Fsica Geral e Experimental I Prof. Dr. Jocel de Souza Rego Notao Fsica: Anlise Dimensional 1 I In nt tr ro od du u o o Anlisedimensionalummeioparasimplifica-odeumproblemafsicoempregandoahomogenei-dadedimensionalparareduzironmerodasvariveis de anlise.A anlise dimensional particularmente til pa-ra: -Apresentar e interpretar dados experimentais; -Resolverproblemasdifceisdeatacarcomso-luo analtica; -Estabeleceraimportnciarelativadeumde-terminado fenmeno; -Modelagem fsica. Emnossoobjetivoaanalisedimensionalser umaferramentautilizadaparaauxiliarnaprevisode obtenodefrmulasfsicas,utilizadosparaexpressar qualquergrandezafsicaemfunodegrandezasfun-damentais. 1 1. . G Gr ra an nd de ez za as s F Fu un nd da am me en nt ta ai is s Na mecnica, adotam-se a massa (M), o comprimen-to (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais. Pode-seexpressarqualquergrandezafsicaG,de natureza mecnica, em funo de M, L e T, obtendo-se, assim, a equao dimensional da grandeza G. Dessemodo,aequaodimensionaldeG,que indicadapelanotaoentrecolchetes[G],serdada por: [ [G G] ] = = k k. .M Mo o. .L L| |. .T T onde osexpoentes o, | e so chamados dimenses fsicasdagrandezaGemrelaosgrandezasfunda-mentais M, L e T, respectivamente, e k uma constante adimensional. Assim,pode-seescrevertodasasgrandezasda mecnica em funo de L, M e T variando os valores de o, | e .Por exemplo: a.)Velocidade: .Se:-o comprimento L a grandeza fundamental relacio-nadaaovetor deslocamentoAs,ento[As]temdi-menso de comprimento L , ou seja [As] = L, e -otempoTagrandezafundamentalpararepre-sentarointervalodetempo[At]ento[At]=T,e como -naequaodavelocidadenocontmagrandeza fsicaquerepresentaagrandezafundamentalM, ento: ou seja: [v]=M0.L1.T1

b.)Acelerao: de forma similar temos:

[a]=M0.L1.T2 c.)Fora:F=ma [F]=M1M0.L1.T2 [F] = M1.L1.T2

d.)TrabalhoeEnergia:=Fd [ ] = M1.L1.T2.L [ ]=M1.L2.T2 e.)Potncia: [P]=M1.L2.T3 f.)Quantidadedemovimento:Q=mv [Q] = M1.M0.L1.T1 [Q]=M1L1T1 Observao: No sistema internacional, as unidades das grandezas fundamentais so: [M]:massaquilograma(kg) [L]:comprimentometro(m) [T]:temposegundo(s) Exemplo:Aforadeaogravitacionaldadapor . Determine a dimenso da constante G. Resoluo:

[G] = [F].[d]2 [m] 1.[m] 1

[G] = [M1.L1.T2].[L]2.[M] 2

[G] = M1L3T2 Observao: Naeletricidadeadota-sealmdasgrandezas mecnicastambmaunidadefundamental:oampere, ou seja: [G] = k.Mo.L|.T.A J na fsica trmica acrescentam-se as grandezas mecnicas como grandeza fundamental a temperatura: [G] = k.Mo.L|.T. N No ot ta a o o F F s si ic ca a: : A An n l li is se e D Di im me en ns si io on na al l dez e Notao Cientfica. Fsica Geral e Experimental I Prof. Dr. Jocel de Souza Rego Notao Fsica: Anlise Dimensional 2 2 2. . H Ho om mo og ge en ne ei id da ad de e D Di im me en ns si io on na al l Uma equao fsica no pode ser verdadeira se no for dimensionalmente homognea. Traduzindoafraseacima,notamosqueasdi-mensesdeummembrodaequaodimensionalde-vemseriguaissdimensesdooutromembro.Seria completamente errada a expresso: 80 quilogramas = 30 metros + x metros, pois:quiilograma unidadedemassa[kg]=M1.L0.T0e metros unidade de comprimento [m]= M0.L1.T0 Notamosaindaqueahomogeneidadedimensi-onal em uma equao uma condio necessria mas no suficiente para a legitimidade fsica. Uma equao fsica pode ser dimensionalmente homognea,masnoser verdadeirasob outrosaspec-tos. Exemplo:Uma fora que age numa partcula dada em funo do tempo de acordo com a expresso: QuaisasdimensesdeAeBparaquearelaoseja dimensionalmente homognea? Resoluo:NestecasoaunidadedagrandezaAeBttemde terem a mesma unidade de F, ou seja: [Bt] = [F][B].[t] = [F] [B].T = MLT2 3 3. . P Pr re ev vi is s o o d de e F F r rm mu ul la as s Aanlisedimensionalumpoderosoinstru-mento auxiliar na previso de frmulas fsicas.Vejamos o exemplo, a seguir: Exemplo:Umestudante,fazendoexperinciasnumlaboratrio, verificaqueoperodo(T)deoscilaodeumpndulo simples depende do comprimento do fio (l) e do mdulo da acelerao da gravidade (g). Da conclui-se que: onde: k uma constante adimensional e so nmeros reais. Lembrando o princpio da homogeneidade, temos que: mas: [T] = M0L0T1,[l] = M0L1T0 e [g] = M0L1T2 Assim: M0L0T1 = (M0L1T0) (M0L1T2) M0L0T1 = M0 L+T2

Asconstantesadimensionaisnopodemser obtidas na anlise dimensional. Paraoestudodatermologiaadotam-secomo grandezas fundamentais, alm de LMT, a temperatura. Paraoestudodaeletricidadeadotam-secomo grandezasfundamentais,almdeLMT,acorrenteel-tricaIcomofundamental.Assim,podemosdaralguns exemplosdegrandezasderivadasdatermologiaeda eletricidade:Temperatura [t] = M0L0T0 1 Coeficiente de dilatao [ ] =M0L0T0 1 Quantidade de calor [Q] = M1L2T2 = [ ] Calor especfico [c] = M0L2T2 1 Capacidade trmica [C] = M1L2T2 1 Calor latente [L] = M0L2T2 0 Carga eltrica [q] = M0L0T1I1 Diferena de Potencial ddp [U] = M1L2T3I1 Campo eltrico [E] = M1L1T3I1 Resistncia eltrica [R] = M1L2T3I2 Capacidade eletrosttica [C] = M1L2T4I2 Fluxo magntico [ ] = ML2T2I1 Exemplo:Umnovosistemadeunidadesfoicriadocomasgran-dezasfundamentais:volume(V),fora(F) etempo(T). Determine, nesse novo sistema, a equao dimensional dapotncia. Resoluo,onde: = F.d Assim, ento:

E Ex xe er rc c c ci io os s: : 1)Dada a expresso: avk xn=onde: x representa a distncia, v a velocidade,a a aceleraoekumaconstanteadimensional.Qual deve ser o valor do expoente n, para que a expres-so seja fisicamente correta?2) Fsica Geral e Experimental I Prof. Dr. Jocel de Souza Rego Notao Fsica: Anlise Dimensional 3 3)RepresentandoocomprimentoporL,amassapor M, e o tempo por T, as grandezas dimensionais:LMT2; L2MT3; e L1MT2,representam respectivamente: a.)Trabalho, fora e massa especfica b.)Potncia, acelerao e presso c.)Fora, potncia e presso d.)Peso especfico, acelerao e potncia e.)Tenso,potncia e energia 4)Sep apresso,mamassaed adensidade ab-soluta(oumassaespecfica)entootermo dp. m , tem as mesmas dimenses da grandeza: a)Fora b)Potencia c)Velocidade d)Acelerao e)Trabalho 5)Naanlisededeterminadomovimento,bastante razovelsuporqueaforadeatritocomoarseja proporcional ao quadrado da velocidade da partcu-laquesemove,ousejaanaliticamente,temos:2atritov . k f = , a unidade da constante de proporcio-nalidade k, no SI : a.)Kg1.m2.s-2 b.)Kg1.m-2.s2 c.)Kg1.m1.s-1 d.)Kg1.m-1.s0 e.)Kg1.m0.s-1 6)A grandeza peso tem a dimenso igual grandeza: a)Massa.b)Fora c)Volume d)Acelerao e)Densidade 7)Ogrficoabaixorepresentaumagrandezafsicay em funo da grandeza x, ou seja: y(kg.m/s) x(s) A inclinao , neste grfico tem o significado de: a.)Fora b.)Massa c.)Energia d.)Acelerao e.)Potncia mecnica 8)Sobreumcorpodemassamemumatrajetria retilnea atuam foras constantes de tal forma que a variaodaenergiacinticadocorpo(Ec)como seu deslocamento (x) representado pelo grfico abaixo:Ec x Atangentedongulo,nestegrficotemosignifi-cado de:a.)Velocidade do corpo b.)Acelerao do corpo c.)Massa do corpo d.)Fora resultante sobre que age o corpo e.)Distncia percorrida 9)Ao empurrar um mvel de um cmodo para outro de suacasa,umasenhorarealizaumtrabalhodado por W=o_ onde _ a distncia percorrida pelo m-vel em metros. Pode-se concluir ento que a unida-de da constante o : a.)N b.)N/m c.)N/s d.)J e.)J/s 10) Qualdasalternativasabaixo,agrandezafsicae sua correspondente unidade de medida esto corre-tamente relacionadas: a.)F=m.a; Kg.m-1.s-2 b.)Trabalho; Kg.m-2.s-2 c.)Presso; Kg.m2.s-2 d.)Potencia; Kg.m2.s-3 e.)Energia; Kg.m-3.s2 Fsica Geral e Experimental I Prof. Dr. Jocel de Souza Rego Notao Fsica: Anlise Dimensional 4 R Re es sp po os st ta a: : 1.n=2 2.Mp= 3... 4... 5... 6.B 7... 8... 9.A 10. D