um). Se xN(f), entao devemos ter f(x) =1, ou seja, x2 =1 x =1.Logo,N(f) ={1, 1}.

Sejam G = (, +), J = (, ), g : , g(x,y) = 2xy. Se(x,y) N(g), entaog(x,y) =1 = elemento neutro deJ2

x

y

=1 2x

y

=20

x y =0 x =y. Logo,N(g) ={(x,y) | x =y} ={(x,x)| x}.

Isomorfismo de grupos

Um isomorfismode um grupoG em um grupo Je um homomorfismo de G em

Jque tambeme uma funcao bijetora. Se existir um isomorfismo deG em J entao

dizemos queG e Jsao isomorfos e denotamos isso porGJ.

Exemplo

A funcao f(x) =log(x) e um isomorfismo deG =(+, ) em J=(, +) porque: f : + , f(x) =log(x)e bijetora; Para quaisquer x,y + temos: f(xy) = log(xy) = log(x) + log(y) =

f(x) + f(y).

Potencias e multiplos

Em um grupo multiplicativo (G, ) com elemento neutro e, dados xG en ,definimos a potencia xn da seguinte forma:

xn =

xn1 x, sen1

e, sen =0

(x1)n, sen < 0

Pela definicao,x0 =e,xn = x x x x

nfatores

se n> 0 exn = x1 x1 x1 x1

(n)fatores

sen < 0.

Multiplos

Em um grupo aditivo (G, +) com elemento neutro 0, dados x G e n ,definimos o multiplonxda seguinte forma:

nx = (n 1)x

+x, sen10, sen =0

(n)(x), sen < 0

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Pela definicao, 0x = 0, nx = x +x +x + +xnparcelas

se n > 0 e

nx =(x) + (x) + (x) + + (x)(n)parcelas

sen < 0.

A definicao de multiploe muito parecida com a de potencia.

1.4 Grupos cclicos

Grupo gerado por um elemento

Seja x um elemento de um grupo multiplicativo (G, ). O grupo gerado por x,denotado por [x] (ou porx)e o conjunto de todas as potencias de expoente inteirodex:

[x] ={xk |k }={. . . ,x3,x2,x1,x, e,x,x2,x3, . . . }

Se (J, +) for um grupo aditivo ey J, entao [y]e o conjunto de todos os multiplosdey:

[y] ={ky|k } ={. . . , 3y, 2y, y, 0,y, 2y, 3y, . . . }

Exemplo

EmG =(, ), temos: [2] ={2k |k }={. . . , 18

, 14

, 12

, 1, 2, 4, 8, . . . }

Grupos cclicos

Um grupoG e denominadocclicose existir x G tal queG = [x]. Neste caso,todos os elementos de G sao potencias (ou multiplos) de x quee denominado umgeradordeG.

Exemplos

(, +)e um grupo ccliclo porque todo inteiroe multiplo de 1, ou seja, =[1].Um grupo cclico pode ter mais de um gerador. Note que neste caso temos

tambem =[

1].

(5

, )e um grupo cclico gerado por2 porque [2]={20,21,22,23} ={1,2,4,3} =

5.

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O grupo multiplicativo dos reais, (, ), nao e um grupo cclico porque naoexiste um numero real xtal que todo numero real seja igual a alguma potencia

dex.

Classes laterais

Consideremos um grupo (G, ), um subgrupoHG e xG. Aclasse laterala esquerda, moduloH, definida por x, denotada porx H,e o

conjunto definido por

x H={x h|h H} Aclasse lateral a direita, modulo H, definida por x, denotada por Hx, e o

conjunto definido por

Hx ={h x|h H}

As classes laterais a esquerda podem coincidir ou nao com as classes a direita.

Podemos ter x H= Hx ou x H Hx, dependendo do xe doH.

Exemplo 1

SejamG =(8, +) e um subgrupo H={0,2,4,6}. A classe lateral a esquerda definida pelo elemento1 e: 1 +H= 1 + {0,2,4,6} =

{1 + 0,1 + 2,1 + 4,1 + 6}={1,3,5,7}. A classe laterala esquerda definida pelo elemento2e: 2 +H= 2 + {0,2,4,6} =

{2 + 0,2 + 2,2 + 4,2 + 6}={2,4,6,0}.

Exemplo 2

Consideremos G = (, ) e um subgrupo H = {3k | k }, ou seja, H ={ , 1

9, 1

3, 1, 3, 9, 27, }. A classe lateral a direita definida pelo elemento

2G e:

H

2={3k

2|k } ={ ,

29

,

23

,

2, 3

2, 9

2, 27

2, }.

Indice deHemG

Sejam Gum grupo finito eHum subgrupo de G. O ndice deHem G e o numero

de classes laterais distintas moduloHemG e e denotado por (G : H).

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Exemplo

SejamG =(6, +) eH={0,3}. As classes laterais moduloHsao: 0 + H={0 + 0,0 + 3} ={0,3}

1 + H={1 + 0,1 + 3} ={1,4} 2 + H={2 + 0,2 + 4} ={2,5}

As outras classes 3 +H ={3,0}, 4 +H ={4,1}, etc. coincidem com as anteriores.Dessa forma, temos um total de 3 classes laterais distintas e, consequentemente,

(G : H) =3.

Subgrupo normal e grupo quociente

Sendo (G, ) um grupo, um subgrupo NdeG e denominadonormalquando xN = Nx para todo xG. Neste caso, denotaremosNnormal emG por N G.

Grupo quociente

Consideremos N G. O conjunto de todas as classes laterais modulo N e um

grupo com a operacao definida por

(aN)(bN) =(ab)N,

a, b

G

e e denominado grupo quociente de G por N. O grupo quociente de G por N e

denotado porG/N.

1.5 Principais proposicoes

Teorema de Lagrange

Se Gfor um grupo finito eHum subgrupo de G, entao a ordem deHe um divisorda ordem deG e o quociente da divisao e igual ao ndice deHemG. Em smbolos:

o(G) =o(H) (G : H).

Teorema do Homomorfismo

Seja f : G Jum homomorfismo de grupos sobrejetor. Se Nfor o nucleo def, entaoN Ge G/N J.

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1.6 Aneis

SejaA um conjunto com duas operacoes: uma adicao (+) e uma multiplicacao(). Dizemos que (A, +, ) e um anelquando

A e um grupo abeliano com relacao a adicao:

x,y,z A,x + (y +z) =(x +y) +z x,y A, x +y =y +x Existe 0 Atal que x + 0 = x,xA Para todo x A, existe (x) Atal que x + (x) =0

A multiplicacaoe associativa:x,y,z, (x y) z = x (y z)

A multiplicacao e distributiva com relacao a adicao: x

(y +z) = x

y +x

ze

(x +y) z = x z +y zpara quaisquer x,y,z A.

Exemplos

O conjunto dos numeros inteiros e um anel com relacao as operacoes deadicao e multiplicacao de inteiros usuais.

Tambem sao aneis os seguintes conjuntos numericos: (, +, ), (, +, ) e (, +, ).

Sendon um inteiro positivo, O conjunto dos multiplos denn ={nk|k }

e um anel com as operacoes de adicao e multiplicacao usuais dos inteiros.

Dadon > 1 um inteiro, o conjunto Mnn() das matrizes quadradasn ncomelementos em e um anel com relacaoa adicao ea multiplicacao de matrizes

definidas de forma usual.

Exemplo

Dadon um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos modulon,n ={0,1, , n 1},

e um anel com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao definidas da

seguinte forma:

x +y = x +y

e x y = x y,para quaisquer x,y n.

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Subaneis

Seja (A, +, ) um anel eS um subconjunto deA. Dizemos queS e umsubaneldeA quando (S, +, ) tambem for um anel com as operacoes deA restritas ao conjuntoS.

Exemplos

O conjunto dos multiplos de 2, 2, e um subanel de com as operacoes deadicao e multiplicacao de inteiros usuais.

Em geral, (n, +, )e um subanel de (, +, ) para qualquer inteiro positivon.

Subaneis

A proposicao a seguir fornece um criterio bastante util para se determinar se um

conjuntoS e subanel de um anel A.

Proposicao

Sejam (A, +, ) eS um subconjunto de A. Entao,S e um subanel de Ase, esomente se,S for fechado com relacao a subtracao ea multiplicacao de A, ou seja,

se, e somente se, x yS ex ySpara quaisquerx,yS.

Observacao

Em um anelA, a diferencax yde dois elementosx,yAe definida como sendox y = x + (y).

Subaneis

Exemplo

Consideremos no anelA =(M22(), +, ) o conjuntoS ={

x 0

y 0

| x,y

}.

E claro queS porque, por exemplo,

1 0

2 0

S.

Alem disso, dados dois elementos quaisquer de S,M= x 0

y 0 e N = z 0

t 0 ,temos que MN=

x z 0y t 0

S e MN=

x z 0y z 0

S.

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Usando a Proposicao anterior, conclumos queS e um subanel de A.

Aneis comutativos

Um anel (A, +,

)e denominadocomutativose a sua multiplicacao for comutativa,

ou seja, se x y =y x,x,y A.

Exemplos

O anel dos inteiros (, +, )e um anel comutativo porque x y =y x, x,y . Tambem sao comutativos os seguintes aneis: , , , m com as operacoes

usuais de adicao e multiplicacao definidas em cada um desses conjuntos.

Dadon > 1 um inteiro, o anel (M

nn(), +,

) das matrizes quadradasn

ncom

elementos em naoe comutativo.

Aneis com unidade

Um anel com unidade e um anel A cuja multiplicacao possui elemento neutro,

denotado por 1Aou simplesmente por 1, e denominado a unidadedo anel.

Exemplos

O numero 1 e a unidade dos aneis (, +, ), (, +, ),(, +, ) e (, +, ). Logo,esses sao exemplos de aneis com unidade.

Dadom2 inteiro, (m, +, ) e um anel com unidade. Neste caso, a unidade ea classe1.

Sendon um inteiro maior do que 1, o anel (n, +, ) nao possui unidade.

Aneis de integridadeUm anel comutativo com unidade A e denominadoanel de integridadequando

x,y A, x y =0x =0 ouy =0.

Definicao

Dizemos que x 0 ey 0 em um anelAsaodivisores proprios de zeroquando

x

y =0.

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Observacao

De acordo com as definicoes anteriores, um anel de integridadee um anel comu-

tativo com unidade que nao tem divisores proprios do zero.

Exemplos

No anel dos inteiros , se x,y sao tais quex y =0, entao temos que x =0ouy =0. Logo, e um anel de integridade.

Tambem sao aneis de integridade: , e . Em 8, os elementos 2 e 4 sao diferentes de 0, mas 2 4 = 8 = 0. Logo,2 e

4 sao divisores proprios do zero em 8 e, consequentemente, 8 nao e anel de

integridade.

EmA = M22() consideremos os elementosX =

0 2

0 0

e Y =

0 3

0 0

. Xe

Ynao sao matrizes nulas, no entantoXY =

0 0

0 0

. Logo,Xe Ysao divisores

proprios do zero e A naoe anel de integridade.

1.7 Corpos

Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento

nao nulo deKpossuir inverso multiplicativo, ou seja,

xK,x 0 x1 K tal que x x1 =1.

Exemplos

Os aneis , e sao exemplos de corpos (com as operacoes de adicao emultiplicacao usuais).

nao e um corpo, porque nem todo elemento de possui inverso multiplica-tivo. Por exemplo, 2 e nao existey tal que 2 y =1.

Se pfor um inteiro primo positivo, entao p e um corpo.

Proposicao

Todo corpoe um anel de integridade.

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Observacao

A recproca da proposicao anterior naoe valida, ou seja, nem todo anel de inte-

gridadee um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situacaoe o anel dos inteiros

.

Proposicao

Todo anel de integridade finitoe um corpo.

1.8 Homomorfismos de aneis

Uma funcao f : A Bde um anel Aem um anel B e denominadahomomor-fismo de aneisquando forem verificadas as duas seguintes propriedades:

x,y A, f(x +y) = f(x) + f(y); x,y A, f(x y) = f(x) f(y)

Exemplo

SejamA = ,B = e a funcao f :A B, f(x) =(0,x).

Sex,y , entao f(x +y) =(0,x +y) = (0,x) + (0,y) = f(x) + f(y) Temos tambem: f(x y) =(0,x y) = (0,x) (0,y) = f(x) f(y).

Logo, f e um homomorfismo do anel A no anelB.

Homomorfismos de aneis

Onucleode um homomorfismo f : A B, denotado por N(f) ou por ker(f),e definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cuja imagem pela f e

igual ao zero do anel B:

N(f) ={xA| f(x) =0B}

Exemplo

Com relacao ao exemplo anterior, vamos determinar o seu nucleo. Suponhamos

a N(f). Entao pela definicao de nucleo, f(a) = (0, 0) = zero do anel B. Comof(a) = (0, a), temos que (0, a) = (0, 0) de onde resulta que a = 0. Assim, o nucleo

de f e o conjunto N(f) ={0}.

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Homomorfismos de aneis

Propriedades

Seja f : A Bum homomorfismo de aneis. Sao validas as seguintes proprie-dades:

f(0A) =0Bonde 0Arepresenta o zero do anel A e 0B e o zero de B; f(x) =f(x),x A; f(x y) = f(x) f(y),x,y A; f e uma funcao injetora se, e somente se, N(f) ={0A}; SeS e um subanel de A, entao f(S)e um subanel de B. Se f for uma funcao sobrejetora e Apossuir unidade 1A, entao o mesmo acon-

tece com B e a unidade deB e 1B = f(1A);

Se ffor sobrejetora,A tiver unidade ex for invertvel (com relacao a multiplicacao),entao f(x) tambem e invertvel e f(x1) =[f(x)]1.

Isomorfismos de aneis

Um isomorfismo de um anel A em um anel B e uma funcao

f :A Bquee um homomorfismo e bijetora.

Observacoes

Se existir um isomorfismo de aneis f : A B, entaof1 : BAtambeme um isomorfismo.

Quando existir um isomorfismo de A em B, entao diremos que A e Bsao iso-morfose denotamos isso por A

B.

Se A e B forem aneis isomorfos, entao eles tem as mesmas propriedades, adiferenca entre elese basicamente os nomes dos elementos.

Ideais

Em um anel comutativo A, um subconjunto nao vazio I A e um ideal em Aquando ele satisfizer as seguintes propriedades:

x yI,x,y I; a xI,x Iea A

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Exemplo

SejamA = eI=2 = conjunto dos inteiros pares. E claro queI, porque 0 I;

Se x,y I, entao x = 2m e y = 2n com m, n . Da, temos quex y =2m 2n=2(m n) I; Sea A, entaoa x =a (2m) =2(a m) I.

Portanto, 2 e um ideal em .

Em geral,n ={nx |x } e um ideal em ,n .

Ideais

Sejam Aum anel comutativo e a1, a2, , an A, onden 1e um inteiro. Oconjunto formado por todas as combinacoes do tipo x1 a1 +x2 a2 + +xn an,com x1,x2, ,xn A e um ideal em A quee denominado ideal gerado pora1, a2, , ane e denotado pora1, a2, , an.

QuandoI=a ={x a| x A}for um ideal geral por umunico elementoa deum anel comutativoA, entaoIe denominadoideal principalgerado pora.

Exemplos

O conjunto dos numeros parese um ideal principal de porque e gerado pelo2 .

Em geral,I=n e um ideal principal de eI=n.

1.9 Aneis-quocientes

Seja Ium ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I e oconjunto

A/I={x + I|x A}com as operacoes de adicao e multiplicacao definidas a seguir:

Adicao: (x + I) + (y + I) =(x +y) + I,x,y A Multiplicacao: (x + I) (y + I) =(x y) + I,x,y A

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Exemplo

Consideremos o anel A = e o ideal I = 5 = multiplos de 5 (operacoes de

adicao e multiplicacao usuais). Temos que:

0 + I=

{ ,

15,

10,

5, 0, 5, 10, 15,

}= I

1 + I={ , 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16, } 2 + I={ , 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, } 3 + I={ , 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, } 4 + I={ , 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, } 5 + I={ , 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, } = I

Portanto, o anel-quociente deA por Ie

A/I={I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}. SendoA/I={I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, alguns exemplos de adicao entre seus

elementos sao (2 +I) +(1 +I) =(2 +1)+I=3 +Ie (2+I) +(4 +I) =(2 + 4)+I=

6 + I=1 + I.

Todas as possveis adicoes entre seus elementos podem ser observadas na se-guinte tabua:

+ I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

1 + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I

2 + I 2 + I 3 + I 4 + I I 1 + I

3 + I 3 + I 4 + I I 1 + I 2 + I

4 + I 4 + I I 1 + I 2 + I 3 + I

SendoA/I={I, 1 +I, 2 +I, 3 +I, 4 +I}, alguns exemplos de multiplicacao entreseus elementos sao (2+ I) I = (2+I)(0 + I) = (20) +I = 0+ I = I e(2 + I) (4 + I) =(2 4) + I=8 + I=3 + I.

Todas as possveis multiplicacoes entre seus elementos podem ser observadasna seguinte tabua:

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + II I I I I I

1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I

2 + I I 2 + I 4 + I 1 + I 3 + I3 + I I 3 + I 1 + I 4 + I 2 + I

4 + I I 4 + I 3 + I 2 + I 1 + I

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Observacoes e teoremas

Observacao 1

Um ideal em um anel A e um tipo particular de subanel de A, mas nem todo

subanele um ideal.

Observacao 2

Todo anel possui pelo menos dois ideais: o proprio anel e o conjunto unitario

formado so pelo zero; esses sao chamados osideais triviaisdo anel. Em um corpo

K, seusunicos ideais sao os triviais:{0}e K.

Teorema 1

O nucleoN(f) de um homomorfismo de aneis f :A B e um ideal emA.

Teorema 2

Se f : A B e uma funcao sobrejetora que tambem e um homomorfismo deaneis, entaoA/N(f) eB sao aneis isomorfos.

1.10 Polinomios

Seja A um anel. Uma sequencia de elementos em A e uma funcao f : A. que costuma ser representada na forma f = (a0, a1, a2, ), ou de forma maissimplificada f =(ai).

Nesse formato, estamos representando f(k) porak, para todok . O elementoakA e denominado ok- esimo termoda sequencia.

Exemplos

f =(3, 0, 1, , 5, 6, 10, 3, 3, 5, )e uma sequencia de elementos em g=(1,2,3,1,2,3,4,0,0, ,0,0, ) e uma sequencia de elementos em 5.

Definicao

Consideremos duas sequencias f =(ai) eg =(bi).

Igualdade: Dizemos que f =g quandoai =bipara todoi

.

Adicao: Asomade f comg e uma sequenciah =(ci) tal queci = ai + bi paratodoi.

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Multiplicacao: O produto de f por g e uma sequencia j = (di) tal que di =i

k=0

aikbkpara todoi .

ObservacaoO produto das sequencias f = (ai) e g = (bi) e uma sequencia h = (di) cujos

termos sao: d0 =a0b0,d1 =a1b0 + a0b1,d2 =a2b0 + a1b1 + a0b2,d3 =a3b0 + a2b1 +

a1b2+ a0b3, dk=akb0+ ak1b1+ ak2b2+ + a0bk

Definicao

Em um anel A, uma sequencia (a1, a2, a3, ) com ai A para todo i edenominada polinomio sobre A quando existir um ndice s tal que ak = 0para todo k > s. O conjunto de todos os polinomios com coeficientes no anel A e

denotado porA[x].

Observacao

Uma sequencia que e um polinomio tem todos os seus termos nulos a partir de

certa ordem. Por isso, um polinomio tambeme denominadosequencia quase-nula.

Os termos de um polinomio tambem sao chamados decoeficientes.

Exemplo

f = (5, 6, 9, 3, 0, 0, , 0, ), onde ak = 0 se k > 3 e um polinomio sobre oanel .

1.11 Grau de um polinomio

Consideremos f =(ai) um polinomio nao nulo. Ograu de f e o maior ndice dos

termos nao nulos de f, ou seja, e definido como sendo igual a n se an 0 eak = 0

para todok>n. Neste caso, o termoan e denominadocoeficiente dominante de f.

O polinomio nuloo =(0, 0, 0, , 0, ) nao tem grau definido.Notacao: O grau de um polinomio f e denotado porfou porgr(f).

Exemplos

O termo nao nulo de p = (5, 2, 1, 8, 0, 0, , 0, ) [x] que tem o maiorndicee oa3 =8; logo, o grau de p e 3, ou seja,p=3.

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O termo nao nulo deq = (2,0,0,3,1,0,0, ,0, )5[x] que tem o maiorndicee oa4 = 1; logo,q=4.

Em um anel A, seaA, entao o polinomio do tipoc = (a, 0, 0, 0, , 0, ) eum polinomio de grau 0 e e denominadopolinomio constanteem A[x].

1.12 Notacao usual

SejaA um anel com unidade. O polinomio

x =(0, 1, 0, 0, , 0, )e denominadoindeterminadasobreA.

Usando a definicao de produto de polinomios, temos:

x2 = x x =(0, 0, 1, 0, 0, 0, , 0, ) x3 = x2 x =(0, 0, 0, 1, 0, 0, , 0, ) x4 = x3 x =(0, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, ), etc.

Dado um polinomio qualquer f = (a0, a1, a2, , an, 0, 0, ) deA[x] temos quef =a0 + a1x + a2x2 + + anxn.Essa notacaoe considerada a usual para indicar umpolinomio f.

Exemplos

O polinomio p = (3,

2, 3, 4, 5, 1, 0, 0, 0, , 0, ) [x] e denotado na

forma usual por p=

3+

2x

+3x

2 +4x

3

5x4 +

x

6

ou porp(x)=

3+

2x

+

3x2 + 4x3 5x4 +x6; O polinomioq = (4, 5, 3, 2, 7, 0, 0, 0, , 0, ) [x] e denotado na forma

usual porq =4 + 5x 3x2 + 2x3 + 7x4 ou porq(x) =4 + 5x 3x2 + 2x3 + 7x4; O polinomioq =(2,3,0,0,1,7,0,0,0, ,0, ) 8[x]e denotado na forma

usual por f = 2 + 3x +x4 +7x5 ou por f(x) = 2 + 3x +x4 + 7x5.

Os graus dos polinomios p(x), q(x) e f(x) anteriores sao: p = 6, q = 4 e

f =5.

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Proposicoes basicas

A soma e o produto de dois polinomios de A[x] da como resultado um po-linomio deA[x].

SeA for um anel, entaoA[x] tambem e. SeA for um anel comutativo, entaoA[x] tambeme. SeA for um anel com unidade, entaoA[x] tambeme. SeA for um anel de integridade, entaoA[x] tambeme. Em geral,A[x] naoe um corpo (mesmo queA seja um corpo). Se p =f eq =g, entao(f + g) =max(p, q) e(f g) p + q. SeA for um

anel de integridade ou um corpo, entao(f g) = p + q. Todo anel A e isomorfo ao subanel de A[x] formado por todos os polinomios

constantes.

Divisao de polinomios

SendoA um anel comutativo com unidade, dados dois polinomios f eg em A[x],

dizemos que f divide gquando existirh A[x] tal queg = f h.Notacao:Denotamos f divide g por f| g e f n ao divide g por f g.

Observacao

f divide g e considerado o mesmo que: f e divisor de g ou g e divisvel por f ou

g e multiplo de f.

Exemplo

Sejam f(x) = x2 e g(x) = x2 5x + 6 = (x2)(x3). Considerandoh(x) = x 3, temos queg(x) = f(x) h(x) e da conclumos que f(x)|g(x).

Teorema (Algoritmo da Divisao)

Seja Kum corpo. Dados dois polinomios f, g K[x], existe um unicoq K[x](denominadoquociente) e umunicorK[x] (denominadoresto) tais que

f =g q + r e r=0 ou r< g.

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Exemplo

Dividir f(x) =6x4 + 5x3 10x2 + 7x 8 porg(x) = x2 2x + 1.

Dividindo 6x4 por x2 obtemos 6x2. Multiplicamos 6x2 por g(x) e subtraimos o

produto de f(x). Repetimos esse procedimento ate obtermos um polinomio de graumenor do que o grau de g(x).

Obtivemos quocienteq(x) = 6x2 + 17x + 18 e resto r(x) = 26x26. Observe quef(x) =g(x) q(x) + r(x).

Razes de polinomios

SejamA um anel comutativo com unidade, f(x) =a0+ a1x + + anxn A[x] es A.

O valor de f em s, denotado por f(s), e o seguinte elemento de A: f(s) =a0+ a1s + a2s2 + + ansn.

Quando f(s) =0, dizemos que s e umaraizdo polinomio f.

Exemplo

Sejam f(x) =4 +x2 x3,r=2 es =3. Temos:

f(r) = f(2) =4 + 22

23 =0

f(s) = f(3) =4 + 32 33 =14Portanto,re uma raiz do polinomio f(x), mas snaoe.

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Proposicao

SejamA um anel comutativo com unidade, f A[x] eg = x s A[x]. O resto da divisao de f porg e igual a f(s);

f e divisvel porg se, e somente se, f(s) =0 (ou seja, s e raiz de f(x)).

Exemplos

Em [x], dados f = x2 + 5x + 3 e g = x 4, entao o resto da divisao de f porge f(4)=42 + 5 4 + 3=39.

Consideremos f(x) = x3 8 eg(x) = x 2. O resto da divisao de f(x) porg(x)e igual a f(2) =23 8=0. Isso significa que a divisaoe exata e que 2e raiz def(x)

Razes racionais

Seja anxn + +a2x2 +a1x +a0 = 0 uma equacao polinomial de coeficientes

inteiros. Se p

q for uma raiz racional dessa equacao com p, q , entao p e um

divisor dea0e q e um divisor dean.

Exemplo

Consideremos a equacao 12x6 x5 + 23x4 2x3 + 58x2 5x 5=0. Os divisores do termo independente de xsao1 e5. Os divisores do coeficiente do termo de maior grau sao1,23,4, 6 e

12. Logo, as possveis razes racionais da equacao sao:1,1

2,1

3,1

4,1

6, 1

12,

5,

5

2

,

5

3

,

5

4

,

5

6

e

5

12

.

Substituindo na equacao, verificamos que somente 13

e14

sao razes.

Exemplo

Determine todas as razes da equacao

f(x) =2x4 + 5x3 17x2 35x + 21=0.

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Solucao

Os divisores de 21 sao:1,3,7 e21 Os divisores de 2 sao:1 e2

Dividindo-se os divisores de 21 pelos divisores de 2, obtemos as possveis razesracionais da equacao dada:1,3,7,21,1

2,3

2,7

2e21

2

Por substituicao direta, temos que somente 12

e3 sao razes Da, temos que f(x) e divisvel por 2(x 1

2)(x (3))=2x2 + 5x 3.

Efetuando-se a divisao de

f(x) =2x4 + 5x3

17x2

35x + 21

por

g(x) =2x2 + 5x 3,obtemos quociente igual a (x2 7) e resto igual a zero.

As razes dex2 7 sao

7

Conclumos, entao, que todas as razes da equacao dada sao

7, 12

e3, ouseja, seu conjunto-solucao e:

S ={

7,

7,1

2, 3}

1.13 Polinomios irredutveis

Seja K um corpo e p K[x]. Dizemos que o polinomio p e irredutvel emK[x] (ouirredutvel sobre K) quandopnaoe um polinomio constante e, se existirem

f, g

K[x] tais que p = f

g, entao f e constante oug e constante. Um polinomio

que naoe irredutvel sobreKe denominadoredutvel sobreK.

Observacao

Os polinomios redutveis sobre Ksao aqueles polinomios que podem ser fatora-

dos, ou seja, escritos como produto de dois polinomios nao constantes deK[x].

Exemplos

Todo polinomio de grau 1e irredutvel em [x].

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f = x2 9 e redutvel em [x] porquee possvel escreve-lo como produto dedois polinomios nao constantes: f =(x + 3)(x 3). Note que essa fatoracao naoeunica pois temos tambem f =(2x + 6)( 1

2x 3

2), entre outras possibilidades.

Se Kfor um corpo e f(x) K[x] com f 2 possuir uma raiz r K, entaof(x) e redutvel sobre K porque pode ser escrito na forma (xr)g(x) ondeg(x) K[x] eg1.

f(x) = x2 5 e irredutvel sobre mas e redutvel sobre porque f(x) =(x

5)

[x] (x +

5)

[x].

Teorema (Criterio de Eisenstein)

Seja f(x) =anx

n

+ + a2x2

+ a1x + a0um polinomio de coeficientes inteiros. Seexistir um inteiro primoptal que

p|a0, p|a1, p|a2, , p|an1 p an p2 a0

entao f(x)e irredutvel sobre .

Exemplo

Seja f(x) =7x5 + 110x4 22x3 + 44x2 11x + 66. Considerando o primo p =11temos que p| 66, p| (11), p| 44, p| (22), p| 110, p 7 e p2 66. Logo,f(x)e irredutvel sobre , ou seja, f(x) nao pode ser fatorado como produto de dois

polinomios nao constantes de coeficientes inteiros.

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Captulo 2

Operacoes binarias

A1) Considere a operacao definida sobre o conjunto A =

{,

,

,

}cuja tabua

esta mostrada a seguir:

Verifique:a) se tem elemento neutro;

b) se e comutativa;

c) quais sao os elementos de A que sao invertveis.

Solucao:

a) Primeiramente, vamos verificar se a operacao e comutativa. Para isso, verifi-

camos que a parte da tabua que esta acima da diagonal que vai do canto superior

esquerdo ao inferior direito e simetrica com relacao a parte que esta abaixo da

diagonal.

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Como ha uma simetria entre a parte que esta acima e a que esta abaixo da

diagonal, conclumos que a operacaoe comutativa: =, =, = , etc.

b) Agora, vamos verificar se a operacao tem elemento neutro. Observamos a pri-meira linha da tabua (o cabecalho) e verificamos se ela se repete em algum

lugar. Ela se repete na linha do elemento. Isso signifca que: =, =, = e =. Logo, e um elemento neutro a esquerdapara a operacao .

Observamos novamente a tabua para ver se a primeira coluna se repete em al-

gum lugar. Verificamos que ela se repete no elemento. Isso significa que eum elemento neutroa direita. Portanto,

e o elemento neutro da operacao .

c) Como e o elemento neutro da operacao, verificamos na tabua quais sao ospares de elementos (x,y) tais que x y =.

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Temos os seguintes resultados: =, =e =. Isso significaque1 =,1 =,1 =e1 =, ou seja, todos os elementos de Asaoinvertveis.

A2)Considere a operacao (estrela) definida sobre o conjunto B ={1, 2, 3, 4, 5}cuja tabua esta mostrada a seguir:

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2

3 1 2 3 3 3

4 1 2 3 4 4

5 1 2 3 4 5

Verifique se tem elemento neutro, se e comutativa e quais sao os elementos de B

que sao invertveis.

Solucao:

A primeira linha da tabela se repete na ultima linha, a linha que correspondeao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete tambem na coluna que

corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 e o unico elementoneutro dessa operacao.

A tabela e simetrica com relacao a diagonal que inicia na parte superior es-querda e termina na parte inferior direita. Logo, a operacaoe comutativa.

O elemento neutroeaparece na tabua apenas umaunica vez, como resultado daoperacao 55 =5 =e. Isso significa que o 5e ounico elemento invertvel e o

inverso do 5e igual a ele mesmo.

A3)SejamA ={0, 1, 2, 3, 4} e as operacoesedefinidas por x y = resto da divisao de xypor 5; x y = resto da divisao de x +ypor 5.

Construa a tabua dessas duas operacoes sobre o conjuntoA.

Solucao: Alguns exemplos:

3 4= resto da divisao de 12 por 5 =2,

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2 3= resto da divisao de 6 por 5 =1, 4 3= resto da divisao de 7 por 5 =2, etc.

Prosseguindo dessa forma, obtemos as seguintes tabelas:

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

A4) Seja X =

{1, 2, 3

}e

F o conjunto de todas as funcoes f : X

Xque sao

constantes. Construa a tabua da operacao de composicao de funcoes definida emFe verifique se tem elemento neutro.

Solucao: Como Xso tem 3 elementos, entao so podem existir 3 funcoes cons-

tantes definidas deXemX:

f1 : XX, f1(x) =1;

f2 : X

X, f2(x) =2;

f3 : XX, f3(x) =3;Agora, observe que (f1 f2)(x) = f1(f2(x)) = f1(2) = 1 = f1(x); logo, f1 f2 = f1.De modo analogo, obtemos: f1 f3 = f1, f2 f3 = f2, etc. Resumimos tudo isso naseguinte tabela:

f1 f2 f3f1 f1 f1 f1f2 f2 f2 f2f3 f3 f3 f3

Observando a tabua, vemos que a primeira linha da tabua (o cabecalho) nao se repete

em lugar algum; logo, a operacaonao tem elemento neutroa esquerda. Por outro

lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tabua; isso significa que a

operacao tem 3 elementos neutrosa direita: f1, f2 e f3. Conclumos entao que a

operacao nao tem elemento neutro.

A5)Considere a seguinte operacaodefinida sobre o conjunto dos numeros racio-nais:

x y = x +y2

.

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Verifique se e comutativa, se e associativa, se tem elemento neutro e se existemelementos invertveis.

Solucao:

Para quaisquer x,y , temos xy = x+y2 = y+x2 = y x, logo, a operacao ecomutativa.

1 (2 3) =1 2+32

=1 52

= 1+ 5

2

2 = 7

4e (1 2) 3= 1+2

2 3 = 3

2 3=

32

+3

2 = 9

4;

logo, 1 (2 3) (1 2) 3 e da conclumos que a operacao naoe associativa. Suponhamos queeseja o elemento neutro dessa operacao. Entao, por exemplo,

e0 = 0 e e1 = 1 e+02

= 0 e e+12

= 1, ou seja, e = 0 e e = 1, o que e

impossvel. Logo, a operacao nao tem elemento neutro.

Se a operacao nao tem elemento neutro, entao nao faz sentido a definicao deelemento invertvel.

A6) Considere a seguinte operacao definida sobre o conjunto dos numeros reaisnao negativos:

x y = x2 +y2.

Verifique se e comutativa, se e associativa, se tem elemento neutro e se existemelementos invertveis.

Solucao:

Para quaisquer x,y+temos x y =

x2 +y2 =

y2 +x2 =y x. Logo, aoperacao e comutativa.

Para quaisquerx,y,z

+temosx

(y

z) = x

y2 +z2 = x2 + ( y2 +z2)2

=x2 +y2 +z2 e (xy)z =

x2 +y2z =

(x2 +y2

)2+z2 =

x2 +y2 +z2.

Logo, (x y) z = x (y z) o que significa que e associativa. Supondo que e seja o elemento neutro, temos e x = x, ou seja,

e2 +x2 =

x para todo x real nao negativo. Elevando a ultima igualdade ao quadrado,

obtemos: e2 +x2 = x2 e, da, chegamos ae2 = 0, ou seja, e =0. Assim, o zero

e o elemento neutro da operacao. Vejamos: x 0 =

x2 + 02 =

x2 = xpara

todoxreal nao negativo.

Dado um real nao negativoa, seu inverso (simetrico) e o real nao negativob talqueab=0 = elemento neutro. Da, obtemos que

a2 + b2 =0 o que implica

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a2 +b2 = 0. A unica possibilidade para a ultima equacao e a = 0 e b = 0.

Assim, ounico elemento invertvele o zero e o inversoe ele mesmo.

A7)Considere a seguinte operacao

definida sobre o conjunto dos numeros reais:

x y =2xy.

Verifique se e comutativa, see associativa e se tem elemento neutro.

Solucao:

Para quaisquer x,y , temosx y =2xy =2yx =y x. Logo, e comutativa.

0(12)=20(1

2)

=20

=1 e (01)2=201

2=20

2=12 =212

=22

=4.Logo, 0 (1 2) (0 1) 2 o que significa quenaoe associativa.

Suponhamos que exista um elemento neutroepara essa operacao. Entao, deve-mos tere x = xpara todo x. Da, temos 2ex = x. Escolhendo dois valoresdistintos para x, por exemplo, x = 1 e x = 2, substituindo na equacao anterior,

obtemos: 2e = 1 e 22e = 2 que implicam em e = 0 e 2e = 1 quee um absurdo.

Logo, nao existe elemento neutro para essa operacao.

A8)Sendoa, b , mostre com detalhes que (a + b)2 =a2 + 2ab + b2 identificandotodas as propriedades da adicao ou multiplicacao utilizadas. O quadrado dex, deno-

tado por x2 e definido como sendo igual a x x.

Solucao:

(a + b)2 =(a + b) (a + b)(definicao de quadrado) (a+b)(a + b)

z

=a (a + b)z

+b (a + b)z

(distributividade a direita da multiplicacao

com relacao a adicao)

a(a + b) + b(a + b) =(a a + a b) + (b a + b b)(distributividade a esquerdada multiplicacao com relacao a adicao)

(a a + a b) + (b a + b b) =(a2 + a b) + (a b + b2)(definicao de quadradoe comutatividade da multiplicacao)

(a2 + ab)x

+(ab + b2) =((a2 + ab)x

+ab) + b2 (associatividade da adicao)

33


38/136

((a2 + ab) + ab) + b2 =(a2 + (ab + ab)) + b2 (associatividade da adicao) (a2 + (ab + ab)) + b2 =(a2 + 2ab) + b2

(a2 + 2ab) + b2 =a2 + 2ab + b2 (associatividade da adicao)

Observacao.O objetivo deste exerccioe mostrar que varias propriedades da adicaoe da multiplicacao estao escondidas em uma formula tao conhecida como essa do

quadrado da soma. E essencial, por exemplo, a multiplicacao ser comutativa para

que a formula seja valida. Por exemplo, com matrizes quadradasAe Bnaoe valida

a formula (A +B)2 = A2 + 2AB +B2 em geral.

B1) Quantas operacoes diferentes e possvel definir em um conjunto A que tenha

exatamenten elementos? Entre essas operacoes, quantas sao comutativas?

Solucao: Uma operacao fica perfeitamente determinada se conhecermos sua

tabua. Se o conjunto A ={a1, a2, , an}tem n elementos, entao definir a operacaoe atribuir um valor a cadana seguinte tabua:

a1 a2 ana1 a2 ...

...

...

.. .

...

an Como a quantidade total dee n2, e cada uma pode ser preenchida com n opcoes,entao ha um total den n n . . . n

n2 fatores

=n(n2) possveis operacoes.

Se a operacao for comutativa, entao ao preenchermos a diagonal e a parte acima

da diagonal, a operacao ja fica determinada. A parte que esta abaixo da diagonal

fica determinada por simetria. O total deque esta na diagonal e acima dela e de

1 + 2 + 3 + + n, ou seja, n(n+1)

2 . Como cadapode ser preenchida com n opcoes,temos que o total de operacoes comutativase den n n n

n(n+1)

2 fatores

=nn(n+1)

2 operacoes.

Observacao. A quantidade de operacoese um numero gigantesco, mesmo para va-

lores pequenos de n. Por exemplo, quando n = 4 ha um total de n(n2) = 416 =

4294967296 (mais de 4 bilhoes) operacoes que podem ser definidas; entre elas, um

total denn(n+1)

2 =410 =1048576 (mais de 1 milhao) sao comutativas.

B2)Determinea, b, c para que a operacaosobre definida porx y =a x + by + cxy

34


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tenha elemento neutro.

Solucao: Suponhamos que o elemento neutro dessa operacao sejae. Entao, por

exemplo, temos quee 0 = 0 e tambem 0 e = 0. Usando a definicao de, temos:

ae+

b 0+

ce 0=

0 ea 0+

be+

ce 0=

0, ou seja,ae=

0 ebe=

0. Comoe e=

e,devemos ter tambem queae + be + ce2 =ece2 =e. (1 caso) Suponhamose 0. Entao a partir deae =0 ebe =0, obtemosa =0

eb = 0. A partir de ce2 = e, obtemosce = 1, ou seja, c 0 e e = 1c

. Assim,

neste caso, a operacao fica definida como sendo x y = cxy, ondec e qualquernumero real nao nulo.

(2 caso) Suponhamose = 0. A partir de 1 * 0 =1 obtemos a +0 +0 =1 e apartir de 0 * 1 = 1 obtemos 0 + b + 0 = 1. Portanto, devemos ter a = 1 e b = 1.

Portanto,x y = x +y + cxy.Conclumos dessa forma que a operacaotem elemento neutro quandoa = b = 0 ec 0 (neste caso, o elemento neutroe 1

c) ou quandoa = b = 1 ec (neste caso,

o elemento neutroe o zero).

B3)Verifique se a operacaosobre definida por(a, b)

(c, d) = (ac, ad+ bc)

e comutativa, se existe elemento neutro e determine todos os elementos invertveis.

Solucao:

Para quaisquer (a, b) e (c, d) pertencentes a temos(a, b)(c, d) = (ac, ad+ bc) = (ca, cb +da) = (c, d)(a, b), logo, e co-mutativa.

Suponhamos que a operacao tenha elemento neutro e = (e1, e2). Entao, sex = (a, b) for um elemento generico de , temos que ex = x, isto e,(e1, e2) (a, b) =(a, b) (e1a, e1b + e2a) =(a, b) e1a =a,e1b + e2a=b. Emparticular, escolhendo (a, b) = (1, 1), temose1 = 1,e1 + e2 = 1 o que implica

eme2 = 0. Logo,e = (1, 0) e um candidato a elemento neutro da operacao.

Vejamos: e x = (1, 0)(a, b) = (1a, 1b +0a) = (a, b). Logo, (1, 0)erealmente o elemento neutro da operacao.

Dado (a, b)

, se (x,y) for o elemento inverso de (a, b), entao deve-

mos ter (a, b) (x,y) = (1, 0) = elemento neutro (ax, ay + bx) = (1, 0) ax = 1, ay + bx = 0. Como a e x sao inteiros, entao ax = 1 implicaa=1,x =1 oua =1,x =1.

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40/136

(1 caso:) Se a = 1 e x = 1, entao 1y +b1 = 0 y =b. Logo, oinverso de (1, b)e o elemento (1, b).

(2caso:) Sea =1 e x =1, entao 1 y + b (1) =0 y =b. Assim,o inverso de (1, b)e o elemento (1, b).

Conclumos dessa forma que os elementos invertveis sao da forma (1, b) ou(1, b), com b e seus inversos sao dados por: (1, b)1 = (1, b) e(1, b)1 =(1, b).

C1)Seja Eum conjunto com uma operacaoque admite elemento neutro. Mostreque e comutativa e associativa se, e somente se, x (yz) =(xz)ypara quaisquerx,y,z E.

Solucao: () Suponhamos comutativa e associativa. Entao para quaisquerx,y,z Etemos

x (y z) = x (z y)(porque e comutativa) x (z y) =(x z) y (porque e associativa) Logo, x (y z) =(x z) y.

() Suponhamos x(yz) = (xz)y para quaisquer x,y,z E. Em particular,escolhendo x = e = elemento neutro, temos que e(yz) = (ez)y, ou seja,

yz = zy para quaisquer y,z E. Isso significa que a operacaoe comutativa.Como x (y z

zy) = (x z) y x (z y) = (x z) ypara quaisquer x,y,z E.

Logo, e associativa.

C2)Uma operacao

em um conjunto E

e denominadatotalmente nao associa-

tivaquando

(x y) z x (y z),x,y,z E.a) Mostre que se e totalmente nao associativa, entaonao e comutativa;b) Mostre que a potenciacao a b = ab e totalmente nao associativa em

E={n |n3}.

Solucao:

36


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a) Sejam E e = . Como e totalmente nao associativa, temos que(

) (

), ou seja, o que mostra que nao e

comutativa.

b) Suponhamos que existissem tres inteiros a, b, c maiores ou iguais a 3 tais que

(a b) c =a (b c), ou seja, (ab)c =a(bc) quee equivalente aa(bc) =a(bc). Da,obtemosbc = bc. Resta mostrar agora que essa ultima igualdadee impossvel

seb e c forem inteiros maiores ou iguais a 3. Consideremos, entao, dois casos:

b< c e bc. Seb < c, multiplicando porc, obtemos: bc < c2 bc < c2 3c < c2 e

essa desigualdadee impossvel sec3.

Seb

c, entao multiplicando porb, obtemos: b2

bc

b2

bc

2

c

que tambeme impossvel.

37


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Captulo 3

Grupos e subgrupos

A1)Consideremos o conjunto com a operacao

definida por x

y = x+y

5

para quaisquerx,y . Mostre queG =(, ) e um grupo abeliano.

Solucao: Inicialmente, vamos mostrar que a operacao e associativa, tem ele-mento neutro e todo elemento deG tem inverso.

Para quaisquerx,y,zG, temos: x (y z) = x (y +z 5) = x + (y +z 5) 5 = x +y +z 10

(x

y)

z =(x +y

5)

z =(x +y

5) +z

5 = x +y +z

10

Logo, x (y z) =(x y) z. Suponhamos quetenha elemento neutro e. Entaoe x = xpara todo x

o que implica em e + x5 = x de onde obtemos e = 5. (Podemos agoracomprovar que e = 5 e realmente o elemento neutro dessa operacao: ex =5 x =5 +x 5 = x e x e = x + 5 5= x para todo x .)

Dado x , vamos determinar y = x1. Por definicao, temos xy = e, ouseja, x +y5 = 5. Da, obtemos que y =x +10, isto e, x

1

=x +10.(Comprovando: xx1 = x(x +10) = x +(x + 10)5 = 5 = e ex1 x =(x + 10)x =(x + 10) +x5=5 =5. Logo,(x + 10)e realmenteo inverso de x com relacao a operacao.)

Agora, vamos mostrar quee comutativa: x y = x +y 5=y +x 5=y x para quaisquer x,yG.

Fica mostrado assim que (G,

)e um grupo abeliano.

38


43/136

A2)Consideremos o conjuntoA ={a + b

3 |a, b }.a) De exemplo de elementos desse conjunto;

b) Verifique se ele e fechado com relacao a operacao de multiplicacao usual dos

numeros reais;

c) Verifique seA e um grupo multiplicativo abeliano.

Solucao:

a) Todo racional nao nulo como 1, 1, 12

, 37

pertencem ao conjunto A. Alem des-

ses, qualquer combinacao do tipo a+ b

3 0 com a, b como 1+ 2

3,

3, 5

3,

8

4

3, 1

3+ 11

9

3 tambem pertencem a A.

b) Sejam x = a + b

3 e y = c + d

3 dois elementos de A. Vamos verificar

se o produto xy tambem pertence a A. Usando as diversas propriedades da

adicao e da multiplicacao usuais em , podemos desenvolver o produto xy da

seguinte forma: xy =(a + b

3)(c + d

3) =ac + ad

3 + bc

3 + bd(

3)2 =

(ac + 3bd

) + (ad+ bc

)

3 A. Logo,A e fechado com relacaoa multiplicacao.

c) Como a multiplicacao e associativa em , ou seja, x(yz) = (xy)zpara quaisquer x,y,z , temos que, em particular, a multiplicacao eassociativa emA , ou seja,x (y z) =(x y) zpara quaisquerx,y,z A.

O elemento neutro da multiplicacao emA e o 1 A. Dadox =a+b

3 A vamos verificar se existey A tal quexy =y x =1.

Para verificar se y = 1x

= 1a+b

3

A, racionalizamos o denominador de y,multiplicando numerador e denominador por (a b

3):

y =

1

(a

b

3)

(a + b 3)(a b 3) =a

b

3

a2 3b2 = a

a2 3b2

+

(

b)

a2 3b2

3 A.

Como a multiplicacaoe comutativa em entao, em particular, tambemecomutativa emA, ou seja, x y =y x para quaisquer x,y A.

Portanto, fica mostrado assim que (A, )e um grupo abeliano.

39


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A3)SejaF ={f : | f(x) = ax + b, a, b , a 0}. Mostre queF e umgrupo nao abeliano com relacaoa composicao de funcoes.

Solucao:

Para quaisquer funcoes f, g, hde em , temos que f (g h) = (f g) h.Logo, em particular, a composicao de funcoes e associativa sobre o conjunto

F. Quando a = 1 e b = 0 temos que f(x) = x F e o elemento neutro da

composicao de funcoes.

Dada f(x) = ax +b com a, b e a 0, a funcao inversa de f e a funcaof1 : definida por f1(x) = 1

ax b

aquee um elemento deF.

Dadas f, g F definidas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d temos que(f g)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b) e(g f)(x) = g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = (ac)x + (bc + d) deonde percebemos que, em geral, f g g f. Portanto, a operacaonao ecomutativa sobreF.Outra opcao seria escolher um contra-exemplo para mostrar quenao e comu-tativa, por exemplo, f(x) =2x + 1 eg(x) =3x 4 temos (f g)(x) = 6x 7 e(g

f)(x) =6x

1.

A4)De exemplo de um grupoG e elementos x,yG tais que (xy)1 x1y1.

Solucao: No grupoG = GL2() escolhamos dois elementos como por exemplo

x =

2 1

3 0

e y =

0 1

5 7

. Entao x1 =

0 1

3

1 23

, y1 =

75

15

1 0

,

x1

y1

= 13 03115

15

, xy = 5 90 3 , (xy)1 = 1

5 3

50 13

. Logo, (xy)1 x1y1.Observacao. Se M =

a b

c d

GL2(), entao M1 = 1det(M)

d bc a

=

dadbc

badbcc

adbca

adbc

.

Observacao. Como (xy)1 x1y1 y1x1 x1y1, temos que esse tipo deexemplo soe possvel com grupos nao abelianos.

40


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A5)Sejama, b, celementos de um grupo (G, ) com elemento neutro e. Determineas solucoesxG das seguintes equacoes:

a)c1 x c =e b)b x b1 =bc)c x a c =b d)a b1 x b a1 =a b

Solucao:

a) Multiplicando por c a esquerda e por c1 a direita, obtemos: c1 xc = e c c1

= e

xc c1= e

= c e c1= e

x = e. Neste caso, o uso de parentesespode ser eliminado porque a operacao e associativa.

b) Multiplicando por b1 a esquerda e por b a direita, obtemos: b xb1 = bb1 b= e x b

1 b= e =b1 b= e b x =b.

c) Multiplicando por c1 a esquerda e a direita, obtemos: cxac = bc1 c

= e

x a c c1= e

=c1 b c1 x a=c1 b c1. Multiplicando por

a1 a direita, obtemos x a a1= e

=c1 b c1 a1 x =c1 b c1 a1

e a unica solucao da equacao.

d) Multiplicando pora1 a esquerda e pora a direita, obtemos: ab1xba1 =ab a

1

a

= e

b1

xba1

a

= e

=a1

a

= e

ba1

b1

xb=ba1

. Mul-

tiplicando porb a esquerda e por b1 a direita, obtemos: b b1= e

xb b1= e

=

b b a1 b1 x = b b a1 b1. Denotandob bpor b2 temos que asolucao dessa equacao tambem pode ser escrita na forma x =b2 a1 b1.

Observacao. Nao podemos mudar a ordem dos fatores em cada caso porque nao

sabemos se a operacaoe comutativa. Dessa forma, naoe correto escrever a solucao

daultima equacao como sendo x = ba1 depois do cancelamento errado de b2comb1.

A6) Determine x S5 que seja solucao da equacao a2xb1 = c, ondea=

1 2 3 4 5

4 5 1 2 3

,b =

1 2 3 4 5

1 2 4 3 5

e c =

1 2 3 4 5

5 4 3 1 2

.

Solucao: A equacao dadae aaxb1

= c. Multiplicando pora1

a1

a esquerdae por b a direita, obtemos: a1 a1a

= e

ax b1b= e

= a1a1cb a1a= e

x = a1a1cb

41


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x =a1a1cb. Para calculara1, basta trocar as linhas e, depois, reordenar as co-lunas: a1 =

4 5 1 2 3

1 2 3 4 5

=

1 2 3 4 5

3 4 5 1 2

.Assim, podemos agora calcular

o valor dex:

Seguimos os seguintes caminhos, comecando sempre na permutacao maisa direita

e terminando na que estiver mais a esquerda:

11, 15, 52, 24; logo, x: 14.

22, 24, 41, 13; logo, x: 23. 34, 41, 13, 35; logo, x: 35. 43, 33, 35, 52; logo, x: 42. 55, 52, 24, 41; logo, x: 51.

Portanto,

x = 1 2 3 4 5

4 3 5 2 1 .

A7)Seja (G, ) um grupo para o qual (xy)2 = x2 y2,x,y G. Mostre queG eabeliano.Observacao: Se aG, entao a2 e o mesmo que a a.

Solucao: Para quaisquer x,y G, a igualdade dadae equivalente a xy xy = xxyy. Multiplicando por x1 a esquerda e por y1 a direita, obtemos:x

1

x

= e

y x y y1

= e

= x1

x

= e

x y y y1

= e

y x = x y. Como xe y sao doiselementos genericos, conclumos que o grupo e abeliano.

A8)Seja (G, ) um grupo com elemento neutroepara o qual x2 =e, xG. MostrequeG e abeliano.

Solucao: Sejam x,ydois elementos genericos deG. Por hipotese, neste grupo,

todo elemento elevado ao quadradoe igual ao elemento neutro, logo, x2 = e,y2 = e

e (x y)2 =e. Como (x y)2 =e e o mesmo que x y x y =e, multiplicando por x

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a esquerda e pory a direita, obtemos x x= e

y x y y= e

= x e yy x = x y.

Logo,G e abeliano.

A9)Em cada caso, verifique se He subgrupo deG.a) H={x | x> 0},G =(, )b) H={x | x< 0},G =(, )c) H={7k|k },G =(, +)d) H={a + b

2 |a, b },G =(, )

e) H=

{a + b

3

2

|a, b

},G =(,

)

f) H={a + b 32 |a, b },G =(, +)

Solucao: Se H nao for um subgrupo de G, entao apresentamos um contra-

exemplo como justificativa. Se Hfor subgrupo deG, entao mostramos que ele naoe

vazio e quea, bHa b1 H.a) H porque, por exemplo, 1 H. Sejam a = p

q e b = r

sdois elementos

genericos deHcom p, q, r,s . Entaoa b1

=(p

q ) (rs )

1

= p

q sr =

ps

qr H.Logo,He subgrupo deG.

b) H nao e fechado com relacao a multiplicacao usual dos numeros reais. Por

exemplo, 2He 5 H, mas (2) (5)=10 H. Logo,Hnao e subgrupodeG.

c) H e o conjunto de todos os multiplos de 7. H , porque, por exemplo,14H. Sejama, b H. Entaoa =7meb =7nondem, n . Da, temos quea + (b) = ab = 7m7n = 7(mn) tambem e um multiplo de 7, ou seja,a b H. Logo,He um subgrupo deG.

d) Escolhendo, por exemplo, a = 1 e b = 2, obtemos que 1 + 2

2 H. Logo,H . Sejam = a+b

2 e = c +d

2 dois elementos genericos de H,

com a, b, c, d . Entao, 1 =

= a + b

2

c + d

2=

(a + b

2)(c d

2)

(c + d

2)(c d

2)=

(ac 2bd) + (bc ad)

2

c2

2d2

= ac 2bd

c2

2d2

+ bc adc2

2d2

2 H. Logo, H e sub-

grupo de G. Note que para mostrar que1 H e indispensavel usar aracionalizacaodo denominador da fracao.

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e) H nao e fechado com relacao a multiplicacao usual dos numeros reais. Por

exemplo, 3

2 He 2 3

2 H, mas ( 3

2)(2 3

2) = 2 3

4 H. Logo, Hnao e

subgrupo deG.

f) Hporque, por exemplo, 4 5 3

2H. Sejam =a + b 3

2 e = c + d

2

dois elementos de H, onde a, b, c, d . Temos que + () = =(a + b

32) (c + d 32)= (a c)

+ (b d)

32 H. Logo,He subgrupo deG.

A10) Uma funcao f : chama-separquando f(x) = f(x),x . Veri-fique se o conjunto P de todas as funcoes pares de em e um subgrupo de (, +).

Solucao: Considerando f(x) = x2, temos queP

. Sejam f, g

P. Vamos

verificar se f +(g) = f g P. Como f e g sao pares, temos f(x) = f(x) eg(x) =g(x). Da, temos que (fg)(x) = f(x)g(x) = f(x)g(x) =(fg)(x),x . Logo, f g Pe conclumos queP e um subgrupo de (, +).Observacao. De modo analogo, temos tambem que o conjunto das funcoes mpares

(f(x) =f(x),x)e um subgrupo de (, +).

B1) Seja E o conjunto dos numeros reais nao negativos e a operacao sobre Edefinida por:

x y = x +y1 +xy

.

a) Verifique se a operacao e associativa;b) Verifique se (E, )e um grupo.

Solucao:

a) Sejama, b, c E= +. Temos que:

a (b c) = a+(bc)1+a(bc) =

a+ b+c1+bc

1+a b+c1+bc

= a+abc+b+c1+bc+ab+ac

(a b) c = (ab)+c1+(ab)c =

a+b1+ab

+c

1+c a+b1+ab

= a+b+c+abc1+ab+ac+bc

Logo, a operacao e associativa sobre o conjuntoE.b) Como a operacao e associativa, para (E, ) ser um grupo, precisa ter ele-

mento neutro e todo elemento deve ser invertvel.

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Seja xE. Temos que x 0 = x+01+x0 = x e 0 x = 0+x1+0x = x. Logo, o zero

e o elemento neutro de. Dado x E, suponhamos que exista y = x1 E tal que xy = 0 =

elemento neutro de. Entao x+y1+xy

= 0 x+y = 0 y =x. A unicapossibilidade de se ter x

+ey

+ e quando x = y =0. Isso significa

que ounico elemento invertvele o zero.

Logo,Enaoe um grupo com a operacao.

B2) Sejam H1 e H2 subgrupos de um grupo G. Mostre que a intersecao H1H2tambeme um subgrupo deG.

Solucao: Como H1 e H2 sao subgrupos de G, cada um deles deve conter o elemento

neutroe G, ou seja, e H1 ee H2. Logo, e H1H2 o que mostra queH1H2 .

Sejama, b H1H2. Entao,a, b H1 ea, b H2. Como H1 e subgrupo deG, a, b H1 ab1 H1. De modo analogo,a, b H2 ab1 H2.Portanto,a b1 H1H2.

Fica mostrado dessa forma que H1H2 e um subgrupo deG.

B3)De exemplo de dois subgruposH1eH2de um grupo Ge tais que a uniaoH1H2nao seja subgrupo deG.

Solucao: SejaG = (, +) o grupo aditivo dos inteiros. Para todo n fixado,o conjunto dos multiplos de n e um subgrupo de . EscolhamosH1 como sendo o

conjunto dos multiplos de 3 eH2como sendo os multiplos de 5. H1

H2 e o conjunto

dos inteiros que sao multiplos de 3 ou de 5:

H1H2 ={0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, }O conjuntoH1 H2naoe fechado com relacaoa soma (por exemplo, 3 H1 H2e5H1 H2, mas 3 + 5 =8 H1 H2) e, consequentemente, naoe um subgrupo deG.

B4)Verifique se R, o conjunto das matrizes da forma cos() sen() sen() cos() com ,e um subgrupo do grupo multiplicativoGL2().

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Solucao: E claro que R porque basta escolher qualquer valor parapara ob-

termos um elemento de R. Por exemplo, escolhendo =0, obtemos

cos 0 sen 0

sen 0 cos 0

= 1 0

0 1 R.Sejam A =

cos() sen()

sen() cos()

e B =

cos() sen()

sen() cos()

dois elementos deR.

EntaoB1 =

cos() sen()sen() cos()

eAB1 =

cos() sen()

sen() cos()


,

ou seja,AB1 =

cos() cos() + sen() sen() sen() cos() cos() sen()cos() sen() sen() cos() cos() cos() + sen() sen()

que

e equivalente a AB1 = cos( ) sen( )

sen(

) cos(

) . Como , temos queAB1 R. Portanto,R e um subgrupo deGL2().Observacao. Essas matrizes que formam o conjuntoR sao conhecidas pelo nomedematrizes de rotacaoporque ao multiplicarmos um ponto P = (x,y) do plano por

M=


, o resultado corresponde a um ponto P = P Mquee igual

ao pontoP rotacionado deradianos em torno da origem.

B5) Identifique todos os elementos invertveis de 12 com relacao a multiplicacao

x y = xy.

Solucao: Suponhamos que a 12seja invertvel e seja bo seu inverso multipli-cativo. Entao a b= 1 = elemento neutro de 12, temos queab = 1ab 1=12k,ondek ab12k=1. Conseguimos assim uma combinacao linear dos inteirosae 12 dando 1 como resultado. Portanto, mdc(a, 12)=1.

Por outro lado, se mdc(a, 12) = 1, entao existem x,y tais queax + 12y = 1ax + 12y = 1 a x + 12y

= 0

= 1 a x = 1, ou seja, a e invertvel.

Assim, mostramos que a 12 e invertvel se, e somente se, mdc(a, 12) = 1. Con-clumos entao que os elementos invertveis de 12 sao 1,5,7 e 11. Como 1 1 = 1,5 5= 1 e 7 11= 1 temos que (1)1 = 1, (5)1 = 5, (7)1 =11 e (11)1 = 7.Observacao. Seja a 12 tal que mdc(a, 12) > 1, por exemplo, a = 3. Entao,dividindo 12 por mdc(a, 12) obtemos 4 como quociente, ou seja, 34 = 12. Da,3 4 =12, istoe, 3 4 = 0. Se3 fosse invertvel em 12, obteramos (3)1 (3 4) =(3)1 0((3)1 3)

= 1

4 = 0 4 = 0 o quee absurdo. Fica mostrado assim que 4

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naoe invertvel. Da mesma forma, poderia ser mostrado tambem que2, 3, 6, 8, 9 e

10 nao sao invertveis.

Observacao. Este exerccio pode ser generalizado: um elemento a n e invertvelse, e somente se, mdc(a, n) =1.

B6) Suponhamos Hum subgrupo do grupo aditivo . Mostre que existen talque H ={kn|k }, istoe, existe um numero natural n tal que He formado portodos os multiplos den.

Solucao:

Se H =

{0}, entao basta considerar n = 0: neste caso, todo elemento de H e

multiplo de 0.

SuponhamosH{0}. Sejarum elemento nao nulo deH. ComoHe um grupo,x H x H. Assim, Hcontem inteiros positivos. Sejan o menor inteiropositivo de H. Se h for um elemento positivo de H, entao, dividindo h porn

obtemos um quociente q e um resto rtal que 0 r < n, ou seja, h = nq+ r.Da, obtemos quer = hnq. Como h Henq H, temos que r H. Naopodemos terr> 0 porque assim rseria um elemento positivo menor do quen

(nao pode porquen e o menor elemento elemento positivo de H). Conclumosentao quer=0, ou seja, queh =nq. Isso mostra queh e multiplo den.

Sehfosse negativo, entao h> 0 e da hseria um multiplo deno que implicaqueh tambeme multiplo den.

Sehfor um elemento generico de H, ficou mostrado que em qualquer situacaoh e

multiplo de um numero naturaln. Isso significa que H={kn|k }.

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Captulo 4

Homomorfismos, isomorfismos, grupos

cclicos

A1)Em cada caso, verifique se f :G Je um homomorfismo.a) G =(, +), J=(, +), f(x) =7x

b) G =(, +), J=(, +), f(x) =7x + 1

c) G =(, +), J=(, +), f(x) =7x2

d) G =(, +), J=(, +), f(x) =|x|

e) G =(, ), J=(, ), f(x) =|x|f) G =(, +), J=( , +), f(x) =(2x, 3x)g) G =( , +),J=(, +), f(x,y) =4x 5yh) G =(GL2(), +), J=(Z, +), f(X) =tr(X) = traco de X

A operacao de adicao em dos itens f) e g) e definida da seguinte forma:(a, b) + (c, d) =(a + c, b + d) para quaisquera, b, c, d

.

Solucao: Se ffor um homomorfismo, devemos mostrar que f(xy) = f(x)f(y),x,y G. Se f nao for homomorfismo, devemos mostrar um contra-exemplo, ouseja, escolher valores particulares dea, bG tais que f(a b) f(a)f(b). Aqui,representa a operacao deG e e a operacao de J.

a) Para quaisquer x,y , temos: f(x + y) = 7(x + y) = 7x + 7y = f(x) + f(y).Logo, f e um homomorfismo de em .

b) Neste caso, temos por exemplo que f(1) =8, f(2)=15, f(1 + 2) = f(3) =22 e

f(1) + f(2) =23. Logo, f(1 + 2) f(1) + f(2). Logo, f naoe homomorfismo.

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c) Por exemplo, f(1) = 7, f(3) = 63, f(1 + 3) = f(4) = 112 e f(1) + f(3) = 70.

Logo, f(1 + 3) f(1) +f(3) e da temos que f naoe homomorfismo de grupos.

d) Por exemplo, f(2)=2, f(2) =2, f(2+2)= f(0) =0, f(2)+f(2)=2 +2 =4. Logo, f(2 + 2) f(2) + f(2) f nao e homomorfismo.

e) Para quaisquer x,y, temos f(x y) =|x y| =|x| |y| = f(x) f(y). Logo, fe um homomorfismo deG em J.

f) Sejamx,y . Temos que: f(x +y) =(2(x +y), 3(x +y)) =(2x + 2y, 3x + 3y).Por outro lado, f(x) + f(y) = (2x, 3x) +(2y, 3y) = (2x +2y, 3x +3y). Logo,

f(x+y) = f(x)+f(y) de onde conclumos que fe um homomorfismo de grupos.

g) Sejam (a, b) e (c, d) dois elementos genericos de . Temos:f(a, b) + f(c, d) = (4a5b) + (4c5d) = 4a + 4c5b5d. Por outrolado, f((a, b) + (c, d)) = f(a + c, b + d) =4(a + c) 5(b + d) =4a + 4c 5b 5d.Logo, f((a, b) + (c, d)) = f(a, b) + f(c, d) f e homomorfismo deG em J.

h) Para quaisquer X =

a b

c d

G e Y =

r s

t u

G, temos: X + Y =

a + r b +s

c + t d+ u

e f(X) + f(Y) =tr(X) + tr(Y) =(a + d) + (r+ u) =a + d+ r+ u.

Por outro lado, f(X+ Y) =tr(X+ Y) =(a + r) + (d+ u) =a + r+ d+ u. Logo,

f(X+ Y) = f(X) + f(Y)

fe um homomorfismo de grupos. (OBS.: O traco de

uma matriz quadrada e definido como sendo a soma dos elementos da diagonalprincipal).

A2) Considere G = com a seguinte operacao de adicao: (a, b) + (c, d) =(a + c, b + d). Mostre que f :GG, f(x,y) = (0, 3x + 5y) e um homomorfismo,determine seu nucleo e de alguns exemplos de elementos de N(f).

Solucao: Sejam (a, b), (c, d)G. Temos: f((a, b) + (c, d)) = f(a + c, b + d) =(0, 3(a +c) +5(b +d)) = (0, 3a + 3c + 5b + 5d) = (0, (3a +5b) +(3c + 5d)) =

(0, 3a + 5b) + (0, 3c + 5d) = f(a, b) + f(c, d). Logo, f e um homomorfismo.

Se (x,y) N(f), entao f(x,y) = (0, 0) = elemento neutro do contradomnio de f(0, 3x + 5y) =(0, 0)3x + 5y =0, de onde conclumos que

N(f) ={(x,y) |3x + 5y =0}.Por exemplo, (0, 0), (5, 3), (5, 3), (10, 6) N(f).

A3)SejamG = (GL3(), ), J = (, ) e f : G Jdefinida por f(X) = det(X) =determinante deX.

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a) Mostre que f e um homomorfismo;

b) DetermineN(f) e de exemplo de elementos do nucleo de f.

Solucao: a) Sejam X, Y

G. Temos: f(XY) = det(XY) = det(X) det(Y) =

f(X)f(Y).Fica mostrado dessa forma que f e um homomorfismo de grupos.

b) Seja A um elemento generico do nucleo de f. Entao, A e uma matriz quadrada

3 3 tal que f(A) =det(A) =1 = elemento neutro de J. Portanto,

N(f) ={AGL3()| det(A) =1}.

Assim, qualquer matriz 33 de elementos reais cujo determinante seja igual a 1

pertencem ao nucleo de f. Por exemplo, 1 0 0

0 1 00 0 1

, 2 0 0

7 3 05 4 1

6

e 1 0 00 9 100 1 1

pertencem aN(f).

A4)Mostre que um grupo G e abeliano se, e somente se, f : G G definida porf(x) = x1 e um homomorfismo.

Solucao: () Suponhamos G um grupo abeliano e sejam x,y G. Entao,f(xy) =(xy)1 =y1x1 =x1y1 = f(x)f(y).Logo, f e um homomorfismo.() Suponhamos que fseja um homomorfismo deG emG. Entao, para quaisquerx,y G, temos: f(xy) = f(x)f(y) (xy)1 = x1y1. Calculando-se o inversode cada membro da igualdade anterior, obtemos: ((xy)1)1 = (x1y1)1 xy =(y1)1(x1)1 xy =y x, e da, conclumos queG e um grupo abeliano.

A5)SejaG um grupo egG. Mostre que f :GG definida por f(x) =g1xg eisomorfismo deG em G (neste caso, f e denominadoautomorfismodeG).

Solucao: Sejam x,yG dois elementos genericos.

f(xy) = g1(xy)g = g1xeyg = g1x gg1= e

yg = f(x)f(y); logo, f e um homo-

morfismo.

Suponhamos f(x) = f(y). Entao g1xg = g1yg. Multiplicando-se por g aesquerda e porg1 a direita, obtemos: gg1

= e

x gg1= e

= gg1= e

y gg1= e

x = y;

logo, f e uma funcao injetora.

50


55/136

Dado b G = contradomnio de f, considere o elemento a = gbg1 G =domnio de f. Entao, f(a) = f(gbg1) = g1(g

= e

b g1)g= e

= b; logo, f e uma

funcao sobrejetora.

Dos tres itens mostrados acima, conclumos que f e um isomorfismo de grupos.

A6)SejamG ={2m3n |m, n }e J={

m n

n m| m, n

}.

a) Mostre que (G, )e um subgrupo de (+, );b) Mostre que (J, +)e subgrupo de (M22(), +);

a) Mostre queG e isomorfo aJ.

Solucao:

a) Escolhendo m = n = 1, obtemos 6 = 21 31 G o que implica que G nao eum conjunto vazio. Sejamx,y G. Existem m, n, r,s tais que x = 2m3ney = 2r3s xy1 = 2m3n2r3s = 2mr3ns. Comomr en s ,temosx y1 G de onde conclumos queG e um subgrupo de (++, ).

b) Escolhendo m = 2 e n = 0 obtemos

2 0

0 2

J J . Sejam X, Y J.

Existemm, n, r,s tais que X = m nn m eY = r ss r X+ (Y) =XY =

m n

n m

r s

s r

=

m r n sn +s m r

. Comomr ,n s e

n + s =(n s) temos queXY J. Logo,Je um subgrupo de (M22(), +).c) Para mostrar que existe isomorfismo entre G e J, devemos ser capazes de en-

contrar uma funcao f : G Jque seja bijetora e homomorfismo de grupos.Seja f :G

Jdefinida por f(2m3n) = m nn m .

Sejam m, n, r,s tais que f(2m3n) = f(2r3s). Da, temos

m n

n m

= r s

s rm =ren = s2m3n =2r3s. Isso mostra que f e uma funcao

injetora.

Dado um elemento generico Y J, temos que Y e da forma a b

b a ,onde a, b . Escolhendo x = 2a3b G temos que f(x) = f(2a3b) =

a b

b a

=Y. Logo, f e uma funcao sobrejetora.

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Sejamx,yG. Existemm, n, r,s tais quex =2m3n ey =2r3s. Temos:f(xy) = f(2m3n2r3s) = f(2m+r3n+s) =

m + r n +s

n s m + r

=

m n

n m

+

r s

s r = f(2

m3n) + f(2r3s) = f(x) + f(y). Logo, f e um homomorfismo

de grupos.

Como f e injetora, sobrejetora e e um homomorfismo, temos que f e um iso-

morfismo deG em J, ou seja,GJ.

A7)Descreva os seguintes grupos cclicos:

H=[

3] em (, +)

J=[3] em (, ) K=[3] em (7, )

Solucao: Se o grupo for multiplicativo, entao o grupo cciclo gerado por x e o

conjunto de todas as potencias de expoente inteiro dex; se o grupo for aditivo, entao

o grupo gerado por x e o conjunto de todos os multiplos de x. Sendo assim, temos:

H=[3]= multiplos de3={3k|k } ={. . . , 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, . . . } J=[3] = potencias de3={(3)k |k } ={. . . , 1/9, 1/3, 1, 3, 9, . . . } K = [3] = potencias de 3 em 7. Como 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9 = 2,

33 =27 = 6, 34 = 33 3 =18= 4, 35 = 34 3 =12= 5, 36 = 35 3 =15= 1=elemento neutro de (

7, ). Logo,K={1,2,3,4,5,6} = 7.

A8)Verifique se os gruposG e Jsao isomorfos em cada um dos seguintes casos:

a) G =(3, +), J=(6, +)

b) G =(S3, ), J=(6, +)c) G =(, ), J=(, +)d) G =(, +), J=(, +).

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Solucao: Quando dois grupos sao isomorfos, eles tem muitas propriedades em

comum. Por exemplo, se um deles tiver n elementos, entao o outro tambem tem

que tern elementos; se um for abeliano, o outro tambem e abeliano; se determinado

tipo de equacao tem solucao em um deles, entao uma equacao equivalente tambem

tem solucao no outro. Desse modo, para mostrar que dois grupos nao podem serisomorfos, basta detectar alguma propriedade algebrica que um tenha e que o outro

nao tenha.

a) 3 tem 3 elementos, enquanto que 6tem 6 elementos. Logo, nao pode existir

bijecao entre eles e, da,G naoe isomorfo a J.

b) S3 e um grupo nao abeliano com 6 elementos e 6 e abeliano com 6 elementos.

Logo, nao podem ser isomorfos.

c) Em J, a equacao x + x =1 tem solucao x =1/2 J. EmG, uma equacaoequivalente a essa seria x x =1 que nao tem solucao em . Logo,G naoeisomorfo a J.

d) e um conjunto enumeravel, enquanto que e nao enumeravel. Logo, nao

pode existir bijecao entre eles e, da, conclumos que os gruposG e Jnao sao

isomorfos.

B1)a) De exemplo de um isomorfismo do grupoG =(, +) em J=(+, ).b) Mostre que nao existe isomorfismo do grupoG =(, +) em J=(+, ).( Sugestao: Supondo f : G J isomorfismo e x G tal que f(x) = 2, calculef(x

2+ x

2) ).

Solucao:

a) Considere a funcao exponencial f : +, f(x) = ex. Temos que f ebijetora e f(x +y) = ex+y = ex ey = f(x) f(y). Logo, f e um isomorfismo deGem J.

b) Suponhamos que exista um isomorfismo f : +. Como f e bijetoraf sobrejetora, escolhendo 2 Jtemos que existe x G = tal que f(x) = 2.Como x = x

2+ x

2temos que f(x) = f(x

2+ x

2) = f(x

2) f(x

2) = f(x

2)2 f(x

2)2 =2

o que e um absurdo porque f(x2

) + e nao existe numero racional positivoque elevado ao quadrado de um resultado igual a 2. Logo, nao pode existir o

isomorfismo deG em J.

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B2)Considere os elementos x =

0 11 0

e y =

0 1

1 1

pertencentes ao grupo

multiplicativoGL2(). Calculeo(x),o(y) eo(xy).

Solucao: Temos que xy = 0 11 0 0 1

1 1 = 1 1

0 1 . Para calcular asordens dex,y e xydevemos calcular suas potencias de expoentes inteiros e observar

se existe alguma potencia que de igual a matriz identidade.

x =

0 11 0

x2 = x x =

0 11 0

0 11 0

=

1 00 1

x3 = x2 x =

1 00 1

0 11 0

=

0 1

1 0

x4

= x3

x = 0 11 0 0 11 0 = 1 00 1 .Assim, 4e o menor expoentepositivon para o qual xn = elemento neutro, logo,o(x) =4.

y =

0 1

1 1y2 =y y =

0 1

1 1

0 1

1 1

=

1 11 0

y3 =y2 y =

1 11 0

0 1

1 1

=

1 0

0 1

.Assim, 3e o menor expoente

positivom para o qualym = elemento neutro, logo,o(y) =3.

xy = 1 10 1

(xy)2 = (xy)(xy) = 1 10 1

1 10 1

=

1 20 1

(xy)3 =(xy)2(xy) =

1 2

0 1

1 1

0 1

=

1 3

0 1

(xy)4 =(xy)3(xy) =

1 3

0 1

1 1

0 1

=

1 4

0 1

(xy)5 = (xy)4(xy) =

1 4

0 1

1 1

0 1

=

1 5

0 1

. E assim, as

potencias dex nao se repetem e nem coincidem com a matriz identidade. Logo,

o(x) =0.

Observacao. Casos como esse so ocorrem em grupos nao abelianos. Pode-se mos-trar que seG for abeliano e x,yG, entaoo(xy) =mmc(o(x), o(y)).Observacao. Observando-se o desenvolvimento do terceiro item, podemos chegar

a conclusao de que (xy)n =

1 n

0 1

. Essa e uma igualdade verdadeira, mas para

demonstra-lae preciso usar o Princpio de Inducao Finita.

B3)Mostre que todo grupo cclico infinito possui exatamente dois elementos gera-dores.

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Solucao: Suponhamos queG seja um grupo multiplicativo cclico infinito.

Existe x G tal que todo elemento de G e da forma xn para algum n , ouseja,G =[x] ={xn |n }.

Como xn = (x1)n temos que todo elemento de G tambeme potencia de x1,ou seja,G =[x1].

Neste caso, nao podemos ter x = x1 porque isso implicariax x = x x1 x2 =eG ={e,x}o que seria um absurdo porqueG e infinito. Logo, x x1o que significa queG tem pelo menos dois geradores: xe x1.

SeG possuir outro gerador, digamos G = [y], entao xdeve ser igual a algumapotencia dey e tambemy deve ser igual a alguma potencia de x, ou seja,y = xr

ex =y s onder,s

x =y s =(xr)s = xrs

xrs

x1 = x

x1

xrs1 =e.

Sers1 0, entao teramos uma potencia de x com expoente inteiro dandoigual ao elemento neutro; isso limitaria a quantidade de elementos de G o que

seria um absurdo porqueG e infinito.

Temosrs1 = 0. Como re ssao inteiros, temos r = s = 1 our = s =1.Em um caso, temosy = xe no outro caso temosy = x1. Portanto,y sendo umgerador deG,y deve coincidir com xou com x1.

Fica mostrado dessa forma queGsendo cclico infinito tem exatamente dois gerado-

res: xe x1.

Observacao.Se tivessemos usado a notacao aditiva, entao teramos usado multiplos

de x no lugar de potencias de x. No final, chegaramosa mesma conclusao: queG

tem exatamente dois geradores, xex.

C1)Seja a seguinte permutacao deS10:

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 108 7 5 9 4 10 2 6 3 1 .Calcule a ordem de e a potencia2010.

Solucao: Para calcular a ordem de,devemos calcular suas potencias de expo-

entes inteiros e verificar se alguma coincide com a identidade.

2 = = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 7 5 9 4 10 2 6 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 7 5 9 4 10 2 6 3 1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 2 4 3 9 1 7 10 5 8

,

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As composicoes utilizadas no calculo de2 = foram as seguintes:

18 e 86; logo, 16 (ou seja: o 1 e levado por para o 8, depoiso 8 e levado para o 6; logo, o 1 e levado na composicao para o 6)

2

7 e 7

2; logo, 2

2

35 e 54; logo, 34 49 e 93; logo, 43 etc.

3 =2=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 2 4 3 9 1 7 10 5 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 7 5 9 4 10 2 6 3 1

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 7 9 5 3 8 2 1 4 6

,

4 =3=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 7 9 5 3 8 2 1 4 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 7 5 9 4 10 2 6 3 1

=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

=e = identidade.

Logo, o() = 4. Isso significa que as potencias de expoentes inteiros se repetem de

4 em 4: 5 = 4 = e = , 6 = 42 = e2 = 2, 7 = 43 = e3 = 3,

8 =44 =ee =e, etc. Se o expoenterfor multiplo de 4, entaor =e. Dividindo-

se 2010 por 4, obtemos quociente 502 e resto igual a 2, ou seja, 2010 =4 502 + 2.Da,

2010 =4502+2 = (4)

= e502

2 =e2 =2 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 2 4 3 9 1 7 10 5 8

.

C2)SejaGum grupo multiplicativo com elemento neutroe. Sendoa, bG diferen-tes do elemento neutro tais que a5 =e e aba1 =b2, calculeo(b).

Solucao: Para calcularmos a ordem deb, devemos de algum modo saber quais

sao suas potencias de expoentes inteiros positivos.

b2b2 =(aba1)(aba1) =ab(a1a)ba1 =abeba1 =a b2

aba1a1 =a(aba1)a1 =

a2ba2, ou seja,b4 =a2ba2.

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Temos tambem queb4 b4 =(a2ba2)(a2ba2) =a2b(a2a2)ba2 =a2beba2 =a2 b2

aba1a2 =a2(aba1)a2 =a3ba3, ou seja,b8 =a3ba3.

De modo semelhante, calculamos b16 = b8 b8 eb32 = b16 b16 e obtemos os

seguintes resultados: b

16 = a

4

ba4

e b

32 = a

5

ba5

. Como a

5 = e, obtemosfinalmente que b32 = ebe1 b32 = b que multiplicando-se por b1 fornece:

b1b32 =b1b, ou sejab31 =e.

Temos da que a ordem de b e um divisor de 31. Como b naoe o elemento neutro e

31e primo, temos finalmente queo(b) =31.

57


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Captulo 5

Classes laterais, subgrupos normais,

grupos-quocientes

A1) Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(), onde a =

0 2

12

0

, e seja

x =

1 2

0 3

. Calcule as classes laterais xHeH xe verifique seH G.

Solucao: As potencias de expoente inteiro dea sao:

a2 =a

a=

0 21

2 0 0 2

1

2 0 = 1 0

0 1 a3 =a2 a =

1 00 1

0 2

12

0

=

0 2

12

0

a4 =a3 a =

0 2

12

0

0 2

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