APONTAMENTOS DE VIBRAESMECNICAS

Anlise de Estruturas 2Mestrado Integrado em Engenharia Civil

&Mestrado em Engenharia Civil (Reabilitao de Edifcios)

Ano lectivo 2009/2010

Estes apontamentos foram retirados dos textos de apoio da disciplina deMecnicaAplicada II, do antigo curso de Licenciatura em Engenharia Civil, da autoria doProf. Corneliu Cismasiu.

i

ii

Contedo

1 Vibraes mecnicas 11.1 Vibraes no amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Vibraes livres. Movimento harmnico simples . . . . .21.1.2 Vibraes foradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Vibraes amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.1 Vibraes livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.2 Vibraes foradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iii

Captulo 1

Vibraes mecnicas

Uma vibrao mecnica o movimento de uma partcula ou de um corpo queoscila em torno de uma posio de equilbrio.

O estudo que se segue ser limitado a sistemas com apenas um grau de liberdade.

Uma vibrao mecnica surge geralmente quando um sistema deslocado da suaposio de equilbrio estvel. Em geral, quando o sistema tende voltar sob a ac-o de foras de restituio, ultrapassa esta posio. A repetio deste processo chamado movimento oscilatrio. O intervalo de tempo necessrio para o sis-tema completar um ciclo de movimento chama-se perodo de vibrao. O nmerode ciclos por unidade de tempo define a frequncia, e o deslocamento mximodo sistema medido a partir da sua posio de equilbrio chama-se amplitude devibrao.

Vibraes:

livres: movimento mantido apenas por foras de restituio;

foradas: quando uma fora peridica aplicada ao sistema;

no amortecidas: quando se pode desprezar o atrito - o movimentocontinua indefinidamente;

amortecidas: a amplitude decresce lentamente at que, passado umcerto tempo, o movimento cessa.

1

CAPTULO 1. VIBRAES MECNICAS

1.1 Vibraes no amortecidas

1.1.1 Vibraes livres. Movimento harmnico simples

Considere-se uma partcula de massam ligada a uma mola de constante de rigi-dezk.

molaindeformada

equilbrioesttico

est

Fe

P

(a) (b) (c)

P

Fe

x

Quando a partcula se encontra na posio de equilbrio esttico (b),

Fx = 0 P Fe = 0

Mas, nesta posio, a fora elstica Fe = kest, ondeest representa a deforma-o esttica da mola, resultando

P = kest

Numa posio arbitrria (c),

Fx = max P Fe = mx

mx = P k (est + x) = P kest

0

kx

mx + kx = 0

ou, dividindo pela massa,

x + 2x = 0 com2 km

(1.1)

O movimento definido pela equao (1.1) e um movimento harmnico simples. Asoluo desta equao diferencial homognea de tipoet,

x = et x = et x = 2et

p.2 Captulo 1

1.1. VIBRAES NO AMORTECIDAS

(2 + 2

)et = 0 t 2 + 2 = 0 . . . eq. caracterstica

Como soluo da equao caracterstica

1,2 = i

a soluo da equao diferencial uma combinao linear de funes de tipoet,

x(t) = C1e1t + C2e

2t = C1eit + C2e

it

ondeC1 e C2 so constantes arbitrrias que podem ser obtidas da imposio dascondies iniciais do movimento (deslocamento e velocidade inicial).

Usando a bem conhecida frmula de Euler, que liga o nmero irracionale dasfunes trigonomtricas,

eix = cos x i sin x

a soluo da equao diferencial pode ser escrita,

x(t) = C1 (cos t i sin t) + C2 (cos t + i sin t)

x(t) = (C1 + C2) cos t + i(C2 C1) sin t = A cos t + B sin t

ondeA e B so constantes arbitrrias que podem ser obtidas da imposio dascondies iniciais.

A forma acima equivalente a

x(t) = Xm sin(t )

ondeXm e so a amplitude e o desfazamento do movimento oscilatrio, gran-dezas estas que devem ser determinadas das condies iniciais.Para mostrar que as duas formas so equivalentes, usa-se a frmula trigonom-trica,

sin(a b) = sin a cos b sin b cos a

Ento,

A cos t + B sin t = Xm sin(t ) = Xm (sin t cos sin cos t)

A cos t + B sin t = Xm sin cos t + Xm cos sint t

{

A = Xm sin B = Xm cos

Xm =

A2 + B2 =

{ + arctanA

B, seB < 0

arctanAB

, seB 0

p.3 Captulo 1

CAPTULO 1. VIBRAES MECNICAS

Resumindo, o movimento harmnico simples definido pela equao diferencial

x + 2x = 0

cuja soluo geral pode ter uma das seguintes formas,

x(t) = C1eit + C2e

it

x(t) = A cos t + B sin t

x(t) = Xm sin(t )Nestas equaes,

=

k

mrad/s

denomina-se por frequncia (circular) do movimento oscilatrio. O tempo neces-srio para a partcula descrever um ciclo completo chama-seperodo,

T =2

s

enquanto o nmero de ciclos descritos na unidade de tempo, denomina-se porfrequncia natural,

=1

T=

2Hz

-XM

XM

t

T

A velocidade e a acelerao da partcula resulta pela definio,

x(t) = Xm sin(t ) xmx = Xm

x(t) = Xm cos(t ) xmx = Xmx(t) = 2Xm sin(t ) = 2x(t) xmx =

2Xm

Qualquer seja a forma sob a qual apresentada a soluo da equao diferencial,esta envolve duas constantes a determinar pela imposio das condies iniciais,ou seja, o deslocamento e a velocidade inicial da partcula.

p.4 Captulo 1

1.1. VIBRAES NO AMORTECIDAS

Admitindo a soluo e as condies iniciais,

x(t) = Xm sin(t ) x(0) = x0 e x(0) = v0resulta, {

x(0) = x0x(0) = v0

{

Xm sin = x0Xm cos = v0

Xm =

x20+(v0

)2

= arctan x0

v0

Pndulo simples (soluo aproximada)

Seja um pndulo simples formado por uma esfera demassam ligada a uma corda de comprimentol, quepode oscilar num plano vertical. Pede-se para deter-minar o perodo das pequenas oscilaes (ngulo in-ferior 10).

Ft = mat

mg sin = ml + gl

sin = 0~P

~T

l

m

Para pequenas oscilaes,

sin + gl

= 0

(t) = m sin(t ) com =

g

lT =

2

= 2

l

g

Exerccio(Beer 19.15)Um cursor com5 kg repousa sobre uma mola, no estando ligado a ela. Ob-

serva-se que, se o cursor for empurrado para baixo180 mm ou mais, perde ocontacto com a mola depois de libertado. Determine (a) a constante de rigidez damola e (b) a posio, a velocidade e a acelerao do cursor,0.16 s aps ter sidoempurrado para baixo180 mm e , depois, libertado.

m

kmg

Fex

x0equilbrio esttico

mola indeformada

p.5 Captulo 1

CAPTULO 1. VIBRAES MECNICAS

Numa posio qualquerx,

mx = mg Fe = mg k(x + x0) = kx + (mg kx0)

mas tomando em conta que na posio de equilbrio esttico

mg kx0 = 0

resulta

mx + kx = 0 x + 2x = 0

k

m

A soluo da equao diferencial pose ser escrita

x(t) = C1 sin t + C2 cos t

ondeC1 e C2 so constantes arbitrrias a determinar aplicando as condies ini-ciais:

x(0) = Xm C2 = Xm

x(0) = 0 C1 = 0 x(t) = Xm cos t

A velocidade a a acelerao sero dadas por,

x(t) = Xm sin t x(t) = 2Xm cos t

(a) Sabe-se que, quando o cursor perde o contacto com a mola a sua velocidade nula e a sua acelerao a acelerao gravitacional,

x(t1) = 0 sin t = 0 t1 =

x(t1) = g 2Xm cos = 2Xm = g

2 =g

Xm=

k

m k = mg

Xm

k =5 9.81

0.18= 272.5 N/m

(b)

=

g

Xm=

9.81

0.18 7.38 rad/s

x(0.16) = 0.18 cos(7.38 0.16) 0.068 mx(0.16) = 7.38 0.18 sin(7.38 0.16) 1.23 m/s

x(0.16) = 7.382 0.18 cos(7.38 0.16) 3.73 m/s2

p.6 Captulo 1

1.1. VIBRAES NO AMORTECIDAS

Exerccio(Beer 19.17)

Um bloco com35 kg est apoiado pelo conjunto de molasmostrado na figura. O bloco deslocado verticalmente parabaixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude domovimento resultante de45 mm, determine (a) o perodo efrequncia do movimento e (b) a velocidade e a aceleraomxima do bloco. Considerek1 = 16 kN/m,k2 = k3 =8 kN/m.

m

k1

k3k2

Determinar a constante de rigidez equivalente

posio de equilbrio (molas indeformadas)

F1

F2 F3P P

Fe

P = F1 + F2 + F3 = Fe (k1 + k2 + k3) = ke

ke = k1 + k2 + k3 = 16 + 8 + 8 = 32 kN/m

ou seja, o movimento do sistema dado equivalente ao movimento osci-latrio de um bloco de massam = 35 kg ligado auma mola de rigidezke = 32 kN/m.

(a)

=

kem

=

32000

35 30.237 rad/s

T =2

0.208 s = 1

T 4.81 Hz

(b)

x(t) = Xm sin(t )

xmx = Xm

xmx = 2Xm

xmx = 30.237 0.045 1.36 m/s

xmx = 30.2372 0.045 41.14 m/s2

p.7 Captulo 1

CAPTULO 1. VIBRAES MECNICAS

Exerccio(Beer 19.28)Sabe-se da mecnica dos materiais que quando uma carga esttica P aplicadana extremidadeB de uma viga encastrada com seco transversal uniforme, pro-voca uma flechaB = PL3/(3EI), em queL o comprimento da viga,E omdulo de elasticidade do material eI o momento de inrcia da seco transver-sal. Sabendo queL = 3.05 m, E = 200 GPa eI = 4.84 106 m4, determine(a) a constante de rigidez equivalente da viga e (b) a frequncia das vibraesverticais de um bloco com2313 N ligado extremidadeB da mesma viga.(Nota: 1 Pa = 1 N/m2, 1 GPa = 109 Pa)

L, EI B

A

P

B

P

ke

(a)

P = Fe = kB ke =P 3EI

PL3=

3EI

L3

ke =3 200 109 4.84 106

3.053 102.352 kN/m

(b)

=1

T=

2=

1

2

k

m=

1

2

kg

P

=1

2

102352 9.812313

3.316 Hz

Vibraes de corpos rgidos

No caso