PROF. NILO

A definição de Determinante e o Teorema de Laplace tornam possível o cálculo de qualquer determinante, porém pode-se simplificar as operações utilizando-se certas propriedades.

Dada uma matriz quadrada M e sua transposta Mt , temos det M = det Mt.

Exemplo :

t1 4 1 2 1 4 1 2

M ; M 32 5 4 5 2 5 4 5

Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M for constituída apenas por zeros, teremos que seu determinante será igual a zero.

Exemplo :

0 0 0 0a) M 0

2 5 2 5

6 0 6 0b) M 0

2 0 2 0

Linha 1 inteira igual a zero.

Coluna 2 inteira igual a zero.

Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz quadrada M, forem trocadas de posição, o novo determinante obtido terá valor simétrico do original.

Exemplo :

2 3 2 3 1 5 1 5a) M 7; M' 7

1 5 1 5 2 3 2 3

Troca das linhas 1 e 2.

2 3 2 3 3 2 3 2b) M 7; M' 7

1 5 1 5 5 1 5 1

Troca das colunas 1 e 2.

Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M por um escalar k, o determinante da nova matriz obtida M’, será o produto de k pelo determinante de M.

Exemplo :

'1 4 3 12 1 4 3 12

a) M ; M 3 e 92 5 2 5 2 5 2 5

det M' k.det M

'1 4 6 4 1 4 6 4

b) M ; M 3 e 182 5 12 5 2 5 12 5

Linha 1 foi multiplicada por 3.

Coluna 1 foi multiplicada por 6.

Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz quadrada M, forem iguais, o valor do determinante obtido será igual a zero.

Exemplo :

2 3 2 3a) M 0

2 3 2 3

Linhas 1 e 2 são iguais.

2 2 2 2b) M 0

1 1 1 1

Colunas 1 e 2 são iguais.

A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz quadrada M, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero.

Exemplo :

3 4 2 3 4 2

M 1 3 5 1 3 5

5 6 7 5 6 7

Peguemos as Linhas 1 e 3 como exemplo.

Linha 1 :

3 1 3 2 3 34 2 3 2 3 4

3.( 1) . 4.( 1) . 2.( 1) .3 5 1 5 1 3

3 4 2

Linha 3 com cofatores :

5 6 7

3.(14) 4.( 1).13 2.(5) 0

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais, então det M = 0. Acabamos por recair na propriedade de filas paralelas iguais.

Exemplo :

3 4 2 3 4 2 3 4 2

a)M 1 3 5 1 3 5 2. 1 3 5 0

6 8 4 6 8 4 3 4 2

As Linhas 1 e 3 são proporcionais

6 4 2 6 4 2 2 4 2

b)M 15 3 5 15 3 5 3. 5 3 5 0

12 8 4 12 8 4 4 8 4

Seja M uma matriz quadrada de ordem n em que os elementos da coluna j são tais que, podem ser transformadas na soma de dois números, podemos escrever:

Exemplo : x a b m x a m x b m

y c d n y c n y d n

z e f p z e p z f p

Essa propriedade também é válida para linhas.

Exemplo : 3 4 2 3 4 2 3 4 2

x y a b m p x a m y b p

0 3 4 0 3 4 0 3 4

Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª com a 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.

Exemplo :

1 7 1

M= 2 8 5

3 1 6

Utilizando os multiplicadores 1, 3 e 4, nessas colunas teríamos:

Coluna 1 = 1. Coluna 1 + 3. Coluna 2 + 4. Coluna 3

26 7 1

M'= 46 8 5

30 1 6

1.1+3.7+4.1=26

1.2+3.8+4.5=46

1.3+3.1+4.6=30

C1 = 1. C1 + 3. C2 + 4. C3

Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M’ tal que det M’ = det M.

Exemplo :

1 3 5 1 0 5 1 0 0

M= 4 2 7 4 -10 7 4 -10 -13

4 1 -6 4 -11 -6 4 -11 -26

Faremos uma nova Coluna 2 = Coluna 2 3. Coluna 1.Carl Jacobi (1804-1851)

Faremos uma nova Coluna 3 = Coluna 3 5. Coluna 1.

Abre caminho para aplicar

o Teorema de Laplace com

menos trabalho.

Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, o determinante dessa matriz pode ser obtido multiplicando os termos da Diagonal Principal.

Exemplo : 3 2 4 3 2 4

a)M= 0 5 3 0 5 3 3.5.1 15

0 0 1 0 0 1

3 0 0 0 3 0 0 0

2 1 0 0 2 1 0 0b)M= 3.1.2.6 36

3 4 2 0 3 4 2 0

5 7 2 6 5 7 2 6

Dadas duas matrizes quadradas de mesma ordem n, temos :

Exemplo :

det(A.B) (det A).(det B)det(A.B) (det A).(det B)

2 3 1 2 11 16A e B A.B

0 5 3 4 15 20

2 3

det A 2.5 0.3 10;0 5

1 2

det B 1.4 3.2 23 4

11 16det(A.B) 11.20 16.15 20

15 20

Jacques Binet (1786-1856)

Uma consequência do Teorema de Binet é que o determinante de uma matriz pelo determinante de sua inversa é igual a 1.

1 1 1ndet(A.A ) (det A).(det A ) (det A).(det A ) det I

1(det A).(det A ) 1 1(det A).(det A ) 1 Isso é muito fácil mas é preciso ter

atenção !

Que foi bem ?

É consequência do Teorema de Jacobi e é aplicável sempre que a11 = 1. Se no determinante isso não ocorrer, podemos provocar essa ocorrência através das propriedades já conhecidas.

Exemplo :

1 2 4 2

3 7 5 6A

1 10 4 5

3 8 2 3

1 2 4 27 6 5 12 6 6 1 7 0

3 7 5 610 2 4 4 5 2 8 8 3

1 10 4 58 6 2 12 3 6 2 10 3

3 8 2 3

1 2 4 27 6 5 12 6 6 1 7 0

3 7 5 610 2 4 4 5 2 8 8 3

1 10 4 58 6 2 12 3 6 2 10 3

3 8 2 3

1 7 0

8 8 3

2 10 3

8 56 3 0 48 348.( 3) 3.4 156

10 14 3 0 4 3