Análise CombinatóriaProf. Diego

Análise Combinatória

Aplicada em problemas de contagem e aplicada também em problemas estatísticos.

Quando somar e quando multiplicar?

- “OU” representa uma soma.- “E” representa um produto.- Ex:Uma mulher pode se vestir com 10 calças diferentes

ou com 5 saias diferentes. De quantas formas ela pode se vestir?

10+5=15Uma mulher para se vestir pode escolher entre 10

calças diferentes e 5 camisas diferentes. De quantas formas ela pode se vestir?

10*5=50

Exercícios de fixação

Ex 1 - Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:

A) De quantas formas podemos organizar os algarismos tomados de 5 a 5?

Ex 1 - Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:

B) Quantas formas podemos tomar os algarismo 5 a 5 algarismos, sem repetí-los?

Exercícios de fixação

Ex 1 - Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:

C) Quantos números naturais de 6 algarismos podem-se formar começando com 1,2 e 3 em qualquer ordem?

Exercícios de fixação

Exercícios de fixação

Ex 1 - Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:

D) De quantas formas podemos toma-los, com no máximo cinco algarismos distintos?

Permutação Simples

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Para se obter o número de permutações simples utiliza-se: P(m) = m!

- Ex: Quantos anagramas podemos formar utilizando todas as letras do conjunto B.

B={A;B;C;}

P(3)=3! P(3)=3*2*1=6

[ABC; ACB; BAC;BCA; CAB;CBA]

 Permutações com repetição

Para este caso iremos considerar que dentro conjunto existam elementos iguais. Exemplo C={ARARA}

A se repete 3 vezes, e R se repete 2 vazes, e o número de elementos do conjunto é 5.

A conta fica: N!/R1!*R2!N= número de elementos do conjuntoR1= Número de repetições de determinado elementoR2= Número de repetições de outro determinado

elementoPr= 5!/3!*2!= 5*4*3!/3!*2*1=5*2=10

Arranjo Simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

As(m,p) = m!/(m-p)!

Ex:Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos?

As(m,p) = m!/(m-p)!A(5,2)=5!/(5-2)!A(5,2)=5!/3!A(5,2)=5.4.3!/3!A(5,2)=5×4=20

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

Arranjo Simples

Combinação Simples

È o tipo de combinação onde a ordem não interfere em sua formação.

Exemplo fazer uma salada de frutas, não interfere na formação dos conjuntos, se você colocou, banana, maçã e mamão, ou se você colocou, maçã, banana e mamão. Diferentemente do arranjo onde importa a ordem, por exemplo em uma competição, são conjuntos diferentes a afirmação de que os 3 primeiros colocados foram, João, José e Ana, e de que foram, João, Ana e José.

Ex:  De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem.

Combinação Simples