Dados Internacionais de Catalogao-na-Publicao (CIP) Diviso Biblioteca Central do ITA/CTA

Heeren, Rafael Anlise de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves incluindo efeito de flexibilidade

estrutural / Rafael Heeren. So Jos dos Campos, 2005. 100f.

Tese de mestrado Engenharia Aeronutica e Mecnica Sistemas Aeroespaciais e Mecatrnica

Instituto Tecnolgico de Aeronutica, 2005. Orientadores: Prof. Dr. Srgio Frascino Mller de Almeida.

1. Trem-de-pouso. 2. Anlise Estrutural Dinmica. 3. Vibrao Estrutural. I. Centro Tcnico Aeroespacial. Instituto Tecnolgico de Aeronutica. Diviso de Engenharia Mecnica-Aeronutica. II.Anlise de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves incluindo efeito de flexibilidade estrutural

REFERNCIA BIBLIOGRFICA

HEEREN, Rafael. Anlise de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves incluindo efeito de flexibilidade estrutural. 2005. 100. Tese de mestrado Instituto Tecnolgico de Aeronutica, So Jos dos Campos.

CESSO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Rafael Heeren TTULO DO TRABALHO: Anlise de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves incluindo efeito de flexibilidade estrutural TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado / 2005

concedida ao Instituto Tecnolgico de Aeronutica permisso para reproduzir cpias desta tese e para emprestar ou vender cpias somente para propsitos acadmicos e cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a autorizao do autor.

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Rafael Heeren R. Parintins, 74, ap. 21 bloco D Curitiba - PR

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Anlise de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves incluindo efeito de flexibilidade estrutural

Rafael Heeren

Composio da Banca Examinadora:

Prof. Luiz Carlos Sandoval Ges ..........................Presidente - ITA Prof. Srgio Frascino Mller de Almeida ...............Orientador - ITA Prof. Maurcio Pazini Brando .................................................. ITA Prof. Joo Carlos Menezes ...................................................... ITA Prof. Carlos Alberto Cimini Junior ......................................... UFMG

ITA

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Agradecimentos

O primeiro agradecimento para os meus pais, Dirceu Heeren e Raquel Bay Heeren, que colocaram todo o apoio a este meu trabalho antes de todas as suas prioridades, suportando o trabalho e o cansao como se estivessem ao meu lado o tempo todo. Agradeo aos meus irmos, ngela Heeren e Murilo Heeren, por todo o apoio e pelas visitas. A Ana Costa Conrado dedico um agradecimento especial, por todo o carinho e todo o incentivo que ela me deu durante este curso de mestrado, assim como pela ajuda com os estudos durante o nosso tempo juntos. Um agradecimento especial dedico ao meu amigo, Srgio Frascino Mller de Almeida, por toda a ateno dispensada a mim e ao meu trabalho, mesmo nas horas mais absurdas e mais incmodas que foram necessrias. Sua orientao foi fundamental para que eu atingisse a concluso deste trabalho. Agradeo FAPESP Fundao de Amparo Pesquisa do Estado de So Paulo, pela bolsa de estudos concedida para o desenvolvimento desta tese. O apoio financeiro dado a mim permitiu me dedicar exclusivamente a este trabalho e conduzi-lo com o mximo de empenho. Agradeo tambm a Marcos Antnio Botelho, grande amigo para todas as horas, que me ajudou a manter o rumo durante todos esses anos no ITA. Finalmente, no podiam ficar sem meno grandes amigos meus, pelos incontveis momentos de descontrao e pelos inumerveis apoios: Jonas Salvador, Leonardo Cavanha, Leonardo M. F. Lopes, Leandro Roberto, Carlos Roberto Silveira Filho, Raphael Leme, Andr Schmaedecke, Luiz Augusto Penteado Yamamoto, rico Saito Szameitat e Joo Fernando Simes.

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Resumo

Neste trabalho, um modelo baseado em uma generalizao de um modelo simplificado proposto para a anlise numrica de shimmy em trens-de-pouso principais de aeronaves. A haste principal modelada utilizando elementos finitos slidos. Ela aproximada por uma viga admitindo que as sees transversais so rgidas. Graus de liberdade de rotao so introduzidos utilizando equaes de restrio e o nmero de graus de liberdade reduzido utilizando uma condensao de Guyan. O modelo reduzido validado atravs da comparao das freqncias naturais e as formas modais com o modelo completo. A acurcia do modelo reduzido pode ser controlada pelo nmero de graus de liberdade mantidos. O side stay modelado como uma barra conectada a um ponto arbitrrio da haste principal. Equaes de restrio so acrescentadas para calcular os deslocamentos na junta em funo dos graus de liberdade mantidos. O comportamento do pneu representado por um modelo straight tangent. As equaes de movimento do modelo so obtidas usando uma abordagem Lagrangiana. Mtodos numricos so utilizados para estudar a estabilidade do sistema. O modelo proposto foi usado para verificar a influncia da distncia do trail, do pneu e dos parmetros estruturais no comportamento dinmico do trem-de-pouso. O modelo proposto mostrou-se verstil, fornecendo bons resultados mesmo com um nmero reduzido de graus de liberdade.

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Abstract

In this work, a model based on a generalization of a simplified model is proposed for the numerical analysis of shimmy in main landing gears. The main fitting is modeled using solid finite elements. It is then approximated as a beam assuming that the cross sections are rigid; rotational degrees of freedom are introduced using constraint equations and the number of degrees of freedom is reduced using a Guyan condensation. The reduced model is validated by comparing the natural frequencies and mode shapes to the complete model. The accuracy of the reduced model may be controlled by the number of degrees of freedom kept. The side stay is modeled as a rod connected to an arbitrary point at the main fitting. Constraint equations are introduced to compute the displacements at the joint as a function of the kept degrees of freedom. The tire behavior is assumed to be represented by a straight tangent model. The equations of motion are derived using Lagrange equations. Numerical methods are used to integrate the equations of motion and study the stability of the system. The proposed model was used to assess the influence of the trailing distance, and tire and structural parameters on the dynamic behavior of the landing gear. The proposed model was shown to be versatile providing good results with a reduced number of degrees of freedom.

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NDICE

Agradecimentos Resumo Abstract Lista de Smbolos ndice de Figuras

1. INTRODUO ........................................................................................................1

2. REVISO BIBLIOGRFICA ............................................................................6 2.1 Introduo ...................................................................................................6 2.2 Teorias analticas que descrevem o fenmeno de shimmy ........................7 2.3 Parmetros Adimensionais .......................................................................14

3. TREM-DE-POUSO ................................................................................................15 3.1 Introduo .................................................................................................15 3.2 Histrico ....................................................................................................15 3.3 Requisitos de projeto ................................................................................18 3.4 Geometria e componentes do trem-de-pouso ..........................................21 3.5 Trem-de-pouso do tipo telescpico ou alavanca simples .........................24

4. PNEUS ..................................................................................................................26 4.1 Introduo .................................................................................................26 4.2 Construo ................................................................................................26 4.3 Mecanismos da gerao de foras ...........................................................28 4.4 Propriedades de pneus sob aplicao de trao ......................................30 4.5 Propriedades de pneus sob aplicao de fora lateral ............................ 32 4.6 Modelagem de pneus ...............................................................................33

5. CONDENSAO ESTRUTURAL DO MODELO...................................................40 5.1 Introduo .................................................................................................40 5.2 Condensao esttica ..............................................................................40 5.3 Condensao dinmica ............................................................................43

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5.4 Validao ..................................................................................................44

6. MODELAGEM DINMICA DO TREM-DE-POUSO .............................................. 50 6.1 Introduo ................................................................................................ 50 6.2 Trem de pouso telescpico ...................................................................... 51 Haste Principal .................................................................................... 52 Side stay .............................................................................................. 58 Haste deslizante .................................................................................. 62 6.3 Energia potencial e energia cintica .........................................................67 6.4 Equaes do movimento do sistema ....................................................... 71

7. RESULTADOS ..................................................................................................... 72 7.1 Introduo ................................................................................................ 72 7.2 Utilizao do programa ............................................................................ 72 7.3 Avaliao do modelo estrutural ................................................................ 72 7.4 Avaliao paramtrica da estabilidade do modelo .................................. 77 Haste Principal ......... 77 Side stay ............................................................................... 81 Torque link ................................................................................... 81 Shimmy damper .................................................................... 83 Pneu ....................................................................... 83

CONCLUSO ............................................................................................................85 ANEXO I ................................................................................................................... 88 ANEXO II .................................................................................................................. 92 ANEXO III ................................................................................................................. 96 ANEXO IV ................................................................................................................. 97 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 98 REFERNCIAS ADICIONAIS .................................................................................. 99

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LISTA DE SMBOLOS

ngulo de deslizamento ngulo entre a trajetria de C e o eixo x Coeficiente de atrito entre o pneu e o pavimento Comprimento de relaxamento do pneu Desvio angular do plano da roda com respeito ao eixo x Eixo do pneu perpendicular ao pavimento e ao eixo da roda Eixo paralelo ao eixo da roda e paralelo ao pavimento Eixo paralelo ao pavimento e perpendicular ao eixo da roda Spin do pneu Velocidade angular do sistema (0, , , ) em torno do eixo n n-simo autovalor de um problema de autovalor n n-simo fator de amortecimento de um modelo estrutural n n-simo grau de liberdade do modelo reduzido ref ngulo de referncia (uA,vA,wA) Coordenadas de um n A do modelo reduzido x Rotao de um n em torno do eixo x z Rotao de um n em torno do eixo z [] Matriz de amortecimento reduzida [] Matriz de massa reduzida [] Matriz de rigidez reduzida [] Matriz de transformao [] Matriz de transformao de Guyan [] Matriz que contm todos os autovetores do modelo reduzido [c] Matriz de amortecimento de um modelo estrutural [cp] Matriz de amortecimento do modelo da haste principal [cs] Matriz de amortecimento do modelo do side-stay [E1] Equaes de equlbrio do pneu [E2] Equaes de equlbrio do pneu [I] Matriz identidade [k] Matriz de rigidez de um modelo estrutural

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[kp] Matriz de rigidez do modelo da haste principal [ks] Matriz de rigidez do modelo do side-stay [kTL] Matriz de rigidez do modelo do torque-link [m] Matriz de massa de um modelo estrutural [mp] Matriz de massa do modelo da haste principal [ms] Matriz de massa do modelo do side-stay [ms] Matriz de massa da haste deslizante [R] Relao linear [Td] Matriz de transformao da haste deslizante [Tp] Matriz de transformao da haste principal [Ts] Matriz de transformao do side-stay [TTL] Matriz de transformao do torque-link {} Vetor de coordenadas de uma equao de movimento num modelo reduzido {F} Vetor de carregamentos nodais {Fs} Vetor de carregamentos nodais do side-stay {qd} Vetor de deslocamentos da haste deslizante {qm} Vetor de graus de liberdade master {qp} Vetor de deslocamentos da haste principal {qS} Vetor de deslocamentos do side-stay {qs} Vetor de graus de liberdade slave {qTL} Vetor de deslocamentos do torque-link {X} Espao de estados de um sistema de equaes 2a Comprimento da zona de contato do pneu com o solo 2b Largura da zona de contato do pneu com o pavimento a0 Constante do amortecimento de Rayleigh a1 Constante do amortecimento de Rayleigh C Centro do pneu c Elasticidade torcional da haste do trem-de-pouso no modelo de Besselink[2] cc Elasticidade lateral do pneu Cf Rigidez lateral da carcaa do pneu cp Rigidez lateral por unidade de rea dos elementos do pneu cs Rigidez de cisalhamento de um elemento da banda de rodagem cSD Constante de amortecimento do shimmy-damper

x

cy Elasticidade lateral do trem-de-pouso no modelo de Besselink [2] D Fora de cisalhamento aplicada sobre a banda de rodagem e Trail, ou seja, a distncia horizontal do eixo da roda ao eixo de rotao do

trem-de-pouso E3 Constante de equlbrio do pneu Fref Fora de referncia Ft tenso da corda no modelo de pneu de Von Schlippe e Dietrich Fy Carregamento lateral sobre a banda de rodagem do pneu h Altura da haste deslizante Iz Momento de inrcia de rotao em torno do eixo z k Constante de amortecimento torcional do trem-de-pouso no modelo de

Besselink [2] kss Constante elstica do side-stay ky Constante de amortecimento lateral do trem-de-pouso no modelo de

Besselink [2] L Funo de Lagrange mref Massa de referncia Mz Momento de rotao do pneu em relao ao seu eixo . Momento de

alinhamento. Np Nmero de modos de vibrao utilizados na construo do modelo reduzido

da haste principal p Presso exercida pelo pneu sobre o pavimento p Presso na direo aplicada sobre o pneu q Distncia no eixo do centro de massa do pneu em relao ao eixo da roda qi Vetor de deslocamentos de um modelo estrutural Qk Foras aplicadas em um sistema de equaes de movimento r Raio do pneu R Funo de dissipao de Rayleigh rotx Rotaes dos ns de um modelo estrutural em torno do eixo x rotz Rotaes dos ns de um modelo estrutural em torno do eixo z rref Comprimento de referncia s Distncia percorrida pelo pneu S1 Componente longitudinal da tenso total da corda que representa o pneu

xi

S2 Tenso transversal do feixe de cabos que modelam o pneu T Energia cintica Td Energia cintica da haste deslizante Td Energia cintica da haste deslizante Tp Energia cintica da haste principal tp Distncia no eixo de aplicao de foras laterais no pneu em relao ao eixo

da roda tref Tempo de referncia uy Deslocamentos dos ns de um modelo estrutural no eixo y V Energia potencial do trem-de-pouso

V Velocidade de deslocamento da roda v1 Deformao lateral da frente do pneu v2 Deformao lateral da traseira do pneu vp Deflexo lateral da banda de rodagem do modelo de pneu Vp Energia potencial da haste principal Vs Energia potencial do side-stay vs Deflexo lateral da corda do modelo do pneu vs Deflexo lateral da corda que representa o pneu VTL Energia potencial do torque-link w Deformao do pneu no eixo W Posio no eixo de um ponto na zona de contato do pneu W Posio no eixo de um ponto na zona de contato do pneu W0 Velocidade de deslizamento lateral do pneu yw Distncia percorrida pelo pneu na direo y

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NDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 Um trem-de-pouso simples.................................................................... 6 Figura 2.2 ngulo de deslizamento ........................................................................ 9 Figura 2.3 Teoria de Von Schlippe e Dietrich........................................................ 10 Figura 2.4 Modelo estudado por Besselink .......................................................... 11 Figura 2.5 Soluo para o problema no amortecido .......................................... 12 Figura 2.6 Variveis relacionadas ao pneu .......................................................... 13 Figura 3.1 Recolhimento do trem-de-pouso de um avio A310 ........................... 19 Figura 3.2 Alguns exemplos de trens-de-pouso simples ..................................... 21 Figura 3.3 Componentes bsicos de um trem-de-pouso telescpico .................. 24 Figura 4.1 Tipos de construo de pneu .............................................................. 27 Figura 4.2 Contoro da banda de rodagem do pneu ......................................... 28 Figura 4.3 Distribuio da presso na zona de contato ....................................... 29 Figura 4.4 Fenmenos que geram a fora de atrito ............................................. 30 Figura 4.5 Mecanismos de deformao e foras do pneu ................................... 30 Figura 4.6 Deformao em um pneu freado ........................................................ 31 Figura 4.7 Deformao de um pneu em rolamento sob foa lateral .................... 32 Figura 4.8 Fora lateral aps uma mudana degrau de trajetria de um pneu ... 33 Figura 4.9 Propriedades da fora lateral .............................................................. 34 Figura 4.10 Conveno SAE para foras laterais em pneus.................................. 35 Figura 4.11 Descrio das variveis do problema de modelagem do pneu .......... 36 Figura 4.12 Vista de topo do modelo do pneu ....................................................... 37 Figura 5.1 Modelo da haste principal ................................................................... 44 Figura 5.2 Deslocamentos modais para o 5 modo ............................................. 49 Figura 6.1 Modelo proposto para trem-de-pouso ................................................. 52 Figura 6.2 Deslocamentos e coordenadas do side-stay ...................................... 59 Figura 6.3 Seo no plano xy da haste principal .................................................. 61 Figura 7.1 Resultados do modelo simplificado para o 1 caso ............................ 74 Figura 7.2 Resultados obtidos para o 2 caso ...................................................... 75 Figura 7.3 Comparando o 1 modelo de Besselink com o modelo utilizado ........ 76 Figura 7.4 Comparando o 2 modelo de Besselink com o modelo utilizado ....... 77 Figura 7.5 Comparao do efeito da inrcia e da rigidez da haste principal ....... 78

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Figura 7.6 Comparao do efeito da inrcia e da rigidez ..................................... 79 Figura 7.7 Comparao do modelo sem e com amortecimento estrutural .......... 79 Figura 7.8 Comparao do modelo sem e com amortecimento estrutural .......... 80 Figura 7.9 Influncia da rigidez do torque-link, com *SDc =0,0001 ........................ 82

Figura 7.10 Estabilidade do modelo com a rigidez do torque link 7000* =TLk e

amortecimento 0002,0* =c ................................................................... 82

Figura 7.11 Efeito do amortecimento na estabilidade a shimmy do modelo ......... 83 Figura 7.12 Efeito da rigidez do pneu na estabilidade do trem-de-pouso .............. 84

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1. INTRODUO

Todos os veculos terrestres que utilizam rodas podem ser sujeitos, em variados graus, a oscilaes em seus sistemas de suspenso, devido s interaes entre o piso e a suspenso. Essas vibraes podem tomar vrias formas dependendo da direo e da magnitude das foras envolvidas no instante em questo.

Uma maneira possvel de ocorrerem vibraes em sistemas de rodagem em veculos que estejam se deslocando atravs de oscilaes laterais e torcionais das rodas do veculo. Esse tipo de oscilao pode ocorrer em carros, caminhes, carrinhos de compras, assim como em aeronaves e quaisquer outros veculos. To comumente foram encontrados problemas com esse tipo de vibrao, com os mais variados graus de intensidade, que a esse tipo de vibrao deu-se o nome de shimmy. Na indstria aeroespacial, as aeronaves enfrentam shimmy em maior ou menor grau, quando esto rodando sobre o solo. A ocorrncia de shimmy em uma aeronave gera foras que so transmitidas a toda a aeronave. Elas podem causar desde um leve desconforto aos passageiros at ocasionar danos fsicos aeronave.

Toda operao de vo bem-sucedida de uma aeronave comercial termina, invariavelmente, com a aeronave estacionada em um ptio de aeroporto, sobre as suas rodas, com os trens-de-pouso estendidos, aps ter tocado o solo, desacelerado e manobrado at o terminal de desembarque de passageiros. Assim, necessrio projetar um trem-de-pouso que satisfaa os requisitos operacionais e que seja imune a problemas oscilatrios. A maneira mais eficiente de gerar um projeto de trem-de-pouso que satisfaa o que dele requerido estud-lo aprofundadamente durante a fase de projeto. Uma grande economia feita, tendo mo ferramentas de engenharia que permitam avaliar o comportamento de estruturas antes mesmo que elas se tornem prottipos. Assim se evita arriscar prottipos de aeronaves em testes potencialmente perigosos, ou ainda permitir que uma dada configurao de trem-de-pouso possa causar prejuzos a passageiros, linhas areas e administraes aeroporturias caso shimmy venha a ocorrer aps a homologao da aeronave. Levar em conta a possibilidade de ocorrncia de shimmy em um projeto de

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trem-de-pouso pode parecer um cuidado simples quando do projeto de uma aeronave. No entanto, existem problemas. As dificuldades so muitas, devido a fatores como a necessidade de gerar uma estrutura o mais leve possvel, que, em vo, representa um desperdcio de carga til, passando pela configurao que um trem-de-pouso toma. A pesquisa por ferramentas de engenharia que permitam estudar estruturas quanto ocorrncia de shimmy um tema que surgiu nos anos 40, quando as aeronaves ganharam em tamanho, peso, capacidade e velocidade no perodo entre as duas Guerras Mundiais. Nessa mesma poca, novos motores e novas configuraes de aeronaves enfrentaram vibraes de shimmy. Isso resultou num esforo industrial e acadmico de estudar quais os motivos do aparecimento de vibraes instveis cuja amplitude aumentava at danificar a estrutura da aeronave quando esta se deslocava em uma pista. As primeiras dificuldades no estudo de shimmy vieram do fato do pneu no ter sido modelado com eficcia at ento. Muitas teorias surgiram para tentar explicar a interao entre o pneu e o pavimento quando um pneu girava em uma superfcie, sob as mais variadas condies de carregamento e velocidade. Ao mesmo tempo em que apareciam as primeiras teorias que permitiam antecipar o comportamento de pneus se deslocando sobre superfcies, certas caractersticas estruturais de trens-de-pouso foram destacadas como as maiores responsveis pela ocorrncia de oscilaes em aeronaves de teste. Projetos eram alterados empiricamente e testados avaliando como essas caractersticas influam no comportamento dinmico do trem-de-pouso. Empresas aeronuticas criaram bancos de teste de trens-de-pouso baseados em ensaios onde:

(1) uma pista onde um tren preso em um trilho fazia um trem-de-pouso retirado de alguma aeronave se deslocar sob vrias condies enfrentadas por uma aeronave real

(2) modelos de estruturas eram colocados sobre esteiras em laboratrios e submetidos a variadas velocidades e ngulos de direo para estudar o problema.

Mesmo com o conhecimento acumulado nos anos 40, a ocorrncia de shimmy continuou a incomodar projetistas em todo o perodo subseqente. No entanto, a maioria dos avanos obtidos no perodo permaneceu propriedade

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industrial. Aqueles que quiserem estudar o problema no futuro, ser necessrio aprender tudo novamente, pois pouco est disponvel na literatura acadmica, mesmo hoje.

A preocupao com a estabilidade vibracional de trens de pouso recorrente no Pas, j que o Brasil abriga a quarta maior indstria aeronutica comercial do mundo. Essa indstria atua principalmente no mercado de aeronaves comerciais regionais para passageiros, sendo que projetos de aeronaves cada vez maiores so elaborados. Tendo em vista a falta de bibliografia adequada sobre o tema, imperativo o desenvolvimento de teorias que possibilitem a anlise correta dos projetos de trem-de-pouso das aeronaves atualmente em desenvolvimento. Isso permitir a construo de aeronaves mais seguras e confortveis, sem correr o risco de enfrentar vibraes que possam causar danos estrutura do avio ou desconforto aos passageiros. Este trabalho tem por objetivo progredir no conhecimento acadmico desse tipo de vibrao, buscando elaborar uma ferramenta que possibilite a anlise de estruturas de trem-de-pouso, analisando a relao entre as foras que agem sobre o pneu, levando em conta a geometria do trem-de-pouso e possibilitando analisar o comportamento da estrutura a partir da sua concepo. As abordagens possveis, tomadas por outros autores, so a criao de modelos analticos a partir dos quais se elabora uma teoria que busque reproduzir o comportamento de uma estrutura real, utilizando parmetros concentrados, como molas e amortecedores. Outra abordagem o uso de mtodos numricos onde, atravs de ferramentas computacionais, um sistema multi-corpos pode ser simulado a partir da modelagem das articulaes entre os corpos e do comportamento estrutural dos mesmos. Os modelos analticos simplificados existentes tm a vantagem de possibilitar uma anlise paramtrica a partir de cada uma das variveis do problema, possibilitando correlacion-las e determinar as zonas de estabilidade da estrutura. Esse tipo de abordagem, no entanto, tende a ser demasiado simplificada, impedindo que o comportamento real da estrutura seja reproduzido pelo modelo pela falta de liberdade do modelo se adaptar s nuances da estrutura. Nesses mtodos a geometria da estrutura foi levada em conta de forma insuficiente, devido complexidade dos modelos que teriam de ser construdos para obter resultados

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acurados. Os modelos numricos, por outro lado, geram resultados estruturais muito prximos aos reais, graas teoria dos elementos finitos e aos programas computacionais que resolvem problemas desse tipo. O problema que esses mtodos so muito dispendiosos em recursos computacionais, utilizando um nmero muito grande de manipulaes numricas para chegar a um resultado e gerando, da mesma forma, uma massa muito grande de dados. A tomada de decises a partir dos resultados obtidos , desta maneira, dificultada pelo grande nmero de variveis que impedem uma fcil visualizao dos prximos passos a serem tomados de forma a obter um projeto vivel.

Esse trabalho direcionado de forma a aumentar a qualidade dos modelos j conhecidos para estudo de shimmy sem aumentar demasiadamente a complexidade do problema. Um aumento do nmero de graus de liberdade do modelo substitudo por poucas variveis adicionais, mas que contenham informao sobre o comportamento estrutural do trem-de-pouso de forma a represent-lo mais adequadamente. Da mesma forma, o comportamento do modelo linearizado, apesar do comportamento de shimmy ser no-linear. Desenvolveu-se uma metodologia geral, a partir da qual uma estrutura pode ser modelada numericamente e a complexidade do problema resultante pode ser diminuda. Utilizou-se teorias otimizadas de reduo de graus de liberdade, cujos resultados podem ser aplicados ento em modelos analticos, onde cada varivel pode ser estudada separadamente. Dessa forma, o mtodo aqui desenvolvido pode ser adaptado para diferentes estruturas e para diferentes graus de complexidade do modelo estrutural desejado. Este trabalho leva em conta a necessidade enfrentada pela indstria brasileira no que tange o projeto de aeronaves. Os estudos sobre o fenmeno de shimmy de trens-de-pouso de aeronave so to raros que os projetistas de hoje praticamente no tm uma metodologia em que possam se basear de forma a direcionar os seus trabalhos. A estrutura mais comum de trem-de-pouso principal , dessa forma, aqui estudada. So os trens-de-pouso principais do tipo telescpicos de duas rodas usados, por exemplo, na aeronave Embraer 170 da Embraer. A metodologia geral foi aplicada estrutura visada, gerando um conjunto de equaes que permitiram estudar a estabilidade dinmica da estrutura. Os

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resultados obtidos foram ento analisados, atingindo-se a concluso que os efeitos da flexibilidade estrutural e da inrcia da haste principal do trem-de-pouso influem na estabilidade da estrutura.

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2. REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 Introduo

Shimmy um movimento oscilatrio, que combina movimento lateral e torcional do trem-de-pouso causado pelas interaes entre o comportamento dinmico do pneu e a dinmica da estrutura do trem-de-pouso (Besselink [2]). Descreveu-se esse fenmeno h mais de cinqenta anos no trabalho de De Carbon [4], onde estudou-se a ocorrncia de shimmy no trem-de-pouso do nariz de aeronaves com trem-de-pouso do tipo triciclo, nas quais a roda do nariz pode girar livremente em torno do ponto de pivoteamento na sua estrutura. Observou-se que em certas condies de velocidade essa estrutura adquire um movimento oscilatrio auto-sustentado em torno do pivoteamento AA conforme mostra a figura 2.1. Nas aeronaves do tipo supracitado essa oscilao pode se tornar extremamente violenta, causando desconforto e em ltima instncia causando falha da estrutura do trem-de-pouso. Na figura pode-se ver o brao e entre o ponto de contato do pneu com o pavimento e a linha AA ao redor da qual a montagem da roda pode girar.

Figura 2.1: Um trem-de-pouso simples

A literatura a respeito do problema especfico de shimmy de trem-de-pouso principal de aeronaves escassa; alm disso, necessrio enfatizar que muitos desenvolvimentos so propriedade industrial e no so publicados abertamente, de acordo com Besselink [2]. O autor cita Hitch (Aircraft Ground Dynamics, Vehicle System Dynamics, 1981):

Main wheel shimmy is sufficiently rare that it is totally ignored. However the

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Douglas DC-9, the BAC 1-11 and according to some accounts the Boeing 737 and Fokker F-28 all designed to a very similar specification in the same 5 year time span _ each suffered main wheel shimmy to varying degrees. This caught the Industry by surprise and, even among rivals, some conferring took place. This effort undoubtedly updated the state-of-the-art but none of the companies reported their work in the open literature and the special conditions that these four aircraft represented have never been re-established nor has the problem recurred. The next generation of designers will have to learn the secrets all over again.

2.2 Teorias analticas que descrevem o fenmeno de shimmy

Os primeiros estudos do fenmeno de shimmy eram aproximaes lineares do movimento dos pneus e da vibrao de trens-de-pouso; embora houvesse teorias diferentes, todas elas eram variaes do modelo de Von Schlippe e Dietrich (Das Flattern eines bepneuten Rades, Bericht 140 der Lilienthal Gesellschaft, 1941 Traduo para Ingls: NACA TM-1365, 1954) para pneus, de acordo com Smiley [14], sendo que no incio dos anos 50, j eram gastos milhes de dlares para soluo de problemas relacionados a shimmy, mesmo se tratando de fenmenos j conhecidos h pelo menos 20 anos (Moreland [11]).

Em um dos primeiros estudos sobre o assunto, Howard [9] conduziu uma srie de experimentos investigando shimmy em rodas instaladas em pivs como o da fig. 2.1, verificando as influncias do arranjo geomtrico, o tipo de pneu e a presso de inflagem, o momento de inrcia da estrutura e a carga sobre o trem-de-pouso. As suas concluses indicaram que a variao do tipo do pneu e da presso de inflagem era insignificante, enquanto o momento de inrcia e o ngulo de cster influam na ocorrncia de shimmy.

Uma unificao das teorias existentes na dcada de 50 resultou numa teoria sumria para modelagem do comportamento da dinmica de trem-de-pouso e pneu, [14]. Essa teoria considera o movimento de rolagem e shimmy de uma roda rgida equipada com um pneu elstico, quando a roda est ligada a uma estrutura de suporte como uma perna do trem-de-pouso. O movimento dessa roda rgida pode ser descrito por 6 variveis, correspondentes aos 3 graus de liberdade da roda tanto

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de translao quanto de rotao. Em adio a esses 6 graus de liberdade, existe um stimo grau de liberdade associado deformao do pneu elstico que resulta de um dado movimento aplicado roda rgida.

Um sistema completo para o estudo desse caso tem ento 7 equaes e 7 variveis, 6 equaes referentes ao equilbrio de foras e momentos aplicados roda e uma stima equao associando a deformao do pneu s outras variveis. A teoria sumria restringe a anlise da ocorrncia de vibraes indesejadas s

seguintes condies: a roda se desloca a uma velocidade constante

V sem frear,

conseqentemente com velocidade angular constante, onde no ocorrem fortes oscilaes na vertical. Assim, aceleraes e desaceleraes angulares, verticais e longitudinais da roda so excludas da anlise, assim como as vibraes nessas direes. Com essas trs restries aplicadas, o problema se resume a 4 variveis: a rotao da roda em torno de um eixo vertical, eixo AA da figura 2.1, a inclinao lateral da roda em relao a um plano paralelo direo do movimento no-perturbado, o deslocamento da roda com respeito linha da trajetria no-perturbada e o deslocamento lateral do caminho percorrido pelo pneu no cho, que representa a sua deformao.

Para resolver o sistema de 4 variveis obtido, torna-se imperativo solucionar o problema da deformao do pneu. O pavimento sobre o qual o pneu se desloca tomado como uma superfcie lisa, rgida e indeformvel enquanto o pneu aproximado por um modelo elstico, como realizado em Pacejka [13]. Quando um pneu se move sobre um pavimento, vrios tipos de deformao ocorrem, alm da deformao causada pelo carregamento vertical na situao esttica. Quando a roda se move de uma maneira que a zona de contato de um pneu imaginrio, que no apresenta deformaes horizontais, no se move com relao ao piso, trata-se de rolagem pura, conforme a figura. Quando todos os pontos de contato mostram a mesma velocidade relativa quanto ao piso, trata-se de deslizamento longitudinal quando essa velocidade e a velocidade de rolagem tm a mesma direo; trata-se de deslizamento lateral quando a velocidade relativa direcionada perpendicularmente velocidade de rolagem. O ngulo entre o plano do centro da roda e o vetor de velocidade do centro da roda chamado ngulo de deslizamento.

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Figura 2.2: ngulo de deslizamento Ao longo dos anos, vrias teorias foram propostas para modelar o

comportamento do contato tangencial entre pneu e pavimento (Pacejka [13]). H dois tipos de abordagem para a anlise desse comportamento. Uma abordagem trata da modelagem de um estado estacionrio de um corpo em rolamento, de forma que um valor constante de deslizamento ocorre, sendo que em alguns casos modela-se o pneu executando uma curva de velocidade constante. A segunda abordagem trata do estudo do comportamento no-estacionrio do pneu, onde deslizamento lateral e a velocidade angular variam com o tempo. Na primeira abordagem, uma viga elstica introduzida para a representao da carcaa do pneu, dividida em blocos elsticos para simular os elementos do perfil da banda de rodagem do pneu.

Algumas modelagens de pneus foram mencionadas por Pacejka, entre eles o modelo de Fiala, que modelou a lateral da carcaa como uma viga elstica infinitamente longa, onde a deformao da viga calculada a partir de uma fora agindo na lateral da roda, agindo simetricamente em relao ao plano vertical que passa pelo eixo da roda. Existe tambm o modelo de Kantrowitz [10], que foi um dos primeiros a tentar descrever o comportamento do pneu a fim de estudar o fenmeno de shimmy. Kantrowitz apresentou o termo shimmy cinemtico, que obtido quando todos os efeitos de inrcia do sistema so omitidos. Esse tipo de shimmy ocorre a baixas velocidades, com amplitude permanecendo finita. Kantrowitz estudou ainda o amortecimento causado pelo acoplamento giroscpico devido distoro lateral do pneu. Pacejka mencionou ainda que Smiley [14] prediziu que os efeitos de inrcia do sistema tornam-se significativos a uma velocidade da magnitude de r270 mph, onde r o raio do pneu em ps.

Em 1941 os j citados Von Schlippe e Dietrich apresentaram uma teoria da cinemtica do pneu que introduz o conceito da corda tensionada, onde o pneu

10

tratado como uma corda infinita sob uma fora de pr-tenso constante, sendo uniformemente apoiada elasticamente na direo lateral, em uma zona de contato finita, sendo esta a primeira aproximao na qual uma zona de contato com comprimento finito era considerada. Nesse mesmo artigo Dietrich aplicaram sua teoria ao problema de shimmy. Von Schlippe e Dietrich em seguida avanaram mais a sua teoria, de forma que ela levasse em conta a largura da zona de contato do pneu. A figura 2.3 mostra o modelo de Von Schlippe e Dietrich.

Figura 2.3: Teoria de Von Schlippe e Dietrich

Moreland [11], por sua vez, criou um modelo simplificado, introduzindo uma constante de tempo que representa o atraso entre uma fora lateral aplicada no pneu e o momento em que o ngulo da trajetria do pneu em relao ao plano central da roda atinge um estado estacionrio. Pela teoria de Moreland, o pneu apenas um anel elstico tensionado ao redor de uma roda, que toca o pavimento em um nico ponto. No entanto, Pacejka [13] argumentou que este modelo falho em reconhecer que o comportamento do pneu dependente do caminho que ele percorre. Por essa razo, esperado que esta teoria seja correta para apenas um valor de velocidade de avano.

A partir dessas teorias, mas principalmente a partir da teoria da corda finita desenvolvida por Von Schlippe e Dietrich, Pacejka [13], criou um modelo de pneu para vrias condies de foras, que passou a ser conhecido como The Magic Formula e amplamente utilizado na prtica. A teoria de Pacejka foi a primeira a levar em conta o fato de que a largura da banda de rodagem do pneu no infinitesimal. Segue na eq. (II.1) a frmula de Pacejka para modelagem de pneu, onde e so um sistema de eixos dentro da zona de contato do pneu, paralelo

11

ao pavimento no plano perpendicular ao eixo da roda, paralelo ao eixo da roda, p a presso na direo , S1 a componente longitudinal da tenso total na corda, D a fora de cisalhamento na seo da banda de rodagem, vs a deflexo lateral da corda e cs a rigidez de cisalhamento de um elemento da banda de rodagem.

022

=

+

s

lssvSDvcp

(II.1)

Figura 2.4: Modelo estudado por Besselink

Para o estudo de shimmy a partir das teorias mencionadas de modelagem de um pneu (Pacejka [13]), utilizou-se um modelo mais simplificado para uma primeira aproximao do problema (Besselink [2]) com apenas trs graus de liberdade do sistema do trem-de-pouso: a rotao da roda e do seu brao em torno de um eixo vertical, a deformao lateral da haste principal e a deformao do pneu.

A partir desse modelo Besselink [2] construiu equaes linearizadas do movimento de uma roda montada em um brao que pode girar em torno de um eixo vertical. O brao possui elasticidade e amortecimento desse movimento de rotao, sendo que esse eixo vertical pode se deformar lateralmente, como mostrado na figura 2.4. Nessa figura, cy e ky representam a flexibilidade e a dissipao de energia para oscilaes laterais da haste principal do trem-de-pouso, respectivamente, c e k so a flexibilidade e a dissipao de energia para movimentos torcionais da haste principal do trem-de-pouso, respectivamente. A varivel e a distncia horizontal

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entre o eixo da roda e o eixo piv ao redor do qual a roda oscila, conhecida como trailing distance ou apenas trail. Uma fora Fy representa o carregamento lateral sobre a banda de rodagem do pneu, aplicada num ponto a uma distncia horizontal tp do eixo da roda. O trabalho de Besselink [2] destina-se a estudar a ocorrncia de shimmy em trens-de-pouso principais de aeronaves. Esse trabalho trata a modelagem do trem-de-pouso por elementos a parmetros concentrados, isto , utilizam-se molas e amortecedores para representar a rigidez e a dissipao de energia para movimento lateral e de toro do trem-de-pouso.

Passando as equaes obtidas para a forma de espao de estados, utilizando ento autovalores, Besselink fez a anlise de estabilidade do sistema de terceira ordem que obtido, usando o critrio de Hurwitz (Ogata [12]). Assim, cria-se um conjunto de condies a serem cumpridas para que o sistema descrito seja estvel. Essas condies podem ser representadas graficamente, como mostrado na figura 2.5, que representa as solues para sistema no amortecido (ky, k = 0, q

13

sistema do trem-de-pouso. Podem ser observadas duas regies de estabilidade, uma com valor negativo do brao da articulao da roda, outra com esse valor positivo. Essas regies de estabilidade oscilatria se encontram entre duas curvas que condicionam a rigidez torcional da haste principal do trem-de-pouso a partir das caractersticas do trem-de-pouso em questo. H uma regio monotonicamente instvel para valores negativos grandes de e com rigidez angular pequena da haste principal. Para os pontos fora dessas trs regies, o sistema instvel oscilatoriamente, com amplitudes crescentes para um deslocamento com velocidade

constante

V . Na figura, Cf representa a rigidez da carcaa do pneu na direo lateral e representa a zona de relaxamento do pneu. Nota-se na figura 2.5 que nenhuma das condies de estabilidade depende do valor da velocidade. No entanto, pertinente destacar que esse estudo foi conduzido para velocidade constante de deslocamento da aeronave. Na figura 2.6 mostram-se as variveis referentes ao pneu.

Figura 2.6: Variveis relacionadas ao pneu

As limitaes da teoria mostrada (Besselink [2]) advm do fato do modelo no levar em conta a geometria do sistema do trem-de-pouso, como, por exemplo, a existncia (e o ponto de fixao) do side-stay, uma haste rgida, articulada para permitir o recolhimento do trem, que liga um ponto da haste principal estrutura do avio. O fato de no ser considerada a inrcia do trem-de-pouso e da sua caracterstica de ser uma estrutura de dimenses que no so desprezveis em relao a outras grandezas do problema tambm limita muito esse modelo (por exemplo, o dimetro da haste do trem-de-pouso tem a mesma ordem de grandeza

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do tamanho do brao e da articulao do sistema).

2.3 Parmetros Adimensionais

As grandezas relacionadas ao problema podem ser tratadas de forma adimensional, da mesma forma que Besselink [2] apresentou os seus resultados. Para fazer isso so estabelecidas medidas de referncia e as grandezas adimensionais so construdas fazendo a relao entre as grandezas no sistema de unidades utilizado e as medidas de referncia, como segue:

- A medida de comprimento de referncia o raio no-deformado do pneu do trem-de-pouso, chamado aqui de rref.

- A medida de fora de referncia a carga nominal do pneu, Fref. - A massa de referncia a massa no-suspensa do trem-de-pouso, mref. - A unidade de tempo de referncia, tref 1s. - A unidade de ngulo de referncia, ref, o radiano.

Dessa forma, as variveis do problema podem ser estudadas independentemente do sistema de unidades que seja utilizado. A notao utilizada aqui para indicar uma varivel na forma de parmetro adimensional um * em seguida do smbolo da varivel. Como exemplo, o comprimento adimensional da zona de contato do pneu expressa em funo de uma frao do raio no-deformado do pneu:

refr

aa =* (II.2)

A energia cintica adimensional expressa utilizando a massa de referncia, o raio no-deformado do pneu e a unidade de tempo de referncia:

2

2*

refref

ref

rm

tTT

= (II.3)

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3. O TREM-DE-POUSO

3.1 Introduo

O trem-de-pouso um subsistema de aeronaves, responsvel por sustentar o peso da aeronave no solo e nas etapas relacionadas, ou seja, a corrida de decolagem, o toque para pouso e a subseqente frenagem.

O projeto de um trem-de-pouso acompanhou a evoluo das aeronaves desde o sculo XIX, sendo que atualmente um sistema muito mais complexo que as primeiras alternativas envolvendo pernas humanas, patins, rodas de bicicleta e apoios para decolagem e pouso verticais.

A arquitetura mais comum nos inmeros avies comerciais operando atualmente o sistema com rodas, mais especificamente o sistema com rodas em triciclo e com trem-de-pouso na dianteira do avio. Este captulo destina-se a mostrar um pouco da estrutura de um trem-de-pouso e seus sistemas agregados, destacando o papel que cada um desempenha para sustentar a aeronave quando em solo.

3.2 Histrico

O projeto de trens-de-pouso seguiu o desenvolvimento das aeronaves e de seus requisitos operacionais. Os avanos no projeto de trens-de-pouso acarretaram num nmero to grande de variaes quanto existem aeronaves diferentes. A massa de decolagem das aeronaves existentes aumentou de 225 kg no incio do sculo XX para uma massa total de 600.000 kg ao final desse sculo. A tabela 3.1 identifica alguns dos avanos mais significantes para o trem-de-pouso ao longo do tempo, [16]. Para a estrutura, os avanos mais importantes foram o desenvolvimento dos vrios tipos de amortecedores que permitem maior segurana no momento do toque na pista, trens-de-pouso retrteis que melhoram a aerodinmica da aeronave, trens-de-pouso com arranjo de mltiplas rodas para melhorar a distribuio do peso da aeronave sobre o pavimento e uso de materiais mais resistentes nas estruturas da aeronave, permitindo voar com cargas maiores. Para as partes rotativas, os avanos mais significativos foram a introduo de freios

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nas rodas, freios a disco, pneus sem cmara, sistemas de anti-skid que controlam a rotao das rodas para evitar travamentos e perdas de eficincia, freios feitos com compostos carbono-carbono e pneus radiais.

Tabela 3.1 Avanos significantes na rea de trens-de-pouso Dcada Estrutura Equipamentos das Rodas

Vo das primeiras aeronaves na Amrica e na Europa

1900

Amortecedores a leo

1910 Amortecedores leo-pneumticos

Trens-de-pouso retrteis

Pneus e Rodas especiais, Pneus com estrutura interna Primeiros freios nas rodas

1920 Roda com molas internas

Freios nas rodas popularizam-se

1930

Molas a lquido so desenvolvidas

Freios diferenciais so demonstrados Sistemas hidrulicos de freio

1940 Trens-de-pouso com mltiplas rodas Solda a presso de partes de ao Trem-de-pouso instalado na dianteira Ligas de alumnio de alta resistncia

Primeira aeronave com dupla roda nos trens-de-pouso principais e trem dianteiro (B-29)

Freios a disco 1950

Aos de resistncia muito alta usados em trens-de-pouso

Sistemas de anti-skid

Pneus de alta presso 1960

Ligas de alumnio de alta durabilidade e resistncia a corroso e fadiga

Pneus sem cmara Sistemas eletrnicos de anti-skid

1970 Controle eletrnico da direo do trem dianteiro Molas a nitrognio lquido

Freios a disco de Carbono-Carbono

1980 Amortecedores passivos para correr em solo Amortecedores adaptativos para correr em solo (suspenso ativa)

1990

Nas primeiras aeronaves, a fragilidade da estrutura da asa significava que o trem-de-pouso era fixado diretamente na fuselagem, na regio de fixao dos motores, s vezes ligado diretamente s massas principais do avio, quando necessrio. No haviam freios e a bitola das rodas era estreita, o que oferecia riscos aeronave, por ser difcil manter a aeronave correndo no solo de maneira estvel e sem tocar as pontas de asa no solo causando acidentes. Logo se introduziram amortecedores que ajudaram a amortecer os impactos e atenuar os efeitos do uso de suspenso apenas com molas, que tinham tendncias

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desestabilizadoras quando rodando em pisos irregulares. Os primeiros sistemas de freios a serem utilizados em aeronaves, projetados a partir de freios j existentes em caminhes da Primeira Guerra, eram atuados pneumaticamente, com lonas presas aeronave sendo pressionadas contra a superfcie interna de um cilindro chamado tambor de freio. Em seguida surgiram os sistemas de freio a disco, similares aos utilizados nos carros atuais, com pinas atuando em pastilhas estticas sendo comprimidas contra um disco rotatrio para gerar o atrito necessrio para parar a aeronave. Conforme a tabela 3.1, nos anos 30 surgiram os primeiros freios acionados hidraulicamente. Os projetos de aeronaves dessa poca incluam freios a disco acionados hidraulicamente, utilizados em conjunto com pneus inflados com presses altas, adequados para usos em pistas pavimentadas. No perodo entre as Guerras Mundiais, o desejo de aumentar a velocidade de cruzeiro tornou importante a necessidade de um trem-de-pouso retrtil, diminuindo a rea frontal da aeronave, sendo responsvel por uma reduo de at 10% no arrasto e aumentando a velocidade em vo em at 6%, conforme [16]. Para atender s necessidades de baixo peso de um sistema retrtil, era necessrio reduzir o tamanho das rodas utilizadas, que at ento eram grandes para alojar o sistema de freio a disco desenvolvido nos anos 30, segundo Aircraft Technology Engineering & Maintenance [1]. Da mesma forma, a estrutura dos trens-de-pouso passou a ser articulada para possibilitar o recolhimento do mesmo para um vo no interior da aeronave quando em vo. A estrutura passou a incorporar ento juntas rotacionais e atuadores, que a permitiam dobrar e ser recolhida.

Nos anos 30 foram desenvolvidas as unidades retrteis telescpicas com dois amortecedores para uso em bombardeiros, sendo que as aeronaves de caa receberam projetos de trens com apenas uma perna telescpica e amortecimento leo-pneumtico. Nesta poca surgiram as aeronaves com trem-de-pouso localizado na dianteira da aeronave. Antes da 2 Guerra, as presses utilizadas nos pneus eram da ordem de 0,24 MPa com cargas nos pneus no maiores que 7.000 kg para permitir o pouso em pistas de grama ou terra. Durante o conflito, o surgimento de novos bombardeiros acarretou carregamentos da ordem de 14.000 kg por pneu e a necessidade de fazer pneus de at 1,6 m de dimetro para manter a presso de inflagem abaixo de 0,31

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MPa. Esse aumento do peso levou ao uso de pistas de pouso feitas em concreto. Na dcada de 50, surgiram avies com massa da ordem de 140.000 kg, acarretando que nem mesmo arranjos de duas rodas nos trens-de-pouso poderiam suportar 70.000 kg cada sem incorrer ao uso de pneus gigantescos e que no ultrapassassem as limitaes impostas pela resistncia do pavimento. Essas foram as primeiras aeronaves a incorporar trens-de-pouso com mltiplas rodas, reduzindo o tamanho dos pneus para 1,17 m de dimetro, com cargas no superiores a 22.500 kg por pneu, aumentando a vida til do pneu e das partes rotativas. Aps o aparecimento dos primeiros avies de caa a jato, com a necessidade de instalar os trens-de-pouso em asas finas, passou-se a utilizar presso de inflagem mais alta nos pneus, diminuindo o nmero e o tamanho dos pneus necessrios para sustentar a aeronave atravs do aumento da presso dos pneus, chegando em alguns casos a 2,75 MPa, que podiam ser operados de pistas lisas e porta-avies. Para ocupar pouco espao nas asas finas dessas aeronaves, sistemas com geometrias complexas apareceram para permitir o recolhimento para caber em volumes pequenos, principalmente em aeronaves a hlice de asa alta e bombardeiros supersnicos, onde trens-de-pouso de grande comprimento precisavam se recolher s naceles dos motores sem ocupar volumes grandes. Nas ltimas quatro dcadas, as estruturas de trens-de-pouso mantiveram suas geometrias e mecanismos bsicos inalterados. Seus componentes, no entanto, foram enormemente otimizados atravs do uso de ferramentas de projeto que substituram o mtodo de desenvolvimento atravs de tentativa e erro, levando a um nvel maior de segurana e eficincia da aeronave. No entanto, como abordado no captulo 2, Besselink [2] destaca que as ferramentas de auxlio de projeto so deficientes no que tange a predio do comportamento dinmico do trem-de-pouso quanto ao aparecimento de vibraes indesejadas e potencialmente perigosas. Alm disso, mesmo vibraes de baixa intensidade podem causar dano estrutura, j que pode ocorrer fadiga do material, dependendo da intensidade das tenses que so geradas.

3.3 Requisitos de projeto

A tarefa principal do trem-de-pouso, [16], absorver energia cintica e

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potencial relativas ao movimento na vertical e na horizontal. Na horizontal, devido atuao do sistema de freios e na vertical, devido necessidade de suportar o peso da aeronave em solo e amortecer o toque da aeronave durante o pouso. Em princpio, um engenheiro de projeto de um trem-de-pouso busca solues que permitam a reduo do volume quando recolhido e solues que apresentem leveza. A rea frontal da aeronave afetada pela presena de um trem-de-pouso, alterando o arrasto e afetando diretamente o desempenho durante o vo.

J que consiste de um sistema que no funcional com a aeronave em vo, essencial que esse sistema seja o menor e mais leve possvel para possibilitar uma maior carga til da aeronave. Considerando o peso de uma aeronave vazia e sem combustvel, a frao desse peso representada pelo trem-de-pouso corresponde tipicamente entre 6% e 10% do total da aeronave.

Figura 3.1: Recolhimento do trem-de-pouso de um avio A310, [16]

A retrao do trem-de-pouso realizada logo aps a aeronave deixar o solo, permitindo que a aeronave atinja velocidades maiores de vo e que a potncia dos

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motores possa ser melhor aproveitada para ganhar altitude. O volume do sistema retrado e do compartimento onde o trem-de-pouso permanece retrado deve ser o menor possvel, como na figura 3.1, interferindo to pouco quanto possvel com o compartimento de carga da aeronave e com a aerodinmica da fuselagem, [2]. As dimenses do trem-de-pouso so projetadas levando em conta uma distncia mnima que os motores ou as hlices da aeronave precisam manter em relao ao solo, assim como a capacidade da aeronave executar o movimento de arfagem durante a decolagem, que acabam estabelecendo limites para o posicionamento longitudinal do trem-de-pouso. Essas estruturas precisam estar localizadas prximas ao centro de gravidade da aeronave em respeito posio longitudinal. Da mesma forma, suficiente carga precisa ser aplicada no trem-de-pouso dianteiro para permitir o controle direcional da aeronave quando se deslocando em solo. O carregamento que ocorre no momento do pouso, que tem importncia na determinao da fora normal, estudado atravs das foras que atuam na estrutura do trem-de-pouso. No instante antes do contato entre o pneu e a pista de pouso, quando uma aeronave est efetuando o arredondamento ao final da aproximao, apenas a fora aerodinmica atua sobre o trem de aterrissagem e a roda est parada, [16]. No instante seguinte, o pneu comea a exercer presso sobre o pavimento e a roda comea a acelerar devido ao atrito. A acelerao da roda combinada com o aumento da presso sobre o amortecedor causa uma deformao para trs do trem-de-pouso. Assim que a roda est rodando com uma rotao equivalente velocidade de translao da aeronave, a energia acumulada liberada e o trem executa meio ciclo de oscilao para produzir foras contrrias no eixo, estabilizando-se novamente. O amortecedor continua absorvendo a energia da velocidade na vertical at que o avio esteja totalmente apoiado no solo. O pouso entra ento na fase de frenagem, quando novos esforos longitudinais ao eixo da aeronave sero aplicados no trem-de-pouso. Correes laterais da trajetria tambm acarretam carregamento do trem-de-pouso, nesse caso numa direo transversal ao eixo da aeronave. O projeto de um trem-de-pouso leva em conta esses carregamentos e tambm fatores eventuais como pneus com presso de inflagem diferentes, pneus que arrebentam e irregularidades na pista.

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O carregamento no trem-de-pouso considerado no s no projeto da estrutura desse sistema, mas tambm na seleo do pneu a ser utilizado. Em comparao com pneus veiculares, os pneus aeronuticos excedem em muito no s a faixa de velocidade de operao, mas tambm de carregamento. Levando em conta que o pneu precisa ter rea de contato grande o suficiente para permitir uma frenagem eficiente da aeronave e no causar presso grande o suficiente para danificar o pavimento, isso significa que a deformao desses pneus muito maior que num pneu para veculos terrestres. A combinao de altas velocidades, grandes arregamentos e deflexo elevada tornam as condies de operao de pneus aeronuticos muito severas [2].

3.4 Geometria e Componentes do trem-de-pouso

As geometrias bsicas so trens-de-pouso telescpicos ou em alavanca, [16]. Em adio, tipos semi-articulados so um compromisso entre os dois e so vantajosos quando o espao fsico limitado. As unidades telescpicas tomam vantagem quando so necessrios baixo custo e baixo peso, mas nem sempre podem ser utilizadas quando o compartimento do trem-de-pouso restrito em comprimento. Trens-de-pouso em alavanca permitem fcil recolhimento com reduo de tamanho e seu baixo atrito e sensibilidade para arrasto exibem vantagens para operao em pavimentos irregulares.

Algumas construes bsicas de trem-de-pouso so mostradas na figura 3.2:

Figura 3.2: Alguns exemplos de trens-de-pouso simples

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Em sistemas com mltiplas rodas essencial prevenir contra o sobrecarregamento das rodas dianteiras devido ao do freio e minimizar oscilao de arfagem do arranjo devido elasticidade dos pneus. necessrio tambm controlar a movimentao do trem para evitar velocidades altas no contato das rodas dianteiras do trem-de-pouso com o solo quando a aeronave executa uma rotao de arfagem no pouso. comum incorporar hastes de reforo, que conectam o freio perna do trem-de-pouso e geram um momento no piv do trem-de-pouso que contrabalana o efeito da frenagem das rodas na distribuio de presso sobre os mltiplos pneus. Um ou mais amortecedores so includos e controlam a oscilao de arfagem do arranjo do trem-de-pouso durante o taxiamento, impedem sobrecarga no contato das rodas traseiras durante o pouso e controlam a posio do trem para recolhimento. Os amortecedores desempenham um papel essencial, no podendo se estender completamente nem se retrair totalmente sob qualquer condio de operao. Os amortecedores so na verdade um conjunto que exerce ao mesmo tempo a funo de amortecedor e de mola, sustentando o peso da aeronave enquanto esta se desloca no solo. O trem-de-pouso dianteiro, apesar de no possuir sistemas de freio na maioria das aplicaes, o que enfrenta as condies mais variadas, por causa dos efeitos de movimento do centro de gravidade e reaes de frenagem, assim como da necessidade de controlar a direo da aeronave em solo. Os amortecedores podem ser a leo ou leo-pneumticos, e estes podem ter o leo e o gs coexistindo na mesma cmara, podendo ter vlvulas para modificar o amortecimento para retrao ou expanso do amortecedor. Podem possuir ainda vlvulas que permitem a atuao do amortecedor em graus diferentes conforme a extenso do amortecedor. Existem amortecedores que possuem cmaras separadas para gs e leo, podendo ser montados em qualquer atitude. Existem ainda amortecedores com gs e leo separados, que trabalham em dois estgios, atravs de duas cmaras separadas de gs, uma delas sendo inflada at uma presso, tal que quando a presso interna no amortecedor ultrapassa este valor, as cmaras a gs passam a trabalhar em srie, alterando a constante de mola do amortecedor. Essa necessidade existe porque molas a gs de nico estgio nem sempre so

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adequadas para cobrir todo o envelope de operao. O subsistema responsvel por maior parte da massa de um trem-de-pouso

o freio. O modo de funcionamento do freio converter a presso hidrulica comandada pelo sistema de controle em um torque proporcional ao exigido, a fim de desacelerar a aeronave com um controle suave da frenagem, absorvendo a energia cintica da aeronave enquanto esta desacelera.

A maioria dos freios hidrulicos consiste de um conjunto chamado heat pack ou heat sink (trocador de calor) que absorve a energia trmica gerada durante a frenagem de uma aeronave. Esse conjunto formado por estatores (presos ao trem-de-pouso) e rotores (solidrios roda) em forma de discos empilhados alternando entre um e outro. Esse conjunto de discos instalado em um tubo de torque, um tubo de metal, cuja superfcie externa tem estrias longitudinais ao eixo do tubo, cuja funo impedir os estatores de girar, no entanto permitindo que eles deslizem na direo longitudinal desse tubo de torque.

A parte mvel do freio a roda, formada de duas metades que so unidas durante a montagem do pneu, possuindo rolamentos para girar livremente sobre o eixo do trem-de-pouso, que rgido e esttico. Internamente roda existem estrias longitudinais ao eixo da roda, da mesma forma que no tubo de torque, fazendo com que os rotores do heat sink girem solidaririos roda.

Com a aplicao da presso hidrulica nos pistes do freio, os rotores e estatores so comprimidos um contra o outro. A presso exercida entre os discos, que se alternam entre rotores e estatores, gera um torque que freia a aeronave.

Altas temperaturas, da ordem de at 2.500C, so produzidas devido grande quantidade de energia que absorvida pelas unidades de freio. Por esse motivo o freio deve possuir uma massa mnima que possibilite absorver e dissipar a energia trmica gerada pelo atrito.

O pneu, em conjunto com a pista, gera as foras de atrito necessrias para a parada da aeronave. O atrito gerado na interface entre o cho e o pneu, quando o pneu forado a girar mais lentamente do que a velocidade da aeronave. O comportamento do pneu estudado em mais detalhes no captulo 4, que trata das foras envolvidas, assim como mostra o modo com que o pneu se deforma quando da aplicao de fora.

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3.5 Trem-de-pouso do tipo telescpico ou alavanca simples

O objetivo deste trabalho estudar o comportamento do trem-de-pouso do tipo telescpico com duas rodas, por ser o arranjo mais comum em aeronaves de passageiros, de acordo com Besselink [2], montado normalmente preso s asas da aeronave.

Suas partes principais so, conforme a figura 3.3:

Figura 3.3: Componentes bsicos de um trem-de-pouso telescpico

Haste principal: a maior parte da estrutura do trem-de-pouso. Internamente combina uma mola a gs e um amortecedor hidrulico.

Side-stay: Suporte lateral da perna de fora que mantm o trem-de-pouso na posio estendida sem depender da potncia hidrulica dos atuadores. Possui uma trava para permanecer estendido. Sustenta a estrutura contra as foras transversais ao trem-de-pouso.

Haste deslizante: translada verticalmente em respeito haste principal. Possui um grau de liberdade de rotao dentro da haste principal.

Torque link: Transfere momentos entre a haste principal e a haste

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deslizante e impede rotao da haste deslizante com respeito haste principal. Shimmy damper: Amortecedor hidrulico em srie com o torque link,

fornecendo amortecimento adicional para o movimento de rolagem do eixo das rodas. instalado no vrtice do torque link, tendo curso de alguns graus de rolagem.

Eixo das rodas: Sua caracterstica mais importante a distncia entre o eixo da haste principal e o eixo das rodas, longitudinalmente em relao aeronave, chamada de trail.

Fixao: Ponto da estrutura da aeronave onde o trem-de-pouso fixado.

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4. PNEUS

4.1 Introduo

Uma aeronave que se encontre no solo no est sujeita apenas s foras aerodinmicas geradas quando ela se desloca, mas tambm s foras geradas pelo contato entre os pneus e o solo, disso resulta a importncia de se compreender tanto a construo de um pneu quanto o comportamento de um pneu durante o seu rolamento em contato com o solo, sob ao das foras entre a aeronave e o solo.

Segundo Gillespie [6], o pneu serve basicamente para trs funes bsicas, quando em uma aplicao genrica em um veculo qualquer:

(i) Suporta a carga vertical, amortecendo irregularidades do piso; (ii) Desenvolve as foras longitudinais para acelerao e frenagem; (iii) Suporta as foras laterais para controle direcional do veculo;

Numa aeronave, as foras longitudinais no trem-de-pouso so geradas principalmente na frenagem, tendo em vista que as rodas de uma aeronave comercial no transmitem fora motriz, papel este delegado apenas aos motores. Quando o trem-de-pouso est extendido e a aeronave em movimento aparecem tambm as foras aerodinmicas, mas durante a frenagem que surgem foras longitudinais de grande intensidade que ocorrem entre a aeronave e o pavimento. As foras transversais tambm resultam da aerodinmica da aeronave e do deslizamento lateral do pneu, da inclinao lateral do pneu (ngulo de cmber), ou ambos.

4.2 Construo

Dois tipos bsicos de construo de pneus so utilizados, radial e diagonal, [6]. Os dois tipos esto ilustrados na figura 4.1.

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Figura 4.1: Tipos de construo de pneu

A construo de um pneu radial caracterizada por lonas paralelas (tecido emborrachado reforado por cordas de nylon, rayon, polister ou fibra de vidro) percorrendo transversalmente o pneu de talo a talo perpendicularmente direo da circunferncia. Essas lonas so chamadas de carcaa do pneu. Esse tipo de construo possibilita uma parede lateral flexvel e um comportamento dinmico suave, amortecendo irregularidades do pavimento, mas fornecendo muito pouca capacidade de controle lateral e estabilidade direcional. A estabilidade direcional provida por cintas rgidas de tecido ou de cabos de ao que correm ao redor da circunferncia do pneu, entre a carcaa e a banda de rodagem. O ngulo das fibras das cintas normalmente em torno de 20 em relao banda de rodagem. Sob a solicitao de foras laterais, as cintas ajudam a estabilizar a banda de rodagem, mantendo-a em contato pleno com o pavimento apesar dos esforos laterais aplicados no pneu.

Na construo de pneus diagonais, a carcaa constituda de duas ou mais camadas de lonas se estendendo de talo a talo, com as fibras das lonas dispostas em ngulos altos em relao banda de rodagem (35 a 40 da direo circunferencial) e alternando de direo a cada camada de lona. ngulos maiores resultam em pneus que proporcionam mais conforto aos ocupantes do veculo enquanto ngulos menores so melhores para a estabilidade direcional. Apesar da carcaa de um pneu diagonal ter muito mais rigidez na parede lateral do pneu do que um pneu radial, o pneu diagonal permite que numa curva o pneu se deforme a

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ponto de a lateral da carcaa entrar em contato com o pavimento, aumentando a carga nas nervuras mais externas da banda de rodagem. O mtodo de construo diagonal causa mais distoro na regio de contato quando o toride deforma em uma forma achatada, causando a contoro da banda de rodagem durante a rolagem, como mostrado na figura 4.2.

Figura 4.2: Contoro da banda de rodagem do pneu

4.3 Mecanismos da gerao de foras

As foras em um pneu no so aplicadas em um nico ponto. Elas so resultantes de presses normais e de cisalhamento distribudas pela rea de contato. A distribuio de presso sob um pneu no uniforme, variando ao longo das duas direes (transversal e longitudinalmente circunferncia do pneu) mesmo em situao estacionria. Quando rodando, no simtrica em relao ao eixo longitudinal, se concentrando na regio dianteira da zona de contato. A figura 4.3 exemplifica esta situao.

Devido visco-elasticidade do pneu, a deformao da parte dianteira da zona de contato causa o deslocamento para frente da presso vertical. O centride da fora vertical no passa pelo eixo de rotao e gera um atrito de rolamento. um mecanismo de cisalhamento que gera as foras laterais e de trao em um pneu rolando em um pavimento. Cada elemento da banda de rodagem passando pela

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zona de contato exerce uma tenso de cisalhamento que, integrada ao longo da rea total de contato igual fora de trao ou foras laterais exercidas pelo pneu.

Figura 4.3: Distribuio da presso na zona de contato (Tielking [15])

Em Tielking [15], pode-se observar como, mesmo em situao esttica, a distribuio de presso no homognea. Nesse trabalho construiu-se um modelo de pneu por elementos finitos e simulou-se um carregamento esttico, similar ao mostrado na figura 4.3. Observou-se que quanto maior o carregamento, ou menor a presso de inflagem do pneu, maiores os picos de presso observados nas laterais da carcaa do pneu. Nas regies de maior presso de contato, o atrito entre o pneu e o pavimento maior. Ainda, quanto mais homognea for a distribuio da presso na zona de contato, maior o valor do atrito gerado.

A adeso superficial surge dos vnculos intermoleculares entre a borracha e o agregado da superfcie do pavimento. A adeso a maior responsvel pelo atrito em pistas secas, mas reduzida substancialmente quando o pavimento se encontra contaminado com gua, causando a perda de atrito em pistas molhadas.

O mecanismo de histerese representa a perda de energia na borracha quando ela deforma, deslizando sobre o agregado do pavimento. O atrito por histerese no to afetado por contaminao por gua na superfcie do pavimento, assim pneus compostos por borracha com alto valor de histerese costumam ter valores melhores de trao em pisos molhados. Ambos os mecanismos de adeso e histerese dependem de maneira no muito acentuada do escorregamento da interface pneu-pavimento.

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Figura 4.4: Fenmenos que geram a fora de atrito [5]

4.4 Propriedades de pneus sob aplicao de trao

Durante a acelerao e a frenagem observado escorregamento, como um resultado da deformao dos elementos da banda de rodagem enquanto eles se defletem para desenvolver e sustentar a fora na direo longitudinal. A figura 4.5 ilustra o mecanismo de deformao na zona de contato pneu-pavimento, sob condies de frenagem.

Figura 4.5: Mecanismo de deformao e foras do pneu (Gillespie [6])

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Assim que os elementos da banda de rodagem entram na zona de contato, ainda no podem desenvolver uma fora de atrito por causa da sua complincia mecnica (precisam se deformar para sustentar uma fora). Isso s pode ocorrer se o pneu estiver se movendo mais rapidamente que a circunferncia da banda de rodagem. Ao mesmo tempo em que o elemento da banda de rodagem se move ao longo da zona de contato a sua deflexo aumenta de acordo com o carregamento vertical e ele desenvolve ainda mais fora de atrito. Contudo, ao aproximar-se da parte traseira da zona de contato o carregamento diminui e surge um ponto onde o elemento passa a escorregar perceptivelmente na superfcie de forma que o atrito diminui, chegando a zero conforme o elemento deixa de estar em contato com o piso. A figura 4.6, retirada de ESDU [5], mostra como se deformam os elementos de um pneu para o caso de rodar livremente ou sob frenagem, para um pneu diagonal.

Figura 4.6: Deformao em um pneu freado

Assim as foras longitudinais aplicadas sobre o pneu (acelerao e a desacelerao) dependem da existncia de uma diferena entre a velocidade de rotao do pneu e da velocidade de rotao do pneu se ele no estivesse deformado. A conseqncia a ocorrncia de escorregamento na zona de contato. importante destacar a diferena existente entre o escorregamento da zona de contato, causada pela deformao longitudinal dos elementos da banda de rodagem, e o deslizamento do elemento da banda em relao ao piso. Na primeira situao, a maioria dos elementos do pneu na zona de contato esto estticos em relao ao piso, se aproveitando do valor mais elevado do coeficiente de atrito

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esttico. No segundo caso, o atrito cintico passa a ser responsvel pela gerao da fora de frenagem.

4.5 Propriedades de pneus sob aplicao de fora lateral

Quando um pneu sujeito a uma fora lateral, o pneu desliza para o lado. Um ngulo aparece entre a direo da carcaa do pneu e a direo de deslocamento do pneu. Esse ngulo conhecido como slip angle, ngulo de deslizamento. Os mecanismos responsveis podem ser observados conforme a figura simplificada mostrada na figura 4.7.

Figura 4.7: Deformao de um pneu em rolamento sob fora lateral.

medida que o pneu avana e os elementos da banda de rodagem entram em contato com o pavimento, eles no esto defletidos da posio normal deles e, portanto, no podem sustentar fora lateral. Mas conforme o pneu avana em ngulo com a sua direo de deslocamento, os elementos da banda de rodagem permanecem na posio do seu contato original com o pavimento, sendo ento defletidos lateralmente com relao ao pneu. Por esse processo a fora lateral aumenta de acordo com o avano do elemento para a zona posterior da zona de contato, at o ponto em que a fora lateral ultrapassa o valor do atrito disponvel e escorregamento ocorre, assim a fora lateral desenvolvida ao longo da zona de contato tem o formato mostrado na figura 4.7. Integrando as foras ao longo da zona de contato resulta na fora lateral

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lquida, atuando no centride do grfico da fora. A assimetria da gerao da fora na zona de contato acarreta na fora resultante ser posicionada em direo parte posterior da zona de contato, que em relao ao centro da zona de contato uma distncia chamada de trail pneumtico, [6]. Por conveno da SAE, a fora lateral admitida como atuando no centro da zona de contato. Nesse ponto a resultante uma fora lateral, Fy, e um momento de alinhamento, Mz. A magnitude do momento de alinhamento igual fora lateral vezes a distncia de trail. Esse mecanismo no instantneo, mas atrasa o desenvolvimento do ngulo de deslizamento por causa da necessidade da deflexo das talas laterais do pneu na direo lateral. Esse atraso fortemente relacionado com a rotao do pneu, requisitando normalmente algo entre meia rotao e uma rotao completa do pneu para efetivamente atingir a condio de estado estacionrio. O fenmeno visto sob condies de teste em baixa velocidade, quando o pneu recebe uma mudana abrupta de direo. A resposta da fora lateral similar curva da figura 4.8. Com a mudana do ngulo de deslizamento, o pneu precisa girar mais de meia rotao at a deflexo lateral e a fora lateral aumentarem. A distncia que o pneu percorre chamada de distncia de relaxamento. O atraso temporal do desenvolvimento da fora lateral necessariamente depende da velocidade de rotao do pneu.

Figura 4.8: Fora lateral aps uma mudana degrau de trajetria de um pneu

O efeito de relaxamento responsvel pela perda de fora lateral quando um pneu opera em um piso irregular e experimenta variaes na fora vertical. Quando

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a carga vertical diminui, escorregamento ocorre em toda a zona de contato do pneu e a carcaa do pneu se endireita. O pneu precisa ento rodar por toda a sua distncia de relaxamento para poder constituir fora lateral novamente. Como conseqncia um pneu fornece pouca fora lateral em pisos irregulares. Comumente, o comportamento da fora lateral de pneus em rotao sobre um pavimento caracterizado apenas em estado estacionrio (carga constante e ngulo de direo constante). Medidas experimentais exibem invariavelmente a relao com o ngulo de deslizamento mostrada na figura 4.9. Quando o ngulo de deslizamento zero a fora lateral tambm nula. Com os primeiros graus de mudana de trajetria, a fora lateral aumenta rapidamente e linearmente de acordo com a ao dos mecanismos de deformao do pneu. A fora lateral atinge ento um mximo e comea a diminuir medida que a zona de escorregamento aumenta de tamanho. Sob ngulos grandes de deslizamento, a fora lateral se aproxima da fora lateral gerada por um pneu bloqueado, ou seja, impedido de girar.

Figura 4.9: Propriedades da fora lateral

Uma propriedade importante para a estabilidade e controle de direo de um pneu a derivada inicial da curva de fora lateral. O limite da derivada dessa curva para o ngulo de deslizamento nulo conhecido como rigidez lateral do pneu.

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Deve-se destacar que pela conveno da SAE, um ngulo positivo de deslizamento produz uma fora negativa, como mostrado na figura 4.10.

Figura 4.10: Conveno SAE para foras laterais em pneus.

4.6 Modelagem de pneus

O problema de estudar o comportamento do pneu, de forma a conhecer as caractersticas de aparecimento da fora lateral foi mencionado na forma de uma reviso histrica no captulo 2. citado o modelo de Pacejka [13], que introduziu uma equao importante, conhecida como The Magic Formula, amplamente utilizada para modelar o comportamento de fora lateral de um pneu. Pacejka [13] considera um corpo elstico e simtrico em torno do eixo de rotao, representando uma roda com um pneu rodando sobre uma superfcie lisa e horizontal representando o pavimento. Fixado ao pavimento fica um sistema global de coordenadas (0, x, y, z) onde os eixos x e y pertencem ao plano horizontal do pavimento e o eixo z aponta para baixo. Outro eixo de coordenadas (C, , , ) criado onde os eixos e pertencem ao plano (x,0,y) e aponta para baixo. O sistema se move em respeito ao sistema global de forma que o eixo pertence ao plano central da roda e o eixo forma a projeo do eixo de rotao da roda. O corpo deformado verticalmente de forma que uma regio de contato de tamanho

finito formada. O centro C viaja com uma velocidade constante V sobre o plano (x,0,y).

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Figura 4.11: Descrio das variveis do problema de modelagem do pneu

A tangente da trajetria de C faz um ngulo com o eixo x. Com respeito a esta tangente o eixo est girado de um ngulo . O desvio angular do plano da roda com respeito ao eixo x dado por:

+= (IV.1) Para ngulos pequenos de , a seguinte relao com a coordenada lateral do

ponto C e a distncia percorrida s vlida:

dsdyw

= (IV.2)

A partir deste ponto Pacejka [13] define as componentes no sistema (,) da velocidade de deslizamento em relao ao pavimento de um ponto dentro da zona de contato, (W,W).

A velocidade angular do sistema (C, , , ) em torno do eixo :

+== (IV.3) Neste ponto Pacejka [13] se restringe a pequenos deslocamentos angulares, ou seja, ||

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dsd

dtdsV

===

(IV.5)

definida ento a velocidade de deslizamento de um ponto com coordenadas (,) e relaciona a presso p exercida pelo pneu sobre o pavimento em cada um dos eixos do sistema (p, p, p), dependendo se no ponto em questo ocorre deslizamento ou no (regio de adeso), sendo que neste ltimo caso as componentes da velocidade de deslizamento so nulas. Neste ponto introduzido o coeficiente de atrito, relacionando a presso exercida pelo pneu sobre o pavimento nas direes e com a presso na direo . A deformao na direo chamada de u e na direo , v. Para o caso em que apenas deslizamento lateral ocorre, ou seja, = 0 e W = 0, as seguintes relaes so vlidas para uma regio de adeso:

=

s

vv, pp < (IV.6)

e as seguintes relaes para uma regio de deslizamento:

=

=

WppV

Ws

vv

sgn

(IV.7)

Figura 4.12: Vista de topo do modelo do pneu

Essas equaes valem para qualquer caso geral. As suas solues contm constantes de integrao que dependem da constituio do pneu, do qual uma descrio fsica aproximada dada em seguida (Pacejka [13]).

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O modelo usado trata o pneu no como uma corda como nos modelos anteriores, mas como uma faixa tensionada, como mostrado na figura 4.12. A carcaa representada por um nmero de cordas tracionadas, paralelas e apoiadas elasticamente, conectadas por cordas transversais. Os pontos de conexo podem ser mover apenas lateralmente e sua distncia mtua permanece a mesma. Quando as cordas esto deformadas lateralmente a borracha entre as cordas sofrer cisalhamento. Atravs do suporte elstico contnuo as foras axiais distribudas ao longo do comprimento da banda de rodagem podem ser transmitidas ao plano da roda. Presos a essa faixa sob tenso esto vrios blocos elsticos simulando o desenho da banda de rodagem do pneu. Na rea de contato de comprimento 2a e largura 2b esses blocos esto em contato com o pavimento. Admite-se que a deformao longitudinal u proporcional componente longitudinal da presso de contato, assim:

ucp *= (IV.8) onde p a presso e c* a rigidez longitudinal por unidade de rea dos elementos da banda de rodagem. A deflexo lateral v composta pela deflexo lateral da corda vs e pela deflexo lateral da banda de rodagem vp:

ps vvv += (IV.9) considerado apenas o caso em que a deformao da banda de rodagem constante ao longo da regio de contato. Admite-se ainda que vp proporcional presso lateral exercida pelo pneu sobre o pavimento:

ppvcp = (IV.10) onde p a presso lateral e cp a rigidez lateral por unidade de rea dos elementos do pneu. Finalmente, Pacejka obtm uma expresso para a deflexo das cordas, resolvendo o problema de um elemento do pneu em equilbrio dentro da regio de contato, desconsiderando os deslocamentos na direo para eliminar efeitos de segunda ordem. Na direo o equilbrio de foras atuando em um elemento de comprimento d de uma faixa de largura 2b, resulta na seguinte equao:

022

=

+

+

+ dvvSvSdDDDdvcdp sslslss (IV.11)

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que pode ser simplificada para:

022

=

+

s

lssvSDvcp (IV.12)

onde cs a rigidez da carcaa por unidade de comprimento, D a fora de cisalhamento aplicada sobre a banda de rodagem e S1 a componente longitudinal da trao aplicada sobre as cordas do modelo. Admite-se que a fora de cisalhamento uma funo linear do ngulo de cisalhamento, conforme a equao (IV.13):

=svSD 2 (IV.13)

Introduzindo a constante S=S1+S2 na equao (IV.12), Pacejka [13] deduz que:

sss vc

vSp

= 2

2

(IV.14)

Assim, nos pontos onde o pneu no faz contato com o pavimento a presso p desaparece ento:

avcvS sss >=

para,022

(IV.15)

E para os pontos em que o pneu faz contato com o pavimento, implicado por Pacejka, das equaes (IV.14), (IV.10) e (IV.9), que:

( ) avvcvcvS spsss

40

5. CONDENSAO ESTRUTURAL DO MODELO

5.1 Introduo

Uma estrutura pode ser dividida em um nmero finito de elementos, cada elemento com um nmero de ns, para os quais se calculam os deslocamentos quando o elemento se deforma. Esse o princpio do mtodo dos elementos finitos. Convenciona-se denotar os deslocamentos desses ns no sistema cartesiano de eixos (x, y e z) por (u, v e w), respectivamente. Na estrutura discretizada, ao i-simo n corresponde um vetor {qi} de deslocamentos. O mtodo dos elementos finitos, quando aplicado a estruturas complexas, divididas em um nmero muito grande de elementos, gera modelos que s podem ser resolvidos atravs de mtodos numricos, resultando um nmero muito grande de operaes matemticas at a convergncia ser obtida. A dimenso do problema gerado atravs do mtodo dos elementos finitos constitui muitas vezes um entrave compreenso do comportamento do modelo devido ao nmero grande de resultados, proporcional ao nmero de ns do modelo e ao nmero de graus de liberdade de cada n. Da mesma forma, a quantidade de clculos a serem realizados obriga a utilizao de recursos computacionais para sua soluo. A estrutura pode ser estudada levando-se em conta apenas os deslocamentos de alguns ns de interesse que so mantidos no modelo, de forma que os deslocamentos dos outros ns so aproximados a partir dos ns mantidos. Os mtodos que permitem esse tipo de operao so chamados de mtodos de reduo ou condensao de graus de liberdade.

5.2 Condensao esttica

O vetor de coordenadas nodais {q} de um modelo qualquer pode ser particionado em dois subvetores, [7]. Um deles compe-se dos graus de liberdade definidos como master e denotado por {qm}. O outro contm os graus de liberdade a serem removidos, chamados de slave e denotados por {qs}. Pode-se definir ento uma matriz de transformao [] para reordenar a matriz de graus de liberdade, como segue:

41

{ } [ ] { }{ }

=s

m

qq

q (V.1)

Ento {qs} aproximado por uma relao linear [R] dos componentes de {qm}, da seguinte forma:

{qs}=[R]{qm} (V.2)

Se [I] a matriz identidade, pode-se escrever que:

{ }{ }

[ ][ ] { }ms

m

qRI

qq

=

(V.3)

Substituindo a eq. (V.3) na eq. (V.1):

{ } [ ] [ ][ ] { }mqRI

q

= (V.4)

onde

[ ] [ ] [ ][ ]

RI

~ (V.5)

Para o caso esttico, as equaes de equilbrio do sistema so:

[ ]{ } { }Fqk = (V.6)

Particionando os graus de liberdade em master e slave nesse caso, tem-se ento:

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

=

s

m

s

m

sssm

msmm

FF

qq

kkkk

(V.7)

42

Ou seja, tm-se duas equaes:

[ ]{ } [ ]{ } { }msmsmmm Fqkqk =+ (V.8) e

[ ]{ } [ ]{ } { }ssssmsm Fqkqk =+ (V.9)

Da eq. (V.9), pode-se isolar os termos {qs}:

{ } [ ] { } [ ] [ ]{ }msmssssss qkkFkq 11 = (V.10)

Substituindo essa relao na eq. (V.8), tem-se:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]{ } { } [ ][ ] { }sssmsmmsmssmsmm FkkFqkkkk 11 = , (V.11)

que da forma

=

Fqk mas tem apenas o nmero de graus de liberdade do

vetor {qm}.

A equao da energia cintica de um sistema de partculas em movimento

com velocidade igual a

q :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

=

s

m

sssm

msmm

T

s

mT

q

q

mm

mm

q

qqmqT

21

21

(V.12)

Usando a mesma transformao da eq. (V.5), tem-se:

[ ] [ ][ ]=

mm

T (V.13)

43

Resulta uma matriz de massa que tem a forma:

[ ][ ] [ ]

=

00

0mmmm (V.14)

Essa matriz pode ser encontrada e vale:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]smssssssmssmssmssmssmsmm kkmkkkkmmkkmm 1111 +=

(V.15)

Essa nova matriz de massa tem a dimenso igual ao nmero de graus de liberdade master e a sua interpretao de que toda a massa do sistema passa a estar concentrada nos graus de liberdade master, enquanto os graus de liberdade slave deixam de ter massa e deixam de influenciar o comportamento dinmico do sistema. Por esse motivo a condensao de Guyan tambm conhecida como condensao dinmica. A energia cintica do sistema passa a ser representada ento por:

=

qmqT

T

21

(V.16)

5.3 Condensao dinmica

O desenvolvimento da condensao dinmica mais complexo para ser desenvolvido do que o exemplo da condensao esttica. Mas, se for utilizada a transformao [] que r