Anlise de Sistemas Lineares

Captulo 1Representao de Sinais

Universidade Federal do ParInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia EltricaAnlise de Sistemas LinearesO que um Sinal?Conjunto de dados ou informaes acerca do comportamento e das caractersticas de determinados fenmenos

Um sinal geralmente transporta informaes a respeito doestado ou do comportamento de um sistema fsico e,geralmente, sintetizado para a comunicao entrehumanos ou entre humanos e mquinas.1. Sinal2Os sinais so representados matematicamente como funes de uma (unidimensional) ou mais variveis independentes (multidimensional):

Um sinal de voz pode ser representado matematicamente como uma funo do tempo

Um imagem fotogrfica pode ser representadamatematicamente como a variao do brilho e da corObs: varivel independente a varivel que afeta ou determina outra varivel

Exemplos de Sinais

Exemplos de Sinais

Exemplos de SinaisCircuito RC

Exemplos de SinaisCarro

Exemplos de SinaisVoz/fala humana

Exemplos de SinaisEletrocardiograma

Exemplos de Sinais

Electroencelofalograma

O que um Sistema? uma entidade (dispositivo) que manipula um ou mais sinais, para realizar uma funo, produzindo novos sinais. 2. Sistema

Exemplos de Sistemas

Exemplos de Sistemas3.1 Contnuos no Tempo X Discretos no Tempo

Sinais Contnuos no TempoSo sinais que possuem varivel independente contnua (tempo), ou seja, podem assumir um nmero infinito de valores. O sinal contnuo se pode ser definido para todo t.

3. Classificao de SinaisSinais Discretos no Tempo So sinais definidos apenas em determinados instantes de tempo, caracterizando a varivel independente como uma varivel no contnua. O sinal discreto consiste de uma sequncia de nmerosUm sinal de tempo discreto frequentemente derivado de um sinal de tempo contnuo, atravs de um processo de amostragem.

3.2 Determinsticos X Estocsticos (Aleatrios)Sinal DeterminsticoUm sinal determinstico um sinal sobre o qual no existe nenhuma incerteza com respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo. So sinais que podem ser modelados ou descritos por funes no tempo. Sua forma e amplitude so perfeitamente definidas para um instante de tempo qualquer.

Sinal Aleatrio ou Estocstico

Um sinal aleatrio um sinal sobre o qual h incertezas associadas ao seu valor em qualquer instante de tempo. So sinais que assumem valores aleatrios em qualquer instante de tempo, e em funo disso s podem ser modelados a partir de suas caractersticas estocsticas (mdia, varincia, autocorrelao, etc)

173.3 Peridicos X No Peridicos Sinal PeridicoUm sinal peridico apresenta um comportamento repetitivo em intervalos de tempo finitos e constantes. Isto , x(t ) = x(t +T) para - < t < + , sendo T ( perodo do sinal) constante e finito.

18 Sinal Peridico - Sinal Senoidal

Exerccios extrasNo existe T que satisfaa a condio de periodicidadeNo apresentam uma repetio de seus valores de amplitude a intervalos regulares de tempo.Sinais No Peridicos

Sinais No Peridicos - Sinais exponenciais

Sinais Senoidais e exponenciais amortecidos

Relao entre sinal senoidal e exponencial complexoConsidere agora B como uma quantidade complexa definida por:

Considere o sinal exponencial complexo . Usando a identidade de Euler podemos expandir em :

Ento o sinal exponencial complexo :

EntoOperaes Bsicas em Sinais

Operaes realizadas em variveis independentes: Mudana de escala no tempoReflexoDeslocamento no tempoDeslocamento no tempo e mudana de escala de tempo

Importante !

3.3.1 Sinais Singulares Classe de Sinais No Peridicos que combinados podem representar uma variedade de outros sinais.a) Degrau Unitrio u(t)

Degrau de Amplitude A:

Degrau com deslocamento direita:

Degrau rotacionado:

Degrau com deslocamento esquerda (?):

Exerccio 1: pulso unitrio centrado na origem Exerccio Extra

b) Rampa Unitria r(t) Rampa de inclinao A:

Rampa com deslocamento direita :

Rampa com deslocamento esquerda e rotacionada (?) Exerccios Extras

c) Impulso Unitrio (t) ou funo Delta de Dirac

Impulso deslocamento a direita :

Por definioCaractersticas do Impulso Unitrio:

logo: Propriedades: Seja x(t) um sinal qualquer: 1) 2)

3.4 Sinais Pares x Sinais mpares Sinais pares

Um sinal x(t) ser um sinal par se x(t) = x(-t)

Sinais mpares

Um sinal x(t) ser um sinal par se x(t) = -x(-t)

3.5 Sinais de Energia e Sinais de PotnciaPodemos considerar a rea abaixo do sinal como uma possvel medida do seu tamanho, pois a rea considera no somente a amplitude, mas tambm sua durao.Entretanto esta medida ainda defeituosa pois mesmo para um sinal grande, suas reas positivas e negativas podem se cancelar, indicando um sinal de tamanho pequeno.Como um sinal que existe em um certo intervalo de tempo com amplitude variante pode ser medido por um nmero que ir indicar o tamanho ou a fora do sinal ?Com base na definio de energia, podemos tambm definir a potncia mdia de um sinal:

Esta dificuldade pode ser corrigida pela definio do tamanho do sinal como a rea abaixo de x(t) ao quadrado o qual sempre positiva, podendo ento chamar esta medida de Energia do sinal definida por:

Os sinais podem ser classificados de acordo com os valores de Energia e de Potncia:1. Sinal de Energia: Sinal que possui 0 < E < 2. Sinal de potncia: Sinal que possui 0 < P <

Observaes: Quando a amplitude de x(t) 0 quando tempo tende para o infinito teremos um Sinal de Energia Finito.Se x(t) peridico ou com regularidade estatstica o sinal de Potncia finito e no caso do sinal peridico pode ser calculada para o perodo:

Sinal de Energia finitoSinal de Potncia finito

Calcule a energia ou Potncia para os sinais abaixo DENSIDADES ESPECTRAISSo grandezas definidas no domnio da frequncia que quando integradas em torno de toda faixa de frequncia, resultam ou na energia ou na potncia total do sinal, dependendo se o sinal de energia ou de potncia, respectivamente.

e Onde G( f ) a Densidade Espectral de Energia e S( f ) a Densidade Espectral de Potncia.