Algebra TP - Cap 3 - Sistemas

ISEP – ALGAN – EMECAN 1

Conteúdo

3.1 Resolução pelo método da condensação

3.2 Sistemas de Cramer

3.3 Sistemas homogéneos

3.4 Discussão de sistemas com parâmetros

3.5 Exercícios de conclusão do capítulo

Capítulo 3 – Sistemas de Equações

Lineares


3.1 Resolução pelo método da condensação

Exercícios resolvidos

1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas 1x , 2x e 3x : 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 031

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩

.

1.1 Represente-o matricialmente.

1.2 Classifique o sistema.

1.3 Resolva-o pelo método da condensação.

Resolução:

1.1 A representação matricial de qualquer sistema corresponde à igualdade: =AX B sendo:

A - matriz dos coeficientes;

X - matriz das incógnitas;

B - matriz dos termos independentes.

Sendo assim, vem:1

2

3

2 1 1 01 1 1 31 1 1 1

xxx

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− × =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

1.2 A classificação do sistema é feita através da comparação das características da matriz dos

coeficientes e da matriz completa do sistema 2 1 1 01 1 1 31 1 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

A .

Para determinarmos essas características, usamos o já conhecido método da condensação.

Se tivermos o cuidado de não trocar a coluna dos termos independentes para o meio das

outras colunas, podemos determinar em simultâneo a ( )car A e ( )car A .

22 2 11 2 2 33 3 1

2 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3 2 1 1 0 0 3 1 61 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 4

1 1 1 30 1 3 60 0 2 4

L L LL L C CL L L← −↔ ↔← +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

∼

Logo ( ) ( ) 3car car= =A A . Então o sistema é possível e determinado, porque há 3 incógnitas.


1.3 Se durante a condensação não fizermos operações com colunas, a não ser trocar a ordem,

podemos extrair a matriz condensada de um sistema equivalente ao dado; logo, com as

mesmas soluções. Neste caso, e tendo em conta a alínea b), só foi efectuada a troca da coluna

2 com a coluna 3. Assim sendo, a coluna 2 da matriz condensada corresponde a 3x e a coluna

3 a 2x .

Extraindo o sistema da matriz condensada, vem:

1 3 2 1 3 2 1

3 2 3 2

32 2

3 3 13 6 0 2

02 4 2

x x x x x x xx x x x

xx x

+ − = + − = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪− + = − ⇔ − = ⇔ = −⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ =− = = − ⎩⎩ ⎩

Solução: ( ){ }1, 2,0− .

2. Considere o seguinte sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x :

1 2 3 4

1 2 3 4

1 4

2 3 4

02 3

2 33 3

x x x xx x x xx xx x x

− + − =⎧⎪ − + + =⎪⎨− − = −⎪⎪− + − = −⎩

.


2.2 Resolva-o pelo método da condensação e indique uma solução particular.

Resolução:

2.1 Vamos fazer a condensação, tal como foi explicado no exercício anterior.

22 2 1 3 3 23 3 1 4 4 2

1 1 1 1 0 1 1 1 1 02 1 1 1 3 0 1 1 3 3

1 0 0 2 3 0 1 1 3 30 1 1 3 3 0 1 1 3 3

1 1 1 1 00 1 1 3 3

0 0 0 0 00 0 0 0 0

L L L L L LL L L L L L

← − ← +← + ← +

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∼ ∼

∼

( ) ( ) 2car car= =A A . Logo o sistema é possível e duplamente indeterminado, porque há 4

incógnitas.

2.2 Incógnitas principais: 1x e 2x .

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 4

2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4

3 33 3 3 3 3 3

4 44 4 4 4 4 4

0 3 3 23 33 3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x k k k k x kx k kx x x x k k x k kx kx k x k x kx kx k x k x k

− + − = = − + = + − − + = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + −− + = = + − = + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ == = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == = = ⎩⎩ ⎩ ⎩


Fazendo 3 0k = e 4 1k = tem-se uma solução particular que é dada por: ( ){ }1,0,0,1 .

Exercícios propostos

1. Considere o sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x : 1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

02 02 2 2

x x x xx x xx x x x

− − − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + + =⎩

.

1.1 Escreva o sistema na forma matricial.

1.2 Verifique que são solução do sistema dado:

1.2.1 ( )1 1, 1,0,2s = − ;

1.2.2 ( )2 1, 1,1,1s = − .

1.3 Tendo em atenção a alínea anterior, como pode classificar o sistema?

1.4 Verifique que ( )3 1, 1,1, 1s = − − , não é solução do sistema dado.

1.5 Verifique se o conjunto solução do sistema dado pode ser representado por

( ){ }1, 1, , 2 ,S k k k= − − ∈ . Qual o grau de indeterminação do sistema?

1.6 Escreva um sistema equivalente ao anterior.

1.7 Acrescente uma linha ao sistema dado de forma a obter um sistema impossível.

2. Usando o método da condensação, resolva os sistemas:

2.1

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 3

12 0

2 32 3 3

x x x xx x x

x x x xx x

+ − + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + − =⎪⎪ + = −⎩

2.2

2 3 13 22 3 2 1

2 0

x y zx y zx y z

x y z

+ − =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ − + =⎩

2.3

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

12 0

2 2 15 1

x x x xx x x

x x x xx x x x

+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨ + + − =⎪⎪ − + − = −⎩

3. Considere o sistema

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 12

42 2 4

x x x xx x x xx x x x

x x x x

+ + − =⎧⎪ + + − =⎪⎨ − + + = −⎪⎪ + − + =⎩

.

3.1 Prove que o sistema não é um sistema possível e determinado.

3.2 Determine a solução geral do sistema usando o método da condensação.


Exercícios suplementares

1. Considere as matrizes 1 1 20 4 22 2 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A e 324

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B . Determine a matriz X que verifica:

=AX B .

2. Considere as matrizes 1 1 22 1 7

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

X e 112

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Y . Resolva a equação matricial em ordem

a Z : T− =Y X Z O .

3. Considere o seguinte sistema de equações: 2 3

2 3 85 7

x y zx y zx z

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪− − = −⎩

.

3.1 Resolva-o, utilizando o método da condensação.

3.2 Com base nos cálculos anteriores diga, justificando, se o sistema homogéneo obtido a

partir do sistema dado, por substituição dos termos independentes, admite como única

solução a solução nula.

Soluções:

1.1

1

2

3

4

1 1 1 1 00 2 1 1 02 2 1 1 2

xxxx

⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

1.3 Sistema possível e indeterminado.

1.5 Sistema possível e simplesmente indeterminado (um grau de indeterminação) (SPI).

2.1 Sistema Impossível (SI)

2.2 Sistema Possível e Determinado (SPD). 5 3 4, ,11 11 11

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2.3 Sistema Possível e Duplamente Indeterminado (SP2I).

( ){ }2 1 2 1 2 1 22 ,1 3 , , ; ,S k k k k k k k= − − ∈

3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI). ( ){ }, 3, 1, ;S k k k k k= − + − ∈ .


4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

1 3 4

1 2 4

1 2 4

1

0

1

x x x

x x x

x x x

+ + =

+ − =

− + =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

4.1 Sem efectuar cálculos, diga que considerações podem sem feitas quanto à

classificação do sistema dado. Justifique convenientemente cada afirmação.

4.2 Discuta e resolva, se possível, o sistema dado pelo método da condensação.

Soluções:

1. 5 3 1 ,2 2

Tk k k k− −⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦X

2. 10⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Z

3.1 SPI. ( ){ }7 5 , 2 3 , ;S k k k k= − − + ∈

3.2 Não. ( ){ }5 ,3 , ;S k k k k= − ∈

4.2 SPI. 1 2 1 1 2, , , ;2 2 2

k kS k k⎧ ⎫− −⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭


3.2 Sistemas Cramer


1. Considere o sistema 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 031

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩

.

1.1 Prove que é um sistema de Cramer.

1.2 Resolva-o por igualdade matricial.

1.3 Confirme o valor de 3x , aplicando igualdades de Cramer.

Resolução:

1.1 Para que um sistema seja de Cramer, tem de satisfazer duas condições:

• nº de equações = nº de incógnitas – Verifica-se.

• 0≠A - Neste caso temos 2 1 11 1 1 2 01 1 1

= − = ≠− − −

A

1.2 Da igualdade matricial =AX B , obtém-se 1−=X A B , pois existe 1−A , uma vez que

0≠A .

1º Calcular 1−A . Aplicando o já conhecido método da condensação, obtemos:

11 0 10 1 2 1 2 1 1 2 3 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A .

2º Efectuar o produto: 1 0 1 0 10 1 2 1 2 3 21 1 2 3 2 1 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

X .

1.3 As igualdades de Cramer, permitem calcular cada incógnita através de um quociente de

dois determinantes: ,ii

cx iΔ= ∀Δ

, em que cΔ é o determinante da matriz dos coeficientes do

sistema e iΔ é o determinante correspondente à incógnita ix e que é obtido do determinante

da matriz dos coeficientes substituindo a coluna da incógnita i pela coluna dos termos

independentes.


Então, neste caso: 33

cx Δ=Δ

, sendo:

3

2 1 01 1 3 01 1 1

Δ = − =− −

e 2 1 11 1 1 21 1 1

cΔ = − =− − −

(já anteriormente calculado). Então

30 02

x = = .



1

2 0

2 0

x y z

y z

x z

+ − =

+ =

+ =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

1.1 Prove que o sistema é de Cramer.

1.2 Resolva-o usando as fórmulas de Cramer.

1.3 Resolva-o usando igualdade matricial.

2. Considere o sistema 2 1

5 4 03 2 2

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪− + − =⎨⎪ − + =⎩

.


2.2 Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.

Soluções:

1.2 4 1 2, ,7 7 7

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2.2 1 1 1, ,2 2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭




1 2 3

1 2 3

12 1,

2

x ax xx x x a

ax x x

+ − =⎧⎪− − + = − ∈⎨⎪ + − =⎩

.

1.1 Que valores deverá tomar o parâmetro a para que o sistema seja de Cramer?

1.2 Resolva-o, por igualdades de Cramer, para 1a = − .

2. Considere o sistema de equações lineares =AX B com ,a b∈ e sendo:

1 2 23 12 5 3

b⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A ; 04

a⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

B ; xyz

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X

2.1 Determine os valores de a e de b de forma que ( )2,1, 1− seja solução do sistema

dado.

2.2 Para 2a b= = resolva o sistema dado utilizando as fórmulas de Cramer.

3. Considere o sistema

1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 3 4

2 03 2 1

3 2 22 4

x x x xx x xx x x x

x x x

+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨− + + + =⎪⎪ + + =⎩

.


3.2 Resolva o sistema usando igualdade matricial.

Soluções:

1.1 { }\ 1,2a∈

1.2 1 3,0,2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2.1 2 7a b= ∧ = 2.2 6 10 2, ,11 11 11

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

3.2 9 23 21, ,13,2 2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭


3.3 Sistemas homogéneos


1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas x , y e z : 7 2 03 2 04 2 0

x y zx y zx z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

.

1.1 Classifique o sistema a priori.

1.2 Indique, sem efectuar cálculos, uma solução do sistema.

1.3 Resolva-o pelo método da condensação.

Resolução:

1.1 O sistema é um sistema homogéneo; logo, sempre possível. Poderá ser determinado ou

indeterminado.

1.2 Sendo um sistema homogéneo, a solução nula é sempre solução do sistema. Se

substituirmos todas as incógnitas por zero, todas as equações são satisfeitas. Não se sabe

ainda se a solução nula é única ou não.

1.3

1 2 2 2 1 3 3 2

y x z7 2 1 0 2 7 1 0 2 7 1 03 2 1 0 2 3 1 0 0 4 2 04 0 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0

2 7 1 00 4 2 00 0 0 0

C C L L L L L L↔ ← − ← +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

∼

Então, ( ) ( )car car=A A , já que se trata de um sistema homogéneo.

( ) ( ) 2car car= =A A , logo sistema possível e simplesmente indeterminado, pois o grau de

indeterminação = nº de incógnitas ( ) 3 2 1car− = − =A . Logo e yx são incógnitas principais

e z é a incógnita não principal.

Então ( ),z k k= ∈ :

A solução vem então: 2 7 0 5 4

4 2 0 2y x z y kx z x k

z k z k

+ + = =⎧ ⎧⎪ ⎪− − = ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

.


O sistema apresenta uma infinidade de soluções representadas por:

1 5, , ;2 4

S k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

Tal como se pode verificar, a solução nula é solução do sistema (basta fazer 0k = ); mas neste

caso, é uma das muitas soluções.



1 2 3

1 2 3

22 1

2 1

x x xx x x

x x x

+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − =⎩

.


1.2 Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo associado.

2. Considere a matriz 1 2 44 5 6⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

A . Determine a característica da matriz recorrendo à

definição.



0

2 0

3 0

x y z

y z

x y

+ − =

− =

− + =

⎧⎪⎨⎪⎩

. Prove que é um

sistema de Cramer e diga qual a solução do sistema dado sem o resolver. Justifique

convenientemente a sua resposta.

Soluções:

1.1 SPD

2. ( ) 2car =A


Soluções:

1. ( ){ }0,0,0S =


3.4 Discussão de sistemas com parâmetros


1. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas x , y e z : x ay z ax by cz b

x ay az b

− + =⎧⎪ + + = −⎨⎪− + − =⎩

, , ,a b c∈ .

Resolução:

2 2 13 3 1

1 1 1 11 0 1 1 0 0 1L L L

L L L

a a a ab c b b a c b aa a b a b a← −

← +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A ∼

Neste caso o valor máximo que a ( )car A pode tomar é 3.

Para isso temos: ( )0

31 0 1b a b a

cara a+ ≠ ≠ −⎧ ⎧

= ⇒ ⇔⎨ ⎨− ≠ ≠⎩ ⎩A .

Neste caso: ( ) ( )3

43

1b a

car cara≠ −⎧

⇒ = ⇒⎨ ≠⎩A A . Como só existem 3 linhas disponíveis,

( )car A nunca pode ser 4.

Então, para ( ) ( )1 3,a b a car car c≠ ∧ ≠ − ⇒ = = ∀ ∈A A .

2º Passo: Nas condições definidas no 1º Passo estuda-se a ( )car A

1º Passo: Impõem-se as condições que tornam a ( )car A máxima

II. Seguem-se os seguintes passos:

I. Condensa-se a matriz completa do sistema


Logo, o sistema é possível ( características de A e de A iguais ) e determinado (e iguais ao

nº de incógnitas).

Neste caso, vem 1a b a= ∨ = − .

i) Vamos fazer 1a = na matriz condensada do sistema. Fica: 1 1 1 10 1 1 10 0 0 1

b c bb

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

.

• ( ) ( )1 2 3,b car car c≠ − ⇒ = ∧ = ∀ ∈A A , logo sistema impossível.

• Vamos fazer 1b = − na matriz anterior. Fica: 1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0

c−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

( ) ( )1 2 2c car car≠ ⇒ = ∧ =A A , logo sistema possível e simplesmente

indeterminado.

( ) ( )1 1 1c car car= ⇒ = ∧ =A A , logo sistema possível e duplamente

indeterminado.

ii) Vamos fazer b a= − na matriz condensada do sistema. Fica: 1 10 0 1 00 0 1 0

a aca

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

.

• 1a = então 1b = − , que já foi analisado no ponto anterior.

• Para 1a ≠ , fica:

2 3 2 3

1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 0L L C C

a a a ac aa c

↔ ↔

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

( ) ( )/ 1 12 2 3 3 2

1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0L L a L L c L

a a a aa

c c← − ← − −

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

4º Passo: Nas condições do 3º Passo estudam-se ( )car A e ( )car A

3º Passo: Contrariam-se as condições encontradas no 1º Passo


1 10 1 0 00 0 0 0

a a−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∼

Então, ( ) ( ) 2,car car c= = ∀ ∈A A , logo sistema possível e simplesmente

indeterminado.

1,b a a c≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ SPD

( ) ( )1 1 1 1,a b c b a a c= ∧ = − ∧ ≠ ∨ = − ∧ ≠ ∀ ∈ SPI

1 1 1a b c= ∧ = − ∧ = 2SP I

1 1,a b c= ∧ ≠ − ∀ ∈ SI


1. Discuta os sistemas nas incógnitas x , y e z , ,a b∈ :

1.1 ( )

( )

3 5 2 2 2

3

x y z a

x b y z b a

x b y az b

+ + = −

+ + + = − +

+ + + =

⎧⎪⎨⎪⎩

1.2

1

2 2

3

x ay bz

ay z

x ay bz b

− + + = −

− = −

− − =

⎧⎪⎨⎪⎩

1.3 2

1

2 1

2

x y az

x az b

y a z a

+ + = −

− = +

+ =

⎧⎪⎨⎪⎩

1.4

10

2 2 2 0

x y zx y z

x y zx y z β

+ + =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ + + =⎩

1.5 2

1

1

x y az

x by b zx y z b

+ + =⎧⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩

1.6

2

2

1

1

x ay a z

x by b zx ay z b

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + = −⎪⎩

1.7 2 1

23 4 3

x y azx ay z bx y z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

III. Resumo


2. Estude as diferentes soluções do seguinte sistema de equações lineares, em função dos

parâmetros que as condicionam: 1x y az ax by bzx y bz b

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

.

3. Considere o seguinte sistema de equações: ( ) ( )( )

2

2 2

2

2 1 1

1

x ay a z a

x a y a a z a a

x ay a b a z b a

⎧ + + =⎪⎪ + − + + + = +⎨⎪⎪− − + + − = − +⎩

.

3.1 Discuta os diferentes tipos de soluções que pode obter em função da variação dos

parâmetros a e b .

3.2 Determine o valor dos parâmetros a e b , sabendo que a solução do sistema é a

seguinte: ( ){ }6, 4,0S = − .


Soluções:

1.1

0 2a b≠ ∧ ≠ − SPD

( )2 2 2b a a= − ∧ = ∨ = − SPI

( ) ( )2 2 0,b a a b= − ∧ ≠ ± ∨ = ∀ ∈ SI

1.2

0 0a b≠ ∧ ≠ SPD

103

a b= ∧ = SPI

( )10 0,3

a b b a⎛ ⎞= ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

SI

1.3

0 3,a a b≠ ∧ ≠ ∀ ∈ SPD

( ) ( )0 3 3 6a b a b= ∧ = − ∨ = ∧ = − SPI

( ) ( )0 3 3 6a b a b= ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − SI

1.4

1β = SPD

1β ≠ SI

1.5

1 1a b≠ ∧ ≠ SPD

1 1b a= ∧ ≠ SPI

1 1a b= ∧ = 2SP I

1 1a b= ∧ ≠ SI

1.6

1 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − SPD

( ) ( )1 1 1 1b a a a a b= ∧ ≠ − ∧ ≠ ∨ = ∧ = − SPI

1 1a b= − ∧ = − 2SP I

( ) ( )1 1 1 1a b a b= ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − SI

SPI

1

1

a

b SPD

SI

SP2I

SPI

1

1

a

b SPD

SI

SP2I

-1

-1



1. Discuta o sistema nas incógnitas x , y e z sendo , ,a b c parâmetros reais:

2

2x ay az a

x a y z cx ay bz b

+ + =⎧⎪

+ − = −⎨⎪ + − =⎩

2. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas reais 1x , 2x e 3x : 1 2 3

1 2 32

1 2 3

x ax ax bx bx ax a

x ax a x c

⎧ + − =⎪− + − = −⎨⎪ + + = −⎩

;

, ,a b c∈ .

Soluções (continuação):

1.7

2 3,3

a a b≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ SPD

2 3 23

a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ =⎜ ⎟⎝ ⎠

SPI

2 3 23

a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ SI

2.

1b b a≠ ∧ ≠ SPD

( ) ( )1 1 1b a b a a= ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ SPI

1 1b a= ∧ = 2SP I

3.1

1a a b≠ ∧ ≠ − SPD

1 1a b= ∧ = − SPI

( ) ( )1 1 1a b a a b= ∧ ≠ − ∨ ≠ ∧ = − SI

3.2 2 1a b= ∧ = −

SPI

3 23

−

2

a

b

SPD

SI


3. Considere o seguinte sistema: 1 2 3

21 2 3

1 2 3

z az az b

z bz a z az az baz c

+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − = −⎩

; , ,a b c∈ .

3.1 Diga quais os diferentes tipos de soluções em função dos parâmetros reais a , b e c .

3.2 Considere 1a = , 2b = e 1c = − . Mostre que a solução nula é a única do sistema

homogéneo associado, sem o resolver.

4. Discuta os sistemas, segundo os parâmetros correspondentes:

4.1

( )

2 11

22 2 2

x y zx zx y z

x y z

αβα

− + =⎧⎪ + =⎪⎨ + + =⎪⎪ − + − =⎩

4.2

( )

2

2

4 2

2

x y z a

x a y az a

x a y b z b

+ + =

+ + =

+ + − + =

⎧⎪⎨⎪⎩


Soluções:

1.

0 1 2 ,a a b a c≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − ∀ ∈ SPD

( ) ( ) ( )( ) ( )0, 0 1, 1 1 2 3 1 0a b c a c b a c b b⎡ ⎤= = ∀ ∈ ∨ = ∧ = − ∀ ∈ ∨ = ∧ + + + − =⎣ ⎦ SPI

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

0 0 1 2 0 1,

1 1 2 3 1 0 2 1,

a b c b a a a c

a c b b b a c

= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ ∨

⎡ ⎤∨ = ∧ + + + − ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈⎣ ⎦ SI

2.

0 1 ,a a a b c≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ − ∀ ∈ SPD

( ) ( ) ( )20 0 1 0a b c b a c b a b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = − ∧ = − ∧ = − ∧ ≠ ∧ = − SPI

0a b c= = = 2SP I

( ) ( ) ( )( )2

0 0 0 0 1

0

a b c a b c b a c b

a b b c b

= = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − ∨

∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ − SI

3.1

0 1,a b a b c≠ − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ SPD

( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 0 1a b c b b a c a b b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = ∧ ≠ − ∧ = − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ = SPI

0a b c= = = 2SP I

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 1 1, 0 1

0 0 1 1 1

a b c a b c a b b b c b

a b c b b a c

= = ∧ ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨

∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − ∧ ≠ − SI

4.1

( ) ( )0, 1,α β β α= ∀ ∈ ∨ = ∀ ∈ SPD

0 1α β≠ ∧ ≠ SI

4.2

2 2 2a a b a≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ + SPD

( ) ( )2 4 2 2a b a b= ∧ ≠ ∨ = − ∧ = − SPI

( ) ( ) ( )2 4 2 2 2a b a b b a= ∧ = ∨ = − ∧ ≠ − ∨ = + SI


3.5 Exercícios de conclusão do capítulo

1. Discuta os sistemas e resolva-os, se possível, pelo método da condensação:

1.1

1 2 4

2 3 4

3 4

1 2 4

4 6

3 4

1

2 6 11

x x x

x x x

x x

x x x

+ − =

+ − =

− = −

+ − =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1.2

1 2 3

2 3

1 2 4

1 2

3 0

2 1

2 5 2

1

x x x

x x

x x x

x x

− + =

− + = −

− + =

− =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1.3

1 2 3

1 2 4

2 3 4

1 3 4

1

2 2

3 1

3 2 4

x x x

x x x

x x x

x x x

+ − = −

− − = −

− + − = −

− − = −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1.4

1 2

1 2 3 4

2 4

1 2 3

1

2 1

2 0

2 1

x x

x x x x

x x

x x x

− =

− + + = −

− + =

− + =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1.5

1 3 4

1 2 4

2 3 4

2 1

5

2 3 11

x x x

x x x

x x x

− + − =

+ − =

+ − =

⎧⎪⎨⎪⎩

1.6

1 2 3 4

2 3 4

1 3

2 7

3

2

x x x x

x x x

x x

+ + − =

− − =

− =

⎧⎪⎨⎪⎩

2. Resolva os sistemas usando as fórmulas de Cramer:

2.1

2 3 1

2 0

2 0

x y z

y z

x y z

+ + =

+ =

− + − =

⎧⎪⎨⎪⎩

2.2

2 4 2

2 1

2 2 0

x y z

x z

x y z

+ + =

+ =

+ + =

⎧⎪⎨⎪⎩

3. Considere o seguinte sistema de equações lineares, sendo k ∈ :

( )

0

2 0

2 4 2 0

x ky z

x y

x y k z

+ − =

+ =

+ + − =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

Condicione o valor de k ∈ de modo que o sistema dado seja de Cramer e diga, sem o

resolver, qual o seu conjunto solução para os valores de k ∈ encontrados.


4. Considere o sistema nas incógnitas , ,x y z , sendo ,a b∈ :

2

1

x ay a z a

x by az

x ay az b

+ + =

+ + =

+ + =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

4.1 Discuta o sistema em função da variação de ,a b∈ .

4.2 Seja 2a = e 0b = .

4.2.1 Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.

4.2.2 Sem efectuar cálculos, diga, justificando, qual o conjunto solução do sistema

homogéneo associado ao sistema.

5. Considere o sistema de equações lineares, sendo ,a b∈ :

( )

( )

2 1

2 8 2

2 4

x a y z

x y az

a y az b

− + − + = −

+ + =

− − + =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

5.1 Discuta o sistema nas incógnitas , ,x y z , sendo ,a b∈ .

5.2 Resolva o sistema pelo método da condensação para 2a = − e 1b = .

5.3 Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer para 0a = e 1b = .


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 1

2 4 3 4 2

3 6 3 5 3

x x x x

x x x x

x x x x

+ − − =

− − + + =

− + + =

⎧⎪⎨⎪⎩

.

6.1 Sem efectuar cálculos e analisando o sistema, diga, justificando convenientemente as

suas respostas, se:

6.1.1 o sistema dado é um sistema de Cramer;

6.1.2 o seu conjunto solução pode ser ( ){ }, , ,1 2 1 2 3 1 2 3, , :S k k k k k k k k−= ∈ .

6.2 Classifique o sistema e resolva-o, se possível, pelo método da condensação.

7. Discuta os sistemas, segundo os parâmetros correspondentes:

7.1

1

2

2 1

x ay az

x y

x y bz b

− − =

− =

− + = +

⎧⎪⎨⎪⎩

7.2 ( )

( )

3

2 4 2 2

x y z b

x a y bz a

x a y z a b

+ + = −

+ + + =

+ + + = − +

⎧⎪⎨⎪⎩


Soluções:

1.1 SPI. ( ){ }1 2 ,5 2 , 1 , ;S k k k k k= + + − + ∈

1.2 SPI. 1 1 21 , , 1 , ;3 3 3

S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= + − + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

1.3 SP2I. ( ){ }1 2 1 2 1 2 1 21 , , , 3 1 ; ,S k k k k k k k k= − − + − + + ∈

1.4 SPI. 1 1 11 , , 1 , ;2 2 2

S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= + − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

1.5 SPI. 1 2 1 21 2 1 2

1 11 3, , , ; ,2 2

k k k kS k k k k⎧ ⎫− − − +⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

1.6 SPI. ( ){ }2,3 ,0, ;S k k k= + ∈

2.1 4 2 1, ,5 5 5

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2.2 11, ,12

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

3. 2k ≠ ; ( ){ }0,0,0S =

4.1

0 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ SPD

1a b= = 2SP I

( ) ( ) ( )0, 1 1 0 1a b a b a b a a= ∀ ∈ ∨ = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ SI

4.2.1 11, ,12

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

4.2.2 ( ){ }0,0,0S =

5.1

2 1a a≠ − ∧ ≠ − SPD

( ) ( )2, 1 0a b a b= − ∀ ∈ ∨ = − ∧ = SPI

1 0a b= − ∧ ≠ SI

5.2 1 14 , , ;2 2

S k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

5.3 1 12, ,4 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

6.1.1 Não. 6.1.2 Não. O sistema dado não admite a solução nula.

6.2 SPI. 1 11 , 2 , 4 2 , ;3 3

S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭


Soluções (continuação):

7.1

1 0a b≠ ∧ ≠ SPD

1 1a b= ∧ = SPI

( ) ( )1 1 0,a b b a= ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈ SI

7.2

2 1a b≠ − ∧ ≠ SPD

2 0a b= − ∧ = SPI

( ) ( )2 1 0 1,a b b b a= − ∧ ≠ ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈ SI

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Algebra TP - Cap 3 - Sistemas