ANÁLISE NUMÉRICA

Exercícios1. A equação ex – x – 2 = 0 tem uma única raiz no intervalo [1,2] (confirme

analiticamente).

Para a determinação dessa raiz pretende-se utilizar o método do ponto fixo, com uma

das seguintes funções iteradoras:

g1(x) = ex – 2, g2(x) = ln(x + 2), g3(x) = x – 0.1(ex – x –2)

(a) Verifique que os pontos fixos de g1(x), g2(x) e g3(x) coincidem com as raízes da

equação dada.

(b) Indique, justificando, para quais das funções consideradas está garantida a

convergência do método qualquer que seja a aproximação inicial dentro do intervalo

[1,2].

(c) Das funções consideradas na alínea anterior, qual é aquela que, em princípio, garante

a convergência mais rápida? Utilizando essa função efectue as duas primeiras iterações.

2. Para determinar a raiz da equação x + ln x = 0, situada no intervalo [0.5,0.6],

considere-se o seguinte método iterativo:

1

)(

1 ++

=−

+ ββ nx

nn

exx , β∈ℜ

(a) Com β=1, prove que está assegurada a convergência do método, qualquer que seja x0

∈ [0.5,0.6].

(b) Efectue 2 iterações, trabalhando com 4 algarismos significativos e partindo de

x0=0.5.

3. Pretende-se determinar uma raiz da equação x = φ (x) pelo método do ponto fixo

com erro absoluto inferior a 0.5×10-4. Suponha que foram obtidas as iteradas

x4 = 0.43789 x5 = 0.43814.

Sabendo que |φ ‘ (x)| ≤ 0.4, determine o número de iterações que tem ainda de se

efectuar até atingir a precisão pretendida.