Vibrações Amortecimento Viscoso (2)

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoO amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a fora dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta fora tem como caracterstica principal ser proporcional velocidade relativa entre as superfcies em movimento quando existe um fluido separando-as. A fora de amortecimento viscoso tem como expresso Fa = -cdx/dt, onde c a constante de amortecimento.Ao se aplicar o 2 axioma da mecnica, temos a equao

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento Viscoso

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoCuja equao caracterstica : mr 2 +cr+k=0. Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido. Se o valor de c faz com que o discriminante da equao caracterstica se anule, dito constante de amortecimento crtico cc . Isto porque, do sinal deste discriminante que depende a natureza das razes: > 0 implica em razes reais enquanto que para < 0 as razes formaro um par complexo. = 0, se apresenta como o limite entre estas duas situaes distintas. Tem-se entoc 2 -4mk=0 ou ainda (cc/2m) 2 (k/m)=0 segue que: cc=2mn.Fator de Amortecimento - A constante de amortecimento c d uma indicao da relao entre a fora de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoEla, porm no proporciona uma viso da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma fora de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, fundamental-mente das massas envolvidas e da rigidez. Define-se, ento o fator de amortecimento que uma quantidade adimensional e no depende da ordem de grandeza dos parmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema est sendo amortecido. O fator de amortecimento definido como a relao entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crtica:

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoCom o valor de cc dado na expresso anterior temos:

Considerando que 2=k/m, as razes da caracterstica podem ser escritas na forma :

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoCaso 1: Sistema sub-amortecido -

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoCaso 1: Sistema sub-amortecido - < 1Observa-se que o efeito do amortecimento est presente na amplitude decrescente, representando a dissipao da energia vibratria. A freqncia de oscilao agora no mais a freqncia natural e sim a chamada freqncia da vibrao livre amortecida, d=

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoCaso 2 - Sistema Criticamente Amortecido - = 1Quando = 1, a constante de amortecimento c igual constante de amortecimento crtico cc, implicando que as razes da equao: so reais e iguais, a saber r1 = r2 = n e a soluo da equao diferencial assume a forma Caso 3 - Sistema Super-Amortecido - > 1Quando > 1 a constante de amortecimento c maior que a constante de amortecimento crtico cc implicando que as razes da EDO so reais e diferentes, a saber:

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoOs movimentos amortecidos esto mostrados na figura e como se pode ver os criticamente amortecidos e super-amortecidos no so oscilatrio. E podemos concluir que movimentos oscilatrios s acontecem nos sistemas subamortecidos.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoDecremento Logartmico - Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratrios estimar o fator de amortecimento , quando se possui um registro, resultado de uma medio, de um movimento vibratrio, possvel observar a queda exponencial da amplitude de vibrao com o tempo. O mtodo do decremento logartmico se fundamenta na comparao entre duas amplitudes, consecutivas ou no, medidas de um movimento vibratrio livre amortecido.Nos sistemas sub-amortecidos a expresso que descreve o movimento :

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoOu ainda:

Segue :

Se os dois deslocamentos so medidos em tempos separados por um perodo inteiro, ento t2 = t2 + T, onde T = 2/ d, logo:

Aplicando logaritmo natural aos dois membros

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoTemos:

Que denominado decremento logartmico. Para sistemas com amortecimento muito baixo

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoComo, em uma grande quantidade de casos, difcil distinguir entre dois deslocamentos separados por um nico perodo, o decremento logartmico, seguindo o mesmo raciocnio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas x1 e xm+1,separados por m perodos. Tem-se ento:

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoComo o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, til se estabelecer uma relao entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibrao livre, toda a variao de energia resulta da dissipao: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variao da energia com o tempo dada por:

onde assumiu-se que a fora responsvel pela variao a fora de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variao negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoQuando o fator de amortecimento pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibrao sendo x(t) = Xcos(dt), a energia dissipada no ciclo de vibrao , portanto:

Resultando:Dessa expresso se conclui que a energia dissipada depende, da constante de amortecimento c, da freqncia da vibrao livre amortecida d, e do quadrado da amplitude X.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoA capacidade especfica de amortecimento do sistema definida como a relao entre a energia que dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no incio do referido ciclo. Escolhendo-se o incio do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a mxima energia cintica (poderia ser potencial), esta pode ser dada por:

Segue:

Como: e


Segue: como:

Temos ento:

O coeficiente de perda KP definido para medir a capacidade de amortecimento de materiais. obtido a partir da relao acima por:

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoExemplo 14 - Um absorvedor de choque projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (figura). Quando o absorvedor submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo como a mostrada na figura. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessrias para o absorvedor se o perodo de vibrao amortecida 2 s e a amplitude x1 deve ser reduzida para em meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar a velocidade inicial mnima que produz um deslocamento mximo de 250 mm.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoSoluo: Inicialmente devemos determinar o fator de amortecimento , que pode ser obtido a partir do decremento logartmico . A constante de amortecimento pode ento ser obtida. A rigidez determinada atravs da freqncia da vibrao livre amortecida. A velocidade inicial obtida a partir da determinao do tempo correspondente ao mximo deslocamento.Se x1,5=x1/4, ento x2= x1/16 e =ln(x1/x2) = 2,773.Como: = 0,404, como T = 2,0 s, temos que d= , alm disso d = logo n=3,434rd/s. Como m=200Kg e cc=2mn, temos cc=1,374 103 Ns/m . E a constante de rigidez K=m(n)2=200(3,434)2=2,358 103N/m.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoO tempo em que ocorre o mximo deslocamento o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equao da velocidade obtida diferenciando-se a expresso da posio em relao ao tempo, como: Considerando o deslocamento inicial nulo, temos: Logo

e Resolvendo temos

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoSubstituindo em

E sabendo que xmax= 0,25, temos V0 = 1,429 m/s..

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoExemplo 15 - O diagrama esquemtico de um canho mostrado na figura. Quando a arma disparada, gases a alta presso aceleram o projtil dentro do cano at o mesmo atingir uma alta velocidade. A conservao da quantidade de movimento faz com que o corpo do canho se mova em sentido oposto ao do projtil. Para levar o corpo do canho para sua posio original no menor tempo possvel, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. No caso particular, o mecanismo de recuo e o corpo do canho possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10.000 N/m e o recuo aps o tiro de 0,40 m. Determinar:O coeficiente de amortecimento crtico do amortecedor;A velocidade inicial de recuo do canho;O tempo gasto pela arma para retornar posio situada a 0,1 m de sua posio inicial.


Considerando o deslocamento inicial nulo, temos:e segue que derivando e logo: segue: t 2=0,826s

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoO amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em superfcies secas. Em muitos sistemas mecnicos, so utilizados elementos que provocam amortecimento por atrito seco. Tambm em estruturas, componentes frequentemente deslizam um em relao ao outro e o atrito seco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que quando dois corpos esto em contato, a o mdulo da fora requerida para produzir deslizamento proporcional ao mdulo da fora normal atuante no plano do contato. A fora de atrito F = N, onde N o mdulo da fora normal e o coeficiente de atrito (esttico ou cintico). A fora de atrito atua em sentido oposto ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb , algumas vezes, chamado de amortecimento constante, uma vez que a fora de amortecimento independente do deslocamento e da velocidade, dependendo somente da fora normal atuante entre as superfcies em deslizamento.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoA figura, mostra um sistema de um grau de liberdade com amortecimento de Coulomb e apresenta os diagramas de corpo livre para as duas possveis orientaes do movimento. Em cada uma destas orientaes a equao do movimento tomar uma forma diferente. O movimento se d oscilatoriamente, portanto o sistema est ora em uma situao, ora em outra.Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo (segundo o referencial adotado), a fora de atrito ser negativa e o Segundo axioma de Newton aplicado resultar A soluo geral desta equao compe-se de duas partes, a primeira corresponde a soluo da homognea associada e a segunda a soluo particular, que inclui o termo do lado direito da equao, resultando:


Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal, a fora de atrito tambm muda de sinal resultando na equao:

que tem soluo anloga a anterior, apenas com o sinal da soluo particular invertido, resulta:

Nas duas expresses, o termo N/k representa o deslocamento da mola devido fora de atrito estabelecendo uma nova posio de equilbrio.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoComo a fora de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (perodo em que a velocidade permanece com sinal inalterado), esta posio de equilbrio tambm muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a figura.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoPara complementar a soluo das equaes anteriores, deve-se analisar o movimento a partir de condies iniciais. O sistema inicia o seu movimento a partir de um deslocamento inicial, com velocidade inicial nula, para caracterizar a inverso do sentido do movimento em cada meio ciclo. So, ento, as condies iniciais:Se o movimento comea com um deslocamento inicial positivo e velocidade nula, o primeiro meio ciclo ocorrer com velocidade negativa e temos:Introduzindo as condies iniciais resulta: e Esta soluo vlida apenas para o primeiro meio ciclo, ou seja

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoEm sua posio extrema e a velocidade troca de sentido e a soluo . Para que ocorra a continuidade do movimento as condies finais (deslocamento e velocidade) em t = /n, calculadas com a expresso anterior devem ser as novas condies iniciais e aplicando em: resulta em paraAo final do segundo meio ciclo t2 = 2/n, a velocidade novamente mudar seu sinal, o deslocamento e a velocidade atingiro os seguintes valores e

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoEsses valores sero as condies iniciais do terceiro meio ciclo, quando, novamente, passa a valer a soluo:O movimento prosseguir desta forma, mudando de equao a cada meio ciclo at que no final de um determinado meio ciclo, o deslocamento seja to pequeno que a fora de mola seja incapaz de vencer a fora de atrito esttico. Isto acontecer no final do meio ciclo de ordem r que pode ser determinado por:

A caracterstica principal do amortecimento causado por atrito seco, como j foi dito acima, que a amplitude diminui sempre uma quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo).

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoObservando: e

Ambas representam movimentos harmnicos na freqncia n, com a amplitude caindo 2N/k a cada meio ciclo e com a posio de equilbrio variando N/k tambm a cada meio ciclo.Como o movimento cessa quando a fora de mola no mais superar a fora de atrito, esta posio normalmente no coincide com a posio de equilbrio, resultando que, por causa da fora de atrito, geralmente a mola ficar com uma certa deformao no fim do movimento. Uma outra caracterstica do sistema com amortecimento provocado por atrito seco que o mesmo oscila na freqncia natural, ao contrrio do sistema com amortecimento viscoso, cuja oscilao ocorre em uma freqncia que pode ser muito diferente da freqncia natural, dependendo do fator de amortecimento.

Vibrao Livre de Sist. c/Amortecimento ViscosoUm outro aspecto que merece ser citado que, enquanto o sistema com amortecimento viscoso, tem uma queda exponencial da amplitude, o mesmo, teoricamente continuar oscilando indefinidamente, mesmo que com amplitudes infinitesimalmente pequenas (na prtica o movimento cessa devido a resistncias passivas), o sistema com amortecimento de Coulomb encerra seu movimento em um tempo finito, mesmo teoricamente, quando os deslocamentos forem pequenos.

Documents

Vibrações Amortecimento Viscoso (2)