Análise de Desempenho

Análise de DesempenhoAnálise de Desempenho Analíticos

– Determinísticos Melhor e pior casos

– Probabilisticos Valores prováveis

Simulação Análise exaustiva

Implementação real– Medidas obtidas do sistema real– Benchmarks– Protótipos

Redes de PetriRedes de Petri

Espaço dosFormalismos

NíveisdeAbstração

Interpretações

Aut

ônom

o

Est

ocás

tico

Det

rem

inís

tico

Inte

rval

o

Pre

dica

dos

Lim

ites

Sin

ais

Ext

erno

s

Temporizado Dados Interpretados

Obj.RdP

Pr/T, CPN

P,T

CE, EN

Redes TemporizadasRedes Temporizadas

ExtensõesTemporizadas

Token-TimedPN

Transition-TimedPN

Place-TimedPN

StochasticPN

TimePN

……

TimedPN


ExtensõesTemporizadas

Token-TimedPN

Transition-TimedPN

Place-TimedPN

StochasticPN

TimePN

……

TimedPN


Ramchandani, 1973 - Transition Timed Ramchandani, 1973 - Transition Timed NetNet

Merlin, 1976 - Transition Time NetMerlin, 1976 - Transition Time Net Sifakis, 1977 - Place Timed NetSifakis, 1977 - Place Timed Net

Redes Temporizadas Redes Temporizadas EstocásticasEstocásticas

Natkin -1980Natkin -1980 Molloy - 1981Molloy - 1981 Marsan et al. - 1984Marsan et al. - 1984

É uma rede temporizada onde o É uma rede temporizada onde o delaydelay associado à transição é uma variável associado à transição é uma variável aleatória de distribuição exponencialaleatória de distribuição exponencial

Redes TemporizadasRedes Temporizadas Redes de Petri com Lugares Temporizados Redes de Petri com Lugares Temporizados

(PTPN) (Sifakis77)(PTPN) (Sifakis77) Definição: PTPN=(P,T,F,K,W,MDefinição: PTPN=(P,T,F,K,W,M00,,,,), onde ), onde

P é o conjunto de lugares,P é o conjunto de lugares,

T o conjunto de transições, T o conjunto de transições,

F F (P (P T) T) (T (T P) uma relação que representa os arcos P) uma relação que representa os arcos

WW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F N N

MM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00:P :P N N

={={11, , 22,…, ,…, ii,…} números reais denominada base de tempo.,…} números reais denominada base de tempo.

:P :P um mapeamato que um mapeamato que (p) = (p) = jj

Redes TemporizadasRedes Temporizadas - - PTPN -PTPN -

2

t0 p0 t1

Regra de DisparoRegra de Disparo

(p0) = 3(p0) = 3

p1

2


2

t0 p0 t1


Instante=0

p1

2

(p0) = 3(p0) = 3


2

t0 p0 t1


Instante=1

p1

2

(p0) = 3(p0) = 3


2

t0 p0 t1


Instante=2

p1

2

(p0) = 3(p0) = 3


2

t0 p0 t1


Instante=3

p1

2

(p0) = 3(p0) = 3

Redes de Petri Redes de Petri TemporizadasTemporizadas

- - Tempo Associado às Tempo Associado às TransiçõesTransições - -

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Duração (disparo em três fases)Duração (disparo em três fases)

Marcas são consumidas dos lugares de entradaMarcas são consumidas dos lugares de entrada Há uma duraçãoHá uma duração Marcas são geradas no lugares de saídaMarcas são geradas no lugares de saída

– Disparo atômicoDisparo atômico As marca permanecem nos lugares de entrada As marca permanecem nos lugares de entrada

pelo período igual ao pelo período igual ao delaydelay associada à transição. associada à transição. Após o Após o delaydelay as marcas são consumidas e as marcas são consumidas e geradas nos lugares de saída imediatamente.geradas nos lugares de saída imediatamente.



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Duração (disparo em três fases)Duração (disparo em três fases)

Pode ser representada por uma rede com disparo Pode ser representada por uma rede com disparo atômicoatômico

Modelo mais compactoModelo mais compacto O estado é uma informação mais complexa do O estado é uma informação mais complexa do

que o modelo não-temporizadoque o modelo não-temporizado

– Disparo atômicoDisparo atômico Pode representar o modelo com duraçãoPode representar o modelo com duração O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-

conjunto das marcações do modelo não-conjunto das marcações do modelo não-temporizado.temporizado.



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:

– Regras de Seleção:Regras de Seleção: Pré-seleção:Pré-seleção: (duração e (duração e delaydelay))

– PrioridadePrioridade– ProbabilidadeProbabilidade

Race Race (corrida):(corrida): ( (delaydelay))– Transições habilitadas com menor Transições habilitadas com menor delaydelay são são

disparadasdisparadas



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Quando uma das transições Quando uma das transições

conflitantes é desabilitada pelo conflitantes é desabilitada pelo disparo da outra, o que acontece disparo da outra, o que acontece com o com o timertimer da que ficou da que ficou desabilitada quando a mesma desabilitada quando a mesma tornar-se habilitada outra vez?tornar-se habilitada outra vez?



Como fica a memorização Como fica a memorização do tempo de habilitação do tempo de habilitação anterior?anterior?

ContinueContinue– O O timertimer associado à transição associado à transição

mantem o valor atual e quando mantem o valor atual e quando a transição se tornar a transição se tornar novamente habilitada o valor novamente habilitada o valor do do timertimer iniciará daquele valor. iniciará daquele valor.

Restart– Quando a transição for

novamente habilitada o timer será re-iniciado.

ta tb

p0

p1 p2

dadb



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– O que acontece com o O que acontece com o timertimer das das

transições habilitadas após o transições habilitadas após o disparo de uma transição? disparo de uma transição?

Todas as transições. Não somente Todas as transições. Não somente as transições conflitantes.as transições conflitantes.

•Algumas políticas de memória podem ser construídas




– ResamplingResampling Após cada disparo os Após cada disparo os timers timers de de TODASTODAS as as

transições são re-iniciadotransições são re-iniciado ( (restartrestart)) Não há memóriaNão há memória Após descartar todos os Após descartar todos os timerstimers, os valores , os valores

iniciais são associados a todas as iniciais são associados a todas as transições que se tornarem habilitadas na transições que se tornarem habilitadas na nova marcaçãonova marcação..




– Enabling MemoryEnabling Memory Após cada disparo os Após cada disparo os timers timers das das

transições que ficaram desabilitadastransições que ficaram desabilitadas são re-iniciados (são re-iniciados (restartrestart))

As As transições que permaneceram transições que permaneceram habilitadashabilitadas com o disparo matêem com o disparo matêem seus valores presentes(seus valores presentes(continuecontinue))




– Age MemoryAge Memory Após cada disparo os Após cada disparo os timerstimers de de

todas todas as transições são mantidos as transições são mantidos em seus valores presentes em seus valores presentes ((continuecontinue))



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Grau de Habilitação Grau de Habilitação

((Enabling Degree)Enabling Degree) É o número de vezes que É o número de vezes que

uma determinada uma determinada transição pode ser transição pode ser disparada, antes de se disparada, antes de se torna desabilitada.torna desabilitada.

Quando o grau de Quando o grau de habilitação é habilitação é maior que maior que umum, atenção especial à , atenção especial à semântica de semântica de temporização deve ser temporização deve ser considerada.considerada.

ta

p0

p1

p1

d



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Semântica de TemporizaçãoSemântica de Temporização

Single-serverSingle-server firing semantics firing semantics

Infinite-serverInfinite-server firing semantics firing semantics

Multiple-serverMultiple-server firing semantics firing semantics– K é o máximo grau de paralelismo. Quando K é o máximo grau de paralelismo. Quando

kk , Multiple-server firing semantics , Multiple-server firing semantics é igual a é igual a infinite-server firing semantics.infinite-server firing semantics.



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Single-serverSingle-server firing firing

semanticssemantics

ta

p0

p1

d=3 t=3 t=6 t=9 t



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Infinite-serverInfinite-server firing firing

semanticssemantics

ta

p0

p1

d=3 t=3 t



Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Multiple-serverMultiple-server

firing semantics firing semantics k=2k=2

ta

p0

p1

d=3 tt=3 t=6

Redes TemporizadasRedes Temporizadascom Transições com Transições TemporizadasTemporizadas

Time Petri Nets Time Petri Nets (Merlin76)(Merlin76) Definição: TPN=(P,T,F, W,MDefinição: TPN=(P,T,F, W,M00,I), onde ,I), onde




WW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F MM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00::PP

I:(DI:(Dminmin,D,Dmaxmax))

DDminmin: : ((+ + {0}) {0})TT , D , Dmaxmax:(:(+ + {0}) {0})TT, onde I(t, onde I(tii)=(d)=(diiminmin, d, dii

maxmax), ),

ddiimaxmax d dii

minmin

TC: T TC: T é uma função parcial que associa as transições um é uma função parcial que associa as transições um timer clocktimer clock


Semântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PPdurantedurante o intervalo I(t o intervalo I(tjj)=(d)=(djj

minmin, d, djjmaxmax), ),

Ou seja,Ou seja, t tj j só será disparável só será disparável se tc(tse tc(tjj) ) d djjminmin

e terá e terá que disparar que disparar antes queantes que tc(ttc(tjj) > d) > djjmaxmax ((strong semanticsstrong semantics) )

ouou e poderá e poderá disparar disparar antes queantes que tc(ttc(tjj) > d) > djj

maxmax ((weak semanticsweak semantics) ) Resampling Resampling (Merlin76)/(Merlin76)/Enabling MemoryEnabling Memory(Starke87)(Starke87) Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP


p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

M0

tc(t0)=1tc(t1)= indefinido


p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

M0



p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

M0


t0 pode disparar


p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

M0



p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

M0

tc(t0)= indefinidotc(t1)=1

M1t0


p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

M0

tc(t0)= indefinidotc(t1)=2

M1t0

t1 pode disparar

M2t1


p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

M0

tc(t0)= indefinidotc(t1)= indefinido

M1t0

M2t1


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 1tc(t1)= indefinidotc(t2)= indefinido


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]



p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= indefinidotc(t1)= 1tc(t2)= 1

M1

t0


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= indefinidotc(t1)= 2tc(t2)= 2

M1

t0


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]



p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]



p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 1tc(t1)= 1tc(t2)= 1

M1

t0


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 2tc(t1)= 2tc(t2)= 2

M1

t0


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]


M1

t0

M2

t1


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0

M1

t0

M2

t1

M3

t2

tc(t0)= 1tc(t1)= indefinidotc(t2)= indefinido


p0

t0

p1

t1t2

p2 p3

[2,3]

[2,3] [2,4]

M0

M1

t0

M2

t1

M3 M4

t2t0

tc(t0)= indefinidotc(t1)= 1tc(t2)= 1

Grafo de AlcançabilidadeGrafo de Alcançabilidade- - Untimed Model -Untimed Model -

Definição:Grafo de Alcançabilidade- seja Definição:Grafo de Alcançabilidade- seja uma rede marcada uma rede marcada N=(R,MN=(R,M00)). . RG(R, RG(R, MM00)=(RS,ARCS))=(RS,ARCS) define o grafo de define o grafo de alcançabilidade (alcançabilidade (Reachability GraphReachability Graph), onde ), onde RSRS é o conjunto de vértice e representa o é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. conjunto de alcançabilidade. ARCS ARCS RS RS T T RS RS é uma relação representando os arcos. é uma relação representando os arcos.


Time Petri Nets Time Petri Nets Definição:Definição: Grafo de Alcançabilidade Grafo de Alcançabilidade

TemporizadoTemporizado- seja uma rede marcada - seja uma rede marcada TTN=(R,MN=(R,M00,I),I). . TRG(TN)=(S,ARCS)TRG(TN)=(S,ARCS) define o grafo define o grafo de alcançabilidade temporal (de alcançabilidade temporal (Time Reachability Time Reachability GraphGraph), onde ), onde SS é o conjunto de vértice e é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. representa o conjunto de alcançabilidade. ARCS ARCS S S S S é uma relação representando os arcos. é uma relação representando os arcos. S = (M,TC)S = (M,TC), onde , onde M: M: PP e e TC: T TC: T é uma é uma função parcial que associa as transições um função parcial que associa as transições um timer clock, timer clock, que representa o tempo passado que representa o tempo passado (desde a sua habilitação) até atingir-se (desde a sua habilitação) até atingir-se M.M.

S S RS RS


Timed Petri Nets Timed Petri Nets (Ramchandani74,Zuberek87)(Ramchandani74,Zuberek87) Definição: TPN=(P,T,F, W,MDefinição: TPN=(P,T,F, W,M00,c,D), onde ,c,D), onde




WW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F MM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00: P : P

D: T D: T + + {0} {0}

c:T c:T 0 01 função de probabilidade de escolha, tal que1 função de probabilidade de escolha, tal que

ttii c(t) = 1, c(t) = 1, TTiiFree(T), onde Free(T)={TFree(T), onde Free(T)={T11,..., T,..., Tnn} conjunto } conjunto de conjuntos de transições de conjuntos de transições free-choice.free-choice.


TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),,c,D),p0

p1

p2

p3

p4

p5

p6t0

t1

t2

t3

t4

t5

d0

d1

d2

d3

d4

d5

c0 c3

c1 c4

c2

c5


Timed Petri Nets Timed Petri Nets Definição: Definição: Estado Estado - Seja - Seja TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),c,D) uma uma Timed Petri Timed Petri

netnet. Um estado é definido por uma tupla . Um estado é definido por uma tupla s=(ms=(m11,m,m22,r),r), onde , onde MM11: P : P é a marcação é a marcação MM22: T : T é uma função que mapeia cada transição em é uma função que mapeia cada transição em natural, onde este natural representa o número de vezes que natural, onde este natural representa o número de vezes que aquela transição está sendo disparada naquele estado aquela transição está sendo disparada naquele estado SS..R: TR: Tk k + + {0} {0} se mse m22(t(tii) ) 0 0

indefinidaindefinida se mse m22(t(tii) = 0) = 0 onde onde k k é o número de vezes que é o número de vezes que ttii está sendo está sendo

disparada em disparada em SS ( (mm22(t(tii)= k)= k ) ) r(tr(tii): (): (+ + {0}) {0})kk é um vetor que associa a cada disparo de é um vetor que associa a cada disparo de ttii um número real que representa o um número real que representa o remaining firingremaining firing timetime de cada de cada disparo de disparo de ttii naquele estado naquele estado SS. . rrjj(t(tii) ) é j-ésimo componente de é j-ésimo componente de R(tR(tii))


Timed Petri Nets Timed Petri Nets Definição: Definição: Regra de Habilitação e Disparo Regra de Habilitação e Disparo - Seja - Seja TPN=(P,T,F, TPN=(P,T,F,

W,MW,M00,c,D),c,D) uma uma Timed Petri net Timed Petri net e e s=(ms=(m11,m,m22,r),r) um estado em algum um estado em algum instante instante + + {0} {0}..Um Um step step st: T st: T está habilitado se está habilitado se

mm11(pi) (pi) ttTTst(t).W(pi,t), st(t).W(pi,t), pi pi PPSe um Se um stepstep stst está habilitado em um instante está habilitado em um instante (vamos tratar nos (vamos tratar nos )), dispara-se , dispara-se stst em em ..Em Em +1+1, tem-se: , tem-se: m’m’11(pi) (pi) m’m’1 1 - - ttC0C0st(t).W(pi,t)st(t).W(pi,t)

+ + ttC1C1st(t).W(t,pi) + st(t).W(t,pi) + ttC2C2 mm22(t).W(t,pi), (t).W(t,pi), pi pi PP, onde, ondeCC00={t ={t T | st(t) > 0} T | st(t) > 0}CC11={t ={t T | st(t) > 0 T | st(t) > 0 D(t) =1} D(t) =1}CC22={t ={t T | R T | Rjj(t) =1 (t) =1 t t st}, 0< j st}, 0< j K K m’m’22(t) = (t) = mm22(t) - (t) - m’m’2,2,+1+1(t), (t), m’m’2,2,+1+1(t) (t) representa que “sairam” da representa que “sairam” da transição no instantetransição no instante +1+1 r’r’jj(t)= r(t)= rjj(t)-1, t (t)-1, t m m22 t t st st (transições pertencentes ao (transições pertencentes ao stepstep stst ou ou as que já se encontravam “dentro” (as que já se encontravam “dentro” (mm22) das transições)) das transições)


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t1) = 3, m2(t1) = 1


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3



p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d3=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1•No instante =5, r(t3) = 3, m2(t3) = 1


p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d3=3



p0

t0

p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d3=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1•No instante =5, r(t3) = 3, m2(t3) = 1•No instante =8, m1(p5) = 1


p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5


p0

t0 p2t2

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t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1


p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2,


p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5



p0

t0 p2t2

p4

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p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1


p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1


p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5



p0

t0 p2t2

p4

t3p5

p1

t1

p3

d0=2

d1=2d2=3

d4=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5



Timed Petri Nets Timed Petri Nets

Definição:Definição: Grafo de Alcançabilidade Grafo de Alcançabilidade TemporizadoTemporizado- seja uma rede marcada - seja uma rede marcada TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),c,D) . . TRG(TPN)=(S,D,h,q)TRG(TPN)=(S,D,h,q) define define o grafo de estados temporal (o grafo de estados temporal (Timed State Timed State GraphGraph), onde ), onde SS é o conjunto de vértice e é o conjunto de vértice e representa o conjunto de estados. representa o conjunto de estados. D D S S S S é é uma relação representando arcos dirigidos. uma relação representando arcos dirigidos. h : S h : S ++ {0} {0} é uma função que associa o é uma função que associa o holding holding timetime a cada estado a cada estado ssii=(m=(m11,m,m22,r),r), onde , onde h(sh(sii)=min)=minttT T

m2(t)>0 m2(t)>0 (r(rii(t)[1])(t)[1]) e e q : D q : D [0,1] [0,1] é uma função que é uma função que associa uma probabilidade aos arcos do grafo.associa uma probabilidade aos arcos do grafo.


p1

t1d1=0

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7

si M1 M2 h(si) M’2 sj q

1 p=0 t1=1 0 t2=t5=1 2 12 p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,13 p=0 t4=t5=1 5 t1=1 5 14 p=0 t3=t5=1 0 t=0 6 15 p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5=1 7 16 p=0 t5=1 10 t7=1 8 17 p6=1 t2=1,t5=2 5 t6=1 9 18 p=0 t7=1 0 t1=1 1 19 p=0 t2=t5= 0 t=0 10 1 t6=110 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1

t2d2=10

t1d1=0


p1

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7



t2d2=10


p1

t1d1=0

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7



t2d2=10


p1

t1d1=0

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7



t2d2=10


p1

t1d1=0

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7



t2d2=10


Tempo de ExecuçãoTempo de Execução

– Análise do grafo de estados + Algorítmo de Análise do grafo de estados + Algorítmo de Procura de CaminhosProcura de Caminhos (Redes Genéricas)(Redes Genéricas)

– Métodos EstruturalMétodos Estrutural (sub-classes: grafo-marcado)(sub-classes: grafo-marcado)


p1

t1d1=0

p2

p4

t5d=20

p5t6

d6=0

p3t3

d3=0

0,1

t4d=5

0,9

p6t7d7=0

p7


1 p=0 t1=1 0 t2=t5=1 2 12 p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,13 p=0 t4=t5=1 5 t1=1 5 14 p=0 t3=t5=1 0 t=0 6 15 p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5=1 7 1

...• D(s1,s5) = 0 + 10 + 5 + 0 = 15

t2d2=10


Métodos Algébricos Aplicados aos Grafos Métodos Algébricos Aplicados aos Grafos MarcadosMarcados

– CCmm = max = maxkk {D {Dkk/N/Nkk} k=1,...,q} k=1,...,q

q q é o número de circuitosé o número de circuitos DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições

do circuitodo circuito k k NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k


A B

t1 d1=5

C Dt2 t3d2=20 d3=4E F t4 d4=3

t5d=2

G

•P-minimum semiflows:SP1={A,C,E,G}SP2={A,D,F,G}SP3={B,C,E}SP4={B,D,F}

•Circuito:•c1={t1,t2,t4,t5}•c2={t1,t3,t4,t5}•c3={t1,t2,t4}•c4={t1,t3,t4}


A B

t1 d1=5

C Dt2 t3d2=20 d3=4E F t4 d4=3

t5d=2

G

Cm = maxk {Dk/Nk} k=1,...,4

C1=(5+20+3+2)/2= 15

C2=(5+4+3+2)/1= 14

C3=(5+20+3)/2= 14

C4=(5+4+3)/1= 12

•Cm = maxk {15,14,14,12} = 15


Estedendo o Método Anterior para Redes Estedendo o Método Anterior para Redes Free-Free-ChoiceChoice sem Compartilhamento de Recursos sem Compartilhamento de Recursos

Seja Seja N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D),D) uma rede e uma rede e SNSNii=(P=(PSNiSNi,T,TSNiSNi,I,ISNiSNi,O,OSNiSNi,M,M00

SNiSNi,D,DSNiSNi)) e uma rede e uma rede SNSNii NN obtida pelos obtida pelos p-minimum semiflowsp-minimum semiflows.. Seja Seja SNSNkk=(P=(PSNkSNk,T,TSNkSNk,I,ISNkSNk,O,OSNkSNk,M,M00

SNkSNk,D,DSNkSNk)) uma rede tal uma rede tal que que SNSNkk SN SNii onde onde TTSNkSNk pertence a um único pertence a um único t-t-minimum semiflowsminimum semiflows..


Tempo do Caminho CríticoTempo do Caminho Crítico

– CTCTmm = max = maxkk {D {Dkk/N/Nkk} k=1,...,q} k=1,...,q q q é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNkk

DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições da sub-rededa sub-rede k. k.

NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k


Tempo MínimoTempo Mínimo

– MTMTmm = max = maxkk {min{D {min{Djj/N/Njj},D},Dii/N/Nii} i=1,...,q. } i=1,...,q. j=1,...,rj=1,...,r q q é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNi i obtidas diretamente obtidas diretamente

dos dos p-minimum semiflowsp-minimum semiflows e cujos e cujos TTSNiSNi pertence a pertence a um único um único t-minimum semiflowst-minimum semiflows..

r r é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNj j obtidas dos obtidas dos p-p-minimum semiflowsminimum semiflows e por sua decomposição tal e por sua decomposição tal que que TTSNjSNj pertence a um único pertence a um único t-minimum t-minimum semiflowssemiflows..

DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições da sub-rededa sub-rede k. k.

NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k

p

pp p

p p

p

p

p

p

p

p

p p

p p

pp

p

p

t

t t

t t

t t

t

t t

t t t

t t

t

t

t

t

p

0

1

2 3

0

4 5

6 8

7

16

119

10

13

14

12

19 20

15

17

18

1 2

3 6

4 7

5

8

9

15

10

1116

17 18

12

14

13

[1]

[2]

[1]

[1]

[1]

[2] [5][2]

[3]

[5]

[1]

[3]

[2]

[11]

[5]

[11]

[1]

[1]

[0]



0 0 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17

T-minimum semiflowsT-minimum semiflows

st = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

1 0 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 18= {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } st

p

pp p

p

p

p

p

p

p p

p p

pp

p

p

t

t

t

t

t t

t t t

t t

t

t

t

t

p

0

1

2 3

0

5

8

16

119

10

13

14

12

19 20

15

17

18

2

6

7

8

9

15

10

1116

17 18

12

14

13

[1]

[2] [5] [2]

[3]

[5]

[1]

[3]

[2]

[11]

[5]

[11]

[1]

[1]

[0]


P-minimum semiflowsP-minimum semiflows sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }

0

0

0

0

0

0

11

1

5

5

5

8 16 18

8 16

18

18

18

18

18

2

2

2

3

3

3

4

12 15 17 19 20

10

109

9

11 13 14 17


Transition paths sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

1

2

2

23

4

5

6

6

6

6

6

7

7

8

8

9

0

0

0

0

0

0

10

10

11 12

12

13

13

13

13

13

13

14

14

14

14

14

14 15

16 17 18



Decomposição dos Caminhos

sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

2

21

22

0

0

0

10 11 12 13 14 16 17 18

10

10

11

12

12

13

13 14

14 16

17

18


Tempo do Caminho CríticoTempo do Caminho Crítico CT(N) = max {T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn ),CT(N) = max {T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn ),

T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22 Tempo MínimoTempo Mínimo MT(N) = max {T(sn ),min {T(sn ),MT(N) = max {T(sn ),min {T(sn ),

T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ),

T(sn )} = 20T(sn )} = 20

1 21 22 3

4 5 6

1 21

22 3 4 5

6


Redução de Transição em SeqüênciaRedução de Transição em Seqüência

Seja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii P P um um lugar, onde lugar, onde I(pI(pii)=[t)=[tjj] O(p] O(pii)=[t)=[tkk].]. NN pode ser pode ser transformada em transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela pela fusão de fusão de ttjj e e ttkk e eliminação dee eliminação de p pii. A . A transição transição ttj/k j/k T’ T’ representa as transições representa as transições fundidas tal que fundidas tal que I(tI(tj/kj/k) = I(t) = I(tjj)) e e O(tO(tj/kj/k) = O(t) = O(tkk)) e e ddj/kj/k= d= djj + ddkk

.

.

.


Redução de Transição em SeqüênciaRedução de Transição em Seqüência

tj pi tk

dj dk

.

.

....

.

.

.

tj/k

dj/k

dj/k= dj + dk


Redução de Transição de um EscolhaRedução de Transição de um Escolha

Seja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii, p, pll P P lugares, onde lugares, onde O(pO(pii)=[t)=[tjj, t, tkk] e I(p] e I(pll)=[t)=[tjj,t,tkk].]. NN pode pode ser transformada em ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela pela fusão de fusão de ttjj e e ttkk. A transição . A transição ttj/k j/k T’ T’ representa representa as transições fundidas tal que as transições fundidas tal que I(tI(tj/kj/k) = I(t) = I(tjj)) e e O(tO(tj/kj/k) = O(t) = O(tkk)) e o tempo mínimo é e o tempo mínimo é ddj/kj/k= min{d= min{djj, ddkk} } e o tempo máximo é e o tempo máximo é ddj/kj/k= max{d= max{djj, ddkk} }


Redução de Transição de um EscolhaRedução de Transição de um Escolha

.

.

....

.

.

....

tj

tk

dj

dk

pi pl pi pl

tj/k

dj/k

dj/k= min{dj, dk}dj/k= max{dj, dk}


Redução de LaçoRedução de Laço

Seja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii, p, phh P P lugares, onde lugares, onde O(pO(pii)=[t)=[tjj, t, tkk] e O(t] e O(tjj)=[p)=[pii], ], I(pI(phh)=[t)=[tkk] .] . NN pode ser transformada em pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela eliminação de pela eliminação de ttjj. . O tempo associado a transição O tempo associado a transição ttk k T’ T’ é é ddkk

N’N’= m = m d dj j + ddkk ..


Redução de LaçoRedução de Laço

.

.

.

.

.

....

.

.

.

pi ph

tk

dk

tk

tj

dk

dj

pi ph

dkN’= m dj + dk


Redução de Transições ParalelasRedução de Transições Paralelas

Seja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), t,D), tii, t, tjj , t , thh, t, tll T T transições, onde transições, onde I(I(tI(I(tii))=I(I(t))=I(I(tjj)) )) ee O(O(t O(O(tii))=O(O(t))=O(O(thh)) .)) . NN pode ser transformada em pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela eliminação da estrutura pela eliminação da estrutura SN=(PSN=(PSNSN,T,TSNSN,I,ISNSN,O,OSNSN,M,M00

SNSN,D,DSNSN)), onde , onde PPSNSN={I(t={I(tii), I(t), I(tjj)), )), O(tO(tii), O(t), O(tjj)}, T’={t)}, T’={tii, t, tj, j, I(I(tI(I(tii))=t))=thh, O(O(t, O(O(tii))=t))=tll}. t}. th/l h/l T’ T’ representa a estrutura reduzida, tal que representa a estrutura reduzida, tal que I(tI(th/lh/l)= )= I(I(I(tI(I(I(tii)))= I(I(I(t)))= I(I(I(tjj))), O(O(O(t))), O(O(O(tii)))= O(O(O(t)))= O(O(O(tjj)))))) e e ddi/ji/j

N’N’= = ddI(I(ti)) I(I(ti)) + max{ddii, ddjj}+ ddO(O(ti))O(O(ti))..


Redução de Transições ParalelasRedução de Transições Paralelas

pa

th

p2tj

p4

tlpf

p1

ti

p3

...

...

.

.

....

pa pf

th/l

dh/l

di/jN’= dI(I(ti)) + max{di, dj}+ dO(O(ti))

Classificação da Técnicas Classificação da Técnicas de Avaliação de de Avaliação de

DesempenhoDesempenho

Avaliação de DesempenhoAvaliação de Desempenho

Avaliação DeterminísicaAvaliação Determinísica Modelagem EstocásticaModelagem Estocástica

MediçãoMedição PrototipaçãoPrototipação MétodosMétodos Simulação de EventosSimulação de Eventos MétodosMétodos AnalíticosAnalíticos DiscretosDiscretos

AnalíticosAnalíticos

SistemaSistema BenchmarksBenchmarks SimulaçãoSimulação

RealReal Modelagem

Modelagem para Análise Modelagem para Análise de Desemde Desemppenhoenho

Algumas MedidasAlgumas Medidas

– Tempo de ManufaturaTempo de Manufatura– ThroughputThroughput– UtilizaçãoUtilização– CapacidadeCapacidade– ConfiabilidadeConfiabilidade


Modelagem para Análise de Modelagem para Análise de DesemDesemppenhoenho

– Modelos para SimulaçãoModelos para Simulação

– Modelos AnalíticosModelos Analíticos Cadeias de MarkovCadeias de Markov Teoria das FilasTeoria das Filas Redes de Petri EstocásticasRedes de Petri Estocásticas


Proriedade MarkovianaProriedade Markoviana– Ausência de MemóriaAusência de Memória

Variáveis Aleatórias com Variáveis Aleatórias com ProPropriedade Markovianapriedade Markoviana

– Variável Aleatória GeométricaVariável Aleatória Geométrica– Variável Aleatória ExponencialVariável Aleatória Exponencial

Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Seja Seja AA um evento um evento

arbitrário em um espaço arbitrário em um espaço amostral amostral SS. A . A probabilidade de que probabilidade de que ocorra um evento ocorra um evento A A uma uma vez que vez que MM tenha tenha ocorrido é denotado por ocorrido é denotado por P(P(A/MA/M)) que é definido que é definido por:por:

P(P(A/MA/M)=)=P(P(A A MM))

P(P(MM))

S

A MA M

Caso Caso M M A A então então P(P(A/MA/M)=1)=1

Caso Caso A A M M então então

P(P(A/MA/M)= )= P(P(AA)) P(P(MM) )

Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

fdp exponencialfdp exponencial

ffXX(t)(t)

tt

FD FD - - Função de Função de DistribuiçãoDistribuição

ffXX(t) = (t) = ee--tt

FD(t) = 1 - eFD(t) = 1 - e--tt

Valor EsperadoValor Esperado

E(X) = 1E(X) = 1

Propriedade:Propriedade:

Não possui memóriaNão possui memória

Variável Aleatória Exponencial

Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

Variável Aleatória ExponencialVariável Aleatória Exponencial

P{X>t}P{X>t} = e = e--tt

P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u X>t} X>t}

P{X>t}P{X>t} P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u}P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u}

P{X>t}P{X>t}

P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u | X > t} = ee--(t+u) (t+u) = e= e--uu = = P{X>u}P{X>u} ee--tt

ProbabilidadeCondicional

t t+u

t

Processos EstocásticosProcessos Estocásticos Processo EstocásticoProcesso Estocástico é definido por um conjunto de variáveis é definido por um conjunto de variáveis

aleatórias, aleatórias, {{X(t) : t X(t) : t T T}, onde }, onde X(t)X(t) é uma variável aleatória para cada é uma variável aleatória para cada t t T T..t t é denominado parâmetro e cada valor de é denominado parâmetro e cada valor de X(t)X(t) são estados. são estados. Processo Estocástico MarkovianoProcesso Estocástico Markoviano é um processo estocástico onde as é um processo estocástico onde as

variáveis aleatórias não dependem da história passada.variáveis aleatórias não dependem da história passada. Tipos de Processos EstocásticosTipos de Processos Estocásticos

– Processos de espaço de estados e tempo discretos Processos de espaço de estados e tempo discretos ((Discret Time Markov ChainDiscret Time Markov Chain - - DTMCDTMC))– Processos de espaço de estados contínuo e tempo discretoProcessos de espaço de estados contínuo e tempo discreto– Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo

((Continuos Time Markov Chain - Continuos Time Markov Chain - CTMCCTMC))– Processos de espaço de estados e tempo contínuosProcessos de espaço de estados e tempo contínuos

Continuos Time Markov Continuos Time Markov ChainChain

O comportamento de O comportamento de uma rede uma rede estocástica é estocástica é representado por representado por CTMCCTMC

0 1 0 1

0 10 1

-(-(++) ) 0 0

Q = Q =

-(-(++) 1) 1

++ ++ 0 0

P = P =

++ ++ 1 1

Matriz de Taxas

Matriz de Propabilidadesde Próximo Estados

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Soluções para Soluções para Steady-StatesSteady-States

aa1111 a a1212 a a13 13 UU11=(a=(a1111 a a1212 a a1313))

P = P = aa2121 a a2222 a a23 23 UU22=(a=(a2121 a a2222 a a2323))

aa3131 a a3232 a a33 33 UU33=(a=(a3131 a a3232 a a3333))

aaijij - probabilidadeprobabilidade Mi Mi RSRS a aijij=1=1

Y . P = YY . P = Y , , si si SS y yii=1=1, onde , onde yyii fornece o fornece o

número relativo de visitas ao estado número relativo de visitas ao estado ssii

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Soluções para Soluções para Steady-StatesSteady-States

Q = Q = 00

MiMiRS(N)RS(N) [M[Mii]=1]=1

Onde Onde [M] [M] fornece a fornece a steady-state probabilitysteady-state probability de um sistema estar no estado de um sistema estar no estado ssii

Soluções TransientesSoluções Transientes

dd(t)(t) = Q = Q (t) (t)

dtdt

Onde Onde (t) [M(t) [Mii] ] é probabilidade de se estar na é probabilidade de se estar na estado estado ssii no instante no instante tt

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Definição:Definição:

SPN=(P,T,I,O,W,MSPN=(P,T,I,O,W,M00))

p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r

PP é o conjunto de lugares, é o conjunto de lugares,

TT o conjunto de transições, o conjunto de transições,

I: PI: PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam as pré-condições,representam as pré-condições,

OO : P: PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam as pós-condiçõesrepresentam as pós-condições

W : T W : T ( (ou ou W : TW : TM M )) é é uma função que associa taxas uma função que associa taxas de distribuição exponencial às de distribuição exponencial às transiçõestransições

MM00-- Marcação inicial - Marcação inicial - MM00: P : P

Redes EstocásticasRedes Estocásticas

Definição:Definição:

SPN=(P,T,I,O,H,W,MSPN=(P,T,I,O,H,W,M00))

PP é o conjunto de lugares, é o conjunto de lugares,TT o conjunto de transições, o conjunto de transições, I: PI: PT T é a função de é a função de

mapeamento de que mapeamento de que representam as pré-condições,representam as pré-condições,

OO : P: PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam as pós-condições representam as pós-condições

H : PH : PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam os arcos representam os arcos inibidoresinibidores

W : T W : T ((ou ou W : TW : TM M )) é é uma função que associa taxas uma função que associa taxas de distribuição exponencial às de distribuição exponencial às transiçõestransições


p1

p2

p3

p4

t1 t2

t3t4

1

2

4 3

Redes EstocásticasRedes EstocásticasSemântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PP Transições com Transições com delays delays menoresmenores disparam primeiro disparam primeiro

((RaceRace)) Enabling MemoryEnabling Memory Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r

Grafo de MarcaçõesGrafo de Marcações

M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1 M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r


M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1 M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r


M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1 M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r


M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r


M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1 M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1



W : T W : T p1p1

s t1s t1

p2p2

p t2 f t3p t2 f t3

p3 p3

t4 r t4 r


M0M0

t2 t1 t4t2 t1 t4

M1 M1

t3 t3

M2M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1

Redes Estocásticas Redes Estocásticas Generalizada (GSPN)Generalizada (GSPN)

Definição:Definição:

GSPN=(P,T,I,O,H,GSPN=(P,T,I,O,H,,W,M,W,M00))

P,T,I,OP,T,I,O definidos como definidos como usualmente.usualmente.

H : PH : PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam os arcos inibidoresrepresentam os arcos inibidores

: T : T 0 0 se se tt for temporizada for temporizada(Prioridade)(Prioridade) ++ se se tt for imediata for imediata

W : T W : T ((ou ou W : TW : TM M )) é é 1.1.uma função que associa uma função que associa taxas taxas de distribuição exponencialde distribuição exponencial às às transições temporizadastransições temporizadas e e

2.2.pesospesos usados na computação usados na computação das probabilidades de disparo das probabilidades de disparo das das transições imediatastransições imediatas


p1

p2

p3

p4

t1 t2

t3t4

1

4


Semântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PP Transições com Transições com delays delays menoresmenores disparam primeiro ( disparam primeiro (RaceRace)) Transições Transições imediatasimediatas disparam disparam instantaneamenteinstantaneamente com com

prioridades sobre as temporizadasprioridades sobre as temporizadas Diferentes Diferentes níveis de prioridade níveis de prioridade são associados às são associados às transições transições

imediatas.imediatas. Transições imediatas Transições imediatas comcom mesmo nível de prioridade mesmo nível de prioridade

associadaassociada disparam disparam de acordo com ode acordo com o peso associado peso associado a cada a cada uma.uma.

Enabling MemoryEnabling Memory Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP


Lema: seja Lema: seja N=(P,T,I,O,W,MN=(P,T,I,O,W,M00)) uma SPN. Dadas uma SPN. Dadas

MMii,M,Mjj RS(N),RS(N), existe uma probabilidade de existe uma probabilidade de se atingir se atingir MMjj imediatamente de imediatamente de MMi i . .

Probabilidade de se atingir Probabilidade de se atingir MMjj de de MMii

ppijij= = ijij//i,i,, , ijij= = ttijij(t), (t), ii= = ttii (t)(t)

(t)(t) é a taxa associada a transição através da é a taxa associada a transição através da W W

TTijij = {t = {t TT : M: Mii[t > M[t > Mjj}, T}, Tii = {t = {t TT : M: Mii[t >}[t >}


Grafo de Grafo de MarcaçõesMarcações

1,0,0,0

0,1,0,00,0,1,0

p1

t1

p2

p3 p4

t2

t3

t41

t52

0,0,0,1

t4 t1 t5

t2 t3

1,0,0,0

0,0,1,0 0,0,0,1

21. +

. +

Tangiblemarking

Vanishingmarking


Tempo esperado de permanência num Tempo esperado de permanência num sub-conjunto de marcações sub-conjunto de marcações (mean sojourn (mean sojourn

time)time)

tm(tm(MM,t)=1/t ( ,t)=1/t ( MMMM 00tt (z)[M]dz)(z)[M]dz)

M M RS (N) RS (N)

Se Se MM = {M} = {M}, então: , então:

tm(tm(MM,t)=1/t (,t)=1/t (00tt (z)[M]dz)(z)[M]dz)


Tempo de permanência numa Tempo de permanência numa marcação marcação ((sojourn timesojourn time))

tmtmii = min = min ttjjTTii(1/(1/j j ))

TTii = {t = {tjj TT : M: Mii[t[tjj >} >}


TT00 = {t = {t11}, T}, T0101 = {t = {t11}}

TT11= {t= {t22,t,t33}, T}, T1010={t={t22}}

TT1212={t={t33}}

TT22={t={t44}, T}, T2020={t={t44}}

M0 M1 M2M0 M1 M2

0 1 0 M00 1 0 M0

P = p 0 f M1P = p 0 f M1

p+f p+fp+f p+f

1 0 0 M21 0 0 M2

1,0,0

0,1,0

0,0,1

M0

M1

M2

t1t2

t3

t4


Para garantir a existência de uma distribuição Para garantir a existência de uma distribuição de probabilidade estacionária, a rede deve ser:de probabilidade estacionária, a rede deve ser:

limitadalimitada (bounded)(bounded) reversívelreversível e e livre de bloqueiolivre de bloqueio (deadlock-free) (deadlock-free)

Y . P = YY . P = Y |RS||RS|

yyii=1 Y : M=1 Y : Mii ++

i=1 yi=1 yii é o numero relativo de visitas à é o numero relativo de visitas à marcaçãomarcação M Mii

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Probabilidade estacionária Probabilidade estacionária

de uma marcação de uma marcação MMii

ss

ppii = = yyii . tm . tmii / / yyj j .tm.tmjj

j=1j=1

Probabilidade que um lugar Probabilidade que um lugar ppjj tenha tenha kk marcas marcas

p(pj,k) = p(pj,k) = iiSS1 1 ppii

SS 1 1 = { i = { i {1,2,..,S} : M{1,2,..,S} : Mii(p(pjj)=k})=k}

Número esperado de Número esperado de marcas no lugar marcas no lugar ppjj

KK

Em(pEm(pjj) = ) = k .p(pj,k) k .p(pj,k)

k=1k=1

K K é o número máximo de é o número máximo de marcas que o lugar marcas que o lugar pj pj pode pode conter conter

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Throughput rateThroughput rate de uma transição de uma transição

TR(tTR(tjj) = ) = p pii . . (t(tjj,W) . q,W) . qij ij

iiSS2 2

SS 2 2 = { i = { i {1,2,..,S} : M{1,2,..,S} : Mii[t[tjj>}>}

ppii é a probabilidade estacionária de uma marcaçãoé a probabilidade estacionária de uma marcação Mi Mi que que habilitahabilita t tjj

(t(tjj)) é a taxa associada a transição é a taxa associada a transição

1, se #O(I(t1, se #O(I(tjj))=1 ))=1 (se (se ttjj não é conflitante) não é conflitante)

qij= qij=

x,x, caso contrário ( caso contrário (probabilidade de disparo d probabilidade de disparo d ttj j entre as entre as

transições conflitantes)transições conflitantes)


ConclusõesConclusões Redes de Petri estocásticas são uma Redes de Petri estocásticas são uma

representação compacta de alto nível das representação compacta de alto nível das CTMCCTMC

Isomorfismo com CTMCIsomorfismo com CTMC Análise quantitativaAnálise quantitativa Análise qualitativaAnálise qualitativa Modelagem de sistemas concorrentes, não-Modelagem de sistemas concorrentes, não-

determinísticos e assíncronos. Modelagem de determinísticos e assíncronos. Modelagem de sincronismo, escolha, mútua exclusão etcsincronismo, escolha, mútua exclusão etc


Extensões às SPNExtensões às SPN

GSPN (Marsan et al.)GSPN (Marsan et al.)

DSPN (Lindermann, Ciardo)DSPN (Lindermann, Ciardo)


BibliografiaBibliografia

Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets, Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets,

A. Marsan et al, John Wiley & Sons, 1995.A. Marsan et al, John Wiley & Sons, 1995.

Performance Modelling with Deterministic and Performance Modelling with Deterministic and Stochastic Petri Nets, C. Lindermann, John Wiley Stochastic Petri Nets, C. Lindermann, John Wiley & Sons, 1998.& Sons, 1998.

http://www.daimi.au.dk/PetriNetshttp://www.daimi.au.dk/PetriNets

Documents

Análise de Desempenho