AMORTECIMENTO EM DINÂMICA DE ESTRUTURAS

Sistema típico Amortecimento modelado como viscoso

Relembrando:

Amortecimento estrutural associa-se a:

. Tipo de material

. Estágio de deformação

ESTRUTURAS

- Betão Armado :e.g. de 5 a 9% de crítico

- Aço: de 2 a 5% de crítico

- Solos: maior complexidade

Amortecimento Viscoso

Modelo Kelvin- Voigt :

P ku cu= + &

. A força de amortecimento P depende da taxa de aplicação da deformação, i.e. da velocidade de deformação (strain rate)

. Quanto maior essa velocidade , maior a força P que causa a mesma deformação u

Se P = P(u, du/dt ) for desenvolvida em série e aproximada mantendo apenas termos lineares na velocidade tem-se a expressão habitual que é suficientemente rigorosa nos casos correntes de dinâmica de estruturas

Ciclo de Histerese

Dissipação de Energia

http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999

Amortecimento Histerético

Será razoável, nesse caso, manter o modelo P= c du/dt ?

Se o movimento do oscilador for harmónico, em regime estacionário i.e.

pode escrever-se u = u0 sinωt e obtem-se

P = k u0 sinωt + c ωu0 cosωt

⎩⎨⎧

ωω+ω=ω=

tcos]k/)c[(tsinku/Ptsinuu

0

0

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html, mostra a equação de elipse

para Δ≠0, J>0 e Δ/L<0 , com

a b da b

b c f , J , L a cb c

d f g

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = = = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Pode provar-se que

P = k u0 sinωt + c ωu0 cosωt

é equação de elipse que traduz a força reactiva em função de u, para o caso de haver amortecimento viscoso.

Logo, pode usar-se

guMkuucuM &&&&& −=++

para representar

guM)u,u(VuM &&&&& −=+

e representar os efeitos não lineares de histerese.

Amortecimento viscoso “equivalente” ao histerético

Energia Potencial Máxima

Resulta:

e

e

cr

W 2 c1 WU k

4 Uc c 2 M

Δ π ω⎧ = Δ⎪ →β =⎨ π⎪ = β = β ω⎩

Ue = 0.5 k u02

Energia dissipada por ciclo no loop

2 /2

00

W P(t)du c uπ ω

Δ = = π ω∫

Slide EERI

Hipótese: igual velocidade máxima dos dois sistemas

Tmax=Vmax2 2

01 01 maxmax

k0.5Mv 0.5ku u vM

= → =

a)

b)

Cria-se rótula na base porque a força resistente é inferior àforça elástica última

02 y2 plu u u= +

. Energia dissipada quando V=0 é dada por área de OADG

. Energia potencial recuperada é dada por área de GDE

. Ao esgotar energia cinética, em D, a força de restituição V2 força o movimento no sentido inverso

Segundo Sistema

CONCLUSÃO:

A resistência à acção dinâmica pode conseguir-se através de forças de restituição elásticas de grande manitude ou através de forças menores e deformações plásticas se o sistema as admitir

A capacidade de deformação plástica chama-se ductilidade.

O factor de ductilidade pode definir-se por δu/δy

Que factor m se deve impor para reduzir os esforços por um factorR?

2 2

2

1 R 1 1/ R2R 2+ +

μ = =

Obs. Desenvolvendo em série (2x-1), na vizinhança de x=1, obtem-se a aproximação de R=1/μ

Propriedade “Empírica”:Devido ao amortecimento, os valores dos deslocamentos máximos, elástico e elastoplástico, são muito semelhantes, para a mesma acção sísmica (Penelis e Kappos, pg. 34)

Aceite esta propriedade, a partir da Figura abaixo, por geometria, pode obter-se:

u2

el

V 1RV

= =μ

SNUBBERS

Snubbers are used where dynamic restraint is required, but the pipe has to be allowed to move

thermally.

In operation, normal thermal expansion of the pipework causes the piston rod

to extend or retractat a velocity less than the lock-up velocity. In this situation, t

he snubber is inactive and the devicehas minimal effect on the behaviour of the

pipework. In a dynamic situation, shock or vibration forces which cause the rate

of displacement of the piston to exceed the lock-up velocity will cause

the regulating valves to close and the snubber limits the velocity. The resistive

capacity of the unit transfers the force to the structure and reduces the possibility

of overstressing the pipe or associated equipment connections.The function of the bleed grooves is to control the velocity after lock-up.

For prolonged thrust, the bleed grooves are eliminated and the unit becomes a

rigid strut during lock-up.