Analisando estratégias de resolução de problemas em uma ... · problemas em uma prova de Olimpíada Matemática . Maria Madalena Dullius Virginia Furlanetto Marli Teresinha Quartieri

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia

07 a 09 de outubro de 2010 ISSN 2178-6135

Artigo número: 36

Analisando estratégias de resolução de problemas em uma prova de Olimpíada

Matemática

Maria Madalena Dullius

Virginia Furlanetto

Marli Teresinha Quartieri

Claus Haetinger

Resumo

O presente artigo é resultado de uma pesquisa desenvolvida no Centro Universitário UNIVATES, Lajeado/RS. Esta surgiu tendo em vista a importância do trabalho com resolução de problemas nas aulas de Matemática, considerando que estes contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e da capacidade de enfrentar situações reais. Foi problematizada a utilização de diferentes estratégias de resolução de problemas e feita uma análise das respostas das provas do Ensino Médio da Olimpíada Matemática realizada na referida Instituição, onde buscou-se categorizar as respostas apresentadas pelos estudantes e discutir a escolha por uma ou outra possibilidade. Como resultado podemos destacar que a estratégia mais utilizada pelos alunos foi o cálculo.

Palavras-chave: estratégias, resolução de problemas, olimpíada

matemática.

Abstract

Analyzing strategies to solve problems of the test of the Mathematics Olympiad

This article is the result of research developed at the University UNIVATES, Lajeado / RS. This research emerged in view of the importance of working with problem solving in mathematics lessons, considering that they contribute to the development of reasoning and ability to cope with real situations. It





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problematized the use of different strategies to solve problems and analyzed the responses of the test of high school of the Mathematics Olympiad held in that institution, where we attempted to categorize the responses by students and discuss the choice of either possibility. As a result we can highlight that the strategie most used by the students is the calculation.

Keywords: strategies, problem solving, math olympiad.





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Introdução

A Matemática é uma disciplina que, geralmente é considerada difícil pelos estudantes do

Currículo da Escola Básica, sendo esta uma das recorrentes preocupações dos professores, no que

diz respeito ao desempenho escolar. Para Silva (2008, p. 23), o enunciado “A Matemática é

difícil”, institui-se como uma verdade, dentro e fora do contexto escolar.

Algumas pesquisas desenvolvidas na área do Ensino de Ciências Exatas, no Centro

Universitário UNIVATES, direcionam-se a investigar obstáculos de aprendizagem no ensino da

Matemática e buscar estratégias para superá-los. Uma das ações de docentes da área da

Matemática dessa Instituição é a realização da Olimpíada Matemática da UNIVATES (OMU) que, a

partir de 2003, passou a ser uma atividade institucional. A análise dos resultados das Olimpíadas

tem servido como um dos parâmetros para as ações de novas pesquisas. Dentre os objetivos da

OMU, estão o estímulo a um aprendizado menos burocrático, por meio da resolução de

problemas novos e desafiantes, aproveitando o gosto natural dos jovens pelas competições e com

a pretensão de despertar e desenvolver o raciocínio lógico-matemático do estudante.

A prova é constituída por 10 questões, das quais os estudantes de 4ª série do Ensino

Fundamental (5º ano) até 1ª série do Ensino Médio, devem resolver 8, os da 2ª série do Ensino

Médio resolvem 9 e os alunos da 3ª série do Ensino Médio, devem resolvê-las todas. Os

estudantes podem ainda optar pela realização da prova em dupla ou individualmente e é

permitido o uso de calculadoras. A interdisciplinaridade é uma particularidade das provas da

OMU, já que se procura a contextualização das questões, trazendo problemas do cotidiano,

abordando os conteúdos previstos no currículo mínimo de cada série, numa mescla de questões

objetivas e discursivas.

Em função da ampla quantidade de material disponível, consideramos importante analisar

as estratégias que os estudantes de Ensino Médio utilizam na resolução dos problemas, já que as

questões da OMU são passíveis de várias formas de resolução e não existe a exigência pelo

cálculo formal. Os participantes podem resolvê-las da forma que considerarem mais apropriada,

devendo descrever seu raciocínio.

Neste trabalho de investigação, vamos nos deter às provas da 11ª edição da OMU, que

contou com 2.384 participantes, oriundos de 70 escolas de 26 municípios.





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Referencial teórico

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) (BRASIL, 1998) a resolução de problemas é

citada como ponto de partida da atividade matemática em contrapartida à simples resolução de

procedimentos e ao acúmulo de informações. Isso sugere que o conhecimento matemático ganha

significado quando os estudantes têm situações desafiadoras para resolver, que lhes possibilitem

mobilizar conhecimentos e gerenciar as informações que estão a seu alcance.

A respeito da importância da resolução de problemas, Dante (2000, p.15), assinala que:

Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão

tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim, é necessário

formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver,

de modo inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração,

engenharia, medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. E, para isso, é

preciso que a criança tenha, em seu currículo de matemática elementar, a

resolução de problemas como parte substancial, para que desenvolva desde

cedo sua capacidade de enfrentar situações-problema.

Resolver um problema implica na compreensão do que foi proposto e na apresentação de

respostas aplicando procedimentos adequados. Cabe ressaltar que, em especial na Matemática,

existem vários caminhos para se chegar a um mesmo resultado, ou seja, inúmeras são as

estratégias que o estudante pode utilizar na resolução de um problema.

O grande desafio do processo educativo, conforme Demo (1996, p. 30), é construir

condições para o estudante aprender a aprender e para saber pensar. É essencial fazer com que

os estudantes se tornem pessoas capazes de enfrentar situações novas ou diferentes, buscando

novos conhecimentos e habilidades. Nesse sentido, o trabalho com resolução de problemas,

aceitando as diferentes estratégias que o estudante possa vir a utilizar, instiga nele a capacidade

de aprender a aprender, já que ele terá que determinar por si próprio o caminho para a solução,

ao invés de esperar por uma resposta pronta dada pelo livro didático ou pelo professor. Além

disso, Cavalcanti (2001, p. 126) ressalta que, a valorização das estratégias utilizadas:

...inibe atitudes inadequadas em relação à resolução de problemas, como, por

exemplo, abandonar rapidamente um problema quando a técnica envolvida

não é identificada, esperar que alguém o resolva, ficar perguntando qual é a





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operação que resolve a situação, ou acreditar que não vale a pena pensar mais

demoradamente para resolver um problema.

Para Pozo (1998, p. 60), “as estratégias de resolução de problemas seriam formas

conscientes de organizar e determinar os recursos de que dispomos para a solução de um

determinado problema”.

Segundo Cavalcanti (2001, p. 121):

Incentivar os alunos a buscarem diferentes formas de resolver problemas

permite uma reflexão mais elaborada sobre os processos de resolução, sejam

eles através de algoritmos convencionais, desenhos, esquemas ou até mesmo

através da oralidade.

Aceitar e analisar as diversas estratégias de resolução como válidas e

importantes etapas do desenvolvimento do pensamento permitem a

aprendizagem pela reflexão e auxiliam o aluno a ter autonomia e confiança em

sua capacidade de pensar matematicamente.

Conforme Musser e Shaughnessy (1997, p.188), na escola do passado, a ênfase do currículo

da matemática era na aprendizagem de algoritmos, devido ao forte domínio da aritmética,

existente na época, porém, na era eletrônica em que vivemos, a prioridade deve ser para o

desenvolvimento e o uso de algoritmos para resolver problemas.

Os autores citam cinco estratégias de resolução de problemas que julgam pertinentes

serem abordadas nas escolas:

• Tentativa-e-erro: aplicação de operações pertinentes às informações dadas.

• Padrões: resolução de casos particulares, encontrando padrões que podem ser

generalizados.

• Resolver um problema mais simples: resolução de um caso particular ou um recuo

temporário de um problema complicado para uma versão resumida, podendo vir

acompanhado do emprego de um padrão.

• Trabalhar em sentido inverso: partindo do resultado, realizar operações que

desfazem as originais.

• Simulação: utilizada quando a solução do problema envolve a realização de um

experimento e executá-lo não seja prático.





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Dante (2000), ao sugerir que se proponha aos estudantes “várias estratégias de resolução

de problemas, mostrando-lhes que não existe uma única estratégia, ideal e infalível”, cita as

seguintes:

• Tentativa e erro organizados;

• Procurar padrões ou generalizações;

• Resolver primeiro um problema mais simples;

• Reduzir à unidade;

• Fazer o caminho inverso.

Cavalcanti (2001, p.127), cita a utilização do desenho “como recurso de interpretação do

problema e como registro da estratégia de solução”, podendo este, fornecer ao professor, pistas

sobre como o estudante pensou e agiu para solucionar o problema. A autora propõe três etapas

para a utilização deste recurso:

• 1ª etapa: representação de aspectos da situação;

• 2ª etapa: resolução da situação completa do problema, apenas através do

desenho, onde o estudante explora o significado das transformações e das

operações presentes no texto;

• 3ª etapa: Mescla de desenhos e sinais matemáticos, sugerindo: utilização do

desenho para interpretação do texto e expressão da resolução através da escrita

matemática; resolução numérica e utilização do desenho para comprovar se a

resposta está correta.

Também cita a utilização do algoritmo convencional como “mais uma possibilidade de

resolução” (p. 143).

Metodologia

As provas analisadas envolveram 311 estudantes do Ensino Médio de 26 municípios, sendo

123 de 1ª série, 109 alunos de 2ª série e 79 de 3ª série. Foi realizada uma análise de foco

predominantemente quantitativo, que nos revelou quais as estratégias de resolução de





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problemas que os estudantes utilizaram para resolver situações envolvendo diferentes conteúdos

matemáticos.

O trabalho iniciou com a leitura de textos de autores que realizam estudos sobre

estratégias de resolução de problemas matemáticos (DANTE, 2000; KRULLIK e REYS, 1997; SMOLE

e DINIZ, 2001). Partindo destes textos, selecionamos algumas estratégias para analisar as

respostas dos estudantes:

• Desenho;

• Cálculo;

• Tabelas ou gráficos;

• Tentativa e erro;

• Organizar padrões;

• Trabalhar em sentido inverso;

• Reduzir à unidade.

Em seguida, foi realizada a análise das provas do Ensino Médio da 11ª OMU, buscando

classificar as respostas de cada questão de acordo com as estratégias anteriormente citadas,

incluindo ainda as categorias “somente resposta” (onde não foi possível identificar a estratégia)

ou “branco/nula”. Nesta fase de exploração das provas, cada uma das duas bolsistas da pesquisa

organizou uma tabela com a classificação das respostas apresentadas pelos estudantes para cada

questão, sendo que, ao final, as tabelas obtidas foram comparadas; as questões que

apresentavam diferenças entre as classificações foram retomadas, discutidas e reclassificadas.

Feita a análise das provas, partiu-se para a confecção de gráficos demonstrativos da

utilização de cada estratégia, em cada questão, conforme a série do Ensino Médio. De posse

destes gráficos, foi analisada cada questão individualmente, focando na forma como os

estudantes resolveram cada uma. Cabe ressaltar que os números dos gráficos não condizem com

o total de participantes, já que na elaboração dos mesmos, não foram utilizados os dados

“branco/nula”, bem como que, algumas respostas foram enquadradas em duas categorias, como

“cálculo” e “desenho”.

Análise de dados





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A seguir, serão apresentadas as questões da prova (Haetinger et al, 2008), acompanhadas

dos respectivos gráficos de análise das estratégias utilizadas pelos estudantes de cada série, bem

como exemplos para justificar a categorização utilizada. A respectiva análise feita pelo grupo de

pesquisa levou em consideração as estratégias mais utilizadas, buscando entender ou interpretar

os motivos desta escolha, comparando entre si os resultados obtidos para cada série. Cabe

destacar que foram categorizadas tanto as questões que apresentavam resolução correta quanto

as incorretas. Ressaltamos ainda que, os gráficos foram elaborados utilizando os dados de

número de estudantes participantes.

Questão 1 - Dona Ângela decidiu repartir sua área de terras entre seus dois filhos, Luís e

Verônica. A figura abaixo mostra o terreno a ser dividido. O lado AB mede 65m e o lado AD mede

23m. Sabe-se, também, que Luís ficará com uma área 69m² maior que a área de Verônica. Para

partir o terreno, usa-se uma cerca representada na figura pelo segmento EF, que é paralelo ao AD.

Calcular a distância de A até E.

A E B

D F C

Na Figura 1 apresentamos os resultados obtidos com a análise das respostas desta questão.

Figura 1 - Gráfico referente à categorização das estratégias da

Tentati-v a e erro

Tabelas e gráf i-cos

De-se-nhos

Padrões Sentido inv erso

Reduzir à uni-dade

Cálculo Só res-posta

0

20

40

60

80

100

120

1º ano2º ano3º ano





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questão 1.

A Figura 1 indica que aproximadamente 90% dos estudantes resolveram a questão

utilizando algoritmos, principalmente sistemas de equações lineares ou uma única equação,

igualando a área total do terreno às duas áreas nas quais ele deve ser dividido. Podemos supor

que a resolução na forma algébrica deva-se à existência de incógnitas a serem descobertas e por

ser esta forma muito utilizada nas escolas neste tipo de questão. Na Figura 2 apresentamos um

exemplo de resolução onde os estudantes usaram o cálculo como estratégia.

Figura 2 - Exemplo de resolução da questão 1.

(Fonte: Haetinger et al, 2008)

Questão 2 - Multiplicando dois números de três algarismos, nqq e qnn, um estudante obteve

como resultado o número de cinco algarismos 4nq6q. Quanto vale 2q + n?

Na Figura 3 apresentamos o gráfico das estratégias utilizadas para responder a Questão 2.





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Figura 3- Gráfico referente à categorização das estratégias

da questão 2.

A maioria do total de estudantes (aproximadamente 85% segundo a Figura 3) optou por

resolver esta questão utilizando-se da estratégia de tentativa e erro, onde foram estimando

valores e testando a validade dos mesmos. É uma questão comumente encontrada fora da escola,

nas seções de desafio de revistas, jornais e, talvez por isso, os participantes tenham buscado

outra forma de resolução, que não o algoritmo, já que este é um formalismo da escola. Na Figura

4, apresentamos a resolução de um estudante que utilizou a tentativa e erro como estratégia.



Tentativ a e erro

Tabelas e gráf icos

Desenhos Padrões Sentido inv erso

Reduzir à unidade

Cálculo Só respos-ta

0

10

20

30

40

50

60

70

1º ano2 º ano3º ano





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Questão 3 - Considerar os números M=2700, N=11200, O=5300

. Assinalar a alternativa correta:

a) M<O<N

b) N<M<O

c) N<O<M

d) O<M<N

e) O<N<M

Conforme se observa na Figura 5, uma parte dos alunos tentou calcular cada potência para

obter o número final e compará-los entre si, o que resulta em um processo muito mais demorado.

Notou-se que alguns alunos tentaram utilizar a calculadora, porém, como esta não dava o

resultado em forma de potência, não conseguiram resolver a questão.

Figura 5 – Gráfico referente à categorização das estratégias da

questão

Um número bastante significativo de participantes, principalmente da 1ª série

(aproximadamente 55%), optou por apenas assinalar alguma das alternativas, na tentativa de

“responder corretamente”.

Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60

70

80






Artigo número: 36

O grupo que percebeu que a divisão do expoente por 100 (reduzindo assim a unidade do

mesmo), não afetaria a ordem crescente dos resultados, resolveu de forma correta a questão,

conforme exemplo de resolução apresentado na Figura 6.



Questão 4 - Cada elemento aij

0 1,5 0,5

T= 1,5 0 1

da matriz T abaixo indica o tempo, em minutos, que um

semáforo fica aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo de automóveis da rua i

para a rua j, considerando que cada rua tenha mão dupla.

0,5 1 0

De acordo com a matriz, o semáforo que permite o fluxo de automóveis da rua 2 para a 1

fica aberto durante 1,5 minutos de um período de 2 minutos. Com base no texto e admitindo que é

possível até 20 carros passarem por minuto cada vez que o semáforo abre, qual o número máximo

de automóveis que podem passar da rua 3 a 1, das 8 horas às 10 horas, considerando o fluxo

indicado pela matriz T?





Artigo número: 36

Figura 7 - Gráfico referente à categorização das estratégias da questão 4.

Conforme evidenciado na Figura 7, a maioria dos estudantes (aproximadamente 87,5%)

optou por resolver esta questão utilizando cálculo, já que a situação envolve uma matriz, que é

um conteúdo da escola, onde a forma de resolução é através de algoritmos. Percebe-se que uma

quantidade significativa de candidatos da primeira série (aproximadamente 60%) não respondeu

esta questão e ainda, a maioria dos que utilizou o cálculo, são da segunda e principalmente da

terceira série. Este dado condiz com o fato de o conteúdo “Matrizes”, estar inserido no currículo

básico da segunda ou terceira série. Na Figura 8, apresentamos um exemplo de resolução desta

questão através de cálculo.


Fonte: Haetinger et al, 2008

Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60

70

80






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Questão 5 - Um recipiente, na forma de um prisma retangular reto de base quadrada, cuja

área lateral é igual ao sêxtuplo da área da base contém um determinado medicamento que ocupa

¾ da sua capacidade total. Conforme prescrição médica, três doses diárias desse medicamento de

50mL cada, deverão ser ministradas por um paciente durante 6 meses. Nessas condições, é

correto afirmar que, para ministrar a quantidade total prescrita, o medicamento contido no

recipiente será:

a) Insuficiente, faltando 125mL.

b) Insuficiente, faltando 100mL.

c) Suficiente, não faltando nem restando.

d) Suficiente, restando 125mL.

e) Suficiente, restando ainda 225mL.

Repete-se nesta questão, como pode ser visto na Figura 9, a utilização majoritária do

cálculo pelo fato de que a interpretação da situação-problema gera uma equação de primeiro

grau, fortemente trabalhada desta forma com os estudantes. Um exemplo de resolução desta

questão, através de cálculo pode ser visto na Figura 10.





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Figura 9 - Gráfico referente à categorização das estratégias

da questão.

Figura 10 - Exemplo de resolução da questão 5


Questão 6 - Os estudantes de terceiros anos diurno e noturno de uma escola se submeteram

a uma prova de seleção, visando a participação numa olimpíada internacional. Dentre os que

tiveram nota 9,5 ou 10, será escolhido um por sorteio.

Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60

70

80






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Nota Turno

Diurno Noturno 9,5 6 7

10,0 5 8

Com base na tabela acima, qual a probabilidade de que o aluno sorteado tenha tirado nota

10 e seja do noturno?


questão 6.

Pela Figura 11, observa-se novamente a grande utilização do cálculo na resolução, onde a

maioria dos estudantes divide 8 alunos (os que são do noturno e tiraram 10), pelo total que é de

26 alunos, obtendo assim a porcentagem de chance de cada um. Na Figura 12, é apresentada a

resolução de um estudante que utilizou esta estratégia. Alguns utilizaram ainda o cálculo por

regra de três, que também é uma “técnica” amplamente trabalhada nas escolas e aplicável a

vários conteúdos. O raciocínio utilizado foi de que 26 alunos está para 100% assim como 8 alunos

está para x, onde x representa a porcentagem de chance de que o aluno sorteado seja do noturno

e que tenha tirado nota 10.

Tentativa e erro

Tabelas e gráficos

Desenhos Padrões Sentido inverso

Reduzir à unidade

Cálculo Só resposta

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90






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Questão 7 - O proprietário de um cinema percebeu que 200 pessoas, em média, assistem a

um filme com o ingresso a R$10,00 e que, para cada redução de R$ 0,40 no preço do ingresso, o

público aumenta em 40 pessoas. Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja

máxima?

Na Figura 13, apresentamos o gráfico das estratégias utilizadas para responder a Questão 7.


questão 7.

Aparece nesta questão uma maior diversidade de estratégias. Aproximadamente 42% dos

participantes resolveram-na utilizando a estratégia de tabelas ou gráficos, organizadas em 3

colunas, sendo elas: número de pessoas, preço do ingresso e receita. A partir disso, fizeram a

progressão do número de pessoas, de 40 em 40 e, paralelamente, a redução de R$ 0,40 no preço

unitário dos ingressos. No final, calcularam a receita, encontrando como resultado o número

Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60






Artigo número: 36

máximo de pessoas, antes que a receita começasse a diminuir. Na Figura 14, apresentamos um

exemplo de resolução através deste raciocínio.



Outra estratégia bastante utilizada (aproximadamente 36% dos participantes) foi a de

cálculo, através do algoritmo. Um exemplo desta estratégia está na Figura 15. Alguns ainda,

restringiram-se a dizer que, quanto maior for a quantidade de pessoas assistindo ao filme, maior

será a receita, ignorando o fato de que o valor individual dos ingressos diminui conforme

aumenta o número de expectadores.

Figura 15. Exemplo de resolução da questão 7.


Questão 8 - Considerando todos os números inteiros que na divisão por 1999 fornecem

como quociente o número 2 e como resto um número ímpar, podemos afirmar que:

a) O menor deles é 3998.

b) O maior deles é 5996.

c) Nenhum deles é divisível por três.





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d) A soma do menor deles com maior deles é divisível por três.

e) A média aritmética de todos esses números é 4997.

Figura 16 - Gráfico referente à categorização das estratégias

da questão 8.

Conforme apresentado na Figura 16, um número considerável de estudantes resolveu esta

questão utilizando a estratégia de sentido inverso, ou seja, trabalharam com o intuito de provar

as informações que o problema forneceu, multiplicando o número 1999 por 2 e identificando o

menor resto ímpar possível, qual seja, o número 1, invalidando assim a alternativa “a”. Também

foram “testando” as demais e descartando as que não consideraram válidas, como no exemplo a

seguir.

Figura 17. Exemplo de resolução da questão 8.


Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60






Artigo número: 36

Outro dado relevante que se pode extrair da Figura 16 é que quase 50% dos estudantes da

primeira série apenas assinalaram uma resposta, sem se preocupar em resolver o problema, o

que nos remete a pensar que tenham desistido de encontrar a resposta correta por não

identificarem a questão com um conteúdo específico da escola, prendendo-se à idéia da

necessidade de um cálculo formal na resolução. Cabe ressaltar que, para Cavalcanti (2001, p.121),

a valorização de diferentes estratégias, ajuda a coibir atitudes inadequadas como a de desistir de

resolver uma situação por não identificar a técnica envolvida ou acreditar que não vale a pena

pensar um pouco mais até encontrar a solução do problema.

Questão 9 – A figura abaixo mostra 5 pontos pertencentes à circunferência e 3 pontos

pertencentes à reta. Qual o número máximo de triângulos distintos que podem ser formados de

modo que os vértices sejam três pontos dos 8 pontos dados.

Nesta questão, observa-se grande utilização das estratégias de desenho e cálculo, como

pode ser observado na Figura 18, cabendo ressaltar que alguns estudantes apropriaram-se de

ambas. Conforme Cavalcanti ( 2001), eles podem ter utilizado o desenho para interpretar o texto,

expressando a resolução através da escrita matemática ou ainda, resolvido numericamente,

utilizando o desenho para comprovar se a resposta está correta.





Artigo número: 36


questão 9.

É interessante assinalar que a maioria dos participantes da primeira série utilizou-se de

desenhos para buscar a solução, enquanto que um número mais significativo da segunda e

terceira séries optou pelo cálculo, evidenciando novamente a maior bagagem conteudista destes,

em relação aos primeiros, sendo que o algoritmo desenvolvido pela maioria dos estudantes que

optou pelo cálculo foi o da Combinação de Elementos (Análise Combinatória). Um erro frequente

dentre os que optaram pelo desenho, foi a utilização de cada ponto apenas uma vez, desprezando

a informação de que se buscava o número máximo de triângulos, ou seja, cada ponto poderia

aparecer na formação de mais do que um triângulo. Conforme Leblanc (1997), é preciso

desenvolver a habilidade para concentrar a atenção nas informações importantes dos problemas.

Provavelmente esses estudantes não interpretaram corretamente o enunciado, pois não

prestaram suficiente atenção durante a leitura do mesmo.

Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60






Artigo número: 36



Destaque especial à resolução apresentada na Figura 19, onde o participante resolveu a

questão utilizando o raciocínio que está por trás do algoritmo da Análise Combinatória e, apesar

de ser uma forma mais trabalhosa, possivelmente é de compreensão mais fácil, especialmente

para quem porventura ainda não tenha visto formalmente este conteúdo.

Questão 10 - Usando ladrilhos quadrangulares, Ana decorou uma parede, conforme

mostrado, parcialmente, na seqüência de peças abaixo:

Sabe-se que Ana seguiu o mesmo padrão estabelecido na figura acima no desenho das

demais peças com as quais decorou a parede. Quantos ladrilhos quadrangulares foram

necessários na última peça de decoração, sabendo-se que Ana utilizou, ao todo, 330 ladrilhos?

1ª peça 2ª peça 3ª peça





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questão 10.

Nota-se na Figura 20, que uma quantidade bastante significativa de estudantes resolveu

esta questão através de tentativa e erro, onde perceberam que, de uma peça para outra, o

aumento era de quatro ladrilhos e executaram a resolução, pensando cada peça como a

quantidade de ladrilhos da peça anterior acrescida de 4, até chegar aos 330 ladrilhos totais, que é

a condição dada pelo problema. Em seguida, contaram quantas peças foram acrescentadas,

obtendo como total de peças, 50. A Figura 21 apresenta a resolução de um estudante que utilizou

esta estratégia na resolução da questão.



Tentativ a e erro



Reduzir à unidade


0

10

20

30

40

50

60

70

80






Artigo número: 36

Dentre os estudantes que resolveram através de cálculo, destacam-se os da segunda série,

confirmando o padrão de que estudantes que já trabalharam formalmente o conteúdo aplicam a

resolução algorítmica para tal conteúdo, bloqueando outras formas.

Algumas considerações

É consenso entre os professores e pesquisadores da área da Educação que a Matemática

vem se constituindo na principal barreira que a maioria dos estudantes enfrenta, sendo a

principal causa de reprovações, desistências e insucessos. Contudo, a resolução de problemas

pode se constituir em uma ferramenta muito eficaz para transformar essa visão, ao desafiar o

educando, suscitar o trabalho mental e a busca por soluções, diferentes do algoritmo, que é a

principal forma utilizada e que, nem sempre, proporciona o entendimento da questão.

Apesar das questões da 11ª OMU serem passíveis de várias formas de resolver, a maioria

dos alunos mostrou-se fortemente enraigado ao algoritmo. Em muitas escolas, esta é a única

forma de resolução aceita, o que acaba privando o aluno de desenvolver suas próprias

estratégias, desafiando sua criatividade e raciocínio e a ampliação do conhecimento matemático,

visto que, dependendo da estratégia a ser utilizada, ele precisa saber outros conceitos, não

diretamente ligados à questão.

Nas situações mais diretamente ligadas a conteúdos, como a Questão 4, que envolve

matrizes, os alunos da 3ª série foram os que mais utilizaram o cálculo formal na resolução e

acreditamos que isso se deva ao fato de que estes alunos já possuam uma bagagem conceitual

bem maior que os alunos das séries anteriores.

Quando permitidos, os alunos criam suas próprias estratégias, como o exemplo

apresentado na Questão 9, onde foi utilizado o mesmo raciocínio do cálculo algorítmico, porém a

representação utilizada foi diferente, proporcionando a um leigo no assunto, uma compreensão

mais fácil do que se fosse usada a maneira formal de resolver.

Referências

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática.

Brasília, MEC/SEF, 1998.





Artigo número: 36

CAVALCANTI, Cláudia T. Diferentes formas de resolver problemas. In: SMOLE, Katia Stocco (Org.);

DINIZ, Maria Ignez (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática: 1. a 5 series. 12. ed.

São Paulo: Ática, 2000.

DEMO, Pedro. Educação e qualidade. Campinas: Papirus, 1996

HAETINGER, Claus; et al. Anais da XI Olimpíada Matemática da UNIVATES, 10 de setembro de

2008. Lajeado, RS: UNIVATES, 2008.

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Artigo número: 36

Maria Madalena Dullius. Docente e pesquisadora do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências

Exatas do Centro Universitário Univates. [email protected]

Virginia Furlanetto. Bolsista de iniciação científica e acadêmica do curso de Licenciatura em

Ciências Exatas do Centro Universitário Univates. [email protected]

Marli Teresinha Quartieri. Docente e pesquisadora do Centro Universitário Univates.

[email protected]

Claus Haetinger. Docente e pesquisador do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas do

Centro Universitário Univates. [email protected]

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