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JÚLIO CÉSAR DA SILVA
ANÁLISE NUMÉRICA DE ESTRUTURAS
GRAMPEADAS
Dissertação apresentada ao Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rio, como parte dos
requisitos para obtenção do Título de Mestre em
Engenharia Civil – Geotecnia
Orientadores: Eurípedes A. Vargas Jr.
Luiz Eloy Vaz
Departamento de Engenharia Civil
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO
Rio de Janeiro, maio de 1999
“ A meus pais, meus irmãos,
meus sobrinhos e
a minha noiva Fabrícia”
“O caminho da sabedoria é não ter medo de errar.”
“Conhecimento sem transformação não é sabedoria.”
(Trechos dos livros Brida e Frases de Paulo Coelho)
“O pensamento é o fundamento
eu ganho o mundo sem sair do lugar”
(trecho da música Pensamento de Cidade Negra)
AGRADECIMENTOS
Ao professor Eurípedes A. Vargas Jr., orientador deste trabalho, por ter me apoiado
nos momentos mais difíceis da tese e despertado meu interesse pela análise numérica em
Geotecnia.
Ao professor Luiz Eloy Vaz., co-orientador deste trabalho, pelo apoio em parte do
desenvolvimento desta dissertação
Ao professor e “co-orientador” Rodrigo Pelluci Figueiredo pelo grande apoio prestado
no decorrer do desenvolvimento desta dissertação.
A meus pais (Geraldo e Consolada), meus irmãos (Fabinho, Claudinha, Lange e Cris), a
minha querida noiva Fabrícia e a todos meus parentes e amigos de Ouro Preto, em especial a
Evaldo, Juliano e Zé Cristiano, que torceram por esta conquista.
A meus amigos com quem tive um convívio sempre muito alegre, nos locais de moradia
no Rio: “Elcinho”, Marconi, “Bodim”, “Tio Paulinho”, “Lumbriga”, Conrado, Bebeto,
“Gariba”, Fábio, Ricardo, Willy, “Nenem”, “Ban-Ban”, Mário e os “bolinhas” (Cadu e
Thiago).
A “moçada” do volei de praia, em especial a Ricardo “Highlander”, Ricardo “cabra-da-
peste”, Regina, Cleide, Margareth e Luciana, por momentos de descontração passados durante
este período.
Aos demais amigos da turma de Geotecnia 96.2: Fernando, Daniela, Cláudio,
Giorgiana e Cristiana.
A CAPES por financiar a realização desta dissertação.
A todos colegas da Pós-Graduação não mencionados aqui, professores e funcionários
do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio que contribuíram de forma direta ou
indireta para realização deste trabalho.
Aos amigos do PET-CIVIL/EM/UFOP (tutores e integrantes) pelo apoio e amizade, a
todos professores da DECIV/EM/UFOP que contribuíram para meu crescimento profissional e
ético, em especial, Romero César Gomes e Christianne Lyra Nogueira que me apresentaram a
esta instituição e aos professores José Carlos de Araújo e Marcílio S. R. Freitas pelo convívio
profissional e pela amizade.
Em especial, a DEUS.
RESUMO
Esta pesquisa tem como objetivo a implementação de uma ferramenta numérica que
contabiliza as inclusões horizontais e subhorizontais na parcela de solo devidamente
discretizada por elementos finitos. Este modelo implementa a análise de esforços axiais e
cisalhantes solicitados nas interfaces grampo/nata, nata/solo e no próprio aço (grampo) e,
também, esforços fletores de um material “equivalente” formado pela combinação das
rigidezes do grampo e da nata.
Este objetivo é alcançado através da implementação de mais um “pacote” de
subrotinas, denominado grampo, no programa DYNREL, desenvolvido no Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rio (Figueiredo, 1991). A formulação proposta para contabilizar o
efeito das inclusões considera, além dos deslocamentos nodais horizontal e vertical, a
influência das rotações no sistema de forças envolvido. A parcela reativa do grampo é
calculada iterativamente em função das variáveis primárias obtidas no programa principal para
o meio discretizado sem reforço e, assim, acrescida ao vetor de forças internas contrárias.
Logo o novo vetor de forças desbalanceadas do sistema incorpora o efeito das inclusões
passivas (grampo).
O presente trabalho apresenta detalhes da técnica de estruturas grampeadas, do modelo
numérico de análise implementado, de exemplos de validação do comportamento das
estruturas grampeadas e de exemplos ilustrativos destas estruturas.
ABSTRACT
The present research has as its main objective the development of a numerical tool
capable of simulating the introduction of long structural inclusions in a soil mass discretized by
finite elements. Models of the behaviour of the nail/grout system and its interaction with the
soil mass were implemented. These models take into account the normal and shear loads
transferred at the nail-grout and grout–soil interfaces besides the axial loads and moments
acting in the nail itself. The models are able to consider both elastic and inelastic behaviour
both at the interfaces and the nail.
The proposed models , consisting on a set of subroutines, were implemented in the
program DYNREL, developped at the Civil Engineering Department of PUC Rio
(Figueiredo,1991). DYNREL is a finite element program which uses dynamic relaxation as the
solution algorithm for the equilibrium equations. In the implementation carried out, it is
considered that the soil mass is discretized without taking into account the nail. The reactions
of the nails are calculated at each time step from the displacements of the elements intercepted
by the nails. These displacements are used in the developped subroutines to generate the force
reactions from the nails which in turn are transferred back to the finite element mesh for the
following time step calculations.
The present work presents detais of the implemented models as well as validation and
illustrative examples. Conclusions are drawn relative to the numerical implementation carried
out and to the results obtained on the analysis of hypothetical nailed retaining structure.
SUMÁRIO
III
LISTA DE FIGURAS..............................................................................V
LISTA DE TABELAS.............................................................................IX
LISTA DE SIMBOLOS...........................................................................X
1 – INTRODUÇÃO...................................................................................1
2 - SOLO GRAMPEADO EM ESTRUTURAS DE CONTENÇÃO:..3
2.1 - HISTÓRICO:................................................................................................ 3
2.2 - A TÉCNICA PROPRIAMENTE DITA:...................................................... 5
2.3- OBRAS DE SOLO GRAMPEADO: ............................................................. 6
2.3.1 - No Brasil:................................................................................................. 7
2.3.2 - No Exterior: ........................................................................................... 12
2.4 - TÉCNICAS CONSTRUTIVAS E MATERIAIS EMPREGADOS: ......... 13
2.4.1 - Processo de execução do muro:.............................................................. 13
2.4.2 - Processo de execução dos grampos:....................................................... 14
2.5 - COMPARAÇÃO COM OUTRAS TÉCNICAS: ....................................... 16
2.5.1 - Comparação com a técnica de cortinas ancoradas:................................ 16
2.5.2 - Comparação com a técnica de terra armada: ......................................... 18
2.6 - PROCESSOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE:................................. 19
2.6.1 - Características dos métodos de análise de muros de solo grampeado: ... 19
2.6.2 - Introdução do efeito do grampo no método de análise:........................... 22
2.6.3 - Influência da rigidez no comportamento dos muros reforçados: ............. 23
2.7 - VANTAGENS E DESVANTAGENS:........................................................ 25
2.7.1 - Principais vantagens da técnica de solo grampeado:.............................. 25
2.7.2 - Principal desvantagem da técnica de solo grampeado:........................... 26
3 - ANÁLISE NUMÉRICA DE SOLOS GRAMPEADOS....................27
IV
3.1 – INTRODUÇÃO:......................................................................................... 27
3.2 – O PROGRAMA DYNREL: ....................................................................... 28
3.3 – CONSIDERAÇÕES SOBRE RELAXAÇÃO DINÂMICA: ..................... 29
3.4 – IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DE GRAMPOS: ............................... 36
3.4.1 – Método do elemento barra:.................................................................... 37
3.4.2 – Método do elemento micro-estaca (barra + viga): ................................. 39
3.4.3 – Método do elemento barra + junta: ....................................................... 43
3.4.4 – Método do elemento equivalente:........................................................... 45
3.4.5 – Método proposto de simulação de iteração GRAMPO/nata e o maciço: 46
3.4.6 – Seqüência de cálculo da Subrotina GRAMPO: ...................................... 48
4 - EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO E DE APLICAÇÃO...................81
4.1 – EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO: ............................................................... 81
4.1.1 – Validação do comportamento axial dos Grampos: ................................. 82
4.1.2 – Validação do comportamento à flexão dos Grampos: ............................ 85
4.2 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: ............................................................... 90
4.2.1 – Influência da rigidez à flexão no comportamento de estruturas Grampeadas em
relação ao tipo de análise aplicada:.................................................................. 90
4.2.2 – Influência da inclinação dos GRAMPOS no comportamento das paredes:93
4.2.3 – Análise do comportamento de uma estrutura Grampeada hipotérica: .... 95
5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES.....................................................118
6 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................120
APÊNDICE A..........................................................................................128
LISTA DE FIGURAS
V
CAPÍTULO II
Figura 2.1 – Comparação do NATM com a técnica convencional de revestimento rígido
(Mitchell e Villet, 1987)..........................................................................................................4
Figura 2.2 – Aplicações do reforço de solos através do grampeamento.................................6
Figura 2.3 – Ilustração da Shell (1992)...................................................................................7
Figura 2.4 – Ilustração Granja Saito (1990)............................................................................8
Figura 2.5 – Ilustração OAS – COPENE (1986).....................................................................8
Figura 2.6 – Ilustração C. N. Odebrecht (1986)......................................................................9
Figura 2.7 – Ilustração CBPO FEPASA (1984).....................................................................10
Figura 2.8 – Ilustração SOTER (1984)...................................................................................10
Figura 2.9 – Ilustração P. M. Tab. da Serra (1983).................................................................11
Figura 2.10 – Ilustração Ferreira Guedes (1983)....................................................................12
Figura 2.11 – Ilustração França (1972)...................................................................................12
Figura 2.12 – Ilustração Estados Unidos (1976).....................................................................13
Figura 2.13 – Fases construtivas..............................................................................................14
Figura 2.14 – Cravação dos grampos pelo processo Hurpinoise.............................................15
Figura 2.15 – Processo Titan (Dywidag) de instalação do reforço..........................................16
Figura 2.16 – Mecanismos de transferência de carga..............................................................17
Figura 2.17 – Deslocamentos horizontais no muro de terra armada e no solo grampeado.....18
Figura 2.18 – Modelos de ruptura do solo grampeado............................................................20
Figura 2.19 – Tipos de análise de estabilidade em função da localização da superfície de
ruptura.......................................................................................................................................22
Figura 2.20 – Otimização de comprimento de grampos..........................................................23
Figura 2.21 – Custo relativo de obras de solo grampeado.......................................................25
CAPÍTULO III
Figura 3.1 – Ciclo de cálculos da Relaxação Dinâmica..........................................................30
VI
Figura 3.2 – Elemento de barra...............................................................................................38
Figura 3.3 – Graus de liberdade permitidos ao elemento “micro-estaca”...............................39
Figura 3.4 – Elemento de barra...............................................................................................40
Figura 3.5 – Elemento de viga.................................................................................................41
Figura 3.6 – Orientação arbitrária do elemento “micro-estaca” (Cook et al., 1989)...............43
Figura 3.7 – Deslocamentos permitidos ao elemento GRAMPO............................................48
Figura 3.8 – Seção transversal do furo (sistema GRAMPO/nata)...........................................48
Figura 3.9 – Esquema sintetizado da subrotina.......................................................................49
Figura 3.10 – Esquema de fluxo da subrotina GRAMPO.......................................................51
Figura 3.11 – Elemento GRAMPO intercepta 2 arestas do elemento CST.............................55
Figura 3.12 – Rotação da aresta interceptada ij da figura 3.10................................................58
Figura 3.13 – Elemento GRAMPO intercepta um nó..............................................................60
Figura 3.14 – Rotação das arestas concorrentes ao nó b do reforço........................................61
Figura 3.15 – Resistência ao cisalhamento na interface aço/nata............................................66
Figura 3.16 – Influência da tensão in situ na resistência ao cisalhamento nas interfaces (Tan,
Bawden e Pelley, 1993)............................................................................................................67
Figura 3.17 – Influência da tensão in situ na trajetória de força solicitada à ancoragem........67
Figura 3.18 – Modelo multi-segmentado de relação força vs, deslocamento..........................69
Figura 3.19 – Flexão plástica numa seção circular em presença de esforço axial...................74
Figura 3.20 – Efeito da Força axial no Momento plástico.......................................................77
CAPÍTULO IV
Figura 4.1 – Geometria e condições de contorno....................................................................82
Figura 4.2 – Modelo reológico relativo à associação de material rochoso (ou terroso) e
inclusão, ambos apresentando comportamento elástico linear.................................................83
Figura 4.3 – MEF que representa a geometria do problema analisado ..................................84
Figura 4.4 – Deslocamento axial para o trecho linear elástico do aço (inclusões)..................84
Figura 4.5 – viga bi-apoiada com carregamento pontual........................................................85
Figura 4.6 – MEF usada no ensaio 1.......................................................................................86
Figura 4.7 – Deslocamentos verticais obtidos no ensaio 1......................................................87
VII
Figura 4.8 – Rotações obtidas no ensaio 1..............................................................................87
Figura 4.9 – viga bi-apoiada com carga distribuída................................................................88
Figura 4.10 – MEF usada no ensaio 2.....................................................................................88
Figura 4.11 – Deslocamentos verticais obtidos no ensaio 2....................................................89
Figura 4.12 – Rotações obtidas no ensaio 2.............................................................................89
Figura 4.13 – MEF antes da escavação....................................................................................91
Figura 4.14 – MEF após a escavação......................................................................................91
Figura 4.15 – Deslocamentos horizontais na face do revestimento.........................................92
Figura 4.16 – Deslocamentos horizontais na face do revestimento.........................................92
Figura 4.17 – Deslocamentos verticais na superfície do terreno.............................................93
Figura 4.18 – Deslocamentos horizontais na face do talude com GRAMPO sem rigidez à
flexão.........................................................................................................................................94
Figura 4.19 – Deslocamentos verticais na superfície do terreno com GRAMPO sem rigidez à
flexão.......................................................................................................................................94
Figura 4.20 – MEF antes da escavação..................................................................................96
Figura 4.21 – MEF após a escavação.....................................................................................97
Figura 4.22 – Função de Plastificação da malha sem reforço................................................98
Figura 4.23 – Função de Plastificação da malha com reforço...............................................99
Figura 4.24 – Malha deformada e Função de Plastificação da malha sem reforço...............100
Figura 4.25 – Malha deformada e Função de Plastificação da malha com reforço...............101
Figura 4.26 – Campo de deslocamentos da malha sem reforço.............................................102
Figura 4.27 – Campo de deslocamentos da malha com reforço............................................103
Figura 4.28 – MEF antes da escavação..................................................................................105
Figura 4.29 – MEF após a escavação.....................................................................................105
Figura 4.30 – Função de Plastificação da malha sem reforço................................................106
Figura 4.31 – Função de Plastificação da malha com reforço...............................................107
Figura 4.32 –Isofaixa de tensão horizontal sem reforço........................................................108
Figura 4.33 –Isofaixa de tensão horizontal com reforço........................................................109
Figura 4.34 –Tensão horizontal – seção 1 - sem reforço.......................................................110
Figura 4.35 –Tensão horizontal – seção 1 - com reforço.......................................................110
Figura 4.36 –MEF antes da escavação..................................................................................112
Figura 4.37 –MEF após da escavação...................................................................................112
VIII
Figura 4.38 –Variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para diversos
valores de coesão (convergência do método).........................................................................113
Figura 4.39 –Variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para a coesão que
leva o maciço reforçado (grampo com e sem rigidez à flexão) ao colapso (convergência do
método)...................................................................................................................................114
Figura 4.40 –Variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para a coesão a
partir de 0.0025 MPa/m que leva o maciço reforçado (grampo com rigidez à flexão) ao
colapso (convergência do método).........................................................................................115
Figura 4.41 –Função de Plastificação do maciço sem reforço (carga = 0.1 MN/m).............116
Figura 4.42 –Função de Plastificação do maciço com reforço 1” (carga = 0.1 MN/m)........117
APÊNDICE A
Figura A.1 – Geometria e condições de contorno..................................................................128
Figura A.2 – Tensões Normais aos Planos cartesianos..........................................................129
LISTA DE TABELAS
IX
CAPÍTULO II
Tabela 2.1 – Métodos de análise de muros de solo grampeado.............................................19
CAPÍTULO III
Tabela 3.1 – Resumo dos processos adaptativos (Figueiredo, 1991).....................................35
Tabela 3.2 – Cabeçalhos usados no arquivo neutro DYNGRAM.TXT.................................50
Tabela 3.3 – Relação entre o momento plástico e o momento limite elástico (início do
escoamento).............................................................................................................................76
Tabela 3.4 – Resumo das características de modelos usados em análises tridimensionais de
estruturas grampeadas.............................................................................................................78
Tabela 3.5 – Resumo das características de modelos usados em análises bidimensionais de
estruturas grampeadas.............................................................................................................78
CAPÍTULO IV
Tabela 4.1 – características do solo.......................................................................................104
Tabela 4.2 – características do solo.......................................................................................111
LISTA DE SÍMBOLOS
X
CAPÍTULO II
KS – módulo de reação do solo
CAPÍTULO III
A – área da seção transversal do elemento
a – raio dos fios que compõem o reforço
Aa – área da seção transversal do aço
Ab - área da seção transversal do elemento de barra
ah – afastamento entre reforços (pregagens) na direção horizontal
Ar – área da seção transversal dos reforços (pregagens)
AREA – área de superfície
av – afastamento entre reforços (pregagens) na direção vertical
C – coeficiente de amortecimento
D – diâmetro do furo
d – diâmetro do reforço (GRAMPO)
dti, dtj – deslocamentos transversais à aresta nos pontos i e j, respectivamente
e – espessura da nata de cobertura do reforço
E1N – módulo de elasticidade da nata
E – módulo de elasticidade do aço
Eb – módulo de elasticidade do elemento de barra
Eeq – módulo de elasticidade equivalente do GRAMPO/nata
EG – módulo de elasticidade do GRAMPO
EN – módulo de elasticidade da nata
Er – módulo elasticidade dos reforços
ES – módulo de elasticidade do solo
F – força solicitada nas interfaces e no aço
XI
{f} – vetor de forças externas
{F} – Vetor de forças internas
{f *} – vetor de forças nodais devido à reação do GRAMPO
F*e – limite elástico sem consideração do confinamento gerado pela tensão “in
situ”
Fa – forças de amortecimento viscosas
Fax – força axial no reforço
FC – fator de confinamento
Fe – limite elástico
Fm – forças de massa
Fmáx – Limite elástico máximo
Fmin – Limite elástico mínimo
{Fn}– vetor de cargas nodais
fr – vetor de forças internas do reforço (GRAMPO)
Fu – limite de ruptura
Fxi, Fxj – forças na direção do eixo OX dos respectivos nós do elemento de
barra i e j
Fyi, Fyj – forças na direção do eixo OY dos respectivos nós do elemento de
barra i e j
h – comprimento dos fios que compõem o reforço
IG – momento de inércia da seção transversal do GRAMPO
IN – momento de inércia da seção transversal da nata
J1 – fator de correlação (relação entre o limite elástico e o comprimento do
GRAMPO envolto em nata)
[k*] – matriz de rigidez do sistema contabilizando a rigidez do elemento
GRAMPO
[k’ viga] – matriz de rigidez da barra
[kbarra], [k’ barra] – matriz de rigidez da barra
kc – rigidez da nata
[kme], [k’ me] – matriz de rigidez do elemento “micro-estaca”
[kr] – matriz de rigidez do reforço (GRAMPO)
XII
L – comprimento do elemento
L, L0 – comprimento do reforço envolto pela nata
la – comprimento da aresta interceptada
Lb – comprimento do elemento de barra
[M] – matriz de massa
m1N - inverso do coeficiente de Poisson da nata
[MR] – matriz linha que relaciona rotações
[MRUF] – matriz que relaciona os deslocamentos fictícios com deslocamentos
nodais dos elementos que influenciam no trecho analisado
[MRUH] – matriz linha que relaciona deslocamentos horizontais
[MRUV] – matriz linha que relaciona deslocamentos verticais
mS- inverso do coeficiente de Poisson do solo
[Nv], [Nh] – matrizes de interpolação vertical e horizontal
P – Potência de amortecimento
P2rc – tensão radial em torno do furo
P2ris – tensão radial “in situ”
Pr – tensão normal máxima passível de ocorrer na interface GRAMPO/nata
PZ – tensão cisalhante nas interfaces (reforço/nata ou nata/solo)
R, C – constantes das equações de Cardoso (1987)
R1 – raio do reforço
R2 – raio do furo
RCS – resistência à compressão simples da nata
[T] – matriz de transformação de eixos
{u} – vetor de variáveis discretas dependentes
{uei} – vetor de deslocamentos dos elementos que influenciam no trecho
analisado
u'i, u’j – deslocamentos na direção OX’ dos respectivos nós do elemento de
barra i e j
ui, uj – deslocamentos na direção OX dos respectivos nós do elemento de barra
i e j
ur – graus de liberdade do reforço (GRAMPO)
XIII
UrR2 – deslocamentos radiais na parede externa do anel de nata ou parede
interna do furo
v'i, v’j – deslocamentos na direção OY’ dos respectivos nós do elemento de
barra i e j
vi, vj – deslocamentos na direção OY dos respectivos nós do elemento de barra
i e j
w – fator que define o grau de aderência entre o solo e as pregagens
∆Ec – taxa de variação da energia cinética
∆F – incremento de carga pós-elástica
∆Fσ – incremento de carga devido à variação da tensão “in situ”
∆t – incremento de tempo
α - ângulo de dilatância na interface GRAMPO/nata
α - Parâmetro de amortecimento
β - ângulo de inclinação do elemento de barra
βa - ângulo de inclinação da aresta com o eixo global
βme - ângulo formado entre o eixo x e o elemento “micro-estaca”
δ - deslocamento ocorrido
{ δ} - vetor de deslocamentos nodais
δe , δe* - deslocamento relativo ao limite elástico
δi - deslocamento intermediário
δu , δu* - deslocamento relativo ao limite de ruptura
φ - ângulo de atrito
ϕij - rotação do trecho ij
νs - coeficiente de Poisson do solo
θ’ i, θ’ j – rotações do elemento num plano qualquer x’y’
θi, θj – rotações do elemento num plano qualquer xy
CAPÍTULO IV
DEQ – deslocamento equivalente para associação do maciço com o reforço
XIV
Fy – carga linearmente distribuída
H – altura ou comprimento do maciço
L – largura do maciço
TOL – tolerância empregada na análise para forças desbalanceadas
APÊNDICE A
AREA - Área da superfície onde Fy está aplicada;
E - Módulo de Elasticidade do aço;
E2 - Módulo de Elasticidade do maciço;
Fy - Carga aplicada uniformemente distribuída;
H - Comprimento do maciço na direção y.
L - Largura do topo e da base da maciço;
εy - Deformação específica;
ν2 - Coeficiente de Poisson do maciço;
σx, σy e σz - Tensões Normais aos respectivos planos cartesianos YOZ, XOZ e
XOY, veja figura A.1 abaixo;
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Com o crescente aumento em todo o mundo do emprego da técnica do reforço de solos
para estabilização de taludes seja ele natural ou não, o que se objetiva neste trabalho é o
estudo da técnica de grampeamento (solo grampeado), introduzida na França em 1972, que é
bastante prática e de comprovada eficiência para estabilização de taludes de escavação através
do reforço do solo “in situ”.
A formulação proposta para contabilizar o efeito das inclusões horizontais e
subhorizontais (grampos) considera, além dos deslocamentos nodais horizontal e vertical, a
influência das rotações no sistema de forças envolvidas, bem como a mobilização simultânea
da resistência à flexão e à tração no grampo devido à ação de momentos e forças axiais. A
parcela reativa destas calculada iterativamente em função das variáveis primárias obtidas no
programa principal, que utiliza a técnica da Relaxação Dinâmica como algoritmo para
resolução do problema de equilíbrio resultante, sem nenhum tipo de esforço atuando e
acrescida ao vetor de forças desbalanceadas do sistema contabiliza o efeito da(s) inclusão(ões)
do(s) grampo(s) na parcela do solo devidamente discretizada por elementos finitos.
Em sintonia com este propósito analisou-se elástica e elastoplasticamente, através do
programa DYNREL escrito em linguagem FORTRAN, estruturas de solo grampeado.
No capítulo 2, deste trabalho, é realizada uma revisão bibliográfica com o intuito de
apresentar como foi o surgimento da técnica de solo grampeado, as características das
estruturas grampeadas, fazendo comparações com outras técnicas de contenção, mostrando
alguns exemplos de obras realizadas no Brasil e no Exterior, bem como, a obra que foi
“marco inicial” das estruturas grampeadas.
Logo após, no capítulo 3, são feitos alguns comentários sobre a técnica da Relaxação
Dinâmica, sobre o programa DYNREL, é realizada, também, uma descrição sobre as
metodologias empregadas, em vários trabalhos, para análise de estruturas grampeadas, bem
como a metodologia empregada na implementação proposta e formulação usada neste
trabalho.
O capítulo 4 é utilizado para apresentar os exemplos de validações afim de se
comprovar a eficácia do procedimento numérico e, além disso, alguns exemplos de aplicação
são descritos para que se possa estudar o comportamento de estruturas grampeadas.
p ç2
Conclusões e sugestões para futuros trabalhos são apresentados no capítulo 5.
No capítulo 6 é feita a apresentação das Referências Bibliográficas.
Finalmente, no Apêndice A apresenta-se soluções analíticas de problemas
apresentados no capítulo 3.
CAPÍTULO II
SOLO GRAMPEADO EM ESTRUTURAS DE CONTENÇÃO:
2.1 - Histórico:
A necessidade de estabilização rápida de escavações, teve sua origem nas minas de
exploração de minérios, sendo portanto um problema antigo e basicamente restrito à
Engenharia de Minas. A partir da década de 50, houve um crescimento muito grande da
aplicação de ancoragens curtas, tipo Perfo, SN Anker, Berg - Jet, para utilização de túneis e
emboques de túneis, na França, Alemanha e Áustria.
O professor Landislau Von Rabcewicz, desenvolveu a partir de 1945, o NATM “New
Austrian Tunneling Method”, para avanço de escavações em túneis rochosos, cuja patente foi
depositada em 1948. Sob efeito do peso de terras e tensões confinantes, uma cavidade tende a
se deformar, reduzindo seu diâmetro. Na circunvizinhança da cavidade se forma a chamada
zona plástica, com tensões radiais decrescentes. Obtém-se a estabilização dos mesmos com a
aplicação logo após da escavação, de um revestimento flexível de concreto projetado, tela
metálica e chumbadores curtos radiais na zona plástica, com controle de deformações da
cavidade. Este revestimento estará portanto sujeito a uma carga reduzida, face as
deformações já havidas. O método evoluiu, para a aplicação num túnel em xisto grafítico
argiloso, o túnel Massemberg em 1964. Seguiu-se com aplicações em solos pouco
competentes, como aqueles encontrados nas Minas Austríacas, substituindo pesados
escoramentos de madeira por finas camadas de concreto projetado. O solo grampeado tem
sua origem muito parecida com a do NATM descrita acima e mostrada na Figura 2.1.
Em 1960 Henry Vidal patenteou o sistema de contenção de Terra Armada. Este
consiste na construção de aterros em que durante sua execução, são colocadas nervuras, entre
as camadas de solo aplicadas. O atrito lateral destes elementos implantados no seio do solo
compactado, permite a formação de arrimos verticais de grande altura.
Em 1970 Lizzi, Itália, apresentou seu processo de estabilização de encostas em solo,
com chumbadores integrais longos não protendidos, executados em várias inclinações e
fixados à viga de concreto armado. A que ele chamou de “Urdidura Tridimenzionale Pali
Radice”.
4
ConcretoArmado
Chumbadores
Zona Ativa
ConcretoProjetado
FLEXÍVEL NATMRÍGIDO
Figura 2.1 - Comparação do NATM com a técnica convencional de revestimento rígido
(Mitchell e Villet, 1987)
Na França, em 1972, a empresa Bouygues, com a experiência adquirida no NATM, e
em consórcio com a Soletanche aplicaram o sistema “Soil Nailing” para um talude ferroviário
próximo a Versailles. Eram taludes em arenitos com inclinação de 70° e área total de
12.000m2. Do sucesso desta obra decorreu a intensificação do uso do método para escavações
e taludes neste país. Até 1986 cerca de mais de 12.000m2 foram estabilizados e diversos
programas de pesquisas estão em desenvolvimento, dentre eles, o programa nacional de
estudos chamado “Programme Clouterre”.
O desenvolvimento desta tecnologia na Alemanha Ocidental teve seu início em 1975 e
já foram executadas mais de duas dezenas de obras desta natureza.
Nos Estados Unidos temos notícia da aplicação do sistema em 1976. Entretanto,
anteriormente a 1976 no Canadá, Shen cita cerca de 10.000m2 de contenções com altura até
18,0m. Ensaios em modelos na escala real foram instrumentados pelo Prof. Shen que
conduziu um programa de pesquisas na Universidade da Califórnia em 1981.
No Brasil, que tem um solo muito apropriado para aplicação do método, já foram
executadas muitas obras deste porte. Em 1966 ocorreu a aplicação de concreto projetado e
tela soldada para estabilização de taludes na barragem de Xavantes pela Empresa “Rodio
Perfurações e Consolidações’. Em 1970, a SABESP utilizou nos emboques do túnel-05 do
5
sistema Cantaneira de abastecimento de água para São Paulo, tratamento com chumbadores
curtos, concreto projetado e tela metálica. A partir de 1972, nos túneis e taludes da Rodovia
dos Imigrantes foram aplicadas contenções por chumbadores, perfurados e injetados com
calda ou somente cravados a percussão e reticulados de micro-estacas.
Até o final da década de 1970, engenheiros das grandes potências mundiais,
realizaram seus trabalhos isoladamente sem trocas de informação, mas a partir de 1979 houve
uma Conferência em Paris sobre o assunto, que permitiu em função da exposição das obras já
executadas e estudos, um grande desenvolvimento de novos projetos.
Hoje a grande maioria das empresas que executa serviços geotécnicos na Europa,
oferece em seu catálogo de serviços e propagandas, a execução de contenção tipo ‘Soil
Nailing” (Zirlis e Pitta, 1992).
2.2 - A Técnica propriamente dita:
Devido a grande utilização em obras de estabilização (contenção) das cortinas
ancoradas desde 1957, os engenheiros brasileiros têm dado pouca atenção a uma técnica
alternativa, introduzida na França em 1972, em que os elementos de reforço são muito
semelhantes às ancoragens, porém sem pré-tensão ou trecho livre ditos grampos, pregos ou
chumbadores.
O solo grampeado é uma técnica bastante prática e comprovadamente eficiente para a
estabilização de taludes de escavação através de reforço do solo in situ. Os grampos são
inclusões passivas semi-rígidas.
O grampeamento do solo consta de um reforço obtido através da inclusão de
elementos resistentes à flexão composta, denominados “grampos”, que podem ser barras de
aço, barras sintéticas de seção cilíndrica ou retangular, micro-estacas, ou em casos especiais,
estacas. Os grampos são instalados horizontalmente ou suborizontalmente, de forma a
introduzir esforços resistentes de tração e cisalhamento (Ortigão et al., 1993).
Entre as técnicas de reforço para estabilização de talude e escavações “in situ”, temos
a aplicação de chumbamento de solo, a execução do reticulado de estacas raiz, as estacas de
grande diâmetro e as cortinas atirantadas.
6
Para taludes ou escavações íngremes em subsolos arenosos, a aplicação de “Soil
Nailing” será, muito provavelmente, mais econômica que o reticulado de estacas raiz,
considerando-se a necessidade de um número elevado destes últimos em relação aos
chumbadores. Quando se objetiva a estabilização de taludes abatidos, o chumbamento
sistemático, ou o conjunto de estacas raiz, será a solução. No caso de taludes com
possibilidade de acesso de equipamentos pesados e plano de escorregamento bem definido a
solução por estacas de grande diâmetro provavelmente será mais viável (Zirlis e Pitta, 1992).
As estruturas de solo grampeado podem ser utilizadas tanto (a) na estabilização de
taludes naturais quanto (b) em escavações, como ilustrado na Figura 2.2.
(a) (b)
Figura 2.2 - Aplicações do reforço de solos através do grampeamento
2.3- Obras de Solo Grampeado:
A seguir serão listadas algumas obras de solo grampeado, conforme mostrado por
Zirlis e Pitta (1992), que foram executadas no Brasil e no Exterior, dentre elas, está a obra de
um talude de 70 de inclinação e 22m de altura, em areia fortemente cimentada, na França, em
Versailles, executada durante a construção de uma via férrea.
7
2.3.1 - No Brasil:
(a) SHELL-CONDUTO-ESTRADA DOS PILÕES CUBATÃO/SP(1992)
A estrada dos Pilões liga a rodovia Pedro Taques a Vila dos Pilões, região de
depósitos industriais de Cubatão. Está implantada num corte, onde a montante há um talude
com inclinações entre 45 e 70 graus, e a jusante o Rio Grade (Figura 2.3).
Figura 2.3 - Ilustração Shell (1992)
(b) GRANJA SAITO-RUA BRENTANO-SÃO PAULO/SP (1990)
Este caso envolve a implantação de um edifício, em que para estabilização das
escavações verticais de seu subsolo foi aplicado este método. O lote com 20,0m de frente por
50,0m de profundidade, tem junto as divisas laterais residenciais térreas, na frente a rua
Brentano e aos fundos lote vago. Exceto a parede de fundo onde ocorrera uma instabilização
e foi executada cortina atirantada, nas outras faces foi utilizado o sistema "Soil Nailing"
(Figura 2.4).
8
Figura 2.4 - Ilustração Granja Saito (1990)
(c) OAS-COPENE-POLO PETROQUÍMICO DE CAMAÇARI/BA (1989)
Para que fosse possível a execução de outro prédio para a Torre de resfriamento na
COPENE, foi necessário a execução de corte vertical em solo, junto à rua interna "E-2400".
O talude existente de aterro arenoso se encontrava estável com cerca de 40 graus. Seu corte
foi vertical e imediatamente junto ao final da rua (Figura 2.5).
Figura 2.5 - Ilustração OAS - COPENE (1986)
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(d) CONSTRUTORA NORBERTO ODEBRECHT-SIMÕES FILHO/BA (1986)
Durante a implantação da tubulação de água tratada, do sistema adutor de pedra do
cavalo para Salvador, ocorreram dois acidentes próximos à estaca 457 em talude rodoviário,
pertencente ao Município de Simões Filho. O projeto previa a instalação do tubo metálico
cerca de 3,0m abaixo do pé do corte. Neste ponto o talude margeava a adutora e ambos
estavam paralelos à BR324, localizados após o primeiro posto de policiamento rodoviário, em
sua margem direita, indo de Salvador para Feira de Santana (Figura 2.6).
Figura 2.6 - Ilustração C. N. Odebrecht (1986)
(e) CBPO-FEPASA-MAIRINQUE/SP (1984)
Visando prover a segurança de sua linha férrea, a FEPASA decidiu por aplicar um
reforço de "Soil Nailing", junto ao talude da encosta próximo aos pilares P1 e P2 da ponte
sobre o córrego Santa Rita, na variante ferroviária Helvetia - Guaianã no Município de
Mairinque (Figura 2.7). O subsolo era caracterizado por um filito extremamente alterado, em
que junto à superfície ocorriam freqüentes desplacamentos, que iriam certamente
desestabilizar o maciço como um todo.
10
Figura 2.7 - Ilustração CBPO - FEPASA (1984)
(f) SOTER/SOUMAYER/PLACON/TAMOIO-PRAIA DE ICARAÍ-NITERÓI/RJ (1984)
Com o objetivo da utilização da área residencial muito valorizada, para implantação de
cinco edifícios de alto luxo, junto à praia de Icaraí em Niterói, foi executado um corte de
35,0m de altura com remoção de cerca de 30.000m3 de solo. O material encontrado foi
caracterizado como um solo de alteração de gnaisse extremamente alterado com feições
pegmatíticas, apresentando veios caoticamente dispersos de soluções pneumatolíticas.
Devido a esta condição de intemperismo, era prevista a ocorrência, de instabilidade durante o
corte em regiões aleatoriamente localizadas, em presença ou não de água (Figura 2.8).
Figura 2.8 - Ilustração SOTER (1984)
11
(g) PREFEITURA MUNICIPAL DE TABOÃO DA SERRA MORRO DO CRISTO-
TABOÃO DA SERRA/SP (1983)
Trata-se de talude com 25,0m de altura de inclinação média de 55 graus, com várias
residências implantadas em seu paramento. Está limitado por duas ruas, uma junto à crista e
outra junto ao pé. Na metade do talude existe um belvedere e no topo uma estátua de Cristo,
que é um marco importante de Taboão da Serra, grande cidade industrial conurbada com São
Paulo. Durante um período chuvoso ocorreram diversos escorregamentos superficiais com
destruição parcial e em alguns casos total de algumas residências. O talude é composto por
solo de alteração de rocha gnaissica, com várias fases bastante arenosas (Figura 2.9).
Figura 2.9 - Ilustração P. M. Tab. da Serra (1983)
(h) FERREIRA GUEDES-FEPASA-PONTE JOÃO DIAS/SÃO PAULO/SP (1983)
Dentro do plano de "Modernização de Subúrbios", implantado pela FEPASA -
Ferrovias Paulistas S. A., foram projetadas duplicações para várias linhas férreas. No trecho
da zona sul de São Paulo, entre as estações Terminal Santo Amaro e Estação Pinheiros
margeando o rio Pinheiros, havia um aterro de encontro da ponte João Dias que obstruia a
duplicação. Este material muito pouco competente, composto por argila silto-arenosa mole,
foi removido, estabilizando-se o talude remanescente de 75 graus e 6,5m de altura com
aplicação de chumbadores e concreto projetado (Figura 2.10).
12
Figura 2.10 - Ilustração Ferreira Guedes (1983)
2.3.2 - No Exterior:
(a) FRANÇA (1972)
Objetivando ampliações junto ao pátio da estação de Versailles-Chantiers, pertencente
ao ramal ferroviário Paris-Brest, decidiu-se pela implantação de duas linhas auxiliares. Para
tal foi necessária a execução de cortes com alturas de até 21,6m inclinados de 70 graus numa
extensão de 965m, removendo cerca de 80.000m3 de solo (Figura 2.11). O solo era
constituído pelo arenito Fontainbleau, caracterizado por 80% de partículas entre 0,1 e 0,4mm,
ângulo de atrito interno entre 33 e 40 graus e uma coesão de 2tf/m2.
Figura 2.11 - Ilustração França (1972)
13
(b) ESTADOS UNIDOS (1976)
Para ampliação das instalações do hospital "Good Samaritan" em Portland, Oregon,
foi necessária a execução de escavações de até 13,7m de profundidade, gerando 2.140m de
talude vertical para ser contido (Figura 2.12). A cerca de 1,5m desta escavação, havia um
edifício de alvenaria estrutural de 4 andares, ao longo de uma das faces da escavação. O
subsolo era caracterizado por sedimentos lacustres mediamente compactos a compactos de
areia fina e silte, com ângulo de atrito de 36 graus e coesão de 2tf/m2.
Figura 2.12 - Ilustração Estados Unidos (1976)
2.4 - Técnicas Construtivas e Materiais Empregados:
2.4.1 - Processo de execução do muro:
Muros de solo grampeado têm sido empregados tanto em taludes naturais ou
previamente escavados, em que as condições de estabilidade não são satisfatórias, quanto em
escavações. Neste caso, o grampeamento é realizado na massa de solo à medida em que a
14
escavação é executada em etapas (Figura 2.13) em geral de 1 a 2m de profundidade, obtendo-
se uma zona de solo reforçado que funcionará como suporte do material atrás sem reforço.
Figura 2.13 - Fases construtivas
A altura máxima a escavar em cada etapa depende do tipo de terreno e da inclinação
da face de escavação, que deverá ser estável durante a fase crítica que ocorre entre a
escavação, instalação do reforço e aplicação de um revestimento delgado de concreto
projetado.
O material a ser escavado deve apresentar uma resistência aparente não drenada ao
cisalhamento mínima de 10kPa, do contrário não se poderá executar esta escavação. Uma
resistência como esta, entretanto, é possível obter na maioria dos solos argilosos e arenosos,
mesmo em areias puras úmidas, devido ao efeito da capilaridade. Somente em areias secas e
sem qualquer cimentação entre grãos, ou em solos argilosos muito moles este processo
dificilmente terá sucesso.
2.4.2 - Processo de instalação dos grampos:
Os grampos são instalados logo após a escavação por percussão, ou por perfuração e
injeção sem pressão. A técnica por percussão, semelhante ao processo de enfilagem usada
por construtores de túneis NATM em solo para introduzir um reforço adicional ao terreno,
15
consta da cravação de barras ou perfis metálicos esbeltos com o auxílio de martelete
pneumático, o que leva a um processo de execução muito rápido, mas a resistência ao
cisalhamento do contato solo-grampo e é, em geral, pequena, sendo típico valores da ordem
de 30 a 40kPa em solos arenosos. Este processo não pode ser empregado quando há
ocorrência de pedregulhos e é inconveniente no caso de argilas, como as porosas de São Paulo
e Brasília, pois o atrito resultante é muito baixo. Há também limitações no comprimento
máximo, da ordem de 6 m, em que se pode cravar com eficiência um grampo.
Uma técnica alternativa foi desenvolvida na França (Louis, 1981), consistindo na
cravação por percussão de um tubo de aço à medida que se injeta nata de cimento através da
ponta sob pressão elevada (Figura 2.14). Os muros assim executados são denominados na
França de Hurpinoise, em reconhecimento ao técnico Hurpin que desenvolveu o método. A
pressão de injeção é superior a 20kPa, destruindo o solo à frente da ponta facilitando a
cravação do grampo (Ortigão e Palmeira, 1992). Este processo comumente é utilizado em
obras provisórias em virtude da livre exposição dos reforços à corrosão (Ehrlich e Silva,
1992).
Um processo semelhante foi desenvolvido pela firma Dywidag Gmbh (Figura 2.15),
tendo denominação comercial de ancoragem Titan. Trata-se de um tubo de aço ranhurado
dispondo de coroa que é introduzido por rotopercussão. Água ou ar empregados como fluido
de perfuração. Ao final injeta-se calda de cimento. Esta técnica, ainda, não está disponível
no Brasil (Ortigão e Palmeira, 1992).
Figura 2.14 - Cravação dos grampos pelo processo Hurpinoise
16
Figura 2.15 - Processo Titan (Dywidag) de instalação do reforço
A técnica mais comum é semelhante à execução de ancoragens de barra: perfura-se o
terreno com diâmetro entre 50 e 100mm, introduz-se uma ou duas barras de aço com diâmetro
entre 13 e 25mm, seguido de injeção de nata de cimento com pressões baixas, inferiores a
100kPa. Com este processo, o atrito lateral unitário obtido em solos compactos ou rijos é
razoavelmente elevado, superior a 100kPa.
2.5 - Comparação com outras Técnicas:
2.5.1 - Comparação com a técnica de cortinas ancoradas:
Apesar de existir grande similaridade entre os grampos e as ancoragens ou os tirantes
convencionais, quando utilizados para estabilização de taludes ou escavações, há distinções
muito importantes (Figura 2.16(a) - cortina atirantada e Figura 2.16(b) - solo grampeado) que
serão citadas a seguir:
17
CORTINA ANCORADA SOLO GRAMPEADO
ConcretoProjetado Ancoragens Revest imento
ZonaPassiva
ZonaAt iva
Tmax
(a) (b)
Figura 2.16 - Mecanismos de Transferência de carga
• as ancoragens são fortemente pré-tensionadas com cargas de 300 a 500kPa, para
prevenir deslocamentos da cortina e os grampos sofrem apenas uma pequena pré-
tensão, da ordem de 5 a 10kPa, com a finalidade exclusiva de garantir a ligação
com o concreto projetado;
• as ancoragens possuem um trecho livre e os grampos não possuem este trecho livre,
transferindo tensões para o solo ao longo de todo o seu comprimento. Em
conseqüência, a distribuição de tensões na massa de solo é diferente. Por outro
lado, como os grampos são instalados com uma maior densidade (tipicamente de
0,5 a 5m2 de parede), a conseqüência de ruptura em um grampo é, em geral,
pequena e as tolerâncias construtivas não exigem o rigor que se pratica nas cortinas
convencionais, devido ao modo interativo do comportamento dos grampos;
• as cortinas convencionais têm a parede de concreto dimensionada ao
puncionamento das cargas elevadas dos tirantes. Já os grampos, como suportam
pequenas cargas, não exigem maiores cuidados, a não ser uma pequena placa de
aço para transferir a carga ao revestimento de concreto projetado;
18
• a grande maioria das cortinas tradicionais tem parede vertical moldada in loco, pois
a concretagem inclinada apresenta problemas executivos que assim são evitados.
Ao contrário, os muros de solo grampeado podem facilmente ter paredes
inclinadas, com vantagens para a estabilidade da obra e redução de escavações;
• as ancoragens convencionais tendem a ser longas (15 a 45m), necessitando de um
equipamento de maior porte, ao contrário dos grampos que são curtos, de
comprimento máximo da ordem da profundidade da escavação;
• o comprimento dos tirantes é inversamente proporcional a sua distância à crista do
talude, já o dos grampos aumentam com a distância à crista do talude, um conceito
oposto ao que foi empregado para os grampos em várias obras do início dos anos
80.
2.5.2 - Comparação com a técnica de terra armada:
(a) (b)
Figura 2.17 - Deslocamentos horizontais no muro de terra armada e no de solo
grampeado
19
A técnica de solo grampeado é bastante semelhante à terra armada tanto em
conceituação quanto no método de análise. A principal diferença reside na técnica
construtiva.
A terra armada é executada de baixo para cima e os deslocamentos horizontais do
muro ocorrem, principalmente, na parte de baixo (Figura 2.17(b)), já o solo grampeado é
executado de cima para baixo e os maiores deslocamentos ocorrem na parte de cima do muro
(Figura 2.17(a)).
2.6 - Processos de Análise de Estabilidade:
2.6.1 - Características dos métodos de análise de muros de solo grampeado:
Os principais métodos de análise de obras de solo grampeado (Tabela 2.1) subdividem
o terreno atrás do muro (Figura 2.18) em uma cunha ativa, limitada por uma superfície
potencial de deslizamento, sendo o restante considerado zona passiva, onde os grampos são
fixados. A análise de estabilidade global é feita considerando os esforços estabilizantes dos
grampos atuando nesta cunha ativa. Os métodos diferem, entretanto, quanto à forma da
superfície de ruptura, quanto ao método de cálculo do equilíbrio das forças atuantes e quanto
à natureza destas forças.
Tabela 2.1 - Métodos de análise de muros de solo grampeado
características Método de Análise
Alemão Davis Multicritério Cinemático Escoamento
Referência Stockler et al, 1979 Shen et al, 1981 Schlosser, 1983 Juran et al, 1988 Anthoine, 1990
Análise Equilíbrio limite Equilíbrio limite Equilíbrio limite Tensões Teoria do Escoamento
2 cunhas 2 blocos fatias - bloco rígido
Fator de segurança Global Global Global e Localizado Localizado Global
Superfície de ruptura Bi-linear Parabólica Circular ou poligonal Espiral logarítmica Espiral logarítmica
Grampos resistem a
Tração somente x x x x x
Flexão composta x x
Geometria da parede vertical ou inclinada vertical qualquer vertical ou inclinada vertical ou inclinada
Camadas de solo 1 1 número qualquer 1 1
20
Dias (1992) diz que se deve, obrigatoriamente, ser verificada a estabilidade interna,
isto é, superfície de ruptura passando pela região coberta por grampos, e, também, a
estabilidade global, com superfícies de ruptura envolvendo toda a obra.
Figura 2.18 - Modelos de ruptura de solo grampeado
Os métodos de análise estão mostrados na Tabela 2.1, sendo que os mais conhecidos e
utilizados mundialmente serão, sucintamente, descritos a seguir. Maiores detalhes, sobre
estes métodos, podem ser encontrados em Dyminski (1994).
2.6.1.1 - Método Alemão:
O modelo adotado baseia-se na idéia de que o conjunto solo+reforço forma uma
estrutura como se fosse um muro de gravidade, utilizando o método do equilíbrio limite.
Neste método, monta-se um polígono de forças atuantes no modelo.
21
2.6.1.2 - Método Davis:
O modelo utilizado baseia-se em estruturas convencionais de escoramento, onde os
grampos são considerados elementos apenas de contenção e não de melhoramento de solo,
sendo parecido com o atirantamento.
Considera-se que a superfície de ruptura é parabólica, passando pelo pé do talude,
baseado em análises por elementos finitos. Esta curva parabólica é simplificada por dois
segmentos de reta (Figura 2.18).
O método das fatias (equilíbrio limite) é utilizado para se avaliar a contribuição dos
reforços na estabilidade global, somente considerando-se as forças de tração desenvolvidas no
reforço (componentes paralelas e perpendiculares à superfície de ruptura).
2.6.1.3 - Método Francês:
Schlosser (1983) utilizou-se de um modelo de ruptura muito parecido com o método
Davis, porém desenvolveu uma análise baseada em quatro critérios (análise multi-critério).
(i) Resistência ao cisalhamento do solo
(ii) Atrito solo x reforço
(iii) Interação normal entre solo e reforço
As forças cortantes e os momentos fletores mobilizados no reforço são calculados
considerando-se a equação da viga sobre base elástica, necessitando-se, portanto, de sK
(módulo de reação do subsolo). Também para este cálculo, devem ser considerados os
deslocamentos relativos entre solo e reforço, o que é de difícil previsão. Adota-se então que
os planos inicialmente perpendiculares à superfície de ruptura permanecerão perpendiculares
em qualquer estágio do escorregamento.
22
(iv) Resistência do reforço
2.6.2 - Introdução do efeito do grampo no método de análise:
O efeito estabilizante do grampo pode ser traduzido como forças aplicadas à cunha de
ruptura. Estas forças podem ser incorporadas no método de estabilidade, pois produzem
momentos e forças estabilizantes.
O emprego do método de equilíbrio limite de fatias, a partir de um programa
computacional existente, apresenta vantagens. Análises tanto de estabilidade interna, externa
ou mistas, podem ser realizadas (Figura 2.19). Entretanto, tanto o método de análise, quanto a
maneira como o efeito do reforço é incorporado afetam o valor do fator de segurança obtido.
Nos métodos de fatias de Bishop e Felenius, que definem o fator de segurança como
uma relação entre somatórios de momentos resistentes e instabilizantes, o efeito do reforço
pode ser considerado de duas formas: primeiro, provocando um momento resistente adicional;
segundo, decompondo as forças aplicadas pelo grampo incorporando-as às demais forças
atuantes na fatia. Essas abordagens levam a fatores de segurança diferentes.
Figura 2.19 - Tipos de análise de estabilidade em função da localização da superfície de
ruptura
Os métodos que definem fatores de segurança somente através da relação de
momentos apresentarão superfícies críticas, não necessariamente realistas, que minimizem os
momentos gerados pelo reforço. O resultado obtido será certamente diferente dos métodos
23
que definem o fator de segurança por relações de forças, ou através do fechamento do
polígono de forças.
Os métodos de equilíbrio limite têm sido aplicados com sucesso na análise de
estruturas de arrimo tanto no campo como em vários modelos de laboratório. Entretanto,
parecem ainda necessários estudos adicionais para quantificar a influência dos aspectos
discutidos acima da na magnitude do fator de segurança.
(a) (b) (c)
Figura 2.20 - Otimização de comprimento de grampos: (a) projeto não otimizado,
baseado na experiência com cortinas ancoradas; (b) solução típica de solo grampeado
em taludes de altura entre 6 e 8m; (c) otimização do comprimento de grampos para
taludes com altura superior a 8m.
2.6.3 - Influência da rigidez no comportamento dos muros reforçados:
A rigidez dos esforços é um dos parâmetros mecânicos determinantes no
comportamento de solos reforçados. Essa rigidez controla os deslocamentos relativos entre o
solo e os reforços, responsáveis pela transferência de esforços entre ambos e , naturalmente,
pelo maior ou menor estado de deformação do maciço.
A seguir faz-se um estudo analítico do comportamento dos muros.
(a.1) Reforços extensíveis e inextensíveis:
Nos sistemas de reforço com armaduras passivas, como é o caso dos muros reforçados
(por exemplo, solo grampeado), a transferência de esforços do solo para as inclusões depende
24
das deformações experimentadas pelo material compósito e da deformabilidade relativa dos
materiais constituintes.
Os sistemas de reforços são constituídos por armaduras relativamente extensíveis (por
exemplo, geossintéticos) ou por armaduras relativamente inextensíveis (por exemplo, terra
armada ou solo grampeado).
As diferenças fundamentais entre estes dois sistemas são:
• a rigidez dos dois tipos de reforço é completamente diferente, sendo a do aço cerca
de 100 a 1000 vezes superior à dos geossintéticos;
• o volume de aço numa estrutura reforçada é muito menor do que o volume de
geossintéticos numa estrutura comparável (0,02 a 0,05% para o aço e 0,2 a 0,5%
para os geossintéticos).
(a.2) Tensões e deformações num maciço reforçado:
Adotando-se a hipótese de que a deformação de tração nos reforços é igual à
deformação horizontal no solo implica, por um lado, que a presença dos reforços não afeta as
deformações no solo e, por outro, que não há deslizamento entre o solo e os reforços. Embora
a primeira implicação não possa ser considerada válida para reforços metálicos, pois estes
afetam localmente as deformações do solo, para geossintéticos, mais concretamente para
geogrelhas, ambas implicações podem ser consideradas aproximadamente verdadeiras.
segundo Lopes e Cardoso (1991) as pressões laterais são:
• no caso de reforços metálicos, próximas dos valores de repouso no topo dos muros,
diminuindo com a profundidade; os resultados experimentais confirmam este
comportamento (LCPC-SETRA, 1979);
• para geossintéticos, praticamente coincidentes com as correspondentes ao estado de
equilíbrio limite ativo.
As hipóteses acima podem ser consideradas no caso de não ter ocorrido compactação.
Bonaparte e Schmertmann (1987) concluíram através de estudos realizados por eles
que para os reforços metálicos as deformações de equilíbrio são da ordem de 0,01 a 0,1%
enquanto para os geossintéticos variam entre 1 e 2,5%.
25
2.7 - Vantagens e Desvantagens:
2.7.1 - Principais vantagens da técnica de solo grampeado:
A disseminação da técnica de solo grampeado na Europa e na América do Norte está
sendo contribuída por diversos fatores, que serão apresentados a seguir:
• economia: uma avaliação limitada de algumas obras em Vancouver, Canadá, e na
França, levou aos custos relativos apresentados na Figura 2.21;
• velocidade de execução do reforço: o grampeamento do solo pode ser executado
rapidamente se utilizados equipamentos adequados, como as perfuratrizes
rotopercussoras. O comprimento reduzido dos grampos permite perfuração com
somente uma, ou no máximo duas, manobras da lança da rotopercussora;
Cortina Ancorada
Solo grampeado provisório
Solo grampeado permanente
0
20
40
60
80
100
Figura 2.21 - Custo relativo de obras de solo grampeado
• velocidade de execução do paramento: o uso de concreto projetado permite obras
mais rápidas e menor utilização de mão-de-obra, já que este revestimento é para
controlar erosão e reduzir mudanças de umidade do solo;
26
• inclinação da parede: os muros de solo grampeado podem facilmente ser
inclinados no sentido do terreno, ao contrário das cortinas tradicionais com parede
moldada in loco que são construídas verticalmente para evitar dificuldades na
concretagem. Com isso, é possível melhorar a estabilidade do muro e também
reduzir o movimento de terra na obra. Além disso, a inclinação da parede reduz a
perda por reflexão do concreto jateado;
• comportamento: medições de campo em escavações com solo grampeado
realizadas na Europa (Clouterre, 1991) indicaram que os deslocamentos necessários
para mobilização do reforço são surpreendentemente menores que o esperado, em
taludes verticais os valores máximos observados são da ordem de 0,3% da altura;
além disso, desde que o grampeamento seja aplicado no menor tempo possível após
a escavação, os deslocamentos do solo são minimizados, prevenindo-se danos a
estruturas adjacentes;
• aumento da rigidez da estrutura: o aumento da rigidez da estrutura de solo
grampeado é possível através da adoção de soluções mistas em que grampos são
combinados com ancoragens convencionais, permitindo reduzir os movimentos do
terreno. Em escavações próximas a estruturas sensíveis aos deslocamentos do
terreno, esta alternativa permite projetar um muro de solo grampeado enrijecido em
locais específicos;
• desempenho em regiões sísmicas: o solo grampeado é um excelente método de
contenção em regiões sísmicas. Tal desempenho e estabilidade das estruturas de
solo grampeado durante terremotos tem sido confirmadas e explicadas por diversos
pesquisadores com base em resultados de ensaios centrífugos (Vucetic et al.,1993).
2.7.2 - Principal desvantagem da técnica de solo grampeado:
A principal desvantagem da técnica de solo grampeado são os maiores deslocamentos
provocados pela flexibilidade da estrutura, discutida acima. A execução de um muro deste
tipo próximo a uma estrutura muito sensível a movimentos do terreno requer cuidados
especiais, como adoção de ancoragens convencionais para diminuir a sua flexibilidade.
CAPÍTULO III
ANÁLISE NUMÉRICA DE SOLOS GRAMPEADOS
3.1 – Introdução:
Propõe-se, aqui, a implementação, em um programa já existente, previamente testado
e de comprovada eficácia, de um subrotina que preveja a inclusão do elemento grampo, na
malha de elementos finitos analisada. Este elemento é implementado de tal maneira que
suporte esforços de flexo-compressão comportando-se como uma inclusão passiva, ou seja,
não tenha protensão ou, se tiver, que seja valores bem pequenos, da ordem de 5 a 10 kPa,
simplesmente, afim de garantir a ligação com o concreto projetado. A este novo elemento
está associada a função de minorar os deslocamentos do maciço terroso pelo acréscimo de
forças internas contrárias ao sistema natural de acomodação de massa. O programa utilizado
para tal implementação denomina-se DYNREL.
A implementação numérica do elemento grampo foi realizada a partir do elemento
tirante/cabo, já implementado no programa DYNREL por Charbel (1996), com a inclusão,
neste modelo, do comportamento relativo à componente de flexão. A inclusão da componente
à flexão foi feita baseando-se no modelo do elemento viga (subrotina estaca), implementado
por Bello (1997), para análise de estabilidade. O modelo do elemento grampo leva em
consideração o efeito combinado dos esforços tanto em análises elásticas quanto plásticas.
Segundo Lima (1996) para taludes de pequenas dimensões, se comparados com
taludes de mineração que chegam a centenas de metros, a flexão torna-se influente no
comportamento do modelo de ancoragem.
As análises, no presente trabalho, são realizadas sob deformação plana. Assim sendo
pode-se visualizar o efeito do grampo como aquele em uma seção intermediária entre linhas
de grampos. Estas análises 2-D podem ser ditas aproximadas, e certamente análises 3-D
seriam mais representativas do comportamento real do maciço, mas muito mais dispendiosas
do ponto de vista computacional. Com o intuito de simular, quando convier, um “efeito
Capítulo III 3.2 O rograma DYNREL
28
tridimensional” propõe-se utilizar o valor do espaçamento entre grampos, já que este valor é,
geralmente, fixado como unitário.
O objetivo deste trabalho foge a uma explanação mais detalhada do funcionamento do
programa principal no que se refere ao seu fluxo, rotinas e modelos utilizados, pelo fato de se
necessitar de uma apresentação mais extensa. Para tanto é sugerido um estudo mais detalhado
e aprofundado dos trabalhos de Figueiredo (1991) e Ramos Lima (1996). Passa-se, neste
momento, a tecer alguns comentários, mesmo que de forma superficial, sobre o programa
DYNREL e o funcionamento do algoritmo da Relaxação Dinâmica (RD). Posteriormente,
apresenta-se a metodologia utilizada para a implementação numérica, bem como algumas
considerações necessárias para sua compreensão.
3.2 – O Programa DYNREL:
A implementação proposta, mostrada a seguir, é realizada em um programa já
existente, previamente testado e de eficácia comprovada, denominado DYNREL, criado em
1991 na PUC-Rio, por Figueiredo e escrito em linguagem FORTRAN 77 (Adams et al., 1992;
Farrer et al., 1992 e Hehl, 1986). Este programa foi desenvolvido com o intuito de realizar
análises bidimensionais baseadas no Método dos Elementos Finitos, em conjunto com o
emprego do algoritmo da Relaxação Dinâmica (Otter et al., 1996) aplicado à resolução das
equações de equilíbrio. A sua concepção é semelhante a um outro programa denominado
FLAC (Itasca, 1987), amplamente divulgado na literatura, que faz uso de um Método de
Diferenças Finitas igualmente explícito no tempo, ou seja, também empregando a Relaxação
Dinâmica. Na elaboração das malhas de elementos finitos, para simulação dos problemas a
serem analisados, foram utilizados elementos de deformação constantes - CST (Zienkiewicz
& Taylor, 1989).
Apresenta-se implementados neste programa vários tipos de modelos constitutivos,
que são:
• Elasticidade Linear Isotrópica;
• Elastoplasticidade perfeita de Mohr-Coulomb com leis de fluxo associada ou não
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
29
• Elastoplasticidade de Mohr-Coulomb com amolecimento e/ou endurecimento com
leis de fluxo associada ou não;
• Elástico Hiperbólico de Duncan;
• Elasto-plástico de Druker-Prager;
• Alonso (solos não saturados).
3.3 – Considerações sobre Relaxação Dinâmica:
A relaxação dinâmica teve seu advento em meados da década de setenta, quando
pesquisadores atentaram para o fato de que uma técnica de análise dinâmica transiente podia
prestar-se à obtenção de soluções de regime permanente. A sugestão desta possibilidade
fundamentou-se na simples observação de que um sistema oscilante excitado por uma
perturbação constante no tempo, desde que devidamente amortecido, tenderia à posição final
de equilíbrio sob ação da mesma.
A relaxação pode ser considerada como um procedimento iterativo de resolução de
sistema de equações simultâneas quaisquer. Já a relaxação Dinâmica trata-se de um método
iterativo simultâneo, explícito no tempo, de integração das equações do movimento
criticamente amortecidas, discretizadas por diferenças finitas centrais (Smith, 1985) e
conjugada à consideração independente das equações constitutivas, também, discretizadas,
através de qualquer método aproximado.
Está intrínseco na técnica da Relaxação Dinâmica em causa recorrer as leis de
movimento (2ª lei de Newton) e constitutiva, separadamente de uma maneira peculiar, em
cuja evolução constituir-se-á o próprio ciclo iterativo, como pode ser visto na Figura 3.1
abaixo.
Em um dado instante, as forças desequilibradas entre subunidades contíguas
(elementos) de um meio discreto (malha) promovem a movimentação dos pontos conectando-
as (nós). Resultam deslocamentos que são obtidos por sucessivas integrações numéricas, no
tempo, de acelerações e velocidades. Deslocados os pontos nodais, procede-se à
determinação das deformações em cada elemento, as quais introduzidas em uma relação
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
30
constitutiva fornecem as tensões correspondentes. Destas encontram-se forças aplicadas à
malha, originam as novas forças desequilibradas, reiniciando a iteração.
Figura 3.1 - Ciclo de cálculos em Relaxação Dinâmica
Os deslocamentos em cada etapa são limitados em decorrência da natureza explícita
do método. Um incremento de magnitude t∆ é requerido de modo a impedir uma
“comunicação” física entre nós contíguo na malha. Isto é factível por haver uma velocidade
finita de propagação para vibrações mecânicas que é função das propriedades de rigidez e
inércia do meio. Assim, um passo de tempo suficientemente ínfimo poderá ser suprimido,
exceto quando a massa inercial for nula, tal que, uma perturbação não transite se quer até a
sua vizinhança imediata no domínio discreto. Esta idéia de que, dentro dados limites
temporais, os nós encontramos “isolados” com relação ao fenômeno modelado é básica nos
algoritmos explícito. Da mesma forma, também significará que um elemento qualquer não irá
interagir com todos os demais, senão, somente com aqueles que lhe são fronteiriços.
Após entendida fisicamente, a restrição imposta ao t∆ em termos matemáticos, o
desacoplamento das equações de movimentos referentes a cada ponto nodal. Como
implicação ter-se-á, automaticamente, “desobrigado” de uma interação concomitante mútua a
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
31
totalidade dos elementos, refletindo em tornar desnecessária a formação de uma matriz que
traduza esta possibilidade a qualquer instante durante a análise.
Os cálculos podem, então, prosseguir em etapas, nas quais uma grandeza vetorial
conhecida no tempo t , figurando no membro direito de uma igualdade é manipulada
algebricamente, resultando a mesma grandeza em um posterior tt ∆+ no lado esquerdo. Em
outras palavras, uma futura configuração da malha (que ao final da análise coincidirá com
uma situação de equilíbrio ou de fluxo permanente) é obtida exclusivamente do conhecimento
de que se dispõe sobre a mesma, em uma posição retrocedida de t∆ na escala do tempo. Isto
pode, de fato, ser considerado como a própria definição de um método explícito.
A desejada correspondência entre o problema real e sua idealização sendo modelada
estará vinculada à observância rigorosa da imposição sobre o t∆ e tem como conseqüência a
obtenção de soluções válidas. Em caso contrário, os valores encontrados não terão
significado físico, caracterizando o que se designa por instabilidade numérica. Quando isto
ocorre, os resultados em geral não têm relação alguma com o que se poderia esperar e
normalmente apresentam enormes discrepância entre iterações sucessivas. Por este motivos
os métodos explícitos são ditos condicionalmente estáveis.
Em geral os algoritmos são mais eficientes, como no caso de análise linear. Mas, no
entanto, a consideração de não-linearidades é comum e recorre a uma entre várias técnicas
iterativas disponíveis (Mathies e Strang, 1979; Bathe, 1982, etc.), sendo que em todas são
imperativas operações matriciais a cada iteração, o que obviamente as torna substancialmente
mais onerosas, além da possibilidade de não convergirem para certas condições de
carregamento (Bathe, 1982). Há casos em que as abordagens implícitas demandarão
excessivo trabalho computacional, como por exemplo, onde a matriz correspondente à malha
idealizada possua grandes larguras de banda, apresentando um grande número de zeros
intercalados entre valores não nulos distantes da diagonal principal (uma simulação de
atirantamento em escavações subterrâneas pode originar esta situação), ou nos casos em que a
conectividade dos elementos varie consideravelmente, correspondendo a constantes
reformulações matriciais (simulação de um descontínuo ou de um conjunto de partículas
compondo um meio granular), a aplicação de métodos explícitos pode ser preferível. O
mesmo tem sido proposto, para problemas com a ocorrência de amolecimento (Scott, 1987;
Cundall e Board, 1988; Cundall, 1990), ou instabilidade de uma forma geral (Cundall e
Lemos, 1989), onde sem cuidados especiais, dificuldades, com relação a inclinação negativas
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
32
das tangentes em parte da curva tensão-deformação, surgem para as operações matriciais (de
Borst, 1986).
Rotinas que simulem uma escavação, semelhante, assumem extrema facilidade de
implementação. Limitam-se a uma instrução definindo, oportunamente, que um dado
elemento a ser escavado, não tenha mais a contribuição de suas forças internas contabilizada
na determinação das forças desequilibradas a partir de então. Em outras palavras, o elemento
é simplesmente subtraído da malha quando for conveniente.
Obviamente, é substancial a economia de memória alocada, uma vez que são
dispensáveis cálculos matriciais. Isto faculta, em situações onde recursos de memória sejam
escassos, a solução de alguns problemas de grande porte. Quanto a estes, Cundall e Board
(1988) apontam que o tempo para a execução de programas de Relaxação Dinâmica aumenta
com o número de elementos, em problemas com geometrias idênticas, segundo o expoente 3/2
(embora sem a pretensão de serem indicativas, as simulações feitas durante este trabalho
mostraram expoentes em torno da unidade, onde além da similaridade geométrica a
idealização discreta for constituída por um único tipo de elemento), em contraste a esquemas
implícitos em que o crescimento se dá ao quadrado ou até ao cubo.
Na Relaxação Dinâmica, o problema estático é solucionado com a introdução de uma
parcela dinâmica. A solução é obtida pelo equilíbrio das forças internas e externas.
De maneira a se obter tal solução por Relaxação Dinâmica, utiliza-se a equação de
movimento 3.2 (Bathe, 1982), sob forma discretizada em elementos finitos, a qual descreve a
resposta transiente (Otter et al. 1966). Lança-se mão de tal procedimento afim de garantir que
seja extraída energia cinética das oscilações, pois em certos meios (por exemplos os
elásticos), se não dissipada, permitiria o eterno prosseguimento do fenômeno vibratório.
{ } { } { } { }fFFF iam =++ 3.1
Ou
[ ] { } [ ] { } [ ] { } { }fukuCuM nnn =⋅+⋅+⋅ ��� 3.2
sendo,
{ }iF - vetor de forças internas;
{ }u - vetor de variáveis discretas dependentes (vetor de deslocamentos resultantes);
n - índice (enésimo incremento);
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
33
{ }f - vetor de forças externas;
{ }mF – vetor de força de massa;
{ }aF – vetor de força de amortecimento viscosa;
[ ]M - matriz de massa;
[ ]C - matriz de coeficientes de amortecimento;
[ ]K - matriz de rigidez.
A matriz de coeficientes de amortecimento adquire a forma da equação 3.3 para o caso
de amortecimento global (processo adaptativo), ou seja, aquele em que se procura manter a
taxa de variação da energia cinética próxima à potência de amortecimento e tendendo a zero,
utilizando um amortecimento crítico com o módulo de oscilações dominantes. Os demais
tipos de processos adaptativos estão mostrados na Tabela 3.1.
[ ] [ ]MC ⋅α= 3.3
onde, o parâmetro de amortecimento α , para este caso, pode ser determinado quando a taxa
de variação da energia cinética cE�∆ aproxima-se da potência de amortecimento P , ou seja:
1EP
c
=∆ �
3.4
Neste momento, pelo desacoplamento da equação 3.2, é possível obter as acelerações
requeridas pelo algoritmo através da equação 3.5 abaixo.
{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }( )uMukfMu 1��� ⋅⋅α−⋅−⋅= − 3.5
A integração numérica em questão pode, então, ser colocada sob uma forma
algorítmica como mostrado na seqüência abaixo (Figueiredo, 1991):
(a) atribuição das condições iniciais
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
34
- para todo i
=
→
0u
dadou0i
0i
�
(b) seleção de parâmetros
- para todo i iim→
- α, ∆t
(c) para todo i ( ) ( )niii
nii uFfuR −=→
(d) se, para todo i 0Ri ≅ pare, senão continue
(e) para todo i:
- se 0n = , então ( )
2/tm
uRu
ii
0ii2/1
i ∆⋅
=�
- senão ( ) ( )( )
( ) ( )( )2/t/1m
uRu
2/t/12/t/1
uii
nii21n
i21n
i α+∆⋅+⋅
α+∆α−∆= −+
��
(f) para todo i ( ) tuuu 21ni
ni
1ni ∆⋅+=→ ++
�
(g) 1nn +=
(h) retorne:
- para (c) se a análise for linear e
- para (b) se não-linear
sendo,
( )ni uR – forças desequilibradas resultante na iteração n;
0iu - deslocamento inicial;
0iu� - velocidade inicial;
iim - massa;
α - coeficiente de amortecimento;
t∆ - incremento de tempo;
if - forças externas;
iF - forças internas;
n - índice de iteração.
O motivo de instruções distintas para os casos linear e não-linear em (h) é devido ao
fato de que no último os parâmetros ótimos mudam no decorrer da análise. A manutenção das
Capítulo III 3.3 Cons derações sobre Relaxação D nâm ca
35
estimativas iniciais poderá dar lugar a taxas de convergência muito lentas ou a instabilidades
numéricas, tal como em problemas de enrijecimento (Figueiredo, 1991).
Tabela 3.1 – Resumo dos processos adaptativos (Figueiredo, 1991)
Procedimento Referência Parâmetros
otimizados
Características básicas
Densidades
fictícias
Cassel (1970) - densidades
- t∆
- pondera densidades pelo uso do teorema de
Gerschgorin objetivando um incremento
temporal maximizado.
Densidade Cundall
(1982)
- densidades
- t∆
- atua como um servomecanismo que amplia
ou reduz o ∆t (e as densidades) conforme seja
necessário para a modelagem de situações
transientes ou de regime permanente.
Avaliação
adaptativa de
parâmetros (I)
Papadrakakis
(1981)
- densidades
- t∆
- α
- as densidades não são reais
- o ∆t é determinado adaptativamente com a
utilização do teorema de Gerschgorin
- α determina-se adaptativamente a partir de
estimativas para a taxa de decaimento do erro.
Avaliação
adaptativa de
parâmetros (II)
Underwood
(1983)
- densidades
- t∆
- α
- emprega as densidades fictícias
- α é avaliado fazendo-se uso do quociente de
Rayleigh.
Auto –
amortecimento
global
Cundall
(1982)
- α - opera através de um servocontrole numérico
que procura sempre manter a potência de
amortecimento próxima à taxa de variação da
energia cinética (situação ideal de
amortecimento crítico).
Auto –
amortecimento
local
Cundall
(1987)
- - o amortecimento é proporcional à força
desequilibrada
- o fator de amortecimento é adimensional e
não depende de qualquer propriedade do meio.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
36
Durante o processo de propagação da onda de deformação, um incremento de
magnitude ∆t é requerido para evitar o contato físico entre os nós vizinhos na malha. Esta
limitação é possível visto existir uma velocidade finita de propagação para as vibrações
mecânicas, que é função das propriedades de rigidez e inércia do meio em questão. Desta
maneira, existe um incremento de tempo específico para cada análise, que impede a transição
importuna da perturbação até a vizinhança imediata do domínio discretizado. Este incremento
é função da massa e rigidez dos elementos que compõem a malha. Quanto maior a massa,
maior será o ∆t e menor será a velocidade de propagação da onda de deformação ao longo da
malha. Quanto maior for a rigidez, menor será o ∆t necessário para a estabilização do
sistema. A estabilidade numérica para sistemas muito rígidos requer incrementos de tempo
muito pequenos gerando, assim, uma grande quantidade de ciclos iterativos para a sua
convergência, o que traduz-se por um esforço computacional mais elevado.
3.4 – Implementação numérica de grampos:
Agora, neste momento, tem-se a intenção de descrever alguns métodos de
implementação numérica de grampos encontrados na literatura e, posteriormente, apresentar o
modelo implementado no programa DYNREL para simulação do comportamento de grampos
em maciços terrosos.
Algumas formas de modelagem numérico que serão descritos a seguir são bastante
comum em análises com tirantes, mas que, facilmente, puderam ser estendidos para análise de
grampos, como nota-se em alguns trabalhos que serão listados abaixo, dentro de suas
respectivas formas de modelagem. A primeira forma de modelagem se constitui na
introdução pura e simples de um elemento de barra. A segunda forma de modelagem é uma
extensão da primeira, o que se faz, aqui, é considerar os reforços (grampo) por elementos de
barra mais de viga, ou seja, acrescenta-se a parcela referente à flexão. A terceira forma de
modelagem é uma extensão da primeira, também, mas considera-se os reforços (grampo) por
elementos de barra e as interfaces solo-face e solo-reforços por elementos de junta de quatro
nós. A quarta forma de modelagem é a de material equivalente, que requer um maior esforço
computacional para ser implementado. Finalmente, a quinta e última forma de modelagem a
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
37
qual simula os efeitos de um sistema de ancoragem com a parcela referente à flexão, também,
incluída.
Esta última modelagem numérica de sistema de ancoragem com rigidez à flexão
(grampo) foi escolhido para a implementação numérica no programa DYNREL, programa
este baseado na técnica da Relaxação Dinâmica (Figueiredo, 1991).
3.4.1 – Método do elemento barra:
Este método consiste em introduzir um elemento estrutural de barra, explicitamente,
nas regiões da malha de elementos finitos afim de simular a presença de estruturas de grampo.
O efeito da presença do grampo na malha é notado a medida que este elemento é solicitado a
se deformar, reagindo no sentido oposto a esta deformação.
A implementação deste elemento de barra é realizada por meio da equação de
elementos finitos, ver Cook (1989).
{ } [ ] { }δ⋅= kF 3.6
sendo,
{ }F – Vetor de cargas nodais;
[ ]k – Matriz de rigidez;
{ }δ - Vetor deslocamentos nodais.
A matriz de rigidez do elemento de barra referente à Figura 3.2 pode ser facilmente
obtida (Cook, 1989). Esta matriz está apresenta abaixo.
[ ]
ββ⋅ββ−β⋅β−β⋅βββ⋅β−β−
β−β⋅β−ββ⋅ββ⋅β−β−β⋅ββ
⋅⋅
=
22
22
22
22
b
bb
sensencossensencos
sencoscossencoscos
sensencossensencos
sencoscossencoscos
LEA
k 3.7
sendo,
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
38
bA – Área da seção transversal do elemento de barra;
bL – Comprimento do elemento de barra;
bE – Módulo de elasticidade do elemento de barra;
β - Ângulo de inclinação do elemento de barra.
y
yj
yi
xi xj x
β
i
j
L, E
, A
Figura 3.2 – Elemento de barra
Os vetores { }δ e { }F podem ser colocados como:
{ }
=δ
j
j
i
i
v
u
v
u
3.8
sendo,
iu , ju – Deslocamentos na direção do eixo OX dos respectivos nós do elemento de
barra i e j;
iv , jv – Deslocamentos na direção do eixo OY dos respectivos nós do elemento de
barra i e j.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
39
{ }
=
j
j
i
i
Fy
Fx
Fy
Fx
F 3.9
sendo,
iFx , jFx – Forças na direção do eixo OX dos respectivos nós do elemento de barra i e
j;
iFy , jFy – Forças na direção do eixo OY dos respectivos nós do elemento de barra i
e j.
A formulação acima considera que o grampo seja um elemento elástico linear. Não
linearidades no comportamento tensão vs. deformação do mesmo seriam possíveis de serem
incorporadas, modificando-se, convenientemente, a matriz de rigidez. Nesta modelagem do
grampo simples como um elemento de barra não incorpora, em seu sistema, os efeitos de
interface, isto será feito no elemento descrito no item 3.4.3.
3.4.2 – Método do elemento micro-estaca (barra + viga):
Para apresentar a formulação deste modelo, primeiramente, faz-se a apresentação da
matriz de rigidez de um elemento de barra, depois de um elemento de viga e, finalmente, por
associação das rigidezes dos elementos de barra e de viga, tem-se o modelo procurado.
Figura 3.3 – Graus de liberdade permitidos ao elemento “micro-estaca”
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
40
Para se ter facilidade no que tange à associação das rigidezes dos elementos de barra e
de viga, procede-se de maneira um pouco diferente do item 3.4.1, o qual já apresenta a
formulação em relação a um sistema de eixos arbitrários. O que se pretende é apresentar estas
formulações em relação a um sistemas de eixos particular, mostrado na Figura 3.4 e na Figura
3.5, e logo após concretizada a associação dos elementos barra e viga apresentar esta matriz
de associação em relação a um sistema de eixos quaisquer, através da matriz de transformação
de eixos, como mostrado na Figura 3.11.
A rigidez axial do trecho, associada aos deslocamentos gerados nesta direção, pode ser
contabilizada considerando-se um elemento de barra (Figura 3.4).
y'
x', u'i j
u'i u'j
L, E, A
Figura 3.4 – Elemento de barra
A matriz de rigidez do elemento acima é apresentada na equação 3.10. Para o
elemento de barra, [ ]barra'k é função do comprimento L , do módulo de elasticidade E e da
área da seção transversal A do elemento.
[ ]
−
−⋅⋅=
11
11
LEA
'k barra 3.10
sendo,
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
41
[ ]barra'k – matriz de rigidez do elemento de barra.
Similarmente, a rigidez à flexão referente aos esforços cortantes e momentos fletores,
pode ser contabilizada considerando-se um elemento de viga (Figura 3.5).
y', v'
x'i j
v'i v'j
L, E , I
θ'jθ'i
Figura 3.5 – Elemento de viga
A matriz de rigidez do elemento acima é apresentada na equação 3.11. Para o
elemento de viga, [ ]viga'k é função do comprimento L , do módulo de elasticidade E e do
momento de inércia I da seção transversal do elemento.
[ ]
−−−−
−−
⋅⋅=
22
22
3viga
L4L6L2L6
L612L612
L2L6L4L6
L612L612
LIE
'k 3.11
sendo,
[ ]viga'k – matriz de rigidez do elemento de viga.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
42
Finalmente, após determinação das rigidezes do elemento barra e do elemento viga,
pode-se escrever a matriz de rigidez local da micro-estaca (viga + barra) associando-se as
equações 3.10 e 3.11, resultando em:
[ ]
⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅−⋅−
⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅
=
LIE4
LIE6
0L
IE2L
IE60
LIE6
LIE12
0L
IE6L
IE120
00L
EA00
LEA
LIE2
LIE6
0L
IE4L
IE60
LIE6
LIE12
0L
IE6L
IE120
00L
EA00
LEA
'k
22
2323
22
2323
me 3.12
sendo,
[ ]me'k – matriz de rigidez do elemento “micro-estaca”.
Como esta matriz é referente a um elemento alinhado com o eixo x’y’ como mostrado
na Figura 3.6. Para se ter uma orientação arbitraria deste elemento “micro-estaca” no plano
xy, deve-se efetuar a devida transformação de coordenadas segundo a equação 3.13.
[ ] [ ] [ ] [ ]T'kTk meT
me ⋅⋅= 3.13
sendo,
[ ]T - matriz de transformação de eixos e possui a seguinte forma:
[ ]
ββ−ββ
ββ−ββ
=
100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
T
meme
meme
meme
meme
3.14
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
43
sendo,
meβ - ângulo formado entre o eixo x e o elemento “micro-estaca”.
Note que o valor “1”aparece em [ ]T , pois o vetor de rotações não muda de direção, ou
seja, ii' θ=θ e jj' θ=θ .
y', v'
x',u'
i
j
v'i
u'j
L, A,E, I
θ'j
θ'iu'i
L, A,E, I
ui i
vi
y, v
θi
ujj
θj
x,u
vjv'j
β
Figura 3.6 – Orientação arbitraria do elemento “micro-estaca” (Cook et al., 1989)
Briaud e Lim (1997) usaram o programa chamado ABAQUS (1992) para fazer
análises dos grampos e demais elementos encontrados. Os grampos foram simulados como
um elemento de viga/”micro-estaca”, que pode resistir a cargas axiais e momentos fletores.
Na escolha das rigidezes axial e fletora dos elementos grampo tanto a ação da nata quanto a
protensão do aço foram incluídas.
3.4.3 – Método do elemento barra + junta:
Neste modelagem, o que se propõe é usar um elemento de barra de dois nós para os
reforços (grampos), como realizado acima, concomitantemente com elementos de junta de
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
44
quatro nós para as interfaces solo-face e solo-reforços (Goodmann, Taylor e Brekke, 1968 e
Goodmann, 1976).
Este modelo foi usado por Lopes e Cardoso (1991) num meio terroso em que o solo e
a face do revestimento foram simulados por elementos bidimensionais de cinco nós (Doherty,
Wilson e Taylor, 1969). O comportamento não-linear do solo, das interfaces e dos reforços é
simulado por um modelo elastoplástico perfeito, sem endurecimento e com lei de fluxo
associada.
Cardoso e Carreto (1990) propõe um modelo para análise bidimensional de maciços
reforçados por grampos, cuja formulação é bastante mais sofisticada do que o modelo
tridimensional. O modelo 2D aceita comportamentos não-lineares para os materiais e
interfaces e baseia-se numa modelagem discreta do maciço reforçado. Os reforços e as suas
interfaces com o solo são modeladas separadamente: i) as primeiras são representadas por
elementos barra com rigidez igual à dos varões de aço usados na obra, desprezando-se a
contribuição da calda envolvente; ii) as segundas são modeladas por elementos de junta aos
quais são atribuídas as características médias obtidas nos ensaios de arrancamento.
Como o elemento de barra (reforço) já foi bem descrito em itens anteriores, não se vê,
aqui, a necessidade de descrevê-lo, novamente. Logo, a seguir, faz-se uma breve descrição do
elemento de junta, bem como de suas características, a ser nas interfaces deste modelo,
sugerindo-se que maiores detalhes, a respeito deste elemento, podem ser encontrados em
Goodmann, Taylor e Brekke (1968) e Goodmann (1976), pois o detalhamento de sua
formulação foge ao objetivo deste trabalho.
Então, segundo Goodmann, Taylor e Brekke (1968), um elemento contínuo de
deformação plana usado em análises de elementos finitos não modela, satisfatoriamente, este
comportamento. A junta não é um elemento de linha e de fato a alta excentricidade leva a
imprecisão na determinação de tensões. Em vez disso, é considerada uma rigidez de junta
especial, cuja derivação da rigidez do elemento CST (Clough, 1960) como elemento de junta
será projetada por ser comparável com elementos contínuos e será adicionado a eles na matriz
de rigidez estrutural. A idéia da adição da rigidez do elemento ligado à estrutura total foi
desenvolvida por Ngo e Scordellis (1967).
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
45
3.4.4 – Método do elemento equivalente:
Este método foi proposto por Sharma e Pande (1988), com o objetivo de apresentar
um “material equivalente” que fosse usado para modelar um maciço apresentando planos de
descontinuidade, e ainda reforçado por estruturas de contenção.
O conceito de material equivalente é baseado no desenvolvimento de uma lei
constitutiva para um material que se comportará como um maciço apresentando famílias de
descontinuidades e estruturas de reforços.
Para isto, é necessário que os planos de uma família de descontinuidades, bem como,
as inclusões que compõem um conjunto de estrutura de reforço tenham uma disposição
espacial regular, e estejam espaçadas entre si a uma dimensão muito menor do que a
dimensão crítica do problema a ser analisado, como por exemplo, a altura de um talude de
corte ou natural.
O modelo matemático baseia-se em um modelo reológico proposto por Chen e Pande
(1994) e Sharma et al. (1988), onde cada componente do material equivalente (maciço,
família de descontinuidades, estrutura de reforço) é representado por uma unidade de modelo
reológico elasto-viscoplástico.
A implementação do modelo equivalente resulta em uma alteração na matriz tensão x
deformação do elemento, que para apresentar características de suporte, tem na matriz
mencionada anteriormente a soma da matriz de rigidez elástica do reforço.
Uma vez que as unidades de modelo reológico relativas ao maciço e ao reforço estão
associados em paralelo, isto implica que ambos sofrem a mesma deformação, daí, através de
uma matriz de rotação pode-se conhecer o deslocamento sofrido pelo sistema de ancoragem, e
consequentemente através do dado anterior a matriz de rigidez elástica do reforço obtém-se a
tensão gerada no sistema de ancoragem e consequentemente a contribuição do mesmo como
reforço para o maciço.
Cardoso e Carreto (1990) propõe um modelo para análise tridimensional de maciços
reforçados por grampos, cuja formulação é compósita. Neste modelo, o maciço é
representado por um material equivalente com características elásticas anisotrópicas que
podem ser determinadas pelas expressões de Cardoso (1987). O que se faz, neste modelo, é
transformar características elásticas do solo e dos reforços em um material equivalente com
características elásticas anisotrópicas (1E , 2E , 1ν , 2ν e G ). Se existir uma aderência perfeita
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
46
entre o solo e os reforços, o grau de aderência é igual a um (1w = ), as equações de Cardoso
(1987) coincidem com as propostas por Gerrard (1992); mas se não existir aderência entre o
solo e as armaduras , o grau de aderência é nulo (0w = ), as características do material
equivalente são iguais às do solo não reforçado.
3.4.5 – Método proposto de simulação de iteração grampo/nata e o maciço:
Neste instante, passa-se a descrever o modelo que será implementado no programa
DYNREL afim de simular o comportamento de grampos em estruturas de contenção. O
desenvolvimento a seguir será uma adaptação do modelo produzido por Tan, Bawden e Pelley
(1993), o qual simula a iteração entre o sistema de ancoragem cabo (tirante)/nata e o meio
terroso, semelhante ao que foi feito por St. John e Van Dillen (1983) nos programas UDEC e
FLAC com a adição, ao modelo presente, do comportamento relativo à componente de flexão.
Apesar das considerações feitas por Tan, Bawden e Pelley (1993) serem relativas ao
comportamento de cabos, sugere-se neste trabalho que elas possam ser extensivas ao
comportamento axial de grampos.
Este modelo não apresenta um elemento grampo explícito, apenas os efeitos da
inclusão são considerados na malha durante o processo de iteração. Devido aos aspectos
incremental e interativo deste modelo ele é bastante adequado para o tipo de formulação
numérica existente no programa DYNREL utilizado.
Sendo o grampo um reforço do tipo passivo pressupõe-se a geração de forças
contrárias ao movimento do solo imediatamente após o início do processo de instabilização.
Durante este processo, é permitido ao elemento estabilizante sofrer certas deformações,
regidas pelo limite elasto-plástico do material empregado.
Os graus de liberdade permitidos específicos associados aos esforços de tração, flexão
e até cisalhantes estão mostrados na Figura 3.2. Onde percebe-se a possibilidade de
deslocamentos axiais, transversais e rotacionais.
3.4.5.1 – Aspectos que condicionam o comportamento do sistema grampo/nata:
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
47
No que refere ao comportamento do sistema grampo/nata, exclusivamente à tração,
pode-se estender os resultados obtidos de ensaios de laboratório e campo executados em
sistema de ancoragem cabo(tirante)/nata por diversos autores, relatados por Tan et al. (1993).
Tais ensaios foram realizados com o intuito de compreender o comportamento desse sistema
sob condições de carga axial e confinamento perfeito. Considerando a similaridade de
comportamento entre os grampos (sujeitos somente à carga axial) e os tirantes, então pode-se
afirmar que os aspectos, identificados por estes ensaios, que condicionam a efetividade do
sistema de ancoragem cabo (tirante)/nata, também, condicionam a efetividade do sistema
grampo/nata, com exceção para o comprimento que está envolto em nata, já que o grampo não
possui trecho livre, logo seu comprimento está todo envolvido pela nata. Portanto, os
aspectos observados são os seguintes:
- Propriedades características do grampo;
- Resistência e rigidez da nata de cimento;
- Diâmetro do furo;
- Propriedades características do maciço terroso;
- Condição de tensão “in situ”.
Afim de implementar o comportamento do sistema grampo/nata à flexão, assumiu-se
este como uma estrutura composta, apresentando uma rigidez “equivalente” a partir das
características dos dois materiais que o compõem (grampo e a nata), sendo expressa por:
NNGGeqeq IEIEIE ⋅+⋅=⋅ 3.15
Onde, iE e iI são o módulo de elasticidade do material e momento de inércia da seção
transversal e o subscrito i indica o tipo de material (os índices G e N indicam grampo e nata,
respectivamente).
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
48
Figura 3.7 – Deslocamentos permitidos ao elemento grampo
nata GRAMPO
d
D
Figura 3.8 – Seção transversal do furo (sistema grampo/nata)
Sendo, d o diâmetro do reforço (grampo) e D o diâmetro do furo.
3.4.6 – Seqüência de cálculo da Subrotina grampo:
Tendo em vista o algoritmo da Relaxação Dinâmica que se baseia em um processo
iterativo simultâneo explícito no tempo, onde calculam-se os deslocamentos e esforços nodais
gerados a partir de uma parcela das forças externas aplicadas ao sistema em um dado intervalo
de tempo t∆ , propôs-se a criação de uma subrotina que avaliasse os esforços internos gerados
no grampo em função de tais deslocamentos da malha. De posse dos esforços internos dos
nós do grampo (pontos de interseção com o elemento), o próximo passo seria a extrapolação
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
49
para os respectivos nós do elemento influenciado. A Figura 3.8 descreve, de uma forma
bastante sintetizada, o esquema de cálculo do processo.
O programa principal verifica a existência do grampo e contabiliza os valores da
reação a cada passo de tempo pelo acréscimo destes ao vetor de forças internas da malha.
Posteriormente, quando a determinação das forças desbalanceadas do sistema, já estará
presente a parcela referente ao grampo.
Analisando-se este processo, é possível concluir que o pressuposto básico da
implementação está baseado na determinação de esforços internos no grampo gerados a partir
de deslocamentos nodais de certos elementos da malha.
A seqüência simplificada de cálculo para determinação dos esforços resistentes
provenientes da inserção do elemento grampo na malha é mostrada a seguir, em etapas,
podendo ser visualizada melhor na Figura 3.8.
Logo após serão apresentadas as subrotinas envolvidas na implementação e o arquivo
de entrada de dados que possibilita a inserção do elemento grampo na malha a ser analisada.
A Tabela 3.1 descreve os cabeçalhos usados no arquivo de entrada de dados
DYNGRAM.TXT.
O fluxograma que descreve, mais detalhadamente, as etapas de cálculo seguidas
dentro da subrotina grampo para contabilizar as forças de reação dos mesmos é apresentado
na Figura 3.9.
Figura 3.9 – Esquema sintetizado da subrotina
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
50
Tabela 3.2 – Cabeçalhos usados no arquivo neutro DYNGRAM.TXT
%ELEMENTO.ESTABILIZANTE 1 – ativa o elemento grampo
%DEFLEXAO.GRAMPO 1 – escreve as deflexões no
arquivo grampo.pos
%PRETENSIONAMENTO.GRAMPO 1 – aplica protensão no grampo
%VALOR.PROTENSAO valor da pré-tensão aplicada
%NUMERO.GRAMPOS número de grampos
%NOS.GRAMPOS numeração dos nós extremos
%COORDENADA.NOS.GRAMPOS Coordenadas dos nós do(s)
grampo(s)
%MODULO.ELASTICIDADE.GRAMPOS módulo de elasticidade à tração
%AREA.SECAO.GRAMPOS área da seção transversal grampo
%TENSAO.ESCOAMENTO.GRAMPOS tensão de escoamento do grampo
%ESPACAMENTO.HORIZONTAL.GRAMPOS espaçamento horizontal entre
grampos
%RAIO.FIOS raio dos fios que compõem o
grampo
%RAIO.FUROS Raio do furo
%MODULO.CISALHANTE.NATA módulo cisalhante da nata
%MODULO.ELASTICIDADE.NATA módulo de elasticidade da nata
%COEFICIENTE.POISSON.NATA Coeficiente de Poisson da nata
%RESISTENCIA.COMPRESSAO.UNIAXIAL.NATA resistência à compressão uniaxial
da nata
%ANGULO.ATRITO.NATA.GRAMPO ângulo de atrito entre a nata e o
grampo
%ANGULO.ATRITO.NATA.SOLO ângulo de atrito entre a nata e o
solo
%MUDANCA. ANGULO.ATRITO.NATA.GRAMPO mudança do ângulo de atrito entre
a nata e o grampo
% MUDANCA. ANGULO.ATRITO.NATA.SOLO mudança do ângulo de atrito entre
a nata e o solo
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
51
PROGRAMA PRINCIPAL
NÃO
GRAMPO
RETAS
LADOS
INCIDREF
EQUAREF
EQUAREL
INTERSEC
COMPLAD
LANDINT
CASINCL
TINC=3
SIM
TRASFEIX
CINT=1
NÃO
MRIGIDX
PRIME
TAMANHO
FUNQSI
FTRT
RELAÇÃO
ESFORÇOSCRITRUP
CORRFMCONSI
DISFOR
SIM
TRANSREL
Figura 3.10 – Esquema de fluxo da subrotina grampo
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
52
Subrotinas processadas somente uma vez:
EQUAREF: calcula as equações das retas dos reforços;
EQUAREL: calcula as equações das retas das arestas;
INTERSEC: determina quais elementos são interceptados pelos reforços e as coordenadas de
interseção;
COMPLAD: calcula o comprimento das arestas de todos os elementos da malha;
LADINT determina o modo de interseção (um nó e uma aresta, duas arestas ou dois nós).
Associa coordenadas de interseção com a incidência da aresta ou nó. Determina quais arestas
dos elementos adjacentes influenciam no ponto interceptado.
CASINCL: associa um “tipo” de caso à aresta interceptada, segundo sua inclinação.
INCIDREF: determina a incidência para os nós fictícios da estaca e suas coordenadas de
interseção.
TAMANHO: determina o tamanho do vetor { }eiu e seus graus de liberdade associados.
Subrotinas processadas iterativamente:
TRASFEIX: determina a matriz de transformação de eixo do reforço e sua transposta;
MRIGIDX: determina a matriz de rigidez do elemento viga para o trecho do elemento
analisado de acordo com a equação 3.11;
PRIME: transforma a rigidez do elemento de viga para o eixo xy segundo a equação 3.13;
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
53
FUNQSI: calcula o valor de a
pi
l
S para a aresta interceptada;
RELACAO: monta [ ]MRUF
TRANSREL: determina [ ]TMRUF
FTRT: calcula a força axial gerada no segmento do reforço no interior do elemento CST,
limitando a força axial máxima pelas forças máximas cisalhantes em cada interface e pela
força de escoamento do reforço;
ESFORCOS: calcula os deslocamentos transversais ao eixo do reforço e a rotação dos
mesmos, as conseqüentes forças internas, extrapola para os nós e acrescenta ao vetor de forças
internas nodais da malha determinado na iteração;
CRITRUPT: limita os momentos atuantes nos pontos nodais do reforço segundo o critério de
ruptura escolhido;
CORRFM: faz a correção (limita) da força axial e do momento fletor no reforço (grampo),
para o caso de ocorrência de plastificação devido ao carregamento combinado;
CONSI: aplica a convenção do sentido das forças axiais de reação do reforço;
DISFOR: distribui a força axial gerada pelo reforço para os nós do elemento CST atravessado
pelo mesmo.
1a ETAPA: Identificação dos elementos atravessados pelo sistema (grampo/nata), e
respectivos pontos de interseção:
Para proceder tal identificação, é necessário, primeiramente, realizar-se uma
simplificação: durante a introdução da inclusão na malha, considera-se apenas a equação da
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
54
reta formada por pontos extremos da inclusão e hipotetiza-se a interseção desta em apenas
uma faixa de elementos CST’s. Espera-se que esta hipótese seja válida em função do
pequeno diâmetro do reforço e das dimensões elevadas dos taludes discretizados.
O elemento CST é composto por três segmentos de reta delimitado pelas coordenadas
de seus nós. O que se pretende fazer é, tão somente, verificar para cada elemento, se os
segmentos de reta que o formam são ou não interceptados pelo segmento de reta que define o
sistema grampo/nata. Se tiver ocorrido tal interseção, identifica-se os dois pontos de
interseção através de suas coordenadas e o número do elemento interceptado pelo reforço.
2a ETAPA: Cálculo dos deslocamentos relativos entre pontos de interseção:
Inicialmente deve-se visualizar o sistema de forças envolvidas no reforço. Referindo-
se à Figura 3.7, o vetor de deslocamentos e rotações do reforço apresenta a seguinte forma:
{ }
θ
θ=
B
B
B
A
A
A
r
v
u
v
u
u 3.16
Em uma malha de elementos finitos cada elemento atravessado pelo sistema
grampo/nata é analisado individualmente, portanto as extremidades nestes casos são os pontos
de interseção entre o elemento e o sistema grampo/nata.
As forças geradas nestes pontos de interseção A e B de tal figura a partir dos
deslocamentos mostrados na equação 3.17 podem ser determinadas segundo a rigidez do
elemento grampo por:
{ } [ ] { }rrr ukf ⋅= 3.17
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
55
O reforço (grampo) inserido na malha intercepta, segundo a hipótese feita, elementos
CST’s específicos, podendo coincidir com: a) duas arestas, b) uma aresta e um nó ou c) dois
nós. Analisa-se abaixo cada uma destas hipóteses.
a) Reforço intercepta somente arestas:
GRAMPO
k
i
j
A
B
Ljk
SB
SALij
Figura 3.11 - Elemento grampo intercepta 2 arestas do elemento CST
Neste momento, os deslocamentos dos nós A e B são incógnitas no problema, portanto
a equação 3.17 não pode ser resolvida. Em contrapartida, os deslocamentos dos nós i, j e k já
apresentam-se determinadas pela iteração ocorrida no programa principal. Portanto, partindo-
se do pressuposto básico da implementação, deve-se determinar:
{ } [ ] { }eir uMRUFu ⋅= 3.18
sendo,
[ ]MRUF – matriz que relaciona os deslocamentos “fictícios” com deslocamentos nodais dos
elementos que influenciam no trecho analisado, sendo formado por:
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
56
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ][ ]
[ ]
=
B
B
B
A
A
A
MR
MRUV
MRUH
MR
MRUV
MRUH
MRUF
[ ]piMRUH – matriz linha que relaciona deslocamentos horizontais;
[ ]piMRUV – matriz linha que relaciona deslocamentos verticais;
[ ]piMR – matriz linha que relaciona rotação;
pi – indica o ponto de interseção analisado;
{ }eiu – vetor de deslocamentos de elementos que influenciam no trecho analisado.
Neste caso { }eiu configura os deslocamentos do próprio elemento interceptado, pois
está relacionado apenas com os nós i, j e k, ou seja:
{ }
=
k
k
j
j
i
i
ei
v
u
v
u
v
u
u 3.19
A montagem de [ ]piMRUH e [ ]piMRUV é feita interpolando-se linearmente os
respectivos deslocamentos nodais da aresta interceptada:
{ } [ ] { } [ ] { }eipiv
eipipiv
r uNuMRUVu ⋅=⋅= 3.20
{ } [ ] { } [ ] { }eipih
eipipih
r uNuMRUHu ⋅=⋅= 3.21
sendo,
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
57
[ ]vpiN e [ ]h
piN – matrizes de interpolação vertical e horizontal, respectivamente, para o ponto
de interseção pi analisado, que relacionam os deslocamentos verticais e horizontais, { }vpiu e
{ }hpiu , do ponto de interseção.
Como exemplo de montagem das matrizes de interpolação, seja o ponto A da Figura
3.11. Neste caso a matriz de interpolação horizontal apresenta a seguinte forma:
[ ] [ ]0000 jipih NNN = 3.22
As funções lineares de interpolação utilizadas para a montagem de [ ]vpiN e [ ]h
piN
apresentam a seguinte forma:
a
pii l
SN −= 1 3.23
a
pij l
SN = 3.24
onde, piS está definido na Figura 3.11 e al é o comprimento da aresta interceptada.
A montagem de [ ]piMR é feita considerando-se a variação angular da aresta que
contém o ponto de interseção. Seja , por exemplo, uma aresta interceptada qualquer ji
representada na Figura 3.11 e os devidos deslocamentos nodais já determinados (iu , iv , ju e
iv ).
Assumindo que a rotação desta aresta seja muito pequena, pode-se escrevê-la da
seguinte forma:
ij
ijijij l
dtdttan
−=ϕ≅ϕ 3.25
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
58
onde, idt e jdt são os deslocamentos transversais à aresta (Figura 3.12), sendo escritos em
função dos deslocamentos nodais e do ângulo de inclinação da mesma com o eixo X (aβ ).
Desta forma pode-se obter a seguinte equação:
{ } [ ] { }eipiijpir uMRu ⋅=ϕ=θ 3.26
sendo,
{ }θpiru - deslocamento rotacional do ponto de interseção pi associado à rotação da aresta
analisada.
i
j
ui
vi
dti
uj
vj
x
ϕij
βa
dtj
Figura 3.12 – Rotação da aresta interceptada ij da Figura 3.11
Apenas como efeito ilustrativo, a matriz [ ]MRUF para o exemplo considerado na
Figura 3.11, apresenta a sua forma final como mostrado na equação 3.27 a seguir.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
59
[ ]
ββ−
β−
βξξ−
ξξ−
ββ−
β−
βξξ−
ξξ−
=
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
L
cos
L
sen
L
cos
L
sen00
01000
00100
00L
cos
L
sen
L
cos
L
sen00010
00001
MRUF 3.27
onde, referindo-se a Figura 3.11 e respectivamente, a 1ª e 4ª linhas prescrevem os
deslocamentos horizontais dos pontos A e B; a 2ª e 5ª os deslocamentos verticais dos mesmos
pontos e a 3ª e 6ª linhas as rotações das arestas ij e jk . Sendo, a
pi
l
S=ξ
b) Reforço intercepta Ponto Nodal:
Para o caso de interseção coincidente com um ponto nodal, a determinação das
matrizes de deslocamento horizontal e vertical ocorre da mesma forma descrita no item
anterior. Evidentemente que os deslocamentos horizontal e vertical do reforço coincidem
com os do nó interceptado, visto que o valor de piS da Figura 3.11 é nulo. Isto condiz com
uma das características das funções de interpolação, que assume o valor unitário quando
avaliada no nó referente a ela e nulo em qualquer outro.
A determinação da matriz de rotação é realizada de uma forma um pouco diferente.
Para o ponto interceptado propôs-se a determinação da resultante de rotações das arestas que
concorrem para aquele nó, imaginando que isto representaria uma média de rotações dos
elementos (solo) adjacentes ao nó. Portanto, aplica-se o mesmo procedimento descrito,
anteriormente, para cada aresta concorrente ao nó em separado e procede-se a soma das
mesmas. O valor resultante representa a rotação daquele ponto. Para realização desta soma é
necessário escrever-se { }ru em função de um vetor de deslocamentos nodais que seja
representativo de todos os deslocamentos envolvidos na composição dos dois pontos de
interseção do trecho. Consequentemente, { }eiu apresenta uma dimensão diferente da anterior,
que será função do número de arestas envolvidas.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
60
Seja, por exemplo, o trecho ab do reforço na Figura 3.13. Para o nó a do reforço as
variáveis primárias que concorrem para a determinação dos deslocamentos deste ponto –
{ } θ,v,u
aru apenas os deslocamentos nodais referentes aos nós i e j , calculados por
interpolação e pela determinação da rotação da aresta interceptada, como descrita para o caso
considerado.
Para o nó b do reforço, pode-se notar que os elementos n ao 3n + possuem em
comum este nó, portanto concorrem de alguma forma na determinação dos deslocamentos do
reforço. Isto é, os deslocamentos nodais que influenciam na determinação de { } θ,v,u
bru são os
referentes aos nós destes elementos, ou seja, i , j , l , m .
b, k
m c l
jai
n
n+1
n+2
n+3
Figura 3.13 – Elemento grampo intercepta um nó
O vetor deslocamentos para o trecho ab do reforço deve agregar as informações de
ambos os pontos de interseção que, para o caso, apresenta a seguinte forma:
{ } { }Tmmllkkjjii
Tei vuvuvuvuvuu = 3.28
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
61
A consideração da rotação do ponto b é feita pela determinação da média das
variações angulares de todas as arestas que concorrem para o devido ponto nodal (Figura
3.13), devidamente compatibilizadas para a dimensão do vetor {uei}, ou seja:
{ } [ ] [ ] [ ] [ ] { }ei
b
mkkikljkbr u
4
MRMRMRMRu ⋅
+++=θ 3.29
ou, de uma forma mais generalizada
{ }[ ]
{ }ei
na
1ii
pir una
MRu ⋅=
∑=θ 3.30
onde, na é o número de arestas que concorrem ao ponto de interseção pi . Para o ponto a , o
procedimento é similar ao descrito anteriormente.
Para o caso de interseção de dois pontos nodais, o procedimento de determinação da
matriz de rotação é o mesmo, porém a dimensão do vetor de deslocamento nodais dos
elementos que concorrem para aquele trecho vai ter dimensão tal que agregue todos os nós
dos elementos que estão influenciando na análise do trecho.
b, k
m l
ji
ϕkm
ϕki
ϕkl
ϕkj
Figura 3.14 – Rotação das arestas concorrentes ao nó b do reforço
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
62
Procedendo-se desta maneira a simplificação realizada inicialmente sobre a equação
de uma reta para inclusão do grampo é minimizada, assumindo uma região de influência do
reforço um pouco maior e não tão somente os deslocamentos nodais de um elemento em
separado.
Este procedimento suaviza a hipótese feita inicialmente sobre a consideração da
equação de uma reta para o reforço, pois desta maneira considera-se a influência de região um
pouco maior de influência na obtenção das variáveis primárias do reforço, pela média da
variação angular de várias arestas (vários pontos nodais) e não tão somente os deslocamentos
nodais de um elemento em separado.
3a ETAPA: Cálculo da força gerada no sistema grampo/nata:
Nesta etapa, primeiramente, calcula-se as forças axiais de reações nos reforços devido
aos deslocamentos axiais sofridos pelos pontos de interseção. Para determinação destas
forças são levados em conta as resistências ao cisalhamento nas interfaces aço/nata e
solo/nata, a tensão de escoamento do aço, sendo que a influência da tensão in situ na
resistência ao cisalhamento destas interfaces, também, é considerada (Tan et al., 1993).
As equações 3.31 a 3.53 foram obtidas experimentalmente.
A seguir é detalhado, passo a passo, este cálculo.
1 – Primeiramente, define-se os limites elásticos mínimo (situação em que não há
confinamento) e máximo (confinamento completo), sem a contribuição da tensão “in situ”.
( )h2378,0
a
RR
RRRCS%108LR2F
21
22
21
22
01min ⋅⋅π⋅
+−⋅⋅−⋅⋅⋅π= 3.31
sendo,
minF – Limite elástico mínimo;
1R – Raio do reforço;
2R – Raio do furo;
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
63
0L – Comprimento do reforço envolto pela nata (para o grampo 0LL = , não existe trecho
livre);
RCS – Resistência à compressão simples da nata;
a – Raio dos fios que compõem o reforço;
h – comprimento dos fios que compõem o reforço.
1a
h1944,0
RCS%50LR2F
201max
+
⋅π⋅
⋅⋅⋅⋅π= 3.32
sendo,
maxF – Limite elástico máximo
2 – Posteriormente, define-se o fator de confinamento, o qual influencia o limite
elástico da situação analisada.
( )( ) ( )
( )21
22N1N1
21N1
22N1
SS
S
21
22N1
21
RREm
R1mR1mEm1m
RRE
R2
FC
−⋅⋅⋅++⋅−
+⋅+
−⋅= 3.33
sendo,
FC - Fator de confinamento;
N1E – módulo de elasticidade da nata;
N1m – inverso do coeficiente de Poisson da nata;
SE - módulo de elasticidade do solo;
Sm – inverso do coeficiente de Poisson do solo;
2R – Raio do furo;
1R – Raio do reforço.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
64
Neste caso, existem duas considerações extremas que são:
a) situação sem confinamento, ou seja, a pressão radial na parede externa da
nata é nula.
0Prc2 =
b) situação de confinamento perfeito (completo), ou seja, os deslocamentos
radiais na parede externa da nata são nulos.
0U 2Rr =
3 - Obtêm-se, então, o limite elástico, em função do confinamento, para a situação de
uma inclusão cujo comprimento envolto pela nata é de 0,25m. Este limite pode ser qualquer
valor entre minF e maxF .
( ) ( ) minminmax*e FFFFC40,017,0F +−⋅⋅+= 3.34
onde
*eF - Limite elástico sem consideração do confinamento gerado pela tensão in situ.
4 – Calcula-se o fator que correlaciona o comprimento da inclusão envolto pela nata
com seu limite elástico.
( )25,0
25,0L7,01j 0
1
−⋅+= 3.35
onde
j 1 – Fator de correlação (relação entre o limite elástico e o comprimento do grampo envolto
em nata).
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
65
5 – Rescreve-se o limite elástico, agora para qualquer comprimento de inclusão
envolto em nata. No caso de grampos todo comprimento está envolto em nata, não há trecho
livre.
( ) ( ){ }minminmax1e FFFFC40,017,0jF +−⋅⋅+⋅=∗ 3.36
6 – Uma vez definido o limite elástico, passa-se a determinação do limite de ruptura.
Determina-se qual a tensão normal ao eixo da inclusão interna máxima, na interface
grampo/nata possível de ocorrer, em uma situação de carga uniaxial e confinamento perfeito.
Tal tensão corresponderia a um limite de ruptura na nata. Logo tem-se:
RCS10,0K0006,042,3P cr ⋅+⋅+−= 3.37
sendo,
rP – Tensão normal máxima possível de ocorrer na interface grampo/nata;
cK – rigidez da nata.
7 – A partir desta pode-se calcular o incremento de força pós-elástico, que
corresponde a uma resistência cisalhante da interface grampo/nata.
Z011 PLjR2F ⋅⋅⋅⋅π=∆ 3.38
ou
Z012 PLjR2F ⋅⋅⋅⋅π=∆ 3.39
sendo,
F∆ – Incremento de carga pós-elástica;
ZP – Tensão cisalhante nas interfaces reforço/nata e nata/solo, respectivamente, equações
3.38 e 3.39.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
66
( ) rZ PP ⋅+= αϕtan 3.40
e
ϕtan2 ⋅= risZ PP 3.41
Na Figura 3.15, ϕ o ângulo de atrito e α é o ângulo de dilatância na interface
grampo/nata.
ϕα
kk
kknata
reforço
Figura 3.15 – Resistência ao cisalhamento na interface aço/nata
8 – Tem-se, então definido os limites elástico *eF e de ruptura que é ( FF*
e ∆+ ).
Entretanto, há que se considerar o efeito da tensão “in situ” sobre os mesmos.
ϕπσ tan2 21 ⋅⋅⋅⋅=∆ risPLRF 3.42
sendo,
LR2 1 ⋅⋅π – Área lateral da superfície da inclusão;
ris2P – Tensão radial “in situ”;
ϕ - Ângulo de atrito.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
67
σ∆F - Incremento de carga devido à tensão “in situ”. A variação desta tensão influencia na
trajetória de força como é mostrado na Figura 3.17.
∆Fσ
reforçonata
natacarga
PZ
∆Fσ
Figura 3.16 – Influência da tensão “in situ” na resistência ao cisalhamento nas interfaces
(Tan, Bawden e Pelley, 1993)
Deslocamento
cargacurva de trajetória deForça 1
curva de trajetória deForça 2
Figura 3.17 – Influência da tensão in situ sobre a trajetória de força solicitada à
ancoragem
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
68
9 – Pode-se, então, redefinir os limites elásticos (equação 3.43) e de ruptura (equação
3.44), agora somando-se a influência da tensão “in situ”.
σ∆+⋅= ∗ FFjF e1e 3.43
FFFjF e1u ∆+σ∆+⋅= ∗ 3.44
sendo,
eF – Limite elástico;
uF – Limite de ruptura.
10 – Estando definido os limites de força elástica e de ruptura, faz-se necessário
conhecer seus respectivos deslocamentos.
Ensaios efetuados por Goris (1989) e Reichert (1991) (apud, Tan et al. 1993) definem
que para um comprimento de reforço de 0,25m embebido em nata os deslocamentos elástico
( eδ ) e de ruptura (uδ ), são:
003,0e =δ 3.45
034,0eu +δ=δ 3.46
Estendendo-se a solução acima para o caso de se ter um comprimento aleatório de
reforço envolto em nata, tais expressões são rescritas como:
003,0j1*e ⋅=δ 3.47
034,0*e
*e +δ=δ 3.48
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
69
11 – De posse das forças limites elástica e de ruptura, e seus respectivos
deslocamentos obtém-se uma relação força vs. deslocamento composto por 4 segmentos
lineares. O que é mostrado na Figura 3.18.
δ−δ+δ=δ
∗∗∗
2eu
ei 3.49
Deslocamento
carga
δe=f1*3mmδi=δe+1/2*(δu-δe)Fi=Fe+2/3*(Fu-Fe)
Fu
Fi
Fe
δe δi
1
2
3
4
δu
Figura 3.18 – Modelo multi-segmentado de relação força vs. deslocamento
12 – Em função do deslocamento (δ ) sofrido pela interface sabe-se em qual segmento
de reta calcula-se a força solicitada na interface.
Este cálculo é realizado pelas equações 3.50, 3.51, 3.52 e 3.53 referentes,
respectivamente, aos segmentos de reta (1), (2), (3) e (4).
δ⋅δ
=e
eFF para eδ≤δ 3.50
( )eueu
ee FF
34
FF −⋅δ−δ
δ−δ⋅+= para
δ−δ
+δ≤δ<δ2
euee 3.51
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
70
( )eueu
ue FF
32
FF −⋅δ−δδ−δ
⋅−= para ueu
e 2δ≤δ<
δ−δ
+δ 3.52
uFF = para uδ>δ 3.53
13 – Quanto a força axial gerada no aço (reforço) esta segue a lei de Hooke.
δ⋅= kF 3.54
Sendo, a rigidez representada por um elemento de barra (equação 3.55).
LAE
k⋅= 3.55
sendo,
E – Módulo de elasticidade do aço;
A – Área da seção transversal do aço (reforço);
L – Comprimento do reforço envolto em nata, no caso, do grampo 0LL = .
14 – De posse dos limites de ruptura das duas interfaces, e da tensão de escoamento,
adota-se entre estes, o menor valor para reger o limite de ruptura do sistema.
Com relação à força solicitada pelo sistema adotar-se-á a maior força dentre aquelas
solicitadas nas interfaces e no aço, e toma-se como limite para tal, o limite de ruptura do
sistema, anteriormente, descrito.
15 – Como pode-se notar a parcela referente à flexão ainda não foi inserida na
formulação. Logo passa-se, agora, a descrever o a formulação referente à flexão.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
71
Para incluir o comportamento à flexão do grampo no modelo proposto, aplicou-se uma
formulação de material “compósito”, cuja rigidez à flexão “equivalente” foi adicionada ao
grampo através da restrição de deslocamentos transversais e rotações das interseções dos
grampos com os elementos.
Primeiramente, para contabilizar o efeito referente à flexão, calcula-se os parâmetros
do grampo através de seus dados geométricos, como mostrado abaixo:
π⋅= A4
d 3.56
sendo,
d – Diâmetro do reforço;
A – Área da seção transversal do aço (reforço)
2dD
e−= 3.57
sendo,
D – Diâmetro do furo;
e – espessura da nata, que cobre o reforço.
64d
I4
G
⋅π= 3.58
sendo,
GI – Momento de inércia referente ao reforço.
( )44N dD
64I −π= 3.59
sendo,
NI – Momento de inércia referente ao anel de nata.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
72
Determinados os parâmetros de cada material componente da seção transversal do furo
(reforço e nata), calcula-se as características do material equivalente.
O momento de inércia do material equivalente é dado pele seguinte equação:
4eq D
64I ⋅π= 3.60
sendo,
eqI – Momento de inércia referente ao material equivalente;
D – diâmetro do furo.
Logo o módulo de elasticidade do material equivalente será dado por:
⋅+⋅=
eq
NNGGeq I
IEIEE 3.61
sendo,
eqE - módulo de elasticidade do elemento equivalente.
As forças reativas transversais do reforço (atuando como elemento de viga) podem,
então, ser determinadas segundo a equação 3.62 (substituição da equação 3.18 em 3.17), de
acordo com os casos de interseção mencionados.
{ } [ ] [ ] { }eirr uMRUFkf ⋅⋅= 3.62
As rotações desaparecem por um processo de condensação cinemática que é alcançado
pré multiplicando a equação 3.62 pela transposta de [ ]MRUF (equação 3.63):
[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }eirT
rT uMRUFkMRUFfMRUF ⋅⋅⋅=⋅ 3.63
ou, de uma outra forma:
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
73
{ } [ ] { }eiukf ⋅= ∗∗ 3.64
sendo,
[ ]*k - matriz de rigidez do novo sistema contabilizando a rigidez do elemento grampo;
{ }*f - vetor de forças internas nodais devido à reação do grampo.
16 – Efeito do carregamento axial no momento plástico (carregamento combinado):
Após calculado a força axial e o momento fletor no reforço, verifica-se se há
plastificação na seção através da equação 3.65. Como se observar o reforço pode não
plastificar pela ação isolada do momento fletor e da força axial, mas pode plastificar pela
combinação destes. A plastificação devido ao esforço combinado garante que a seção
plastificou pela ação conjunta do momento e da força axial ou por pelo menos um destes.
IcM
AFax
y
⋅±=σ 3.65
sendo,
σy - Tensão de escoamento do material;
Fax - Força axial no reforço;
A - área da seção transversal;
M - momento fletor;
c – distância do centro à extremidade mais comprimida ou tracionada;
I - momento de inércia.
Na presença de carregamento axial (tração ou compressão), o eixo neutro não divide
uma seção em duas áreas iguais, como no caso de flexão simples. O momento plástico de
seções duplamente simétricas (seções retangulares, seções I laminadas e circulares) é sempre
reduzido pela presença de uma força axial, mas no caso de seções mono simétricas
flexionadas no plano de simetria (seção T) não é tão simples.
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
74
As seções retangulares, I laminadas e T são tratadas separadamente em Horne (1971) e
a seção circular, que é de suma importância neste trabalho, será tratada a seguir.
Seção circular na presença de carregamento axial:
Figura 3.19 – Flexão Plástica numa seção circular em presença de esforço axial
Para a seção circular na Figura 3.19, o eixo neutro plástico AA desloca-se sob um
carregamento axial P para uma posição distante de a do eixo centróide XX, dando a
distribuição de tensão mostrada. A seção é totalmente plastificada sob a ação combinada da
carga P atuando através do centróide e um momento fletor pM' atuando no eixo centróide
XX.
A relação entre PM' e P pode, convenientemente, ser obtida para uma seção
duplamente simétrica, tal como pela consideração da distribuição total de tensão, como pela
composta de duas componentes de distribuição, mostrado na Figura 3.19(b) e (c). A
distribuição de tensão na Figura 3.19(b) contribui na carga axial, mas não no momento fletor,
enquanto que na Figura 3.19(c) contribui no momento fletor, mas não na carga axial.
Portanto,
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
75
y2
2
2
222 a41a
a41arcsen
24P σ⋅
φ⋅−⋅⋅φ+
φ⋅−⋅φ−φ⋅π= 3.66
Se a seção for plastificada somente sob carregamento axial, o valor da carga axial será:
yP AP σ⋅= 3.67
Como,
4A
2φ⋅π= 3.68
então, substituindo 3.68 em 3.67, tem-se:
y
2
P 4P σ⋅φ⋅π= 3.69
sendo,
A - área da seção transversal (no caso do grampo, seção circular);
φ - diâmetro da seção transversal;
PP - carga de esmagamento;
yσ - tensão de escoamento do material;
a - distância do eixo centróide XX ao eixo neutro plástico AA.
Como,
PPP
n = 3.70
sendo,
n - índice carga de esmagamento
dividindo numerador e denominador da equação 3.70 pela área (A ), tem-se:
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
76
y
AP
nσ
= 3.71
Logo, substituindo as equações 3.66 e 3.68 em 3.71, tem-se:
2
2
2
2 a41
a4a41arcsen
21n
φ⋅−⋅
φ⋅π⋅+
φ⋅−⋅
π−= 3.72
Como, pZ é o módulo de plasticidade, então para seção circular, tem-se:
6Z
3
p
φ= 3.73
e pZ' é o módulo de plasticidade modificado, isto é, levando em conta o efeito do
carregamento axial.
( ) p2
p Zn1Z' ⋅−= 3.74
Logo, podemos expressar o momento plástico (pM' ) pelo módulo de plasticidade
modificado ( PZ' )
ypp 'ZM' σ⋅= 3.75
Portanto, o momento plástico ( pM' ) de uma seção circular varia parabolicamente com
a carga axial ynAP σ⋅⋅= , como mostrado na Figura 3.19, tornando-se nulo para o valor da
carga de esmagamento (pP ). Segundo Crandall (1978),
Tabela 3.3 – relação entre o momento plástico e o momento limite elástico (início do
escoamento)
seção transversal Mp/M y
retangular 1.5circular 1.7cilindro de parede fina 1.3viga I 1.1 – 1.2
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
77
Logo, para seções circulares, tem-se:
yp M7,1M ⋅= 3.76
sendo,
pM - momento fletor limite;
yM - momento fletor no início do escoamento.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
P1/Pp
M'p
/Mp
SEÇÃO CIRCULAR SEÇÃO RETANGULAR
Figura 3.20 – Efeito da força axial no Momento Plástico
A seguir apresenta-se um quadro resumo de alguns modelos numéricos utilizados para
simulação dos grampos na malha de elementos finitos
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
78
Tabela 3.4 - Resumo das características de modelos usados em análises tridimensionais
de estruturas grampeadas
AUTORES
Características
do material
Cardoso e Carreto (1990) Briaud e Lim (1997) Smith e Su (1997)
solo elástico linear hiperbólico elastoplástico
reforço elástico linear elástico linear elastoplástico
interface elástico linear - -
Tip
o de
mat
eria
l
face - elástico linear -
solo 4 “brick” (8nós) “brick” (4nós)
reforço 4 de viga / “micro-estaca” “brick” (14nós)
interface 4 - -
Tip
o de
elem
ento
face 4 bidimensional “brick” (14nós)
Tabela 3.5 – Resumo das características de modelos usados em análises bidimensionais
de estruturas grampeadas
AUTORES
Características
do material
Lima (1996) Cardoso e Carreto
(1990)
Lopes e Cardoso
(1991)
Silva (1999)1
solo elastoplástico hiperbólicas elastoplástico elastoplástico
reforço elástico linear elástico linear elastoplástico elastoplástico
interface - - elastoplástico 2
Tip
o de
mat
eria
l
face - - - -
solo bidimensional (6 e 8 nós) bidimensional (5 nós) CST
reforço
unidimensional (3 nós)
de viga (reforços rígidos)
de barra (reforços flexíveis)
barra barra (2nós) 3
interface - junta junta (4 nós) 3
Tip
o de
ele
men
to
face unidimensional (3 nós) - bidimensional (5 nós) -
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
79
Observações:
1 – Modelo proposto neste trabalho “ Análise numérica de estruturas grampeadas”;
2 – As interfaces usam restrições de resistência ao cisalhamento para controlar as deformações;
3 – Os reforços e as interfaces são modelados por elementos “fictícios”, já que estes não são
discretizados na malha de elementos finitos e sim inseridos nesta malha por intermédio de um arquivo de
configuração, a qual contabiliza as reações do reforço por redução de deslocamentos ;
4 - É usado um material equivalente de características elásticas anisotrópicas para simulação do
problema.
4a ETAPA: Distribuição da força por nós do elemento:
A força mobilizada nas duas extremidades do sistema grampo/nata, entendendo
extremidade como os pontos de interseção entre o elemento CST e o sistema grampo/nata, é
distribuída para os nós do elemento CST, somando-se ao vetor de forças internas do programa
DYNREL.
O vetor de forças internas { }*f deve ser acrescido ao vetor de forças internas nodais da
malha, calculado no programa principal para o passo de tempo anterior, durante a
determinação das forças desbalanceadas do sistema para a próxima iteração. Desta forma, o
efeito resistente do elemento estabilizante (grampo) é garantido, repetindo-se a cada iteração.
5a ETAPA: Implementação da condição de Pré-tensionamento:
Na implementação da condição de pré-tensionamento a força a ser adicionada é
preestabelecida, sendo esta somada não ao vetor de forças internas, mas ao vetor de forças
aplicadas do programa DYNREL. Esta soma se faz antes do primeiro passo de deslocamento,
de tal forma que quando os deslocamentos forem calculados, no primeiro passo de iteração, a
força de pré-tensionamento já estará somada ao vetor de força aplicada, vetor este responsável
por deslocamentos calculados no primeiro passo de iteração. Para o caso do grampo este
valor de pré-tensionamento é considerado como nulo em todas as análises realizadas à frente,
Capítulo III 3.4 Implementação numér ca de grampos
80
mas podendo se adotar valores bem baixos, simplesmente, com o intuito de garantir a iteração
da face da parede (revestimento) com o grampo.
6a ETAPA: Influência sobre o intervalo de tempo do passo de iteração:
Ao simular os efeito de reação do sistema de reforço grampo/nata, e adicioná-los aos
nós do elemento, é como se estivesse alterando a rigidez do elemento e, consequentemente,
alterando a velocidade de propagação da onda de deformação no elemento em questão, de tal
forma que este elemento poderá fornecer o menor cálculo de intervalo de tempo entre todos os
elementos da malha. Portanto seria necessário que todos os elementos atravessados pelo
sistema de reforço grampo/nata, tivessem o seu intervalo de tempo recalculado, agora numa
associação com sistema grampo/nata e verificado, então entre todos os elementos da malha
qual o menor intervalo de tempo, o qual seria adotado para cada passo de iteração.
Entretanto isto não se fez necessário uma vez que o programa DYNREL possui uma
variável de entrada denominada time-frac, cuja função é justamente multiplicar o valor de
menor intervalo de tempo calculado entre todos os elementos da malha, por um valor entre 0 e
1. O fator de redução (time-frac) funciona como um fator de segurança para o cálculo do
intervalo de tempo para o passo de iteração. Desta forma pode-se alterar o intervalo de tempo
utilizado para o passo de iteração de forma a evitar situações de instabilidade numérica
causada pelo aumento de rigidez de um elemento atravessado pelo grampo/nata.
CAPÍTULO IV
EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO E DE APLICAÇÃO
4.1 – Exemplos de Validação:
Após a descrição do funcionamento do DYNREL para análise de estruturas
grampeadas, feita no capítulo anterior, passa-se, neste instante, a uma etapa de testes afim de
validar o comportamento do elemento grampo sujeito tanto a esforços axiais quanto a esforços
transversais (de flexão). O objetivo primário desta avaliação está na correta determinação de
forças internas geradas no elemento grampo e posterior transferência aos devidos nós dos
elementos finitos interceptados.
Como no DYNREL se encontra implementado os elementos tirante/cabos (Charbel,
1996) e estaca (Bello, 1997), que trabalham à tração e à flexão, respectivamente, o que se
propõe aqui é submeter o grampo a esforços de tração e de flexão em ensaios distintos com o
intuito de comparar estes resultados com os dois casos de eficácia já comprovadas em teses
desenvolvidas por Charbel (1996) e Bello (1997) no departamento.
A simulação dos testes é feita pela criação de uma malha de elementos finitos através
de um pré-processador denominado o MTOOL desenvolvido na própria PUC-RIO. Nela
pode-se observar o valor da carga aplicada, os parâmetros de resistência utilizados e a posição
da inclusão ensaiada.
A magnitude da tolerância (TOL) é estipulada pelo usuário a partir do arquivo de
configuração do programa principal. Ela é comparada com as forças desequilibradas do
sistema, calculadas à cada passo de tempo. Estima, basicamente, a precisão que se quer
aplicar à análise. Para obtenção de valores razoáveis de precisão indica-se uma tolerância
mínima de 1% do valor da carga aplicada (Bello, 1997). Obviamente, maior precisão indica
mais iterações necessárias e , consequentemente, maior esforço computacional.
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
82
4.1.1 – Validação do comportamento axial dos grampos:
Para validação do comportamento axial, considerou-se o grampo sujeito somente a
esforços axiais afim de reproduzir o comportamento do tirante/cabo elástico linear e compará-
los à solução analítica para comprovar a efetividade da implementação numérica.
Primeiramente, descreve-se o problema a ser analisado com auxílio da Figura 4.1.
Figura 4.1 – Geometria e condições de contorno do problema analisado
sendo,
H – altura ou comprimento do maciço;
L – largura do maciço;
Fy – carga linearmente distribuída.
Com o intuito de ilustrar o problema analisado, utilizou-se, de maneira hipotética, um
material rochoso elástico linear atravessado ao centro por uma inclusão (tirante/cabo ou
grampo) elástico linear, sujeito a um campo de tensão distribuído uniformemente no topo da
malha, e apresentando na base apoios de primeiro gênero, sob a análise de deformação plana.
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
83
O modelo reológico que representa a associação do material rochoso (terroso) elástico
linear com a inclusão (tirante/cabo ou grampo) elástico linear é mostrado na Figura 4.2.
Como se pode notar trata-se de uma associação em paralelo entre o material rochoso
(ou terroso) e a inclusão (tirante/cabo ou grampo), garantindo que ambos estarão sujeitos ao
mesmo campo de deformação.
MATERIALROCHOSO OUTERROSO
INCLUSÃO
Figura 4.2 – Modelo reológico relativo à associação de material rochoso (ou terroso) e
inclusão (tirante/cabo ou grampo), ambos apresentando comportamento elástico linear
A solução analítica para o problema descrito acima e mostrado na Figura 4.1 está
apresentada no Apêndice A.
Os resultados numéricos foram obtidos através de uma malha de elementos finitos de
10m de altura (H) por 10m de largura (L) mostrada na Figura 4.3. Nesta malha colocou-se
uma inclusão (tirante/cabo ou grampo) com diâmetro de 0.30m e 10m de comprimento,
vertical e passando pelo nó 3 que está localizado no centro da malha.
Utilizou-se como propriedade de módulo de elasticidade da inclusão (EAÇO) um valor
simbólico extremamente pequeno, afim de obter grandes deslocamentos e ressaltar melhor as
diferenças entre a solução analítica e numérica caso existissem.
Fez-se diversos ensaios com diferentes cargas linearmente distribuídas ( )Fy aplicadas
no topo da malha e os deslocamentos provenientes desta análise numérica com inclusões
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
84
(tirante/cabo e grampo) foram comparados com os deslocamentos equivalentes ( )DEQ da
solução analítica, cuja seqüência de cálculo esta mostrado no Apêndice A, provenientes da
mesma variação de cargas, como pode ser visto na Figura 4.4 que representa um gráfico de
deslocamento vs. Força Aplicada.
Figura 4.3 – Malha de Elementos Finitos (MEF) que representa a geometria do
problema analisado e mostrado na Figura 4.1
0.00
0.02
0.04
0.06
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
F (MN/m)
DE
SLO
CA
ME
NT
O (
m)
TIRANTE
GRAMPO (SUJEITO SOMENTE À TRAÇÃO)
ANALÍTICO
Figura 4.4 – Deslocamento axial para o trecho linear elástico do aço, ou seja, das
inclusões (tirante/cabo e grampo)
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
85
4.1.2 – Validação do comportamento à flexão dos Grampos:
Para validação do comportamento à flexão dos grampos partiu-se para a modelagem
de ensaios de flexão de vigas bi-apoiadas, tipicamente empregados na área estrutural, que
apresentam soluções analíticas em termos de deslocamentos, rotações e momentos facilmente
encontradas na literatura sobre Mecânica dos Sólidos.
Para modelagem destes ensaios propôs-se, então, a discretização de um meio com
características nulas, de tal sorte que não existisse nenhum tipo de material agindo contrário
às deformações do grampo inserido na malha. Esta hipótese simula somente a existência de
ar naquela região garantindo que os deslocamentos sofridos pela malha são tão somente
resistidos pela rigidez da viga. Sendo assim, os valores de módulo de Elasticidade,
coeficiente de Poisson e peso específico para o material daquela região devem ser zerados.
Contudo, tem-se uma região da malha com certa massa e rigidez afim de possibilitar a
determinação do ∆t necessário ao algoritmo da Relaxação Dinâmica. As deformações
associadas a esta região devem, obviamente, ser restringidas para não influenciarem nos
resultados obtidos para a viga.
As inclusões empregadas nos ensaios de flexão possuem as seguintes características:
EG=12.000MPa, d=0,15m e L=4m, sendo que as soluções teóricas para os devidos ensaios
foram retirados de Timoshenko (1983).
Ensaio 1 – Viga bi-apoiada com carregamento Pontual no centro do vão
P
L/2 L/2
Figura 4.5 – Viga bi-apoiada com carregamento pontual
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
86
Com o intuito de se obter a solução analítica do problema proposto acima e
visualizado através da Figura 4.5, lançou-se mão das seguintes equações para deflexão ( )ν e
inclinação da linha elástica ( )ν' mostradas abaixo, respectivamente.
( )22 x4L3EI48xP −⋅=ν
2L
x0 ≤≤ 4.1
( )22 x4LEI16P −=ν′
2L
x0 ≤≤ 4.2
A malha de elementos finitos utilizada para simular o ensaio proposto acima e
ilustrado pela Figura 4.5 é apresentada a seguir. A inclusão a ser inserida na malha de
maneira “fictícia” está situada no topo da malha na horizontal.
Figura 4.6 – Malha de elementos finitos (MEF) usada no ensaio 1
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
87
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
X/L
DE
SLO
CA
ME
NT
O V
ER
TIC
AL
ESTACA (DYNREL)GRAMPO (DYNREL)ANALÍTICO
Figura 4.7 – Deslocamentos verticais obtidos no ensaio 1
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X/L
RO
TA
ÇÕ
ES
ESTACA (DYNREL)
GRAMPO (DYNREL)
ANALÍTICO
Figura 4.8 – Rotações obtidas no ensaio 1
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
88
Ensaio 2 – Viga bi-apoiada com carga distribuída
Q
L/2 L/2
Figura 4.9 – Viga bi-apoiada com carga distribuída
A malha de elementos finitos utilizada para simular o ensaio proposto acima e
ilustrada pela Figura 4.10 é apresentada a seguir.
Figura 4.10 – Malha de elementos finitos (MEF) usada no ensaio 2
Com o intuito de se obter a solução analítica do problema proposto acima e
visualizado através da Figura 4.9, lançou-se mão das seguintes equações para deflexão ( )ν e
inclinação da linha elástica ( )ν' mostradas abaixo, respectivamente.
Capítulo IV 4.1 Exemplos de Val dação
89
( )323 xLx2LEI24xQ +−⋅=ν
2L
x0 ≤≤ 4.3
( )323 x4Lx6LEI24
Q +−=ν′2L
x0 ≤≤ 4.4
0,0
0,4
0,8
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X/L
DE
SLO
CA
ME
NT
O V
ER
TIC
AL
ESTACA(DYNREL)
GRAMPO(DYNREL)
ANALÍTICO
Figura 4.11 – Deslocamento vertical obtidos no ensaio 2
-1,2
-0,8
-0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
0,0 0,4 0,8 1,2
x/L
Rot
açõe
s
ESTACA (DYNREL)
GRAMPO (DYNREL)
ANALÍTICO
Figura 4.12 – Rotações obtidas no ensaio 2
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
90
4.2 – Exemplos de Aplicação:
Com o intuito de estudar o comportamento de estruturas grampeadas, passa-se, neste
momento, a analisar alguns taludes de corte com grampos.
Para proceder tal análise, utiliza-se de um pré-processador (MTOOL) afim de facilitar
a geração de malhas de elementos finitos e um pró-processador (MVIEW) para visualização
dos diversos campos de tensão, de deformação, de deslocamentos e da função de
plastificação.
Estas análises são realizadas em solos com comportamento elástico e elastoplástico e
grampos com e sem rigidez à flexão, cujas análises são feitas antes e depois da escavação do
talude com a gravidade atuando em todos casos estudados a partir de agora.
4.2.1 – Influência da rigidez à flexão no comportamento de estruturas
grampeadas em relação ao tipo de análise aplicada:
Neste item não se objetiva determinar a relevância da rigidez à flexão em relação à
rigidez axial podendo levar em conta, também, a inconsistência de rigidezes. O que se faz é,
simplesmente, comparar valores de deslocamentos horizontais na face do revestimento e
deslocamentos verticais na superfície do terreno em análises elásticas e elastoplásticas.
Nesta análise foi utilizada uma malha de elementos finitos com solo considerado,
primeiramente, como um material elástico com módulo de elasticidade igual a 50MPa,
coeficiente de Poisson de 0.25 e peso específico de 19kN/m3 e, depois, como material de
Mohr-Coulomb com plasticidade constante com módulo de elasticidade 50MPa, coeficiente
de Poisson de 0.25, ângulo de atrito de 30º, ângulo de dilatância de 30º, coesão de 0.03MPa e
peso específico de 19kN/m3.
O grampo utilizado tem comprimento de 4m, módulo de elasticidade “simbólico” (E)
igual a 20700MPa e diâmetro de 0.4m.
A malha de elementos finitos (MEF) foi gerada com 36 elementos e 25 nós antes da
escavação como pode ser vista na Figura 4.13 e com 28 elementos e 21 nós após escavação, já
que 8 elementos foram escavados, como pode ser visto na Figura 4.14.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
91
Figura 4.13 – Malha de elementos finitos (MEF) antes da escavação
Figura 4.14 – Malha de elementos finitos (MEF) após da escavação
Na análise com solo no comportamento elástico não ocorreu diferença entre
deslocamento, quando se considerou o grampo com e sem rigidez à flexão, já no caso de
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
92
análise elastoplástica ocorreu uma pequena diferença entre os deslocamentos gerados. Isto
pode ser melhor visualizado observando a Figura 4.15, Figura 4.16 e Figura 4.17.
-0.0001
0.0009
0.0019
0.0029
23456
Y (m)
Dx
(m)
SEM REFORÇO GRAMPO SEM RIGIDEZ À FLEXÃO HORIZONTAL GRAMPO HORIZONTAL
Figura 4.15 – Deslocamentos Horizontais na face do revestimento (o solo é considerado
como meio linear elástico)
-0.0001
0.0009
0.0019
0.0029
23456
Y (m)
Dx
(m)
SEM REFORÇO GRAMPO SEM RIGIDEZ À FLEXÃO HORIZONTAL GRAMPO HORIZONTAL
Figura 4.16 – Deslocamentos horizontais na face do revestimento (o solo é considerado
como meio de Mohr-Coulomb com plasticidade constante)
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
93
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
23456
X (m)
Dy
(m)
SEM REFORÇO COM GRAMPO SEM RIGIDEZ À FLEXÃO COM GRAMPO
Figura 4.17 – Deslocamentos Verticais na superfície do terreno (o solo é considerado
como meio de Mohr-Coulomb com plasticidade constante)
Através da Figura 4.15 pode-se notar que não houve redução de deslocamentos na face
do revestimento quando se considerou o solo com um meio linear elástico. Pela Figura 4.16
observou-se que houve uma redução de deslocamentos na face do revestimento de 6% quando
se considerou o solo como um meio de Mohr-Coulomb com plasticidade constante. E,
finalmente, analisando o exemplo ilustrado pela Figura 4.17 notou-se uma redução de 3% nos
deslocamentos verticais na superfície do terreno., para um meio de Mohr-Coulomb com
plasticidade constante.
Logo nota-se que a resistência à flexão dos grampos é de pouca importância quando se
está num nível de tensões muito longe da plastificação do solo. Mais adiante será verificado a
sua influência em níveis de tensões próximo à ruptura dos solos.
4.2.2 – Influência da inclinação dos grampos no comportamento das paredes:
Nesta análise foi utilizada uma malha de elementos finitos com solo considerado como
um material elástico. Utilizou-se 4 (quatro) valores de inclinação do grampo inserido na
malha variando de 0 a 15º em passos de 5º.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
94
Todos grampos usados têm comprimento de 4m, módulo de elasticidade “simbólico”
(E) igual a 20700MPa e diâmetro de 0.4m. Os grampos 1, 2, 3, 4 têm inclinação de 0º, 5º, 10º
e 15º, respectivamente. A malha de elementos finitos (MEF) é a mesma do item anterior.
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
4 5 6 7
Y (m)
Dx
(m)
SEM REFORÇO REFORÇO HORIZONTAL REFORÇO INCLINADO DE 5º REFORÇO INCLINADO DE 10º REFORÇO INCLINADO DE 15º
Figura 4.18 – Deslocamento Horizontal (Dx) da parede (face do talude escavado) com
grampo sem rigidez à flexão
0.0000
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.0010
0.0012
2 3 4 5 6
X (m)
Dy
(m)
SEM REFORÇO REFORÇO HORIZONTAL REFORÇO INCLINADO DE 5º REFORÇO INCLINADO DE 10º REFORÇO INCLINADO DE 15º
Figura 4.19 – Deslocamento Vertical (Dy) da superfície do terreno com grampo sem
rigidez à flexão
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
95
Como podemos notar através do valor dos deslocamentos horizontais e verticais
(Figura 4.18 e Figura 4.19), a medida que a inclinação dos grampos vão aumentando, partindo
de um valor limite inferior 0º, estes deslocamentos aumentam e se aproximam dos valores de
deslocamentos quando o talude é analisado sem inclusão. Observa-se, então que para um
mesmo comprimento de reforço a sua influência vai diminuindo a medida que se aumenta sua
inclinação.
4.2.3 – Análise do comportamento de uma estrutura grampeada hipotética:
A malha de elementos finitos (MEF) foi gerada com 648 elementos e 361 nós antes da
escavação como pode ser vista na Figura 4.20 e com os elementos após escavação, já que
alguns elementos foram escavados, como pode ser visto na Figura 4.21.
As figuras a seguir mostram o estudo numa MEF e as condições de contorno adotadas
a um modelo elastoplástico perfeito de Mohr-Coulomb, que simulam um talude a céu aberto a
ser escavado.
O refinamento da malha e a influência das extremidades do contorno devem ser
melhor estudados para casos reais. O que se pretende aqui é, tão somente, demonstrar
qualitativamente a efetividade da simulação numérica dos grampos.
A tensão horizontal na superfície do terreno apresenta-se pequena, porém não nula
como deveria ser. Provavelmente, devido a uma discretização não refinada da malha na
superfície do talude e, também, devido ao método de interpolação do pós-processador
utilizado.
Para verificar a eficiência dos reforços usou-se 5 GRAMPOS espaçados de 1m na
horizontal e de 1m na vertical com as mesmas propriedades do exemplo anterior, só que de
5m de comprimento, como pode ser visto na
Figura 4.22.
O campo de deslocamentos do maciço é apresentado na Figura 4.26 e Figura 4.27 para
análise sem e com reforço, respectivamente.
As funções de plastificação do maciço são apresentadas na
Figura 4.22 e Figura 4.23 para o talude sem e com reforço, respectivamente.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
96
A densidade é de um reforço por 1m2 de face. A escavação foi feita em apenas uma
etapa de 6m, o que não aconteceria na prática.
Figura 4.20 – Malha de elementos finitos (MEF) antes da escavação
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
97
Figura 4.21 – Malha de elementos finitos (MEF) após a escavação
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
98
Figura 4.22 – Função de Plastificação da malha sem reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
99
Figura 4.23 – Função de Plastificação da malha com reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
100
Figura 4.24 – Malha deformada e Função de Plastificação da malha sem reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
101
Figura 4.25 – Malha deformada e Função de Plastificação da malha com reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
102
Figura 4.26 – Campo de deslocamentos da malha sem reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
103
Figura 4.27 – Campo de deslocamentos da malha com reforço
Como pode-se notar, os deslocamentos da parede (face do revestimento) e da
superfície do terreno são reduzidos pela inclusão de reforços no talude, o que já era de se
esperar. A redução de deslocamentos foi de 75,65% no topo do talude.
Observando a função de plastificação, pode-se notar, claramente, que há uma redução
na plastificação do maciço proporcionado pela inclusão dos reforços.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
104
Com o intuito de avaliar deslocamentos e tensões no maciço e esforços nos grampos,
utilizou-se parâmetros do solo e dos grampos bem mais próximo do real, diferentemente das
análises que foram realizadas até agora.
Logo, analisou-se um malha a ser escavada de 15m de altura por 20m de comprimento
com 636 nós e 1200 elementos que pode ser visualizada na Figura 4.28. As características do
solo podem ser observadas na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Características do solo
γ (MN/m) 0.019K 0.0
E (MN/m) 50.0ν 0.25
c (MN/m) 0.03φ (º) 30
Os reforços utilizados, nesta análise, são barras de aço de 25mm de diâmetro com 5m
de comprimento introduzidas em furos de 10cm de diâmetro, injetados com calda de cimento.
O talude, descrito acima e mostrado na Figura 4.28, foi analisado procedendo-se uma
escavação de 6m de altura por 5m, no qual a única carga aplicada seria a gravidade. O
maciço escavado contendo as posições dos reforços é mostrado na Figura 4.29.
Nota-se, também, que quanto maior a rigidez das inclusões maiores serão as reduções
de deslocamentos e de deformações no maciço. Como a inclusão dos reforços agem num
maciço tal qual o aumento da tensão confinante em ensaios triaxiais, por exemplo, pode-se
esperar que ocorra um aumento das tensões após serem reforçados. Este aumentado das
tensões horizontais é observado através da Figura 4.34 e Figura 4.35.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
105
Figura 4.28 – Malha de elementos finitos antes da escavação
Figura 4.29 - Malha de elementos finitos após escavação
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
106
PLAST
+0.00E+000
+2.38E-002
+4.77E-002
+7.15E-002
+9.53E-002
+1.19E-001
+1.43E-001
+1.67E-001
+1.91E-001
+2.14E-001
Figura 4.30 – Função de Plastificação do maciço sem reforço (c=0.3MPa)
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
107
PLAST
+0.00E+000
+2.38E-002
+4.76E-002
+7.14E-002
+9.52E-002
+1.19E-001
+1.43E-001
+1.67E-001
+1.90E-001
+2.14E-001
Figura 4.31 - Função de Plastificação do maciço com reforço (C=0.3MPa)
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
108
SIG XX
-1.01E-001
-8.77E-002
-7.42E-002
-6.07E-002
-4.72E-002
-3.37E-002
-2.02E-002
-6.75E-003
+6.74E-003
+2.02E-002
Figura 4.32 – Isofaixa de Tensão horizontal sem reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
109
SIG XX
-1.01E-001
-8.77E-002
-7.42E-002
-6.07E-002
-4.72E-002
-3.37E-002
-2.02E-002
-6.75E-003
+6.74E-003
+2.02E-002
Figura 4.33 – Isofaixa de Tensão horizontal com reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
110
SIG XX
-1.01E-001
-8.77E-002
-7.42E-002
-6.07E-002
-4.72E-002
-3.37E-002
-2.02E-002
-6.75E-003
+6.74E-003
+2.02E-002
Figura 4.34 – Tensão horizontal – Seção 1 – sem reforço
SIG XX
- 1 . 0 1 E - 0 0 1
- 8 . 7 7 E - 0 0 2
- 7 . 4 2 E - 0 0 2
- 6 . 0 7 E - 0 0 2
- 4 . 7 2 E - 0 0 2
- 3 . 3 7 E - 0 0 2
- 2 . 0 2 E - 0 0 2
- 6 . 7 5 E - 0 0 3
+ 6 . 7 4 E - 0 0 3
+ 2 . 0 2 E - 0 0 2
Figura 4.35 – tensão horizontal – Seção 1 – com reforço
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
111
Nota-se que a eficiência dos grampos no caso anterior foi baixa por causa da pequena
solicitação de esforços. O que já era de se esperar para baixos níveis de tensão por serem os
grampos estruturas passivas, ou seja, só desempenham seu papel quando mobilizados.
Por isso tentar-se-á levar esta estrutura a ruptura simulando a construção de um aterro.
E, por fim, analisará o efeito da rigidez à flexão próxima à ruptura.
Então, afim de se estudar a relevância da rigidez à flexão na ruptura ,ou bem próximo
desta, analisou-se um maciço terroso hipotético, variando-se a coesão e plotando os valores da
força desequilibrada em cada passo de iteração para os três casos abaixo:
• sem reforço;
• reforço sem rigidez à flexão;
• reforço com rigidez à flexão.
A não convergência do método implica na ruptura da estrutura, quando se varia
somente a coesão que não provoca instabilidade numérica por não entrar no cálculo do valor
de ∆t. Então, o que se propõe é analisar esta convergência para diversos valores de coesão (
Figura 4.38 e
Figura 4.39).
A malha de elementos finitos (MEF) utilizada é mostrada na Figura 4.36 e Figura 4.37
e as características do solo na Tabela 4.2. O reforço (grampo) utilizado tem 25.4mm de
diâmetro, 6m de comprimento, módulo de elasticidade de 207000MPa e o furo tem 10cm de
diâmetro.
Tabela 4.2 - Características do solo
γ (MN/m) 0.019K 0.0
E (MN/m) 50.0ν 0.3
c (MN/m) variávelφ (º) 30
Primeiramente, fez-se o estudo para diversos valores de coesão em uma MEF com e
sem reforço. No reforço analisado, nesta primeira fase, não foi considerada a rigidez à flexão.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
112
Com a determinação de um valor de coesão limite para o qual o maciço grampeado
(reforço sem rigidez à flexão) não seja levado a convergência muito, pode-se , para este valor
de coesão, analisar um reforço levando em conta a rigidez à flexão e observar a convergência.
Figura 4.36 – MEF antes da escavação
Figura 4.37 – MEF após escavação
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
113
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0 1000 2000 3000 4000 5000
Nº DE ITERAÇÕES
FOR
ÇA
DE
SV
IAD
OR
A
C=0MPa C=0,3MPa C=0,03MPa
C=0,01MPa C="0,03MPa - SEM REFORÇO" C=0,001MPa
C=0,003MPa C=0,002MPa C=0,0025MPa
Figura 4.38 – variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para diversos
valores de coesão (convergência do método)
Pela observação da
Figura 4.38, pode-se notar que há convergência do método para o maciço sem reforço quando
a coesão é maior que 0,03MPa. Não há convergência do método para um maciço reforçado
(reforço sem rigidez à flexão) quando a coesão está em torno de 0,0025MPa.
A
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
114
Figura 4.39 trás a comparação da convergência do método para um maciço reforçado através
de grampos com e sem rigidez à flexão para um solo com coesão de 0,0025MPa.
C=0,0025MPa
0
0.01
0.02
0.03
0 1000 2000 3000 4000 5000
Nº DE ITERAÇÕES
FO
RÇ
A D
ES
VIA
DO
RA
SEM RIGIDEZ À FLEXÃO COM RIGIDEZ À FLEXÃO
Figura 4.39 – variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para coesão
que leva o maciço reforçado (grampo com e sem rigidez à flexão) ao colapso
(convergência do método)
Com base nestes resultados tentou-se determinar uma coesão limite a partir da qual o
solo rompia mesmo tendo um reforço com rigidez à flexão.
Analisou-se solos com coesão menores do que 0,0025MPa. Pela
Figura 4.40 pode-se notar que não há convergência para solos com coesão abaixo de
0,001MPa.
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
115
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0 1000 2000 3000 4000 5000
Nº DE ITERAÇÕES
FO
RÇ
A D
ES
VIA
DO
RA
C = 0,002MPa C = 0,001MPa
Figura 4.40 - variação da força desequilibrada em cada passo de iteração para coesão a
partir de 0,0025MPa que leva o maciço reforçado (grampo com rigidez à flexão) ao
colapso (convergência do método)
Para o mesmo caso, tentou avaliar qual seria a carga de ruptura para um solo com e
sem reforço. Para isto analisou-se o talude sem reforço aumentando-se a carga até atingir a
ruptura e a partir desta carga introduziu-se o reforço e continuou-se aumentando a carga até
romper novamente a estrutura. Os deslocamentos no pé do talude, no primeiro estágio de
carga com reforço, foram reduzidos de 83% em relação aos deslocamentos no pé do talude
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
116
neste mesmo estágio só que sem reforço. O que comprova a eficiência dos grampos na
estabilização.
Isto pode ser verificado observando as figuras (Figura 4. 41 e Figura 4. 42)a seguir. A
carga foi aumentada de cerca de 10 vezes para que o talude com reforço rompesse em relação
à carga suportada pelo talude sem reforço.
Figura 4. 41 - Função de plastificação do maciço sem reforço (carga = 0.1MN/m)
Capítulo IV 4.2 Exemplos de Apl cação
117
Figura 4. 42 - Função de Plastificação do maciço com reforço - 1” (carga = 0.1MN/m)
CAPÍTULO V
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Os exemplos analisados comprovam a eficiência e eficácia do modelo implementado
em análise de estruturas grampeadas. Lançando mão da técnica da Relaxação Dinâmica, os
problemas de contenção podem ser resolvidos através da inclusão “fictícia” dos reforços na
malha, sem a necessidade de se criar uma nova malha, a cada análise.
Este modelo possibilita convergência mais rápida por causa da imposição de um
amortecimento global ao sistema. Consideramos, ainda, a possibilidade de ruptura nas
interfaces solo/nata, nata/reforço e no próprio reforço (por flexo-tração).
A inclusão de grampos num maciço terroso é eficiente, pois reduz, consideravelmente,
as deformações (deslocamentos) no maciço. O efeito do reforço é equivalente ao aumento de
tensão confinante ou da coesão do maciço terroso.
Testes preliminares comprovaram que a inclinação dos grampos mais eficiente é a de
0° (horizontal), devido a observação da redução de deslocamentos na face da escavação e na
superfície (topo) do talude.
Através de estudos preliminares sobre a influência da rigidez dos reforços no
comportamentos dos muros reforçados conclui-se que:
• quanto maior for a rigidez dos reforços maior é a eficácia destes na restrição das
deformações de tração do solo;
• verifica-se a ocorrência de um aumento dos esforços nas inclusões e, naturalmente,
uma redução do estado de deformação do maciço reforçado e dos deslocamentos
da face à medida que a rigidez dos reforços aumenta;
• no caso de reforços deformáveis, ocorre uma elevada mobilização da resistência
intrínseca dos solos, ou seja, tira-se partido quase integralmente da resistência dos
solos o que, pelo contrário, não acontece no caso das inclusões serem rígidas.
• a rigidez à flexão dos grampos tem considerável importância quando o talude está
próximo à ruptura.
Capítulo V 5 Conclusões e sugestões
119
Como foi verificado, realmente, o efeito da inclusão de reforços no maciço é
semelhante ao aumento das tensões confinantes em amostras ensaiadas em aparelhos triaxiais,
pois ocorre um aumento considerável das tensões horizontais.
Os solos brasileiros, especificamente os saprolíticos, parecem ser muito adequados
para aplicação da técnica do solo grampeado. Logo, sugere-se o estudo mais detalhado da
aplicação de fibras metálicas ou sintéticas em substituição às telas por trazer vantagem no
aspecto prático de aplicação, de resistência e de permeabilidade do concreto.
Ainda, como sugestões para trabalhos futuros, podemos citar o seguinte:
• realização de ensaios de laboratório e monitoramento de estruturas in situ para que
possa se comparar os resultados numéricos com os adquiridos no campo, o que já
está sendo realizado por Feijó (1999);
• utilização da otimização para encontrar os parâmetros ideais de projeto para o
grampo;
• efetuar uma extensão para a análise tridimensional;
• fazer análises de estruturas grampeadas considerando o solo como material não
saturado. Isto pode ser realizado com a aplicação do modelo de Alonso (solos não
saturados), já implementado no programa;
• tentar simular a estabilização de taludes por vegetação (efeito das raízes no
processo de estabilização) através de análises com inclusões passivas para
superfícies rasas de ruptura. Já que a vegetação pode desempenhar um papel
importante de elemento estabilizante, se o processo de desestabilização for,
predominantemente por perda de sucção;
• simular o revestimento da face do talude através da inclusão de um reforço vertical
nesta interface e usar da possibilidade de pretensionamento do grampo afim de
garantir sua interação com a parede;
• estudar o comportamento mecânico de estruturas de contenção mistas;
• considerar, no caso de estruturas reais, o contorno da malha em elementos infinitos
ou aplicar a distância mínima das bordas ao topo do talude escavado propostas por
Lim e Briaud:
4*D para a borda oposta a escavação e 4*(He + D) para a borda do lado
escavado.
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APÊNDICE A
DETERMINAÇÃO DO DESLOCAMENTO EQUIVALENTE (D EQ):
Seja uma inclusão, localizada no centro de um maciço, com carregamento linearmente
distribuído (Fy) aplicado na direção axial ao seu eixo, como mostrado na Figura A.1:
Figura A.1 – Geometria e condições de contorno do problema analisado
A solução analítica para o problema proposto no capítulo IV e visualizado
através da Figura A.1 acima é apresentada a seguir passo a passo.
A. 1 – Determinação do Deslocamento sofrido pelo maciço:
Pela Teoria da Elasticidade (Chou & Pagano, 1967) determina-se a deformação
específica na direção do eixo OY sofrida pelo maciço.
Apênd ce A A.1 Determ nação do Deslocamento sofr do pelo mac ço
129
( )[ ]zx2y2
y E1 σ+σ⋅ν−σ⋅=ε A.1
0.0x =σ A.2
( )xy2z σ+σ⋅ν=σ A.3
1LAREA ⋅= A.4
AREA
Fyy =σ A.5
Sendo,
AREA - Área da superfície onde Fy está aplicada;
L - Largura do topo e da base da maciço;
Fy - Carga aplicada uniformemente distribuída;
εy - Deformação específica;
E2 - Módulo de Elasticidade do maciço;
ν2 - Coeficiente de Poisson do maciço;
σx, σy e σz - Tensões Normais aos respectivos planos cartesianos YOZ, XOZ e XOY, veja
Figura A.2.
O
x
y
z
σy
σx
σz
Figura A.2 – Tensões Normais aos Planos cartesianos
Apênd ce A A.2 Determ nação do Deslocamento sofr do pelo reforço
130
Uma vez conhecida a deformação específica (εy) pode-se calcular o deslocamento
(DYM), na direção do eixo OY, sofrido pela malha, a partir da seguinte equação:
yYM LD εε⋅= A.6
Sendo:
L - Comprimento do maciço na direção y
A. 2 – Determinação do Deslocamento sofrido pelo GRAMPO:
Pela Teoria da Elasticidade (Chou & Pagano, 1967) determina-se a deformação
específica na direção do eixo OY sofrida pelo GRAMPO, sob ação do mesmo carregamento
uniformemente distribuído (Fy) a que está sujeito o maciço.
Ey
y
σσεε = A.7
Como,
ARSECAO
F yy =σσ A.8
Então,
ARSECAOE
F yy ⋅
=εε A.9
Sendo,
ARSECAO - Área da seção transversal do GRAMPO;
Fy - Carga aplicada uniformemente distribuída;
E - Módulo de Elasticidade do aço.
Apênd ce A A.3 Determ nação do Deslocamento Equ valente
131
Uma vez conhecida a deformação específica (εy) pode-se calcular o deslocamento
(DYI), na direção do eixo OY, sofrido pela inclusão, a partir da seguinte equação:
yYI LD εε⋅= A.10
A.3 – Determinação do Deslocamento Equivalente:
Finalmente, como os materiais ensaiados (maciço e inclusão) estão associados em
paralelo, pode-se determinar o deslocamento analítico sofrido por associação através da
seguinte equação A.11:
YIYM
EQ
DD
D11
1
+=
A.11
Sendo,
DEQ - Deslocamento Equivalente para a associação em paralelo entre o maciço e a inclusão.
