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Analise Matematica II2o Semestre de 2001/02Electricidade e Gestao
Turmas do grupo 2Resumo da materia
Resultados dos textos [1] e [2]
I Formula e Serie de Taylor e Aplicacoes
1. Seja f : D → R. Designa-se por D(1) o conjunto formado pelos pontos(interiores a D) em que f e diferenciavel. Por inducao, para n natural maiorou igual a 2, define-se D(n) como o conjunto formado pelos pontos (interioresa D(n−1)) em que f (n−1) e diferenciavel.
2. Formulas de Taylor com restos de Peano e Lagrange.
a) Se a ∈ D(1), entao
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + (x− a)E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(1) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,
f(x) = f(a) + f ′(ξ)(x− a),
para algum ξ entre a e x.
b) Se a ∈ D(2), entao
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2 + (x− a)2E2(x, a),
com limx→a E2(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(2) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(ξ)
2(x− a)2,
para algum ξ entre a e x.
c) Se a ∈ D(n), entao
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2
+f ′′′(a)
3!(x− a)3 + . . . +
fn−1(a)(n− 1)!
(x− a)n−1
+fn(a)
n!(x− a)n + (x− a)nEn(x, a)
1
com limx→a En(x, a) = 0.Seja I ⊂ D(n) um intervalo, a e x ∈ I. Entao,
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2
+f ′′′(a)
3!(x− a)3 + . . . +
fn−1(a)(n− 1)!
(x− a)n−1
+fn(ξ)
n!(x− a)n
para algum ξ entre a e x.Nota: o valor de ξ depende de x, a e n. No ponto 15 indicaremos expli-citamente a dependencia de ξ em x e n escrevendo ξn(x).
3. Quando a = 0 as formulas de Taylor tomam o nome de formulas de Mac-Laurin.
4. Seja f : D → R e a ∈ D(1). Para que f tenha um extremo local em a enecessario (mas nao suficiente) que a seja ponto de estacionaridade de f , ouseja, que f ′(a) = 0.
5. Seja a ∈ D(2) um ponto de estacionaridade de f tal que f ′′(a) 6= 0. Sef ′′(a) > 0, entao f tem um mınimo local estrito em a, ou seja,
∃ε>0∀x∈Vε(a)\a f(x) > f(a).
Se f ′′(a) < 0, entao f tem um maximo local estrito em a, ou seja,
∃ε>0∀x∈Vε(a)\a f(x) < f(a).
6. Seja a ∈ D(3) um ponto de estacionaridade de f tal que f ′′(a) = 0 e f ′′′(a) 6=0. Entao, f nao tem qualquer extremo em a.
7. Se a ∈ D(1) e
∃ε>0∀x∈Vε(a) f(x) ≥ f(a) + f ′(a)(x− a),
entao f diz-se convexa (ou com a concavidade voltada para cima) em a. Se
∃ε>0∀x∈Vε(a) f(x) ≤ f(a) + f ′(a)(x− a),
entao f diz-se concava (ou com a concavidade voltada para baixo) em a.Pode tambem acontecer que exista um ε > 0 tal que num dos intervalos]a− ε, a[ e ]a, a + ε[ o grafico de f esteja por cima do da sua recta tangenteem (a, f(a)) e no outro esteja por baixo do dessa recta. Em tal hipotesediz-se que a e um ponto de inflexao de f .
8. Se a ∈ D(2) e f ′′(a) > 0, entao f e convexa em a. Se f ′′(a) < 0, entao f econcava em a.
9. A funcao f diz-se indefinidamente diferenciavel no ponto a sse a ∈ D(n), paratodo o n ∈ N1. Note-se que se f e indefinidamente diferenciavel no ponto ae n ∈ N1, entao f e n vezes diferenciavel numa vizinhanca de a, visto quea ∈ D(n+1), pelo que a e interior a D(n).
2
10. Uma serie de potencias e indefinidamente diferenciavel no interior do seuintervalo de convergencia e as suas derivadas podem calcular-se derivando aserie termo a termo.
11. Uma funcao f diz-se analıtica num ponto a, interior ao seu domınio, sseexistir uma vizinhanca de a, Vε(a), tal que f |Vε(a) e uma serie de potenciasde x− a.
12. Prova-se que uma serie de potencias, s(x), de x−a com raio de convergencia re uma funcao analıtica em |x−a| < r. Mais precisamente, para cada b tal que|b−a| < r, s(x) e igual a uma serie de potencias de x−b se |x−b| < r−|b−a|.
13. Seja f e indefinidamente diferenciavel em a. Chama-se serie de Taylor de fno ponto a a
f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2 + . . . +
fn(a)n!
(x− a)n + . . .
14. Nem toda a funcao f indefinidamente diferenciavel em a e analıtica em a.Se f for analıtica em a, entao f coincide, numa vizinhanca de a, com a suaserie de Taylor no ponto a, pois usando a proposicao do ponto 10 prova-sefacilmente que nenhuma serie de potencias distinta da serie de Taylor poderepresentar f numa vizinhanca de a.
15. Seja f indefinidamente diferenciavel no ponto a. Entao f e analıtica em asse limn→+∞(x − a)nEn(x, a) = 0 para todo o x nalguma vizinhanca de a,sse limn→+∞
fn(ξn(x))n! (x− a)n = 0 para todo o x nalguma vizinhanca de a.
16. Em vez de se usar a proposicao do ponto 15, para escrever a serie de Taylorde uma funcao num ponto e frequente usar-se a proposicao do ponto 10 e osdesenvolvimentos seguintes, a saber, dos quais se podem tirar os desenvolvi-mentos das funcoes analıticas de uso mais frequente:
a) da serie geometrica:
11− x
= 1 + x + x2 + . . . + x + . . . ,
valido para |x| < 1;
b) da exponencial:
ex = 1 + x +x2
2!+ . . . +
xn
n!+ . . . ,
valido para todo o x ∈ R;
c) das funcoes trigonometricas:
sinx = x− x3
3!+ . . . + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ . . . ,
cos x = 1− x2
2!+ . . . + (−1)n x2n
(2n)!+ . . . ,
validos para todo o x ∈ R;
3
d) da funcao binomial: se α ∈ R,
(1 + x)α = 1 + αx +α(α− 1)
2!x2 + . . . +
α(α− 1) . . . (α− n + 1)n!
xn + . . . ,
valido para |x| < 1 (todo o x ∈ R se α ∈ N).A prova deste desenvolvimento faz-se em quatro passos:
i) Define-se a funcao f por f(x) := 1+αx+α(α−1)
2!x2 + . . .+
α(α−1)...(α−n+1)n!
xn +. . . , verificando que f(x) esta bem definida para |x| < 1, ou seja, que o raio deconvergencia da serie de potencias e 1.
ii) Usando 10, verifica-se que (1 + x)f ′(x) = αf(x) para todo o x ∈]− 1, 1[.
iii) O passo anterior implica que [f(x)(1 + x)−α]′ ≡ 0.
iv) Um dos corolarios do Teorema de Lagrange implica que x 7→ f(x)(1 + x)−α econstante. Dando o valor zero a x conclui-se que a constante e 1.
17. Exemplos de desenvolvimentos em serie de Taylor:
a) Sejam a, b ∈ R \ 0. Calculemos o desenvolvimento de x 7→ 1a+bx
em torno de0.
1
a + bx=
1
a· 1
1 + bx/a
=1
a
(1− b
ax +
b2
a2x2 − . . . + (−1)n bn
anxn + . . .
)=
1
a− b
a2x +
b2
a3x2 − . . . + (−1)n bn
an+1xn + . . .
valido para |bx/a| < 1, ou seja, para |x| < |a|/|b|.b) Seja a 6= 0. Calculemos o o desenvolvimento de x 7→ 1
xem torno de a. Fazendo
y = x− a,
1
x=
1
a + y
=1
a· 1
1 + y/a
=1
a
(1− y
a+
y2
a2− . . . + (−1)n yn
an+ . . .
)=
1
a− y
a2+
y2
a3− . . . + (−1)n yn
an+1+ . . .
=1
a− 1
a2(x− a) +
1
a3(x− a)2 − . . . + (−1)n 1
an+1(x− a)n + . . .
valido para |y/a| < 1, ou seja, para |x− a| < |a|.c) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ ln(1− x) em torno de 0.
d
dxln(1− x) = − 1
1− x
= −1− x− x2 − . . .− xn−1 − . . .
=d
dx
(−x− 1
2x2 − 1
3x3 − . . .− 1
nxn − . . .
),
para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,
ln(1− x) = c− x− 1
2x2 − 1
3x3 − . . .− 1
nxn − . . . .
Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.
4
d) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ arctan x em torno de 0.
d
dxarctan x =
1
1 + x2
= 1− x2 + x4 − . . . + (−1)nx2n + . . .
=d
dx
(x− 1
3x3 +
1
5x5 + . . . + (−1)n 1
2n + 1x2n+1 + . . .
),
para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,
arctan x = c + x− 1
3x3 +
1
5x5 + . . . + (−1)n 1
2n + 1x2n+1 + . . . .
Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.
e) Calculemos o desenvolvimento de x 7→ arcsin x em torno de 0.
d
dxarcsin x =
1√1− x2
= 1 +1
2x2 +
1
2
3
4x4 +
1
2
3
4
5
6x6 + . . .
=d
dx
(x +
1
2
1
3x3 +
1
2
3
4
1
5x5 +
1
2
3
4
5
6
1
7x7 + . . .
),
para |x| < 1 porque a ultima serie tem raio de convergencia 1 e a sua derivadapode ser calculada termo a termo, devido ao ponto 10. Usando um corolario doTeorema de Lagrange,
arcsin x = c + x +1
2
1
3x3 +
1
2
3
4
1
5x5 +
1
2
3
4
5
6
1
7x7 + . . . .
Fazendo x = 0, conclui-se que c = 0.
II Primitivacao
1. Seja I um intervalo (aberto) de R e f : I → R. Dizemos que f e primi-tivavel sse existir F : I → R tal que F ′ = f . Neste caso dizemos que Fe uma primitiva de f . O conjunto das primitivas de f designa-se por
∫f
ou∫
f(x) dx.Se f : D → R e I e um intervalo contido em D, dizemos que f e primi-tivavel em I sse f |I e primitivavel.Pode generalizar-se a definicao a intervalos nao abertos considerando de-rivadas laterais no(s) ponto(s) do intervalo pertencente(s) a sua fronteira.
2. Nem todas as funcoes definidas em intervalos sao primitivaveis. Exemplo:a funcao de Heaviside.
3. Recorre-se geralmente aos seguintes metodos de primitivacao:a) Primitivacao imediata.b) Primitivacao por decomposicao: Se f e g sao primitivaveis, entao f +g
tambem e primitivavel e∫(f + g) =
∫f +
∫g.
5
c) Primitivacao por partes: Sejam f e g : I → R diferenciaveis. Entaof ′g e primitivavel sse fg′ o for e∫
f ′g = fg −∫
fg′.
d) Primitivacao por substituicao: Sejam I e J dois intervalos de R, f :I → R uma funcao primitivavel, e ϕ : J → I uma bijeccao de J emI, ϕ diferenciavel. Entao (f ϕ)ϕ′ e primitivavel e, se θ′ = (f ϕ)ϕ′,(θ ϕ−1)′ = f .Nota: Na proposicao do ultimo paragrafo da-se uma expressao paraa primitiva de f assumindo que f e primitivavel. Esta restricao naoe importante pois, quando nao e possıvel garantir previamente estacondicao, usa-se o metodo a tıtulo condicional e verifica-se no fim seθ ϕ−1 e ou nao uma primitiva de f .
4. Exemplo de uma primitivacao por substituicao: Seja I = [−1, 1] e f definidapor f(x) =
√1− x2. Pretendemos calcular
∫ √1− x2 dx. Seja J =
[−π
2, π
2
]e
ϕ definida por ϕ(t) = sin t. A funcao (f ϕ)ϕ′ e
[(f ϕ)ϕ′](t) =√
1− sin2 t · cos t = cos2 t =1
2(1 + cos(2t)),
uma vez que em J a funcao coseno e nao negativa. Podemos tomar a funcaoθ : J → R como
θ(t) =1
2t +
1
4sin(2t) =
1
2t +
1
2sin t cos t.
Tendo em conta que ϕ(t) = x ⇔(t ∈[−π
2, π
2
]e sin t = x
)⇔ t = arcsin x ⇔
t = ϕ−1(x),
θ ϕ−1(x) =1
2arcsin x +
1
2x√
1− x2
e uma primitiva de f , caso f seja primitivavel. E facil verificar que, de facto,(θ ϕ−1)′ = f , pelo que∫ √
1− x2 dx =1
2arcsin x +
1
2x√
1− x2 + c, c ∈ R.
Nota: a funcao F (x) : [−1, 1] → R, definida por F (x) = arcsin x + x√
1− x2 e
diferenciavel em −1 e 1 apesar de nem x 7→ arcsin x nem x 7→ x√
1− x2 o se-
rem. De facto, aplicando o Teorema de Lagrange a F no intervalo [−1, x], com
x ∈] − 1, 1], vemF (x)−F (−1)
x+1=√
1− c2, para algum c ∈] − 1, x[. Logo, F ′(−1) =
limx→−1F (x)−F (−1)
x+1= limc→−1
√1− c2 = 0 =
√1− (−1)2. Mostra-se de forma
analoga que F ′(1) = 0 =√
1− 12.
-1 1x
f F
Os graficos de f e F .
6
5. As funcoes racionais sao aquelas representaveis por uma fraccao racional(quociente de dois polinomios).
III Integral de Riemann
1. Seja I = [a, b] um intervalo limitado e fechado de R, com mais de umponto, e f : I → R limitada.Designa-se por decomposicao de I um conjunto finito de pontos interioresa I, e designa-se por D(I) o conjunto de todas as decomposicoes de I.
2. Seja d ∈ D(I) uma decomposicao com n− 1 pontos (n ∈ N1), x1 < x2 <. . . < xn−1. Defina-se x0 = a e xn = b.Seja d ∈ D(I). Definem-se as somas superior e inferior de Darboux por
Sd(f) =n∑
i=1
[(xi − xi−1) sup
[xi−1,xi]
f
],
sd(f) =n∑
i=1
[(xi − xi−1) inf
[xi−1,xi]f
],
respectivamente. E claro que (b− a) infI f ≤ sd ≤ Sd ≤ (b− a) supI f .
3. Sejam d, d′ ∈ D(I). Diz-se que d′ e mais fina do que d se d ⊂ d′, ou seja,se todos os pontos de d sao pontos de d′. Se d′ e mais fina do que d, entaosd ≤ sd′ ≤ Sd′ ≤ Sd.A decomposicao sobreposta de d′ e d′′ ∈ D(I) e d′′′ = d′ ∪ d′′. Tem-sesd′′ ≤ sd′′′ ≤ Sd′′′ ≤ Sd′ , ja que d′′′ e mais fina do que tanto d′ como d′′.Logo, sd′′ ≤ Sd′ , para todas as decomposicoes d′ e d′′ ∈ D(I).
4. Definem-se os integrais superior e inferior de f (em I) por∫f = inf
d∈D(I)Sd e
∫f = sup
d∈D(I)
sd,
respectivamente. O facto de sd′′ ≤ Sd′ , para todas as decomposicoes d′ ed′′ ∈ D(I), implica que
∫f ≤
∫f .
5. Dizemos que f e integravel (a Riemann em I) sse∫
f =∫
f . Note-seque so definimos integral de Riemann de funcoes limitadas em intervaloslimitados e fechados. Designamos o conjunto das funcoes integraveis aRiemann em I por R(I)
6. Exemplo de uma funcao nao integravel a Riemann: a restricao de funcaode Dirichlet a qualquer intervalo limitado e fechado.
7. Seja I = [a, b] um intervalo limitado e fechado e f : I → R limitada.Entao f e integravel sse, qualquer que seja δ > 0, existe d ∈ D(I) tal queSd − sd < δ.
8. Seja I = [a, b] um intervalo limitado e fechado e f : I → R limitada.Entao f e integravel e o seu integral vale α sse, qualquer que seja δ > 0,existe d ∈ D(I) tal que Sd, sd ∈ Vδ(α).
7
9. Seja I = [a, b] um intervalo limitado e fechado. Se f : I → R e monotona,entao f e integravel.
10. Seja I = [a, b] um intervalo limitado e fechado. Se f : I → R e contınua,entao f e integravel.Ideia da prova. Seja δ > 0. Pretende-se provar que existe d = x1, . . . , xn−1 ∈D(I), xi−1 < xi para todo o i entre 1 e n, tal que
Sd − sd =
n∑i=1
[(sup
x∈[xi−1,xi]
f(x)− infx∈[xi−1,xi]
f(x)
)(xi − xi−1)
]
=
n∑i=1
[(f(ci)− f(ci))(xi − xi−1)] < δ,
onde ci, ci ∈ [xi−1, xi] sao tais que supx∈[xi−1,xi]f(x) = maxx∈[xi−1,xi] f(x) =
f(ci) e infx∈[xi−1,xi] f(x) = minx∈[xi−1,xi] f(x) = f(ci), para cada i entre 1 en. (A existencia dos pontos ci, ci e garantida pelo Teorema de Weierstrass.)Conseguiremos garantir esta condicao, Sd − sd < δ, se existir um ε > 0 tal queem todos os intervalos de comprimento inferior ou igual a ε a funcao f tiver umaoscilacao inferior a δ/(b− a), ou seja, se |x− y| ≤ ε ⇒ |f(x)− f(y)| < δ/(b− a).
A prova segue facilmente do facto de uma funcao contınua num intervalo limi-tado e fechado ser uniformemente contınua nesse intervalo, i.e.,
∀δ>0∃ε>0∀x,y∈I |x− y| < ε ⇒ |f(x)− f(y)| < δ.
A condicao de continuidade uniforme e, em geral, diferente da continuidade em todosos pontos y ∈ I:
∀y∈I∀δ>0∃ε>0∀x∈I |x− y| < ε ⇒ |f(x)− f(y)| < δ,
ja que nao podemos trocar a ordem de quantificadores existenciais e universais. A
diferenca reside no seguinte. Seja δ > 0. A condicao de continuidade uniforme “garante
que podemos escolher ε > 0 tal que |x− y| < ε ⇒ |f(x)− f(y)| < δ, para todo y ∈ I (e
para todo x ∈ I).” Se a funcao e apenas contınua em todos os pontos y ∈ I, entao “a
escolha de ε de modo a que |x− y| < ε ⇒ |f(x)− f(y)| < δ, (para todo x ∈ I) depende
(em geral) de y ∈ I.” Ou seja, “no caso da continuidade uniforme ε depende apenas de
δ, enquanto no caso da continuidade ε depende de δ e de y.” O que se afirmou acima
foi a equivalencia das condicoes de continuidade e continuidade uniforme para funcoes
definidas em intervalos limitados e fechados (Teorema de Heine-Cantor). A funcao
f :]0, 1] → R, definida por f(x) = 1/x e contınua mas nao uniformemente contınua.
11. Algumas propriedades simples do integral de Riemann:a) linearidade: Se a, b ∈ R e f , g ∈ R(I), entao af + bg ∈ R(I) e∫
I(af + bg) = a
∫If + b
∫Ig;
b) se f , g ∈ R(I) e f ≤ g, entao∫
If ≤
∫Ig;
c) se f ∈ R(I), entao |f | ∈ R(I) e∣∣∫
If∣∣ ≤ ∫
I|f |;
d) se f ∈ R(I) e J ⊂ I, entao f ∈ R(J);e) se I ∩ J e um conjunto singular, f ∈ R(I) e f ∈ R(J), entao f ∈
R(I ∪ J) e∫
I∪Jf =
∫If +
∫J
f ;f) se f e limitada em I e contınua em todos os pontos de I, excepto
nos pontos de um conjunto finito, entao f ∈ R(I); em particular, sef e seccionalmente contınua, i.e., existe uma decomposicao x1, x2,. . . , xn−1 ∈ D(I) tal que f e contınua em cada um dos subintervalosabertos definidos pela decomposicao e f tem limites laterais finitos nosextremos destes subintervalos, entao f ∈ R(I);
8
g) Teorema da Media do Calculo Integral; se f ∈ R(I), entao existeλ ∈ [infI f, supI f ] tal que
∫If = λ|I|, onde por |I| se designou o
comprimento de I (i.e., se I = [a, b] o valor de |I| = b − a); se f forcontınua, entao ∃c∈I tal que f(c) = λ, pelo que
∫If = f(c)|I|.
12. Seja f : [a, b] → R uma funcao limitada, ∆ o conjunto dos seus pontos de descon-
tinuidade. Entao f e integravel sse ∆ tem medida de Lebesgue nula, ou seja, sse
qualquer que seja δ > 0 existe uma famılia numeravel de intervalos, Inn∈N, tais que
∆ ⊂ ∪∞n=0In e∑∞
n=0 |In| < δ.
13. Sejam a e b finitos, a < b e f ∈ R([a, b]). Em vez de∫[a,b]
f escreve-se
tambem∫ b
af ou
∫ b
af(x) dx. Define-se
∫ a
bf := −
∫ b
af .
14. Seja I um intervalo de R com mais de um ponto (mas de resto arbitrario),a um ponto de I e f : I → R uma funcao limitada e integravel em qualquerintervalo limitado e fechado contido em I. O integral indefinido de f comorigem no ponto a e a funcao F : I → R, definida por
F (x) =∫ x
a
f(t) dt.
15. Nas condicoes do ponto anterior, F e contınua.Prova de continuidade num ponto c, interior a I. Seja γ > 0 tal que [c−γ, c+γ] ⊂ I. A
prova decorre do facto de |F (x)−F (c)| ≤ |x− c| sup[c−γ,c+γ] |f | para x ∈ [c−γ, c+γ].
16. Teorema fundamental da Analise. Seja f : I → R uma funcao limitada eintegravel em qualquer intervalo limitado e fechado contido em I e F umintegral indefinido de f . Se f e contınua no ponto c, entao F e diferenciavelno ponto c e F ′(c) = f(c).Prova. Aplicando o Teorema da Media do Calculo Integral,
F (x)− F (c)
x− c=
∫ xc f(t) dt
x− c= λ(x),
onde λ(x) esta entre o ınfimo e o supremo de f no intervalo de extremos c e x. Como
f e contınua em c, limx→c λ(x) = f(c).
17. Decorre do Teorema fundamental da Analise que uma funcao contınuanum intervalo com mais de um ponto e primitivavel nesse intervalo.
18. Regra de Barrow. Sejam a < b, f : [a, b] → R contınua e F uma primitivade f . Entao,
∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a).
Prova. Como duas primitivas diferem de uma constante, existe c ∈ R tal que F (x) =∫ xa f(t) dt + c. Logo, F (b)− F (a) =
∫ ba f(t) dt + c−
∫ aa f(t) dt− c =
∫ ba f(t) dt.
19. Definicao alternativa do Integral de Riemann. Seja f : I → R, d = x1, x2, . . . , xn−1 ∈ D(I) comxi−1 < xi, para i = 1, . . . , n. Designa-se por |d| = maxx1 − x0, . . . , xn − xn−1. Diz-se que oconjunto C = c1, c2, . . . , cn esta bem associado com a decomposicao d sse ci ∈ [xi−1, xi] para todoi = 1, . . . , n. Designa-se por Cd o conjunto formado pelos subconjuntos de I bem associados com adecomposicao d. Designa-se por soma de Riemann de f relativa a d e C o numero real
Sd,C (f) =n∑
i=1f(ci)(xi − xi−1).
A funcao f e integravel a Riemann em I sse existe α ∈ R tal que
∀δ>0∃ε>0∀d∈D(I)∀C∈Cd|d| < ε ⇒ |Sd,C − α| < δ.
Neste caso,∫I f = α.
9
20. Extensao da Regra de Barrow. Seja f : I → R primitivavel e integravel. Entao,∫ ba f(x) dx = F (b)− F (a), onde F designa uma primitiva de f .
Prova. Suponhamos que |F (b) − F (a) −∫ ba f(x) dx| > 0. Existe ε > 0 tal que |d| < ε e C ∈ Cd implica
|Sd,C −∫ ba f(x) dx| < |F (b) − F (a) −
∫ ba f(x) dx|. Isto e impossıvel porque ha somas de Riemann, Sd,C ,
iguais a F (b) − F (a), com |d| arbitrariamente pequeno. De facto, seja d = x1, x2, . . . , xn−1 ∈ D(I)
com xi−1 < xi, para i = 1, . . . , n. Pelo Teorema de Lagrange, para cada i entre 1 e n, existem ci ∈
]xi−1, xi[ tais que F (b) − F (a) =∑n
i=1[F (xi) − F (xi−1)] =∑n
i=1[(xi − xi−1)f(ci)] = Sd,C , com
C = c1, c2, . . . , cn.
21. Ha funcoes limitadas e primitivaveis, definidas em intervalos limitados e fechados, que nao sao integraveis
a Riemann nesses intervalos.
22. Integracao por substituicao. Sejam I e J dois intervalos de R, f ∈ C(I) eϕ ∈ C1(J), tal que ϕ(J) ⊂ I; sejam ainda α, β ∈ J , a = ϕ(α) e b = ϕ(β).Entao,
∫ b
af(x) dx =
∫ β
αf(ϕ(t))ϕ′(t) dt.
Prova. Se F e uma primitiva de f em I, entao F ϕ e uma primitiva de (f ϕ)ϕ′
em J . Pela Regra de Barrow,∫ b
af(x) dx = F (b)−F (a) = F (ϕ(β))−F (ϕ(α)) =∫ β
αf(ϕ(t))ϕ′(t) dt.
23. Definicao: Sejam f , g : [a, b] → R integraveis e tais que f ≤ g. A area doconjunto (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e f(x) ≤ y ≤ g(x) e
∫ b
a[g(x)−f(x)] dx.
24. Exemplo. A area do conjunto (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ r2 = (x, y) ∈ R2 : −r ≤ x ≤r e −
√r2 − x2 ≤ y ≤
√r2 − x2 e
∫ r−r 2
√r2 − x2 dx = 2r2
∫ π/2−π/2
cos2 t dt = πr2.
25. Sejam a, b ∈ R com a < b, I = [a, b] e f : I → R. A cada d =x1, . . . , xn−1 ∈ D(I) associamos uma linha poligonal, γd, com verticesem (xi, f(xi)), i = 0, . . . , n (onde, como habitualmente, x0 = a e xn = b),dita linha poligonal inscrita no grafico, γ = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b e y =f(x), de f . Chamamos comprimento de γd a
ld =n∑
i=1
√(xi − xi−1)2 + [f(xi)− f(xi−1)]2.
Por definicao o comprimento de γ e l = supd∈D(I) ld, dizendo-se o graficorectificavel sse l < +∞.
26. Se f : [a, b] → R pertence a C1[a, b], entao o seu grafico e rectificavel etem comprimento
∫ b
a
√1 + [f ′(x)]2 dx.
Prova. Seja I = [a, b], ϕ : I → R, definida por ϕ(x) =√
1 + [f ′(x)]2 e d ∈ D(I). A
continuidade de ϕ implica que ϕ ∈ R(I). O Teorema de Lagrange implica sd(ϕ) ≤ld ≤ Sd(ϕ). Logo,
∫I ϕ ≤ l. Suponhamos que
∫I ϕ < l e seja k ∈]
∫I ϕ, l[. Existem d1,
d2 ∈ D(I) tais que Sd1 (ϕ) < k < ld2 . Tomando a decomposicao sobreposta de d1 e d2
chega-se a uma contradicao.
27. Exemplo. O comprimento do grafico da funcao f : [0,√
2r/2], definida por f(x) =√r2 − x2 (um oitavo de uma circunferencia de raio r), e
∫√2r/20
√1 + x2
r2−x2 dx =
r∫√2r/20
1/r√1−(x/r)2
dx = r arcsin√
22
= π4r.
IV Estrutura Algebrica e Topologica de Rm. Sucessoes
10
1. O conjunto Rm, munido das operacoes de adicao e multiplicacao por es-calares e um espaco vectorial sobre o corpo dos reais, ou seja, a adicaodefinida em Rm e associativa, comutativa, tem elemento neutro e qual-quer elemento tem simetrico, e alem disso a multiplicacao de escala-res por elementos de Rm e distributiva em relacao a adicao de vectores[α(x + y) = αx + αy] e de escalares [(α + β)x = αx + βx] satisfaz a pro-priedade da associatividade mista [α(βx) = (αβ)x] e 1. x = x, para todosα, β ∈ R, x, y ∈ Rm.
2. Em Rm introduz-se o produto interno euclidiano:Dados x, y ∈ Rm, x = (x1, . . . , xm) e y = (y1, . . . , ym), chama-se produtointerno de x por y ao numero real x · y = x1y1 + . . . xmym.O produto interno euclidiano, tal como qualquer outro produto interno,satisfaz as seguintes propriedades. Para todos α ∈ R e x, y, z ∈ Rm,
a) x · x ≥ 0, verificando-se a igualdade sse x = 0,b) x · y = y · x,c) x · (y + z) = x · y + x · z e x · (αy) = α(x · y).
3. O produto interno euclidiano permite definir a norma euclidiana, por‖x‖ =
√x · x, para todo o x ∈ Rm.
A norma euclidiana, tal como qualquer outra norma, satisfaz as seguintespropriedades. Para todos α ∈ R e x, y ∈ Rm,
a) ‖x‖ ≥ 0, verificando-se a igualdade sse x = 0,b) ‖αx‖ = |α| ‖x‖,c) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdade triangular).
4. Pode provar-se a desigualdade triangular recorrendo a desigualdade deCauchy-Schwarz: para todos x, y ∈ Rm,
|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖.
Prova da desigualdade de Cauchy-Schwarz. A desigualdade e imediata se y = 0.Para qualquer α ∈ R, 0 ≤ (x + αy) · (x + αy) = ‖x‖2 + 2(x · y)α + α2‖y‖2. Sey 6= 0, a ultima expressao e um polinomio de segundo grau cujo discriminante enao positivo.
Prova da desigualdade triangular. ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2 x · y + ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 +
2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2.
5. Atendendo a definicao de norma e a desigualdade triangular, para todo ox = (x1, . . . , xm) ∈ Rm,
maxi=1,...,m
|xi| ≤ ‖x‖ ≤ |x1|+ . . . + |xm|. (∗)
6. Dados x, y ∈ Rm \ 0, define-se o angulo, θ, entre x e y como sendo onumero real θ = arccos x·y
‖x‖ ‖y‖ . Este angulo coincide com o angulo medidoentre os vectores no plano que determinam.
7. Sendo a ∈ Rm e ε > 0, chama-se bola, ou bola aberta, de centro em a eraio ε a Bε(a) = x ∈ Rm : ‖x− a‖ < ε.
8. Uma sucessao em Rm e uma aplicacao de N1 em Rm.Cada sucessao (un) = (un,1, . . . , un,m) em Rm determina m sucessoesreais, (un,1), . . . , (un,m), ditas sucessoes coordenadas de (un).
11
9. Estendem-se as sucessoes, de forma natural, as operacoes de adicao, pro-duto interno e multiplicacao por escalares.
10. A sucessao (un) em Rm diz-se limitada sse existe M ∈ R+ tal que, paratodo o n ∈ N1, ‖un‖ ≤ M .As desigualdades (∗) implicam imediatamente que uma sucessao em Rm
e limitada sse sao limitadas todas as suas sucessoes coordenadas.11. Diz-se que a sucessao, u, em Rm converge ou tende para a ∈ Rm, e escreve-
se lim u = a, limn→∞ un = a ou un → a, sse
∀Bε(a)∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ un ∈ Bε(a),
ou seja,∀ε>0∃p∈N1∀n∈N1 n > p ⇒ ‖un − a‖ < ε.
Uma sucessao em Rm diz-se convergente sse existe a ∈ Rm tal que un → a.As sucessoes que nao sao convergentes dizem-se divergentes.
12. As desigualdades (∗) implicam imediatamente que a sucessao (un) =(un,1, . . . , un,m) em Rm converge para a sse, para cada j = 1, . . . ,m,limn→∞ un,j = aj .Este resultado implica a unicidade do limite.
13. O Teorema de Bolzano-Weierstrass generaliza-se a sucessoes em Rm −qualquer sucessao limitada tem subsucessoes convergentes.
14. Diz-se que a sucessao, u, em Rm, e de Cauchy sse
∀ε>0∃p∈N1∀r,s∈N1 r, s > p ⇒ ||ur − us|| < ε.
As desigualdades (∗) implicam imediatamente que uma sucessao em Rm
e de Cauchy sse sao de Cauchy todas as suas sucessoes coordenadas. Por-tanto, uma sucessao em Rm e de Cauchy sse converge.
15. Dos pontos anteriores sabemos que Rm e um espaco linear normado comum produto interno em que as sucessoes de Cauchy convergem. Chama-mos espaco de Hilbert a um tal espaco.
16. Seja a ∈ Rm e X ⊂ Rm. Designamos o complementar de X por XC .Dizemos quea) a e interior a X sse existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ X; designa-se o
conjunto dos pontos interiores a X por intX;b) a e exterior a X sse existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ XC ; designa-se o
conjunto dos pontos exteriores a X por ext X;c) a e ponto fronteiro de X sse a nao e interior nem exterior a X, ou
seja, qualquer que seja ε > 0 se tem Bε(a) ∩X 6= ∅ e Bε(a) ∩XC 6= ∅;designa-se o conjunto dos pontos fronteiros de X por ∂X;
E claro que, para qualquer X ⊂ Rm, Rm = int X ∪ ext X ∪ ∂X, sendoestes tres conjuntos disjuntos dois a dois.
17. Diz-se que X ⊂ Rm e aberto sse coincide com o seu interior (X = int X).18. Chama-se aderencia ou fecho de um conjunto X ⊂ Rm a X := intX∪∂X.
Diz-se que a ∈ Rm e aderente a X sse pertence a aderencia de X.Diz-se que X e fechado sse coincide com o seu fecho (X = X).Obviamente que X e fechado sse o seu complementar e aberto.E tambem claro que intX ⊂ X ⊂ X.
12
19. Os conjuntos ∅ e Rm sao simultaneamente abertos e fechados. (Estes saoos unicos subconjuntos de Rm simultaneamente abertos e fechados.)A interseccao de dois conjuntos abertos e um conjunto aberto.A uniao de qualquer famılia de conjuntos abertos e um conjunto aberto.
20. Seja X ⊂ Rm e a ∈ Rm. O ponto a e aderente a X sse existe uma sucessaode termos em X convergente para a.
21. Um conjunto e fechado sse para toda a sucessao convergente de termos noconjunto se tem que o limite da sucessao pertence ao conjunto.
22. Um subconjunto de Rm diz-se compacto sse e limitado e fechado.
23. O conjunto X ⊂ Rm e compacto sse qualquer sucessao de termos em Xtem uma subsucessao convergente para um ponto de X.
24. Dois conjuntos nao vazios A, B ⊂ Rm dizem-se separados sse cada um naocontem qualquer ponto aderente ao outro, ou seja, A∩B = ∅ e A∩B = ∅.Diz-se que X ⊂ Rm e conexo sse nao existirem dois conjuntos separadoscuja uniao seja X.
25. Os conjuntos Rm e ∅ sao conexos.
26. Um subconjunto de R e conexo sse e um intervalo.
27. Diz-se que X ⊂ Rm e convexo sse para todos x, y ∈ X se tem que osegmento de recta que une x a y esta contido em X, ou seja, tx+(1−t)y ∈X, para todo o t ∈ [0, 1].
V Continuidade e Limite
1. Seja D ⊂ Rm. Um campo escalar e uma funcao f : D → R. Um campovectorial e uma funcao g : D → Rn. O campo vectorial g = (g1, . . . , gn)determina n campos escalares g1, . . . , gn : D → R, ditas funcoes coorde-nadas de g.
2. Exemplos de campos vectoriais.
O campo gravıtico, num dado instante, e uma funcao de R3 em R3.
Uma fotografia pode ser descrita por uma funcao de um subconjunto de R2 em R3. Defacto, uma fotografia fica definida sabendo a cor de cada um dos seus pontos, e a cor decada ponto e determinada pela percentagem de encarnado, verde e azul que a compoem.Ou seja, uma fotografia fica determinada por uma funcao de um subconjunto de R2
em [0, 1]3 especificando a percentagem de encarnado, verde e azul presentes em cadaponto.
Um filme pode ser descrito por uma funcao de um subconjunto de R3 em R3.
Na realidade, para descrever imagens em televisao usa-se apenas um conjunto finito de
pontos de um rectangulo (o ecran) e uma sucessao discreta de instantes de tempo.
3. Os campos (escalares e vectoriais) mais simples sao as transformacoeslineares, estudados na disciplina de Algebra Linear.
4. As operacoes algebricas e o produto interno estendem-se de forma naturalaos campos. Tambem se define o modulo de um campo escalar e a normade um campo vectorial.
13
5. Definicao de continuidade de Cauchy. Seja D ⊂ Rm e a ∈ D. O campoescalar f : D → R e contınuo em a sse
∀δ>0∃ε>0∀x∈D ‖x− a‖ < ε ⇒ |f(x)− f(a)| < δ.
O campo vectorial g : D → Rn e contınuo em a sse
∀δ>0∃ε>0∀x∈D ‖x− a‖ < ε ⇒ ‖g(x)− g(a)‖ < δ,
ou seja, sse sao contınuas em a todas as suas funcoes coordenadas.6. Definicao de continuidade de Heine. Seja D ⊂ Rm e a ∈ D. Diz-se que o
campo (escalar ou vectorial) f , definido em D, e contınuo no ponto a ssesempre que (xn) seja uma sucessao, de termos em D, convergente para a,a sucessao (f(xn)) converge para f(a).
7. As definicoes de continuidade de Cauchy e Heine sao equivalentes, talcomo ja acontecia para funcoes reais de variavel real.
8. Diz-se que o campo f e contınuo sse e contınuo em todos os pontos do seudomınio.
9. Exemplo. As transformacoes lineares sao funcoes contınuas.
10. Da definicao de continuidade de Heine e dos teoremas sobre sucessoes,obtem-se imediatamente proposicoes relativas a continuidade da soma,produto de campos escalares ou de um campo escalar por um campovectorial, quociente de campos escalares ou de um campo vectorial por umcampo escalar (em pontos em que o denominador nao se anule), produtointerno de campos vectoriais, modulo de um campo escalar, norma de umcampo vectorial, e composta de campos.
11. As funcoes contınuas transformam compactos em compactos.12. Teorema de Weierstrass. Seja D compacto e nao-vazio e f : D → R
contınua. Entao f tem maximo e mınimo.As definicoes de maximo e mınimo de um campo escalar sao as obvias.
13. As funcoes contınuas transformam conexos em conexos.14. Teorema do Valor Intermedio. Seja D conexo e f : D → R contınua.
Entao f satisfaz a propriedade do valor intermedio, ou seja, se f assumeos valores α e β e α < γ < β, entao f assume o valor γ.
15. Seja D ⊂ Rm. Diz-se que D e conexo por arcos sse para todos a, b ∈ D existeϕ : [0, 1] → D contınua tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.
Se D e conexo por arcos, entao D e conexo.
16. Seja D ⊂ Rm compacto e f : D → Rn injectiva e contınua. Entao f−1 : f(D) → Rm e
contınua.
17. Definicao de limite de Cauchy. Seja D ⊂ Rm e a ∈ D, ou seja, a aderentea D. O campo escalar f : D → R tem limite b (b ∈ R) no ponto a(escreve-se limx→a f(x) = b) sse
∀δ>0∃ε>0∀x∈D ‖x− a‖ < ε ⇒ |f(x)− b| < δ.
O campo vectorial g : D → Rn tem limite b (b ∈ Rn) no ponto a (escreve-selimx→a g(x) = b) sse
∀δ>0∃ε>0∀x∈D ‖x− a‖ < ε ⇒ ‖g(x)− b‖ < δ,
ou seja, sse limx→a gi(x) = bi, para todo i = 1, . . . , n.
14
18. Definicao de limite de Heine. Seja D ⊂ Rm e a ∈ D. Diz-se que ocampo (escalar ou vectorial) f , definido em D, tem limite b no ponto a ssesempre que (xn) seja uma sucessao, de termos em D, convergente para a,a sucessao (f(xn)) converge para b.
19. As definicoes de limite de Cauchy e Heine sao equivalentes, tal como jaacontecia para funcoes reais de variavel real.
20. Se a ∈ D, entao f tem limite em a sse e contınua em a e neste casolimx→a f(x) = f(a).Se a ∈ D \ D, a existencia de limite no ponto a equivale a possibilidadede prolongar por continuidade f ao ponto a, ou seja, a existencia de umafuncao, f , definida em D ∪ a e contınua. E claro que
f(x) =
f(x) se x ∈ D,limx→a f(x) se x = a.
21. Da definicao de limite de Heine e dos teoremas sobre sucessoes, obtem-seimediatamente proposicoes relativas ao limite da soma, produto de camposescalares ou de um campo escalar por um campo vectorial, quociente decampos escalares ou de um campo vectorial por um campo escalar (empontos em que o denominador nao tenha limite nulo), produto internode campos vectoriais, modulo de um campo escalar, norma de um campovectorial, e composta de campos.
22. Seja D ⊂ Rm, f : D → Rn (possivelmente com n = 1), A ⊂ D e a ∈ A. Olimite de f no ponto a relativo ao conjunto A e limx→a f |A(x), quando esteexista. Escrevemos tambem limx → a
x ∈ Af(x) para designar limx→a f |A(x).
Por definicao, o limite direccional de f , no ponto a ∈ D, segundo o vectorv ∈ Rm, e limt→0+ f(a + tv).
23. Um processo habitual para provar a nao existencia de limites consisteem determinar conjuntos A, B ⊂ D, com a ∈ A e a ∈ B, tais quelimx → a
x ∈ Af(x) 6= limx → a
x ∈ Bf(x).
Suponhamos que existem e sao iguais os limites direccionais de f , no pontoa, segundo todos os vectores v ∈ Rm (de norma igual a um). Ainda assim,f pode nao ter limite no ponto a. E o que acontece, por exemplo, com(x, y) 7→ x2y/(x4 + y2).
VI Diferenciabilidade
1. Derivada de um campo escalar com respeito a um vector. Seja f : D → R,com D ⊂ Rm, a ∈ intD e v ∈ Rm. A derivada de f em a com respeito av e
f ′(a; v) := limt→0
f(a + tv)− f(a)t
,
sempre que este limite exista.2. Exemplos.
a) Nas condicoes do ponto anterior, obviamente, f ′(a, 0) = 0 e f ′(a;−v) =−f ′(a; v).
15
b) Se f : Rm → R e uma transformacao linear, f ′(a, v) = f(v).
c) Seja f : Rm → R, definida por f(x) = ‖x‖2. Entao, f ′(a, v) = 2 a · v.
d) Seja g, definida numa vizinhanca de 0, por g(t) = f(a+tv), com f : Rm → R,a ∈ int D e v ∈ Rm. Entao g′(0) = f ′(a; v).
3. Seja v 6= 0 e y = v/‖v‖, de modo que v = ‖v‖y com ‖y‖ = 1. Entao,f ′(a; v) = ‖v‖f ′(a; y). De acordo com o exemplo d) do ponto anterior,f ′(a, y) e a derivada, no ponto a, da restricao de f a recta que passa pora com a direccao y. Chamamos a f ′(a; y) a derivada direccional de f ema segundo a direccao y.Quando y = ei (o i-esimo vector da base canonica de Rm), para algumi entre 1 e m, f ′(a; y) = f ′(a; ei) toma o nome de derivada parcial de fcom respeito a ei, ou i-esima derivada parcial de f , tambem designadapor ∂f
∂xi(a), ou ainda, fxi
(a).
4. Um campo escalar definido num subconjunto de Rm pode ter derivadanum ponto segundo todos os vectores de Rm e nao ser contınuo nesseponto. E o que se passa, por exemplo, com a funcao f : R2 → R, definidapor f(x, y) = x2y/(x4 + y2), se (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0, descontınua naorigem.
5. Motivacao da definicao de derivada de um campo escalar.Nao podemos definir a derivada de um campo escalar num ponto como li-mite da razao incremental, por esta nao estar definida, uma vez que nao de-finimos divisao por um vector. Em seguida vamos encontrar uma condicaoque, para funcoes reais de variavel real, seja equivalente a existencia dederivada, e que, para campos escalares, possa ser tomada como definicaode derivada.Recordemos a seguinte formula de Taylor com resto de Peano: Seja f :D → R, com D ⊂ R, e a ∈ intD; se f e diferenciavel em a, entao
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + (x− a)E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0. Inversamente, e facil provar que, se existe uml ∈ R tal que
f(x) = f(a) + l(x− a) + (x− a)E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0, entao f e diferenciavel no ponto a e f ′(a) = l.
6. Definicao de derivada de um campo escalar. Dizemos que o campo escalarf : D → R, com D ⊂ Rm, e diferenciavel no ponto a ∈ intD sse existemm escalares, l1, . . . , lm, tais que
f(x) = f(a) + (l1, . . . , lm) · (x− a) + ‖x− a‖E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0. Ou seja, f e diferenciavel no ponto a ∈ intDsse existe uma tranformacao linear La : Rm → R, tal que
f(x) = f(a) + La(x− a) + ‖x− a‖E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0. Neste caso diz-se que a transformacao linear La
e a derivada de f em a, e escreve-se f ′(a) = La. Obviamente, a matrizque representa La em relacao a base canonica de Rm (e a base canonicade R) e [l1 l2 . . . lm].
16
7. Note-se que o campo escalar f e diferenciavel no ponto a sse a distancia,medida na direccao xm+1, entre o grafico de f e o plano xm+1 = f(a) +La(x − a), dito plano tangente ao grafico de f em (a, f(a)), e ‖x −a‖E1(x, a), onde limx→a E1(x, a) = 0.
8. Exemplo. O campo x 7→ ‖x‖2 e diferenciavel em todos os pontos a ∈ Rm e
La(x− a) = 2a · (x− a). De facto, ‖x‖2 = ‖a‖2 + 2a · (x− a) + ‖x− a‖2, pelo
que E1(x, a) = ‖x− a‖.
9. Seja f : D → R, com D ⊂ Rm, um campo escalar diferenciavel em a, comderivada La, e v ∈ Rm. Entao, f tem derivada em a com respeito a ve f ′(a; v) = La(v) =
∑mi=1
∂f∂xi
(a)vi, onde v = (v1, . . . , vm). Portanto, a
derivada La e representada pela matriz[
∂f∂x1
(a) . . . ∂f∂xm
(a)].
10. Designamos por gradiente de f em a a ∇f(a) :=(
∂f∂x1
(a), . . . , ∂f∂xm
(a)),
sempre que este vector exista. Note-se que, se f e diferenciavel em a comderivada La, La(v) = ∇f(a) · v.
11. Seja f um campo escalar diferenciavel em a. Em a, o campo f tem umataxa maxima de crescimento na direccao do vector ∇f(a), sendo o valordesta taxa de crescimento maximo igual a norma do vector gradiente. Ema, nas direccoes perpendiculares a do vector gradiente, o campo f temtaxa de crescimento nula; na direccao oposta a do vector gradiente, ocampo f tem taxa de crescimento igual a −‖∇f(a)‖.
12. Se o campo escalar f e diferenciavel em a, entao e contınuo em a.
13. Condicao suficiente de diferenciabilidade. Se as derivadas parciais docampo escalar f existem numa bola centrada em a e sao contınuas noponto a, entao f e diferenciavel em a.
14. Definicao de derivada de um campo vectorial num ponto. Dizemos queo campo vectorial f : D → Rn, com D ⊂ Rm, e diferenciavel no pontoa ∈ intD sse existe uma transformacao linear La : Rm → Rn, tal que
f(x) = f(a) + La(x− a) + ‖x− a‖E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0. Neste caso diz-se que a transformacao linear La
e a derivada de f em a, e escreve-se f ′(a) = La. A matriz que representaLa em relacao as bases canonicas de Rm e Rn e
∂f1∂x1
(a) ∂f1∂x2
(a) . . . ∂f1∂xm
(a)∂f2∂x1
(a) ∂f2∂x2
(a) . . . ∂f2∂xm
(a). . . . . . . . . . . .
∂fn
∂x1(a) ∂fn
∂x2(a) . . . ∂fn
∂xm(a)
.
15. A definicao do ponto anterior implica, claramente, que um campo vectoriale diferenciavel num ponto sse sao diferenciaveis nesse pontos todas as suasfuncoes coordenadas.
16. O ponto anterior implica que um campo vectorial diferenciavel num pontoe contınuo nesse ponto.
17. Derivada da funcao composta. Sejam f e g campos vectoriais tais quea composicao f g esta definida numa vizinhanca do ponto a. Se g e
17
diferenciavel em a e f e diferenciavel em g(a), entao f g e diferenciavelem a e (f g)′(a) = f ′(g(a)) g′(a).Segue-se que se f : S → Rp, com S ⊂ Rn, e g : T → Rn, com T ⊂ Rm,entao a matriz que representa a derivada de h := f g e ∂h1
∂x1(a)
∂h1∂x2
(a) . . .∂h1∂xm
(a)
∂h2∂x1
(a)∂h2∂x2
(a) . . .∂h2∂xm
(a)
. . . . . . . . . . . .∂hp∂x1
(a)∂hp∂x2
(a) . . .∂hp∂xm
(a)
=
∂f1∂y1
(g(a))∂f1∂y2
(g(a)) . . .∂f1∂yn
(g(a))
∂f2∂y1
(g(a))∂f2∂y2
(g(a)) . . .∂f2∂yn
(g(a))
. . . . . . . . . . . .∂fp∂y1
(g(a))∂fp∂y2
(g(a)) . . .∂fp∂yn
(g(a))
∂g1∂x1
(a)∂g1∂x2
(a) . . .∂g1∂xm
(a)
∂g2∂x1
(a)∂g2∂x2
(a) . . .∂g2∂xm
(a)
. . . . . . . . . . . .∂gn∂x1
(a) ∂gn∂x2
(a) . . .∂gn∂xm
(a)
,
onde (x1, x2, . . . , xm) designa um ponto generico de Rm e (y1, y2, . . . , yn)designa um ponto generico de Rn.
18. Exemplos.
a) Seja f : R3 → R um campo escalar diferenciavel (interpretado como a tempe-ratura) e r : R → R3, definida por r(t) = (X(t), Y (t), Z(t)) = (cos t, sin t, t)(interpretado como a posicao, no instante t, de uma particula que se moveao longo de uma helice). A derivada da funcao real de variavel real f r e
(f r)′(t) =[
∂f∂x
(r(t)) ∂f∂y
(r(t)) ∂f∂z
(r(t))] dX
dt(t)
dYdt
(t)dZdt
(t)
=
∂f
∂x(r(t))
dX
dt(t) +
∂f
∂y(r(t))
dY
dt(t) +
∂f
∂z(r(t))
dZ
dt(t)
= ∇f(r(t)) · r′(t)
= − sin t∂f
∂x(r(t)) + cos t
∂f
∂y(r(t)) +
∂f
∂z(r(t)).
Portanto,d
dtf [r(t)] = ∇f(r(t)) · r′(t).
E frequente escrever-se
d
dtf [x(t), y(t), z(t)] =
∂f
∂x
dx
dt+
∂f
∂y
dy
dt+
∂f
∂z
dz
dt.
b) Seja f : R2 → R um campo escalar diferenciavel. A derivada de ϕ : R2 → R,definida por ϕ(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) e representada pela matriz
(Dϕ)(r, θ) =[
∂ϕ∂r
∂ϕ∂θ
]=
[∂f∂x
∂f∂y
] [ ∂x∂r
∂x∂θ
∂y∂r
∂y∂θ
]=
[∂f∂x
∂x∂r
+ ∂f∂y
∂y∂r
∂f∂x
∂x∂θ
+ ∂f∂y
∂y∂θ
]=
[∂f∂x
cos θ + ∂f∂y
sin θ −r ∂f∂x
sin θ + r ∂f∂y
cos θ],
onde as derivadas ∂ϕ/∂r, ∂ϕ/∂θ, ∂x/∂r, ∂x/∂θ, ∂y/∂r, ∂y/∂θ, sao calculasem (r, θ) e as derivadas ∂f
∂xe ∂f
∂ysao calculadas em (r cos θ, r sin θ). Note-se
que, sendo ϕ(r, θ) = f(x(r, θ), y(r, θ)),
∂ϕ
∂r=
∂f
∂x
∂x
∂r+
∂f
∂y
∂y
∂re
∂ϕ
∂θ=
∂f
∂x
∂x
∂θ+
∂f
∂y
∂y
∂θ.
18
c) Equacao de onda unidimensional. Sejam c ∈ R \ 0,ξ = x + ct,η = x− ct,
ou seja,
x = ξ+η
2,
t = ξ−η2c
e u : R2 → R de classe C2. Seja v : R2 → R a funcao composta de u com(ξ, η) 7→ (x, t), de modo que v(ξ, η) = u(x(ξ, η), t(ξ, η)), ou seja, u(x, t) =v(ξ(x, t), η(x, t)) (u e a composta de v com (x, t) 7→ (ξ, η)). Calculemosas derivadas ∂u/∂t, ∂2u/∂t2, ∂u/∂x e ∂2u/∂x2 em termos das derivadasparciais de v. Temos,
∂u
∂t=
∂v
∂ξ
∂ξ
∂t+
∂v
∂η
∂η
∂t= c
∂v
∂ξ− c
∂v
∂η
e
∂2u
∂t2= c
(∂2v
∂ξ2
∂ξ
∂t+
∂2v
∂η∂ξ
∂η
∂t
)− c
(∂2v
∂ξ∂η
∂ξ
∂t+
∂2v
∂η2
∂η
∂t
)= c2 ∂2v
∂ξ2− c2 ∂2v
∂η∂ξ− c2 ∂2v
∂ξ∂η+ c2 ∂2v
∂η2.
Por outro lado,∂u
∂x=
∂v
∂ξ
∂ξ
∂x+
∂v
∂η
∂η
∂x=
∂v
∂ξ+
∂v
∂ηe
∂2u
∂x2=
(∂2v
∂ξ2
∂ξ
∂x+
∂2v
∂η∂ξ
∂η
∂x
)+
(∂2v
∂ξ∂η
∂ξ
∂x+
∂2v
∂η2
∂η
∂x
)=
∂2v
∂ξ2+
∂2v
∂η∂ξ+
∂2v
∂ξ∂η+
∂2v
∂η2.
A funcao u e uma solucao da equacao de onda,
∂2u
∂t2= c2 ∂2u
∂x2,
sse
4c2 ∂2v
∂η∂ξ= 0.
A ultima equacao e satisfeita sse ∂v/∂ξ nao depende de η, pelo que
∂v
∂ξ(ξ, η) = f(ξ).
para alguma funcao f : R → R. A funcao f e necessariamente de classe C1
porque ∂v/∂ξ e de classe C1. Em particular, a funcao f e contınua pelo quee primitivavel. Designemos por F uma primitiva de f . A ultima equacao eequivalente a
v(ξ, η) = F (ξ) + G(η),
para alguma funcao G : R → R, com G de classe C2, porque v e de classeC2. Conclui-se que
u(x, t) = F (x + ct) + G(x− ct).
19. Seja f : D → R, com D ⊂ Rm (m > 2), diferenciavel no ponto a ∈ intDe tal que ∇f(a) 6= 0. Entao ∇f(a) e perpendicular a superfıcie de nıvelf(a) de f no ponto a.Em AMIII provar-se-a que se ∇f(a) 6= 0, entao existe uma vizinhanca de a tal que
a interseccao dessa vizinhanca com o conjunto de nıvel f(a) de f e uma superfıcie de
dimensao m − 1. A definicao matematica de superfıcie sera tambem dada posterior-
mente.
19
20. Extremos de campos escalares. Definem-se da forma habitual, maximorelativo, maximo relativo estrito e maximo absoluto. Idem para mınimo.Um maximo ou mınimo diz-se um extremo.
21. Definicao de ponto de estacionaridade de um campo escalar e de ponto desela. Seja f um campo escalar diferenciavel no ponto a. Dizemos que a eponto de estacionaridade de f sse ∇f(a) = 0.Diz-se que o ponto de estacionaridade a e ponto de sela sse qualquervizinhanca de a contem pontos x tais que f(x) < f(a) e pontos x tais quef(x) > f(a).
22. Seja a ∈ D(1). Para que o campo escalar f tenha um extremo em a enecessario que a seja um ponto de estacionaridade de f . Se a e ponto deestacionaridade do campo escalar f e f(a) nao e extremo de f , entao a eponto de sela de f .
23. Seja f definido em D ⊂ R2 um campo escalar e suponha-se que existe∂f/∂x sobre um um segmento vertical. Seja ainda a um ponto interiora esse segmento (no sentido de R e nao de R2, ou seja, na topologiainduzida na recta que contem o segmento vertical). Podemos entao definira derivada ∂
∂y (∂f∂x ), sempre que esta exista, usualmente escrita ∂2f
∂y∂x . Deforma analoga se definem outras derivadas de ordem superior.
24. Lema de Schwarz. Seja f um campo escalar tal que as derivadas parciais∂f∂x , ∂f
∂y , ∂2f∂y∂x e ∂2f
∂x∂y existam numa vizinhanca de um ponto a. Se asduas ultimas derivadas sao contınuas em a, entao essa derivadas (ditascruzadas) sao iguais.
25. Definicao da matriz hessiana (O. Hesse) de f em a. Seja f : D → R,com D ⊂ Rm, e a ∈ intD tal que existem as segundas derivadas parciaisde f em a. A matriz hessiana de f em a e matriz m×m definida por
Hf(a) =[
∂2f
∂xi∂xj(a)
]m
i,j=1
.
Pelo Lema de Schwarz, quando as segundas derivadas parciais de f saocontınuas no ponto a esta matriz e simetrica.
26. Formulas de Taylor com restos de Peano e Lagrange.
a) Seja f : D → R, com D ∈ Rm, diferenciavel no ponto a. Entao
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + (x− a)E1(x, a),
com limx→a E1(x, a) = 0. (Isto e a definicao de diferenciabilidade noponto a.) Se f e diferenciavel em Br(a) e x ∈ Br(a), entao
f(x) = f(a) + f ′(a + θ(x− a))(x− a),
para algum θ ∈ ]0, 1[.Prova. Seja g : [0, 1] → R, definida por g(t) = f(a + t(x − a)). Entao g(1) =
g(0) + g′(θ), para algum θ ∈]0, 1[. Tem-se que g(0) = f(a), g(1) = f(x) e g′(t) =
∇f(a + t(x− a)) · (x− a).
20
b) Seja f : D → R, com D ∈ Rm, duas vezes diferenciavel no ponto a,ou seja, diferenciavel numa vizinhanca de a e com primeiras derivadasparciais diferenciaveis no ponto a. Entao,
f(a + h) = f(a) + Df(a)h +12hTHf(a)h + ‖h‖2E2(a + h, a),
com limh→0 E2(a + h, a) = 0.Prova.
E2(a + h, a) =f(a + h)− f(a)−Df(a)h− 1
2hTHf(a)h
‖h‖2
=[f(a + th)− f(a)−Df(a)(th)− 1
2(th)THf(a)(th)]
∣∣1t=0
[‖th‖2]|1t=0
=Df(a + θh)h−Df(a)h− θhTHf(a)h
2θ‖h‖2
para algum θ = θ(a, h) ∈ ]0, 1[, pelo Teorema de Cauchy. Uma vez que as primeirasderivadas parciais de f sao diferenciaveis no ponto a, para cada i ∈ 1, . . . , m,
∂f
∂xi(x) =
∂f
∂xi(a) + D
(∂f
∂xi
)(a)[x− a] + ‖x− a‖Ei
1(x, a)
com limx→a Ei1(x, a) = 0. Tomando x = a + θh, multiplicando por hi e somando
em i, obtem-se
Df(a + θh)h = Df(a)h + θhTHf(a)h + |θ|‖h‖n∑
i=1
Ei1(a + θh, a)hi.
Substituindo na expressao acima para E2(a + h, a),
E2(a + h, a) =1
2
|θ|θ
n∑i=1
Ei1(a + θh, a)
hi
‖h‖.
Portanto,
|E2(a + h, a)| ≤1
2
n∑i=1
|Ei1(a + θh, a)|.
Conclui-se que limh→0 E2(a + h, a) = 0.
Seja f : D → R, com D ∈ Rm, duas vezes diferenciavel em Br(a) eh ∈ Br(0). Entao,
f(a + h) = f(a) + Df(a)h +12hTHf(a + θh)h,
para algum θ = θ(a, h) ∈ ]0, 1[.Prova. Seja g : [0, 1] → R, definida por g(t) = f(a + th). Entao g e duas vezesdiferenciavel pelo que
g(1) = g(0) + g′(0) +1
2g′′(θ),
para algum θ ∈]0, 1[. Tem-se que g(0) = f(a), g(1) = f(a+h), g′(t) = ∇f(a+th)·he g′′(t) = hTHf(a + th)h. De facto,
g′′(t) =d
dt
m∑i=1
∂f
∂xi(a + th)hi
=
m∑i=1
m∑j=1
∂2f
∂xj∂xi(a + th)hihj
= hTHf(a + th)h.
21
27. Seja f um campo escalar diferenciavel no ponto a. Diz-se que f e convexono ponto a sse
∃ε>0∀x∈Bε(a) f(x) ≥ f(a) +∇f(a) · (x− a)
e diz-se que f e concavo no ponto a sse
∃ε>0∀x∈Bε(a) f(x) ≤ f(a) +∇f(a) · (x− a).
28. Se o campo escalar f : Ω → R, com Ω ⊂ Rm, e duas vezes diferenciavelno ponto a e a forma quadratica associada a matriz Hf(a) e definidapositiva, ou seja, hTHf(a)h > 0 para todo o vector coluna h de dimensaom× 1 nao nulo, entao f e convexa em a. Se a forma quadratica associadaa matriz Hf(a) e definida negativa, ou seja, hTHf(a)h < 0 para todo ovector coluna h de dimensao m× 1 nao nulo, entao f e concava em a.Sabemos da Algebra Linear que a forma quadratica associada a uma matriz
simetrica e definida positiva sse todos os valores proprios da matriz sao positivos
e e definida negativa sse todos os valores proprios da matriz sao negativos.
29. O ponto anterior implica que se o campo escalar f tem um ponto deestacionaridade em a e se a forma quadratica associada a Hf(a) e definidapositiva, entao a e ponto de mınimo relativo estrito de f . Se o campoescalar f tem um ponto de estacionaridade em a e se a forma quadraticaassociada a Hf(a) e definida negativa, entao a e ponto de maximo relativoestrito de f .Se o campo escalar f tem um ponto de estacionaridade em a e se Hf(a)tem dois valores proprios com sinais distintos, entao a e ponto de selade f . (Neste caso a forma quadratica associada a matriz Hf(a) e indefi-nida, ou seja, existem vectores coluna h e h, de dimensao m × 1, tal quehTHf(a)h < 0 e h
THf(a)h > 0.)
Referencias
[1] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica, Fundacao Gul-benkian, 6a ed., 1995.
[2] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise em RN , AEIST, 1978.
22
