Os trabalhadores A e B, trabalhando separa-damente, levam cada um 9 e 10 horas, res-pectivamente, para construir um mesmomuro de tijolos. Trabalhando juntos no servi-ço, sabe-se que eles assentam 10 tijolos a me-nos por hora em relação ao que se esperariada combinação da velocidade de trabalho decada um. Se juntos os dois trabalhadoresconstroem o muro em 5 horas, o número detijolos assentados no serviço é igual aa) 450.d) 1 550.

b) 600.e) 1 800.

c) 900.

alternativa C

Seja x N∈ o número de tijolos no muro. Traba-lhando separadamente, as velocidades de A e B

são, respectivamente,x9

ex

10tijolos por hora.

Assim, trabalhando juntos, a velocidade éx9

+

+ −x10

10 tijolos por hora e, como juntos constroem

um muro em 5 horas,x9

x10

10x5

x 900+ − = ⇔ = .

O número de tijolos assentados no serviço é, por-tanto, 900.

Em relação a um código de 5 letras, sabe-seque o código– CLAVE não possui letras em comum;– LUVRA possui uma letra em comum, queestá na posição correta;– TUVCA possui duas letras em comum, umana posição correta e a outra não;– LUTRE possui duas letras em comum, am-bas na posição correta.Numerando, da esquerda para a direita, asletras do código com 1, 2, 3, 4 e 5, as informa-ções dadas são suficientes para determinar,no máximo, as letras ema) 1 e 2.d) 1, 3 e 4.

b) 2 e 3.e) 2, 3 e 4.

c) 1, 2 e 3.

alternativa B

O código procurado não possui as letras do códi-go CLAVE.O código TUVCA possui 2 letras em comum como código desconhecido. Eliminando as letras V, Ce A concluímos que T e U pertencem ao códigoprocurado.Se o código LUTRE possui 2 letras comuns, am-bas na posição correta e as letras U e T estãonesse código, as demais não pertencem ao códi-go desconhecido.Portanto U e T estão, respectivamente, nas posi-ções 2 e 3 do código procurado.

Uma escola possui 2 600 alunos que nasce-ram em anos de 365 dias. O número mínimodesses alunos da escola que faz aniversáriono mesmo dia (e mês), e que nasceu no mes-mo dia da semana éa) 36. b) 38. c) 42. d) 46. e) 54.

alternativa D

Vamos supor que desejamos minimizar a quanti-dade de alunos, tal que exista um outro aluno quefaça aniversário no mesmo dia e mês, e nasceuno mesmo dia da semana.Observe que 2 600 365 7 45= ⋅ + .Se 7 ou menos pessoas fizerem aniversário nomesmo dia e mês, é possível que nenhuma tenhanascido no mesmo dia da semana. Assim, com365 7⋅ alunos, é possível que nenhum faça ani-versário no mesmo dia e mês, e tenha nascido nomesmo dia da semana do outro. Porém, cobrimosassim todas as possibilidades.Assim, é preciso escolher um dia de aniversário eum dia da semana para cada um dos outros 45alunos restantes.Percebemos que, a cada nova data escolhidapara um aluno, somamos dois alunos ao total dosque fazem aniversário juntos e nasceram no mes-mo dia da semana. Em contrapartida, se esco-lhermos uma data previamente escolhida, soma-mos apenas um aluno. Dessa forma, para minimi-zar o número de alunos, basta escolhermos amesma data para todos os 45 alunos, totalizando46 alunos fazendo aniversário numa mesma datae nascendo no mesmo dia da semana.

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Admita que no lançamento de um dado, nãoviciado e com seis faces numeradas, possamocorrer apenas os eventos A, B ou C, cada umcom probabilidade PA , PB e PC , respectiva-mente. Sabendo-se que P 6P 1 4PA B C+ = + eP 2(P P )A B C= + , dentre as alternativas a se-guir, a única que pode representar o evento Aé sair um númeroa) menor que 2.b) menor ou igual a 2.c) maior que 2.d) maior do que 3.e) diferente de 3.

alternativa C

Como podem ocorrer apenas os eventos A, B eC, e admitindo que são mutuamente exclusivos,temos P P P 1A B C+ + = . Dessa forma,

P P P 1

P 6P 1 4P

P 2 (P P )

P P 1 P

P 6PA B C

A B C

A B C

B C A

A

+ + =+ = += ⋅ +

⇔+ = −+ B C

A A

4P 1

P 2 (1 P )

− == ⋅ −

⇔

+ = −

+ − =

=

⇔=

= =

P P 123

23

6P 4P 1

P23

P23

P P16

B C

B C

A

A

B C

.

Assim, dentre os eventos apresentados nas alter-nativas, o único cuja probabilidade de ocorrer é

P23A = é o da alternativa C.

Uma pessoa trabalha no máximo 160 horaspor mês, programando e consertando compu-tadores. Sua remuneração pelo trabalho é deR$ 40,00 por hora de programação e R$ 20,00por hora de conserto de computador. Sabe-setambém que ela trabalha x horas por mês comprogramação e y horas com conserto de compu-tadores, ganhando ao menos R$ 5.000,00 por

mês com esse trabalho. Nessas condições,(x,y) é um par ordenado que necessariamentepertence à região poligonal representada pora)

b)

c)

d)

matemática 2

Questão 4

Questão 5

e)

ver comentário

A pessoa pode trabalhar no máximo 160 horas pormês, x horas com programação e y horas comconserto de computadores, ou seja, x y 160+ ≤ .Em relação à remuneração, ela ganha R$ 40,00por hora em programação e R$ 20,00 por hora emconserto. Sendo a sua remuneração no mínimo deR$ 5.000,00 mensais, temos 40x 20y 5 000+ ≥ .O número de horas deve ser não negativo, isto é,x ≥ 0 e y ≥ 0.Logo, devemos atender simultaneamente às se-guintes condições:

x 160

40x 20y 5 000

x 0 e y 0

+ ≤+ ≥

≥ ≥

y

Graficamente, a região poligonal procurada é a in-tersecção das regiões destacadas, conforme a fi-gura a seguir.

O par ordenado (x; y) que satisfaz as condiçõesdo enunciado necessariamente pertence às re-giões poligonais representadas nas alternativas Ae D.

O montante aplicado de R$ 50.000,00 foi divi-dido em duas partes, x e y, uma tendo rendi-do 1% em um mês, e a outra 10% no mesmoperíodo. O total dos rendimentos dessa apli-cação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as

matrizes Mxy

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , P

504

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e Q =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 0 011 01

,,

,

a matriz M pode ser obtida pelo produtoa) 1 000 ⋅ (Pt ⋅ Q)−1

b) Pt ⋅ Q ⋅ 1 000

c) Q−1 ⋅ P ⋅ 1 000

d) 1 000 ⋅ (Qt)−1 ⋅ P

e) (Q−1)t ⋅ P ⋅ 1 000

ver comentário

De acordo com o enunciado, devemos terx y 50 1 000

0,01 x 0,1 y 4 1 000

+ = ⋅⋅ + ⋅ = ⋅

⇔

⇔⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ ⇔

1 1

0,01 0,1

x

y

50

41 000

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔Q M P 1 000t

⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔− −(Q ) Q M (Q ) P 1 000t 1 t t 1

⇔ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔−I M2t 1(Q ) P 1 000

⇔ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− −M 1 000 (Q ) P (Q ) P 1 000,t 1 1 t

pois det(Q) ≠ 0.Assim, as alternativas D e E estão corretas.

Seja f uma função de IN em Q, dada por

f(x)2x 1, 1 x 5

x 12, 5 x 12=

− ≤ <− + ≤ ≤

⎧⎨⎩

Sabendo-se que a função f determina o nú-mero de vezes que um equipamento foi utili-zado em cada um dos 12 meses de um ano, écorreto afirmar que a mediana (estatística)dos 12 registros é igual a

a) 3. b) 3,5. c) 113

. d) 4. e) 5,5.

alternativa B

Temos f(1) 2 1 1 1= ⋅ − = , f(2) 2 2 1 3= ⋅ − = ,f(3) 2 3 1 5= ⋅ − = , f(4) 2 4 1 7= ⋅ − = ,

matemática 3

Questão 6

Questão 7

f(5) 5 12 7= − + = , f(6) 6 12 6= − + = ,f(7) 7 12 5= − + = , f(8) 8 12 4= − + = ,f(9) 9 12 3= − + = , f(10) 10 12 2= − + = ,f(11) 11 12 1= − + = , f(12) 12 12 0= − + = .Ordenando esses 12 valores, obtemos a seqüên-cia (0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7), cuja medianaserá igual à média aritmética entre o 6º e o 7º va-

lores, isto é,3 4

23,5

+ = .

Um supermercado, que fica aberto 24 horaspor dia, faz a contagem do número de clientesna loja a cada 3 horas. Com base nos dadosobservados, estima-se que o número de clien-tes possa ser calculado pela função trigono-

métrica f(x) 900 800senx12

= − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π , onde f(x)

é o número de clientes e x, a hora da obser-vação (x é um inteiro tal que 0 x 24≤ ≤ ).Utilizando essa função, a estimativa da dife-rença entre o número máximo e o número mí-nimo de clientes dentro do supermercado, emum dia completo, é igual aa) 600.c) 900.e) 1 600.

b) 800.d) 1 500.

alternativa E

Como0 x 24 0x12

2≤ ≤ ⇔ ≤ ≤π π, temos

− ≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ⇔1 sen

x12

1π

⇔ − ≤ − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ⇔800 800 sen

x12

800π

⇔ ≤ − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ⇔100 900 800 sen

x12

1 700π

⇔ ≤ ≤100 f(x) 1 700.Logo a diferença entre o número máximo e o nú-mero mínimo de clientes dentro do supermercado,em um dia completo, é 1 700 100 1 600− = .

Os 2 vendedores de uma empresa decidiramdelimitar a região de atuação de cada um docentro da cidade de São Paulo até, no máxi-

mo, um raio de 30 km. A divisão foi estabele-cida da seguinte forma:– Cláudio atuará em todos os locais até a dis-tância de x quilômetros do centro da cidade;– Luís atuará em todos os locais cuja distân-cia ao centro da cidade esteja entre x e y qui-lômetros;– a área da cidade que caberá a cada um seráa mesma, com y > x ≠ 0.Segundo o que foi estabelecido pelos vendedo-res, o lugar geométrico no plano cartesianodos pares ordenados (x,y) éa) b)

c) d)

e)

alternativa B

Supondo o centro da cidade no ponto (0; 0), aárea de atuação de Cláudio é o círculo de centro(0; 0) e raio x, e a área de atuação de Luís é acoroa circular determinada pelos círculos de cen-tro (0; 0) e raios x e y, com y > x.Como a área de atuação dos dois é a mesma,π ⋅ (y 2 − x 2 ) = π ⋅ x 2 ⇔ y 2 = 2x 2 ⇔ y = x 2 .

matemática 4

Questão 9

Questão 8

Além disso, 0 < y ≤ 30 ⇔ 0 < x 2 ≤ 30 ⇔ 0 < x ≤≤ 15 2 . Portanto, o lugar geométrico dos pares(x; y) é representado por um segmento de reta,cujas extremidades são (0; 0) aberta e (15 2 ; 30)fechada.

A figura indica infinitos triângulos isósceles,cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2,1, ...

Sabendo que as somas das áreas dos infinitostriângulos hachurados na figura é igual a 51,pode-se afirmar que a área do retângulo delados h e d é igual aa) 68. b) 102. c) 136. d) 153. e) 192.

alternativa C

Considere a figura a seguir:

Como o ∆ABC é isósceles, a altura AA’

também é a mediana relativa à base BC e entãoB’A = BA’ = 4.Assim, AD DF FH+ + + = −... d 4. Masd 8 4= + +

+ + + =−

=2 1 ...8

112

16. Então a soma das ba-

ses dos infinitos triângulos destacados éd 4 16 4 12− = − = . Como a soma das áreas dosinfinitos triângulos é 51, temos:

51AD DF FH ...

2h

(d 4) h2

= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ = − ⋅ =

= ⋅6 h ⇔ h516

= .

A área do retângulo de lados h e d é igual a

d h 16516

136⋅ = ⋅ = .

Figuras para as questões de números 11 e12.

As figuras A e B indicam, respectivamente,planificações de sólidos em forma de prisma epirâmide, com todas as medidas sendo dadasem metros. Denotando por V1 e V2 os volu-mes do prisma e da pirâmide, respectivamen-te, conclui-se que V1 representa de V2a) 25%.d) 65%.

b) 45%.e) 75%.

c) 50%.

matemática 5

Questão 11

Questão 10

d

8 4 2 1 ...

...h

2

2

2 222

2

4 4

2

A

a

2

4

4

4

4

B

alternativa E

Consideremos a partir das planificações as repre-sentações do prisma reto e da pirâmide a seguir:

Admitindo que a base do prisma é um trapézio re-

tângulo, o volumeV1 é(4 2)

22 2 12 m3+ ⋅ ⋅ = .

Como VH é perpendicular à base trapezoidal, o

volume V2 da pirâmide é13

(4 2) 42

4⋅ + ⋅ ⋅ =

= 16 m3 .

Assim,VV

1216

V 75% V1

21 2= ⇔ = ⋅ .

O ângulo α, indicado na figura B, é igual a

a) arc cos − 15

. b) arc cos 15

.

c) arc cos − 2425

. d) arc sen 2425

.

e) arc sen 1.

alternativa A

Consideremos a planificação da pirâmide, em queAH = GH, AB = CB, CD = ED e EF = GF.

A aresta GF da pirâmide mede

4 2 2 52 2+ = m, e portanto EF = GF = 2 5 m.

No triângulo retângulo FID, temos FD = 4 22 2+ =

= 2 5 m. Por outro lado, BC = AB = 4 42 2+ == 4 2 m.Também pelo teorema de Pitágoras no ∆CBD,

CD = ED = 4 (4 2 )2 2+ = 4 3 m.

Aplicando a lei dos co-senos ao ∆EFD, (4 3 )2 == + − ⋅ ⋅(2 5 ) (2 5 ) 2 (2 5 )(2 5 ) cos2 2 α ⇔

⇔ = − ⇔ = − ⇔48 40 40 cos cos15

α α

⇔ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α arc cos

15

.

Um fundo de investimento disponibiliza nú-meros inteiros de cotas aos interessados nes-sa aplicação financeira. No primeiro dia denegociação desse fundo, verifica-se que 5 in-vestidores compraram cotas, e que foi vendi-do um total de 9 cotas. Em tais condições, onúmero de maneiras diferentes de alocaçãodas 9 cotas entre os 5 investidores é igual aa) 56.d) 120.

b) 70.e) 126.

c) 86.

alternativa B

O número de maneiras de alocar as 9 cotas entreos 5 investidores, sendo que todos compraramcotas, é igual ao número de soluções inteiras e po-

matemática 6

Questão 12

Questão 13

2

2

2

4

sitivas da equação x x x x x 9,1 2 3 4 5+ + + + =onde xi representa o número de cotas compradas

pelo i-ésimo investidor, isto é, C8

49 1, 5 1− − =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =8 7 6 54!

70.

Sabendo-se que a circunferência x2 + y2 − 6x ++ 4y + p = 0 possui apenas um ponto em co-mum com a reta y = x − 1, conclui-se que p éigual aa) −9. b) 7. c) 9. d) 11. e) 12.

ver comentário

Como a circunferência e a reta possuem um únicoponto em comum, o sistema

x y 6x 4y p 0

y x 1

2 2+ − + + == −

possui uma única solução, isto é, a equaçãox 2 + −(x 1)2 − 6x + 4(x − 1) + p = 0 ⇔⇔ 2x 2 − 4x + (p − 3) = 0 deve ter ∆ = 0, ou seja,( 4)2− − 4 ⋅ 2(p − 3) = 0 ⇔ p = 5.

Os gráficos das funções exponenciais g e hsão simétricos em relação à reta y = 0, comomostra a figura:

Sendo g(x) = a + b ⋅cx e h(x) = d + e ⋅f x, a somaa + b + c + d + e + f é igual a

a) 0. b) 73

. c) 103

. d) 8. e) 9.

alternativa D

Pelos gráficos, as assíntotas de g(x) e h(x) são,respectivamente, as retas de equações y 3= ey 3= − .Como g(x) = a + b ⋅c x e h(x) = d + e ⋅ f x , temos

a 3= e d = −3. E pelos gráficos, g(0) = 4, g12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 5,

h(0) = −4 e h12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −5. Assim:

3 b c 4

3 b c 5

3 e f 4

3 e f 5

b 1

c 4

e 1

f

0

12

0

12

+ ⋅ =

+ ⋅ =

− + ⋅ = −

− + ⋅ = −

⇔

=== −= 4

Logo a + b + c + d + e + f = 3 + 1 + 4 − 3 − 1 + 4 = 8.

Uma aplicação financeira rende juros de 10%ao ano, compostos anualmente. Utilizandopara os cálculos as aproximações fornecidasna tabela, pode-se estimar que uma aplicaçãode R$ 1.000,00 seria resgatada no montantede R$ 1.000.000,00 após

x log x

2 0,30

5 0,70

11 1,04

a) mais de 1 século.

c) 45

de século.

b) 1 século.

d) 23

de século.

e) 34

de século.

alternativa E

Uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 renden-do juros compostos de 10% ao ano, poderá ser

matemática 7

Questão 16

Questão 14

Questão 15

resgatada no valor de R$ 1.000.000,00 depois deum tempo t, em anos, tal que1 000(1 + 10%)t = 1 000 000 ⇔ (1,1)t = 1 000 ⇔

⇔ log (1,1)t = log 1 000 ⇔ t = log 1 000log(1,1)

⇔

⇔ t = log 1 000

log1110

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇔ t = log 1 000log 11 log 10−

anos.

Usando a aproximação dada log 11 ≅ 1,04, t ≅

≅ 31,04 1−

= 75 anos = 34

de século.

Admita que o centro do plano complexoArgand-Gauss coincida com o centro de umrelógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades decomprimento, às 11h55min sua ponta estarásobre o número complexoa) − +1 3 i

d) 3 i−b) 1 3 i+e) 3 i+

c) 1 3 i−

alternativa A

Às 11h55min, a ponta do ponteiro dos minutos re-presenta o número complexo Z de módulo 2 e ar-gumento principal 4 30 120o o⋅ = .Assim, Z 2(cos 120 i sen 120 )o o= + ⋅ =

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − +2

12

32

i 1 3 i.

Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a

matriz quadrada0 1 21 0 21 0 0−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Se o determinante da matriz (M + xI) é umafunção polinomial na variável x, a soma desuas raízes é igual aa) −1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3.

alternativa B

M xI

0 1 2

1 0 2

1 0 0

x

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x 1

+ =−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+ ⋅⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=2

1 x 2

1 0 x−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Seja f x( ) a função polinomial descrita. Temos:

f(x)

x 1 2

1 x 2

1 0 x

f(x) x x 23=−

⇔ = + −

Pelas relações entre os coeficientes e as raízes, a

soma das raízes desta função é− =01

0.

Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) == + +ax bx c2 . Sabe-se que o gráfico de g ésimétrico ao de f em relação ao eixo y, comomostra a figura.

Os pontos P e Q localizam-se nos maiores ze-ros das funções f e g, e o ponto R é o intercep-to de f e g com o eixo y. Portanto, a área dotriângulo PQR, em função dos parâmetros a,b e c da função f, é

a) (a b) c2

− ⋅

c) − ⋅ ⋅a b c2

e) c2 a

2

⋅

b) (a b) c2

+ ⋅

d) − ⋅⋅

b c2 a

alternativa D

Sejam x e x1 2 , x x1 2< , as raízes da função f.Como o gráfico de g é simétrico ao gráfico de f

matemática 8

Questão 18

Questão 19

Questão 17

em relação ao eixo y, as raízes de g são− −x e x1 2 , − < −x x2 1 .Como os pontos P e Q localizam-se nos maioreszeros de f e g, que são respectivamente x e x2 1− ,

PQ x ( x ) x xba2 1 2 1= − − = + = − . Sendo R o

ponto de intersecção de f e g com o eixo y,R (0; f(0)) (0; c)= = .

Logo a área do triângulo PQR é igual a− ⋅

=

ba

c

2

= − bc2a

.

A posição de um objeto A num eixo numerado

é descrita pela lei 18

78

2− ⋅ −0,5t , onde t é o

tempo em segundos. No mesmo eixo, move-seo objeto B, de acordo com a lei 2−t . Os objetosA e B se encontrarão num certo instante tAB .O valor de tAB , em segundos, é um divisor dea) 28. b) 26. c) 24. d) 22. e) 20.

alternativa C

No encontro dos objetos A e B, temos:18

78

2 20,5t t− ⋅ = ⇔− −

⇔ − ⋅ = ⋅ ⇔− −1 7 2 8 20,5 tt

⇔ ⋅ + ⋅ − = ⇔− −8 2 7 2 1 0t 0,5t

⇔=

+ − =⇔

=

= − =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

2 y

8y 7y 1 0

2 y

y 1ou y18

0,5t

2

0,5t

Logo 218

2 20,5t 0,5t 3− − −= ⇔ = ⇔

⇔ − = − ⇔0,5t 3 t 6= segundos, que é um divi-sor de 24.

A cidade D localiza-se à mesma distância dascidades A e B, e dista 10 km da cidade C. Emum mapa rodoviário de escala 1:100 000, a lo-calização das cidades A, B, C e D mostra queA, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, acidade D está localizada na intersecção entrea) a mediatriz de AB e a circunferência decentro C e raio 10 cm.

b) a mediatriz de AB e a circunferência decentro C e raio 1 cm.c) as circunferências de raio 10 cm e centrosA, B e C.d) as bissetrizes de CAB� e CBA� e a circunfe-rência de centro C e raio 10 cm.e) as bissetrizes de CAB� e CBA� e a circunfe-rência de centro C e raio 1 cm.

alternativa A

Como a cidade D é eqüidistante das cidades A e Be está a 10 km da cidade C, D está na intersecçãoda mediatriz do segmento AB com a circunferênciade centro C e raio 10 km, que na escala 1 : 100 000

será correspondente a10

100 000km =10 4− km =

= 10 cm.Obs.: tal intersecção pode ser em dois pontos. Alocalização da cidade D então não ficaria determi-nada.

Na figura, ABC é um triângulo com AC == 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.

Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do

triângulo ABC, o quociente QRAR

é igual a

a) 0,3. b) 0,35. c) 0,4. d) 0,45. e) 0,5.

alternativa C

Aplicando o teorema da bissetriz interna ao triân-gulo ABC, obtemos:BQAB

CQAC

BQ15

14 BQ20

BQ 6= ⇔ = − ⇔ =

No triângulo ABQ, BR é bissetriz interna.Assim, aplicando novamente o teorema da bisse-triz interna:QRBQ

ARAB

QR6

AR15

QRAR

615

0,4= ⇔ = ⇔ = =

matemática 9

Questão 20

Questão 21

A P C

R

B

Q

Questão 22

Na figura, ABCD é um quadrado, e M, N e Psão pontos médios de AD, BC e CD, respecti-vamente:

Sabendo-se que os segmentos de reta BM, BDe NP dividem o quadrado em polígonos deáreas S1, S2, S3 e S4, conforme indica a figu-ra, é correto afirmar quea) 6 S1 = 6 S2 = 4 S3 = 3 S4b) 4 S1 = 3 S2 = 3 S3 = 5 S4c) 3 S1 = 3 S2 = 2 S3 = 4 S4d) 3 S1 = 3 S2 = 6 S3 = 2 S4e) 3 S1 = 3 S2 = 2 S3 = 6 S4

alternativa E

Na figura, observa-se que os triângulos AMB eMDB têm bases AM e MD, respectivamente,iguais e altura AB. Seja então S = S1 = S2 .

Como P e N são pontos médios de CD e BC, res-

pectivamente, ∆CNP ~ ∆CBD eS

S S4

3 4+=

CNBC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2⇔

SS S

4

1 2+= 1

4⇔

S2S

4 = 14

⇔ S = 2 ⋅S4 .

Logo S3 = 2S − S2

= 3S2

⇔ S =2 S

33⋅

.

Assim S1 = S2 =2S

33 = 2S4 ⇔

⇔ 3S1 = 3S2 = 2S3 = 6S4 .

A média das alturas dos 6 jogadores em qua-dra de um time de vôlei é 1,92 m. Após subs-tituir 3 jogadores por outros, a média das al-turas do time passou para 1,90 m. Nessas

condições, a média, em metros, das alturasdos jogadores que saíram supera a dos queentraram ema) 0,03.c) 0,06.e) 0,12.

b) 0,04.d) 0,09.

alternativa B

A soma das alturas dos jogadores, antes dassubstituições, é 6 1,92 11,52⋅ = m e após,6 1,90 11,40⋅ = m. Assim a média das alturas dosjogadores que saíram supera a dos jogadores que

entraram em11,52 11,40

3− = 0,04 m.

A tabela indica a seqüência de teclas digita-das em uma calculadora (da esquerda para adireita) e o resultado apresentado no visorapós a seqüência:

Seqüência deteclas ( )→

Resultado novisor

2 + 3 = 5

2 + 3 = = 8

2 + 3 = = = 11

� �

Sabendo que X e Y representam dois algaris-mos de 0 a 9, e que após digitarmos X + Yseguido de 20 vezes a digitação da tecla = ob-tivemos o número 87, é correto afirmar queX Y+ é igual aa) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8.

alternativa B

Analisando a tabela, concluímos que digitar X + Yseguido de 20 vezes a digitação da tecla = ,significa adicionar 20 ⋅ Y a X, ou seja, X + 20 ⋅ Y == ⇔ = −87 X 87 20Y.Como X e Y são algarismos de 0 a 9, 0 ≤ 87 − 20y ≤

≤ 9 ⇔ 7820

≤ Y ≤ 8720

⇔ Y = 4. Assim, X =

= 87 − 20 ⋅ 4 = 7 e X + Y = 7 + 4 = 11.

matemática 10

Questão 23

Questão 24

Questão 25

O sólido da figura 1 foi obtido a partir deduas secções em um cilindro circular reto dealtura 24 cm e raio da base 10 cm. As secçõesforam feitas na intersecção do cilindro comum diedro de 60o, como mostra a figura 2:

Sabendo que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’pertencem às faces do diedro e às circunfe-rências das bases do cilindro, como mostra afigura 2, a área da superfície BB’C’C, contidana face lateral do cilindro, em cm², é igual a

a) 60 π . b) 40 3 π .

c) 80 π . d) 90 3 π .

e) 160 π .

alternativa E

Sejam O o centro da circunferência que contémos pontos A, B e C e O’ o centro da circunferênciaque contém os pontos A’, B’ e C’. Pelo teoremado ângulo inscrito, podemos afirmar quem(C’O’B’) m(COB) 2 60 120o o� �= = ⋅ = .Assim, como a área da superfície lateral do cilin-dro é diretamente proporcional ao ângulo do die-dro de aresta OO’, temos que a área da superfície

BB’C’C é120

3602 10 24 160 cm

o

o2⋅ ⋅ ⋅ =π π .

Sabe-se que o custo por unidade de mercado-ria produzida de uma empresa é dado pela

função C(x) x10 000

x160= + − , onde C(x) é

o custo por unidade, em R$, e x é o total deunidades produzidas. Nas condições dadas, o

custo total mínimo em que a empresa podeoperar, em R$, é igual aa) 3 600,00.c) 4 000,00.e) 4 400,00.

b) 3 800,00.d) 4 200,00.

alternativa A

O custo total na produção de x unidades da mer-cadoria é dado por

x C(x) x x10 000

x160⋅ = ⋅ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

= − +x 160x 10 0002 reais, cujo valor mínimo é

− − − ⋅ ⋅⋅

=[ ]( 160) 4 1 10 0004 1

3 6002

reais.

Na figura estão representados dois quadra-dos de lado d e dois setores circulares de 90o eraio d:

Sabendo que os pontos A, E e C estão alinha-dos, a soma dos comprimentos do segmentoCF e do arco de circunferência AD, em funçãode d, é igual a

a) ( )2 36

+ πd b) ( )3

6+ π

d

c) ( )4 312

+ πd d) ( )12

24+ π

d

e) ( )2 312

+ πd

alternativa A

Seja AG = d2

perpendicular a FD. No triângulo

AGE, senθ = AGAE

d2d

sen12

30o= ⇔ = ⇔ =θ θ .

matemática 11

Questão 27

A

CB

A,

B,

C,

figura 1

60°

A

C

A,

C, B

,

B

figura 2

Questão 26

Questão 28

No triângulo CFE, CF = d ⋅ tgθ =d ⋅ tg 30o = d 33

.

O arco AD mede30

3602 d

d6

o

o ⋅ =π π.

Assim CF + AD = d 33

d6

(2 3 )6

d+ = +π π.

Sabe-se que o sistema linear

x y 22x ay log ( a)b

− =+ = −

⎧⎨⎩

nas variáveis x e y, é

possível e indeterminado. Nessas condições,ba é igual a

a) 2 24 . b) 2. c) 24 .

d) 22

. e) 22

4.

alternativa D

x y 2

2x ay log ( a)

x y 2

(a 2)y 4 log ( a)b b

− =+ = −

⇔= ++ = − + −

Para que o sistema seja possível e indetermina-do, devemos ter:a 2 0

4 log ( a) 0

a 2

4 log 2 0b b

+ =− + − =

⇔= −

− + =⇔

⇔a 2

b 24

= −

=

Logo b ( 2 )12

22

a 4 2= = =− .

O país A possui renda per capita anual de Rdólares e população de P habitantes. Saben-do-se que o país B possui renda per capitaanual igual a 60% da do país A e o dobro dasua população, é correto dizer que a renda to-tal anual do país B éa) 20% inferior à de A.b) 30% inferior à de A.c) igual à de A.d) 30% superior à de A.e) 20% superior à de A.

alternativa E

A renda total anual de um país é o produtoda renda per capita pela população. A rendatotal anual do país A é P R⋅ , e a do país B,(2 ⋅ P) ⋅ (60% ⋅ R) = 1,2 ⋅ P ⋅ R, que é 0,2 = 20% su-perior à de A.

matemática 12

Questão 29

Questão 30