Srie Numrica

Definio

Uma srie de nmeros reais uma expresso da forma

n=1

an ou a1 + a2 + + an + ou

a1 + + am +

n=m+1

an,

onde an uma sucesso numrica. O termo geral dessa sucesso o

termo geral da srie.

13

Sucesso das somas parciais

Definio

Dada uma srie,

n=1an denotamos por sn a sua n-sima soma parcial,

sn = a1 + + an =n

k=1

ak.

A sucesso (sn)nN dada por

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s3 = a1 + a2 + a3 + a4...

designa-se por sucesso das somas parciais de

n=1an.

14

Natureza e soma de uma srie

Definio

Se a sua sucesso de somas parciais sn for convergente e lim sn = s,

com s R, ento a srie n=1

an diz-se convergente e escrevemos

a1 + + an + = s ou

n=1

an = s.

O nmero s diz-se a soma da srie. Caso contrrio, a srie diz-se

divergente.

15

Srie Geomtrica

Definio

Uma srie

n=1an diz-se geomtrica se o seu termo geral for o termo

geral de uma progresso geomtrica: an = a rn1, onde a, r R. Poroutras palavras, uma srie geomtrica uma srie da forma:

n=1

a rn1 = a + ar + ar2 + arn +

Teorema

Seja

n=1a rn1 uma srie geomtrica. Se a = 0 ento a srie

converge e a sua soma 0. Se a 6= 0 ento:1 a srie diverge para |r| 1;2 a srie converge para |r| < 1 e a sua soma a

1 r .

16

Srie Harmnica

Definio

A srie harmnica a srie 1 +1

2+

1

3+ + 1

n+ =

n=1

1

n.

Teorema

A srie harmnica divergente. A sucesso sn tem limite +.

17

Teste para a divergncia

Teorema

Se

n=1an for convergente ento an converge para zero.

Equivalentemente, se o termo geral de uma srie no converge

para zero ento a srie diverge.

Observao

O termo geral de uma srie pode convergir para zero e a srie divergir.

18

Importncia dos primeiros termos

Observao

Seja k N e n=k

an = ak + ak+1 + an + a srie que se obtmde

n=1an = a1 + a2 + + an + considerando a soma infinita

apenas a partir do termo ak em diante. Ento

1 a natureza das sries

n=k

an e

n=1

an coincide mas;

2 no caso convergente as suas somas podem no coincidir.

Se s for a soma de

n=1an e s

for a soma de

n=kan, temos:

s = sk1n=1

an = s (a1 + + ak1)

19

lgebra das sries

Teorema

Sejam

n=1an e

n=1bn duas sries convergentes e s, s

R tais que

n=1an = s e

n=1bn = s

. Ento, dado c R,1 as sries

n=1(an + bn) e

n=1c an so ambas convergentes;

2 a soma de

n=1(an + bn) s + s

e a soma de

n=1c an c s.

Teorema

Suponhamos que

n=1an convergente e que

n=1bn divergente.

Ento

n=1(an + bn) divergente.

20

Critrios de convergncia sries de termos no-negativos

Teorema (Critrio de comparao)

Sejam

n=1an e

n=1bn duas sries de termos no-negativos.

Suponhamos quean bn, para todo o n n0.

Ento:

1 se

n=1bn converge,

n=1an converge;

2 se

n=1an diverge,

n=1bn diverge.

21

Sries-p

Definio

Seja p R. A srie-p, ou srie de Dirichlet, correspondente n=1

1

np.

Teorema

A srie

n=1

1

np divergente se p 1 e convergente se p > 1.

22

Critrios de convergncia sries de termos positivos

Teorema (Critrio de comparao do limite)

Sejam

n=1an e

n=1bn duas sries de termos positivos. Suponhamos

que a sucesso anbn

convergente e que o limite desta pertence a R+, i.e.,

no 0 nem +, ento n=1

an e

n=1bn tm a mesma natureza: ou

so ambas convergentes ou ambas divergentes.

23

Critrios de convergncia sries de termos positivos

Teorema (Critrio d Alembert [ou teste da razo])

Seja

n=1an uma srie de termos positivos. Suponhamos que existe

lim an+1an

e designemo-lo por L R. Ento1 se L < 1 a srie

n=1an convergente;

2 se L > 1 a srie

n=1an divergente;

3 se L = 1 pode ser convergente ou divergente.

Observao

Se liman+1

an

= +, entoan+1

an

r > 1 para n n0 e logoP

n=1an diverge.

24

Critrios de convergncia sries de termos positivos

Teorema (Critrio de Cauchy [ou teste da raiz])

Seja

n=1an uma srie de termos positivos. Suponhamos que existe

lim n

an e designemo-lo por L R. Ento1 se L < 1 a srie

n=1an convergente;

2 se L > 1 a srie

n=1an divergente;

3 se L = 1 nada se pode concluir.

Observao

Se lim n

an = +, ento lim an 6= 0 e logo

n=1an diverge.

25

Critrio de Leibniz

Definio

Uma srie alternada uma srie cujos termos so alternadamente

positivos e negativos.

Teorema

Seja (bn)nN uma sucesso decrescente, convergente para 0. Ento a

srie alternada

n=1(1)n1bn convergente.

26

Sries absolutamente convergentes

Definio

Uma srie

n=1an diz-se absolutamente convergente se a srie dos

mdulos,

n=1|an|, for convergente. A srie diz-se simplesmente

convergente se for convergente mas no for absolutamente convergente.

Teorema

Seja

n=1an uma srie absolutamente convergente. Ento

1

n=1

an convergente e

2

n=1

an

n=1

|an|

27

Rearranjos de sries absolutamente convergentes

Definio

Por um rearranjo de uma srie

n=1an queremos dizer uma srie obtida

simplesmente mudando a ordem dos termos, possivelmente um nmero

infinito deles.

Teorema

1 Se

n=1an for uma srie absolutamente convergente com soma s,

ento qualquer rearranjo de

n=1an tem a mesma soma s.

2 Se

n=1an for simplesmente convergente e r for um nmero real

qualquer, ento existe um rearranjo de

n=1an que tem uma soma

igual a r.

28

Produto de Cauchy

Definio

Sejam {an}n=0 e {bn}n=0 duas sucesses. A convoluo de an com bn a sucesso {un}n=0 dada por:

u0 = a0b0

u1 = a0b1 + a1b0

u2 = a0b2 + a1b1 + a2b0

u3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0

un =

nk=0

akbnk

29

Produto de Cauchy

Teorema

Sejam

n=0an e

n=0bn duas sries absolutamente convergentes.

Ento a srie

n=0un, cujo termo geral a convoluo dos termos

gerais, absolutamente convergente e

n=0

un =

(

n=0

an

)(

n=0

bn

).

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