Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes

Francisco M. Garcia

Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico

Organização da apresentação

• Descrição do problema.

• Problema de detecção e classificação clássico; caso estacionário e não estacionário; decomposição de Karhunen-Loève.

• Esquema de processamento em tempo real.

• Transformada wavelet discreta; parametrização de filtros.

• Escolha das famílias de wavelets, componentes principais e intervalo de amostragem; redução da complexidade computacional mantendo a qualidade do processador, distância de Chernoff.

• Exemplo.

• Conclusões.

Caracterização do problema e objectivos

• Sinais gaussianos de curta duração e passa-banda

• Ruído gaussiano e ruído impulsivo

• Ambiente multicaminho (acústica submarina)

• Baixa relação sinal-ruído

• Processadores em tempo real

• Avaliação da complexidade computacional dos processadores

• Avaliação de limites de desempenho

Canal +Sinal emitido por

uma de entre váriasfontes possíveis

Ruído

Sinal observado no receptor

• Sinal determinístico ou estocástico

• Canal conhecido ou desconhecido

• Distribuição do ruído conhecida

• Energia do sinal conhecida ou desconhecida

]),([)( com

, hipótese na )()()(

ctsfty

Htntytr

ii

ii

)(tyi)(tr

)(tn

)(tsi

c

Em que depende apenas das probabilidades a-priori das hipóteses Hk e Hi e das respectivas matrizes de covâriancia.

Para N hipóteses possíveis, existem combinações de testes para efectuar, embora seja apenas necessário efectuar N-1 cálculos quadráticos. De facto,

Classificador Bayesiano

Dado um vector de observações X e um conjunto de hipóteses Hi , i=0,…,N-1, escolhe-se a hipótese Hk tal que

P(Hk|X) > P(Hi|X), kiNi ,1,...,0Caso de sinais gaussianos de média nula em ruído gaussiano:

, )(11

kiki

T

ki XQQXl

Hk

><Hi

ki

NC2

ikNiklll ikki ,1,...,1, ,00

XMMQMI

MXlT

iii

T

ii

T

i)(

1

20

• O processo X é em geral fortemente correlacionado e de elevada dimensão

•A cada li0 pode-se aplicar uma transformação linear Mi (H0 ruído branco):

• A transformação óptima no sentido de reduzir o número de coeficientes é a decomposição de Karhunen-Loève

• Os coeficientes obtidos pela DKL são incorrelacionados (matriz de covariância diagonal)

• Caso estacionário - a DKL é a série de Fourier

• Caso não estacionário - DKL diferentes para cada classe de sinais diferentes

TsTd

FiltroPassa-baixo

ideal

Processo deobservação

Memóriadim = Nd

Decomposiçãolinear

Tt

Amostragem Redução de ordem

Memóriadim = Nc

Rácio deverosimilhança

H1

<>H0

Limiar decomparação

Decisão

Teste de verosimilhança

Nd - Comprimento dos vectores de decomposiçãoNc - Número de coeficientes de decomposiçãoTs - Intervalo de amostragemTd - Ritmo de decomposiçãoTt - Ritmo de execução dos testes de verosimilhança

Diagrama de blocos do detector binário

Decomposição wavelet discreta

Hc0 HH

G G G

c1 c2 cJ

d2d1 dJ

H - Filtro passa-baixo G - Filtro passa-alto

2

2

2

2

2

2

Propriedade de translação:

seja TW[c0(n)] = [d1(n) d2(n) … dJ(n) cJ(n)].

Então, TW[c0(n-k2J) ] = [d1(n-k2(J-1)) d2(n-k2(J-2)) … dJ(n-k) cJ(n-k)].

Filtros equivalentes hjk e gj

k

cj(k) = <c0(n),hjk(n)> = <C0(),Hj

k()> dj(k) = <c0(n),gjk(n)> = <C0(),Gj

k()>

Desenho de filtros G e H de suporte compacto

- H é Passa-baixo

- G é Passa-alto

- G e H são ortonormados HG*=0

- Condições de decomposição e reconstrução H*H + G*G = 1

- Outras restrições: regularidade, simetria, etc...

n

nh 2)(

n

ng 0)(

=> O desenho de filtros QMF com reconstrução perfeita (PR) para um determinado objectivo corresponde a um problema de minimização com restrições.

Zou e Tewfik mostraram que todos os filtros de comprimento 2Msão parametrizáveis por um conjunto livre de parâmetros i, i=1,…,M-1.

Problema de optimização

Objectivos: - Escolher o intervalo de amostragem, família de wavelets e no. de coeficientes de forma a reduzir ao máximo a complexidade computacional

Restrições: - Garantir a qualidade do processador

• Complexidade computacional reduzida se:

- Os Filtros de decomposição forem curtos - O número de coeficientes fôr pequeno- As matrizes de covariância forem esparsas

• Qualidade do processador:

- Erro quadrático médio E[2(t)]: Não é fiável- Ideal: Probabilidade de erro (computacionalmente incomportável)

- Utilizada: Distância de Chernoff

Distância de Chernoff

1,0 ,)1(sC

ln2

1max),( )1(

10

1010

s

CC

CsCCd sss

Válida para:- Matrizes definidas positivas- Processos decompostos na mesma base

Permite obter limiares superior e inferior da probabilidade de erro:

2

10

4112

1

),(exp2

1

si

s CCd

Funcionais de optimização computacionalda matriz de covariância

i) Sejam E[(dij)2] os elementos da diagonal da matriz de covariância

j i

jis dETJ

221 )(

i

jidEjJ 2

2 )()(ii) Para uma determinada escala j:

Seja Lij o instante médio do suporte de gi

j:

,)(),(2

1)(

/

/

22

dTGTLSdEs

s

T

T

sj

sji

ji

em que )(),(),( ttkTFtS

Algoritmo de optimização

1 - Encontrar Ts máximo (Tlim), tal que d(Cref,CTs) <

2 - Para Ts < Tlim e para dim(G,H) = N0, calcular

3 - Com os parâmetros calculados em 2, calcular a matriz de coeficientes wavelets Cw equivalente a CTs

4 - Eliminar os termos menos importantes da diagonal de Cw, bem como os respectivos termos cruzados, enquanto

d(Cref,Cw) <

5 - Avaliar a complexidade computacional. se não fôr satisfatória, voltar a 2 e repetir para um valor diferente de dim(G,H).

}2,1{ ,argmax,,

iJ iHGTs

Complexidade computacional

Decomposição KL: - comprimento do sinal N- No. de vectores próprios P

=> (N+2)xP multiplicações no total (decomposição + forma quadrática)

Transformada Wavelet: - Filtros G e H de comprimento L - Matriz

com M elementos não nulos - Vector de coeficientes com K elementos - Decomposição entre as escalas J1 e J2

=> Decomposição: multiplicações

=> Termo quadrático: M+K multiplicações

LJJ

k

kJ

j

j

122

0

1

0

22

)(1

2MQM

Iii

T

i

Não é fácil optimizar os parâmetros directamente no número de multiplicações

Exemplo

Conclusões

• Para sinais transientes, de curta duração, de banda larga, a transformada wavelet traz vantagens computacionais comparativamente à decomposição de Karhunen-Loève.

• Os parâmetros do processador podem ser obtidos pela maximização de funcionais que utilizam os termos da diagonal da matriz de covariância

• A escolha do intervalo de amostragem influencia fortemente a carga computacional do processador.

• A família de wavelets, de suporte compacto, pode ser escolhida numa biblioteca de bases, ou optimizada através de uma parametrização sem restrições.

• A qualidade das aproximações efectuadas deve ser monitorizada. A distância de Chernoff é a medida adequada em problemas de detecção.