Ia Questo: Considereo espaovetorialP3(lR)munidodoprodutointerno

(p,q) = I: p(t)q(t) dt.SejaW o subespaodeP3(lR)geradopeloconjunto{I,t,t3}econsidereo polinmiop(t)=2t2- tE P3(lR).

a) (1.5ponto)Encontreo elementodeW quemelhoraproximap(t).

b) (1 ponto)Escrevao polinmiop(t) comoumasoma

p(t)=f(t) +g(t), comf E W e9 E W.L.

rfr~O (j~~_I!

== J /1olf ;.I

Ir f

Wo"

J... -I-

bJ f (-te) = IV Q = %'- -t

l.

= J&--t5'-#t-~ - -t 'f-! ~t-2.)-I

..11-!J 1-(:J ::: p t t- ) - 1- ( t-)

~- -t3

2aQuesto: a) (1 ponto)Considerea funoS: M2(JR) -+ JR3 dadapor

A funoS umatransformaolinear?Justifique.

b) (2 pontos)SejaR: M2(JR)-+JR3dadapor

R(~ ~)=(a+d,O,b-c).

(i) Mostrequea funoR umatransformaolinear.(ii) Encontreumabaseparao ncleodeR eumabaseparaa imagemdeR.

~ r ~ R:: r/1-(~:)I 1

3a Questo: Considerea transformaolinearT: P2(JR) -t JR3cuja matrizcomrelaosbases{1,t - 1,t2- 1}e {(O,0,1),(1,1,O),(O,1,1)}sejaa matrizA abaixo:

[

1 O -1

]A= O 2 O .

-1 7 O

a) (1 ponto)CalculeT(2t2- 2).

b) (1.5ponto)Paraa,b,c E JR, determineT(a +bt+ct2).

0.) T(2.t~-'2J~ '(2-Lt'2-~)) ~ 2-\(t'2_,\) = 2.(-'\)O}OJe..

=-2.[-\(o,o,');-O.(\,I,O);-O.(O",')j= (0,0,-2-)1- ~

b)Jabt~ ~ [Tltt')jc= [T]",c,[U]B o~vtryyW)~ 11=D.tbt+ct2mO-b Bo

ll+bt.+c.t2= CXlt~(t-'\)+''(t~,,) Fi

f

Q~ ~ [TLQtbt-tc-tL)] ::[

~ () -1

Jl

Cl+bHo,

] [

Q-tb

JC O 2. O\-:,= 2b

-1 + O C -atl6.z

-f~J

T(Q+bttct2)= (Q-tbj(O,O,~)+26( 1,1,0) -+(-QtGb-G) (011,~'))o (

~ ~) - -

I T(atbttct2) = (2b,-a.+86-1'-,:t6--G)1

4aQuesto: a) (1ponto)SejamV eW espaosvetoriaisdedimensofinitaeT: V ~W umatransformaolinear.SuponhaquedimV =dimW. MostrequeT injetorase,esomentese,T forsobrejetora.

b) (1ponto)SejamV umespaovetorialdedimensofinitamunidodeumprodutointernoe L: V ~ V umatransformaolineartal que

IIL(v)1I= IIvll, paratodov E V.

ProvequeL umisomorfismo,isto,umatransformaolinearbijetora.

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