Ângulos

Dimas Crescencio

Arcos e Ângulos

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Recordando alguns conceitos...

A

B

O

A B

Oarco AB

• arco geométrico: é uma das partes da

circunferência delimitada por dois pontos. Se

os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo

ou arco de uma volta.

Arcos e Ângulos

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• arco e ângulo central: todo arco de

circunferência tem um ângulo central que o

subtende.

AO

B

CO

D

arco: ABângulo central: AÔB

arco: CD

ângulo central: CÔD

Arcos e Ângulos

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• comprimento da circunferência de raio r: C= r.2π

• comprimento e medida de arco: a medida de

um arco é a medida do ângulo central que o

subtende, independentemente do raio da

circunferência que contém o arco. Usam-se

geralmente unidades como o grau e o radiano

para medir arcos.• O comprimento do arco é a medida linear do

arco, sendo usadas unidades como “metro”,

“centímetro”, etc.

Unidades para medir arcos

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• Grau: quando dividimos uma circunferência

em 360 partes congruentes, cada uma dessas

partes é um arco de um grau (1°).Considere o arco AB, que vai de A para B no

sentido anti-horário:

arco: AB de 90°

(um quarto de volta)

arco: AB de 180°

(meia volta)

arco: AB de 270°

(três quartos de volta)

arco AB de 360° ou 0°

(volta inteira ou nulo)

A

B

A BAA B

B

Conversão de unidades

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Sabe-se que um ângulo de radianos equivale

a um ângulo de 180°.

π

radianos? 4

3 em temos graus quantos Então,π

radianos? 6

em Eπ

135xx.345

.x4

.3180

x4

3

180

ππ

ππ

ππ

03yy30

.y6

.180

y6

180

ππ

ππ

π

π

Exercícios

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1) Converta em graus:

rad 3

2 c)

rad 4

b)

rad 6

5 a)

π

π

π

2) Converta em radianos:

240 c)

330 b)

300 a)150

45

120

rad 3

5

rad 6

11

rad 3

4

Medindo arcos

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O método mais prático para se medir arcos é

fazendo uma regra de três simples. Para isso,

algumas informações que já vimos são muito

importantes, vamos enfatizá-las novamente:

• O comprimento C da circunferência de raio r é

dado por:

• 1 rad = 180°

r2C π

π

rad 8

5 a)

π

Exemplos

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Calcule as medidas dos arcos AB a seguir

dessa circunferência cujo raio mede 5 cm.

30 b)

B

A

B

A

Resolução

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cm8

25

8

cm) (55

8

r5AB

rad8

5

AB

rad 2

r2 a)

πππ

ππ

π

cm6

5

6

rAB

12

r2AB

360

r.302ABr.302AB360

30

AB

360

r2 b)

πππ

ππ

π

Exercício

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Qual seria, em radianos, a medida do ângulo

central correspondente a um arco de

comprimento 15 cm contido numa circunferência

de raio 3 cm?

Resolução

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

x

15

rad 2

r2

π

π

O comprimento de uma circunferência de raio r

é dado por .r2π

Um ciclo completo tem a medida

do ângulo central de radianos. 2π

Sabemos que o

arco mede 15 cm.

Acharemos o ângulo x, em

radianos, para esse arco.

rad. 5x3)2

rad (15)2x

(π

π

Exercício

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Qual é o comprimento de um arco

correspondente a um ângulo central de 45°

contido numa circunferência de raio 2 cm?

Resolução

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Sabemos que o comprimento de uma

circunferência de raio r é dado por . Isso,

para um ciclo completo, ou seja, 360°. Como

temos 45°, vamos fazer uma regra de três e

descobrir o valor x desse arco:

r2π

45

x

360

r2π

cm 24

(2)

4

r

8

r2

360

r.452x

πππππ

Resolução

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Poderíamos resolver isso de forma mais

rápida, pois sabemos que 45° representa um

oitavo de volta, então, é só dividir o

comprimento de uma volta por oito para achar

esse arco, sem precisar fazer regra de três.

cm 24

(2)

4

r

8

r2x

ππππ

Exercício

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O ponteiro dos minutos de um relógio de

parede mede 12 cm. Quantos centímetros sua

extremidade percorre durante 25 minutos?

Resolução

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Vamos ilustrar a situação para facilitar o nosso

entendimento:

raio: 12 cm

Faremos a regra de três, já que

sabemos que o ponteiro percorreu

150° (30° a cada 5 minutos).

12

r5.2

360

r.2150x

150

x

360

r2 πππ

cm6

60x

6

(12cm)5.x

ππ

A extremidade do ponteiro percorreu cm. 10

Exercício

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Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no

seu movimento, suas posições extremas

formam um ângulo de 60°. Qual o comprimento

do arco que a extremidade do pêndulo

descreve?

Resolução

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Mais uma vez, vamos ilustrar a situação para

facilitar a compreensão do enunciado:

30° 30°

60°

Pêndulo

Posições extremas do pêndulo

60

x

360

r2π

360

r.260x

π

O comprimento do arco que a extremidade do

pêndulo descreve mede

3

(15)x

6

(15)2 ππ

cm. 5x π

cm. 5π

Exercício

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Ao projetar prédios muito altos, os

engenheiros devem ter em mente o

movimento de oscilação, que é típico de

estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais

alto de um edifício de 400 m descreve um

arco de , qual é a medida do arco descrito

por esse ponto em metros?0,5

400m

(1/2)º

Resolução

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0,5°

400 m

Apesar de ser pequena, a

oscilação de 0,5° forma um arco.

Para acharmos sua medida,

aplicaremos a regra de três:

m. 9

10

36

40

360

(400)x

360

r

360

r.20,5x

0,5

x

360

r2

πππ

πππ

O arco descrito mede metros.9

10π