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Análise Numérica - M.Carpentier

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Analise Numerica - M.Carpentier

Text of Análise Numérica - M.Carpentier

  • ANALISE NUMERICA

    MICHEL P. J. CARPENTIER

    Fevereiro 1993

    Departamento de Matematica Instituto Superior Tecnico U. T. L.

  • Indice

    ndice i

    Prefacio v

    1 Teoria dos erros 1

    1.1 Representacao dos numeros no computador . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Erros na representacao em vrgula flutuante . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Operacoes aritmeticas em vrgula flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Propagacao dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.4.1 Propagacao dos erros em operacoes elementares . . . . . . . . . 10

    1.4.2 Mau condicionamento e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2 Equacoes nao lineares 25

    2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2 Metodos da bisseccao e da falsa posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.2.1 Metodo da bisseccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2.2 Metodo da falsa posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3 Metodos da secante e de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3.1 Metodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3.2 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.3.3 Criterio de convergencia para os metodos da secante e de Newton 42

    2.4 Iteracao do ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.4.1 Convergencia do metodo iterativo do ponto fixo . . . . . . . . . 44

    2.4.2 Modificacao do metodo de Newton para zeros multiplos . . . . . 51

    2.4.3 Criterios de paragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.4.4 Aceleracao de Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    i

  • ii Indice

    2.5 Zeros de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.5.1 Localizacao dos zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2.5.2 Metodo de Newton para equacoes algebricas . . . . . . . . . . . 61

    2.6 Precisao no calculo de zeros multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3 Sistemas de equacoes 69

    3.1 Eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.2 Pesquisa de pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.3 Variantes da eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.3.1 Metodos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.3.2 Metodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    3.4 Analise de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    3.4.1 Normas de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    3.4.2 Numero de condicao de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.4.3 Metodo da correccao residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.5 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    3.5.1 Metodos de Jacobi e de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . 98

    3.5.1.1 Metodo de Jacobi (substituicoes simultaneas) . . . . . 99

    3.5.1.2 Metodo de Gauss-Seidel (substituicoes sucessivas) . . 100

    3.5.2 Criterios de convergencia dos metodos iterativos . . . . . . . . . 103

    3.5.2.1 Convergencia dos metodos iterativos . . . . . . . . . . 103

    3.5.2.2 Convergencia dos metodos de Jacobi e Gauss-Seidel . . 105

    3.5.3 Metodo de relaxaccao SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    3.6 Sistemas de equacoes nao lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    3.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    4 Interpolacao Polinomial 123

    4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    4.2 Formula interpoladora de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    4.3 Formula de Newton. Diferencas divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    4.4 Erro de interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    4.5 Nos igualmente espacados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    4.6 Nos de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    4.7 Interpolacao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

  • Indice iii

    4.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    5 Aproximacao dos mnimos quadrados 161

    5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    5.2 Sistema de equacoes normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    5.2.1 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    5.2.2 Caso contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    5.2.3 Mau condicionamento do sistema normal . . . . . . . . . . . . . 171

    5.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    6 Integracao numerica 175

    6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    6.1.1 Metodo dos coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 177

    6.2 Formulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    6.2.1 Regra dos trapezios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    6.2.2 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    6.2.3 Formulas de graus superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    6.3 Formulas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

    6.3.1 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    6.3.2 Formulas de Gauss-Legendre. Erro de integracao . . . . . . . . 190

    6.4 Integracao adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    6.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    7 Equacoes diferenciais 203

    7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    7.2 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    7.2.1 Majoracao do erro e convergencia do metodo de Euler . . . . . . 207

    7.3 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    7.4 Metodos multipasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

    7.4.1 Metodos de Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

    7.4.2 Metodos de Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

    7.4.3 Metodos preditor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    7.4.4 Outros metodos multipasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    7.5 Comparacao dos varios metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    7.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

  • iv Indice

    Bibliografia 221

    Resolucao dos problemas 223

  • Prefacio

    Com estes apontamentos de Analise Numerica pretendemos apresentar umelemento basico para o estudo das disciplinas de Analise Numerica que sao actual-mente lecionadas no IST.

    Na resolucao de um problema em engenharia e em outras ciencias e geral-mente possvel distinguir tres fases: (1) a formulacao matematica do problema, (2)a escolha de um metodo ou combinacoes de metodos analticos e numericos para re-solver o problema formulado, e (3) o calculo numerico da solucao. Basicamente ummetodo numerico e um conjunto ordenado de operacoes aritmeticas e logicas, funda-mentado em teoremas da analise matematica, que conduz a` solucao de um problemamatematico. A um metodo numerico esta pois associado um algoritmo. A construcaode metodos numericos e a escolha apropriada destes metodos para a resolucao de umdeterminado problema constitui o campo da analise numerica.

    O aparecimento dos computadores veio possibilitar calculos numericos ateentao humanamente impossveis, o que teve como reflexo o desenvolvimento de novosmetodos numericos e a adaptacao dos ja existentes a` nova realidade. Desde entao aanalise numerica desenvolveu-se como ciencia propria contribuindo para a resolucaodos mais variados problemas. Baseada na analise matematica classica, a analisenumerica desenvolveu por sua vez uma teoria propria: a analise de erros. Ummetodo numerico deve ser acompanhado de um estudo sobre majoracoes de erros,convergencia, escolha do passo, estabilidade, etc.; e para cada problema deve-se saberalgo acerca do seu bom ou mau condicionamento.

    Dado que a escolha de um metodo numerico se situa entre a formulacaomatematica do problema e a concretizacao dos calculos, geralmente efectuados comuma maquina, a analise numerica requere por um lado conhecimentos teoricos sobreo problema a resolver e por outro experiencia computacional. Para escolher dentrode varios metodos numericos o mais indicado a` resolucao de um determinado pro-blema devemos saber como estes se deduzem e por conseguinte os seus domnios deaplicacao e suas limitacoes; como ja referimos devemos fazer as respectivas analises deerros e devemos, em certos casos, estimar o numero de operacoes a efectuar em cadametodo. Uma vez escolhido um metodo numerico devemos construir um algoritmoassociado a este. Este algoritmo devera conter os principais passos do metodo epermitir ao programador traduzi-lo num programa inteligvel para o computador.Na hipotese de varios metodos numericos poderem conduzir a` resolucao do mesmoproblema com a precisa