Apoio_01102009

Simetria e antissimetria

Estruturas sim etricas

Uma estrutura se considera simétrica quando se verificam, relativamente ao eixo (plano)de simetria, as seguintes condições:

• simetria de topologia (distribuição das barras);

• simetria na distribuição dos aparelhos de apoio;

• simetria na distribuição das libertações de esforços;

• simetria das propriedades mecânicas (E, ν);

• simetria das propriedades geométricas (I, A, A′).

Analise de Estruturas I – p.95/306

Estr. simétricas / carregamento simétrico

Estruturas sim etricas com carregamento sim etrico

Deformada e as reacções de apoio – simétricas



Campo de deslocamentos(simétrico)

• Pontos sobre o eixo de simetria:• rotação nula;• deslocamento perpendicular ao eixo de

simetria nulo;• deslocamento paralelo ao eixo de simetria, em

geral, não nulo.

• Pontos fora do eixo de simetria:• rotação igual mas no sentido inverso da do

seu simétrico;• deslocamento perpendicular ao eixo de

simetria igual mas no sentido inverso ao doseu simétrico;

• deslocamento paralelo ao eixo de simetriaigual e no mesmo sentido ao do seu simétrico.

rotação nula

deformada simétrica



Campo de esforcos(simétrico excepto o esforço transverso)

• Barras coincidentes com o eixo de simetria:• diagrama do momento flector (M ) nulo;• diagrama do esforço transverso (V ) nulo;• diagrama do esforço axial (N ), em geral, não

nulo.

• Barras não coincidentes com o eixo de simetria:• diagrama do momento flector (M ) simétrico,

em traçado;• diagrama do esforço transverso (V )

antissimétrico, em valor;• diagrama do esforço axial (N ) simétrico, em

valor.

V

N

=0

− −

−

−

− +

− −++

M



Simplificac oes na an aliseEstuda-se apenas meia-estrutura. Simula-se a actuação da outra meia-estrutura daseguinte forma:

• Nas barras coincidentes com o eixo de simetria liberta-se o momento flector;

• As barras coincidentes com o eixo de simetria devem ser consideradas commetade da sua rigidez axial (EA/2);

• Sempre que a estrutura intercepta o eixo de simetria devem ser colocadosencastramentos deslizantes que permitam os deslocamentos segundo o eixo desimetria;

• As cargas aplicadas no eixo de simetria que tenham a direcção do eixo desimetria devem ser consideradas com metade do seu valor.

Observac ao• Nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o esforço normal obtido quando

se analisa a meia-estrutura, corresponde a metade do valor existente na estruturaoriginal.



Exemplos

EA

FP

qqP

q qF F

F Fq

qP

F/2

EA/2

Fq

Fq



Exemplos

EA EA/2

F F F

qq


Estr. simétricas / carr. antissimétrico

Estruturas sim etricas com carregamento antissim etrico

Deformada e as reacções de apoio – antissimétricas



Campo de deslocamentos(antissimétrico)

• Pontos sobre o eixo de simetria:• rotação, em geral, não nula;• deslocamento perpendicular ao eixo de

simetria, em geral, não nulo;• deslocamento paralelo ao eixo de simetria,

nulo;

• Pontos fora do eixo de simetria:• rotação igual e no mesmo sentido ao do seu

simétrico;• deslocamento perpendicular ao eixo de

simetria igual e no mesmo sentido ao do seusimétrico;

• deslocamento paralelo ao eixo de simetriaigual mas no sentido inverso da do seusimétrico.

deformada antissimétrica

deslocamento vertical nulo



Campo de esforcos(antissimétrico excepto o esforço transverso)

• Barras coincidentes com o eixo de simetria:• diagrama do momento flector (M ), em geral,

não nulo;• diagrama do esforço transverso (V ), em geral,

não nulo;• diagrama do esforço axial (N ) nulo.

• Barras não coincidentes com o eixo de simetria:• diagrama do momento flector (M )

antissimétrico, em traçado;• diagrama do esforço transverso (V ) simétrico,

em valor;• diagrama do esforço axial (N ) antissimétrico,

em valor.

V

N =0−

M

−+

+

+ +

+

−



Simplificac oes na an aliseEstuda-se apenas meia-estrutura. Simula-se a actuação da outra meia-estrutura daseguinte forma:

• Nas barras coincidentes com o eixo de simetria liberta-se o esforço axial;

• As barras coincidentes com o eixo de simetria devem ser consideradas commetade da sua rigidez de flexão e corte (EI/2 e GA∗/2);

• Sempre que a estrutura intercepta o eixo de simetria devem ser colocados apoiosmóveis que impeçam os deslocamentos segundo o eixo de simetria;

• As forças aplicadas no eixo de simetria que tenham a direcção perpendicular aodo eixo de simetria ou os momentos aplicados no eixo de simetria, devem serconsideradas com metade do seu valor.

Observac ao• Nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o esforço transverso e o

momento flector obtidos quando se analisa a meia-estrutura, correspondem ametade dos valores existentes na estrutura original.



Exemplos

Pq

P

F

F

qP

Fq

F

EI, GA*

HM

q

M/2

EI/2, GA*/2

H/2

Fq

q

q

q

deslocamento nulo

F

q



Exemplos

EI, GA* EI/2, GA*/2

F F

q

F

q

q


Estr. simétricas / carr. assimétrico

É sempre possível decompôr o carregamento assimétrico nas suas parcelas simétrica eantissimétrica.

Desde que seja válida a sobreposição dos efeitos (linearidade física e geométrica), épossível decompôr o comportamento de uma estrutura simétrica sujeita a umcarregamento assimétrico na soma dos efeitos devidos à parcela simétrica e à parcelaantissimétrica do carregamento.

A parcela simétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma de metade docarregamento com o complemento simétrico da metade do carregamento.

A parcela antissimétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma de metadedo carregamento com o complemento antissimétrico da metade do carregamento.



Exemplos

L1 L2 L2 L1

qP

MQ

a

α = 3 ∗ 3 − 7 = 2

Tomando em conta o carregamento, a reacção horizontal na rótula é nula e portanto aestrutura pode ser considerada simétrica.

L1 L2 L2 L1

qP

MQ

a

(α = 2)ligações mal distribuídas

α = 3 ∗ 3 − 8 = 1



L1 L2 L2 L1

q/2P/2

M/2Q/2

a

metade do carregamento

L1 L2 L2 L1

q/2

a

P/2M/2Q/2

complemento simétrico de metade docarregamento

L1 L2 L2 L1

q/2

a

P/2M/2Q/2

complemento antissimétrico de metadedo carregamento



Parcela sim etrica

L1 L2 L2 L1

q/2

a

P/2M/2Q/2

L1 L2 L2 L1

L1 L2 L2 L1

Pq/2

Q/2q/2

P/2Q/2 Q/2q/2

simplificação

α = 3∗2 − 5 = 1

q/2

a

P/2M/2 Q/2



Parcela antissim etrica

L1 L2 L2 L1

L1 L2 L2 L1 L1 L2 L2 L1

(α = 1)ligações mal distribuídas

q/2Q/2

q/2Q/2 Q/2

q/2

simplificação

α = 3∗2 − 6 = 0

q/2

a

P/2M/2 Q/2

q/2

a

P/2M/2Q/2

M M/2



Exemplos

M/2

P/2

q/2

EA/2

EA/2

P

Q

Mq

M/2

P/2

q/2

EI/2, GA*/2

EI/2, GA*/2

Q/2

α = 3∗4 − 5 − 5 = 2 α = 3∗4 − 7 − 4 = 1

α = 3∗4 − 5 − 4 = 3

parcela simétrica parcela antissimétrica


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