Ana Sofia Fernandes Lomar - repositorium.sdum.uminho.ptrepositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/57868/1/Ana Sofia Fer… · apresentavam conceções erróneas acerca do conceito

ii

DECLARAÇÃO

Nomes: Ana Sofia Fernandes Lomar

Endereço eletrónico: [email protected]

Telefone: 962897197

Número do Bilhete de Identidade: 14893054

Título do Relatório:

Exploração de diferentes representações semióticas no estudo do conceito de

limite por alunos do 11º ano

Supervisor: Doutor José António Fernandes

Ano de conclusão: 2018

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE

INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE

COMPROMETE.

Universidade do Minho, 7 de setembro de 2018

mailto:[email protected]

iii

AGRADECIMENTOS

Quero agradecer ao meu supervisor, Professor José António Fernandes pelo apoio,

disponibilidade e orientação durante a realização deste relatório.

Também quero agradecer ao Professor Paulo Correia, orientador cooperante do estágio,

pela dedicação e amizade ao longo deste ano letivo e ao meu colega de estágio José Eduardo

Faria pela amizade e partilha de ideias.

E, claro, não podia deixar de agradecer à minha família, especialmente aos meus pais e ao

meu irmão, que sempre me apoiaram e incentivaram nesta longa jornada.

Ao meu namorado pelo carinho e encorajamento durante este percurso.

v

EXPLORAÇÃO DE DIFERENTES REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS NO ESTUDO DO

CONCEITO DE LIMITE POR ALUNOS DO 11.º ANO

Ana Sofia Fernandes Lomar

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade do Minho, 2018

RESUMO

Neste estudo, que constitui o Relatório de Estágio do Mestrado em Ensino de Matemática

no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, pretende-se explorar diferentes

representações semióticas na aprendizagem do conceito de limite de uma função segundo Heine

ao nível do 11.º ano de escolaridade.

Este estudo centrou-se nas três seguintes questões de investigação: (1) Quais os principais

erros e dificuldades que os alunos evidenciam na aprendizagem do conceito de limite segundo

Heine?; (2) Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) são

usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que transformações de registos são

efetuadas?; (3) Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua

natural) facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?

O estudo decorreu numa turma de Matemática A, do 11.º ano, tendo-se avaliado a

aprendizagem dos alunos no conceito de limite de uma função segundo Heine através da aplicação

de um teste de avaliação diagnóstica, da análise de algumas aulas da intervenção pedagógica e

de uma ficha de avaliação por partes, aplicada após ter terminado a intervenção pedagógica.

Através da análise das respostas do teste diagnóstico constatou-se que os alunos

apresentavam conceções erróneas acerca do conceito de limite de uma sucessão, tais como o

limite é algo intransponível, o limite nunca pode ser atingido, o limite é sempre atingível, o limite

é um extremo da função. Já com o desenvolvimento da intervenção pedagógica observou-se uma

evolução positiva em relação aos resultados do teste de avaliação diagnóstica.

Finalmente, o desempenho dos alunos na ficha de avaliação por partes, em cada tipo de

registo, vai de encontro ao que é referido na literatura, sendo que o registo mais utilizado e com

mais sucesso foi o registo simbólico, em que 98% das respostas corretas continham pelo menos

o registo simbólico. Relativamente aos outros dois registos de representação semiótica, 37% das

respostas corretas continham pelo menos o registo em língua natural e 8% das respostas corretas

continham pelo menos o registo gráfico. O fraco desempenho dos alunos no registo gráfico sugere

que ele deve ser mais explorado no ensino do conceito de limite uma função segundo Heine.

Palavras-chave: Registos de representação semiótica; Ensino secundário; Definição de

limite de uma função segundo Heine; Erros e dificuldades.

vii

EXPLORATION OF DIFFERENT SEMIOTIC REPRESENTATIONS IN THE STUDY OF THE LIMIT CONCEPT BY 11th GRADE STUDENTS

Ana Sofia Fernandes Lomar Master in Mathematics Teaching in the 3rd Cycle of Basic Education and Secondary Education

University of Minho, 2018

ABSTRACT

In this study, which constitutes the Report of the Master's Degree in Mathematics Teaching

in the 3rd Cycle of Basic Education and Secondary Education, we intend to explore different

semiotic representations in the learning of the Heine’s limit concept of a function at the 11th grade.

This study focused on the following three research questions: (1) Which are the main

mistakes and difficulties that the students show in learning the Heine’s limit concept? (2) Which

semiotic representation registers (graphic, symbolic or natural language) are used in the

exploration of the Heine’s limit concept? (3) What type of semiotic representation register (graphic,

symbolic or natural language) facilitates the students’ acquisition of the Heine’s limit concept?

The study was carried out in a class of Mathematics A, of the 11th grade, and the students'

learning was assessed in the concept of Heine’s limit of a function through the application of a

diagnostic evaluation test, the analysis of some classes of the pedagogical intervention and some

questions of an evaluation form, applied after the pedagogical intervention.

Through the analysis of the diagnostic test, it was found that the students presented

erroneous conceptions about the limit concept of a succession, such as the limit is something

insurmountable, the limit can never be reached, the limit is always attainable, the limit is one

extreme of the function. With the development of the pedagogical intervention, a positive evolution

was observed in relation to the results of the diagnostic evaluation test.

Finally, the performance of the students in the questions of the evaluation form, in each type

of register, is in agreement with what is mentioned in the literature, and the most used and most

successful register was the symbolic register, in which 98% of the answers contained at least the

symbolic register. For the other two semiotic representation registers, 37% of the correct answers

contained at least the natural language register and 8% of the correct answers contained at least

the graphic register. The poor performance of the students in the graphic register suggests that it

should be further explored in the teaching of the Heine’s limit concept of a function.

Keywords: Semiotic representation registers; High school; Heine’s definition of limit of a

function; Errors and difficulties.

ix

ÍNDICE

DECLARAÇÃO ............................................................................................................................ ii

AGRADECIMENTOS .................................................................................................................. iii

RESUMO ................................................................................................................................... v

ABSTRACT .............................................................................................................................. vii

ÍNDICE ..................................................................................................................................... ix

ÍNDICE DE TABELAS ................................................................................................................ xi

ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................ xii

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

1.1. Tema, finalidade e questões de investigação ...................................................................... 1

1.2. Pertinência do estudo ........................................................................................................ 2

1.3. Estrutura do relatório ......................................................................................................... 4

CAPÍTULO II - ENQUADRAMENTO TEÓRICO .............................................................................. 7

2.1. Teoria dos registos de representação semiótica ................................................................. 7

2.2. Limites segundo Heine de funções reais de variáveis real ................................................. 14

2.2.1. A definição de limite segundo Heine nos programas escolares .................................. 14

2.2.2. Obstáculos na aprendizagem do conceito de limite.................................................... 18

2.2.3. Dificuldades e erros relativos ao conceito de limite .................................................... 21

2.2.4. Dificuldades referentes à representação verbal, simbólica e gráfica ........................... 23

CAPÍTULO III - ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL .................................................................... 27

3.1. Caracterização da escola ............................................................................................. 27

3.2. Caracterização da turma .............................................................................................. 28

3.3. Estratégias de intervenção ........................................................................................... 30

3.4. Métodos de recolha de dados ...................................................................................... 34

CAPÍTULO IV - INTERVENÇÃO DE ENSINO .............................................................................. 37

4.1. Avaliação diagnóstica....................................................................................................... 37

4.1.1. Questão 1 ................................................................................................................ 37

4.1.2. Questão 2 ................................................................................................................ 41

4.1.3. Questão 3 ................................................................................................................ 43

4.2. Implementação da intervenção pedagógica ...................................................................... 47

4.2.1. Definição de ponto aderente e de limite de uma função num ponto segundo Heine ... 48

4.2.2. Limites laterais e existência de limite num ponto ....................................................... 55

4.2.3. Operações e propriedades de limites de funções e indeterminações .......................... 60

4.2.4. Levantamento de indeterminações ............................................................................ 66

4.3. Ficha por partes .............................................................................................................. 72

4.3.1. Questão 1 ................................................................................................................ 72

4.3.2. Questão 2 ................................................................................................................ 77

x

4.3.3. Questão 3 ................................................................................................................ 81

4.3.4. Questão 4 ................................................................................................................ 86

4.3.5. Questão 5 ................................................................................................................ 90

CAPÍTULO V - CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES E RECOMENDAÇÕES ......................................... 93

5.1. Síntese do estudo ............................................................................................................ 93

5.2. Conclusões ..................................................................................................................... 94

5.2.1. Quais os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciam na aprendizagem do

conceito de limite segundo Heine? ...................................................................................... 94

5.2.2. Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) são

usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que transformações de registos

são efetuadas? .................................................................................................................... 96

5.2.3. Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural)

facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?............................... 99

5.3. Implicações e Recomendações ...................................................................................... 100

5.4. Limitações ..................................................................................................................... 102

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 105

ANEXOS ............................................................................................................................... 111

ANEXO 1 .............................................................................................................................. 113

ANEXO 2 .............................................................................................................................. 115

ANEXO 3 .............................................................................................................................. 117

ANEXO 4 .............................................................................................................................. 119

ANEXO 5 .............................................................................................................................. 121

ANEXO 6 .............................................................................................................................. 123

ANEXO 7 .............................................................................................................................. 125

ANEXO 8 .............................................................................................................................. 127

ANEXO 9 .............................................................................................................................. 129

ANEXO 10 ............................................................................................................................ 131

xi

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 ‒ Os quatro principais modelos da noção de limite adotados pelos alunos da

noção de limite ....................................................................................................................... 21

Tabela 2 – Classificações obtidas na disciplina de Matemática A ............................................. 30

Tabela 3 – Métodos de recolha de dados segundo as questões de investigação ....................... 35

Tabela 4 — Frequências dos tipos de resposta dos alunos à questão 1 .................................... 37



Tabela 7 – Sequência das aulas da intervenção pedagógica .................................................... 47


Tabela 9 — Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 1 ...................... 77

Tabela 10 — Frequências dos tipos de resposta dos alunos à questão 2 .................................. 78


Tabela 13 — Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 3 .................... 86


Tabela 15— Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 4 ..................... 89


Tabela 17— Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 5 ..................... 92

xii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Representação algébrica do limite de uma função 𝑓. .................................................. 8

Figura 2. Representação em língua natural do limite de uma função 𝑓. ..................................... 8

Figura 3. Representação em língua natural do limite de uma função 𝑓. ..................................... 8

Figura 4. Enunciado e resolução do exemplo 1. ........................................................................ 9

Figura 5. Enunciado e resolução do exemplo 2. ...................................................................... 10

Figura 6. Exemplo de uma conversão onde ocorre um fenómeno de congruência. ................... 13

Figura 7. Exemplo de uma conversão de registos onde ocorre um fenómeno de

não-congruência. .................................................................................................................... 13

Figura 8. Definição de ponto de acumulação e de limite de uma função num ponto. ................ 15

Figura 9. Definição de ponto aderente e de limite de uma função num ponto........................... 15

Figura 10. Representação gráfica de parte de uma função 𝑓. .................................................. 16

Figura 11. Enunciado do exemplo. .......................................................................................... 16

Figura 12. Enunciado do exemplo. .......................................................................................... 17

Figura 13. Representação gráfica das funções 𝑓, 𝑔 e 𝑓 ∘ 𝑔. ................................................... 18

Figura 14. Resposta do aluno A3 à questão 1a). ..................................................................... 38

Figura 15. Resposta do aluno A10 à questão 1a). ................................................................... 38


Figura 17. Resposta do aluno A19 à questão 1b). ................................................................... 39

Figura 18. Resposta do aluno A7 à questão 1b). .................................................................... 39



Figura 21. Resposta do aluno A5 à questão 1b). ..................................................................... 40














Figura 36. Resolução da alínea a) da tarefa pelo aluno A15. .................................................... 49

Figura 37. Resolução da alínea a) da tarefa pelo aluno A15. .................................................... 49

Figura 38. Resolução do exercício 1, da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A7. ....................... 53

Figura 39. Resolução do exercício 1, da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A15. ..................... 53

Figura 40. Resolução do exercício 2a), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A17. .................. 54

Figura 41. Resolução do exercício 2b), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A17. .................. 54

Figura 42. Resolução do exercício 2b), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A23. .................. 54

xiii

Figura 43. Resolução do exercício 2b), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A8. .................... 54

Figura 45. Imagem da segunda animação no GeoGebra. ......................................................... 55


Figura 47. Exemplo de cada indeterminação. .......................................................................... 61

Figura 48. Resumo das operações com limites em notação simbólica. .................................... 61





Figura 53. Resolução do exercício 1c), da ficha de trabalho n.º 4, pelo aluno A18. .................. 70

Figura 54. Resolução de um exercício pelo aluno A13. ............................................................ 70

Figura 55. Desdobramento do módulo pelo aluno A16. ........................................................... 70



Figura 58. Resposta do aluno A13 à alínea 1a) da ficha por partes. ......................................... 73

Figura 59. Resposta do aluno A9 à alínea 1a) da ficha por partes. ........................................... 73



Figura 62. Resposta do aluno A3 à alínea 1a) da ficha por partes ............................................ 74




Figura 66. Resposta do aluno A3 à alínea 1b) da ficha por partes. ........................................... 75

Figura 67. Resposta do aluno A21 à alínea 1b) da ficha por partes. ......................................... 75




Figura 71. Resposta do aluno A2 à alínea 1b) da ficha por partes. ........................................... 76

Figura 72. Resposta do aluno A16 à questão 2 da ficha por partes. ......................................... 78



Figura 75. Resposta do aluno A2 à questão 2 da ficha por partes. ........................................... 79




Figura 79. Resposta do aluno A5 à questão 3a) da ficha por partes. ........................................ 82

Figura 80. Resposta do aluno A24 à questão 3a) da ficha por partes. ...................................... 82

Figura 81. Resposta do aluno A5 à questão 3a) da ficha por partes. ........................................ 82

Figura 82. Resposta do aluno A2 à questão 3b) da ficha por partes. ........................................ 83

Figura 83. Resposta do aluno A15 à questão 3b) da ficha por partes. ...................................... 83

Figura 84. Resposta do aluno A8 à questão 3b) da ficha por partes. ........................................ 84

Figura 85. Resposta do aluno A23 à questão 3c) da ficha por partes. ...................................... 84

Figura 86. Resposta do aluno A3 à questão 3c) da ficha por partes. ........................................ 84

Figura 87. Resposta do aluno A19 à questão 3c) da ficha por partes. ...................................... 84

Figura 88. Resposta do aluno A24 à questão 3d) da ficha por partes. ...................................... 85

xiv

Figura 89. Resposta do aluno A6 à questão 3d) da ficha por partes. ........................................ 85











1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresenta-se o tema em estudo e as suas questões de investigação, assim

como a pertinência do estudo à luz do ensino e da aprendizagem da Matemática e uma breve

descrição da estrutura deste relatório.

1.1. Tema, finalidade e questões de investigação

O tema escolhido para o Projeto de Intervenção Pedagógica Supervisionada foi Limites

segundo Heine de funções reais de variável real, tendo por objetivo geral estudar a influência das

representações semióticas do conceito de limite segundo Heine na aprendizagem dos alunos.

Segundo Blázquez e Ortega (2000), o conceito de limite, embora seja um dos conceitos

mais importantes em matemática, devido às suas aplicações e ao facto de ser um conceito

essencial para a aprendizagem de outros conceitos, apresenta muitas dificuldades de

aprendizagem para os alunos. Estes autores defendem também que este conceito é um dos mais

difíceis de ensinar. Para Silva (1994), “Questões tão importantes como a noção de função, de

limite, de continuidade, de derivada, de integral, continuam a atormentar alunos e professores. Os

primeiros não as entendem, os segundos não as conseguem fazer entender” (p. 1).

Segundo Tall e Vinner (1981), as conceções dos alunos relativamente ao conceito de limite

podem conter fatores que geram conflitos com a definição do conceito de limite e que causam

confusão na aprendizagem deste conceito. Assim, pela própria natureza do conceito de limite,

existem dificuldades e obstáculos à aprendizagem deste conceito.

O uso do termo “limite” pode também estar na origem de conceções erradas dos alunos.

De facto, palavras que usamos no nosso dia-a-dia relacionadas com ideia de “limite” podem

assumir significados muito diferentes daqueles que são inerentes à matemática (Cornu, 1981).

Num estudo realizado por Cornu (1981) é referido que os alunos atribuem significados ao

conceito de limite muito diferentes do conceito matemático de limite. Ainda relativamente a esse

estudo, a expressão “tende para” não faz parte do vocabulário dos alunos em estudo, sendo que

os alunos apresentavam dificuldades em escrever frases com essa expressão. Do mesmo modo,

Tall (1992) refere que as expressões “tende para”, “aproxima” e “fica próximo de” também têm

significados no senso comum diferentes do significado matemático.

2

Os registos de representação semiótica, como sejam o registo figural, o registo simbólico, o

registo gráfico e o registo em língua natural assumem-se como um fator condicionador da

aprendizagem dos conceitos matemáticos em geral (Duval, 2003), e do conceito de limite de uma

função em particular.

Assim, tendo em conta o que foi referido anteriormente, formularam-se no presente estudo

as seguintes questões de investigação:

1. Quais os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciam na aprendizagem do

conceito de limite segundo Heine?

2. Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) são

usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que transformações de

registos são efetuadas?

3. Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural)

facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?

1.2. Pertinência do estudo

Desde o meu tempo de aluna do ensino secundário que ouço falar nas dificuldades de

aprendizagem da noção de limite de uma função. Por outro lado, encontramos na literatura muitos

estudos sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem deste conceito, constatando-se que

estas investigações se focam nas dificuldades dos alunos (e.g., Blázquez & Ortega, 2000; Cornu,

1981) e na importância do conceito de limite para a compreensão de outros conceitos (Blázquez

& Ortega, 2000).

O conceito de limite é um dos conceitos matemáticos em que os alunos revelam muitas

dificuldades de aprendizagem, dificuldades essas que estão ligadas ao próprio conceito de limite

(Blázquez & Ortega, 2000). Para além disso, o conceito de limite é um dos mais importantes uma

vez que é necessário para a aprendizagem de outros conceitos, como sejam os conceitos de

continuidade, derivada e integral (Blázquez & Ortega, 2000).

Em contrapartida, o conceito de limite, para os alunos, é um conceito pouco atrativo e

demasiado abstrato e que facilmente é esquecido. De facto, como já foi referido em diversos

estudos (Cornu, 1991; Prezenioslo, 2004; Tall, 1992), os alunos revelam muitas dificuldades nos

conteúdos implicados no conceito de limite de uma função.

Segundo Tall e Vinner (1981), as interpretações e as conceções dos alunos do conceito de

limite de uma função podem conter fatores que causam conflito com a definição do conceito de

3

limite. Assim, as dificuldades e obstáculos na aprendizagem do conceito de limite de uma função

surgem devido à natureza do próprio conceito (Prezenioslo, 2004).

Tall (1992) refere que o conceito de função é central para a matemática moderna, sendo

que o conceito de limite impõe uma progressão para o plano mais elevado do pensamento

matemático. O conceito de limite de uma função é o primeiro conceito matemático que não é

abordado através de cálculos matemáticos simples (Cornu, 1983), estando “cercado de mistério”,

onde é necessário andar por um “caminho tortuoso” (Tall, 1992).

Para além da natureza do conceito de limite ser um obstáculo na aprendizagem, os alunos

podem ter conceções erradas acerca do conceito de limite de uma função devido à utilização do

termo limite no dia-a-dia. No nosso quotidiano, utilizam-se muitas palavras relacionadas com a

ideia de limite, mas com significados muito diferentes dos significados matemáticos.

Num estudo feito por Cornu (1981), realizado com alunos de um Liceu, concluiu-se que o

significado da palavra limite não coincide com o seu significado em matemática. Do mesmo modo,

os termos que se associam aos processos matemáticos de limite como, por exemplo, “tende

para”, “aproxima-se de” ou “fica próximo de” também têm significados diferentes dos significados

matemáticos (Tall, 1992).

Para além destes obstáculos, Thabane (1998) e Laridon (1992), citados em Jordaan

(2005), referem que os alunos consideram o limite da função num ponto como a imagem da

função nesse ponto e, portanto, consideram que não está definido o limite da função num ponto

que não pertence ao domínio da função.

De acordo com o programa de Matemática A de 11º ano (Ministério da Educação e Ciência,

2014), o conceito de limite de uma sucessão deve ser introduzido de forma cuidada, não devendo

limitar-se a uma abordagem puramente intuitiva. Posteriormente, no domínio das Funções Reais

de Variável Real, recomenda-se a utilização dos conceitos introduzidos no domínio das Sucessões

para se definir a noção de limite de uma função, segundo Heine, num ponto real ou em mais ou

menos infinito.

Segundo Castro e Castro (1997), para se dominar um conceito matemático é necessário

conhecer as suas principais representações e o seus significados, bem como converter ou traduzir

representações noutras representações, reconhecendo qual a mais vantajosa para uma

determinada situação. Duval (2003) refere que só existe compreensão de um objeto matemático

quando o aluno consegue mobilizar os diferentes registos de representação semiótica,

designadamente o registo figural, o registo em língua natural, o registo simbólico e o registo gráfico.

4

Do mesmo modo, o National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2008) refere que os

alunos devem conhecer e relacionar as várias representações do mesmo objeto matemático.

Deste modo, pretende-se definir limite de uma função segundo Heine, num ponto real dado

ou em mais ou menos infinito, a partir dos conhecimentos adquiridos pelos alunos acerca dos

limites de sucessões, representando este conceito nos diferentes registos de representação

semiótica e recorrendo ao uso das novas tecnologias, concretamente à calculadora gráfica e ao

software GeoGebra.

Tendo em consideração tudo o que foi antes referido, pretende-se com este relatório poder

contribuir para aumentar os conhecimentos acerca das dificuldades e dos erros revelados pelos

alunos no conceito de limite de uma função num ponto e como solucioná-los. Simultaneamente,

espera-se que este relatório também possa fornecer contribuições sobre potencialidades do uso

dos registos de representação semiótica para a aprendizagem do conceito de limite de uma

função.

1.3. Estrutura do relatório

Este relatório está organizado em cinco capítulos. No Capítulo I, Introdução, apresenta-se o

tema, incluindo o objetivo geral e as questões de investigação, justifica-se a pertinência do tema e

apresenta-se a estrutura do relatório.

O Capítulo II, Enquadramento Teórico, encontra-se dividido em dois subcapítulos, sendo

que no primeiro faz-se referência à teoria de registos de representação semiótica, enquanto o

segundo está subdividido em quatro secções, que fazem referência às definições de limite de uma

função segundo os programas de Matemática A, homologados em 2002 e em 2014, aos

obstáculos de aprendizagem, às dificuldades e erros relativos ao conceito de limite de uma função

e às dificuldades referentes à representação verbal, simbólica e gráfica.

O capítulo III, Enquadramento Contextual, está dividido em quatro subcapítulos, que são os

seguintes: Caracterização da escola, Caracterização da turma, Estratégias de intervenção e

Métodos de recolha de dados.

O capítulo IV, Intervenção Pedagógica, encontra-se organizado em três subcapítulos,

relativos à análise das respostas dos alunos no teste diagnóstico, de alguns episódios de aulas da

intervenção pedagógica, considerados importantes para o projeto, e das respostas dos alunos na

ficha de avaliação por partes.

5

No capítulo V, Síntese, Conclusões, Implicações e Recomendações e Limitações, encontra-

se dividido em quatro subcapítulos. No primeiro apresenta-se uma síntese do estudo, no segundo

apresentam-se as respostas relativas às questões de investigação propostas, no terceiro

apresentam-se algumas implicações e recomendações para estudos posteriores e no quarto são

referidas as limitações à execução deste projeto.

7

CAPÍTULO II

ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Neste capítulo faremos uma revisão de literatura focada em dois aspetos: 1) a teoria dos

registos de representação semiótica de Raymond Duval e 2) o conceito de limite de uma função

segundo Heine. Dentro deste último subcapítulo abordar-se-ão as diferenças na abordagem do

conceito de limite entre o programa escolar atual e o programa escolar anterior, os obstáculos na

aprendizagem do conceito de limite, as dificuldades e erros na aprendizagem deste conceito e as

dificuldades referentes à representação verbal, simbólica e gráfica.

2.1. Teoria dos registos de representação semiótica

O presente trabalho tem como uma das suas referências a teoria dos registos de

representação semiótica, que foi introduzida pelo filósofo e pedagogo francês Raymond Duval,

tendo em vista analisar a influência das diferentes representações semióticas dos objetos

matemáticos no ensino e na aprendizagem da matemática.

De acordo com esta teoria, pode-se representar um objeto matemático através dos registos

de representação semiótica, que são definidos por “produções constituídas pelo emprego de

signos pertencentes a um sistema de representações, os quais têm suas dificuldades próprias de

significado e funcionamento” (Duval, 2012, p. 39). Por outras palavras, os registos de

representação, segundo Duval, são formas de representar um determinado objeto matemático. O

autor, na sua teoria, refere também que o sistema onde se representa o objeto designa-se por

sistema ou registo semiótico, sendo a sua importância resultado do facto de possibilitar a troca e

a organização de informação acerca do objeto matemático.

Há uma grande variedade de sistemas de representações semióticas, designando-os Duval

por registos de representação semiótica que classifica em quatro tipos: a língua natural, as escritas

algébricas e formais, as figuras geométricas e as representações gráficas.

Nas atividades matemáticas pode-se representar o mesmo objeto matemático em diferentes

registos de representação semiótica, como se pode ver nos seguintes três exemplos, que se

referem ao limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 ser 6.

8

Figura 1. Representação algébrica do limite de uma função 𝑓.

Figura 2. Representação em língua natural do limite de uma função 𝑓.

Figura 3. Representação gráfica do limite de uma função 𝑓.

Como se pode observar, através destes exemplos, a representação do objeto não é o mesmo

que o objeto, pois todas as representações anteriores se referem ao mesmo objeto (limite de uma

função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 é 6). Embora todas as representações sejam relativas ao

mesmo objeto, cada uma delas fornece informação distinta acerca das caraterísticas do objeto,

revelando-se, assim, o interesse do recurso a diferentes representações para melhor compreender

o objeto matemático em questão.

Para esta pesquisa consideraram-se três dos quatro registos de representação semiótica

estabelecidos por Duval, especificamente: o registo em língua natural, o registo gráfico e o registo

simbólico.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 6.

Objeto matemático: limite de uma função. Registo de representação semiótico: simbólico-algébrico.

Para qualquer sucessão (𝑥𝑛) de termos pertencentes ao domínio de 𝑓, convergente para 1, as imagens da sucessão por 𝑓 tendem para 6. Objeto matemático: limite de uma função. Registo de representação semiótico: língua natural.

Objeto matemático: limite de uma função.

Registo de representação semiótico: gráfico.

9

Esta teoria defende que para um indivíduo desenvolver o raciocínio é essencial que este

distinga e relacione as representações semióticas de um objeto matemático. Para Duval (2006),

a forma de analisar e descobrir as origens das dificuldades dos alunos está nas representações

semióticas. De acordo com este autor, para que ocorra uma aprendizagem significativa é

necessário que o propósito do ensino da matemática seja voltado para o desenvolvimento geral

das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. Neste caso, a atividade matemática

tem como caraterísticas a dependência das representações semióticas e a grande diversidade de

representações, uma vez que os objetos matemáticos só são acessíveis através das suas

representações.

Para Duval (2003) só há apreensão do objeto matemático quando o aluno consegue utilizar

mais do que um registo de representação ao mesmo tempo ou alterar de registo de representação

a qualquer momento. Assim, nesta perspetiva, para este autor, a compreensão em matemática é

atingida quando o aluno conseguir relacionar os diversos registos de representação semiótica de

um conceito.

Para que ocorra aquisição do conhecimento, o autor afirma que é essencial mobilizar dois

tipos de transformações de representações semióticas, que são o tratamento e a conversão. Duval

designa por tratamentos de registo as “transformações de representações dentro de um mesmo

registo (Duval, 2003, p. 16) e por conversões as “transformações de representações que

consistem em mudar de registo conservando os mesmos objetos denotados” (Duval, 2003, p.

16).

Para se compreender melhor cada uma destas definições, vejamos os dois exemplos a

seguir apresentados.

Exemplo 1

Figura 4. Enunciado e resolução do exemplo 1.

No exemplo acima está apresentado uma transformação dentro do mesmo registo, isto é,

em que o registo de partida e o registo de chegada é o registo simbólico. Assim, pode-se afirmar

que a transformação da representação ocorreu através de um tratamento

Exemplo 2

Assumindo que lim𝑥→3

𝑓(𝑥) = 5, calcula lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

3𝑥+6.

Resolução: lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

3𝑥+6=

lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

lim𝑥→3

(3𝑥+6)=

5

3×3+6=

5

15=

1

3.

10

Figura 5. Enunciado e resolução do exemplo 2.

No exemplo 2 está apresentado uma transformação que envolve a passagem do registo

gráfico para os registos em língua natural e simbólico. Assim, a transformação da representação

ocorreu por meio de uma conversão.

No ensino, a distinção entre tratamento e conversão raramente é feita, realizando-se tais

transformações sem a existência de qualquer ato intencional do professor (Duval, 2003). Os

tratamentos são uma das causas das dificuldades dos alunos, enquanto conversões entre registos

raramente são faladas e aplicadas (Duval, 2003). No entanto, Duval refere que as dificuldades

relacionadas com as conversões fazem com que o aluno não consiga desenvolver a capacidade

de usar o conhecimento que detém para adquirir novos conhecimentos. O autor acrescenta ainda

que os alunos têm dificuldade em passar de um problema de palavras para uma expressão

simbólica, independentemente do conteúdo matemático. Ainda segundo Duval, uma outra

dificuldade é a conversão de gráficos cartesianos em equações. Para que estas falhas sejam

eliminadas, este autor refere que é preciso aumentar as investigações sobre os problemas de

conversão em todas as áreas de matemática.

A conversão dos diferentes registos de representação possibilita a formação do

conhecimento matemático (Duval, 2003). De facto, a mudança de um registo para outro registo é

uma condição necessária para que ocorra aprendizagem. O autor refere que a originalidade da

atividade matemática consiste na coordenação simultânea de pelo menos dois registos ou “na

possibilidade de trocar a todo momento de registro de representação” (Duval, 2003, p. 14).

Na figura seguinte está representada parte do gráfico da função 𝑓, de domínio ℝ\{0}. Indica o lim

𝑥→0+𝑓(𝑥).

Resolução: Através da observação do gráfico pode-se constatar que quando 𝑥 tende para 0, por valores superiores a 0, as imagens da função crescem indefinidamente, logo lim

𝑥→0+𝑓(𝑥) = +∞.

11

A ideia de que as representações servem apenas para exteriorizar as representações

mentais é limitada pois estas têm um papel fundamental na construção do conhecimento

matemático. Duval (2003) realça a importância dos registos de representação semiótica onde

refere que a condição fundamental para a evolução do pensamento matemático foi o

desenvolvimento das representações semióticas.

Neste sentido, a atividade matemática é caraterizada pela dependência das representações

semióticas e pela diversidade das mesmas. Isto deve-se ao facto de os objetos matemáticos só

serem acessíveis através das suas representações, sendo que o mesmo objeto matemático pode

ter diversas representações. Duval (2003) defende que a diferença entre a matemática e as outras

áreas científicas reside em três caraterísticas: a importância das representações semióticas; o

paradoxo cognitivo para aceder ao saber matemático e a enorme variedade de representações

semióticas usadas na matemática.

Como já foi referido acima, só se tem acesso aos objetos matemáticos a partir das

representações, uma vez que, ao contrário do que acontece com as outras áreas científicas, os

objetos matemáticos não são acessíveis a olho nu ou microscopicamente e, por essa razão, o

acesso a esses objetos apenas é possível através das representações semióticas (Duval, 2003).

De facto, o acesso aos números, por exemplo, só é possível através do uso de representações

semióticas e são estas que permitem que sejam designados. Ainda assim, o mais importante não

são as representações, mas sim as transformações, pois estas são o coração da atividade

matemática.

Embora as representações sejam essenciais para a atividade humana, não as devemos

confundir com o objeto matemático. Ora, se por um lado, é essencial que se utilize as

representações semióticas para realizar qualquer atividade matemática, por outro, o objeto

matemático não deve ser confundido com as suas representações (Duval, 2012). Estas duas

condições levam a um paradoxo cognitivo do pensamento matemático, que pode constituir um

ciclo para a aprendizagem. De facto, como é que os sujeitos não confundem os objetos

matemáticos com as suas representações semióticas se os objetos matemáticos apenas são

acessíveis através de representações semióticas? Esta confusão torna-se evidente quando se avalia

a capacidade de os alunos realizarem a conversão de um registo para outro registo de

representação distinto. Muitas vezes, o insucesso escolar advém da ausência desta capacidade.

A atividade matemática envolve diferentes sistemas de representação semiótica que,

dependendo da tarefa, podem ser utilizados sem limitações. Há registos de representação

12

semiótica que permitem realizar mais facilmente uma atividade matemática que outros e há

atividades que só podem ser desenvolvidas apenas com um tipo de registo de representação. Mas,

segundo (Duval,2003), a maioria das vezes, o aluno não reconhece o sistema que deve usar ou

não compreende que o mesmo objeto pode ter várias representações. Duval (2012) afirma que

“o recurso a muitos registros parece mesmo uma condição necessária para que os objetos

matemáticos não sejam confundidos com suas representações e que possam também ser

reconhecidos em cada uma de suas representações” (Duval, 2012, p. 5).

Além disso, cada registo de representação de um determinado objeto matemático apresenta

uma caraterística própria do objeto em estudo e à medida que o aluno vai conhecendo os

diferentes registos de representação, vai-se apropriando do objeto. Portanto, pode-se afirmar que

“descartar a importância da pluralidade dos registros de representação leva a crer que todas as

representações de um mesmo objeto matemático têm o mesmo conteúdo ou que seus conteúdos

respetivos se deixam perceber uns nos outros como por transparência” (Duval, 2003, p. 14). Mas,

para que o aluno se aproprie do objeto matemático, é essencial, para além de conhecer os

diferentes registos de representação do objeto, que os relacione.

Assim, pode-se afirmar que a diversidade de registos de representação é fundamental na

compreensão de um conhecimento matemático. A maior parte dos alunos, ao longo do seu

currículo, não atinge essa compreensão, pois esta requer a coordenação dos diversos registos de

representação (Duval, 2003). Portanto, é importante que o professor utilize nas suas práticas de

ensino os dois tipos de transformações de representações, tratamento e conversão, nos dois

sentidos (Duval, 2003).

Normalmente, no ensino dá-se importância a conversões de um único sentido, o que pode

ser uma das causas das dificuldades dos alunos. Isto vem da ideia de que quem consegue fazer

as conversões num sentido, também as consegue fazer no sentido inverso. Mas segundo

Pavlopoulou (1993, citado em Duval, 2003), a maioria dos alunos que realiza uma conversão de

um registo de partida para um registo de chegada não consegue efetuar a transformação

recíproca. Portanto, é fundamental que, no ensino, se efetue a conversão nos dois sentidos para

que os alunos realizem uma aprendizagem significativa.

Após vários estudos e observações, Duval concluiu que os fracassos ou bloqueios dos

estudantes aumentam cada vez que precisam de efetuar uma mudança de registo ou quando

precisam de mobilizar dois registos ao mesmo tempo. Estes bloqueios ou fracassos fazem com

13

que o aluno não consiga reconhecer o mesmo objeto em diferentes representações ou limitam o

uso da capacidade de usar conhecimentos para adquirir novos conhecimentos.

Como já foi dito anteriormente, segundo Duval, a distinção entre os tratamentos e as

conversões raramente é feita, mas para se estudar as dificuldades de aprendizagem Duval afirma

que é essencial estudar a conversão das representações e não os tratamentos e, para isso, deve-

se analisar a representação no registo de partida e a representação no registo de chegada.

Quando se realiza uma conversão de uma forma clara, isto é, quando a mudança de um

registo de partida para um registo de chegada é evidente, diz-se que ocorreu um fenómeno de

congruência.

Um exemplo de um fenómeno de congruência pode ser o seguinte:

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 0

Figura 6. Exemplo de uma conversão onde ocorre um fenómeno de congruência.

Por outro lado, se a mudança de um registo de partida para um registo de chegada exige

maior raciocínio por parte dos alunos, diz-se que ocorreu um fenómeno de não-congruência.

Na figura abaixo está representado um exemplo de um fenómeno de não congruência.

lim

𝑓(𝑣𝑛) = +∞

𝑣𝑛 = 1 +1

𝑛

Figura 7. Exemplo de uma conversão de registos onde ocorre um fenómeno de não-congruência.

14

Para Duval, nas conversões entre registos, os fenómenos de não-congruência são mais

comuns do que os fenómenos de congruência, sendo também mais difícil para os alunos este tipo

de transformação (Duval, 2003).

2.2. Limites segundo Heine de funções reais de variáveis real

O conceito de limite segundo Heine de funções reais de variável real, segundo o atual

programa, deve ser introduzido utilizando os conceitos abordados no domínio das Sucessões. Pons

et al. (2011) refere que este conceito deve ser iniciado com ideias intuitivas, oralmente (Fernández-

Plaza et al., 2013), seguindo-se aproximações numéricas, para depois se utilizarem expressões

algébricas e, por fim, exemplificar a partir de representações gráficas. Assim, com base na

combinação de diversas representações, os alunos não ficam limitados a uma única abordagem

(Fallas, 2016), podendo assim desenvolver uma aprendizagem mais profunda.

2.2.1. A definição de limite segundo Heine nos programas escolares

Com a atual reforma curricular, o Programa e Metas Curriculares de Matemática A

(Ministério da Educação e Ciência, 2014) apresenta algumas diferenças em relação ao programa

anterior. Atualmente, o conceito de limite de uma função segundo Heine está incluído no domínio

Funções Reais de variável Real, a seguir ao domínio das Sucessões, do 11º ano de escolaridade

e nele estudam-se os conteúdos: limite de uma função num ponto; limites à esquerda e à direita;

propriedades e operações de limites, bem como o levantamento algébrico de indeterminações.

Enquanto que no antigo programa, do 11.º ano de escolaridade, este conceito aparecia

situado no Tema II: Introdução ao cálculo diferencial I e II (Ministério da Educação, 2002), onde

era indicado que devia ser introduzido de forma intuitiva, para ser formalizado mais tarde. Era só

no 12.º ano de escolaridade que se abordava a definição de limite segundo Heine, as propriedades

operatórias sobre limites e o levantamento de indeterminações.

Para além da estrutura e organização terem sido alteradas com a recente reforma curricular,

a definição de limite de uma função num ponto também foi alterada. Há, portanto, duas formas

para a definição de limite, quando se considera as sucessões no domínio da função que convergem

para 𝑎 mas sem nunca tomarem o valor 𝑎 e quando se considera as sucessões no domínio da

função que convergem para 𝑎 podendo tomar o valor de 𝑎.

No ensino secundário em Portugal têm-se optado, nos últimos anos, antes da alteração

atual, pela definição em que as sucessões não tomam o valor de 𝑎, enquanto no atual programa

15

se optou pela segunda opção, que apresenta diversas vantagens. Uma das justificações da atual

mudança da definição de limite de uma função num ponto é que ela é mais simples de formular

e também que a definição de ponto aderente é mais acessível que a noção de ponto de

acumulação. Adicionalmente, esta opção permite também uma abordagem mais simples da noção

de continuidade de funções. O facto de a própria noção de “limite por valores diferentes”, tal como

a noção de “limite à esquerda” e “limite à direita” ser encarada como o limite da restrição inicial

a um determinado conjunto é outra vantagem desta definição (Ministério da Educação e Ciência,

2014).

O que distingue as duas definições são as condições do ponto para que 𝑥 está a tender, ou

seja, 𝑎. No programa de Matemática A de 2002 utiliza-se a definição de ponto de acumulação

para se definir o limite de uma função num ponto, conforme se mostra na Figura 8.

Figura 8. Definição de ponto de acumulação e de limite de uma função num ponto.

Já no atual programa utiliza-se a definição de ponto aderente para se definir o limite de uma

função num ponto, como se pode ver na Figura 9.

Figura 9. Definição de ponto aderente e de limite de uma função num ponto.

Assim, se se considerar 𝑎 um ponto de acumulação do domínio de uma função 𝑓, as

definições coincidem se o ponto 𝑎 pertencer ao domínio de 𝑓. Mas se o ponto 𝑎 não pertencer ao

domínio de 𝑓, as definições podem não coincidir.

Para se compreender melhor estas diferenças, observemos a imagem seguinte, onde está

representado parte do gráfico de uma função 𝑓.

Sejam 𝑋 ⊆ ℝ e 𝑎 ∈ ℝ. Diz-se que • 𝑎 é um ponto de acumulação de 𝑋 se ∀ 휀 > 0, ]𝑎 − 휀, 𝑎 + 휀[ ∩ 𝑋\{𝑎} ≠ ∅.

• lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 se e só se, para qualquer sucessão (𝑢𝑛) de termos do domínio de 𝑓

distintos de 𝑎 tal que 𝑢𝑛 → 𝑎, a sucessão (𝑓(𝑢𝑛)) é tal que 𝑓(𝑢𝑛) → 𝑏.

Sejam 𝑋 ⊆ ℝ e 𝑎 ∈ ℝ. Diz-se que

• 𝑎 é um ponto aderente a 𝑋 se ∀ 휀 > 0, ]𝑎 − 휀, 𝑎 + 휀[ ∩ 𝑋 ≠ ∅.

• lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 se e só se, para qualquer sucessão (𝑢𝑛) de termos do domínio de 𝑓

tal que 𝑢𝑛 → 𝑎, a sucessão (𝑓(𝑢𝑛)) é tal que 𝑓(𝑢𝑛) → 𝑏.

16

Figura 10. Representação gráfica de parte de uma função 𝑓.

Pelo programa de Matemática A do 11º ano de 2002, a definição do limite de 𝑓 quando 𝑥

tende para 𝑎, para 𝑏 e para 𝑐 existe e é 𝑠, 𝑑 e 𝑓(𝑐), respetivamente. Analisando a função 𝑓 pelo

programa atual, conclui-se que o limite de 𝑓 quando 𝑥 tende para 𝑎 não existe, enquanto existe

o limite de 𝑓 quando 𝑥 tende para 𝑏 e para 𝑐 e é 𝑑 e 𝑓(𝑐), respetivamente.

Uma outra razão para esta alteração da definição teve a ver com alguns cuidados

complementares que a antiga definição obrigava a ter para evitar erros nos enunciados de algumas

propriedades. De facto, com a definição do antigo programa, nas definições de operações sobre

limites não é possível garantir com toda a generalidade que: “Se 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) tendem para limites

finitos quando 𝑥 tende para um limite 𝑎 (finito ou infinito), também a soma, a diferença e o produto

dessas funções tendem para limites finitos quando 𝑥 tende para 𝑎” (Martins, 2018). Pois, embora

o ponto 𝑎 seja ponto de acumulação do domínio de 𝑓 e de 𝑔, pode não ser ponto de acumulação

do domínio de 𝑓 + 𝑔. Vejamos o seguinte exemplo na figura 11 (Martins, 2018).

Figura 11. Enunciado do exemplo.

Quando 𝑥 tende para 2, o limite de 𝑓 e o limite de 𝑔 é 0, mas se se adicionar as funções

𝑓 e 𝑔, obtêm-se a função 𝑓 + 𝑔, cujo domínio se restringe ao ponto 2. Assim, o ponto 2 não é

ponto de acumulação da função 𝑓 + 𝑔 e, então, pela definição do programa anterior, não existe

limite quando 𝑥 tende para 2. Enquanto que, pela definição atual, existe lim𝑥→2

𝑓(𝑥) e é igual a 0.

Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções de domínio [2, +∞[ e ] − ∞, 2], respetivamente, definidas por

𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = √2 − 𝑥.

17

É de notar que estas situações só ocorrem quando a interseção dos domínios das funções tem

pontos isolados.

Com a atual definição, passa a estar disponível o teorema do limite da função composta,

que é referido da seguinte forma “Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções reais de variável real e 𝑎 um ponto

aderente a 𝐷𝑔∘𝑓. Se lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏 ∈ ℝ e lim𝑥→𝑏

𝑔(𝑥) = 𝑐 ∈ ℝ, então lim𝑥→𝑎

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑐”, que

no programa anterior não era abordado devido à definição de limite num ponto. Vejamos o seguinte

exercício na Figura 12 (Martins, 2018).

Figura 12. Enunciado do exemplo.

Comecemos por esboçar os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔, para se chegar ao gráfico da função

𝑓 ∘ 𝑔. (Figura 13)

𝑓(𝑥) = {0 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

1 𝑠𝑒 𝑥 = 0

𝑔(𝑥) = {0 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

2 𝑠𝑒 𝑥 = 0

Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas em ℝ por

𝑓(𝑥) = {0 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

1 𝑠𝑒 𝑥 = 0

e 𝑔(𝑥) = {0 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

2 𝑠𝑒 𝑥 = 0

.

Calcula lim𝑥→0

𝑓(𝑔(𝑥)) e lim𝑦→0

𝑓(𝑦).

18

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = {1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0

0 𝑠𝑒 𝑥 = 0

Figura 13. Representação gráfica das funções 𝑓, 𝑔 e 𝑓 ∘ 𝑔.

Se se considerar a definição antiga, o limite de 𝑓 ∘ 𝑔, quando 𝑥 tende para 0, é 1 e o limite

de 𝑓, quando 𝑦 tende para 0, é 0. Mas se se utilizar a atual definição de limite, o limite de 𝑓 ∘ 𝑔,

quando 𝑥 tende para 0, não existe, bem como o limite de 𝑓, quando y tende para 0.

Para além destas mudanças, que foram referidas anteriormente, a definição de

continuidade acaba por desaparecer, uma vez que a definição de uma função contínua num ponto

é igual à definição de limite nesse ponto.

2.2.2. Obstáculos na aprendizagem do conceito de limite

Para se compreender melhor os erros e dificuldades dos alunos na aprendizagem do

conceito de limite, ter-se-á de investigar quais os obstáculos existentes na aprendizagem desse

conceito. Assim, nesta subsecção investigar-se-á a definição de obstáculo e quais os tipos de

obstáculos existentes.

Segundo Brousseau (1976), o erro não resulta só “da ignorância, da dúvida, do acaso” (p.

104), como defendem as teorias empiristas ou behavioristas. Este autor defende que o erro advém

de um conhecimento anterior que no momento se revela “falso, ou simplesmente inadaptado”

(Brousseau, 1976, p. 104). Mas, mesmo inadequados numa dada situação, estes erros são

fundamentais para a construção de conhecimento.

Um obstáculo é um conhecimento que se obtém num determinado momento e que se

revela falso e inadaptado aquando de uma nova situação (Brousseau, 1976). Quando se adquire

um conhecimento que se revela satisfatório numa determinada situação, embora falso em outros

casos, isso faz com que esse conhecimento se enraíze e se torne num obstáculo (Cornu, 1983).

Deste modo, para que ocorra aprendizagem é fundamental que estes obstáculos sejam

eliminados.

A aprendizagem não ocorre de uma forma contínua (Brousseau, 1976; Cornu, 1983), é

feita através de avanços e recuos, que estão relacionados com o aparecimento e a eliminação dos

19

obstáculos. Daí a importância dos conflitos, pois estes são fundamentais para a deteção de um

falso conhecimento e para a eliminação de um obstáculo.

Segundo Brousseau (1976), há três tipos de obstáculos, os obstáculos ontogénicos, que

estão relacionados com as limitações neuropsicológicas do próprio sujeito, os obstáculos didáticos,

que são o resultado de uma opção do sistema educativo e os obstáculos epistemológicos, que

estão ligados com a história do próprio conceito. Também Cornu (1983), citando Gleaser (1979),

apresenta uma classificação semelhante dos obstáculos, com origem:

• genética, que estão relacionados com o desenvolvimento do próprio sujeito;

• didática, que estão relacionados com os processos de ensino ou do sistema

educativo;

• psicológica, que estão ligados à dimensão psicológica do sujeito;

• social, que estão relacionados com a cultura e com a sociedade;

• técnica, que estão ligados com tecnologias e técnicas utilizadas;

• epistemológica, que fazem parte da história do próprio conceito.

No seu trabalho, Cornu (1983), referiu alguns obstáculos epistemológicos do conceito de

limite e, entre eles, está o aspeto metafísico do conceito de limite. Segundo este autor, os conceitos

de limite e de infinito apareciam mais relacionados com a metafísica e a filosofia, o que fazia com

que os matemáticos se opusessem a utilizar tais conceitos. Para compreender o conceito de limite

é fundamental que o aluno compreenda o conceito de infinito, contudo, encontram-se na literatura

alguns trabalhos que referem que os alunos têm conceções muito limitadas do conceito de infinito.

Cornu (1983) refere que as noções de “infinitamente pequeno” e “infinitamente grande” são

obstáculos epistemológicos.

Também, segundo Jordan (2005), o conceito de limite é difícil de se compreender pois

parece estar mais relacionado com a metafísica e a filosofia do que com a matemática, sendo um

dos principais obstáculos à sua aprendizagem o facto de o seu cálculo não ser efetuado por

métodos algébricos e aritméticos comuns.

Um outro obstáculo epistemológico referido por Cornu (1983) e Jordan (2005) reside no

facto de “O limite ser ou não atingido?”. Também as ideias “uma soma infinita pode ser finita” e

“o quociente de duas quantidades que tendem para zero pode ser um número finito” constituem

outros obstáculos epistemológicos, segundo Cornu (1983). Ora, estas duas ideias, discutidas por

diferentes matemáticos, são objeto de debate na sala de aula, o que realça a sua importância na

aprendizagem da noção de limite.

20

Para além dos obstáculos na aprendizagem do conceito de limite, Cornu (1983) defende

que algumas conceções dos alunos poderão constituir um obstáculo à sua aprendizagem. O autor

refere que a imagem concetual (Tall & Vinner, 1981)“para descrever a estrutura cognitiva total

associada ao conceito, incluindo todas as imagens mentais e propriedades e processos

associados”(p. 152), já existe mesmo antes de o aluno ter contacto com o conceito.

As conceções espontâneas são definidas como “ideias a priori, que não são fruto de um

ensino organizado” (Cornu, 1983, p.67) e são criadas em diversas situações do nosso quotidiano

ou induzidas por outras partes da matemática. No entanto, estas conceções não desaparecem

quando os alunos passam a conhecer a definição do conceito, envolvendo-se assim com as

conceções “matemáticas” de que têm conhecimento (Cornu, 1983). O autor refere ainda que as

conceções espontâneas podem ser identificadas através do vocabulário utilizado pelo aluno e em

situações específicas, como por exemplo, na resolução de tarefas (Cornu, 1983).

As conceções próprias “contêm simultaneamente as imagens mentais, as representações,

as palavras ligadas ao conceito, mas também as definições, as propriedades, os “teoremas” (por

vezes falsos…), os processos, os algoritmos, os exemplos” (Cornu, 1983, p. 69). Segundo Cornu

(1983), as conceções próprias podem conter contradições, mas “se os elementos contraditórios

não são mobilizados simultaneamente” (Cornu, 1983, p. 69), essas contradições não aparecem.

Para Cornu (1983) “o aluno, mesmo munido da definição matemática, faz apelo às suas

conceções anteriores, às suas conceções espontâneas, assim que ele põe em ação a noção de

limite” (Cornu, 1983, p. 111). O autor defende que estas ideias a priori combinam-se com a noção

matemática que dão lugar “a conceções às quais ele fará doravante referência: as suas conceções

próprias” (Cornu, 1983, p. 111).

Segundo Cornu (1981), o termo limite, para os alunos,

quase sempre significa algo estático, um limite geográfico fixo, limite a não exceder (moral ou regulamentar), fronteira que não se pode ultrapassar, “os limites da condição humana…”. Há a noção de dificuldade de atingir o limite, e portanto a noção de “se aproximar indefinidamente”. Por vezes, o limite é o que separa duas coisas: a fronteira entre um campo de trigo e um campo de milho, o número 0 é o limite entre o positivo e o negativo. Mas na maioria das vezes, o limite é o fim: não há nada do outro lado. (pp. 3-4)

No seguimento, Cornu (1981) refere os quatro principais modelos adotados pelos alunos

na noção de limite, que estão apresentados na tabela seguinte.

21

Tabela 1 ‒ Os quatro principais modelos da noção de limite adotados pelos alunos.

Modelo 𝛼 Um limite é intransponível, é uma fronteira.

Modelo 𝛽 O modelo que para alguns alunos coincide com a noção de extremo superior ou de extremo inferior.

Modelo 𝛾 O limite pode ser alcançado.

Modelo 𝛿 O limite é impossível de alcançar.

Nesse artigo, Cornu (1981) destaca o modelo 𝛼, referente à intransponibilidade do limite,

como o modelo com mais ênfase entre os alunos, o que pode dificultar a sua atividade matemática.

Simultaneamente, a noção de limite, para muitos alunos, não se associa a ideias de variação,

movimento ou de aproximação. O autor conclui também que as conceções da noção limite dos

alunos não variam com a sua progressão na escolaridade, mantendo-se essencialmente

semelhantes (Cornu, 1981).

2.2.3. Dificuldades e erros relativos ao conceito de limite

Como vimos na secção anterior, Cornu (1991) estudou as conceções espontâneas, as quais

podem trazer consequências para a atividade matemática, criando obstáculos e dificuldades na

aprendizagem do conceito de limite. Outros autores, como por exemplo Jordan (2005) e Tall e

Vinner (1981), indicam que um erro muito comum entre os alunos, é considerar o limite no ponto

como o valor imagem da função nesse ponto. Em consequência, é comum os alunos considerarem

que não existe limite num determinado ponto quando a função não está definida nesse ponto.

Um outro fator que pode causar dificuldades na aprendizagem do conceito de limite é a

utilização de expressões usadas no nosso quotidiano associadas ao conceito de limite, como por

exemplo: “tende para” e “aproxima-se de”. Estas expressões que, segundo Tall (1992), são

usadas para simplificar e tornar mais fácil o conceito de limite, têm significados no nosso dia-a-dia

diferentes do significado matemático, o que poderá resultar em conflitos.

No entanto, Cornu (1983) não tem a mesma opinião que Tall (1992) no que concerne às

expressões usadas no dia-a-dia dos alunos. Cornu (1983), através do seu estudo, concluiu que a

expressão “tende para” não faz parte do vocabulário do quotidiano do aluno. Nesse estudo, Cornu

pediu aos alunos para escreverem frases onde utilizassem a expressão “tende para” e reparou

que as frases escritas pelos alunos eram um pouco forçadas e que os alunos substituíam a

expressão “tende para” por outras expressões “ter tendência para”, “levar a” ou “parecer-se

com”.

22

Existem vários significados atribuídos pelos alunos à expressão “tender para” e Cornu

(1983, p. 77) distinguiu-os da seguinte forma:

• “tendência a parecer-se com”, que mostra que não há variação. Por exemplo, “este

azul tende a roxo”, não quer dizer que a cor azul está a evoluir para a cor roxa.

Apenas indica alguma parecença entre o roxo e o azul;

• “tendência a aproximar-se de”, mais uma vez dá a ideia de semelhança mas já

denota a ideia de evolução. Por exemplo: “Este regime tende para o socialismo”;

“A minha opinião política tende para a do meu pai”. Mas ainda assim, não significa

que atinge o objetivo designado”;

• “aproximação inexorável a um objetivo, a um fim”, encontrando-se este tipo de

significado em frases do género: “O presente tende para o futuro”; “A vida tende

para a morte”;

• “tensão, esforço, em vista de algo”;

• “chegar a”, que aparece em frases do género: “a mãe chega ao filho um jogo”.

Tal como o conceito de limite, também as situações de indeterminação e os seus

significados são fontes de muitas dificuldades e erros dos alunos. Uma indeterminação é uma

situação onde o cálculo do limite abrange transformações algébricas e não só uma simples

avaliação da função (Maurice, 2005).

Maurice (2005) realizou um estudo com o objetivo de explicar as ideias e intuições erróneas

dos alunos relativas ao comportamento de funções e às situações de indeterminação, atendendo

às suas conceções sobre “infinito”, “zero, “divisão por zero” e “limite”. Através desse estudo, a

investigadora conclui que o termo “indeterminado” para os alunos aproxima-se do significado da

palavra “impossível”. A autora justifica esta conclusão pelo facto de os alunos considerarem que

𝑏

0, com 𝑏 ≠ 0, é indeterminado porque a divisão de um número diferente de zero por zero não é

possível (Maurice, 2005). Do mesmo modo, a forma 0

0 é considerada indeterminada pelos alunos

porque não existe ou é impossível.

No seguimento, Maurice (2005) refere que expressões como “não existe, “impossível”,

”indeterminado” e “não definido” fazem parte do que a autora chama underground terms porque

“não sugerem nada de concreto na mente dos alunos” (p. 15). De facto, o senso comum não

permite distinguir esses termos, confundindo os alunos (Maurice, 2005).

Os estudantes consideram que o significado do termo “indeterminação” é semelhante ao

significado da palavra “aproximação”, pois consideram que o limite não é alcançável, como uma

23

aproximação, ainda que exista limite. Deste modo, pelo facto de a aproximação ser “uma ação

matemática que indica um resultado impreciso e indeterminado” (Maurice, 2005, p. 15), os

alunos associam a palavra “aproximação” ao termo “indeterminado” com base nos seus

conhecimentos prévios. Por outro lado, quando os conceitos de "infinito" e de "indeterminação"

estão presentes, os alunos tentam compensar as suas definições e, nesse caso, desenvolvem

conceções compensatórias. Estas conceções compensatórias provêm de contextos matemáticos

(conhecimento próximo) ou não matemáticos (senso comum) e compensam a falta das definições.

As ideias erróneas de que “0

∞ é uma indeterminação porque zero não é nada”, “

0

0 é uma

indeterminação porque zero não é nada” e “∞ − ∞ e ∞

∞ são determinadas porque o resultado é

0 ou 1” (p. 16) não só advém das conceções de divisão por zero e de infinito mas também advêm

da conceção de zero e da interpretação do operador envolvido nas indeterminações (Maurice,

2005). A investigadora explica a conceção “zero-nada” como “um retorno às conceções

matemáticas transmitidas na escola primária” (p. 17) ou como “uma interferência da linguagem

comum, onde o significado de nada domina o significado de zero” (p. 17).

Do mesmo modo, Maurice (2005) refere que quando 0 e ∞ estão presentes ao mesmo

tempo, alguns alunos não conseguem prestar atenção simultaneamente ao significado dos

símbolos e ao papel do operador. Maurice refere que os alunos hesitam entre escolher “o

significado do símbolo 0 e do símbolo ∞, o qual estabelecerá a forma como determinada ou

indeterminada” (p. 17).

Outros autores, como Jaffar e Dindyal (2011), referem que alguns alunos, quando

confrontados com as expressões do tipo 𝑎

0= indefinido e

𝑎

0= ∞, consideram que o infinito e o

indefinido significam o mesmo, o que se deve ao facto de os alunos importarem conhecimentos

dos números reais para o estudo do limite.

Em conclusão, Maurice (2005) refere que o professor deve conhecer estas conceções e

ideias erróneas para que reconheça o seu uso e destaca a importância da criação de situações

que despoletem essas tais ideias erróneas, de modo a criar situações de conflito na mente do

aluno.

2.2.4. Dificuldades referentes à representação verbal, simbólica e gráfica

Para além das dificuldades referidas na secção anterior, existem também dificuldades

associadas a cada tipo de representação.

24

Relativamente à representação verbal, como consequência de os alunos usarem termos

pouco rigorosos e informais, surgem dificuldades relacionadas com a linguagem que o professor

usa nas aulas (Cornu, 1991). Na mesma linha de pensamento, Moru (2009) considera linguagem

informal como um obstáculo epistemológico do conceito de limite. De facto, como já foi referido,

as palavras “tende para” ou “aproxima-se de” têm significados no quotidiano muito diferentes do

significado matemático. E, ainda que seja dito aos alunos a definição formal do conceito de limite,

estes mantêm a confiança nos significados que usam no quotidiano (Cornu, 1991).

Relativamente à representação simbólica, sabe-se que alguns alunos utilizam processos

repetitivos no seu estudo, o que os leva a dar prioridade às técnicas utilizadas nos cálculos em

detrimento da teoria abordada nas aulas ou do estabelecimento de relações através da mesma

(Fallas, 2016). Como consequência desta escolha, surgem dificuldades relacionadas com a

compreensão dos conceitos, uma vez que os alunos em vez de os perceberem, decoram-nos. No

entanto, Gray e Tall (2007) referem que

A repetição pode fortalecer as conexões no cérebro a tal ponto que ações repetidas se tornam rotineiras e executáveis sem necessidade de um pensamento consciente. Usado corretamente, como parte de um esquema de conhecimento avançado, essa compactação é uma ferramenta valiosa e essencial. Usado sozinho, para aprender "regras sem razões", sem as subtilezas de conceitos ricos e pensáveis, é provável que leve a um conhecimento frágil que pode falhar em situações que se tornam mais complicadas. (p. 4)

Neste sentido, Gray e Tall consideram que a repetição isolada e inadequada não deve ser

usada, aconselhando que a repetição deve ser usada em conjunto com outras técnicas de

aprendizagem.

Ainda na representação simbólica, Moru (2009) refere que alguns alunos consideram que

só se pode determinar o valor do limite de uma função quando a função está definida

analiticamente.

Uma outra dificuldade relativa ao conceito de limite é o facto de que este conceito requere

uma transferência das figuras geométricas para a interpretação numérica (Cornu, 1991). Ou seja,

para que os alunos compreendam o conceito de limite, eles têm de interpretar numericamente

uma representação geométrica, sem que seja necessário escrever a expressão algébrica da função

em questão. E, de facto, segundo Moru (2009), alguns alunos não conseguem calcular o valor do

limite de uma função sem ter acesso à expressão algébrica da função.

Relativamente à interpretação dos gráficos das funções, há alunos que consideram que não

existe limite nos pontos onde a função não está definida (Moru, 2009) e há ainda alunos que

25

consideram o limite de uma função num ponto como o valor da imagem nesse ponto, confundido

assim o valor do limite de uma função num ponto com o valor da imagem da função nesse ponto.

27

CAPÍTULO III

ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL

Neste capítulo será apresentada a caracterização da escola onde se realizou o estágio e da

turma onde se implementou a intervenção de ensino. Haverá lugar ainda para apresentar as

estratégias de intervenção utilizadas e os vários instrumentos de recolha de dados.

3.1. Caracterização da escola

A intervenção pedagógica foi realizada numa turma de 11.º ano de escolaridade do

Agrupamento de Escolas de Barcelos (AEB), na escola da Escola Secundária de Barcelos (ESB),

que é a escola sede do agrupamento. Esta escola, como o próprio nome indica, está situada na

cidade de Barcelos.

O concelho de Barcelos é habitado por 120391 pessoas (dados de 2011) e está subdividido

em 61 freguesias. A industrial têxtil, o comércio e o artesanato são as principais atividades

económicas e fontes de rendimento nesta cidade.

O AEB teve a sua génese no dia 4 de julho de 2012 e foi o resultado da agregação do

Agrupamento de Escolas Abel Varzim e da Escola Secundária de Barcelos. Este agrupamento

sofreu algumas alterações desde a sua criação, de modo que atualmente é constituído por nove

escolas, sendo que cinco são de ensino pré-escolar, uma de 1.º ciclo, uma de 2.º e 3.º ciclo e

uma de 3.º ciclo e ensino secundário.

Relativamente à caracterização física da ESB, é um edifício de arquitetura relativamente

moderna e de boa aparência, devido às recentes alterações na sua estrutura. Esta escola é

constituída por muitos espaços verdes, sendo que estes estão organizados e divididos em cinco

polos distintos: Atlântico, Termo-Atlântico, Oro-Atlântico, Mediterrâneo e Ibérico. Esta organização

deve-se ao trabalho que a equipa “Projeto Arboreto de Barcelos” tem desenvolvido.

Na escola sede do agrupamento, a oferta educativa é muito diversificada, variando desde o

3º ciclo do ensino básico até ao ensino secundário, sendo que neste último nível de ensino os

alunos têm a oportunidade de escolher os 4 cursos gerais (Ciências e Tecnologias, Ciências

Socioeconómicas, Línguas e Humanidades e Artes Visuais) e 5 cursos profissionais (animador-

sociocultural, técnico de auxiliar de saúde, técnico de desporto, técnico de gestão de equipamentos

informáticos e técnico de eletrónica, automação e computadores).

28

O projeto educativo do AEB, aprovado em 14 de março de 2014, tem como missão “exercer

a sua função educativa e formativa, procurando, permanentemente, a qualidade do trabalho

realizado, para promover e incentivar o desenvolvimento intelectual, físico, social e moral de todos

os alunos, de forma a torná-los cidadãos responsáveis e ativos” (Projeto Educativo, 2014, p. 4).

Relativamente às metas do agrupamento, no projeto educativo é referido que o trabalho a

desenvolver deve ser orientado de modo a promover os níveis de sucesso de cada ciclo e dos

resultados dos exames nacionais e a “minimizar o número de ocorrências de natureza disciplinar”

(Projeto Educativo, 2014, p. 5). No projeto educativo é referido que o AEB pretende aumentar o

número de “utilizadores das bibliotecas escolares” (Projeto Educativo, 2014, p. 4), “atividades

com participação dos Pais e Encarregados de Educação” (Projeto Educativo, 2014, p. 4) e “de

alunos e turmas envolvidas em projetos” (Projeto Educativo, 2014, p. 4), diminuir os valores de

abandono escolar e integrar os alunos “com necessidades educativas especiais ou sobredotados,

de populações imigradas ou nómadas, de minorias linguísticas, étnicas ou culturais” (Projeto

Educativo, 2014, p. 4). Por fim, o AEB pretende concretizar, pelo menos uma ação de formação

no âmbito científico-didático, dirigida a professores, outra no âmbito das TIC, esta última dirigida

a docentes e a não docentes, e uma terceira no âmbito de relações interpessoais, dirigida a pessoal

não docente.

De modo a combater as dificuldades dos alunos nas disciplinas de Matemática, Português

e Inglês foram desenvolvidos os projetos MatXYZ, PortABC e SpeakU, respetivamente. A revista

amanhecer, a Rede dos Pequenos Cientistas, o Museu de Ciências Naturais, o Projeto Arboreto

de Barcelos, O Espaço+, a Academia do Rio, o Desporto Escolar, o Clube Europeu das Escolas de

Barcelos e o Gabinete para a Saúde (GPS) são outros projetos desenvolvidos pelo AEB.

A escola sede do agrupamento foi submetida a uma avaliação externa, no ano letivo

2014/2015, tendo obtido a classificação de Muito Bom a nível de Resultados, de Prestação do

Serviço Educativo e de Liderança e Gestão.

Por fim, salienta-se a boa relação entre todos os membros da comunidade escolar, que tem

como base o respeito entre todos os intervenientes da comunidade.

3.2. Caracterização da turma

Para que este estudo fosse desenvolvido era fundamental conhecer o contexto da turma

onde iria ser aplicado. A turma em questão era uma turma de 11.º ano de escolaridade, que

frequentava o curso de Ciências Socioeconómicas da Escola Secundária de Barcelos.

29

A turma era constituída por 26 alunos, dos quais 14 eram raparigas e 12 eram rapazes.

Destes 26 alunos, apenas 1 era repetente. As idades dos alunos eram compreendidas entre os

15 e os 19 anos, sendo que 1 aluno tinha 19 anos, 3 alunos tinham 17 anos, 2 alunos tinham 15

anos e os restantes alunos tinham 16 anos. No início do ano a turma era constituída por 24 alunos,

dois dos quais vieram de outras escolas, mas a meio do 1.º período chegaram mais dois alunos

à turma.

Tendo em vista conhecer melhor os alunos, foi aplicado um inquérito a que todos

responderam. Deste inquérito concluiu-se que 13 alunos tinham apoio a Matemática fora da

escola, 11 alunos indicaram a disciplina de Matemática como sendo aquela a que têm mais

dificuldades, sendo a disciplina mais referida, e 6 alunos indicaram a disciplina de Matemática

como sendo a sua disciplina preferida, sendo esta disciplina a segunda mais referida. Deste

inquérito constatou-se ainda que todos os alunos pretendem ingressar no ensino superior.

No ano letivo anterior, as notas a Matemática A, de final do ano, estavam compreendidas

entre 8 e 16 valores, sendo que, dos 26 alunos, 7 tiveram 8 valores, 6 tiveram 10 valores, 3

tiveram 11 valores, 3 tiveram 12 valores, 2 tiveram 13 valores, 2 tiveram 14 valores e houve um

aluno com classificação de 15 valores e outro com 16 valores, sendo esta última a melhor nota.

Finalmente, não se conhecia a nota do aluno repetente. Como se pode ver pelas classificações

dos alunos, esta turma tem muitas dificuldades em Matemática, com a maioria dos alunos tendo

classificação menor ou igual a 10 valores. Note-se, ainda, que dos 7 alunos que obtiveram a

classificação final de 8 valores, apenas 2 é que mereciam essa nota, uma vez que só 2 é que

tinham o valor da média final a dar aproximadamente 8 valores.

Desde o início do ano letivo que se tem observado aulas e, portanto, já são conhecidos os

costumes dos alunos, bem como as suas atitudes perante os colegas e o professor. Esta turma é

muito comunicativa e participativa. Das observações realizadas retira-se também que os alunos se

relacionam todos muito bem em sala de aula, onde muitas vezes se ajudam uns aos outros na

resolução das tarefas.

Um dos aspetos negativos dessa turma é que os alunos não estão habituados a estudar

fora da sala de aula e, portanto, todo o conhecimento é adquirido, principalmente, através do

trabalho na sala de aula. Um outro aspeto é o facto de ter muitos alunos com classificação

negativa, o que cria um ambiente de maior desinteresse, fazendo com que haja mais distração e

ruído.

30

Relativamente às classificações finais deste ano letivo, 2017/2018, estão apresentados na

Tabela 2 as classificações na disciplina de Matemática A no final de cada período.

Tabela 2 – Classificações obtidas na disciplina de Matemática A

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1.º Período 0 0 0 3 2 6 3 1 3 0 4 1 1

2.º Período 0 1 1 5 5 0 3 3 2 0 2 1 1

3.º Período 2 1 5 4 0 5 2 1 2 1 1 2 0

Relativamente aos resultados do primeiro período, só constam as classificações de 24

alunos, uma vez que os dois alunos que chegaram a meio do primeiro período, não foram

avaliados. Em geral, as classificações dos alunos da turma decresceram desde o primeiro período,

sendo que houve apenas 2 alunos que subiram as suas classificações durante os 3 períodos e só

1 aluno é que manteve constante as suas classificações. Estes resultados vêm a comprovar as

dificuldades dos alunos sentidas ao longo dos três períodos.

3.3. Estratégias de intervenção

Em qualquer contexto de ensino e aprendizagem a escolha de uma estratégia de ensino

deve ser considerada de máxima importância. O ensino da Matemática com foco na exposição de

conteúdos e na memorização tem sido dominante por todo o lado (Franke, Kamezi & Battey,

2007), mas, segundo Ponte (2005), esta prática já não está a cumprir com todas as exigências

curriculares atuais.

Nos tempos de hoje, os professores precisam de encontrar formas de motivar os alunos

pois é muito difícil um aluno aprender sem motivação, e isto exige muito de um professor. Os

alunos necessitam de realizar tarefas que possibilitem o raciocínio matemático acerca de ideias

importantes e que no final da discussão coletiva, envolvendo o aluno e o professor, conduzam à

aquisição do conhecimento matemático (Ponte, 2005). Para que tal aconteça, o professor deve

centrar-se na abordagem exploratória do ensino da matemática, dando importância à exploração

de tarefas ricas e valiosas dentro da sala de aula (Ponte, 2005; Stein, Engle, Smith & Hughes,

2008).

A prática de ensino exploratório da matemática não se restringe apenas à identificação e à

seleção de tarefas para a sala de aula. Cada tarefa que o professor selecione tem implícita uma

oportunidade de aprendizagem, e é importante, depois de o professor selecionar a tarefa, que

31

pondere como a vai explorar junto dos seus alunos (Stein et al., 2008) e que esteja preparado

para lidar com o conjunto de fatores que possam interferir na exploração da mesma.

É importante perceber também que o ensino exploratório não significa deixar os alunos

sozinhos para aprenderam os conhecimentos matemáticos ou para inventarem conceitos

enquanto que o professor “espera tranquilamente sentado pelos rasgos iluminados e criativos dos

seus alunos” (Canavarro, p. 1, 2011). E, de facto, também não quer dizer que os alunos não

tenham esses tais rasgos iluminados e criativos, mas para que se manifestem é necessário que o

professor lhes dê a oportunidade (Canavarro, 2011). Deste modo, o ensino exploratório centra-se

na aprendizagem dos alunos através da realização de tarefas escolhidas cuidadosamente, “que

fazem emergir a necessidade ou vantagem das ideias matemáticas” (Canavarro, p. 1, 2011). Estas

tarefas possibilitam aos alunos o desenvolvimento de capacidades matemáticas, tais como “a

resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática” (Canavarro, p. 1,

2011) e permitem que os alunos adquiram e usem conhecimentos e procedimentos matemáticos

com significado.

Para que tal ocorra, o professor deve ter um papel ativo e atento na escolha da tarefa e no

planeamento de exploração da tarefa na sala de aula. Mas, o papel do professor não se limita a

esses dois aspetos, é também necessário que o professor interprete, compreenda e preveja como

os alunos irão resolver a tarefa para que possa “aproximar e articular as suas ideias com aquilo

que é esperado que aprendam” (Canavarro, p. 1, 2011). Assim, o ensino exploratório exige muito

do professor, por ser uma atividade complexa e, por essa razão, constitui uma atividade que os

professores consideram muito difícil (Stein et al., 2008).

As aulas de ensino exploratório são estruturadas sequencialmente por três fases, que são:

a fase da apresentação da tarefa à turma; a fase da exploração da tarefa pelos alunos e a fase de

discussão e síntese (Stein et al., 2008).

Na primeira fase o professor deve assegurar que todos os alunos compreenderam o que se

espera que façam e que se sintam motivados para realizar a tarefa. Na fase da exploração da

tarefa, o professor deve procurar garantir que todos os elementos do grupo participam

produtivamente e assegurar que os seus comentários e respostas às dúvidas dos alunos não

diminuam o nível de exigência cognitiva da tarefa (Stein & Smith, 1998). Ainda na segunda fase,

é importante que o professor selecione quais as produções dos alunos que devem ser

apresentadas à turma de modo a que estas contribuam positivamente para a discussão coletiva e

que garantam que os alunos se preparem para apresentar o seu trabalho à turma. Na última fase,

32

o docente tem que orquestrar a discussão, gerindo as intervenções e garantindo a qualidade

matemática das suas explicações e argumentações (Ruthven, Hofmann & Mercer, 2011).

Pelos motivos referidos acima e também pelo facto de os alunos da turma envolvida no

projeto estarem habituados a trabalhar em grupo, a estratégia de ensino incidiu no ensino

exploratório em grupos, de 3 ou 4 elementos, focando-se na realização de tarefas de caráter

exploratório envolvendo limites de funções segundo Heine. Para tal, em termos organizacionais,

algumas das aulas lecionadas estruturaram-se sequencialmente segundo as três fases referidas

acima.

Tendo em conta as questões desta investigação, um outro aspeto que foi considerado nas

aulas que foram lecionadas foi o uso das diferentes representações dos conceitos abordados e

nos exercícios resolvidos.

São várias as investigações que defendem a importância das representações tanto no

desenvolvimento das capacidades de resolução de problemas, como na facilitação da aquisição

dos conceitos matemáticos (Biza et al., 2007; Henriques & Ponte, 2014; Karatas et al., 2011).

Segundo o NCTM (2008), os alunos devem usar representações para “organizar, registar e

comunicar ideias matemáticas” (p. 160), e recomenda que os alunos “selecionem, apliquem e

traduzam representações matemáticas para resolver problemas; usem as representações para

modelar e interpretar fenómenos físicos, sociais e matemáticos” (p. 160). Stylianou (2011) defende

que os alunos devem usar várias representações de modo a conseguir relacionar informações em

diferentes representações, a selecionar qual a representação mais adequada num determinado

contexto e a facilitar a sua compreensão.

Do ponto de vista de Duval (2006), para que ocorra uma aprendizagem significativa por

parte do aluno, é essencial que o aluno consiga trabalhar com as diversas representações de um

objeto matemático e que relacione os diversos registos de representação semiótica. Segundo Duval

(2006), o ensino da matemática não leva em conta a diversidade de registos, o que provoca

dificuldades de articulação e mobilização entre as diferentes representações. Neste sentido, o

professor não se deve restringir ao uso do registo simbólico, devendo utilizar outros tipos de

representações de modo a maximizar a aprendizagem dos alunos e permitindo assim que os

alunos compreendam os conceitos em vez de os memorizar.

Assim, as aulas foram planeadas tendo em conta o que foi referido, de modo a usar os

diferentes registos de representação semiótica, nas conversões entre registos e nos tratamentos

dentro de um mesmo registo, para que os alunos realizem uma aprendizagem significativa.

33

Para que fosse possível abordar os vários registos de representação semiótica foi

necessário, algumas vezes, recorrer às novas tecnologias, tais como o software GeoGebra, a

calculadora gráfica e o YouTube. De facto, atualmente, o professor não pode ignorar a importância

das novas tecnologias na vida dos seus alunos, devendo aproveitar as suas vantagens para auxiliar

os alunos na sua aprendizagem. Contudo, ainda há muitos professores que não são da mesma

opinião, considerando que as tecnologias são distrações para as mentes dos alunos. Segundo

Dullius e Haetinger (2005),

A Matemática, como ciência, sempre teve uma relação muito especial com as tecnologias, desde as calculadoras e os computadores, aos sistemas multimédia e à internet. No entanto, os professores (como, de resto, os próprios matemáticos) têm demorado a perceber como tirar partido destas tecnologias como ferramenta de trabalho. (p. 3)

Durante a intervenção de ensino as tecnologias GeoGebra e calculadora gráfica estiveram

sempre presentes e tiveram duas funções principais. A primeira função era auxiliar e permitir que

os alunos pudessem visualizar os gráficos das funções de modo a desenvolver as suas

capacidades visuais. A outra função era permitir que os alunos pudessem conferir e confrontar os

resultados analíticos com o registo gráfico. Note-se que, algumas vezes, a visualização do gráfico

poderia iludir o aluno acerca do resultado do limite, sendo que esta ilusão foi tida em atenção

durante as aulas.

Para além dessas tecnologias, foram também construídos vídeos sobre o levantamento

algébrico de indeterminações de modo a sintetizar as etapas que deveriam seguir em cada tipo

de indeterminação e a auxiliar os alunos aquando do estudo individual. Estes vídeos eram

disponibilizados no canal de YouTube “Ana Sofia Fernandes Lomar”, e foram colocados numa

ficha de trabalho em QR Code para que os alunos, através do seu dispositivo móvel, pudessem

ter acesso à medida que resolviam a ficha. Estes vídeos podem ser acedidos através do seguinte

link https://www.youtube.com/channel/UCsgFzXsuyyGCcCvzmPm9HEQ?view_as=subscriber.

Numa primeira fase, pretendeu-se identificar quais os tipos de registos que são usados pelos

alunos na exploração de conceito de limite. Para isso, aplicou-se uma ficha de avaliação

diagnóstica centrada no conceito de limite de sucessão, conceito que tinha sido introduzido

imediatamente antes. Esta ficha incluiu tarefas cuja resolução requer o uso dos diferentes registos

de representação semiótica.

Ao longo das aulas que iam sendo lecionadas, foram várias as tarefas propostas aos alunos

para que eles explorassem todos os registos de representação e, a partir destas tarefas, pretendia-

https://www.youtube.com/channel/UCsgFzXsuyyGCcCvzmPm9HEQ?view_as=subscriber

34

se identificar os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciavam na aprendizagem do

conceito de limite segundo Heine e o tipo de registo de representação semiótica que facilitava a

aquisição desse conceito.

Por fim, para avaliar a evolução dos alunos aplicou-se uma ficha por partes aos alunos. Esta

ficha contemplou tarefas pensadas e escolhidas especificamente para perceber se o conceito de

limite nas suas diversas representações foi bem aprendido.

3.4. Métodos de recolha de dados

Ao longo da intervenção pedagógica foram utilizados vários métodos de recolha de dados,

que se descrevem a seguir.

Na impossibilidade de conseguir anotar tudo o que os alunos falavam, foi pedido ao diretor

da escola e, posteriormente, aos encarregados de educação autorização para se gravar, em vídeo

e em áudio, as aulas da intervenção pedagógica (Anexos 1 e 2), tendo todos eles autorizado a

gravação. Deste modo, foram gravados todos os momentos mais importantes das aulas, sendo

que uns são relativos à turma, quando se explorava e discutia as tarefas em grupo turma, e outros

são referentes a um ou dois alunos, os quais ocorriam quando ia esclarecer uma dúvida aos

lugares dos alunos.

Uma outra fonte de recolha de dados foi o teste diagnóstico (Anexo 3), sendo este

importante para perceber que tipo de registos de representação semióticas os alunos usam e

quais os erros e dificuldades associadas ao conceito de limite, uma vez que eles já tinham

abordado o conceito de limite de uma sucessão.

No decorrer das aulas foram fornecidas aos alunos duas fichas de exploração (Anexos 4 e

5) e quatro fichas de trabalho (Anexos 6, 7, 8 e 9), que eles deveriam resolver a caneta, evitando

riscar o que escreveram, para que se pudesse verificar que dificuldades os alunos evidenciavam

na aprendizagem do conceito de limite e que tipos de registos de representação semiótica eram

usados pelos mesmos. Durante o período de lecionação e sempre que havia tempo, ia apontando

no meu caderno algumas dúvidas e questões pertinentes que os alunos colocavam enquanto

abordava os conteúdos programáticos.

No final da intervenção de ensino, para avaliar as aprendizagens dos alunos, foi aplicada

uma ficha por partes (Anexo 10) em que se incluíam conteúdos relativos ao limite segundo Heine

de funções reais de variável real. Através desta ficha pretendia-se perceber que dificuldades e erros

os alunos revelavam no conceito de limite, os tipos de registos de representação por eles usados

e os tipos de transformações efetuadas. Esta ficha por partes era constituída por 5 questões, sendo

35

que em duas era pedido para se calcular os limites através de um gráfico, noutra era pedido para

se esboçar o gráfico de uma função e nas duas restantes era pedido para se determinar limites

analiticamente.

Na Tabela 3 pode-se observar os vários instrumentos de recolha de dados e quais as suas

funções neste estudo.

Tabela 3 – Métodos de recolha de dados segundo as questões de investigação

Métodos de recolha de dados

Questões de investigação

Gravação Teste diagnóstico

Produções dos alunos

Notas da professora

Avaliação de aprendizagens

Quais os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciam na aprendizagem do conceito de limite segundo Heine?

✓ ✓ ✓ ✓

Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) são usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que transformações de registos são efetuadas?

✓ ✓ ✓ ✓

Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?

✓ ✓ ✓

37

CAPÍTULO IV

INTERVENÇÃO DE ENSINO

Ao longo deste capítulo são apresentados os resultados deste estudo. Este capítulo está

dividido em 3 subcapítulos, sendo que no primeiro se analisa o teste de avaliação diagnóstico, no

segundo são apresentadas algumas aulas relativas à intervenção pedagógica e, finalmente, no

último subcapítulo é feita uma análise às respostas dos alunos relativamente à ficha de avaliação

por partes.

4.1. Avaliação diagnóstica

Neste subcapítulo apresentam-se os resultados da análise das respostas dos alunos à ficha

de avaliação diagnóstica. Esperava-se com esses resultados poder contribuir para decidir o formato

das aulas em que se explorará o conceito de limite de uma função e procurar identificar possíveis

ideias e conceções erróneas dos alunos neste conceito.

Todas as questões da ficha de avaliação diagnóstica foram construídas de raiz, de modo a

conseguir identificar que tipo de registos de representação semiótica é que os alunos usavam

inicialmente.

Em todas as questões do teste diagnóstico, as respostas dos alunos foram classificadas em

corretas, parcialmente corretas e incorretas, tendo-se também referido as não respostas. Note-se

que houve 1 aluno que faltou ao teste diagnóstico, tendo só as respostas de 25 alunos.

4.1.1. Questão 1

Sabe-se que o limite da sucessão (𝑢𝑛) é 10, isto é, que lim

𝑢𝑛 = 10.

a) Explica por palavras o que significa o limite da sucessão (𝑢𝑛) ser 10.

b) Desenha um possível esboço gráfico para a sucessão (𝑢𝑛).

Na tabela seguinte estão representadas as frequências dos tipos de resposta relativas à

questão 1.

Tabela 4 — Frequências dos tipos de resposta dos alunos à questão 1

Alíneas

Tipos de resposta

Não responde Correta

Parcialmente correta

Incorreta

a) 1 19 3 2

b) 8 0 15 2

38

Na alínea a) pretende-se que os alunos passem do registo simbólico para o registo em língua

natural, explicando que significado atribuem a “lim

𝑢𝑛 = 10”. Pelo número de respostas corretas

percebe-se que a maioria dos alunos não atribuiu o significado correto a “lim

𝑢𝑛 = 10”. Das

respostas parcialmente corretas consegue-se perceber algumas ideias que os alunos têm acerca

do conceito de limite, como por exemplo, considerar que “lim

𝑢𝑛 = 10” é o valor máximo (6

alunos, Figura 14) ou o valor mínimo (3 alunos) que a função pode tomar, que o limite nunca é

atingível (3 alunos, Figura15), que o limite é atingível (6 alunos) e que a função se mantém

constante, sem oscilações (3 alunos, Figura 16). Note-se que alguns destes alunos têm mais de

que uma das ideias, mencionadas a cima, nas suas respostas.

Figura 14. Resposta do aluno A3 à questão 1a).

Através da resposta do aluno A3 dá para perceber que ele já tem alguma noção de limite

mas ainda não compreende totalmente o significado de “lim

𝑢𝑛 = 10”.


Neste caso, o aluno A10 refere que a sucessão nunca toma o valor 10, considerando,

portanto, que o limite nunca se atinge.


O aluno A2, através da sua resposta, dá a entender que, a partir de uma certa ordem, a

sucessão permanece constante, sem que haja qualquer variação. Mais uma vez, percebe-se que

o aluno já tem uma certa ideia de limite, mas ainda não está completamente correta.

39

Na alínea b) era pedido para desenhar um possível esboço de uma sucessão (𝑢𝑛) de modo

que lim

𝑢𝑛 = 10. Nesta alínea houve mais respostas corretas do que na alínea anterior mas,

ainda assim, o número de respostas incorretas foi muito elevado. Deste modo, pode-se concluir

que muitos alunos não conseguiram converter o registo simbólico em registo gráfico.

Notou-se, nas respostas de alunos, algumas semelhanças com as respostas da alínea a),

sendo que houve alunos que desenharam uma sucessão onde o 10 era o minorante (5 alunos,

Figura 17) ou uma sucessão constante e igual a 10 (1 aluno, Figura 18).

Figura 17. Resposta do aluno A19 à questão 1b).


Muitas das respostas incorretas incluíam gráficos que não representavam gráficos de

sucessões, mas que davam a entender que o aluno conseguia converter o registo simbólico em

registo gráfico. Dos 15 alunos que responderam incorretamente a esta questão, houve 5 que

desenharam uma função com as condições requeridas para sucessão (𝑢𝑛) (Figura 19).


40

Ainda analisando as respostas incorretas, houve 6 alunos que colocaram o número 10 no

eixo do 𝑥 (Figura 20) e 5 alunos que colocaram as imagens a tender para outro número diferente

de 10 (Figura 21).



Através destas duas resoluções, relativas aos alunos A24 e A5, pode-se constatar que os

alunos não atribuem qualquer significado a “lim

𝑢𝑛”.

Por último, houve um aluno que desenhou uma função com o valor máximo 10, sendo que

a sucessão não parece ser convergente para 10 (Figura 22).


41

4.1.2. Questão 2

Observa com atenção a seguinte figura.

a) Observando o gráfico acima, explica por palavras o que acontece à sucessão quando a ordem dos seus termos, 𝑛, aumenta indefinidamente.

b) Exprime a conclusão que obtiveste na alínea anterior em linguagem matemática.

A questão 2 tem como objetivo perceber se os alunos conseguem realizar a conversão do

registo gráfico no registo em língua natural e no registo simbólico. Na tabela abaixo estão

registadas as frequências dos tipos de resposta dos alunos nesta questão.


Alíneas

Tipos de resposta



Incorreta

a) 14 8 3 0

b) 10 3 6 6

Como se pode ver pelos dados da tabela, cerca de metade dos alunos da turma respondeu

corretamente à alínea a), ou seja, conseguiu converter o registo gráfico em registo de língua

natural.

Das 14 respostas corretas, houve 3 alunos que referiram que a sucessão tendia para 1 mas

que nunca tomava o valor de 1 (Figura 23).


Através da resposta do aluno A6 pode-se ver que ele considerou que a sucessão tendia para

1 sem nunca tomar o valor de 1, apesar de não se poder concluir que a sucessão nunca toma

42

valor 1. Esta resposta pode indiciar que o aluno pensa que o limite de uma sucessão nunca é

atingido.

Continuando a análise das respostas à questão 2a), houve 2 alunos que escreveram que a

sucessão tendia para zero (Figura 24) e 2 alunos que referiram que as imagens da sucessão

aumentavam indefinidamente (Figura 25).


Nesta resposta o aluno A9 escreveu que as imagens da sucessão iriam tender para zero

quando 𝑛 aumentasse indefinidamente, apesar das imagens estarem muito longe de zero.


Pela resposta dada pelo aluno A23 parece que este está a analisar para que valor o 𝑛 está

a tender, uma vez que as imagens da sucessão estão a diminuir. Deste modo, os dois alunos, que

responderam desta forma, estão muito confusos em relação ao conceito de limite de uma

sucessão.

Das 8 respostas classificadas como parcialmente corretas, 7 referiam que a sucessão era

decrescente, sem referir que as imagens da sucessão tendiam para 1 (Figura 26).


Desta resposta percebe-se que o aluno A17 entende que a sucessão está a decrescer, mas

não entende que a sucessão está a tender para um valor. Deste modo, constata-se que o aluno

consegue tirar alguma informação do registo gráfico e convertê-la em linguagem natural.

Na alínea b) da questão 2 era pedido para escrever em linguagem matemática o que estava

a acontecer com as imagens da sucessão. Nesta questão, cerca de metade dos alunos respondeu

43

correto ou parcialmente correto e, portanto, metade dos alunos da turma conseguiu converter a

informação dada em registo gráfico para registo simbólico.

As 3 respostas que foram classificadas como parcialmente corretas referiam que a sucessão

estava a decrecer,usaram os símbolos matemáticos adequados, mas não referiam que a sucessão

tendia para um valor (Figura 27).


Da resposta do aluno A12, pode-se concluir que este conseguiu tirar alguma informação do

gráfico da sucessão e escrevê-la em linguagem matemática.

Das 6 respostas incorretas, houve 2 em que se entende que o aluno queria escrever

“lim

𝑢𝑛” mas que não conseguiu fazê-lo corretamente, como podemos ver na Figura 28, e 1 que

referia em linguagem natural que a sucessão era decrescente.


Conclui-se, assim, que estes 6 alunos não conseguiram converter o registo gráfico em

registo simbólico.

4.1.3. Questão 3

Considera a sucessão (𝑎𝑛) definida por 𝑎𝑛 =1

𝑛 e a função 𝑓, real de variável real, definida por

𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2.

Partindo dos valores de 𝑛 indicados na tabela abaixo, completa-a determinando os correspondentes valores de 𝑎𝑛 e 𝑓(𝑎𝑛).

44

a) O que acontece aos termos da sucessão (𝑎𝑛) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

b) O que acontece aos termos da sucessão (𝑓(𝑎𝑛)) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

A questão 3 tem como objetivo perceber se os alunos conseguem explicar o que está a

acontecer aos termos de cada uma das sucessões, quando 𝑛 aumenta indefinidamente, isto é, se

são capazes de perceber se as sucessões estão a convergir para algum valor. Nesta questão não

se requer que os alunos respondam num tipo de registo específico.

As frequências dos tipos de resposta dos alunos, obtidos da análise das respostas a esta

questão, são apresentados na Tabela 6.


Alíneas

Tipos de resposta



Incorreta

a) 20 4 1 0

b) 10 0 13 2

Na alínea a) quase todos os alunos responderam corretamente, o que quer dizer que quase

todos conseguiram perceber que os termos da sucessão tendiam para 0 quando o 𝑛 aumentava

indefinidamente. Pelo número de respostas corretas e parcialmente corretas podemos constatar

que o desempenho geral da turma foi bom.

Dos 20 alunos que responderam corretamente, apenas 3 referiram especificamente que o

limite da sucessão era 0. Na figura 29 podemos ver uma dessas respostas.

45


Ainda analisando as respostas corretas, verificou-se que 5 alunos referiram que a sucessão

tende para 0 mas que nunca toma esse valor (Figura 30).


As 4 respostas classificadas como parcialmente corretas só referem que a sucessão, à

medida que o 𝑛 aumenta, decresce, não fazendo qualquer referência à convergência da sucessão

(Figura 31).


Nesta alínea só houve uma resposta considerada incorreta, onde o aluno refere que a

sucessão se torna numa sucessão não definida. Não se percebe o porquê de o aluno ter escrito e

pensado isso, mas talvez possa ter a ver com o facto de o denominador tender para mais infinito.

Na alínea b) o desempenho da turma já não foi tão bom como na alínea a) pois houve 10

respostas corretas, 13 respostas incorretas e 2 em que o aluno não respondeu.

Das 10 respostas corretas, só 4 é que referem que as imagens da sucessão tendem para

2, mas sem nunca tomar esse valor (Figura 32), enquanto 2 referiam explicitamente que o limite

da sucessão era 2 (Figura 33).



46

O elevado número de respostas erradas deveu-se aos cálculos numéricos. De facto, das 13

respostas incorretas, 6 devem-se a erros nos cálculos (Figura 34).


Todos os 6 alunos que calcularam incorretamente as imagens das sucessões concluíram

que a sucessão (𝑓(𝑎𝑛)) tende para menos infinito. Contudo, ainda houve alunos que fizeram os

cálculos corretamente e responderam incorretamente. Um dos motivos parece estar relacionado

com o facto de as imagens calculadas estarem na forma de fração, em que, possivelmente, os

alunos comparam os numeradores das frações e ignoram os seus denominadores (Figura 35).


Na análise das respostas são notórias algumas conceções erróneas e dificuldades por

partes dos alunos no conceito de limite. Pode-se afirmar que a maioria dos alunos não tem o

conceito de limite de uma sucessão claro e bem definido, embora a maior parte já tenha algumas

noções desse conceito. Das respostas dos alunos, percebe-se também que alguns alunos têm

dificuldade em analisar o gráfico de uma sucessão e descrever, em linguagem matemática e em

linguagem natural, o que acontece aos termos da sucessão à medida que o 𝑛 aumentava, isto é,

47

alguns alunos têm dificuldades em converter o registo gráfico em registo de língua natural ou em

registo simbólico. Já outros tiveram dificuldades em desenhar o gráfico de uma sucessão

convergente para 10, sendo que muitos desenhavam funções e outros desenhavam sucessões a

tender para outro valor, sem ser o 10. Também foi notória a dificuldade que os alunos tiveram

em escrever como pensavam pois, muitos deles, limitavam-se a escrever uma frase

incompreensível e sem grandes explicações.

Assim, é importante nas aulas desenvolver estas capacidades de conversão e de

mobilização de registos, uma vez que, segundo Duval (2006), só é possível que o aluno aprenda

um determinado conceito matemático através da utilização dos vários registos de representação

semiótica.

4.2. Implementação da intervenção pedagógica

Neste subcapítulo será feito uma análise das aulas lecionadas ao longo da intervenção

pedagógica, onde foi abordado o tema “Limites segundo Heine de funções reais de variável real”.

A maioria das aulas teve a duração de 90 minutos, sendo que só 3 tiveram a duração 45 minutos.

De modo a caracterizar as aulas da intervenção pedagógica, foi elaborada a Tabela 7, onde estão

apresentados a data, a duração, o conteúdo e atividades de cada aula.

Tabela 7 – Sequência das aulas da intervenção pedagógica

Data da aula Conteúdo Atividades 2 de março (45 minutos)

Limite de uma sucessão. Ficha diagnóstica

6 de março (90 minutos)

Definição de ponto aderente. Definição de limite num ponto segundo Heine.

Explorar no GeoGebra a definição de ponto aderente e de limite num ponto segundo Heine. Resolução de exercícios.


Definição de limites laterais. Teoremas da existência de limite num ponto.

Exploração no GeoGebra da definição de limite lateral. Exploração e discussão, em grupo, dos teoremas. Resolução de exercícios.


Operações e propriedades com limites. Tipos de indeterminação.

Resolução de exercícios sobre os conteúdos abordados.


Levantamento de indeterminações

do tipo 0

0.

Determinação de limites envolvendo

indeterminações do tipo 0

0.


Levantamento de indeterminações do tipo

∞

∞.

Determinação de limites envolvendo indeterminações do tipo

∞

∞.


Levantamento de indeterminações do tipo 0 × ∞ e ∞ − ∞.

Determinação de limites envolvendo indeterminações do tipo 0 × ∞ e ∞ − ∞.

48


Revisão dos conteúdos abordados. Resolução de exercícios sobre os conteúdos abordados.

16 de Março (45 minutos)

Revisão dos conteúdos abordados. Resolução de exercícios sobre os conteúdos abordados.


Conteúdos explorados na intervenção pedagógica.

Ficha de avaliação por partes.

Das dez aulas lecionadas, apenas 6 vão ser analisadas neste capítulo. Na intervenção

pedagógica a maioria das aulas englobou momentos teóricos, onde eram introduzidos os

conteúdos programáticos, e momentos práticos, para que os alunos consolidassem os conteúdos

abordados. Ora, foram estas as aulas que foram analisadas neste estudo, tendo em vista

responder às questões de investigação propostas.

4.2.1. Definição de ponto aderente e de limite de uma função num ponto segundo

Heine

Para a primeira aula da intervenção pedagógica estava previsto abordar a definição de ponto

aderente, pois esta é uma noção prévia à introdução do tema “Limites segundo Heine de funções

reais de variável real”.

Na tentativa de motivar os alunos, tendo em conta que a definição de ponto aderente não é

muito fácil de se perceber, foi proposta a seguinte tarefa inicial.

Considera o conjunto 𝐴 =]0,3[∪ {5}.

Existe uma infinidade de sucessões de elementos de 𝐴 cujo limite é 3. Por exemplo, 3 −1

𝑛→ 3,

3 −1

𝑛+1→ 3, …

Indica, caso seja possível, uma sucessão de elementos de 𝐴 cujo limite seja:

a) 0

b) 5

c) 4

Esta tarefa, como foi referido acima, teve como finalidade encaminhar a aula para a

definição de ponto aderente, para que esta definição fosse introduzida aos poucos, sem ser

exposta aos alunos sem justificação aparente. A tarefa foi resolvida em grupos.

Logo que começaram a ler a tarefa, os alunos revelaram algumas dúvidas em relação ao

enunciado, pois não percebiam o que queria dizer “sucessões de elementos de 𝐴”. Nesse

49

momento, foi-lhes explicado que isso queria dizer que todos os termos da sucessão escolhida

tinham de pertencer ao conjunto 𝐴.

Durante a resolução da tarefa, os alunos foram revelando erros, alguns dos quais já se

previam. Na alínea a), houve alguns alunos que aplicaram o exemplo inicial da tarefa, como se

pode ver na Figura 36.

Figura 36. Resolução da alínea a) da tarefa pelo aluno A11.

De facto, o limite da sucessão escolhida pelo aluno é 0, mas nenhum dos termos da

sucessão pertence ao conjunto 𝐴. O aluno A11 depois de confrontado com este facto, percebeu

imediatamente que a sucessão escolhida não satisfazia as condições necessárias.

Na alínea b) os alunos já estiveram mais atentos ao facto de a sucessão escolhida ter de

verificar as duas condições: ser convergente para 5 e os seus termos terem de pertencer ao

conjunto 𝐴. Mas, ainda assim, houve quem indicasse um exemplo análogo ao exemplo inicial da

tarefa sem verificar se os termos da sucessão pertenciam ao conjunto 𝐴 (Figura 37). Nenhum

aluno conseguiu chegar à sucessão constante igual a 5, de modo que teve de ser a professora a

referir essa sucessão.

Figura 37. Resolução da alínea a) da tarefa pelo aluno A15.

Na alínea c), a maioria dos alunos não conseguiu encontrar uma sucessão nas condições

pedidas, tendo chegado à conclusão que não existia uma sucessão nessas condições.

Posteriormente à realização desta tarefa, foi apresentada a definição de ponto aderente e

foi perguntado aos alunos, relativamente à tarefa inicial, quais dos números eram aderentes ao

conjunto 𝐴. Alguns alunos responderam corretamente, mas houve alunos que não tinham

percebido o porquê de os números 0 e 5 serem pontos aderentes ao conjunto. Por isso, foi

realizado outro exercício, onde era pedido para os alunos indicarem o conjunto dos pontos de

aderência do conjunto ] − 1,5[.

50

Começou-se por dizer aos alunos que os pontos do conjunto ] − 1,5[ eram todos pontos

aderentes desse conjunto, tendo o aluno A12 perguntado o porquê de serem todos pontos

aderentes. Face à questão do aluno, gerou-se o seguinte diálogo:

Professora: Tu podes sempre arranjar uma sucessão, por exemplo, a sucessão constante, estás a perceber? A1: Mas a sucessão constante aí não dá. Professora: Não dá? Não dá para o −1 e para o 5, para o resto dá. Percebes? A12: Sim, percebo.

O aluno A12 não estava a perceber por que razão era tão imediato concluir que todos os

pontos do conjunto em questão eram pontos aderentes. Assim, foi perguntado aos alunos se os

extremos também eram pontos aderentes ao conjunto, como se pode ver no seguinte diálogo:

Professora: Então, −1 é ponto aderente ou não? A1: Não… é, mas temos de arranjar uma sucessão. Professora: Então, arranjem lá uma sucessão.

A1 e A3: −1 +1

𝑛.

Professora: Se calcularmos os termos desta sucessão, vão estar todos aqui neste conjunto… E para onde tende? Para onde converge? Alunos: Sim… Não…Para −1.

A12: É −1 porque 1

𝑛 começa-se a aproximar de 0.

Professora: Então, arranjaste uma sucessão em que os termos estão no conjunto e aquele limite dá −1. Então, −1 também é ponto aderente. A12: Sim. Professora: Agora o 5… A13: É igual, só que se tem que fechar os parênteses. Professora: Mas porque 5 é um ponto aderente? A13: … A23: Porque se consegue arranjar uma sucessão… A1: É igual à outra. Professora: Qual sucessão?

A1: Não é 1

𝑛+ 4?

A13: 5

𝑛+ 1… Não, 5 −

1

𝑛.

Professora: 5 −1

𝑛.

A23: Não. Professora: Todos os termos da sucessão vão estar no conjunto, certo?

A1: E não podia ser 1

𝑛+ 4?

Professora: Mas tu queres provar que o 5 é ponto aderente… A1: Ah, não, não.

Neste diálogo, no início, percebe-se que os alunos estavam confusos com a definição de

ponto aderente, mas no final conseguiram perceber que o −1 e 5 são pontos aderentes ao

51

conjunto ] − 1,5[. É também notório uma certa mecanização do exercício, pois há uma parte do

diálogo em que o aluno A13 reconhece o conjunto dos pontos aderentes, embora não saiba

justificar o porquê de o 5 ser ponto aderente, quando lhe foi perguntado.

As dificuldades mais notórias, reveladas pelos alunos, na introdução do conceito de ponto

aderente estavam associadas ao facto de os alunos não conseguirem encontrar uma sucessão

cumprindo as duas condições exigidas. De facto, eles sabiam que precisavam de satisfazer essas

duas condições, mas quando estavam a determinar a sucessão esqueciam-se de uma condição.

Como podemos ver, no diálogo acima, o aluno A1 por duas vezes referiu a sucessão 4 +1

𝑛. Na

verdade, todos os termos desta sucessão estão no conjunto mas esta sucessão não converge para

5. No fim do diálogo constata-se que o aluno percebeu a razão de a sucessão por ele escolhida

não servir para provar que 5 é um ponto aderente.

Após se ter abordado a definição de ponto aderente e de se ter esclarecido as dúvidas

referentes a esta definição, foi pedido aos alunos para resolverem em grupo a tarefa de exploração

1. Esta tarefa de exploração é muito semelhante à questão 3 do teste diagnóstico e foi escolhida

pelo facto de nessa questão, mais propriamente na alínea b), o número de respostas incorretas

ter sido elevado. Para além disso, sendo a definição de limite segundo Heine num ponto uma

noção muito abstrata, com esta tarefa pretendia-se facilitar a compreensão dos alunos e motivá-

los para a aula. A seguir está representado a tarefa de exploração 1.

Considera a função real de variável real 𝑓 definida em ℝ por 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 e as sucessões

definidas por 𝑎𝑛 = 1 +1

𝑛, 𝑏𝑛 = 1 −

1

𝑛 e 𝑐𝑛 = 1 +

1

𝑛2.

Partindo dos valores de 𝑛 indicados, completa as tabelas abaixo.

a) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛 quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

b) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑓(𝑎𝑛), 𝑓(𝑏𝑛) e 𝑓(𝑐𝑛), imagens das sucessões de termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛, quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

52

Antes de os alunos começarem a resolver a tarefa, foi-lhes dito para não trabalharem com

números representados na forma de fração, pois assim tinham uma melhor perceção sobre o que

estava a acontecer. Os alunos não tiveram dificuldades em calcular os termos e as imagens

pedidas das sucessões.

Relativamente à alínea a), foi perguntado a cada grupo a que conclusão é que tinham

chegado, sendo que todos os grupos referiram que as três sucessões estavam a tender para 1.

Contudo, houve alguns alunos que individualmente referiam que a sucessão (𝑏𝑛) não tendia para

1 porque estava a aumentar. Deste modo, estes alunos pensavam que só sucessões decrescentes

é que convergiam, considerando que os termos da sucessão (𝑏𝑛) tendiam para +∞. Para

esclarecer a dúvida a professora fez um esquema no quadro e começou a explicar aos alunos,

como se pode ver pelo seguinte diálogo:

Professora: A sucessão (𝑎𝑛) está a tender para 1 por valores à direita de 1. A3: Mas nunca chega a ser 1. Professora: Sim, nunca chega a ser 1. E esta (apontando para a sucessão (𝑏𝑛)) está

a tender para um por valores à esquerda de 1.

Já na alínea b), a maioria dos alunos referiu que as imagens das sucessões estavam a

tender para −1. Houve ainda alunos que estavam confusos com o facto de sucessão (𝑓(𝑏𝑛))

tender para −1, uma vez que estava a aumentar. Atendendo ao facto de as dúvidas não terem

sido superadas na alínea a), foi construído no quadro um gráfico de uma sucessão crescente e

convergente para −1. Pensa-se que a visualização deste gráfico foi esclarecedora, no sentido em

que permitiu aos alunos verem que é possível uma sucessão ser crescente e ser convergente. Esta

ideia talvez tenha surgido pelo facto de os alunos só terem trabalhado com sucessões

convergentes decrescentes, criando-se a expectativa de que as sucessões crescentes são

divergentes.

Esclarecidas as dúvidas, foi feito um resumo dos resultados obtidos na tarefa de exploração,

referindo-se que as três sucessões tendem para 1 e que as imagens das sucessões tendem para

−1, quando 𝑛 aumentava indefinidamente. De seguida, foi perguntado aos alunos se para

qualquer sucessão que converge para 1, as imagens dessa sucessão tendem para −1. Foram

poucos os alunos que responderam, tendo todos respondido que sim. Seguidamente, foi-lhes dito

que não se podia concluir só através de três casos e que teríamos de demonstrar para todos os

casos.

53

Embora a demonstração não tenha sido muito longa, notou-se que os alunos tiveram muitas

dificuldades em acompanhar o que a professora ia escrevendo no quadro, sendo que um dos

fatores dessas dificuldades pode ter sido o facto de os alunos terem muitos conteúdos novos para

assimilar e um outro pode estar relacionado com o cansaço dos alunos, uma vez que a aula estava

a acabar.

No final da demonstração, foi pedido aos alunos para resolveram o exercício 1 e 2 da ficha

de trabalho n.º 1 (Anexo 6), a seguir apresentados.

1. De uma certa função sabe-se que lim

𝑓(𝑥𝑛) = 3, para qualquer sucessão (𝑥𝑛) convergente para

2. Indica, justificando, o valor de lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

2. Considera a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 2 +1

𝑛 e a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Indica, justificando, o valor de:

a) lim

𝑓(𝑢𝑛) b) lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

O exercício 1 é muito simples e foi proposto para que os alunos pudessem aplicar os

conteúdos adquiridos na aula. O objetivo deste exercício era verificar se os alunos conseguiam

converter o registo em língua natural em registo simbólico, uma vez que os alunos teriam de

indicar o valor de lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

No primeiro exercício, muitas das respostas dos alunos eram muito semelhantes à

demonstração feita pela professora (Figura 38). Nesta questão não era preciso demonstrar que

lim

𝑓(𝑥𝑛) = 3 para qualquer sucessão (𝑥𝑛), uma vez que isso já era afirmado no enunciado.

Figura 38. Resolução do exercício 1, da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A7.

Embora o exercício 1 fosse simples, ainda houve alunos que o resolveram incorretamente

(Figura 39), tentando aplicar, sem sucesso, a demonstração que a professora tinha feito no

quadro.


54

Em geral, a maioria dos alunos conseguiu resolver corretamente o exercício, convertendo o

registo de língua natural para o registo simbólico, embora alguns tenham feito coisas

desnecessárias.

Relativamente ao exercício 2a), quase todos os alunos o conseguiram resolver, sendo que

só houve dificuldades relativas à composta 𝑓(𝑢𝑛), uma vez que houve alunos que já não se

lembravam como se determinava. Contudo, em algumas respostas, notava-se que os alunos

percebiam o que estavam a fazer, só que não tinham rigor na escrita matemática, como por

exemplo, não colocavam o símbolo do limite (Figura 40) ou quando colocavam não utilizavam

parênteses.

Figura 40. Resolução do exercício 2a), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A17.

No exercício 2b), os alunos revelaram mais dificuldades pois era necessário mostrar que

para qualquer sucessão (𝑥𝑛) de termos do domínio de 𝑓, convergente para 2, lim

𝑓(𝑥𝑛) = 5.

Constatou-se que foram poucos os alunos que conseguiram resolver corretamente a questão.

Houve alunos que só substituíram o 𝑥 por 2 (Figura 41), outros concluíram que o resultado seria

5, valor obtido na alínea a) (Figura 42), e houve ainda quem calculasse a imagem do ponto 2

(Figura 43). Este último tipo de resposta é referido na literatura como sendo um erro muito comum

(Tall & Vinner, 1981).

Figura 41. Resolução do exercício 2b), da ficha de trabalho n.º 1, pelo aluno A17.



55

4.2.2. Limites laterais e existência de limite num ponto

Para se abordar os dois teoremas relativos à existência de limite num determinado ponto é

fundamental que os alunos saibam a notação de limites laterias e que os saibam determinar. Por

esse motivo, foi feita uma atividade de exploração no GeoGebra para que os alunos, através da

visualização de uma animação, pudessem ver o que acontecia às imagens da função quando 𝑥

tende para 2 por valores à esquerda de 2 (Figura 44) e quando 𝑥 tende para 2 por valores à direita

de 2 (Figura 45).

Figura 44. Imagem da primeira animação no GeoGebra.

Figura 45. Imagem da segunda animação no GeoGebra.

As animações foram vistas pelos alunos uma de cada vez, para que a sua atenção estivesse

focada só num aspeto, sendo a representada na Figura 44 a primeira a ser visualizada.

Antes de efetuar a animação foi dito aos alunos para estarem com atenção e para

observarem o que estava a acontecer às imagens da função representada. Após a animação ter

sido reproduzida duas vezes, perguntou-se aos alunos a que conclusão teriam chegado, ao que

eles responderam que as imagens da função tendem para 4 quando o 𝑥 tende para 2. De seguida,

perguntou-se aos alunos se não poderiam ser mais específicos na descrição do que tinham

acabado de observar, mas não foram obtidas respostas positivas. Assim, explicou-se-lhes que

ainda poderiam ser mais específicos porque o 𝑥 tende para 2 por valores à esquerda de 2, sendo

56

que todos os alunos concordaram com o que foi dito. Portanto, aproveitou-se este momento para

se abordar a noção de limite lateral à esquerda, explicando que “𝑥 → 2−” significa que 𝑥 tende

para 2 por valores à esquerda de 2.

Analogamente, pediu-se aos alunos para estarem atentos à reprodução da segunda

animação. No final da animação, perguntou-se o que tinham concluído da observação feita, ao

qual alguns alunos responderam que as imagens tendem para 0 quando o 𝑥 tende para 2 por

valores à direita de 2. De facto, os alunos conseguiram logo especificar melhor do que na primeira

animação mas, ainda assim, houve alunos que estavam a confundir o 𝑥 com o 𝑦, referindo alguns

que as imagens estavam a tender para 2, em vez de tender para 0. Posteriormente, definiu-se a

noção de limite lateral á direita.

Para que os alunos pudessem aplicar os conteúdos abordados, foi-lhes pedido para

resolverem o exercício 3 da ficha de trabalho n.º 1, que se apresenta a seguir.

Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑓.

Calcula:

Com este exercício pretendia-se constatar se os alunos tinham entendido bem a definição

de limite lateral e quais a dúvidas e dificuldades que revelavam na aprendizagem desta definição.

Em geral, os alunos conseguiram resolver o exercício, pelo que se pode concluir que a maioria

dos alunos conseguiu converter o registo gráfico em registo simbólico. Contudo, ainda houve 2

alunos, A8 e A17, que resolveram alguns itens do exercício incorretamente, ao considerarem que

57

“𝑥 → −4−” significa que 𝑥 tende para valores à esquerda de 4 e, portanto, que as imagens da

função tendem para −∞ (Figura 46).


Após esclarecidas as dúvidas, seguiu-se para a segunda parte da aula, onde seriam

abordados os dois teoremas relativos à existência de limite de uma função num ponto. Dada a

importância destes teoremas e também devido à fraca predisposição dos alunos para aulas

teóricas, decidiu-se elaborar uma ficha de exploração, onde os alunos teriam de interpretar os dois

teoremas e discuti-los em grupo e no grupo turma. A ficha de exploração n.º 2 (Anexo 5) continha

os dois teoremas, que eram seguidos de um exemplo e de um exercício. O objetivo da ficha era

permitir que os alunos lessem e interpretassem os teoremas sem a ajuda do professor. Deste

modo, a aula não seria tão teórica e os alunos ficariam mais envolvidos do que ficariam se fosse

a professora abordar e a explicar os dois teoremas.

No momento da discussão no grupo turma, relativamente ao primeiro teorema, foi pedido

a um aluno para ler em voz alta o teorema, isto porque a forma como os alunos interpretam tem

a ver com a forma como os alunos leem. Deste modo, através da leitura percebeu-se que o aluno,

tal como os restantes colegas, não conhecia muito bem os símbolos matemáticos. Ora isso cria

obstáculos à compreensão do teorema uma vez que ele envolvia alguns símbolos matemáticos.

Apesar disso, os alunos conseguiram perceber o primeiro teorema e resolver corretamente o

exercício 1 sobre o mesmo.

Para o segundo teorema o processo foi análogo, mas a maioria dos alunos sentiu

dificuldades em resolver o exercício 2, possivelmente por relacionar os dois teoremas. A seguir

encontra-se representado o exercício 2 da ficha de exploração n.º 2.

Observa a seguinte figura, onde está representado parte do gráfico da função 𝑓.

58

Indica, justificando e caso exista, lim𝑥→−4

𝑓(𝑥), lim𝑥→4


𝑓(𝑥) e lim𝑥→8

𝑓(𝑥).

Nos casos em que os limites laterais são diferentes, em 𝑥 = −4 e em 𝑥 = 4, os alunos

não hesitaram em responder que os limites nesses pontos não existem. O mesmo não aconteceu

no caso em que os limites laterais eram iguais, pois nesses casos teriam de escolher o teorema

adequado à situação. Assim, os alunos revelaram algumas dificuldades na escolha do teorema

que deveriam aplicar, pois estes não sabiam em que situação é que deveriam aplicar cada um.

No diálogo seguinte consegue-se perceber essa dificuldade:

Professora: E para o ponto 6, existe limite? A13: Não. A8: Não porque a imagem não é igual. A13: Não porque a bolinha é aberta. Professora: O 6 pertence ao domínio? Alunos: Não. Professora: O que dizia o outro teorema? A13: No anterior não pertence e neste tem de pertencer. Professora: Aqui o ponto não pertence, pois não? A1: Então temos de aplicar o outro. A3: Ah, então existe.

Através deste diálogo percebe-se também que os alunos A13 e A8 consideraram que o

limite da função no ponto 6 não existe porque o 6 não pertence ao domínio. Este erro já tinha sido

referido na literatura (Tall & Vinner, 1981).

Após esta discussão, surgiu outra dificuldade associada à existência de limite no ponto 8,

que se relata no diálogo seguinte:

Professora: Então como é que eu escrevo? A13: Como 8 ∈ 𝐷𝑓 e como limite de 𝑓(𝑥)… ah…. 𝑥 e tipo aquela setinha…

Professora: 𝑥 tende para…

A13: 𝑥 tende para 0… não! Para 8 menos.

59

Professora: Para 8 por valores à esquerda de 8. A13: Sim… Igual, é isso, tudo igual só que em vez de ter um menos fica um mais. Professora: É igual ao limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 8 por valores à direita de 8, igual…

A13: Igual a 0. Então existe limite… A3: Não. A8: Ainda falta a imagem. Professora: Aqui o ponto pertence ao domínio. Portanto, os limites laterais têm de ser iguais e iguais à imagem. A13: Ah! Professora: E 𝑓(8) é igual a…

A3: a 0. Professora: Então? A13: Então existe limite de 𝑓(𝑥).

Professora: quando o 𝑥 tende para 8.

Apesar de este diálogo ser seguido do anterior, o aluno A13 não escolheu o teorema correto

para verificar a existência de limite no ponto 𝑥 = 8. Mais uma vez, o erro relativo à verificação de

existência de limite num determinado ponto está relacionado com a escolha dos teoremas.

Percebe-se, contudo, que alguns alunos já os sabem escolher, como aconteceu com o aluno A13

que foi corrigido pelos colegas.

Ainda neste diálogo, repara-se que o aluno teve alguma dificuldade em usar a língua natural

para descrever os símbolos matemáticos, o que pode ser considerado normal tendo em conta que

foi a primeira aula onde foram abordados os limites laterais.

Durante a resolução deste exercício surgiu outra dúvida, não diretamente relacionada com

os limites laterais, como se pode observar no seguinte diálogo:

A23: Oh stora, o 4 pertence ao domínio?

Professora: Qual é a imagem do 4? A23: −0,5

Professora: A imagem do 4? A23: Ah, a de 4… é 3. Professora: Então pertence. A13: Se tem imagem pertence.

Para compreender os dois teoremas e para verificar a existência de limite num ponto é

essencial saber determinar a imagem e ver se o ponto pertence ou não ao domínio da função.

Neste diálogo pode-se ver que o aluno não percebe se o ponto está ou não no domínio. Para além

desta dúvida, o aluno A23 perguntou como se calculava o limite quando não há “linha” da função,

sendo-lhe explicado que só podia calcular o limite em pontos aderentes ao domínio da função.

60

Dos diálogos relativos ao exercício 2 conclui-se que os alunos tiveram dificuldades em

converter o registo gráfico em registo simbólico, sendo que alguns alunos ainda tiveram

dificuldades, não só em verificar a existência de limite, como em determinar o limite.

4.2.3. Operações e propriedades de limites de funções e indeterminações

Pelo facto de os alunos já terem estudado as operações e propriedades das sucessões, eles

já conheciam algumas das propriedades que se iriam abordar. Deste modo, a abordagem das

operações e propriedades de limites foi feita através do diálogo entre a professora e os alunos,

com o projetor sempre ligado para projetar o manual dos alunos. Deste modo, os alunos poderiam

acompanhar a conversa, vendo as propriedades no livro.

Começou-se por referir que o limite de funções constantes, tal como acontecia nas

sucessões, era a própria função constante, sendo que nenhum aluno levantou dúvidas. Seguiu-se,

então, para o limite da soma de duas funções, que pode ser escrito como a soma dos limites das

funções, se ambos os limites não fossem infinitos de sinais contrários. Esta propriedade também

foi abordada aquando o estudo de limites de sucessões, sendo que os alunos já a conheciam. No

diálogo seguinte relata-se parte da conversa da professora com os alunos sobre esta última

propriedade:

Professora: Mas se, por acaso, tivermos lim𝑥→+∞

(𝑥2 − 𝑥), quanto é que dá?

Alunos: Mais infinito, menos infinito. Professora: Aqui, neste caso, porque não podemos decompor na soma de limites? A11: Porque é uma indeterminação. Professora: Exatamente.

Posteriormente, abordou-se o limite do produto entre duas funções, que pode ser escrito

como o produto dos limites das duas funções, a menos que um deles seja zero e o outro infinito.

Nesta propriedade surgiu uma ideia errónea, por parte dos alunos relacionada, com a

indeterminação do tipo 0 × ∞, como podemos ver com o seguinte diálogo:

Professora: Por exemplo, se tivermos lim𝑥→+∞

(1

𝑥× 𝑥2), quando é que dá?

Alunos: Zero. Professora: Zero? Alunos: Mais infinito.

Professora: Isto aqui (a professora aponta para 1

𝑥) dá zero e este (aponta para o 𝑥2)

dá +∞. Professora: E zero vezes infinito é… Alunos: Zero.

61

Professora: Zero vezes infinito é uma indeterminação, não é zero, ok? Aqui neste caso também não podemos decompor no produto de dois limites.

Através deste diálogo pode-se perceber que os alunos pensavam que zero vezes infinito não

era indeterminação, considerando que era ou zero ou infinito, apesar de esta indeterminação já

ter sido estudada anteriormente.

De seguida, foi abordado o limite do quociente entre duas funções, que pode ser escrito

como o quociente dos limites das funções, caso os limites não sejam ambos zero ou ambos

infinito. À medida que a professora ia conversando com os alunos sobre as propriedades, ia

escrevendo no quadro um exemplo onde não era possível aplicar essa propriedade, de modo a

estabelecer todas as indeterminações. Na figura 47 estão representados os exemplos escolhidos

pela professora.

Figura 47. Exemplo de cada indeterminação.

Uma vez que os alunos não revelaram dificuldades nem dúvidas, seguiu-se para a análise

de um quadro resumo das operações com limites em notação simbólica, que se encontrava no

manual do aluno (Figura 48).

Figura 48. Resumo das operações com limites em notação simbólica.

62

Durante a análise deste resumo, os alunos, em geral, não revelaram dificuldades, tendo

compreendido todas as operações. No entanto, o aluno A13 expôs uma dúvida, como se pode ver

no seguinte diálogo:

A13: Eu tenho uma dúvida nas duas primeiras… é quando o zero é mais ou quando é zero menos. Professora: Sempre que o zero está no denominador temos de ver se está a tender para zero por valores superiores a zero ou inferiores a zero. Se for superior colocamos zero mais… A13: Então se for 5, 4, 3, 2… a tender para zero, é mais. Professora: Exatamente. A12: E temos que pôr sempre mais e menos? Professora: Tens, tens porque precisas de saber qual é o sinal… se é mais infinito ou menos infinito.

Neste diálogo podemos ver que o aluno A13 não sabia o que significa 0+, uma vez que não

sabia distinguir entre 0+ ou 0−. Sendo esta uma noção importante, era fundamental que o aluno

a percebesse, e pela sua resposta percebe-se que ele entendeu. Relativamente ao aluno A12, nota-

se que ele não entendia o porquê de se ter de colocar sempre o sinal, não percebendo que sem

ele não poderíamos concluir se era mais ou menos infinito.

Após o esclarecimento de dúvidas, foi pedido aos alunos para resolverem um exercício do

seu manual sobre as operações com limites de funções. Esse exercício está a seguir representado.

Considera as funções 𝑓 e 𝑔 representadas graficamente por:

Indica o valor de:

a) lim𝑥→+∞

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) b) lim𝑥→−∞

(𝑓 × 𝑔)(𝑥) c) lim𝑥→4−

(𝑓

𝑔) (𝑥)

d) lim𝑥→−∞

(𝑓(𝑥))2 e) lim

𝑥→4+√𝑔(𝑥)3 f) lim

𝑥→3√𝑓(𝑥)

Relativamente às operações com funções, os alunos não revelaram dúvidas, conseguindo

perceber que para resolver cada alínea teriam que calcular primeiro os limites e só depois efetuar

a operação. Deste modo, as dificuldades neste exercício não estavam relacionadas com os

63

conteúdos que tinham sido abordados na aula em questão, mas com conteúdos das aulas

anteriores, como, por exemplo, a determinação de limites.

Logo na alínea a) houve alguns alunos que determinaram incorretamente o limite da função

𝑔(𝑥), pois consideraram que esse limite era +∞. Este valor resultou de um raciocínio errado,

em que os alunos analisaram as imagens da função até ao ponto 4, isto é, os alunos em vez de

calcularem o limite de 𝑔(𝑥) quando 𝑥 tende para +∞, calcularam o limite de 𝑔(𝑥) quando o 𝑥

tendia para 4 à esquerda. Já na determinação de lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) não houve dúvidas uma vez que a

função não apresentava assíntotas verticais, fazendo com que os alunos não se confundissem.

Na alínea f) também houve alguma confusão na determinação do limite, havendo alguns

alunos que diziam que o valor do limite lim𝑥→3

𝑓(𝑥) era 3, outros diziam que era −2 e ainda houve

quem dissesse que era +∞. Talvez por o limite pedido ser a ordenada correspondente a um zero

da função crie mais confusão nos alunos. De facto, quando foi vista a animação do GeoGebra, na

aula onde se abordaram os limites laterais, alguns alunos não souberam determinar corretamente

o limite da função quando o ponto era um zero da função e, nesse caso, a maioria das respostas

dos alunos coincidiu com o valor para que 𝑥 estava a tender.

Estes erros e dificuldades comprovam que os alunos não conseguem converter o registo

gráfico em registo simbólico, tendo dificuldades em analisar, simultaneamente, os valores para

que 𝑥 e as respetivas imagens estão a tender.

Para além deste exercício, os alunos também resolveram os exercícios 1 e 2 da ficha de

trabalho n.º 3 (Anexo 8), que estão abaixo representados.

1. Na figura está representada parte dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔.

O gráfico de 𝑓 interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 3. Indica, justificando, o valor de

lim𝑥→3−

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥).

2. De uma certa função sabe-se que lim𝑥→−∞

1

𝑔(𝑥)= +∞. Desenha um possível gráfico da função

𝑔.

Na Figura 49 está representada a resolução do exercício 1 pelo aluno A11.

64


Daqui podemos ver que o aluno não conseguiu determinar corretamente o limite da função.

Na correção do exercício 1 surgiu novamente o erro relacionado com a determinação do limite de

uma função, que se relata no seguinte diálogo:

Professora: O que está a acontecer quando 𝑥 tende para 3? A13: É mais infinito. Professora: Não é mais infinito, é um número, certo? E é positivo ou negativo? Alunos: Positivo.

Ao ler este diálogo, é notório que o aluno A13 não sabe determinar o limite de uma função

graficamente. No entanto, este aluno já revelou, em outros exercícios, que conseguia determinar

graficamente o limite de uma função num ponto. Neste caso, pensa-se que o problema tem a ver

com o facto de a função ser contínua no ponto para que 𝑥 está a tender, o que provoca confusão

no aluno, pois ele está mais habituado a determinar limites para pontos de descontinuidade da

função.

Após se ter concluído que lim𝑥→3−

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)=

𝑐

0, com 𝑐 ∈ ℝ+, ocorreu outra discussão

interessante, como se pode ver no diálogo seguinte:

Professora: E agora? A13: E agora dá 𝑐. Professora: Aí dá? A23: Não, é uma indeterminação. A16: É uma indeterminação. A13: Então se mais infinito sobre zero dá mais infinito… ali 𝑐 sobre zero é igual… Professora: Não é igual. A13: Porquê?

Professora: +∞

0pode ser escrito como +∞ ×

1

0, certo? Quanto é que é

1

0?

A13: E aí é a mesma coisa então. A1: Dá infinito.

A13: 1

0 é infinito, stora?

Professora: Não é? Quando temos 1

0 é infinito, porquê? É como se tivéssemos (a

professora começa a escrever no quadro) 1

5 e

1

4, qual é o maior?

Alunos: 1

4

Professora: Depois 1

3… Qual é o maior?

65

Alunos: 1

3…

Professora: 1

2 e

1

0,1 e assim sucessivamente… Assim, este número vai começar a

aumentar cada vez mais, quando o denominador tender para zero… A13: Ah…

Através deste diálogo, percebe-se o erro do aluno ao assumir que o resultado de qualquer

número sobre zero vai ser o próprio número, na medida em que o aluno não percebe o porquê de

∞

0= ∞. No fim do diálogo, o aluno percebeu de onde veio esse resultado. Ainda neste diálogo, o

aluno A23 refere que 𝑐

0 é uma indeterminação, sendo que este erro já tinha sido referido no estudo

de Maurice (2005).

Embora os alunos tivessem percebido esse resultado, nenhum aluno achou necessário

perceber se o denominador tendia para zero por valores superiores ou inferiores a zero, pelo que

teve de ser a professora a referir, como podemos ver no seguinte diálogo:

Professora: Só que temos que decidir se é mais infinito ou menos infinito… Lembram-se de eu dizer à bocado, quando temos zero no denominador temos que ver se é zero mais ou zero menos. A13: É mais. Professora: Exatamente. Quando 𝑥 tende para 3 por valores inferiores a 3, as imagens da função vão tender para zero por valores superiores a zero. Um número positivo sobre zero mais, quanto é que dá? Alunos: Mais infinito

Relativamente ao exercício 2, a maioria dos alunos não conseguiu desenhar a função e, dos

que conseguiram desenhar a função, só 1 é que a desenhou corretamente. Em algumas respostas,

os alunos chegaram à conclusão que o limite lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥) tem de ser 0, mas não desenham a

função (Figura 50). Houve alguns alunos que desenharam uma função a tender para +∞ quando

𝑥 tende para −∞ (Figura 51) e outros desenharam uma função a tender para 0+ quando 𝑥 tende

para +∞ (Figura 52).


66



Das respostas e das não respostas dos alunos ao exercício 2, da ficha de trabalho n.º 3,

constata-se que a maioria dos alunos não conseguiu converter o registo simbólico em registo

gráfico, o que leva a concluir que os alunos não desenvolveram uma compreensão abrangente da

noção de limite.

4.2.4. Levantamento de indeterminações

Para se abordar as técnicas de levantamento de indeterminações foram usadas três aulas,

sendo que duas tiveram duração de noventa minutos e uma teve duração de quarenta e cinco

minutos. No início de cada uma destas aulas eram colocados dois limites no quadro, um de cada

vez, correspondentes à indeterminação que se queria abordar, e era discutido com os alunos cada

etapa que se deveria realizar. Foi decidido usar este método pois os alunos já tinham abordado as

epatas de levantamento de indeterminação aquando o estudo de limites de sucessões e, por isso,

já tinham algumas ideias sobre o levantamento de indeterminações.

No fim de se ter visto as etapas de resolução de cada um dos limites, foi pedido aos alunos

para resolverem os exercícios da ficha de trabalho n.º 4 (Anexo 9), referente ao tipo de

indeterminação abordado na aula. Esta ficha de trabalho contém QR Codes que fazem ligação a

vídeos explicativos das etapas de levantamento de indeterminações, que podiam ser vistos no

telemóvel, dentro ou fora da sala de aula.

Nestas aulas foram também revistos os métodos de factorização de polinómios, uma vez

que eles são fundamentais para o levantamento de alguns tipos de indeterminações.

67

Logo na primeira aula, onde foi determinado o limite lim𝑥→1

2𝑥2−6𝑥+4

𝑥−1, foi perguntado aos

alunos qual era o primeiro passo a efetuar. Como nenhum aluno referiu a substituição do 𝑥 por

1, teve de ser a professora a referi-lo, tendo todos os alunos chegado à conclusão que estavam

perante uma indeterminação do tipo 0

0. De seguida, perguntou-se se alguém sabia qual era o passo

seguinte, ao qual muitos alunos reponderam que era colocar o 𝑥 em evidência. Assim, foi dito aos

alunos que para resolver as indeterminações do tipo 0

0, quando 𝑥 tende para um número real, ter-

se-ia de fatorizar o polinómio do numerador e do denominador e, de seguida, foi-lhes perguntado

quais eram as técnicas que conheciam para fatorizar polinómios, onde eles referiram a fórmula

resolvente. Deste modo, fatorizou-se o polinómio através da fórmula resolvente e foi perguntado

aos alunos o que se deveria fazer de seguida, como está relatado no seguinte diálogo:

Professora: E agora? 2𝑥2 − 6𝑥 + 4 é igual a … Alunos: (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) Professora: É assim? Alunos: Sim.

Neste diálogo percebe-se que os alunos já não se lembravam de como se fatoriza um

polinómio, uma vez que se esqueceram de multiplicar (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) pelo coeficiente do termo

de maior grau. Quando foram alertados para esse aspeto, quase todos os alunos se relembraram

deste detalhe. De modo a rever a regra de Ruffini, foi também efetuada a factorização do polinómio

do numerador por esse método.

Após se ter fatorizado o polinómio e determinado o limite, seguiu-se para a discussão das

estratégias de resolução de outro limite, lim𝑥→−∞

1

|𝑥−3|1

𝑥2+5

. Este limite foi escolhido por duas razões, a

primeira por envolver a indeterminação 0

0, quando 𝑥 tende para −∞, e a segunda porque tem um

módulo, sendo necessário lembrar aos alunos como se desdobra o módulo.

Logo de início, os alunos começaram a dizer que se tinha de aplicar a “regra do pneu” de

modo a simplificar a expressão, pelo que lhes foi dito que a primeira etapa seria substituir o 𝑥 por

−∞. Depois de se ter concluído que era uma indeterminação do tipo 0

0, os alunos referiram que

o passo seguinte seria simplificar a expressão. Após se ter simplificado a expressão, seguiu-se a

etapa do desdobramento do módulo, onde os alunos revelaram muitas dúvidas, que são relatadas

no diálogo seguinte:

Professora: O módulo de 𝑥 menos 3 é igual a 𝑥 menos 3 se…

68

Alunos: 𝑥 menos 3 maior que zero. Professora: E aqui [referindo-se ao ramo debaixo] A1: 𝑥 mais 3. Professora: Colocamos o simétrico de 𝑥 menos 3 se …

Alunos: 𝑥 menos 3 menor ou igual que zero. A17: Professora, eu posso pôr o igual no de cima [a aluna refere-se ao ramo de cima]. Professora: Sim, podes colocar em cima [a professora retira o igual do ramo debaixo e coloca-o no ramo de cima], mas só podes colocar um igual. Professora: E agora? Passo o 3 para o 2º membro…

Alunos: 𝑥 maior ou igual que 3

A13: Mas tem de se trocar o sinal [a professora não ouviu o que o aluno A13 disse]. Professora: E aqui? [referindo-se ao ramo debaixo] Alunos: Menos 𝑥 mais 3 se 𝑥 menor que 3.

A13: Oh professora, não estou a perceber nada. Se o menos 3 passa para aquele lado, devia trocar o sinal... A8: Mas não está a dividir… A13: Ah, é só quando está a dividir ou a multiplicar que se troca o sinal, esqueci-me disso.

Neste diálogo consegue-se perceber as dificuldades e erros que os alunos revelaram no

desdobramento do módulo. Logo de início foi necessário que a professora começasse a escrever

para que os alunos se lembrassem que o módulo podia ser desdobrado por ramos. No momento

em que se passa para o segundo ramo, o aluno A1 só trocou o sinal do número −3, onde deveria

aplicar o simétrico à expressão 𝑥 − 3. Ainda relacionado com erros de cálculo, o aluno A13

considerava que se deveria trocar o sinal da inequação aquando da passagem do número 3 para

o outro membro, tendo sido alertado pelo colega que isso só acontecia na divisão e na

multiplicação. A aluna A17 ainda questionou a professora acerca da posição do sinal de igual pois

achou estranho a professora tê-lo colocado no ramo debaixo.

Após o esclarecimento de dúvidas relativo ao desdobramento do módulo, surgiu novamente

uma discussão, como se pode ver no seguinte diálogo:

Professora: E qual é que eu escolho? Este ou este? [A professora aponta para o ramo de cima e de seguida aponta para o ramo debaixo.] A12: Os dois. A11: Um qualquer. Professora: Os dois? Para onde está a tender o 𝑥? A8: Para menos infinito. A3: Tem de ser o debaixo. Professora: Então tem de ser o debaixo.

Para além de os alunos não acharem necessário desdobrar o módulo, também não sentiram

necessidade de escolher qual o ramo que deveria ser usado naquela situação. De facto, quando

69

perguntado qual deveria ser o ramo a escolher, os alunos A12 e A11 referiram que não fazia

diferença escolher um ou outro.

A seguir à substituição do módulo pela expressão −𝑥 + 3,ocorreu outra discussão relativa

à escolha do termo que se deveria colocar em evidência, pois alguns alunos referiam que se

deveria colocar o 𝑥 em evidência e outros consideravam que deveria ser o 𝑥2 no denominador,

como está relatado no diálogo seguinte:

A1: Fica 𝑥2 (1 +5

𝑥2) sobre 𝑥…

A11: Ao quadrado. A1: Não, não é nada ao quadrado. A13: E é. A11: Claro que é, é para cortar. Professora: Não precisa de ser… Mas podem fazer também por essa maneira.

Ambas as considerações estavam corretas pelo que foi dito aos alunos que podiam fazer

das duas formas, mas que era mais simples colocar o termo de maior grau do denominador em

evidência. Quando se chegou à expressão −∞

−1, houve alunos que referiram que o resultado seria

−∞, não considerando o sinal menos do número 1.

Para que os alunos pudessem aplicar o que estiveram a discutir na aula, foi-lhes pedido

para resolverem o exercício 1 da ficha de trabalho n.º 4, tendo a professora circulado pelos lugares

para esclarecer eventuais dúvidas.

No decorrer das três aulas onde se abordaram os quatro tipos de indeterminações,

conheceram-se os erros e as dificuldades dos alunos durante o levantamento de indeterminações.

Um dos erros mais comuns cometidos pelos alunos estava relacionado com a Regra de Ruffini e

a factorização de um polinómio (Figura 53), uma vez que os alunos ao aplicar a Regra de Ruffini

substituíam o polinómio inicial pelo polinómio que resultava da divisão do polinómio inicial pela

sua raiz. Na figura 53 também é possível ver outro erro que o aluno A18 cometeu, ao considerar

que 3

𝑥 e −

6

𝑥 tendem para zero quando 𝑥 tende para 3, sendo que este erro também foi comum a

outros alunos. Pensa-se que este erro possa ter surgido pelo facto de os alunos nas sucessões

estarem habituados a considerar que uma constante real sobre 𝑛 vai tender sempre para zero,

uma vez que 𝑛 tende sempre para +∞.

70

Figura 53. Resolução do exercício 1c), da ficha de trabalho n.º 4, pelo aluno A18.

Muitos alunos aplicavam sempre a técnica de colocar o termo de maior grau em evidência,

quando 𝑥 tendia para um número real ou quando 𝑥 tendia para mais ou menos infinito. Deste

modo, no caso em que 𝑥 tendia para o número real, na maioria das vezes, os alunos complicavam

mais a expressão e não conseguiam levantar a indeterminação. Na figura 54 pode-se ver um

exemplo do que foi dito.

Figura 54. Resolução de um exercício pelo aluno A13.

Para além disso, houve alunos que ainda cometiam erros no desdobramento do módulo

(Figura 55) e, como consequência, ficavam indecisos relativamente à escolha do ramo ou então

determinavam mal o limite.

Figura 55. Desdobramento do módulo pelo aluno A16.

Continuando a análise dos erros, houve alunos que calcularam incorretamente os limites

pedidos devido a erros relacionados com a incorreta colocação do 𝑥 em evidência(Figura 56) e

com “cortarem” indevidamente fatores do numerador e do denominador (Figura 57).

71



Na figura 57, para além de se verificar que o aluno A18 efetuou um “corte” incorretamente,

dá para perceber que o aluno não multiplicou os fatores 𝑥 − 3 e 𝑥 − 2 pelo coeficiente do termo

de maior grau. Este último erro também era muito comum e pensa-se que, na maioria dos casos

em que surgia, estava relacionado com a atenção do aluno e não propriamente com o seu

conhecimento, uma vez que os alunos quando questionados sobre a sua factorização, lembravam-

se logo que faltava o coeficiente do termo de maior grau.

Após se ter analisado a resolução destes exercícios, pode-se concluir que as dificuldades

dos alunos, no levantamento de indeterminações, por vezes, estão relacionadas com a técnica

que aplicaram, mais propriamente a colocação do termo de maior grau em evidência no caso em

que 𝑥 tende para um número real. Contudo, houve alunos que se sentiram desorientados no final

de fatorizarem os polinómios do numerador e do denominador, pois não sabiam qual era a etapa

seguinte.

Relativamente aos erros, percebe-se que, em grande parte, eles não estavam diretamente

relacionados com o conceito de limite de uma função, mas sim com conteúdos abordados no

décimo ano de escolaridade, tais como: a Regra de Ruffini; a factorização e simplificação de

polinómios e o desdobramento do módulo. Deste modo, a aprendizagem do levantamento de

indeterminações esteve condicionada por estes conteúdos, que em alguns casos afetou bastante

o desempenho dos alunos. Ainda assim, houve um erro que alguns alunos cometeram e que

estava relacionado com o limite de sucessões, em que os alunos consideravam que o resultado

de qualquer constante real sobre 𝑥 dava zero, independentemente do valor para que 𝑥 estava a

tender.

72

4.3. Ficha por partes

Neste subcapítulo vão ser apresentados os resultados obtidos pelos alunos na ficha por

partes. A ficha por partes (Anexo 10) era constituída por 5 questões, entre as quais duas questões

requerem que os alunos convertam o registo gráfico em registo simbólico, uma requer que os

alunos convertam o registo em língua natural para o registo gráfico e as últimas duas requerem o

tratamento dentro do registo simbólico

4.3.1. Questão 1

Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑔.

a) Sabe-se que 𝑢𝑛 = −1 −1

𝑛. O que podes concluir acerca do valor de lim

𝑔(𝑢𝑛) ?

b) Seja (𝑣𝑛) uma sucessão tal que lim

𝑔(𝑣𝑛) = 2. Apresenta um possível termo geral para a

sucessão (𝑣𝑛)? Explica o teu raciocínio.

Na tabela seguinte estão representadas as frequências absolutas das respostas dos alunos

à questão 1.


Alínea

Tipos de resposta



Incorreta

a) 6 14 6 0

b) 4 0 22 0

Relativamente à questão 1a), só 6 alunos é que responderam corretamente, tendo calculado

o limite da sucessão (𝑢𝑛) e, de seguida, determinado o limite de 𝑔(𝑥) quando 𝑥 tende para o

resultado do limite da sucessão (𝑢𝑛). Dos 26 alunos, 14 deram uma resposta parcialmente

73

correta, o que quer dizer que cerca de metade dos alunos conseguiu calcular corretamente pelo

menos o limite da sucessão.

Ao analisar as respostas corretas, verifica-se que 5 alunos não usaram o registo em língua

natural, recorrendo apenas ao simbólico, e não explicaram detalhadamente o seu raciocínio

(Figura 58).

Figura 58. Resposta do aluno A13 à alínea 1a) da ficha por partes.

Houve apenas 1 aluno que utilizou simultaneamente os registos em língua natural e

simbólico para completar a sua resposta (Figura 59).


Das respostas parcialmente corretas, 9 alunos utilizaram os registos simbólico e em língua

natural (Figura 60), 3 utilizaram só o registo simbólico (Figura 61) e 2 só utilizaram o registo em

língua natural (Figura 62)


Embora não tenha concluído corretamente, nota-se que o aluno A5 conseguiu mobilizar os

registos de representação semiótica.


74

Figura 62. Resposta do aluno A3 à alínea 1a) da ficha por partes

Nas respostas incorretas só foram observados os registos em língua natural e simbólico.

Relativamente aos erros e às dificuldades dos alunos, na Figura 60 pode-se ver que o aluno

A5 calcula o limite da sucessão mas não concluiu que os termos da sucessão se aproximam de

−1 por valores à esquerda de −1, o que o leva a determinar os limites laterais para verificar a

existência de limite.

Das 14 respostas parcialmente corretas, houve 5 alunos que calcularam só o limite da

sucessão (𝑢𝑛) (Figura 63), 7 alunos calcularam a imagem de −1 (Figura 64) e houve 1 aluno

que concluiu que lim 𝑢𝑛 = −1− mas que não conseguiu determinar corretamente lim𝑥→−1−

𝑔(𝑥)

(Figura 61). Ainda relativamente a este último aluno, A11, apesar de não escrever o símbolo de

limite, percebe-se que ele calculou o limite da sucessão (𝑢𝑛) e concluiu que era −1−. Contudo,

ao determinar lim 𝑔(𝑢𝑛) limitou-se a calcular a imagem de −1.


Através da Figura 63 pode-se constatar que o aluno A20 considerou o lim 𝑢𝑛 como sendo

o lim 𝑔(𝑢𝑛), não atendendo ao gráfico da função 𝑔.


O aluno A4 considerou incorretamente que o lim 𝑔(𝑢𝑛) era o valor da imagem de lim 𝑢𝑛,

talvez porque não considerou que lim 𝑢𝑛 = −1−.

75

Houve ainda 1 aluno, A24, que conclui que o resultado do limite pedido era −∞ (Figura

65). Para além de não considerar o limite lateral direito, no ponto 𝑥 = −1, o aluno A24 não

reparou que a imagem de −1 é −3.


Das 6 respostas incorretas, dá para perceber que os alunos não entenderam o que era

pedido, sendo que 1 aluno provou que a sucessão (𝑢𝑛) era limitada, 4 alunos que concluíram

que a sucessão era convergente para 0 e 1 aluno escreveu que o limite da sucessão (𝑢𝑛) estava

entre −1 e 1

𝑛.

No que diz respeito à alínea 1b), o desempenho dos alunos foi pior do que na alínea anterior,

uma vez que só houve 4 alunos com a resposta correta, enquanto as respostas dos restantes

foram classificadas como incorretas.

Das 4 respostas corretas, 3 englobaram os registos simbólico e em língua natural (Figura

66) e em 1 foi utilizado o registo simbólico.(Figura 67).

Figura 66. Resposta do aluno A3 à alínea 1b) da ficha por partes.

Apesar de o aluno A3 não usar uma linguagem rigorosa para escrever os símbolos

matemáticos, dá para perceber que o seu raciocínio está correto. Na verdade, não houve nenhum

aluno que escrevesse corretamente todos os símbolos matemáticos.


76

Para além de não justificar detalhadamente a sua resposta, o aluno A21 usa incorretamente

os símbolos matemáticos. Contudo, nota-se que o aluno percebeu o que era pedido e conseguiu

definir o termo geral de uma sucessão nas condições pedidas.

Em relação às respostas incorretas, houve 17 alunos que responderam usando os registos

simbólico e em língua natural (Figura 68) e 5 só utilizaram o registo simbólico.


Relativamente aos erros e dificuldades dos alunos, houve 15 alunos que escreveram uma

sucessão convergente para 2 (Figura 68), ignorando por completo a composta 𝑔(𝑣𝑛), o que fez

com que os alunos não usassem o gráfico de 𝑔. Houve ainda 2 alunos que escreveram uma

sucessão convergente para outro número (Figura 69), não se percebendo a razão pela qual

escolheram essa sucessão.


Continuando com a análise das respostas, houve 5 alunos que não indicaram nenhuma

sucessão, sendo que 3 limitaram-se a explicar o significado de lim

𝑔(𝑣𝑛) = 2 (Figura 70) e 1

referiu a palavra limitada (Figura 71).



77

O aluno A2 relaciona o facto de a função ser limitada com o seu limite. De facto, na alínea

a), houve 1 aluno, A22, que em vez de determinar o limite pedido, limitou a sucessão. Conforme

já foi referido na literatura (Cornu, 1983), os alunos atribuem ao limite significados diferentes do

matemático. A noção que os aluno A2 e A22 atribuiem ao limite enquadra-se no modelo 𝛼 (Cornu,

1983). Neste modelo, os alunos consideram o limite como uma fronteira ou como algo

intransponível.

Na Tabela 9 estão registadas a frequências absolutas dos tipos de registos usados pelos

alunos em cada tipo de resposta na questão.

Tabela 9 — Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 1

Alínea

Tipos de resposta

Correta Parcialmente correta Incorreta

RG RS RLN RG RS RLN RG RS RLN

a) 0 6 1 0 12 11 0 4 5

b) 0 4 3 0 0 0 0 22 17

Total 0 10 4 0 12 11 0 26 22 Nota: RG — registo gráfico; RS — registo simbólico; RLN — registo em língua natural.

Da tabela acima representada pode-se retirar que o registo de representação semiótica mais

usado nesta questão foi o registo simbólico, sendo que foi usado pelo menos esse registo nas

respostas corretas por 100% dos alunos, nas respostas parcialmente corretas por 86% dos

alunos e nas respostas incorretas por 93% dos alunos. Nas respostas parcialmente corretas, o

número de alunos que usaram pelo menos o registo em língua natural foi superior

comparativamente com as respostas corretas e incorretas.

4.3.2. Questão 2

De uma certa função ℎ, de domínio ℝ0+, sabe-se que:

- o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para +∞ é 0;

- não existe o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para 6;

- o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para 2 por valores inferiores a 2 é 5.

Desenha, num referencial, um possível gráfico da função ℎ.

Na Tabela 10 estão representadas as frequências absolutas dos tipos de resposta dos

alunos à questão 2 da ficha de avaliação por partes.

78


Tipos de resposta



Incorreta

Questão 2 0 19 6 1

Como se pode ver através da Tabela 10, não houve nenhum aluno com a resposta correta,

podendo-se concluir que nenhum aluno conseguiu converter totalmente o registo em língua natural

em registo gráfico. As respostas parcialmente corretas satisfaziam pelo menos uma das três

condições pedidas, ainda que o esboço feito pelos alunos não representasse uma função.

Apesar desta questão só permitir que os alunos apresentem a sua resposta no registo

gráfico, houve 2 alunos que escreveram as três condições em registo simbólico, como podemos

ver na Figura 72.

Figura 72. Resposta do aluno A16 à questão 2 da ficha por partes.

Para além de ter esboçado parte do gráfico da função na parte negativa do eixo das

abcissas, o aluno A16 também excluiu o valor 6 do domínio da função.

No que toca aos erros e às dificuldades dos alunos, houve 3 alunos com resposta

parcialmente correta, pois apesar de terem cumprido com as três condições, não tiveram em

conta do domínio da função (Figura 72). Houve ainda 3 alunos que esboçaram as três condições,

algumas incorretamente, sem ligação umas com as outras, não tendo definido uma função (Figura

73).


79

Das 19 respostas parcialmente corretas, 9 não cumpriram os requisitos do domínio (Figuras

72 e 73), 3 não cumpriram a primeira condição (Figura 74), 16 não cumpriram a segunda

condição (Figura 75) e 3 não cumpriram a terceira condição (Figura 76).


Através da resposta do aluno A15 pode-se constatar que o aluno não teve em atenção a

primeira nem a segunda condições exigidas, cumprindo só a terceira.


Nesta resposta pode-se ver que o aluno A2 conseguiu cumprir com todos os requisitos,

exceto com a segunda condição, sendo a condição em que se verificaram mais erros. No total dos

19 alunos, 6 esboçarem um gráfico com a bola aberta no ponto de abcissa 6. Os autores Tall e

Vinner (1981) referiram no seu trabalho que os alunos consideram que o limite de uma função

num determinado ponto não existe quando o ponto não pertence ao domínio, tal como aconteceu

com o aluno A2.


O aluno A4 cumpriu a primeira e a segunda condições, mostrando que percebe quando não

existe limite de uma função num ponto que pertence ao seu domínio. Contudo, o aluno A4 não

80

cumpriu a terceira opção, que juntamente com a primeira foram aquelas em que os alunos

revelaram menos dificuldades

Das 6 respostas incorretas, houve 4 que trocaram o 𝑥 com o 𝑦, isto é, colocaram os

números 2 e 6 no eixo das ordenadas e o número 5 no eixo das abcissas (Figura 77).


Através desta figura constata-se que o aluno não conseguiu converter o registo em língua

natural para o registo gráfico, tendo confundido o 𝑥 com o 𝑦. De facto, observando a figura pode-

se concluir que o aluno A6 considerou lim𝑥→0−

ℎ(𝑥) = +∞ e lim𝑥→5−

ℎ(𝑥) = 2, o que confirma

novamente a troca do 𝑥 com o 𝑦.

Na Tabela 11 estão registados os tipos de registos que os alunos utilizaram para responder

à questão 2.




Questão 2 0 0 0 19 2 0 6 0 0 Nota: RG — registo gráfico; RS — registo simbólico; RLN — registo em língua natural.

Os registos utilizados pelos 25 alunos que responderam a esta questão foram o registo

gráfico e o registo simbólico, sendo que este último só foi usado por 2 alunos. Assim, tendo em

conta estes resultados, conclui-se que os alunos não conseguiram converter sempre o registo em

língua natural para o registo gráfico, tal como é solicitado no enunciado da questão.

A maioria dos alunos conseguiu converter pelo menos uma condição no registo gráfico.

Contudo, houve alunos que não cumpriram as três condições num só gráfico. A segunda condição

foi a que gerou mais erros e dificuldades aos alunos, comprovando-se que a maioria dos alunos

não entendeu os dois teoremas relativos à existência de limite de uma função num ponto.

81

4.3.3. Questão 3

Observa o seguinte gráfico da função 𝑓 de domínio ℝ\{−3,0}.

Calcula, justificando e caso exista, o valor de:

a) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

b) lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

c) lim𝑥→−3

𝑓(𝑥)

𝑥

d) lim𝑥→+∞

√𝑓(𝑥)3

Na Tabela 12 estão registadas as frequências absolutas dos tipos de resposta dos alunos à

questão 3 da ficha de avaliação por partes.


Alínea

Tipos de resposta



Incorreta

a) 1 7 17 1

b) 13 2 8 3

c) 8 0 16 2

d) 8 0 12 6

Os resultados obtidos pelos alunos na questão 3a) foram muito fracos, o que comprova que

os alunos não sabem converter o registo gráfico no registo simbólico e no registo de língua natural.

De facto, só 1 aluno é que conseguiu executar essa conversão, tendo usado na sua resposta os

registos simbólico e em língua natural(Figura 78).


82

As respostas parcialmente corretas também envolveram os dois registos de representação

semiótica referidos acima, e foram classificadas como tal aquelas que continham os limites laterias

corretos, mas com a conclusão incorreta. Já as respostas incorretas, sendo a maior parte, também

envolvem os mesmos registos de representação semiótica.

No que diz respeito aos erros e dificuldades dos alunos, 11 alunos consideraram que o

resultado do limite pedido era 1,25 (Figura 79), 6 alunos referiram que o limite seria igual à

imagem do ponto (Figura 80) e 4 alunos responderam que o limite não existia porque −1 não

pertencia ao domínio da função (Figura 81).

Figura 79. Resposta do aluno A5 à questão 3a) da ficha por partes.

Embora o aluno A5 tenha calculado corretamente os limites laterais, o que mostra que

consegue converter o registo gráfico em registo simbólico, ele não concluí corretamente ao não

considerar que o ponto de abcissa −1 pertencia ao domínio da função.


O aluno A24 considera que o resultado do limite pedido é igual à imagem do ponto de

abcissa −1, concluindo-se que o aluno não sabe determinar graficamente o limite de uma função

num ponto. Nas investigações acerca das dificuldades e erros dos alunos na aprendizagem do

conceito de limite, Tall e Vinner (1981) referiram que os alunos consideram o limite de uma função

num ponto como sendo o valor da função nesse ponto.


83

Nesta resposta pode-se ver que, apesar de o aluno ter calculado corretamente os limites

laterias, este concluiu que o limite não existe porque o ponto 𝑥 = −1 não pertencia ao domínio

da função. Na verdade, o ponto pertence ao domínio da função e tem como imagem −3.

Na alínea 3b) os resultados dos alunos foram melhores do que na alínea anterior, sendo

que 13 alunos obtiveram respostas corretas, 2 respostas parcialmente corretas, 8 respostas

incorretas e 3 alunos não responderam a esta alínea. Nas suas respostas, os alunos recorreram

aos registos simbólico e em língua natural, havendo quem usasse dois e quem usasse só o registo

simbólico.

Tal como na alínea anterior, foram consideradas parcialmente corretas as respostas em que

o aluno determinou corretamente os limites laterais, mas chegou a uma conclusão que não era

correta.

Na alínea 3b) houve 8 alunos que consideram que o limite não existe porque o ponto não

pertence ao domínio da função (Figura 82) e houve 2 alunos que indicaram um valor diferente de

2 (Figura 83).

Figura 82. Resposta do aluno A2 à questão 3b) da ficha por partes.

Novamente, encontra-se um erro já referido na literatura (Tall & Vinner, 1981) e já

encontrado na questão 2, em que o aluno conclui que o limite não existe porque o ponto não

pertence ao domínio.


Nesta resposta parece que o aluno A15 determinou o limite da função em 𝑥 = −3, e não

em 𝑥 = 0 como era pedido.

Na alínea 3c) conclui-se que, embora os resultados dos alunos sejam fracos, continuam a

ser melhores do que a alínea 3a). As 8 respostas corretas envolvem os dois registos, simbólico e

em língua natural, sendo que 7 alunos só usaram o registo simbólico (Figura 84). Das 16 respostas

84

incorretas, apenas 5 envolvem o registo simbólico, sendo que nas restantes são utilizados o registo

simbólico e em língua natural.


Nesta figura pode-se ver que o aluno A8 soube aplicar corretamente as regras de operações

de limites e determinar graficamente o limite pedido, salientando-se o facto de os limites laterais

serem iguais no ponto 𝑥 = −3. Deste modo, conclui-se que o aluno conseguiu converter o registo

gráfico no registo simbólico, embora não tenha escrito com rigor lim𝑥→−3

𝑓(𝑥).

Das respostas incorretas, houve 9 alunos que referiram que o limite não existia porque −3

não pertencia ao domínio da função (Figura 85), 2 alunos responderam incorretamente ao

esquecerem-se do sinal menos (Figura 86), 2 alunos só consideraram o limite lim𝑥→−3

𝑓(𝑥) (Figura

87) e as restantes respostas não eram inteligíveis.

Figura 85. Resposta do aluno A23 à questão 3c) da ficha por partes.


Observando a resposta do aluno A3, percebe-se que o aluno se esqueceu do sinal de menos

do número 3, mas aplicou corretamente as regras das operações com limites.


85

Em relação à alínea 3d), que era também relativa às operações com limites, o desempenho

dos alunos também foi baixo, sendo que só houve 8 respostas corretas. Contudo, as dificuldades

dos alunos nesta alínea não estavam relacionadas com as operações com limites, pois a maioria

sabia que teria de aplicar a raiz cúbica ao valor do limite de 𝑓(𝑥), mas sim, mais uma vez, em

determinar limites de uma função graficamente.

Das respostas corretas, houve 2 alunos recorreram aos dois registos simbólico e em língua

natural, 5 que recorrerem só ao registo simbólico e 1 que só envolve o registo em língua natural.

Já das respostas incorretas, só 2 é que recorriam ao registo simbólico e as restantes 10

englobavam o registo em língua natural e o registo simbólico.

Das respostas incorretas, 4 alunos indicaram que o valor do limite pedido era +∞ (Figura

88) e 7 alunos indicaram que o limite não existia (Figura 89).

Figura 88. Resposta do aluno A24 à questão 3d) da ficha por partes.

O aluno A24 não determinou corretamente o limite da função 𝑓 no gráfico, limitando-se

assim a calcular √+∞3

, ignorando a função 𝑓.

Figura 89. Resposta do aluno A6 à questão 3d) da ficha por partes.

Nesta resposta, tal como nas outras 6, os alunos referiram que o gráfico da função não

tende para +∞. Uma razão plausível para justificar esta resposta tem a ver com o facto da parte

positiva do eixo das abcissas ter um comprimento pequeno, confundindo assim os alunos, dando

a ideia de que a função termina no ponto 𝑥 = 3.

Na tabela que se segue estão registadas as frequências absolutas dos registos utilizados

pelos alunos, por cada tipo de resposta, na questão 3.

86




a) 0 1 1 0 7 7 0 17 11

b) 0 13 10 0 2 2 0 8 8

c) 0 8 1 0 0 0 0 16 11

d) 0 7 3 0 0 0 0 12 10

Total 0 29 15 0 9 9 0 53 40 Nota: RG — registo gráfico; RS — registo simbólico; RLN — registo em língua natural.

Analisando os dados da tabela, conclui-se que o registo de representação semiótica mais

usado foi, novamente, o registo simbólico.

Em toda a questão 3 era fundamental que os alunos soubessem determinar os limites a

partir de um gráfico. De facto, alguns alunos, poucos, conseguiram fazê-lo utilizando para as suas

respostas os dois registos de representação semiótica. A maioria dos alunos, apesar de

conseguirem determinar graficamente os limites, não responderam corretamente por não

relacionarem as suas capacidades visuais com os conteúdos abordados na aula, mais

propriamente, os dois teoremas acerca da existência de limite de uma função num determinado

ponto.

4.3.4. Questão 4

Calcula, analiticamente, o lim𝑥→1

2|𝑥−1|

𝑥−1. Nesta questão, a calculadora só pode ser utilizada para

eventuais cálculos numéricos e exploração gráfica da situação.

Na Tabela 14 apresentam-se as frequências absolutas dos tipos de resposta dos alunos à

questão 4 da ficha de avaliação por partes.


Tipos de resposta Não

responde Correta Parcialmente

correta Incorreta

Questão 4 5 7 12 2

O número de respostas incorretas e de não respondentes na questão 4 foi muito elevado,

sendo mesmo superior à soma do número das respostas corretas e parcialmente corretas, o que

significa que os alunos não conseguiram tratar os dados dentro do mesmo registo, o registo

simbólico.

87

Nesta questão era permitido que os alunos visualizassem o gráfico da expressão 2|𝑥−1|

𝑥−1,

caso precisassem. E, se tal acontecesse, teriam de escrever na resolução da questão que tinham

utilizado a calculadora, para que se pudesse saber quantos alunos recorreram à visualização. Da

contabilização, verificou-se que só 8 alunos recorreram à calculadora, sendo que 4 obtiveram a

resposta correta, 1 resposta parcialmente correta e 3 resposta incorreta. Todos os alunos

recorreram ao registo simbólico para responder à questão 4.

Tendo em conta os números apresentados na Tabela 14, esta questão levou a que os alunos

revelassem dificuldades e erros, que vão ser analisados de seguida. Todas as 7 respostas

classificadas como parcialmente corretas só apresentavam o cálculo do limite sem ter em conta

os limites laterais (Figura 90), havendo ainda mais 4 alunos que usaram este processo, mas em

que, por outros motivos, a sua resposta foi classificada como incorreta.


Através desta resolução pode-se ver que o aluno A16 escolheu a expressão do ramo superior

para substituir a expressão do módulo. De facto, o aluno não reparou que o limite que calculou

era o limite lateral à direita. Para além disso, o aluno usou a calculadora para visualizar o gráfico

da função, mas não percebeu que os limites laterias no ponto 𝑥 = 1 eram diferentes. Assim,

conclui-se que o aluno não relacionou o registo gráfico com o registo simbólico, o que o levou a

uma conclusão incorreta.

Na análise das respostas incorretas pôde-se reparar em alguns erros que os alunos

cometeram, tais como: considerar que 1/𝑥 tende para zero (3 alunos, Figura 91); interpretar

erradamente o módulo (4 alunos, Figura 92) e errar cálculos numéricos (3 alunos, Figura 93).

88


O aluno A4, na sua resposta, considera que o resultado de 1 sobre 𝑥 é 0. De facto, isso era

verdade se o 𝑥 estivesse a tender para mais ou menos infinito, o que não é o caso, pois o 𝑥 está

a tender para 1.Nas aulas que foram lecionadas já se tinha dado conta deste erro e já se tinha

referido que, possivelmente, este erro surgia devido ao facto de que no estudo das sucessões se

considera que o limite de qualquer número sobre 𝑛 tende para 0.


Nesta resposta pode-se observar que o aluno A21 não interpretou corretamente o módulo,

tendo passado o número 2 a multiplicar para dentro do mesmo e posteriormente eliminado o

símbolo. Para além disso, o aluno também considera que 2

𝑥 e

1

𝑥 são ambos zero e faz um cálculo

auxiliar que não aplica na resolução.


89

Nesta figura pode-se observar um erro relativo aos cálculos numéricos, onde o aluno A19

coloca um sinal de mais onde deveria ser um sinal de vezes. Nesta resolução também se pode

observar outro erro cometido pelo aluno, quando ele considera que o resultado de 2

0 é 2. Este

último erro também já tinha sido referido no subcapítulo referente à implementação da intervenção

pedagógica.

Ainda relacionado com as respostas incorretas, houve 3 alunos que só determinaram o tipo

de indeterminação presente no limite, não conseguindo usar uma técnica que lhes permitisse

levantar a indeterminação. Por último, houve 1 aluno que referiu que o resultado de 4

0 era uma

indeterminação (Figura 94).


Através desta figura é possível observar que o aluno A23 chega ao resultado 4

0 devido a

erros de cálculo numérico e considera que esse resultado é uma indeterminação. Este erro já tinha

sido referido no trabalho de Maurice (2005), que defende que este erro surge de os alunos

pensarem que a divisão por zero é impossível e daí considerarem que é uma indeterminação.

Na tabela seguinte apresentam-se as frequências absolutas dos registos utilizados pelos

alunos, por cada tipo de resposta, na questão 4.

Tabela 15— Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 4



Questão 4 4 5 0 1 7 0 3 12 0 Nota: RG — registo gráfico; RS — registo simbólico; RLN — registo de língua natural.

Na Tabela 15 pode-se observar que foram usados os registos gráfico e simbólico, sendo

que o registo simbólico, tal como nas outras questões, foi o mais usado. Nesta tabela também se

pode constatar que a percentagem de utilização do registo gráfico nas respostas corretas, 80%,

foi mais alta que nas respostas parcialmente corretas e nas respostas incorretas, respetivamente

14% e 25%.

90

Nesta questão já se previa que o registo simbólico fosse o registo mais utilizado, uma vez

que esta questão o exigia. Já em termos do registo gráfico, só 8 alunos é que visualizaram o gráfico

e, destes, apenas 4 responderam corretamente.

O objetivo desta questão era verificar se os alunos conseguiam fazer o tratamento dos dados

no registo simbólico, e pelos resultados anteriormente analisados, conclui-se que os alunos não

atingiram esse objetivo.

4.3.5. Questão 5

Calcula, analiticamente, o valor de lim𝑥→1

𝑥3−𝑥2+4𝑥−4

3𝑥2−9𝑥+6.

As frequências absolutas dos tipos de resposta dos alunos à questão 5 apresentam-se na

Tabela 16.


Tipo de resposta Não

responde Correta Parcialmente

correta Incorreta

Questão 5 7 9 10 0

Todos os alunos responderam à questão 5, ainda que a maioria não tenha respondido

corretamente.

Comparativamente com a questão 4, os alunos também revelaram muitas dificuldades e

erros, alguns dos quais já referidos na questão 4, como por exemplo, considerar que a razão 1/𝑥

tende para zero (5 alunos, Figura 95) e cometer erros de cálculo na determinação do limite (2

alunos, Figura 96).


91


Continuando a análise da questão 5, houve 2 alunos que não colocaram o coeficiente do

termo de maior grau a multiplicar pelos fatores do polinómio do denominador (Figura 97), 2 alunos

que colocaram o coeficiente de termo de maior grau quando não deviam (Figura 98) e 3 alunos

que efetuaram incorretamente a factorização do polinómio 𝑥2 + 4 (Figura 99).


Nesta resposta o aluno A5 não colocou o coeficiente do termo de maior grau do polinómio

do denominador a multiplicar pelos restantes fatores, o que o levou a resultados falsos. No entanto,

este erro foi o único erro do aluno, o que leva a concluir que o aluno sabia as técnicas de

levantamento de indeterminação do tipo 0

0.


92

O aluno A10 utilizou a regra de Ruffini para fatorizar os polinómios e quando se utiliza esta

regra não se multiplicam os fatores obtidos pelo coeficiente do termo de maior grau, o que não foi

tido em conta pelo aluno, levando-o assim a conclusões incorretas.


Na Figura 99 pode-se observar que raciocínio do aluno A19 está correto em relação às

técnicas de levantamento de indeterminação, mas não chegou à resposta correta devido a um

erro de factorização, pois substituiu a expressão 𝑥2 + 4 pela expressão (𝑥 + 2)(𝑥 − 2).

Na Tabela 17 apresentam-se as frequências absolutas dos registos utilizados pelos alunos

na questão 5.

Tabela 17— Frequências dos tipos de registo usados pelos alunos na questão 5



Questão 5 0 7 0 0 9 0 0 10 0 Nota: RG — registo gráfico; RS — registo simbólico; RLN — registo em língua natural.

Nas suas respostas, os alunos só utilizaram o registo simbólico, o que já era esperado tendo

em conta o enunciado da questão. Nesta questão, apesar de só se ter 7 respostas corretas, o

desempenho dos alunos melhorou, uma vez que muitos dos alunos com respostas parcialmente

correta erraram em aspetos que não estavam diretamente ligados com o conceito de limite.

93

CAPÍTULO V

CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES E RECOMENDAÇÕES

Neste capítulo começa-se por apresentar no primeiro subcapítulo uma breve síntese do

estudo, seguindo-se os principais resultados obtidos nesta investigação, os quais se organizam no

subcapítulo conclusões. Finalmente, nos dois últimos subcapítulos, apresentam-se algumas

implicações e recomendações e limitações do estudo realizado.

5.1. Síntese do estudo

Neste relatório foram estudados os erros e dificuldades que os alunos revelaram na

aprendizagem do conceito de limite de uma função segundo Heine, bem como os tipos de registos

de representação semiótica que os alunos usaram na aprendizagem do conceito de limite segundo

Heine. Para tal, este estudo foi operacionalizado nas três seguintes questões de investigação:

1. Quais os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciam na aprendizagem do

conceito de limite segundo Heine?

2. Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural) são

usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que transformações de

registos são efetuadas?

3. Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua natural)

facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?

Com o intuito de responder a estas questões de investigação, começou-se por aplicar uma

ficha de avaliação diagnóstica à turma, que foi caracterizada no capítulo III. Neste teste diagnóstico

foram propostas tarefas que abordassem os três registos de representação semiótica em questão

(gráfico, simbólico ou língua natural) e que exigissem que os alunos também respondessem

nesses três registos. A análise desta ficha foi fundamental para antecipar algumas dificuldades e

verificar quais os registos mais usados pelos alunos.

Na intervenção pedagógica adotou-se a estratégia de ensino-aprendizagem exploratório,

permitindo que os alunos explorassem e resolvessem as tarefas em pequenos grupos. Estas

tarefas foram desenvolvidas de modo a serem usados os três registos de representação semiótica.

Em termos dos dados, relativos a esta fase do estudo, foram recolhidas as resoluções dos alunos

às fichas de trabalhos aplicadas e exploradas nas aulas e, para se ter acesso às atividades e

94

interações realizadas, gravaram-se também as aulas em vídeo e em áudio, para melhor

caracterizar o processo pedagógico.

Depois de concluída a intervenção pedagógica, foi aplicada uma ficha de avaliação por

partes, cujas questões foram elaboradas de modo a responder às questões de investigação

propostas.

Assim, em síntese, analisaram-se dados dos alunos obtidos através do teste diagnóstico, da

ficha de avaliação por partes, das resoluções dos alunos às fichas de trabalhos aplicadas nas aulas

e das gravações efetuadas. Na análise dos dados dos alunos teve-se em atenção aos erros e às

dificuldades reveladas pelos alunos e aos tipos de registos de representação semiótica usados

pelos alunos na aprendizagem do conceito de limite de função segundo Heine.

5.2. Conclusões

Neste subcapítulo apresentar-se-á os principais resultados obtidos neste estudo

relativamente a cada uma das questões de investigação propostas neste estudo.

5.2.1. Quais os principais erros e dificuldades que os alunos evidenciam na

aprendizagem do conceito de limite segundo Heine?

Para se responder à primeira questão de investigação foram usados o teste de avaliação

diagnóstica, as resoluções dos alunos às tarefas propostas nas aulas da intervenção e a ficha de

avaliação por partes, cuja análise se encontra no capítulo anterior.

Tal como foi identificado em outras investigações (Moru, 2009; Prezenioslo, 2004; Tall &

Vinner, 1981), os alunos revelaram algumas dificuldades em perceber o conceito de limite de uma

função num ponto e em determinar esse limite. Essas dificuldades poderão estar relacionadas

com as conceções erróneas que os alunos têm sobre o conceito de limite de uma função num

ponto. Através da análise das respostas percebem-se algumas conceções erróneas dos alunos,

tais como, o limite de uma função num determinado ponto é igual à imagem desse mesmo ponto

da função, o limite é algo intransponível, o limite nunca pode ser atingido, o limite é sempre

atingível, o limite é um extremo da função, máximo ou mínimo. Estas conceções também foram

identificadas na investigação de Cornu (1983).

Estas dificuldades poderão ser identificadas através dos erros dos alunos, quando

consideram que o limite de uma função num ponto é igual à imagem desse ponto e que o limite

não existe porque o ponto não pertence ao domínio da função, sendo estes dois erros muito

95

comuns e sendo mais frequentes aquando da representação gráfica, onde os alunos tinham de

determinar graficamente o valor do limite da função no ponto pedido.

Uma outra dificuldade relacionada com o conceito de limite, mais propriamente com o

conceito de limite lateral, prende-se com o facto de alguns alunos considerarem que a notação,

por exemplo, “ lim𝑥→2+

𝑓(𝑥)” significa limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para valores superiores a 2,

isto é, significa que 𝑥 tende para +∞. Esta dificuldade manifestou-se em tarefas que requeriam

a determinação de limites através do gráfico de uma função.

Ainda relativamente às dificuldades dos alunos na determinação gráfica de limites, notou-

se no decorrer das aulas lecionadas que alguns alunos se sentiam confusos quando lhes era

pedido para determinarem o limite num ponto onde a função era contínua. De facto, em vez de

observarem para onde tendiam as imagens quando os objetos tendiam para esse ponto,

analisavam as imagens quando 𝑥 tendia para mais infinito. Esta confusão pode ter tido origem na

determinação de limites de sucessões, tema estudado antes, ou pelo facto de os alunos terem

resolvido poucas tarefas a exigir a determinação de limites em pontos de continuidade de uma

função.

Um outro erro muito comum, por parte dos alunos, foi considerem que o valor do limite de

uma constante real sobre 𝑥 era zero, descurando o valor para o qual 𝑥 estava a tender. Pensa-se

que este erro possa ter ocorrido pelo facto de os alunos estarem habituados nas sucessões a

considerar que o limite de qualquer número real sobre 𝑛 é zero.

Relativamente às operações com limites, em notação simbólica, os alunos também

revelaram alguns erros, tais como, considerar que o valor do limite de um número real sobre zero

seria o próprio número. Pensa-se que os alunos cometem este erro por saberem que o resultado

±∞

0= ±∞ e, portanto, consideram que a regra para determinar o valor do quociente será

considerar o valor do numerador. Um outro erro relativo às operações com limites, em notação

simbólica, é o facto de alguns alunos referirem que um número real sobre zero é uma

indeterminação. Este erro já tinha sido referido no trabalho de Maurice (2005), onde a autora

refere que os alunos consideram que o resultado desse quociente é uma indeterminação porque

pensam que a divisão de um número por zero é impossível, levando assim os alunos a

considerarem que se trata de uma indeterminação. Ou seja, os alunos consideram a

impossibilidade da divisão como significando indeterminação.

96

Ainda em relação ao quociente 𝑎

0, onde 𝑎 é um número real, alguns alunos quando

deparados com esta situação, não sentiam necessidade de determinar se se tratava de 0+ ou 0−

e referiam que o resultado desse quociente seria infinito, considerando o sinal do número do

numerador.

No que diz respeito ao levamento de indeterminações, os alunos mostraram dificuldades

nas estratégias de levantamento de indeterminações, que se manifestaram em erros relativos aos

processos utilizados pelos alunos no levantamento de indeterminações, tal como foram

identificados em outras investigações (Domingos, 2003; Fallas, 2016; Juter, 2007; Tall,1992)

Para tal, os alunos não aplicavam o processo correto ou o mais adequado para levantar a

indeterminação, para além de também cometerem erros de cálculo numérico, que se repercutiam

na determinação incorreta do limite devido a esses erros de cálculo.

Relativamente ao primeiro tipo de erro, notou-se que os alunos cometiam mais esse tipo de

erros quando o 𝑥 tendia para um número real, ou seja, era mais frequente ocorrer erros relativos

ao processo utilizado para levantar a indeterminação quando o 𝑥 tendia para um número real.

Deste modo, era muito comum os alunos colocarem o termo de maior grau em evidência no

numerador e no denominador para se levantar uma indeterminação quando o 𝑥 tendia para um

número real. De facto, era através deste erro que surgia outro que já foi referido antes, em que o

resultado do limite da razão entre um número real e 𝑥 é zero.

Em relação aos erros de cálculo numérico, a maioria destes erros prende-se com a aplicação

da fórmula resolvente e da regra de Ruffini, onde os alunos se esqueciam de colocar ou colocavam

quando não deviam o coeficiente do termo de maior grau a multiplicar pelos fatores do polinómio,

e com o desdobramento do módulo. Estes erros, que se referiam a conteúdos anteriores que não

estavam bem compreendidos, limitaram a aprendizagem das técnicas de levantamento de

indeterminações.

5.2.2. Que registos de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua

natural) são usados na exploração do conceito de limite segundo Heine? E que

transformações de registos são efetuadas?

Para a responder a esta questão de investigação, considerou-se a análise das respostas dos

alunos relativamente à ficha de avaliação por partes.

Como não foi possível ter acesso a todas as resoluções das fichas de trabalho, uma vez que

nem todos os alunos entregaram essas fichas, as conclusões relativas aos tipos de registos

97

utilizados pelos alunos nas aulas lecionadas não são quantificadas, comparando-se apenas os

registos quanto ao nível de sucesso dos alunos no uso de cada registo, ao convertê-lo para outro

tipo de registo (conversão) e ao trabalhar dentro do mesmo registo (tratamento).

Durante as aulas lecionadas foi notório que os alunos utilizavam com maior sucesso o

registo simbólico, comparativamente com os registos gráfico e em língua natural. Em

contrapartida, quando era pedido, numa tarefa, para determinar limites através do gráfico de uma

função o desempenho dos alunos era melhor que do que numa tarefa onde fosse pedido o inverso,

isto é, onde fossem dados os limites e os alunos tivessem de esboçar o gráfico da função. Deste

modo, nas aulas lecionadas, os alunos foram mais sucedidos na conversão do registo gráfico para

o registo simbólico do que na conversão do registo simbólico para o registo gráfico. Na conversão

do registo em língua natural para o registo gráfico os alunos revelaram algumas dificuldades, sendo

que o seu desempenho foi mais baixo que o desempenho das conversões do registo gráfico para

o registo simbólico. Já nas conversões do registo em língua natural para o registo simbólico os

alunos tiveram mais sucesso do que nas conversões do registo gráfico para o registo simbólico.

Relativamente à ficha de avaliação por partes, 98% das respostas corretas continham pelo

menos o registo simbólico, 37% continham pelos menos o registo em língua natural e 8%

continham pelo menos o registo gráfico. Deste modo, conclui-se que o registo de representação

semiótica mais utilizado nas respostas corretas foi o registo simbólico, seguido dos registos em

língua natural e gráfico.

Já nas respostas parcialmente corretas, 67% apresentavam pelo menos o registo

simbólico, 34% apresentavam pelo menos o registo gráfico e 34% apresentavam pelo menos o

registo em língua natural. Tal como nas respostas corretas, ainda que a sua percentagem seja

relativamente mais baixa, o registo simbólico foi o predominante. O registo em língua natural e o

registo gráfico tiveram a mesma percentagem de utilização, sendo que a percentagem da utilização

do registo em língua natural diminuiu relativamente às respostas corretas, ao contrário da

utilização do registo gráfico, que aumentou comparativamente com as respostas corretas.

Por fim, nas repostas incorretas, 92% possuíam pelo menos o registo simbólico, 56%

possuíam pelo menos o registo em língua natural e 8% possuiam o registo gráfico. O registo

simbólico é, novamente, o registo com maior percentagem de utilização, sendo seguido dos

registos em língua natural e gráfico.

Relativamente aos resultados referidos acima, é notório que o registo mais utilizado pelos

alunos, em todos os tipos de resposta, é o registo simbólico, sendo que foi utilizado em 88% das

98

respostas. Este resultado vem apoiar as investigações de Tall (2004), onde o autor refere que os

alunos revelam nas suas respostas uma forte tendência para o registo simbólico.

O registo em língua natural, utilizado em 46% de todas respostas, foi também um registo

muito escolhido pelos alunos. Contudo, este último resultado não vai de encontro ao que o autor

Godoy (2004) referiu no seu trabalho, pois este conclui que o registo mais utilizado pelos alunos

era o registo em língua natural e, neste estudo, a utilização do registo simbólico foi mais elevada.

Embora o registo gráfico tenha tido a mesma percentagem de utilização do que o registo

em língua natural nas respostas parcialmente corretas, a nível global este registo foi o menos

usado, tendo sido usado em 15% das respostas totais. Duval (2006) já tinha referido na sua

investigação que o registo gráfico é o registo de representação semiótica onde os alunos revelavam

mais dificuldades. Na mesma linha de pensamento, Godoy (2004) indica que o registo gráfico

também é o registo que causa mais dificuldades aos alunos, seja este o registo de partida ou de

chegada.

Estas dificuldades relacionadas com o registo gráfico podem ter surgido em virtude do seu

uso pouco frequente nas aulas. Embora nas aulas que foram lecionadas se tivesse a preocupação

de utilizar todos os registos de representação de forma a que os alunos aprendessem o conceito

de limite de uma função, este método só foi usado por duas semanas, o que é muito pouco tempo

para os alunos desenvolverem os três registos de representação semiótica.

Em relação às transformações utilizadas pelos alunos na ficha de avaliação por partes,

analisou-se a percentagem de respostas corretas, parcialmente corretas e incorretas no tratamento

simbólico-simbólico e nas conversões gráfico-simbólico, gráfico-língua natural, língua natural-

gráfico, uma vez que não se obtiveram todos os tipos de tratamento nem de conversão. Deste

modo, no tratamento simbólico-simbólico houve 55% de respostas corretas e parcialmente

corretas, pelo que se conclui que mais de metade dos alunos conseguiu efetuar o tratamento.

Analisando as transformações entre dois registos diferentes, na conversão gráfico-simbólico 57%

das respostas são incorretas, na conversão gráfico-língua natural 67% das respostas são

incorretas e na conversão língua natural-gráfico, 24% das respostas são incorretas, não havendo

nesta conversão respostas corretas. Assim, nos tratamentos a percentagem de respostas corretas

e parcialmente corretas é de 55% e nas conversões é de 42%.

Estes resultados vão ao encontro à investigação de Duval (2006), onde refere que a maioria

dos alunos tem um melhor desempenho nas transformações dentro do mesmo registo, tal como

se verifica nos resultados referidos acima, sendo que a transformação com maior sucesso foi o

99

tratamento simbólico-simbólico. Para além disso, vários autores (Duval, 2006; Grande, 2006;

Melo, 2007) afirmam que os professores priorizam um sentido nas conversões pois acreditam que

os alunos também conseguirão fazer conversões no sentido inverso quando praticam só num

sentido. Deste modo, Duval defende que o grau de dificuldade ao converter num sentido não é o

mesmo que converter no sentido inverso. De facto, nos resultados acima pode-se ver que o

desempenho dos alunos nas conversões gráfico-língua natural e língua-natural-gráfico não é o

mesmo, sendo que na primeira o desempenho é muito fraco e na segunda o desempenho já é

razoável.

5.2.3. Que tipo de registo de representação semiótica (gráfico, simbólico ou língua

natural) facilita a aquisição, pelos alunos, do conceito de limite segundo Heine?

As aulas lecionadas basearam-se na teoria de registos de representação semiótica de

Raymond Duval, tendo sido desenvolvidos os registos gráfico, simbólico e em língua natural.

Em geral, o desempenho dos alunos foi melhor aquando da utilização do registo simbólico.

Assim, tendo em conta os resultados referidos acima, conclui-se que os alunos têm mais facilidade

em trabalhar dentro do registo simbólico, uma vez que os seus níveis de desempenho foram

melhores do que nas conversões. Esta facilidade, provavelmente, deve-se ao facto de os

professores utilizarem o registo simbólico frequentemente nas aulas, desenvolvendo mais este

registo do que os outros. Assim, pensa-se que o registo simbólico não é o mais fácil de aprender,

sendo que os alunos têm mais sucesso na sua utilização devido ao tempo investido nesse registo.

De facto, Bezuidenhout (2001) ressalta que o facto de os alunos só se interessarem pela parte

algébrica do limite, faz com que tenham uma fraca compreensão deste conceito.

Embora o registo simbólico tenha sido o registo onde os alunos revelaram menos

dificuldades, os alunos revelaram pouco rigor na escrita dos símbolos matemáticos. Cockcroft

(1982), citado por Gray e Tall (1994), refere que os símbolos matemáticos poderão ser a força da

comunicação matemática, mas também a sua fraqueza, defendendo que estes tanto poderão ser

uma fonte de sucesso como de dificuldade.

O registo gráfico foi o registo onde os alunos revelaram mais dificuldades, tal como foi

referido por Duval (2003). Contudo, estas dificuldades poderão estar relacionadas com facto de

os alunos não estarem habituados a trabalharem com o registo gráfico. Tal como se tem

identificado em outras investigações (Silveira, 2008; Grande, 2006), a diferença de desempenho

entre a utilização do registo gráfico e do registo simbólico poderá advir do tipo de estratégia de

100

ensino usada, mais propriamente uma estratégia relacionada com o ensino expositivo, que

privilegia métodos analíticos em detrimento de métodos gráficos.

Na mesma linha de pensamento, pode-se afirmar que não há um registo de representação

semiótica que desenvolva nem facilite mais a aprendizagem do que outros, mas em contrapartida

pensa-se que desenvolver todos os registos de representação nas aulas é fundamental para

facilitar e maximizar a aprendizagem dos alunos. Para isso, é necessário que os professores

tenham em consideração todos os registos de representação semiótica e que não privilegiem um

único sentido da conversão, de modo a combater as dificuldades dos alunos com cada sentido da

conversão, tal como defende Duval (2003).

Blázquez e Ortega (2001) referem que a utilização de diferentes representações do conceito

de limite favorece a aprendizagem de duas formas distintas. Por um lado, as limitações de uma

certa representação são compensadas por outras representações e, por outro, permite que os

alunos tenham uma imagem conceitual mais sólida e que sejam capazes de escolher a

representação mais adequada para cada situação. Na mesma linha de pensamento, o [NCTM]

(2008) refere que os alunos devem relacionar as diferentes representações do mesmo objeto

matemático, sendo que, no ensino, o professor deve proporcionar situações com as diversas

representações de um objeto matemático para que ocorra uma aprendizagem significativa. E, não

menos importante do que aprender as várias representações, é saber escolhê-las e utilizá-las nas

diferentes situações (Lesh, Post & Berh, 1987). De acordo com Tall (1992), os alunos que obtêm

maior sucesso são aqueles que estão mais à-vontade para relacionar as várias representações de

um conceito e que conseguem escolher a representação mais adequada para cada situação.

Em suma, não será só um registo que fará a diferença na aprendizagem do conceito

matemático, mas, antes, é a mobilização dos vários registos que permite ao aluno conhecer o

objeto matemático através das suas diferentes representações. É também importante, segundo

Duval (2006), que o aluno não confunda as representações com o próprio objeto e que perceba

que as várias representações fornecem diferentes informações acerca de um mesmo objeto, o

que permite aprofundar a sua compreensão.

5.3. Implicações e Recomendações

Após a análise do desempenho dos alunos pode-se concluir que as dificuldades por eles

reveladas também advêm de os professores privilegiarem nas suas aulas apenas alguns registos

de representação semiótica, sendo o mais privilegiado o registo simbólico. Melo (2007), na sua

101

investigação, verificou que os professores utilizaram vários registos de representação semiótica,

mas nas situações de conversão entre registos, alguns professores, só convertiam num sentido,

privilegiando assim um único sentido na conversão. É, portanto, fundamental que os professores

percebam a importância dos diferentes registos de representação semiótica e da sua mobilização,

sendo que se o aluno conseguir relacionar corretamente os vários registos durante a resolução de

uma tarefa, referente a um conceito dado, significa que este apreendeu em maior profundidade

esse mesmo conceito.

Tal como já foi referido antes, a variedade dos registos de representação semiótica de um

determinado conceito é muito importante (Duval, 2006), mas no ensino os professores não dão

importância suficiente a esse aspeto. Como consequência, os alunos não conhecem todas as

representações de um mesmo objeto e, por sua vez, não permite que os alunos conheçam todas

as informações acerca de um determinado objeto, uma vez que cada tipo de representação

acrescenta alguma informação acerca do mesmo.

Para preparar as suas aulas, é fundamental que o professor conheça as dificuldades dos

seus alunos acerca do conceito que pretende abordar e quais os registos que deverão ser

trabalhados de modo a proporcionar uma boa aprendizagem ao aluno. Assim, o professor na

posse dessas informações consegue planear uma estratégia de ensino adequada à aprendizagem

dos conceitos pelos seus alunos. Neste processo, é fundamental que os professores tenham

consciência da importância da avaliação diagnóstica, a qual lhes permite detetar as dificuldades e

as conceções erróneas dos alunos acerca de um determinado conceito. Para além disso, é

importante, segundo Bezuienhout (2001), que o professor construa tarefas que exijam tanto a

utilização de símbolos matemáticos como a sua interpretação.

Não menos importante, é o facto de os professores se deverem consciencializar que os

tempos mudaram, pois “Temos escolas do século XIX, com professores do século XX para alunos

do século XXI” (Almeida, 2017, n.p.). Por esse motivo, é necessário que as suas atitudes também

mudem relativamente às estratégias de ensino e à utilização de novas tecnologias. Assim,

concordando com o ensino exploratório, pensa-se que um ensino centrado no aluno e na resolução

de tarefas exploratórias, que envolvam os vários registos de representação semiótica, poderá

aumentar a motivação dos alunos e, em consequência, melhorar o desempenho dos alunos na

disciplina de Matemática. Para isso, é fundamental que os professores reconheçam que esta

mudança é necessária e que consigam vencer suas as inseguranças.

102

O professor também não deve descurar o uso das novas tecnologias, pois estas, para além

de motivar os alunos para a disciplina de Matemática, também facilitam a aprendizagem e

permitem que o registo gráfico seja mais explorado. Vários autores (Cornu, 1994; Fernandes &

Vaz, 1998; Jordaan, 2005) referem que as tecnologias poderão trazer vantagens aquando a

aprendizagem do conceito de limite. Como já foi referido anteriormente, segundo Dullius e

Haetinger (2005), embora as novas tecnologias tragam muitas vantagens para a exploração de

conceitos, há professores que ainda as continuam a rejeitar. Deste modo, é também importante

que os professores vejam as novas tecnologias como um auxílio e não como uma ameaça de

distração dos alunos. Fernandes e Vaz (1998) justificam o uso da tecnologia nas aulas de

Matemática na medida em que tem potencial para desenvolver uma aprendizagem mais profunda

e significativa, favorecer uma abordagem indutiva ou experimental da matemática e desenvolver

as aplicações. No caso da aprendizagem mais profunda e significativa, defende-se que tal “pode

resultar de muitas abordagens de uma mesma situação e/ou do recurso a diferentes formas de

representação matemática” (Fernandes & Vaz, 1998, p. 45). É claro que o uso das tecnologias

deve ser explicado e controlado, de modo a que os alunos percebam como as podem usar, dentro

da sala de aula, para explorarem determinadas situações.

No que diz respeito às recomendações, sugere-se um estudo acerca das conceções dos

alunos acerca do conceito de limite de uma função antes e depois de uma abordagem baseada

na exploração dos diferentes registos de representação semiótica e uma análise aos atuais

manuais escolares de modo a perceber se estes englobam todos os registos de representação

utilizados e quais os mais frequentes, assim como se apresentam tarefas focadas nos erros e

dificuldades dos alunos que têm sido investigadas.

5.4. Limitações

A principal limitação à execução deste projeto foi o tempo das aulas, uma vez que, ao todo,

se tiveram seis aulas de noventa minutos e duas de quarenta e cinco minutos. Pensa-se que este

tempo foi muito curto tendo em conta a exploração de um tema que envolvia conceitos complexos

e a abordagem que se pretendia aplicar.

Uma outra limitação deste projeto deveu-se também à falta de bases dos alunos em relação

a outros conceitos que eram propedêuticos à compreensão do tema em questão. Especificamente,

o conceito de limite de uma sucessão assume-se como um conteúdo muito importante, tendo os

alunos revelado muitas dificuldades na sua aprendizagem.

103

Um outro fator que condicionou este projeto prende-se com o facto de os alunos não

estarem habituados a trabalhar com o registo gráfico. Na intervenção pedagógica o registo gráfico

foi desenvolvido durante as duas semanas de lecionação, o que é muito pouco para que os alunos

saibam utilizar corretamente esse registo.

Talvez, se o tempo de lecionação fosse mais longo, fosse possível explorar todos os registos

e as dificuldades dos alunos de modo a se obterem melhores resultados.

105

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109

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Tall, D. (2004). Introducing three worlds of mathematics. For the Learning of Mathematics, 23(3),

29–33.

111

ANEXOS

113

ANEXO 1

Exmo. Senhor Diretor do

Agrupamento de Escolas de Barcelos

Eu, Ana Sofia Fernandes Lomar, professora estagiária de Matemática da Escola Secundária de

Barcelos, encontro-me na fase de preparação do meu projeto de intervenção pedagógica supervisionada,

no âmbito de Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário,

da Universidade do Minho.

O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação

Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que

decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e

contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar

uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações audiovisuais de algumas aulas de Matemática.

Estas gravações servirão apenas como objeto de estudo para um projeto no âmbito do estágio

profissional, e não serão usadas para nada além disso mesmo. Salvaguardo ainda que a identidade de

qualquer aluno será sempre preservada, nunca referindo nomes nem qualquer tipo de identificação no

trabalho que será efetuado.

De forma a viabilizar este estudo, solicitamos a V. Exa. autorização para realizar as gravações nas

aulas de Matemática na turma F do 11º ano. Comprometo-me igualmente a solicitar autorização aos

Encarregados de Educação.

Desde já agradeço a sua atenção.

Com os melhores cumprimentos,

Barcelos, 27 de Fevereiro de 2018.

A professora estagiária de Matemática

_________________________________

(Ana Sofia Fernandes Lomar)

Autorização

Barcelos, ____ de Fevereiro de 2018.

O Diretor do AEB

____________________________________

(Jorge Manuel Fernandes Vaz Saleiro)

115

ANEXO 2

Exmo(a) Senhor(a)

Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)

_________________________________

n.º _____ da turma F do 11.º ano.

Eu, Ana Sofia Fernandes Lomar, professora estagiária de Matemática da Escola Secundária de

Barcelos, encontro-me na fase de preparação do meu projeto de intervenção pedagógica supervisionada,

no âmbito de Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário,

da Universidade do Minho.

O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em Educação

Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de ação, que

decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência e

contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar

uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações audiovisuais de algumas aulas de Matemática.

Para tal, depois de obtida a necessária autorização do Diretor do Agrupamento de Escolas de Barcelos,

venho também solicitar-lhe que autorize o seu educando a participar nessa recolha de dados.

Pela minha parte, enquanto única pessoa com acesso aos dados, comprometo-me a utilizar os

dados recolhidos apenas para os propósitos do estudo e garantir sempre a confidencialidade dos alunos.

De forma a viabilizar este projeto, solicito autorização a V. Ex.a para efetuar as gravações audiovisuais

das minhas aulas.

Desde já, agradeço a sua colaboração.

Barcelos, _____ de Fevereiro de 2018.

A professora estagiária de Matemática

_________________________________________

(Ana Sofia Fernandes Lomar)

Autorização

Barcelos, __ de Fevereiro de 2018.

Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação

________________________________________

117

ANEXO 3

Nome:__________________________________________________________________________

1. Sabe-se que o limite da sucessão (𝑢𝑛) é 10, isto é, que lim

𝑢𝑛 = 10.

a) Explica por palavras o que significa o limite da sucessão (𝑢𝑛) ser 10.

b) Desenha um possível esboço gráfico para a sucessão (𝑢𝑛).

2. Observa com atenção a seguinte figura.

a) Observando o gráfico acima, explica por palavras o que acontece à sucessão quando a

ordem dos seus termos, 𝑛, aumenta indefinidamente.

b) Exprime a conclusão que obtiveste na alínea anterior em linguagem matemática.

3. Considera a sucessão (𝑎𝑛) definida por 𝑎𝑛 =1

𝑛 e a função 𝑓, real de variável real, definida

por 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2.

Partindo dos valores de 𝑛 indicados na tabela abaixo, completa-a determinando os correspondentes valores de 𝑎𝑛 e 𝑓(𝑎𝑛).

𝒏 𝒂𝒏 𝒇(𝒂𝒏) 1

2

3

4

5

… … …

TESTE DIGNÓSTICO

11º ANO 2/3/2018

118

a) O que acontece à sucessão (𝑎𝑛) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

b) O que acontece à sucessão 𝑓(𝑎𝑛) quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

10

… … …

100

… … …

1000

… … …

1000000

119

ANEXO 4

Considera a função real de variável real 𝑓 definida em ℝ por 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 e as

sucessões definidas por 𝑎𝑛 = 1 +1

𝑛, 𝑏𝑛 = 1 −

1

𝑛 e 𝑐𝑛 = 1 +

1

𝑛2.

Partindo dos valores de 𝑛 indicados, completa as tabelas abaixo.

c) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛 quando 𝑛 aumenta

indefinidamente?

d) O que acontece às sucessões de termos gerais 𝑓(𝑎𝑛), 𝑓(𝑏𝑛) e 𝑓(𝑐𝑛), imagens das sucessões de

termos gerais 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛, quando 𝑛 aumenta indefinidamente?

𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛

1

2

⋮

10

⋮

100

⋮

1 000

⋮

10 000

𝑛 𝑓(𝑎𝑛) 𝑓(𝑏𝑛) 𝑓(𝑐𝑛)

1

2

⋮

10

⋮

100

⋮

1 000

⋮

10 000

FICHA DE EXPLORAÇÃO Nº 1

LIMITE DE UMA FUNÇÃO SEGUNDO HEINE

121

ANEXO 5

1. Lê com atenção o seguinte teorema e observa o seguinte exemplo.

Exemplo

Como lim

𝑥→1−𝑓(𝑥) = 0 ≠ lim

𝑥→1+𝑓(𝑥) = 1, então

não existe lim𝑥→1

𝑓(𝑥).

Como lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 1, então

existe lim𝑥→1


𝑓(𝑥) = 1

2. Depois de explorares o teorema e o exemplo com os teus colegas, resolve o exercício 1.

Exercício 1. Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑓 de domínio

ℝ\{−2, −1}.

Indica, caso exista, o lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) e lim𝑥→−1

𝑓(𝑥).

FICHA DE EXPLORAÇÃO Nº 2

LIMITE LATERAIS

Teorema

Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 aderente ao respetivo domínio, 𝐷𝑓, e 𝑎 ∉

𝐷𝑓 se os limites lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) existirem e forem iguais, então existe o limite lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) e,

nesse caso, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥).

122

3. Lê com atenção o seguinte teorema e observa o exemplo.

Exemplo

Exercício 2. Observa a seguinte figura, onde está representado parte do gráfico da função 𝑔.

Indica, se existir, lim𝑥→−4




𝑓(𝑥).

Como lim

𝑥→2−𝑓(𝑥) = 1 ≠ lim

𝑥→2+𝑓(𝑥) = 2, então


𝑓(𝑥).

Como lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 1 ≠ lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 1,5, então


𝑓(𝑥).

Como lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 1,5 ≠ lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 2,

então não existe lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

Como lim

𝑥→2−𝑓(𝑥) = lim

𝑥→2+𝑓(𝑥) = 1 ≠ 𝑓(2) = 1,5, então não existe

lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

Como lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 2, então existe lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

Teorema

Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, se os limites lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) e

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) existirem e forem ambos iguais a 𝑓(𝑎), então existe o limite lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) e, nesse caso,

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥).

123

ANEXO 6

1. De uma certa função sabe-se que lim

𝑓(𝑥𝑛) = 3, para qualquer sucessão (𝑥𝑛) convergente

para 2. Indica, justificando, o valor de lim𝑥→2

𝑓(𝑥).

2. Considera a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 2 +1

𝑛 e a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Indica, justificando, o valor de:

a) lim

𝑓(𝑢𝑛)

b) lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

3. Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑓.

Calcula:

a. lim𝑥→−4−

𝑓(𝑥) =

b. lim𝑥→−4+

𝑓(𝑥) =

c. lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) =

d. lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = e. lim𝑥→4−

𝑓(𝑥) =

f. lim𝑥→4+

𝑓(𝑥) =

4. Considera a função real de variável real 𝑔 definida por:

𝑔(𝑥) = {𝑥2 − 2 𝑠𝑒 𝑥 < 37 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3

Recorrendo à definição de limite segundo Heine, calcula lim𝑥→3−

𝑔(𝑥).

FICHA DE TRABALHO Nº 1

LIMITE DE UMA FUNÇÃO SEGUNDO HEINE

124

5. Na figura está representado parte do gráfico de uma função 𝑔, de domínio ℝ.

Sabendo que (𝑥𝑛) é uma sucessão tal que lim

𝑔(𝑥𝑛) = +∞, indica, justificando, um

possível termo geral da sucessão (𝑥𝑛).

6. Seja 𝑓 uma função real de variável real.

Sabe-se que:

• O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 por valores superiores a 1 é 3;

• O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 por valores inferiores a 1 é +∞;

• Para qualquer sucessão que converge para 6, as imagens da sucessão convergem para 0.

Desenha um possível gráfico para a função 𝑓.

125

ANEXO 7

1. Na figura está representado parte do gráfico de uma função ℎ cujo domínio é ℝ\{−3}.

Considera a sucessão de termo geral 𝑥𝑛 = −3 +1

𝑛. O que podes concluir acerca de

lim

ℎ(𝑥𝑛) ?

2. De uma função 𝑓 cujo domínio é ℝ\{1}, sabe-se que:

• o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 1 não existe;

• lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 5.

Desenha um possível esboço do gráfico da função 𝑓.

3. Seja 𝑓 uma função real de variável real definida por 𝑓(𝑥) = {3 −

25

𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < −5

1 +5

𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > −5

e

sejam (𝑢𝑛) e (𝑣𝑛) duas sucessões definidas por 𝑢𝑛 = −5 +1

𝑛−1 e 𝑣𝑛 = −5 −

1

𝑛2.

a) Calcula o valor de lim

𝑓(𝑢𝑛) e de lim

𝑓(𝑣𝑛).

b) O que podes concluir acerca de lim𝑥→−5

𝑓(𝑥)?

c) Recorrendo à definição de limite segundo Heine, calcula lim𝑥→0

𝑓(𝑥).


LIMITE LATERAIS

127

ANEXO 8

1. Na figura está representada parte dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔.

O gráfico de 𝑓 interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 3. Indica, justificando,

o valor de lim𝑥→3−

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥).

2. De uma certa função sabe-se que lim𝑥→−∞

1

𝑔(𝑥)= +∞. Desenha um possível gráfico da

função 𝑔.

3. De uma função real de variável real ℎ sabe-se que tem contradomínio [−2,3]. Na

figura seguinte está representado o gráfico da função 𝑔.

a) Determina lim𝑥→−2

𝑔(2𝑥 + 1).

b) Indica, justificando, lim𝑥→+∞

(𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)).


OPERAÇÕES COM LIMITES

129

ANEXO 9

1. Indica, justificando, o valor de:

a) lim𝑥→2

𝑥2−5𝑥+6

(𝑥−2)3 b) lim𝑥→−∞

1

𝑥2−21

𝑥3−2𝑥

c) lim𝑥→3

3−𝑥

3𝑥2−15𝑥+18 d) lim

𝑥→1

𝑥3−8𝑥2+19𝑥−12

𝑥2−1

e) lim𝑥→2−

|𝑥−2|

𝑥−2 f) lim

𝑥→9

√𝑥−3

𝑥−9 g) lim

𝑥→3

𝑥3−3𝑥2−𝑥+3

4𝑥2−20𝑥+24 h) lim

𝑥→2

𝑥3−8

𝑥2−2𝑥

i) lim𝑥→0

√𝑥+4−2

𝑥 j) lim

𝑥→+∞

2

𝑥−33

−𝑥2+9

k) lim𝑥→5−

|𝑥−5|

𝑥2−25 l) lim

𝑥→3

𝑥2−9

3−√2𝑥+3


a) lim𝑥→+∞

−2𝑥2+5𝑥

𝑥2+1 b) lim

𝑥→√2

1

𝑥2−21

𝑥3−2𝑥

c) lim𝑥→−1

4

𝑥2−11

𝑥3+1

d) lim𝑥→+∞

|2𝑥+1|

3𝑥−1

e) lim𝑥→−∞

|4𝑥−9|

𝑥+1 f) lim

𝑥→−∞

|𝑥2−1|

𝑥+1 g) lim

𝑥→−∞

|9−𝑥2|

3𝑥2−9 h) lim

𝑥→3

2

2𝑥−63

−𝑥2+9

i) lim𝑥→+∞

√𝑥−2

𝑥+1 j) lim

𝑥→−∞

√𝑥2−𝑥

𝑥 k) lim

𝑥→−∞

2𝑥−1

√𝑥2+1 l) lim

𝑥→+∞

3𝑥+ √𝑥3

√𝑥3


a) lim𝑥→−∞

(𝑥3 + 𝑥2) b) lim𝑥→+∞

(𝑥4 − 2𝑥2 + 1) c) lim𝑥→−∞

(𝑥3 + 5𝑥2 − 41) d) lim𝑥→0−

(1

𝑥2 −1

𝑥)

e) lim𝑥→−1−

(1

𝑥+1−

1

𝑥2−1) f) lim

𝑥→+∞(√𝑥2 − 1 − 𝑥) g) lim

𝑥→−∞(√𝑥2 − 𝑥 + 8 − √𝑥2 − 𝑥 − 1 )

h) lim𝑥→+∞

√𝑥 + 5 − √𝑥 i) lim𝑥→+∞

√𝑥2 + 1 − 𝑥 − 3 j) lim𝑥→3+

(1

𝑥2−9−

1

𝑥−3) k) lim

𝑥→+∞(𝑥 − √𝑥)

l) lim𝑥→3+

(𝑥

𝑥2−3𝑥+2−

𝑥

𝑥−1) m) lim

𝑥→1+(

1

1−𝑥−

1

1−𝑥2) n) lim𝑥→1

(1

4𝑥3−12𝑥+8−

2

𝑥2−4𝑥+3)

Indeterminações do tipo 0

0

Indeterminações do tipo ∞

∞


LEVANTAMENTO DE INDETERMINAÇÕES

Indeterminações do tipo ∞ − ∞

130


a) lim𝑥→0

(1

𝑥× 2𝑥2) b) lim

𝑥→1

4

[(16𝑥2 − 1) ×𝑥2−1

4𝑥−1] c) lim

𝑥→1

2

[(2𝑥 − 1) ×𝑥+1

4𝑥2−2𝑥]

d) lim𝑥→0

(4𝑥 ×𝑥+2

𝑥2−𝑥) e) lim

𝑥→+∞[(2𝑥 − 1) ×

1

4𝑥2−2𝑥] f) lim

𝑥→−∞(√16𝑥2 + 25 ×

1

2𝑥+7)

g) lim𝑥→+∞

(|𝑥2 − 9| ×1

𝑥2−6𝑥+9) h) lim

𝑥→+∞[(𝑥2 − 3) ×

4

𝑥2+𝑥3] i) lim𝑥→1

[(𝑥3 − 1) ×4

4𝑥2−12𝑥+8]

j) lim𝑥→−∞

[|𝑥 − 1| ×4

9−𝑥2] k) lim𝑥→1

[1

√𝑥2−1× (1 − 𝑥2)] l) lim

𝑥→0+(

1

√𝑥−𝑥× 𝑥)

Indeterminações do tipo 0 × ∞

131

ANEXO 10

Nome:__________________________________________________________________________

1. Na figura seguinte está representado parte do gráfico da função 𝑔.

1.1. Sabe-se que 𝑢𝑛 = −1 −1

𝑛. O que podes concluir acerca do valor de lim

𝑔(𝑢𝑛) ?

1.2. Seja (𝑣𝑛) uma sucessão tal que lim

𝑔(𝑣𝑛) = 2. Apresenta um possível termo geral para a

sucessão (𝑣𝑛)? Explica o teu raciocínio.

2. De uma certa função ℎ, de domínio ℝ0+, sabe-se que:

• o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para +∞ é 0;

• não existe o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para 6;

• o limite de ℎ(𝑥) quando 𝑥 tende para 2 por valores inferiores a 2 é 5.

Desenha, num referencial, um possível gráfico da função ℎ.

FICHA DE AVALIAÇÃO POR PARTES

11º 20/3/2018

132

3. Observa o seguinte gráfico da função 𝑓 de domínio ℝ\{−3,0}.

Calcula, justificando e caso exista, o valor de:

a) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

b) lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

c) lim𝑥→−3

𝑓(𝑥)

𝑥

d) lim𝑥→+∞

√𝑓(𝑥)3

4. Calcula, analiticamente, o lim𝑥→1

2|𝑥−1|

𝑥−1. Nesta questão, a calculadora só pode ser utilizada

para eventuais cálculos numéricos e exploração gráfica da situação.

5. Calcula, analiticamente, o valor de lim𝑥→1

𝑥3−𝑥2+4𝑥−4

3𝑥2−9𝑥+6.

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