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ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADERESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOSRACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FÍSICA/QUÍMICA E–mail [email protected] suas dúvidas e questões [email protected] saiba como receber o GABARITO comentado.PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS [email protected] [email protected] [email protected] ORKUThttp://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.comTelefone para contato: (21) 9837
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ANÁLISE COMBINATÓRIAE
PROBABILIDADE
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1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1. Binômio de Newton
Chamamos binômio de newton a expressão (x + a)n.O desenvolvimento desse binômio é dado por:
1.1] Triângulo de Pascal
O Triângulo de Pascal é um método prático de determinar os valores dos números binomiais da forma :
O triângulo segue uma lógica de formação dos números binomiais
Calculando cada número binomial na formação acima teremos:Observe que existe uma lógica de preenchimento.
A soma de dois números vizinhos é igual ao número abaixo do segundo número somado.
1.2] Desenvolvimento do Binômio de Newton.
1.2.1] Desenvolva (x+2)5
Solução:
1.2.2] Desenvolvimento de (2x + 3)4
1.2.3] Desenvolvimento de (3x - 1)6
1.2.4] Desenvolvimento de (1 + i)4 onde i é complexo.
1.2.5] Desenvolvimento de (1 - 2x)3
1.2.6] Desenvolvimento de (-2x - 3)4
1.2.7] Desenvolvimento de
1.2.8] Desenvolvimento de
1.2.9] Desenvolvimento de
1.2.10] Desenvolvimento de
1.3] Termo geral do desenvolvimento do Binômio de Newton.
Percebemos que em qualquer desenvolvimento do binômio tipo (x + a)n, teremos sempre n+1 parcelas formadas por três fatores, compondo, um número binomial, uma potência de x e uma potência de a. Assim podemos prever uma determinada parcela ou termo do desenvolvimento do binômio, poupando o trabalho de calcular todos os termos do mesmo.Aplicando a fórmula abaixo encontraremos o k-ésimo termo do desenvolvimento, onde p = k - 1 e n o expoente do binômio.
, onde p = k-1
1.3.1] Determine o 8° termo do binômio
Solução:queremos o 8° termo logo k =8 então p = k - 1 p = 7n = 10Substituindo esses valores na fórmula do Termo geral teremos:
1.3.2] Determine o termo em x10 no desenvolvimento de (2x2 - 5)8:
1.3.3] Determine o termo independente em
1.3.4] (MED. ABC) Calcule o 5° termo de (x - 3)6.
1.3.5] (UF-MG) Determine o 6° termo de
1.3.6] (UF-PA) Qual o valor do termo médio de (2x + 3y)8
1.3.7] (U Estadual - CE) Determine o coeficiente de x4 de (2x + 1)8
1.3.8] (PUC-RS) O Coeficiente de x2 no desenvolvimento de
1.3.9] (PUC-RS) No desenvolvimento de (x + a)10, ordenado segundo as
potências decrescentes de x, o 5° termo é igual a , se a>0
então o valor de a será igual a:
1.3.10] (UF-AM) O Termo independente de x no desenvolvimento do
binômio é igual a:
1.3.11] (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão obtém-
se como termo independente de x o valor igual a:
1.3.12] (Proposto) Qual a condição que n deve suportar para que no
desenvolvimento de tenha um termo independente de x.
2. Princípios de Contagem
O princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, estabelece que:O número de maneiras distintas de ocorrer um evento composto de n etapas independentes é dado pelo produto das quantidades de cada evento considerado.
Exemplo:
Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos diferentes de refrigerantes. De quantos modos uma pessoa pode fazer um lanche, utilizando no pedido um sanduíche e um refrigerante?
Pelo princípio multiplicativo temos:Evento sanduíche = 3Evento refrigerante = 4
logo o total de pares (sanduíche, refrigerante) será dado por:
Total de modos = 3 x 4 = 12 modos diferentes de fazer o lanche.
PERMUTAÇÃO - fórmula
Permutar significa trocar.Na permutação, a troca de posição dos elementos no grupamento, cria uma nova situação.Exemplos.Seja o número 3567, se trocarmos de posição os algarismos das extremidades teremos o número 7563. Como 3567 é diferente de 7563, estamos diante de uma permutação.A fórmula da permutação demonstra a quantidade de grupos distintos que se pode formar.
onde n é a quantidade de elementos a serem permutados.
No nosso exemplo, n = 4, logo Pn = 4! = 4.3.2.1 = 24 grupos distintos.Aplicando o princípio multiplicativo chegaríamos ao mesmo resultado.
O grupo é formado por 4 posições.
Na posição P1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,5,6 ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4Na posição P2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P1), portanto o número de eventos dessa posição é 3.Na posição P3, temos à disposição 2 algarismos (pois dois já ocupam a P1 e a P2), portanto o número de eventos dessa posição (P3) é igual a 2.Resta apenas a posição P1, com 1 algarismo à sua disposição.Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de permutações possíveis com elementos distintos será:
o que resulta em 24 modos.
ARRANJO - fórmula :
O Arranjo tem o mesmo significado da permutação, porém o número de elementos no grupo pode ser menor do que a quantidade de elementos a serem permutados.No exemplo da permutação, permutamos os 4 algarismos (6,5,3,7), em grupos de 4. Já no Arranjo a permutação pode ser feita, formando grupos com menor número de algarismos.Nesse caso n representa o número de algarismos à disposição e p, representa o número de elementos no grupo formado.
Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar utilizando 6,5,3,7 ?Aplicando a fórmula teremos:
Vejamos pelo princípio multiplicativo.O grupo é formado por 2 posições.
Na posição P1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,5,6 ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4Na posição P2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P1), portanto o número de eventos dessa posição é 3.
Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de Arranjos possíveis com elementos distintos será:
o que resulta em 12 modos.
COMBINAÇÃO - fórmula:
Existem situações onde a ordem dos elementos não vai fazer diferença.Exemplos:A ordem das pessoas numa comissão, não difere a comissão.Joao, Maria e José fazem parte de um grupo ou comissão. Se invertermos as posições dessas pessoas, não vai alterar a composição da comissão!.
O princípio multiplicativo não se aplica nos casos de combinação.
Elementos repetidos nos eventos
Quando houver elementos repetidos nas situações teremos que dividir os resultados pelo fatorial das quantidades repetidas.
2.1.1] PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
onde a, b, c... são as quantidades repetidas.Exemplo:Quantos anagramas podemos formar com a palavra BARBARIDADE?Solução:Na palavra BARBARIDADE temos:11 letras, n = 112 letras (B) repetidas, a = 23 letras (A) repetidas, b = 32 letras (R) repetidas, c = 22 letras (D) repetidas, d = 2Aplicando a fórmula acima teremos:
2.1.2] ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Seguindo o mesmo raciocínio da permutação com elementos repetidos.
2.1.3] COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1.4] Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos de refrigerantes. Quantos modos uma pessoa pode fazer o pedido, de um sanduíche e um refrigerante.
2.1.5] Numa escola, haverá um campeonato de futebol de salão do qual tomarão parte 5 classes. Apenas as duas primeiras colocadas participarão das olimpíadas escolares. Quantas possibilidades existem para os dois primeiros lugares, sabendo-se que:
qualquer uma das 5 classes pode ocupar o primeiro lugartendo uma classe ocupado o primeiro lugar, restam 4 classes para ocupar o segundo.
2.1.6] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6.
2.1.7] Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6
2.1.8] Quantas chapas de carro com 3 letras e 4 algarismos (nessa ordem, considerando o alfabeto com 26 letras) podemos formar?
2.1.9] Chamamos ANAGRAMA de uma palavra a todo arranjo que podemos formar com as mesmas letras da palavra primitiva. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO ?
2.1.10] Luís e Jaime vão disputar um torneio de tênis. O primeiro a vencer 2 jogos consecutivos ou o primeiro a vencer um total de 3 partidas vencerá o torneio. Construa a árvore com todas as possibilidades de desenvolvimento desse torneio.
2.1.11] No início de um jogo, Fernando tem R$850,00. A cada jogada, se Fernando vencer, ganha R$10,00, e se perder, paga R$10,00. Determine os possíveis valores que Fernando terá ao final de três jogadas.
2.1.12] De quantas maneiras podem ser escolhidas, no tabuleiro de xadrez, uma casa preta e uma casa branca:
quaisquerque não estejam na mesma vertical nem na mesma horizontal?
2.1.13] Uma prova consta de 10 questões do tipo (v) ou (f). De quantos modos um aluno poderá responder todos os testes?
2.1.14] Em um ônibus há 5 lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantos modos elas podem se sentar?
2.1.15] Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com 4 algarismos ímpares distintos?
2.1.16] Existem duas estradas que ligam as cidades A e B e 3 estradas que ligam B a C. De quantos modos distintos é possível ir de A a C, passando por B?
2.1.17] Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos?
2.1.18] Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos distintos?
2.1.19] Quantos números de telefone com 7 algarismos e prefixo 237 podem ser formados?
2.1.20] Quantos anagramas da palavra SABUGO, começam com a sílaba SA?
2.1.21] Calcule quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar no Sistema Decimal de numeração. Dentre eles, quantos são maiores que 5000?
2.1.22] Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes?
2.1.23] Uma comissão de uma câmara de vereadores é composta por um presidente, um secretário e um vereador convidado. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode-se escolher a comissão?
2.1.24] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de Matemática fiquem sempre juntos.
2.1.25] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de uma mesma matéria fiquem sempre juntos.
2.1.26] Quantos números com 3 algarismos distintos são maiores que 500 e menores que 700?
2.1.27] Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2,3,4,8,9 e disponha-os em ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?
2.1.28] Quantos segredos diferentes pode ter um cofre que possui dois discos sendo um com 26 letras e um outro numerado de 1 a 9. O segredo consiste em 4 letras distintas e 2 números distintos, nessa ordem.
2.1.29] Quantos anagramas onde as vogais permanecem juntas, tem a palavra VESTIBULAR?
2.1.30] Quantos anagramas tem a palavra ARARA?
2.1.31] Qual a quantidade de números de 3 algarismos que tenham, pelo menos, dois algarismos repetidos?
2.1.32] Calcule o número de anagramas da palavar BORRACHA?
2.1.33] Quantas comissões podemos formar com 3 alunos a partir de um grupo de 5?
2.1.34] Qual o número de comissões que podemos formar com 2 professores de 3 alunos a partir de um grupo de 5 professores e 8 alunos?
2.1.35] Qual o número de diagonais de um polígono convexo de 9 lados?
2.1.36] Dados 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma outra reta paralela à primeira. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos?
2.1.37] Numa classe com 20 alunos, um professor deseja formar grupos de 5 alunos. Quantos grupos poderá formar?
2.1.38] Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?
2.1.39] Quantos triângulos podem ser formados unindo os pontos das retas abaixo?
2.1.40] De quantas formas um jogador pode receber 5 cartas distribuídas ao acaso num baralho comum de 52 cartas?
2.1.41] Com 5 frutas deseja-se fazer vitaminas com 3. Quantas vitaminas poderá ser colocada no cardápio?
2.1.42] Quantos triângulos podem ser formados juntando-se os pontos de um icoságono?
2.1.43] De quantos modos podemos atingir B partindo de A, passando por cada ponto do campo, utilizando somente movimento à direita e movimento para baixo?
2.1.44] (UF-RS) A solucão da equação é:
2.1.45] (CESCEA-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os digitos 1,2,3,4,5, e 6?
2.1.46] (UF-CE)A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos, 1,2,4,5,7,8 e 9 é:
2.1.47] (FGV-SP) Quantos números maiores que 400, pares, de três algarismos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 8.
2.1.48] (UF-CE) Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
2.1.49] (SANTA CASA-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem.
2.1.50] (MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que 90000 e que são divisíveis por 5 é:
2.1.51] (USP) O total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos, 1,2,3,4,5 e 6 é:
2.1.52] (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 colunas e 4 linhas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças podem ser colocadas?
2.1.53] (UNESP-SP) Um examinador dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando 2 questões de álgebra e 2 de geometria?
2.1.54] Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
2.1.55] Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?
2.1.56] Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentemente da posição do assento. Combinando assento e encosto, quantas posições diferentes esse banco pose assumir?
2.1.57] Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
2.1.58] Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
2.1.59] Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?
2.1.60] Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?
2.1.61] Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e "superluxo", quantas são as alternativas do comprador?
2.1.62] De quantas formas podemos responder 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: "sim" ou "não"?
2.1.63] Uma prova consta de 20 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder a prova?
2.1.64] Uma loteria apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação 210 103, qual é o número total de resultados possíveis?
2.1.65] Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits?
2.1.66] Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?
3. Noções de Probabilidade
3.1] Noções de Probabilidade
Qual a probabilidade de ocorrer o número 4 no lançamento de um dado?
Para responder a esta pergunta devemos antes considerar alguns pontos:Primeiro, devemos considerar a quantidade de eventos que pode ocorrer no lançamento do dado. A essa quantidade chamamos de Quantidade do Espaço Amostral representada aqui por n(E). No caso, o dado pode ocorrer: E = {1,2,3,4,5,6}, assim n(E) = 6
A ocorrência é o número 4 e a essa quantidade denominamos n(A) = 1, pois a quantidade de elementos na ocorrência é igual a 1.
Assim a probabilidade será dada por:
Vejamos alguns exemplos:
3.1.1] Qual a probabilidade de, jogando um dado de 6 faces, obtermos um número maior que 4?
Solução:
n(E) = 6, pois temos 6 faces no dadon(A) = 2, pois os números possíveis serão o 5 ou 6.
Assim:
3.1.2] Dispondo de um baralho completo, qual a probabilidade de retirar, ao acaso, uma carta de ouro?
Solução:Para resolvermos problemas de probabilidade envolvendo cartas é preciso conhecer algumas particularidades desse jogo.
Um baralho, completo possui 52 cartas, divididas em 4 naipes.Os naipes são: ouro, paus, espada, copas.Cada naipe possui 13 cartas, onde 9 são números e 3 figuras (Valete, Dama e Rei) e um Ás.
Assim, o n(E) = 52 e n(A) = 13, pois temos 13 cartas de ouro!
podemos expressar esse resultado em termos percentuais
3.2] PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
Sabemos que a probabilidade de ocorrer um evento A é dado por:
A probabilidade de não ocorrer o evento A é dado por
De fato , sendo , o complementar de , podemos escrever que
, dividindo ambos os termos por n(E) teremos:
Dessa forma podemos conhecer da probabilidade da não ocorrência de um evento A, pela sua ocorrência.
Vejamos um exemplo.
3.2.1] Qual a probabilidade de não ocorrer o número 4 no lançamento de um dado?
Solução:
Sabemos que para ocorrer o número 4 temos:
logo para não ocorrer :
3.3] REGRA DA SOMA.
Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:
, é obvio que se não houver elementos na intersecção A e B são mutuamente exclusivos e nesse caso teremos
Vejamos alguns exemplos que ilustram essa aplicação:
3.3.1] Numa urna, existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é tirada ao acaso. Qual a probabilidade de se retirar um número par ou maior que 4.
Solução:Espaço Amostral:E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}n(E) = 10Evento A: (ser número Par)A = {2,4,6,8,10}n(A) = 5Evento B: (ser maior que 4)B = {5,6,7,8,9,10}n(B) = 6Evento (A B): (ser número par maior que 4)(A B) = {6,8,10}n(A B) = 3
A probabilidade P(A B) será dada por
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
3.4] REGRA DO PRODUTO
Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A é dada por:
, chamamos a probabilidade condicional de
B em relação a A.Se A e B são independentes, então Vejamos alguns exemplos
3.4.1] Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10.
Solução:n(A) = 50 (pois de 1 a 100 temos 50 números pares)n(B) = 10 (pois de 1 a 100 temos 10 números múltiplos de 10)n(AB) = 10 (pois temos 10 números pares e múltiplos de 10)Assim a probabilidade de ser um múltiplo de 10, sabendo-se que a bola sorteada é par será :
3.4.2] Uma urna contém 7 cartões numerados de 1 a 7. Qual a probabilidade de retirarmos o cartão 1 e, sem sua reposição, o cartão 3 em seguida.
Solução:A probabilidade de retirar o cartão 1 na primeira retirada é:
Como não houve reposição do cartão retirado o espaço amostral ficou reduzido a 6 cartões, logo a probabilidade de ocorrência do número 3 na segunda retirada é:
Como devem ocorrer os dois eventos P(AB) temos
P(AB) = P(A) . P(B/A) =
3.4.3] Um dado é lançado 3 vezes. Qual a probabilidade de ocorrer 6 em todos os lançamentos.
Solução:A probabilidade de ocorrer 6 em qualquer um dos lançamentos é
igual a , pois não houve alteração no dado nem na
mecânica de lançamento. Logo a probabilidade será dada por:
3.4.4] Uma pessoa recebe 5 cartas, uma após a outra, de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de Espadas.
Solução:Lembrando que no baralho temos 13 cartas de espadas () e que a distribuição das cartas foi feita sem a reposição, alterando desta forma o espaço amostral (E) das retiradas subsequentes temos:
3.4.5] Qual a probabilidade de ocorrer o número 2 somente na terceira jogada de um dado?
Solução:A probabilidade da ocorrência do evento (número 2) é igual a:
A probabilidade da não ocorrência do número 2 pode ser encontrada utilizando o conceito de probabilidade complementar dada por:logo para não ocorrer :
Assim a probabilidade pedida será dada por:
3.5] LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE
Existem eventos em que o número de situações de ocorrência estará associado a um número binomial.Vejamos um exemplo:
3.5.1] Jogando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 1 duas vezes?
Solução explicada:Observe que não está sendo pedida uma "ordem" de ocorrência do número 1 nesses lançamentos. Desta forma o número 1 pode aparecer "duas vezes" em qualquer lançamento.Vejamos as possíveis configurações de ocorrência nesses lançamentos.
1 11 11 11 1
1 11 11 1
1 11 1
1 1
O número de situações de ocorrência do número 1 é igual ao número de possibilidades de se escolherem duas dentre as cinco casas disponíveis para colocar o número 1, ou seja, estamos diante de uma Combinação onde n=5 e p=2, assim:
Observando uma das situações que satisfazem o problema concluímos que a probabilidade procurada será:
pois,
, é o fator que determina o número de ocorrências do evento.
, é o fator que representa a probabilidade do evento.
, é o fator que representa probabilidade complementar do evento.
3.6] Exercícios de probabilidade.
3.6.1] Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de se obter um número menor que 4?
3.6.2] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama?
3.6.3] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama ou um rei?
3.6.4] Uma urna contém 6 bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas. Qual a probabilidade de sortear-se uma bola que não seja branca?
3.6.5] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número ímpar?
3.6.6] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número múltiplo de 3?
3.6.7] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número divisível por 2 e 3?
3.6.8] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número primo?
3.6.9] Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa, possuidora dos bilhetes 1387 e 7502, ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero?
3.6.10] Lançando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de ocorrerem números iguais?
3.6.11] Jogando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um resultado par na soma das faces?
3.6.12] Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100. Qual é a probabilidade do número ser múltiplo de 11?
3.6.13] Dentre 5 pessoas, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 3 membros. Qual a probabilidade de que uma determinada pessoa venha a figurar na comissão?
3.6.14] Se num grupo de 15 homens e 5 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que ela seja formada por 2 homens e 1 mulher?
3.6.15] Numa urna são depositadas 9 etiquetas numeradas de 1 a 9. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?
3.6.16] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número maior que 5000.
3.6.17] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número ímpar.
3.6.18] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4,5 e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número par.
3.6.19] Numa escola de 1200 alunos, 550 gostam de rock, 230 apenas de samba, e 120 de samba e rock. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele gostar de samba ou rock?
3.6.20] Numa urna, existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as vermelhas de 7 a 10. Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu número ser maior que 7?
3.6.21] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela ser de ouros ou ser rei.
3.6.22] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela ser preta ou ser figura?
3.6.23] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ela não ser figura ou ser um ás?
3.6.24] Uma caixa contém 1000 bolas numeradas de 1 a 1000. Qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, uma bola contendo um número par ou um número de 2 algarismos?
3.6.25] Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. Escolhida, ao acaso, uma das pessoas presentes, qual a probabilidade de ela pertencem somente ao clube C?
3.6.26] Numa urna temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas amarelas é o dobro do número de bolas brancas e o de bolas vermelhas, o triplo. Qual a probabilidade de ocorrer uma bola preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro de amarelas?
3.6.27] Uma estação metereológica informa: "Hoje a probabilidade de não chover é 55%, a probabilidade de fazer frio é 35% e a probabilidade de chover ou fazer frio é 80%. Qual a probabilidade de não chover e não fazer frio?
3.6.28] No problema anterior, qual a probabilidade de chover?
3.6.29] Um homem tem em sua mão 4 cartas de espadas de um baralho comum de 52 cartas. Se ele receber mais 3 cartas, qual a probabilidade de ao menos uma das cartas recebidas ser também de espadas?
3.6.30] Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças serem usadas?
3.6.31] Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de a primeira ser nova e a segunda usada?
3.6.32] Uma moeda é "viciada", de modo que a probabilidade de ocorrer cara é metade da probabilidade de ocorrer coroa. Em três lançamentos sucessivos desta moeda, calcule a probabilidade de ocorrerem 3 faces iguais.
3.6.33] A probabilidade de um certo homem viver mais de 25 anos é 3/7 e de sua mulher é 4/5, calcule a probabilidade de, daqui a 25 anos, somente o homem estar vivo.
3.6.34] Numa urna há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de serem ambas vermelhas?
3.6.35] Numa urna há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de uma ser azul e uma ser branca, independentemente da ordem.
3.6.36] Lançando-se um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se obter um número maior que dois no dado e cara na moeda?
3.6.37] Jogando 4 dados, qual a probabilidade de se obter 24 pontos na soma das 4 faces?
3.6.38] Sabendo-se que ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas ela era de copas, qual a probabilidade de ela seja menor que 3 (considere o ás com valor 1).
3.6.39] Qual a probabilidade de que jogando-se um dado n vezes, saia pelo menos uma vez o número 6.
3.6.40] Uma prova é composta de 50 testes de múltipla escolha, cada um com 5 alternativas, sendo apenas uma correta. Qual a probabilidade de que um aluno apenas chutando, acerte todas as questões.
3.6.41] A probabilidade de A e B acertarem o alvo é de 2/5 e 1/3 respc. Qual a probabilidade de que o alvo seja atingido por apenas uma pessoa?
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