ALGEBRA FX2.0 PLUS FX1.0 PLUS UsersGuide2 Ch03 PO · Este capítulo explica como resolver os quatro tipos de ... *1Quando o gráfico de uma função é desenhado pela primeira vez,

Capítulo

Este capítulo explica como resolver os quatro tipos deequações diferenciais apresentados abaixo.

• Equações diferenciais de primeira ordem• Equações diferenciais lineares de segunda ordem• Equações diferenciais de enésima ordem• Sistema de equações diferenciais de primeira ordem

3-1 Uso do modo DIFF EQ

3-2 Equações diferenciais de primeira ordem

3-3 Equações diferenciais lineares de segunda ordem

3-4 Equações diferenciais de enésima ordem3-5 Sistema de equações diferenciais de primeira ordem

Equações diferenciais 3

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3-1-1Uso do modo DIFF EQ

3-1 Uso do modo DIFF EQVocê pode resolver equações diferenciais numericamente e desenhar o gráfico das soluções.Apresentamos a seguir o procedimento geral para resolver uma equação diferencial.

Configuração1. Do menu principal, entre no modo DIFF EQ.

Execução2. Selecione o tipo de equação diferencial.

•1(1st) ........ Quatro tipos de equações diferenciais de primeira ordem

•2(2nd) ...... Equações diferenciais lineares de segunda ordem

•3(N-th) ...... Equações diferenciais de primeira ordem a nona ordem

•4(SYS) ..... Sistema das equações diferenciais de primeira ordem

•5(RCL) ..... Exibe uma tela para chamada de uma equação diferencial anterior.

• Com 1(1st), você precisa fazer outras seleções de tipo de equação diferencial.Consulte a seção "Equações diferenciais de primeira ordem" para maioresinformações.

• Com 3(N-th), você precisa especificar a ordem da equação diferencial, de 1 a 9.

• Com 4(SYS), você precisa especificar o número de incógnitas, de 1 a 9.

3. Introduza a equação diferencial.

4. Especifique os valores iniciais.

5. Pressione 5(SET) e selecione b(Param) para exibir a tela de parâmetros.Especifique a faixa de cálculo. Faça as definições dos parâmetros que desejar.

• h .................. Tamanho do passo para o método Runge-Kutta clássico (quartaordem)

• Step ............. Número de passos para a representação gráfica*1 e armazenamentode dados em LIST.

• SF ................ O número de colunas de campo de pendente exibido na tela (0 – 100).Os campos de pendente podem ser exibidos apenas para equaçõesdiferenciais de primeira ordem.

*1Quando o gráfico de uma função é desenhadopela primeira vez, o gráfico é sempredesenhado com cada passo. Quando ográfico da função é desenhado de novo,

entretanto, ele é desenhado de acordo comum valor de Step. Por exemplo, quando ovalor de Step é 2, o gráfico da função édesenhado com cada dois passos.

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3-1-2Uso do modo DIFF EQ

6. Especifique as variáveis para o gráfico ou armazenamento em LIST.Pressione 5(SET) e selecione c(Output) para exibir a tela de definição de lista.x, y, y(1), y(2), ....., y(8) referem-se à variável independente, variável dependente,derivada de primeira ordem, derivada de segunda ordem, ..., e derivada de oitavaordem, respectivamente.1st, 2nd, 3rd, ....., 9th referem-se aos valores iniciais em ordem.Para especificar uma variável para o gráfico, selecione-a usando as teclas de cursor(f, c) e pressione 1(SEL).Para especificar uma variável para armazenar em LIST, selecione-a usando as teclasde cursor (f, c) e pressione 2(LIST).

7. Pressione !K(V-Window) para exibir a tela de definição de V-Window. Antes deresolver uma equação diferencial, você precisa fazer as definições de V-Window.

Xmin … valor mínimo do eixo x

max … valor máximo do eixo x

scale … escala do valor do eixo x

dot … valor correspondente a um ponto no eixo x

Ymin … valor mínimo do eixo y

max … valor máximo do eixo y

scale … escala do valor do eixo y

8. Pressione 6(CALC) para resolver a equação diferencial.

• O resultado calculado é desenhado num gráfico ou armazenado na lista.

# Apenas os campos de pendente são exibidosse você não introduzir valores iniciais ou seintroduzir o tipo errado de valores iniciais.

# Ocorre um erro se você definir SF como zeroe não introduzir os valores iniciais, ou seintroduzir os valores iniciais incorretamente.

# Recomendamos que você introduzaparênteses e um sinal de multiplicação entreum valor e uma expressão para prevenirerros de cálculo.

# Não confunda a tecla - com a tecla -.Um erro de sintaxe ocorre se você usar atecla - como o símbolo de subtração.

# Ocorre um erro se você introduzir a variável yna função f(x). A variável x é tratada comouma variável. Outras variáveis (A a Ζ, r, θ,excluindo X e Y) são tratadas comoconstantes e o valor designado atualmentepara a variável é aplicado durante o cálculo.

# Ocorre um erro se você introduzir a variável xna função g(y). A variável y é tratada comouma variável. Outras variáveis (A a Ζ, r, θ,excluindo X e Y) são tratadas comoconstantes e o valor designado atualmentepara a variável é aplicado durante o cálculo.

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3-2-1Equações diferenciais de primeira ordem

3-2 Equações diferenciais de primeira ordem

k Equação separável

DescriçãoPara resolver uma equação separável, simplesmente introduza e especifique os valoresiniciais.

dy/dx = f(x)g(y)

Configuração1. Do menu principal, selecione o modo DIFF EQ.

Execução2. Pressione 1(1st) para exibir o menu das equações diferenciais de primeira ordem, e

em seguida selecione b(Separ).

3. Especifique f(x) e g(y).

4. Especifique o valor inicial para x0, y0.

5. Pressione 5(SET)b(Param).

6. Especifique a faixa de cálculo.

7. Especifique o tamanho do passo para h.

8. Pressione 5(SET)c(Output).Selecione a variável para a qual deseja desenhar um gráfico, e em seguida selecioneuma lista para armazenamento dos resultados do cálculo.

9. Faça as definições de V-Window.


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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico de soluções das equações separáveis dy/dx = y2 –1,x0 = 0, y0 = {0, 1}, –5 <<<<< x <<<<< 5, h = 0,1.

Use as seguintes definições de V-Window.

Xmin = –6.2, Xmax = 6.2, Xscale = 1

Ymin = –3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1

Procedimento1m DIFF EQ

21(1st)b(Separ)

3 bw

a-(Y)Mc-bw

4 aw

!*( { )a,b!/( } )w

55(SET)b(Param)

6-fw

fw

7 a.bwi

85(SET)c(Output)4(INIT)i

9!K(V-Window)

-g.cw

g.cw

bwc

-d.bw

d.bw

bwi

06(CALC)

Tela do resultado

# Para desenhar o gráfico de uma família desoluções, selecione uma lista de condiçõesiniciais.

(x0, y0) = (0,0)

(x0, y0) = (0,1)

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k Equação linear

Para resolver uma equação linear, simplesmente introduza a equação e especifique osvalores iniciais.

dy/dx + f(x)y = g(x)


Execução2. Pressione 1(1st) para exibir o menu de equações diferenciais de primeira ordem, e

em seguida selecione c(Linear).

3. Especifique f(x) e g(x).








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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico da equação linear dy/dx + xy = x, x0 = 0, y0 = –2, –5 <<<<< x <<<<< 5, h = 0,1.





21(1st)c(Linear)

3vw

vw

4 aw

-cw

55(SET)b(Param)

6-fw

fw

7 a.bwi


9!K(V-Window)

-g.cw

g.cw

bwc

-d.bw

d.bw

bwi

06(CALC)

Tela do resultado

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k Equação de Bernoulli

Para resolver uma equação de Bernoulli, simplesmente introduza e especifique a potênciade y e os valores iniciais.

dy/dx + f(x)y = g(x)y n



em seguida selecione d(Bern).

3. Especifique f(x), g(x) e n.








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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico da solução da equação de Bernoulli dy/dx – 2y = – y2,x0 = 0, y0 = 1, –5 <<<<< x <<<<< 5, h = 0,1.





21(1st)d(Bern)

3-cw

-bw

cw

4 aw

bw

55(SET)b(Param)

6-fw

fw

7 a.bwi


9!K(V-Window)

-g.cw

g.cw

bwc

-d.bw

d.bw

bwi

06(CALC)

Tela do resultado

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kOutros

Para resolver uma equação diferencial de primeira ordem, simplesmente introduza aequação e especifique os valores iniciais. Use os mesmos procedimentos conforme descritoacima para as equações diferenciais típicas de primeira ordem.

dy/dx = f(x, y)



em seguida selecione e(Others).

3. Especifique f(x, y).








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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico da solução da equação diferencial de primeiraordem dy/dx = –cos x, x0 = 0, y0 = 1, –5 <<<<< x <<<<< 5, h = 0,1.




Procedimento

1m DIFF EQ

21(1st)e(Others)

3-cvw

4 aw

bw

55(SET)b(Param)

6-fw

fw

7 a.bwi


9!K(V-Window)

-g.cw

g.cw

bwc

-d.bw

d.bw

bwi

06(CALC)

Tela do resultado

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3-3-1Equações diferenciais lineares de segunda ordem

3-3 Equações diferenciais lineares de segundaordem

DescriçãoPar resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem, simplesmente introduza aequação e especifique os valores iniciais. Os campos de pendente não são exibidos parauma equação diferencial linear de segunda ordem.

y� + f(x) y� + g(x)y = h(x)


Execução2. Pressione 2(2nd).

3. Especifique f(x), g(x) e h(x).

4. Especifique o valor inicial para x0, y0, y�0.







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3-3-2Equações diferenciais lineares de segunda ordem

○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico da equação diferencial linear de segunda ordemy� + 9y = sin 3x, x0 = 0, y0= 1, y�0 = 1, 0 <<<<< x <<<<< 10, h = 0,1.


Xmin = –1, Xmax = 11, Xscale = 1



22(2nd)

3 aw

jw

sdvw

4 aw

bw

bw

55(SET)b(Param)

6 aw

baw

7 a.bw*1i


9!K(V-Window)

-bw

bbw

bwc

-d.bw

d.bw

bw*2i

06(CALC)

Tela do resultado

*1 *2

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3-4-1Equações diferenciais de enésima ordem

3-4 Equações diferenciais de enésima ordemVocê pode resolver equações diferenciais de primeira a nona ordem. O número dos valoresiniciais requeridos para resolver a equação diferencial depende dessa ordem.

• Introduza as variáveis dependentes y, y�, y�, y(3), ....., y(9) como segue.

y .................... a-(Y)

y� ................... 3(y(n))b(Y1)

y� ................... 3(y(n))c(Y2)

y(3)(=y��) ......... 3(y(n))d(Y3)

y(8) ................. 3(y(n))i(Y8)

y(9) ................. 3(y(n))j(Y9)

k Equação diferencial de quarta ordem

O seguinte exemplo mostra como resolver uma equação diferencial de quarta ordem.

y(4) = f(x, y, ...... , y(3))


Execução2. Pressione 3(N-th).

3. Pressione 3(n)e para selecionar uma equação diferencial de quarta ordem.

4. Especifique y(4).

5. Especifique o valor inicial para x0, y0, y’0, y”0 e y(3)0.







…

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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Para desenhar o gráfico da equação diferencial de quarta ordemabaixo.y(4) = 0, x0 = 0, y0 = 0, y�0 = –2, y�0 = 0, y(3)0 = 3, –5 <<<<< x <<<<< 5, h = 0,1




Procedimento95(SET)c(Output)4(INIT)i

0!K(V-Window)

-g.cw

g.cw

bwc

-d.bw

d.bw

bw*2i

!6(CALC)

1m DIFF EQ

23(N-th)

33(n)ew

4 aw

5 aw

aw

-cw

aw

dw

65(SET)b(Param)

7-fw

fw

8 a.bw*1i

Tela do resultado

*1 *2

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kConversão de uma equação diferencial de ordem alta para um sistemade equações diferenciais de primeira ordem

Você pode converter uma equação diferencial de enésima ordem simples para um sistemade n equações diferenciais de primeira ordem.


Execução (N = 3)2. Pressione 3(N-th).

3. Pressione 3(n)d para selecionar uma equação diferencial de terceira ordem.

4. Realize as substituições como segue.

y� → Y1 (3(y(n))b)

y� → Y2 (3(y(n))c)

y(3) → Y3 (3(y(n))d)

5. Especifique o valor inicial para x0, y0, y�0 e y�0.

6. Pressione 2(→SYS).

7. Pressione w(Yes).

• A equação diferencial introduzida é convertida para um sistema de três equaçõesdiferenciais de primeira ordem. Os valores iniciais também são convertidos emconformidade.

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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo Expresse a equação diferencial abaixo como um conjunto deequações diferenciais de primeira ordem.y(3) = sinx – y� – y�, x0 = 0, y0 = 0, y�0 = 1, y�0 = 0


23(N-th)

33(n)dw

4sv-3(y(n)) b-3(y(n))cw

5 aw

aw

bw

aw

62(→SYS)

7w(Yes)

A equação diferencial é convertida para um conjunto de equações diferenciais de primeiraordem conforme apresentado abaixo.

(y1)� = dy/dx = (y2)

(y2)� = d2y/dx2 = (y3)

(y3)� = sin x – (y2) – (y3)

Os valores iniciais também são convertidos para (x0 = 0), ((y1)0 = 0), ((y2)0 = 1) e ((y3)0 = 0)).

# Na tela do sistema de equações diferenciaisde primeira ordem, as variáveis dependentessão expressas como segue.

(y1) → (Y1)(y2) → (Y2)(y3) → (Y3)

Tela do resultado


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3-5 Sistema de equações diferenciais deprimeira ordem

Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, por exemplo, tem variáveisdependentes (y1), (y2), ....., e (y9), e a variável independente x. O exemplo abaixo apresentaum sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

(y1)�= (y2)

(y2)�= – (y1) + sin x


Execução2. Pressione 4(SYS).

3. Introduza o número de incógnitas.

4. Introduza a expressão conforme apresentado abaixo.

(y1) → Y1 (3(yn)b)

(y2) → Y2 (3(yn)c)

(y9) → Y9 (3(yn)j)

5. Especifique o valor inicial para x0, (y1)0, (y2)0 e assim por diante, se for necessário.


7. Especifique a faixa do cálculo.


9. Pressione 5(SET)c(Output).Selecione a variável para a qual deseja desenhar o gráfico, e em seguida selecioneuma lista para armazenamento dos resultados do cálculo.


11. Pressione 6(CALC) para resolver o sistema de equações de primeira ordem paray1, y2, e assim por diante.

…

3-5-1Sistema de equações diferenciais de primeira ordem

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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo 1 Para desenhar o gráfico da solução das equações diferenciais deprimeira ordem com as duas incógnitas abaixo.(y1)�= (y2), (y2)� = – (y1) + sin x, x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 0,1, –2 < x < 5, h = 0,1



Ymin = –2, Ymax = 2, Yscale = 1


24(SYS)

32(2)

43(yn)cw

-3(yn)b+svw

5 aw

bw

a.bw

65(SET)b(Param)

7-cw

fw

8 a.bw*1i

95(SET)c(Output)4(INIT)

cc1(SEL)

(Selecione (y1) e (y2) para desenhar ográfico.)*2

i

0!K(V-Window)

-dw

gw

bwc

-cw

cw

bwi

!6(CALC)

Tela do resultado


*1 *2

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○ ○ ○ ○ ○

Exemplo 2 Para desenhar o gráfico da solução do sistema de equaçõesdiferenciais de primeira ordem abaixo.(y1)� = (2 – (y2)) (y1)(y2)� = (2 (y1) – 3) (y2)x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 1/4, 0 <<<<< x <<<<< 10, h = 0,1



Ymin = –1, Ymax = 8, Yscale = 1


24(SYS)

32(2)

4 (c-3(yn)c)*3(yn)

bw

(c*3(yn)b-d

)*3(yn)cw

5 aw

bw

b/ew

65(SET)b(Param)

7 aw

baw

8 a.bw*1i

95(SET)c(Output)4(INIT)

cc1(SEL) (Selecione (y1) e (y2)para desenhar o gráfico.)ff2(LIST)bw

(Selecione LIST1 para armazenar osvalores para x na lista 1.)

c2(LIST)cw

(Selecione LIST2 para armazenar osvalores para (y1) na lista 2.)

c2(LIST)dw

(Selecione LIST3 para armazenar osvalores para (y2) na lista 3.)*2

i

0!K(V-Window)

-bwbbwbwc

-bwiwbwi

!6(CALC)


*1 *2

Tela do resultado

(y2)

(y1)

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kAnálise adicional

Para analizar mais ainda o resultado, pode-se desenhar o gráfico da relação entre (y1) e (y2).

Procedimento1m STAT

2 A lista 1, lista 2 e lista 3 contêm os valorespara x, (y1) e (y2), respectivamente.

31(GRPH)f(Set)

41(GPH1)

5c2(xy)

6c1(LIST)cw (XLIST = LIST2: (y1))

7c1(LIST)dw (YLIST = LIST3: (y2))

i

81(GRPH)b(S-Gph1)

Tela do resultado


(y1)

(y2)

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Importante!• Esta calculadora pode abortar um cálculo quando ocorre um estouro no meio do cálculo,

quando a solução calculada faz que a curva da solução se estenda para um regiãodescontínua, quando um valor calculado é claramente falso, etc.

• Recomendamos os seguintes passos quando a calculadora aborta um cálculo nascondições acima.

1. Se você puder determinar de antemão o ponto onde a curva da solução estoura, pareo cálculo antes que o ponto seja atingido.

2. Se você puder determinar de antemão o ponto onde a curva da solução se estendepara uma região descontínua, pare o cálculo antes que o ponto seja atingido.

3. Em outros casos, reduza o tamanho da faixa do cálculo e o valor de h (tamanho dopasso), e tente de novo.

4. Quando precisar executar um cálculo usando uma faixa de cálculo muito ampla,armazene os resultados intermediários numa lista, e execute um novo cálculo a partirdo passo 3 usando os resultados armazenados como valores iniciais. Você poderepetir este passo várias vezes, se for necessário.

k Itens da tela SET UP

G-Mem {G-Mem 20}/{1 – 20} ...... Especifica uma localização na memória {G-Mem No.} paraarmazenamento das últimas funções de gráfico.

Observe os seguintes pontos relativos às definições da tela SET UP toda vez que usar omodo DIFF EQ.

O modo DIFF EQ armazena dados temporariamente na memória de gráfico toda vez queum cálculo de equação diferencial é executado. Antes do cálculo, o modo DIFF EQarmazena as últimas funções de gráfico na localização da memória de gráfico (G-Mem)especificada atualmente. Após o cálculo, o modo chama as funções de gráfico dalocalização G-Mem especificada, sem apagar os dados G-Mem. Por esta razão, você deveespecificar a localização G-Mem (número) onde o modo DIFF EQ armazena as funções degráfico.


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