apostiapostila físicala física

1

FIS 191

INTRODUO A MECNICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA

CENTRO DE CINCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FSICA

2

NDICE

REVISO DE MATEMTICA BSICA ----------------------------------------------------------------------- 03

EQUO DO SEGUNDO GRAU--------------------------------------------------------------------------------------- 03

TRINGULO RETNGULO--------------------------------------------------------------------------------------------- 04

CAPTULO 1- VETORES ---------------------------------------------------------------------------------------- 06

EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 06

EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 10

CAPTULO 2- MOVIMENTO RETILNEO ------------------------------------------------------------------- 12



CAPTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRS DIMENSES------------------------------------- 28



CAPTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO ---------------------------------------------------- 41

CAPTULO 5- APLICAES DASLEIS DE NEWTON -------------------------------------------------- 41



CAPTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINTICA ------------------------------------------------------ 69



CAPTULO 7- ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAO DA ENERGIA ------------------------ 76



CAPTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISES ----------------------------------------- 88



CAPTULO 11- EQUILBRIO ------------------------------------------------------------------------------------ 101



3

1. Equao do Segundo Grau: Uma equao quadrtica ou equao do segundo grau uma equao polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equao :

, onde x uma varivel, sendo a, b e c constantes, com a 0 (caso contrrio, a equao torna-se linear). As constantes a, b e c, so chamadas respectivamente de coeficiente quadrtico, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A varivel x representa um valor a ser determinado, e tambm chamada de incgnita. A equao quadrtica , antes de tudo, um polinmio do segundo grau, isto , tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definio "adiferente de zero (a 0)" o que caracteriza a equao de segundo grau, visto que a incgnita diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e

portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o e assim a equao passaria a ser linear. Para a resoluo de uma equao do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer frmula geral de resoluo:

Esta frmula tambm conhecida como frmula de Bhaskara. Na frmula acima, a expresso que aparece sob a raiz quadrada chamada de discriminante da equao quadrtica, e comumente denotada pela letra grega delta maisculo:

Dessa forma, pode-se reescrever a frmula resumidamente como:

Uma equao quadrtica com coeficientes reais tem duas razes reais, ou ento duas razes complexas. O discriminante da equao determina o nmero e a natureza das razes. H apenas trs possibilidades: (Lembrando que todo polinmio de grau n, tem n razes; Como uma equao do 2 grau de grau 2, logo ela possui duas razes.)

Se a equao tem duas razes reais distintas. No caso de equaes quadrticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado

perfeito, ento as razes so nmeros racionais em outros casos eles podem ser irracionais.

Se a equao tem duas razes reais e iguais, ou popularmente "uma nica raiz", algumas vezes chamada de raiz dupla:

Se a equao no possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas razes complexas distintas, que so conjugadas uma da outra:

e

onde i a unidade imaginria.

REVISO DE MATEMTICA BSICA

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_de_um_polin%C3%B4miohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_(matem%C3%A1tica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linearhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnitahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linearhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Deltahttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_perfeitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_perfeitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaishttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_imagin%C3%A1ria

4

Assim as razes so distintas se e somente se o discriminante no nulo, e so reais se e somente se o discriminante no-negativo.

Exemplo de resoluo de uma equao do segundo grau: 1) Encontre as razes da equao: 2x2 - 6x - 56 = 0 Aplicando a frmula geral de resoluo equao temos:

Observe que temos duas razes reais distintas, o que j era de se esperar, pois apuramos para o valor 484, que maior que zero. Logo: As razes da equao 2x2 - 6x - 56 = 0 so: -4 e 7.

Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx

2. Tringulo retngulo: Tringulo retngulo, em geometria, um tringulo que possui um ngulo reto (90) e outros dois ngulos agudos, e (Figura 1), e a soma dos trs ngulos internos igual a um ngulo raso (180). uma figura geomtrica muito usada na matemtica, no clculo de reas, volumes e no clculo algbrico. Em um tringulo retngulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ngulo agudo, possvel calcular a medida dos demais lados e ngulos. A rea de um tringulo retngulo dada pela metade do produto dos menores lados (ab/2). A relao entre os lados e ngulos de um tringulo retngulo a base da trigonometria.

2.1 . Teorema de Pitgoras: O Teorema de Pitgoras diz que:

A soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Pitgoras

ou, em linguagem matemtica, baseado na Figura 1:

hipotenusa (c) = cateto (a) + cateto (b)

Figura 1: Exemplo de um tringulo retngulo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1ticahttp://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspxhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulohttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_retohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

5

2.2 . Relaes trigonomtricas do tringulo retngulo: Outra maneira de calcular a medida dos lados de um tringulo retngulo atravs da medida de um ngulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relaes trigonomtricas so: Seno, Cosseno e Tangente. 2.2.1. Seno de um ngulo dado pela razo entre os lados que formam o outro ngulo agudo, dado pela ordem:

Exemplo: Para o tringulo retngulo da Figura 1, teramos:

casen e

cbsen

2.2.2. Cosseno de um ngulo

a razo entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e dado pela razo entre os lados que formam o prprio ngulo agudo, dado pela ordem:


cbcos e

cacos

2.2.3. Tangente de um ngulo

dada pela razo entre o Seno e o Cosseno de um ngulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:


batg e

abtg

Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Senohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Cossenohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tangentehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo

6

EXERCCIOS RESOLVIDOS

CAPTULO 1- VETORES

1.

2.

3.

7

4.

5.

8

6. 7.

10

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Um arco circular centrado no ponto de coordenadas .0,0 yx (a) Uma estudante

caminha ao longo desse arco da posio 0,5 ymx at uma posio final .5,0 myx Determine o vetor deslocamento da estudante. (b) Uma segunda estudante

caminha da mesma posio inicial ao longo do eixo x para a origem e, em seguida, ao longo do eixo y para .05 xemy Qual o vetor deslocamento da segunda estudante?

2. Para os dois vetores A

e B

mostrados na figura abaixo, cujos mdulos so iguais a 2 m,

determine o vetor resultante de: (a) BA

, (b) BA

, (c) BA

2 , (d) AB

, (e) AB

2 . 3. Um vetor A

possui mdulo de 8 m e faz um ngulo de 37 acima do eixo x positivo; o vetor

j(5m) -i3m)(B

; o vetor j(3m)i)6(C m

. Determine os seguintes vetores:

(a) CAD

, (b) ABE

, (c) BAF

2 , (d) um vetor G

tal que GCABG

32 . 4. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um plano horizontal (Figura

abaixo). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda est no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda girou meia volta. Quais so o mdulo e a orientao do vetor deslocamento do ponto P durante este intervalo de tempo?

5. Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, ento, navega

uma distncia adicional em uma direo desconhecida. A sua posio final a 5 km diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho desconhecido.

6. Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direo ao leste, em seguida 50 m em uma direo a 37 a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53 a oeste do sul. Aps um quarto deslocamento no medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Determine o quarto vetor deslocamento.

45

30

A

(2m)

B

(2m)

x

y

P

P

No instante t1 No instante t2

11

7. Trs vetores A

, B

e C

possuem as seguintes componentes nas direes x e y: Ax = 6 m, Ay = 3 m; Bx = 3 m, By = 4 m; Cx = 2 m, Cy = 5 m. (a) Expresse os vetores A

, B

e C

em

termos de vetores unitrios i

e j

. (b) Determine o vetor resultante CBAR

. (c) Determine o mdulo do vetor resultante. (d) Determine a orientao do vetor resultante.

8. Determine o mdulo, a direo e o sentido dos seguintes vetores: (a) jiA 35

,

(b) jiB 710

, (c) jiC 74

.

RESPOSTAS 1. a) jir 55

NoroesteOrientao

mrr,45:

07,7

b) jir 55

NoroesteOrientao

mrr,45:

07,7

2. a)

lestedonorteaOrientao

mBA

jiBA

5,7:

173,3

414,0146,3

b)

oestedonorteaOrientao

mBA

jiBA

5,82:

435,2

414,2318,0

c)


mBA

jiBA

4,21:

913,42

828,156,42

d)

lestedosulaOrientao

mAB

jiAB

5,82:

435,2

414,2318,0

e)

lestedosulaOrientao

mAB

jiAB

59:

982,32

414,305,22

3.a) lestedonorteaOrientaomD

jiD1,87:81,7

8,74,0

b) oestedosulaOrientaomE

jiE9,70:4,10

8,94,3

c) lestedonorteaOrientaomF

jiF5,88:81,14

8,144,0

d) lestedosulaOrientaomG

jiG9,65:18,3

9,23,1

4. jcmicmr )90()3,141( lestedonorteaOrientaocmrr 5,32:5,167

5. lestedonorteaOrientaokmC

jiC9,25:48,6

83,283,5

6. nordesteOrientaomD

jiD,45:7,70

5050

7. a)

jiC

jiB

jiA

52

43

36

b) jiR 65

c) mR 81,7 d) lestedonorteaOrientao 2,50:

8. oestedosulaOrientaoCc

lestedosulaOrientaoBblestedonorteaOrientaoAa

3,60:06,8)35:21,12)

31:83,5)

12

EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t = 0, suas respectivas velocidades

so v0 e 3v0 e suas respectivas aceleraes so 2a e a. Se no instante t = 0 o carro A est uma distncia D frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estaro lado a lado. Expresse sua(s) resposta(s) em funo de v0, a e D.

CAPTULO 2- MOVIMENTO RETILNEO

0

0

XA

XB

D

Carro A x0 (A) = D v0 (A) = v0 aA = 2a

Carro B x0 (B) = 0

v0 (B) =3v0 aB = a

A posio de uma partcula em movimento retilneo com acelerao constante dada por:

200 2

1 attvxx

Para o carro A temos: 20 attvDxA , e para o carro B, 22103 attvxB .

No(s) instante(s) em que os carros A e B estiverem lado a lado, xA = xB.

024

02

3

02

02

21

22

10

20

DtvatDtvat

attvattvD

As razes da equao acima fornecero os possveis instantes em que os mveis estaro lado a lado.

024 02 Dtvat

aaDvv

aaDvv

t

aaDvv

aaDvv

t

2422

24242

)2(842

8164

200

200

200

200

Para os casos em que 2042 vaD haver dois instantes possveis, t1 e t2, iguais a:

aaDvv

ta

aDvvt

242e

242 2002

200

1

Para o caso em que 2042 vaD , o encontro ocorrer

no instante: av

t 02

.

13

2. Do alto do terrao de um edifcio de altura H um objeto arremessado verticalmente para cima, num local onde a acelerao da gravidade possui mdulo g. Na descida ele passa rente ao edifcio atingindo o solo com uma velocidade cujo mdulo v1. Determine, em funo de v1, g e H, (a) a velocidade de lanamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifcio.

3. Um objeto arremessado verticalmente para cima com velocidade de mdulo 0v , num local onde a

acelerao da gravidade possui um mdulo igual a g. Determine (a) a posio e (b) os instantes em que a velocidade do objeto tem seu mdulo reduzido metade. Expresse suas respostas em termos de v0 e g.

+ x

Hv

0v

1v

0

Considerando a origem do eixo x no solo e o sentido do movimento para cima como positivo podemos escrever:

)3()(2

)2(

)1(21

20

2

0

20

Hxgvvgtvv

gttvHx

(a) Sabendo que o objeto atinge o solo

(x = 0) com velocidade v = -v1 , usando a eq. (3) temos:

gHvv

gHvvgHvv

Hgvv

2

2

2

)0(2)(

210

21

20

20

21

20

21

(b) Calculada a velocidade de lanamento e sabendo que o objeto atinge o solo com velocidade v = -v1, usando a eq. (2):

121211

212

vgHvg

t

gtgHvv

(c) Quando o objeto passa por um ponto localizado na metade da altura do edifcio, x = H/2. Usando a eq. (3):

gHvv

gHvgHgHvv

HHggHvv

21

21

21

2

221

2

22

22

0

+ y

0v

1v

2v

)3(2

)2(

)1(21

20

20

2

ygvvgtvv

gttvy o

21 yyH

(a) A velocidade do objeto ter o seu mdulo reduzido a 20v nos

instantes em que passar pela posio y1 = y2 = H, primeiramente

subindo

jvv

20

1 e, posteriormente, descendo

)(

20

2 jvv .

Substituindo v1 e v2 na equao (3), gyvv 2202 temos:

20

20

20

20

20

43

4122

2vvvgHgHv

v

de tal forma que: gv

H83 20

(b) No primeiro instante t1, 20

1vv e no instante t2,

20

2vv .

Substituindo v1 e v2 na equao (2), gtvv 0 , temos:

gvtgtvv22

0110

0 e gvtgtvv

23

20

2200

14

4. (a) Na Terra, onde a acelerao da gravidade g, um objeto solto do repouso de uma certa altura, atinge o solo aps um tempo t. Quanto tempo, um objeto solto do repouso num Planeta Z, onde o valor da acelerao da gravidade corresponde metade do valor na Terra, gastaria para atingir o solo, tendo cado da mesma altura? Expresse sua resposta em termos de t. (b) Se o objeto solto na Terra atinge o solo com uma velocidade, cujo mdulo v, com que velocidade (em termos de v) o objeto solto no Planeta Z atinge o solo?

gHtgtH

attvyy

221

21

2

200

5. Uma pedra arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio de altura H. A pedra atinge o solo no instante t1 aps o lanamento. A acelerao da gravidade local vale g. (Dados: H, t1 e g).

a) Determine a velocidade de lanamento da pedra.

00 v

v + y

g

Terra 00 v

zv

+ y

g21

Planeta Z 0 0

H H

t tz

gtv

atvv

0

tt

gHttgH

attvyy

z

zz

2

2221

21

21

2

200

vvtgv

atvv

zz 222

210

(b) (a)

0

H

0v

g

+x

A posio x da pedra em um instante t dada por: 2

0 21 gttvHx

Em t = t1 a posio da pedra x = 0.

110

2110

2110

21

21

210

tHgtv

Hgttv

gttvH

15

b) Determine a velocidade com que a pedra atinge o cho. c) um esboo dos grficos tx , tv e ta referentes ao movimento da pedra desde o instante

em que arremessada at atingir o cho. 6. Uma bola arremessada verticalmente de cima para baixo com uma velocidade de mdulo 0v , do

alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine: (a) o instante aps o arremesso que a bola atinge o solo; (b) a velocidade com que a bola atinge o solo. (c) Se a bola tivesse sido arremessada de baixo para cima, do mesmo local, com a mesma velocidade inicial 0v qual seria a sua velocidade ao atingir o solo? Em todos os itens, (a), (b) e (c) d suas respostas em termos das grandezas H, g e 0v que se fizerem necessrias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.

t

x v a

t

t

A velocidade da pedra em um instante t dada por: gtvv 0

No instante t = t1 a velocidade da pedra ser:

11

11

11

1

21

2121

tHgtv

tHgtv

gttHgtv

H t1

v0

t1

t1

-g

0

+ x

cho

H

0v

1v

t = 0

t1

Equaes do movimento:

)(2

21

20

20

20

Hxgvv

gtvv

gttvHx

16

7. Uma bola arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Na descida ela passa rente ao edifcio por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 aps ter sido lanada. Determine: (a) o mdulo da velocidade de lanamento (em funo de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em funo de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.

(a) Em 0,1 xtt

gvgHv

t

ggHvv

t

ggHvv

t

ggHvv

t

Htvgt

gttvH

gttvH

gttvHx

020

1

200

1

200

1

200

1

1021

2110

2110

20

2

02

2)2(42

2842

022

220210

21

(b) Em 1,0 vvx

gHvv

gHvv

Hgvv

Hxgvv

2

2

)0(2

)(2

201

20

21

20

21

20

2

(c) Da mesma forma que no item (b) a velocidade da bola em funo da posio x da mesma ser:

)(220

2 Hxgvv

Assim, ao chegar ao cho (x = 0) sua velocidade v2 tambm ser:

gHvv

gHvvHgvvHxgvv

2

2

)0(2

)(2

202

20

22

20

22

20

2

0

+ x

cho

H t = 0

Equaes do movimento: ga

vHx

?00

)()(

)(

)(

32

2

121

20

20

20

Hxgvv

gtvv

gttvHx

a) Em t = t1, x = H/2. Pela equao (1):

110

21

10

2110

2110

2110

20

21

21

21

2

21

2

21

2

21

tHgtv

Hgtt

v

gtHtv

gtHHtv

gttvHH

gttvHx

b) Para x = 0, v = ? Pela equao (3):

gHtHgtv

gHtHgtv

Hgvv

Hxgvv

221

221

02

2

2

11

2

11

2

20

2

20

2

)(

)(

17

8. Uma bola arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Na descida ela passa rente ao edifcio por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 aps ter sido lanada. Determine: (a) o mdulo da velocidade de lanamento (em funo de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em funo de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.

9. A posio de uma partcula varia com o tempo de acordo com a equao abaixo:

242020 ttx , onde x medido em metros e t em segundos.

(a) Determine a velocidade mdia da partcula entre os instantes t = 0 e t = 2s.

m)4(-220202)(t

20m0)(t2 442

x

x

s/mvtxv

122

2044

(b) Determine a velocidade da partcula nos instantes t = 0 e t = 2s.

0

+ x

cho

H t = 0


gav

Hx

?00

)3()(2

)2(

)1(21

20

20

20

Hxgvv

gtvv

gttvHx

b) Em t = t1, x = H/2. Pela equao (1):

110

21

10

2110

2110

2110

20

21

21

21

2

21

2

21

2

21

tHgtv

Hgtt

v

gtHtv

gtHHtv

gttvHH

gttvHx

c) Para x = 0, v = ? Pela equao (3):

gHtHgtv

gHtHgtv

Hgvv

Hxgvv

221

221

)0(2

)(2

2

11

2

11

2

20

2

20

2

18

tv

ttdtd

dtdxv

820

42020 2

)(

(c) Determine a acelerao mdia da partcula entre os instantes t = 0 e t = 2s.

2

02

82204 s/ma

tvv

tva

(d) Faa um esboo dos grficos tx , tv e ta referentes ao movimento da partcula, do instante t = 0 at a partcula chegar origem de sua trajetria.

s/mtvs/mtv

428202200

)()(

+ a (m/s2)

t(s)

+ x (m)

t (s) t(s)

+ v (m/s)

20 20

-8

242020 ttx tv 820

28 sma /

19

10. O grfico abaixo representa aproximadamente a velocidade de um atleta em funo do tempo em uma competio olmpica. (a) Faa um esboo do grfico Posio x Tempo. Em t = 0, x0 = 0.

11. Em certo planeta Z, no qual se pode desprezar a resistncia do ar, um astronauta mede o tempo t1

que uma pedra leva para atingir o solo, aps ser arremessada verticalmente para cima da borda de um precipcio com velocidade cujo mdulo v0. Sabendo que o mdulo da velocidade da pedra ao atingir o solo o dobro da velocidade de lanamento determine: (a) o mdulo da acelerao da gravidade no planeta Z e (b) a altura do precipcio. (c) Faa um esboo do grfico da posio x tempo desde o instante do lanamento at o instante em que a pedra toca o solo. (Dados: t1 e v0).

0

+ x x

t

0v

(c)

02v

t = t1

t = 0

H

H

t1 0

(b) Em que intervalo de tempo o mdulo da acelerao tem o menor valor? Determine-o. O menor valor da acelerao ocorre no intervalo de tempo de 6 a 16 s. No h variao da velocidade, portanto, a acelerao nula.

(c) Em que intervalo de tempo o mdulo da acelerao mximo? Determine-o.

A maior variao de velocidade por unidade de tempo ocorre no intervalo de tempo de 0 a 6 s. 2/2

06012 sm

tva

(d) Qual o deslocamento do atleta durante os 18s?

mxxxreax 1782

2)1210(12102126""

(e) Qual a velocidade mdia do atleta durante a competio?

smsm

txv /89,9

18178

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 20

Tempo (s)

Velo

cida

de (m

/s)

18

Pos

io

(m)

Tempo (s)

6 16 18

20


)3()(2

)2(21

)1(

20

2

20

0

Hxavv

tatvHx

tavv

Z

Z

Z

No instante t = t1 , v = 2v0. Pela Equao (1):

1

0

01

100

33

2

tva

vtatavv

Z

Z

Z

No instante t = t1 , x = 0. Pela equao (2):

10

1010

1010

21

1

010

2123

23

3210

tvH

tvtvH

tvtvH

ttv

tvH

12. (a) A afirmativa a seguir faz sentido? A velocidade mdia de um veculo s 9h da manh era de 60 km/h.. Explique.

NO. Quando se refere a velocidade mdia isso compreende um determinado intervalo de tempo e no um instante como na afirmativa acima.

(b) possvel um corpo possuir ao mesmo tempo velocidade nula e acelerao no nula?

Explique.

SIM. Como exemplo, um objeto em queda livre vertical, quando se encontra no ponto mais alto da trajetria possui velocidade nula e acelerao diferente de zero (a = -g).

(c) possvel um objeto reduzir a velocidade enquanto o mdulo de sua acelerao cresce?

Explique. SIM. Desde que a acelerao seja contrria velocidade. (d) possvel um carro ter uma velocidade orientada para o oeste e uma acelerao orientada

para o leste? Explique. SIM. Neste caso o carro estaria freando. (e) possvel ter deslocamento nulo e velocidade mdia diferente de zero? Explique. NO. A velocidade mdia definida como a razo entre o deslocamento e o intervalo de tempo

gasto para deslocar. Sendo o deslocamento nulo, a velocidade mdia tambm ser.

21

13. Considere o grfico da velocidade de um objeto, em movimento retilneo, mostrado na figura abaixo. Admitindo que em t = 0, x = 0.

(c) Determine a velocidade mdia no intervalo de 0 a 10 s.

0)0(

0400400)10(410.40)10(440

2

2

txstx

ttx

010

00010

010

xx

txvm

(d) Faa os grficos a x t e x x t para o intervalo de 0 a 10 s.

(a) Determine a acelerao do objeto.

2

0

/81080

10.4040

smaa

aatvv

(b) Escreva as equaes do movimento, x (t) e v(t).

2

00 /8,/40,0 smasmvx

2

200

44021

ttx

attvxx

tvatvv840

0

v (m/s)

t (s)

40

- 40

10 0

a (m/s2) x (m)

t (s) t (s)

-8

10 10 0 0

100

5

22

14. Para medir a acelerao da gravidade em um planeta W, uma pesquisadora atira uma pedra, da superfcie do planeta, de baixo para cima, com uma velocidade de 8 m/s. A pedra atinge uma altura mxima de 16 m. Desprezando a influncia da atmosfera do planeta sobre o movimento da pedra determine: (a) a acelerao da gravidade no planeta W; (b) o tempo que a pedra gasta para retornar superfcie e (c) a velocidade da pedra ao atingir a superfcie do planeta.

(a) v = 0 em x = 16 m v2 = 64 2gWx

0 = 64 2gW(16) 32gW = 64 gW = 64/32 = 2 m/s2

stt

ttv

482

28028

Tempo total de movimento tTotal = 2t tTotal = 2 x 4 tTotal = 8 s

smv

vtv

/88.28

28

Equaes do movimento: Wgasmvx ,/8,0 00

xgvtgv

tgtx

W

W

W

264

8218

2

2

+ x

0

0v

v = 0 Hmx

(b) Tempo para atingir a altura mxima

(c) Velocidade ao retornar superfcie do planeta

23

EXERCCIOS PROPOSTOS Quando necessrio use g = 10 m/s.

1. Um automvel se desloca com velocidade constante de 23 m/s. Suponha que o motorista

feche os olhos (ou que olhe para o lado) durante 2 s. Calcule o deslocamento do veculo do automvel neste intervalo de tempo.

2. No confunda velocidade mdia com a mdia de um conjunto de velocidades (mdia das

velocidades). Calcule a velocidade mdia de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao longo de uma pista retilnea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em linha reta.

3. O limite de velocidade numa rodovia alterado de 100 km/h para 80 km/h. Se um

automvel levava um tempo t para deslocar uma distncia x com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo levar o automvel para deslocar a mesma distncia x com velocidade constante de 80 km/h?

4. Um trem se desloca com velocidade constante, de oeste para leste, sendo o mdulo do

vetor velocidade igual a 60 km/h durante 50 minutos. A seguir toma uma direo nordeste, com a velocidade de mesmo mdulo da anterior, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo a velocidade constante em mdulo, segue para o oeste, durante 10 minutos. Determine o vetor velocidade mdia do trem durante todo o percurso.

5. Um automvel se desloca numa estrada retilnea e sua velocidade aumenta de 5 m/s at 15

m/s num intervalo de tempo de 20 s. A seguir sua velocidade passa de 15 m/s para 35 m/s num intervalo de tempo de 80 s. Calcule o mdulo da acelerao mdia: (a) na primeira etapa do percurso, (b) na segunda etapa do percurso. (c) Calcule a mdia aritmtica das aceleraes obtidas nos itens anteriores. (d) Calcule a acelerao mdia do percurso total, isto , desde o momento inicial (v0 = 5 m/s) at o instante final (v = 35 m/s).

6. As figuras (a) e (b) abaixo mostram grficos da posio x em funo do tempo t para uma

partcula em movimento retilneo. (a) Em que ponto ou pontos existe mudana brusca do valor da velocidade? (b) Indique, para cada intervalo, se a velocidade (+), () ou zero e se a acelerao (+), () ou zero.

7. A figura abaixo mostra o grfico da posio x em funo do tempo t para uma partcula em

movimento retilneo. Esboce os grficos da velocidade e da acelerao em funo do tempo.

24

8. Um veculo impulsionado por um foguete e desliza sobre um trilho retilneo. Este veculo usado para verificao experimental dos efeitos fisiolgicos das grandes aceleraes sobre seres vivos. Partindo do repouso, este veculo pode atingir uma velocidade de 1800 km/h em 2 segundos. (a) Admita que a acelerao seja constante e compare o valor nmero desta acelerao com o valor da acelerao da gravidade g. (b) Calcule o deslocamento do veculo neste intervalo de tempo.

9. Duas estaes de trem esto separadas por uma distncia de 3,6 km. Um trem, partindo do

repouso de uma das estaes, sofre uma acelerao constante de 1,0 m/s at atingir 2/3 do percurso entre as estaes. A seguir o trem desacelera at atingir a outra estao com velocidade nula. Determine: (a) a velocidade mxima do trem atingida na primeira etapa do percurso, (b) o mdulo da desacelerao durante a diminuio da velocidade na segunda etapa do percurso, (c) o tempo total gasto durante o percurso entre as duas estaes. (d) Faa os grficos da posio x tempo, velocidade x tempo e acelerao x tempo para o movimento do trem, do incio ao fim do percurso.

10. Suponha que um advogado contrate voc para opinar sobre um problema relacionado com

a fsica, surgido em um dos seus casos. A questo seria saber se um motorista excedeu ou no a velocidade limite de 60 km/h, antes de fazer uma parada de emergncia ao aplicar os freios do veculo. As marcas do pneu na estrada, produzidas pelo deslizamento das rodas, tinham um comprimento de 8,0 m. O inspetor fez o clculo da velocidade do automvel levando em considerao que a desacelerao produzida pelos freios no poderia exceder, em mdulo, o valor local da acelerao da gravidade g e deteve o motorista por excesso de velocidade. Refaa os clculos do inspetor e verifique se estes clculos estavam corretos ou no. Com base na hiptese de que a desacelerao era igual a g, qual seria a velocidade do automvel no momento da aplicao dos freios.

11. Um automvel faz uma ultrapassagem a 120 km/h. Entretanto, um outro automvel vem em

sentido contrrio a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionem simultaneamente os freios e os dois automveis passem a sofrer uma desacelerao constante de mdulo igual a 6 m/s. Determine a distncia mnima entre os automveis no incio da freada para que no haja coliso entre os veculos.

12. Um trem parte do repouso e se desloca com acelerao constante. Num dado instante sua

velocidade era de 10 m/s e a 60 m adiante sua velocidade passa para 17 m/s. Determine: (a) a acelerao, (b) o tempo necessrio para deslocar os 60 m, (c) o tempo necessrio para atingir a velocidade de 10 m/s, (d) o deslocamento do trem desde o repouso at atingir a velocidade de 10 m/s.

13. No momento em que um sinal de trfego acende a luz verde, um automvel parte do

repouso com acelerao constante de 2 m/s. No mesmo instante um nibus, deslocando-se com velocidade constante de 54 km/h ultrapassa o automvel. (a) A que distncia do seu ponto de partida o automvel ultrapassar o nibus? (b) Calcule a velocidade do automvel neste instante. (c) Em um mesmo diagrama, faa os grficos posio x tempo e velocidade x tempo do automvel e do nibus desde o incio do movimento at o momento da ultrapassagem.

14. Um automvel viajando em linha reta a 120 km/h est a 60 m de uma barreira quando o

motorista aperta os freios. Trs segundos aps o carro colide com a barreira. (a) Determine o mdulo da desacelerao do carro. (b) Que velocidade desenvolvia o automvel no momento do impacto? (c) Qual deveria ser a desacelerao mnima do automvel para que no ocorresse a coliso?

15. Uma pessoa debruada sobre um muro de uma passarela deixa cair uma bola exatamente

quando a dianteira de um caminho passa bem abaixo do muro. Se o veculo est se movendo a 12 m/s e tem 10 m de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em relao ao caminho para que a bola atinja a traseira do caminho, (b) a trajetria descrita

25

pela bola em relao a um observador situado na passarela, (c) a trajetria descrita pela bola em relao a um observador situado no caminho.

16. Um balo sobe com velocidade de 15 m/s e est a 100 m acima do solo quando dele se

deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. (c) Faa os grficos da posio x tempo, velocidade x tempo e acelerao x tempo para o movimento do saco de areia, desde o instante em que ele solto at atingir o solo.

17. Uma pedra largada de uma ponte a 50 m acima do nvel da gua. Uma segunda pedra

arremessada verticalmente para baixo 1,5 s aps a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a gua ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a gua. (c) Faa os grficos da posio x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada.

18. Dois corpos so largados com um intervalo de tempo de 1,5 s, de uma mesma altura.

Quanto tempo depois do primeiro comear a cair estaro os dois corpos separados por 15 m.

19. Um moleque atira uma pedra para cima na direo vertical, com uma velocidade inicial de

12 m/s do telhado de um edifcio, 30 m acima do cho. (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o cho. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) a pedra estar 5 m acima do ponto de lanamento e qual a sua velocidade nesse(s) instante(s)?

20. Um corpo cai da altura de 50m, partindo do repouso. Quanto ele percorre no ltimo

segundo da queda?

RESPOSTAS 1. .46mx

2. (a) ./2 smv (b) ./3,3 smv

3. tt .25,12 4.

.19:

/2,43

1,148,40


hkmvjiv

5. (a) ./5,01 sma (b) /25,02 sma

(c) ./375,02

21 smaa

(d) /3,0 sma

6. Figura (a): (a) Ponto C (b)

6. Figura (b): (a) Em nenhum ponto. (b)

7.

0A AB BC CD v + + 0 - a 0 - 0 +

0A AB BC CD v + 0 + + a - 0 + 0

t

v

t

a

26

8. (a) ga 5,25 (b) mx 500

9. (a) smv /3,69 (b) /2 sma (c) st 104

9. (d)

10.

hkmverradosClculos/45

.

0

11. md 9,156

12. (a) /575,1 sma (b) st 44,4 (c) st 35,6

(d) mx 75,31

13. (a) mxA 225 (b) smvA /30

13. c)

14. (a) /, sma 98 (b) hkmsmv //, 2476 (c) /, sma 39 15. (a) mh 43, (b) (c) 16. (a) st 26,

t (s)

x (m)

2400

69,3 104

3600

t (s)

v (m/s) 69,3

69,3 104

t (s)

a (m/s)

1,0

69,3 104 - 2,0

t (s)

x (m)

225

15

nibus

Automvel

t (s)

v (m/s)

30

15

nibus

Automvel

15

27

(b) smv /47 (c) 17. (a) smv /8,210 (b) smvesmv /4,38/6,31 21 (c)

18. st 7511 ,

19. (a) st 933, (b) smv /,327

(c) smvstsmvst

/,;,/,;,

6686166540

22

11

20. md 626,

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8

Tempo (s)

Pos

io

(m)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

Tempo (s)

Velo

cida

de (m

/s)

-10

00 2 4 6 8

Tempo (s)

Acel

era

o (m

/s)

-31,6

1,5 3,16 t (s) v (m/s)

0,0

-38,4

-21,8

50

1,5 3,16 t (s)

x (m)

0,0

28


1. Uma partcula move-se no plano xy com acelerao constante ja , ( 0). No instante t = 0, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade jiv 20

, ( 0). (a) Descreva os movimentos horizontal e vertical da partcula, faa um esboo de sua trajetria e represente no diagrama os dados iniciais do problema. Determine, em funo de , e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, (b) o vetor posio ( r ) no instante em que ocorre inverso no movimento vertical da partcula e (c) o vetor velocidade ( v ) no instante posterior no qual a partcula cruzar a coordenada y = 0.

x

y

(b) A inverso no movimento vertical ocorrer quando vy = 0.

Neste instante, a partcula estar localizada em:

O vetor posio no referido instante ser:

i

j ja

jiv

r

20

0

0

Mov. Horizontal

x

xx

vtxavx 00 00

Movimento Vertical

yv

tvtty

avy

y

yy

24

2212

20

22

2

00

(a) Uma vez que a acelerao horizontal da partcula nula, sua velocidade ser constante, e o movimento horizontal ser retilneo e uniforme. No movimento vertical a acelerao constante, positiva e a velocidade inicial negativa, de tal forma que, inicialmente, a partcula ir desacelerar at atingir uma velocidade vertical nula e a partir de ento ter um movimento

0v

a

(0,0)

220

2

t

ttvy

22

2.

x

x

tx

222

2

2

224

22122

212

y

y

tty

)(2222

jir

(c) A coordenada y ser nula em t = 0 em um instante posterior t igual a:

4212

212

2

2

t

tt

tty

As componentes do vetor velocidade neste instante sero:

2

42e

y

yx

v

vv

O vetor velocidade no referido instante ser:

jiv 2

e

CAPTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRS DIMENSES

29

2. Um rifle est apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distncia D da sada do mesmo. O projtil atinge a parede a uma distncia d abaixo do ponto visado. A acelerao da gravidade local tem mdulo g. Determine em funo das grandezas D, d, g e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, (a) o tempo de percurso do projtil, (b) o vetor velocidade do projtil ao sair do rifle e (c) o vetor velocidade do projtil ao atingir a parede.

Equaes do movimento Movimento Horizontal x0 = 0 v0x = vo ax = 0

0

0

vvtvx

x

Movimento Vertical y0 = 0 v0y = 0 ay = -g

gyv

gtv

gty

y

y

2

21

2

2

(b) Sabendo que tvx 0

id

gDv

dgDv

gdvD

gdtemDx

2

2

2

2

0

0

0

(a) O tempo de percurso do projtil corresponde

ao instante em que o mesmo atinge a posio x = D e y = - d.

gdt

gtd

gtyquevezUma

221

21

2

2

(c) A componente x da velocidade com que o

projtil atinge a parede : dgDvvv xx 200

A componente y da velocidade com que o projtil atinge a parede pode ser determinada por:

gdv

dyPara

gyv

y

y

2

22

jgdidgDv

22

i

j

(0,0)

?v

?0 v

30

3. Um projtil lanado a partir da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial de mdulo vo, fazendo um ngulo acima da horizontal. A origem do sistema de coordenadas est localizada na base de uma rampa cuja inclinao (veja figura abaixo). Considerando o mdulo da acelerao da gravidade local igual a g, determine o instante que o projtil atinge a rampa. Expresse sua resposta em funo de vo, g, e .

0v

y

x

t = ?

x(t)

y(t)

A posio do projtil num instante t, a partir do lanamento dada por: Posio horizontal

tvtxtatvxtx xx

.cos)()(

0

22

100

Posio vertical

22

10

22

100

.)(

)(

gttsenvty

tatvyty yy

0,0

Movimento horizontal (x)

0cos

0

00

0

x

x

avv

x

Movimento vertical (y)

gasenvv

y

x

y

000 0

No instante t considerado, )()(tan

txty

.

Assim:

)tan.cos(2

)tan.cos(2tan.cos

tan.coscos

tan

.cos.

tan

0

0

0021

21

00

0

21

0

0

22

10

sengvt

senvgtvsenvgt

gtsenvvv

gtsenvtvgttsenv

31

4. De um avio, mergulhando em um ngulo 0 com a vertical e a uma altura H, abandonada uma bomba que bate no solo aps um intervalo de tempo t. Determine, para o projtil, os vetores velocidade (a) ao deixar o avio, (b) ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em termos das variveis 0, H, t e g, e dos vetores unitrios do sistema de coordenadas abaixo, que se fizerem necessrios.

Represente no grfico os dados pertinentes (vetores, trajetria, ngulo etc.). Suponha o referencial do observador imediatamente abaixo do ponto de lanamento. Utilize g para a acelerao da gravidade.

Dados: 0 , H, t, e g Representao grfica:

Em ti = t0 = 0, x0 = 0 (1), y0 = H (2) e

000 sen vv x (3) e 000 cos vv y (4)

(a) Clculo do mdulo da velocidade inicial:

Na vertical, temos:

200 2

1 tgtvyy y (5)

Como ao atingir o solo y = 0 , substituindo (2) e (4) em (5), obtm-se

cos1

20

tgtHv . (6)

Finalmente, valendo-se de (3), (4) e (6), o vetor velocidade inicial pode ser escrito nas formas:

jvivvvv yxyx 00000

,

ou, )cos( jisenvv 0000 ,

ou ainda

)(tan jitgtHv

00 2

. (7)

(b) Clculo do vetor velocidade do projtil ao

atingir o solo:

jvivvvv yxyx

(8)

Na horizontal (M.U. vx = cte. e ax = 0). Assim,

tan2

sen0tg

tHvv xx , (9)

j obtido em (a) (vide equao 7).

Na vertical [MUV )( jgga y

].

tgvv yy 0

2tg

tHv y (10)

Substituindo (9) e (10) em (8), obtm-se:

jtgtHitg

tHv

2tan

2 0

(11)

(d) Clculo do vetor deslocamento total , r . yxr (12)

ou )()( jyixr (13)ou ainda )()( jyixr (14)

HHyyy 00 (15)tvxxxx x00 0 (16)

De (14), (9), (16) e (15), tem-se:

jHitgHr tan

221 (17)

o g

0v

v

Hy 0

x

r

y

0,0

32

5. No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetria explode e lana verticalmente, em sentidos opostos, duas partculas com velocidades iniciais numericamente iguais a v0 (= 15 m/s). Sendo g (= 10 m/s2) a acelerao da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partculas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (Resposta numrica: 3 s).

Dados: v1 = v2 = v0, e g. Ilustrao: Grfico de espao versus tempo.

Ao chegar ao solo as equaes das posies das partculas sero:

211111 2

1ffif tgtvyy (1)

222222 2

1ffif tgtvyy (2)

Como, para ambas, o mdulo das velocidades iniciais so iguais (v1 = v2 = v0) e as posies iniciais e finais tambm, igualando (1) e (2), tem-se

2220

2110 2

121

ffff tgtvtgtv

)(21)( 22

21210 ffff ttgttv

))(()(2

2121210

ffffff ttttttgv

gv

ttt ff0

212

)( (3)

Outra soluo mais simples seria:

A partcula 1 ir subir, atingindo o ponto de altura mxima com velocidade nula. Em seguida retornar ao ponto de partida com velocidade idntica em mdulo, direo e sentido que a partcula 2. Desse modo, fica bvio que ambas levam o mesmo tempo deste ponto at o solo. Portanto, o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partculas chegam ao solo ser o tempo que a partcula 1 levar para retornar ao ponto de partida. Ou seja,

2'''1

'1

'1 )(2

1 tgtvyy fif

2''011 )(2

10 tgtvyy ii

gvtt 02 '

+y

1v

2v

g

ti = 0 t = 2v0/g

t

tempo (t)

t1f t2f

33

6. Um projtil disparado do alto de um barranco que est a uma altura H acima do nvel de um vale, com velocidade inicial de mdulo v0 inclinada de um ngulo acima da horizontal. Desprezando a resistncia do ar e considerando a acelerao da gravidade local igual a g, determine: (a) a altura mxima acima do barranco atingida pelo projtil; (b) o vetor velocidade e o vetor acelerao do projtil no ponto mais alto; (c) o deslocamento do projtil desde o lanamento at atingir o solo; (d) o vetor velocidade com que a o projtil atinge o solo v . Expresse suas respostas em termos das grandezas H, v0, e g que se fizerem necessrias e dos vetores unitrios mostrados abaixo.

i

j

g

+ y

+ x (0,0)

0v

H

Hmx Movimento Horizontal

cos.cos

0

0

vvtvx

x

Movimento Vertical

gtvv

gttvHy

y

-sen21-.sen

0

20

(a)

sen2

2-sen 0

2-sen

220

mx22

0

220

2

gvH

gHv

ygvv

mx

y

(b)

jga

givv

vvv yx

a0a

cos

0cos

yx

0

0

(c)

ggHvv

t

ggHvv

t

ggHvv

t

Htvgt

gttH

tvxHy

o

o

o

2sensen

02sensen

28sen4sen2

02-.sen221-.senv-

.cos.

220

220

220

02

20

0

jHi

ggHvv

vr

jyixr

o 2sensencos

220

0

(d)

jgHvvv

gHvv

gHvv

Hgvvvv

y

y

y

x

2senicos

2sen

2sen

)(-2-sen

cos

2200

220

220

2

220

20

r

v

34

7. Um estudante atira uma bolinha de papel em uma lixeira cilndrica (dimetro D e altura 2D). A parte inferior da lixeira est no mesmo nvel do ponto em que a bolinha foi arremessada e a uma distncia horizontal 6D do ponto de lanamento. A bolinha arremessada com um ngulo de 45 acima da horizontal (veja figura abaixo). Determine o valor mximo e o valor mnimo da velocidade de lanamento ( 0v ) para que a bolinha entre pela parte superior da lixeira. Despreze a resistncia do ar e expresse suas respostas em termos de g e D.

x

224545 oosen cos

6D

2D

D

y

?0 v

45 (0,0)

Movimento Horizontal

oxx

ox

ox

cosvvvtcosvx

acosvvx

45

45

0,45,0

00

0

000

Movimento Vertical

ygsenvvegtsenvv

gttsenvy

gasenvvy

oy

oy

o

yo

y

245452145

,45,0

220

20

20

000

Equao da trajetria:

yxgxve

yxgxvqueformatalde

vgxx

v

xgxysejaou

cosvxg

cosvxsenvy

cosvxtteinsNo

gttsenvyetcosvx

ooo

o

oo

2

0

220

20

2

2

20

2

220

2

00

0

200

:

,

222

1:

4521

4545

45tan

214545

O valor mnimo de v0 aquele que permitir que a bolinha atinja a lixeira em x = 6D e y = 2D.

gDvDDgv

DDDgv

3436

266

0

2

0

2

0

O valor mximo de v0 aquele que permitir que a bolinha atinja a lixeira em x = 7D e y = 2D.

57

549

277

0

2

0

2

0

gDv

DDgv

DDDgv

35

8. Uma pedra arremessada para cima, do alto de um edifcio de altura H, com velocidade de mdulo 0v , inclinada de um ngulo acima da horizontal. A acelerao da gravidade local vale g.

(Dados: H, v0, e g).

a) Determine o instante aps o arremesso que a pedra atinge o solo, em funo de v0, , g e H.

b) Determine o mdulo da velocidade com que a pedra

atinge o cho, em funo de v0, g e H.

9. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ngulo 45. A bola sai das mos do jogador de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distncia horizontal D das mos do jogador e a uma altura H acima do solo. A acelerao da gravidade local vale g. Determine (a) o mdulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e (b) o mdulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D.

0

H

0v

g

+y

+x

Hyx

gaasenvv

vv

yx

y

x

00

00

00

0

0

cos

ggHsenvsenv

t

ggHsenvsenv

t

ggHsenvsenv

t

ggHsenvsenv

t

Htsenvgt

gttsenvH

gttsenvHy

2

02

2)2(42

2842

022

0

2200

2200

2200

2200

02

22

10

22

10

Por conservao da energia mecnica, considerando o nvel de referncia no solo, temos:

gHvv

vvgH

mvmvmgH

2

221

21

20

220

220

sen 45 = cos 45 = 22


)hy(gsenvv

gtsenvvcosvv

gtt.senvhy

t.cosvx

y

y

x

2

21

220

2

0

0

20

0

h

D

H

45

x

y

(0,0)

36

10. Uma bola arremessada de cima para baixo com uma velocidade de mdulo 0v , inclinada de um

ngulo 0 em relao horizontal, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo H, conforme figura abaixo. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine: (a) o instante aps o arremesso que a bola atinge o solo e (b) as componentes horizontal e vertical da velocidade com que a bola atinge o solo. D suas respostas em termos das grandezas H, g, 0 e 0v que se fizerem necessrias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.

(b) Em 0,1 ytt

gsenvgHsenv

t

ggHsenvsenv

t

ggHsenvsenv

t

ggHsenvsenv

t

Htsenvgt

gttsenvH

gttsenvH

gttsenvHy

00022

01

022

0001

022

0001

022

0001

10021

21100

21100

200

2

02

2242

2842

022

220210

21

)(

0,0

+ y

H

0v

+ x

0

)( Hygsenvv

gtsenvv

gttsenvHy

y

y

2

21

022

02

00

200

00

00

coscos

vvtvx

x

Equaes do movimento

(c) Clculo da componente vertical:

Em yy vvy 1,0

gHsenvv

gHsenvv

Hgsenvv

Hygsenvv

y

y

y

y

2

2

02

2

022

01

022

021

022

021

022

02

)(

)(

Clculo da componente horizontal:

001 cosvvv xx

t1 xv1

yv1

(a) Em x = D, y = H

cosvDt

t.cosvx

0

0

HhDgDv

HhDv

gD

vgDDhH

vDg

vDsenvhH

2

0

20

2

20

2

220

2

00 2

1

coscos

(b) Por conservao da energia mecnica, tomando o solo como nvel de referncia:

)(

)(

).().(

hHgHhD

gDv

hHgvv

gHvghv

vgHvgh

mvmgHmvmgh

EE fMeciMec

2

2

22

2221

21

2

20

2

20

2

220

220

37

11. Uma pedra presa a um cordo de comprimento L girada por um menino, fazendo um crculo horizontal a uma altura H acima do solo. A pedra d N voltas em um intervalo de tempo t e, durante o movimento, o mdulo da velocidade permanece constante. Ao passar pelo ponto A o cordo arrebenta e a pedra arremessada ao solo. Determine: (a) o mdulo da acelerao centrpeta da pedra durante o movimento circular; (b) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento da pedra desde o instante em que ela arremessada at o instante em que atinge o solo Expresse suas respostas em termos das grandezas L, N, t , H, g e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios.

i

j

H

L

(a) A acelerao centrpeta da pedra em MCU

dada por: Rva

20 . O raio da trajetria L e,

uma vez que a pedra executa N rotaes em um intervalo de tempo t a velocidade de

rotao ser: t

LNv

2.

0 .

Assim: 2222222

)(4)/(4

tLN

LtLNa

(b) No momento em que o cordo arrebentar a pedra ser arremessada horizontalmente, em queda livre, com velocidade de mdulo v0 (calculado no item a).

gaevHyaevvx

yy

xx

0,0,0

00

000

Para o movimento de queda livre da pedra temos:

Hygvegtvevv

gtHyetvx

yyx

221

20

20

Quando a pedra atinge o solo sua velocidade ser:

gHvsejaou

gHHgvet

LNvv

y

yx

2:

2022. 20

Assim, jgHitNLv 22

0v

0

+ y

(c) O vetor deslocamento da pedra desde o instante em que arremessada at atingir o solo ser:

yxr Clculo do tempo de queda:

gHtHgt

gtH

gtHy

221

210

21

2

2

2

jHigH

tNLrAssim

HHy

egH

tNLtvx

22:

0

220

38

12. Uma carabina apontada na horizontal para um alvo localizado a uma distncia D. A bala acerta o alvo em um ponto localizado a uma altura h abaixo do ponto visado. A acelerao da gravidade local vale g. Determine (a) o tempo de vo da bala e (b) o mdulo da velocidade da bala ao sair da carabina. Expresse suas respostas em funo de D, h e g.

tvxavvx

tatvxx

xx

xx

0

000

200

0021

,,

(a)

ght

gth

gth

gty

gavy

tatvyy

yy

yy

2

221

21

0021

2

2

2

00

200

,,

(b)

hgDv

ghvDtvD

2

2

0

00

?0 v

h

D

x

y

39

EXERCCIOS PROPOSTOS Quando necessrio use g = 10 m/s.

1. (a) Em uma competio de salto distncia tem alguma importncia quo alto o salto?

Quais os fatores que determinam o alcance do salto? Explique. (b) Em que ponto de sua trajetria um projtil alcana a sua velocidade mnima? E a mxima? (c) No mesmo instante em que a bala sai horizontalmente do cano de uma arma, voc larga um corpo da mesma altura do cano. Desprezando a resistncia do ar, qual dos dois chegar primeiro ao solo? Explique. (d) Um projtil disparado de baixo para cima, a um ngulo acima da horizontal com velocidade inicial v0, num local a gravidade g. Na sua altura mxima, determine o seu vetor velocidade e seu vetor acelerao. 2. A partcula A se move ao longo da reta y = 30 m com velocidade

constante v de mdulo igual a 3,0 m/s na direo paralela ao eixo x positivo. Uma partcula B parte da origem com velocidade nula e acelerao constante a de mdulo igual a 0,40 m/s, no mesmo instante em que a partcula A passa pelo eixo y. Que ngulo entre a e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas partculas.

3. Uma partcula parte da origem com uma velocidade inicial smiv /)00,3( e uma acelerao constante 2/)500,000,1( smjia . Quando a partcula atinge a sua coordenada x mxima, quais so (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posio.

4. Uma arma localizada a 40 m acima de uma plancie horizontal, dispara horizontalmente um

projtil com uma velocidade inicial de 300 m/s. (a) Quanto tempo o projtil permanece no ar? (b) A que distncia horizontal ele atinge o solo? (c) Qual o o vetor velocidade do projtil quando ele atinge o solo?

5. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m.

A que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 6. Uma bola rola para fora de uma mesa de 1,0 m de altura. A bola atinge o solo em um ponto

1,2 m horizontalmente distante da borda da mesa. Determine: (a) a velocidade da bola no instante em que saiu da mesa; (b) a velocidade da bola no instante em que toca o solo.

7. Uma bola atirada do cho para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade

dada por: jiv 36 , em m/s. (a) At que altura a bola subir? (b) Qual ser a distncia horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual a velocidade da bola no instante em que ela toca o cho?

8. Uma bola de futebol chutada com velocidade inicial 0v

e com um ngulo de inclinao de 45 acima da horizontal. Qual deve ser o valor de 0v

para que a bola atinja a linha de gol,

situada a 80 m do local do chute? 9. De um bombardeiro, mergulhando em um ngulo de 60 com a vertical, solta-se uma bomba

a uma altitude de 700 m. A bomba atinge o solo 5,0 s aps ser solta. (a) Qual a velocidade do bombardeiro? (b) Qual a distncia que a bomba percorre horizontalmente durante o seu trajeto? (c) Qual o vetor velocidade da bomba no instante em que atinge o solo?

10. A velocidade de lanamento de um certo projtil cinco vezes a velocidade que ele possui na sua altura mxima. Calcule o ngulo de lanamento.

x

y

A

B

v

a

40

11. Dois segundos aps ser projetado do nvel do cho, um projtil se deslocou 40 m na horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lanamento. (a) Quais so as componentes horizontal e vertical da velocidade de lanamento do projtil? (b) No instante em que o projtil alcana a sua altura mxima acima do nvel do solo, qual a distncia percorrida na horizontal a partir do ponto de lanamento?

12. Um astronauta colocado para girar em uma centrfuga horizontal em um raio de 5,0 m.

(a) Qual o mdulo de sua velocidade linear se a acelerao centrpeta possui um mdulo de 7,0g. (b) Quantas rotaes por minuto so necessrias para produzir esta acelerao? (c) Qual o perodo do movimento?

13. As ps de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma p,

que est em uma raio de 0,15 m. (a) Que distncia a ponta da p percorre em uma volta? Quais so os mdulos (b) da velocidade e (c) da acelerao da ponta? (d) Qual o perodo do movimento?

RESPOSTAS

1. .............................................. 8. smv /,3280

2. = 60 9. a) smv /2300 b) mx 996 c) smjiv /)( 165199

3. a) smjv /),( 51 b) mjir ),,( 25254

10. ,578

4. a) st 832, b) md 5848, c) smjiv /),( 328300

11. a) smv

smv

y

x

/,;/

53620

0

0

b) mx 73

5. mh 50, 12. a) smv /,718 b) rpmf 36 c) sT 671,

6. a) smiv /),( 720

b) smjiv /),,( 5472

13. a) ms 9420, b) smv /,8418 c) / smac 2366 d) sT 050,

7. a) mH 459, b) mx 516, c) smjiv /),( 8136

41


1. Uma caixa de peso P arrastada para cima, em um plano inclinado de graus com a horizontal, por uma fora horizontal constante de mdulo F, conforme ilustrado abaixo. O coeficiente de atrito entre a caixa e o plano vale c. Em funo das grandezas fornecidas obtenha, em termos de c, P e , uma expresso para o mdulo da fora F que far com que a caixa suba o plano com velocidade constante.

CAPTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO

CAPTULO 5- APLICAES DAS LEIS DE NEWTON

F

Uma vez que a caixa arrastada plano acima com velocidade constante, podemos concluir que: 00 yx FeF

FsenPcosN

FPNF yyy

0 A fora de atrito cintico dada por:

)(. FsenPcosNf ccc

P

y

cf

N

xP

yP

F

x

yF

xF

cosPPePsenP yx

FsenFeFF yx cos

sencosPcosPsen

F

PcosPsensencosFPcosPsenFsenFcos

FsenPcosPsenFcos

fPFF

c

c

cc

cc

c

cxxy

)(

0)(

0

42

2. Dado o sistema em equilbrio ilustrado abaixo, determine a tenso em cada uma das cordas T1, T2 e T3.

3. Imagine que voc esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre a palma da sua mo. Complete as seguintes sentenas: a) Uma fora de cima para baixo de mdulo igual a 4 N exercida sobre o livro pela Terra. b) Uma fora de baixo para cima de mdulo 4 N exercida sobre o livro pela palma da sua mo. c) a fora de baixo para cima do item (b) a reao da fora de cima para baixo do item (a)? No.

sen 37 = cos 53 = 0,6 sen 53 = cos 37 = 0,8

37 53

P=500N

T2 T3 T1 37 53

y

P

3T

1T

2T

'1T

x

xT3

yT3

xT2

yT2

Uma vez que o sistema se encontra em equilbrio, temos, para o objeto suspenso:

500NTT '11

NPT

PTFy500

0'

1

'1

2323

23

2323

34

6080

3753

0

TTTT

cosTcosT

TTTTF xxxxx

,,

400NT

300NT

3

2

30034

34

1500050150001832

50006348

50006850060803753

0

23

2

22

22

23

23

123

123

TT

TTT

TT

TTTT

TsenTsenT

TTTF yyy

,,

43

d) A reao da fora do item (a) a fora de mdulo 4 N exercida sobre a Terra pelo livro. Seu sentido para cima. e) A reao da fora do item (b) a fora de mdulo 4 N exercida sobre a mo pelo livro. f) As foras dos itens (a) e (b) so iguais e opostas em virtude da Primeira Lei de Newton. g) As foras dos itens (b) e (e) so iguais e opostas em virtude da Terceira Lei de Newton.

Suponha agora que voc exera sobre o livro uma fora de baixo para cima de mdulo igual a 5 N.

h) O livro permanece em equilbrio? No. i) a fora exercida pela sua mo igual e oposta fora exercida sobre o livro pela Terra? No. j) a fora exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta fora exercida sobre a Terra pelo livro? Sim. k) a fora exercida sobre o livro pela sua mo igual e oposta fora exercida sobre sua mo pelo livro? Sim.

Finalmente, suponha que voc retire subitamente sua mo enquanto o livro se move para cima?

l) Quantas foras atuam agora sobre o livro? Uma (a fora gravitacional).

m) O livro est em equilbrio? No.

4. Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, inclinado de um ngulo em relao horizontal, com velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa m, permanece em repouso sobre A. A prancha est ligada por um fio ao topo do plano. a) Faa um diagrama de todas as foras que atuam sobre

o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. b) Determine o coeficiente de atrito esttico entre A e B e entre A e a superfcie do plano

inclinado, sabendo que ambos so iguais.

A )(SAcf

SN

BAN

)(BAcf

AP

B ABN

)( ABcf

BP

T

AdePeso:

AblocooeplanoentreoatritodeFora:

AblocooeBpranchaaentreatritodeFora:

AblocoosobreBpranchadanormalReao:

AblocoosobreplanodonormalReao:

)(

)(

A

BAS

BAc

BA

S

P

f

f

N

N

BdePeso:

fionoTrao:

AblocooeBpranchaaentreatritodeFora:

BpranchaasobreAblocodonormalReao:

)(

A

ABc

AB

P

T

f

N

B ABN

)( ABcf

BP

T

xBP

yBP

A )(SAcf

SN

BAN

)(BAcf

AP

xAP

yAP

Uma vez que, o bloco A desce o plano inclinado com velocidade constante e a prancha B permanece em repouso, pela 1 Lei de Newton, para ambos os corpos, o

.0F

Temos ainda que:

)()(

3

BAcABc

ABBA

BA

ffNN

mgPemgP

A

B

44

5. Os blocos A, B e C so dispostos como

indicado na figura ao lado e ligados por cordas de massas desprezveis. As massas de A e B so iguais a M e o coeficiente de atrito cintico entre cada bloco e a superfcie c. O bloco C desce com velocidade constante. Determine a massa do bloco C (em termos de c, e M).

Corpo A 0 yF

mgcosNmgcosmgcosN

mgcosNNPNNF

S

S

BAS

yABASy

43

3

0

mgcosfNf

cSAc

ScSAc

4)(

)(

Corpo A 0 xF

tan5353

53043

0)()(

c

c

c

cc

SAcBAcxAx

mgcosmgsen

mgcosmgsenmgcosmgcosmgsen

ffPF

Corpo B

mgcosPNPNF

yBAB

yBABy

0

mgcosfNf

cABc

ABcABc

)(

)(

A

B C

CT

CP

C

A AT

P)( Acf

AN

CT

AT

P

B

)( Bcf

BN

MgPNF

MgfTF

Ay

cACAx

0

0 )(

sen

cos

cos

)(

)(

Mgf

MgNF

MgfTTF

cBc

By

BcACx

0

0

gmPTF CCCy 0 cos1sen)cossen(

cossen.

sen.

sen.

e

)()(

)(

MmMm

MgMgMggmfMgfgm

fMgTTgm

C

ccC

ccC

BcAcC

BcACC

45

6. Uma caixa de massa M arrastada sobre uma superfcie horizontal atravs de uma corda inclinada de um ngulo acima da horizontal. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa e a superfcie c e o mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine o mdulo da fora exercida pela corda sobre a caixa de tal forma que a mesma desloque com velocidade constante, em funo de M, g, c e .

7. O bloco A da figura abaixo possui peso P. O coeficiente de atrito esttico entre o bloco e a superfcie na qual ele repousa vale 1/3. Determine o mximo valor do peso do bloco B (em funo de P) para o qual o sistema permanece em repouso.

A

B

Dados: sen = 3/5 cos = 4/5

B

A

AP

AT

AT

BT

BT

CT

CxT

CyT

BP

N

ef

Para que o sistema permanea em repouso:

PTNT

fT

eA

eA

mxeA

.)(

senPT

senTPTT

BC

CBBB

tanPT

cossen

PT

cosTT

BA

BA

CA

PP

PP

PP

PtanP

Ptan

PTT

mximoB

B

B

cB

eB

AA

41

41

43

31

)(

43

45

53

tan

tan

N

F

P

cf

xF

yF

x

y

FsenFFcosF

MgP

y

x

FsenMgfNf

FsenMgNMgFsenN

PFNF

cc

cc

yy

0

0

sencosMg

F

Mg)sencos(FFsenMgFcos

)FsenMg(Fcos

fFF

c

c

cc

cc

c

cxx

00

0

46

8. Duas cordas A e B suportam um corpo de peso P conforme mostrado na figura abaixo. A corda B passa por uma polia de inrcia desprezvel e sem atrito. Os pontos extremos da corda B esto unidos corda A e corda que suporta o corpo no ponto O. Determine as tenses nas cordas A e B, sabendo que o sistema est em repouso. Respostas em funo do peso P.

A B B

O 54cos

53cos

sen

sen

BT

O

yBT

AT

P

yAT

xBT

BT

xAT

yBT

BB

ByBBxB

ByBBxB

AyAAxA

TTsenTTcosTTsenTTcosTTsenTTcosTT

Aplicando a 1 condio de equilbrio:

147

44354

54

53

0

00

BA

ABB

ABB

ABB

xAxBxB

x

TT

TTT

TTT

cosTcosTcosTTTT

F

xBT

PT

PTPTTT

PTTT

TTdoSubstituin

PTTT

PTTT

PsenTsenTsenTPTTT

F

B

B

BBB

BBB

BA

ABB

ABB

ABB

yAyByB

y

4920

204920211216

4547334

47:

5334

553

53

54

0

0

PT

PT

TT

A

A

BA

4935

4920

4747

47

9. Um corpo A, de peso 4P, est sobre um plano inclinado de um ngulo e preso por um fio que passa por uma pequena roldana sem atrito no qual se encontra suspenso um outro corpo (B) de peso varivel, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito esttico entre o corpo A e o plano

41 . Determine (a) o maior valor do peso de B e (b) o menor valor do peso de B para que o

sistema permanea em repouso.

A

B

53

54cos

sen

BP

P

4

yP

4

xP

4

N

T

T

)(mxef

Para o bloco A:

PPf

PcosfNf

PcosNF

mxe

emxe

emxe

y

54

544

41

4

4

0

)(

)(

)(

BP

P

4

yP

4

xP

4

N

T

T

)(mxef

Se: PB 4Px PB(mximo)

PPPP

PPP

fPsenTF

B

B

mxe

x

516

54

534

54

534

40

)(

Se: PB 4Px PB(mnimo)

PPPP

PPP

PsenfTF

B

B

mxe

x

58

54

534

534

54

40

)(

Para o bloco B, qualquer que seja a situao:

BPTF

0

48

10. A massa do bloco A na figura ao lado M e a massa do bloco B 2M. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco A e a mesa 0,50. Os blocos so ligados por um fio de massa desprezvel e os atritos na roldana e entre o bloco B e o plano inclinado podem ser desprezados. A acelerao da gravidade local tem mdulo g. Determine (a) a tenso no fio e (b) a acelerao dos blocos.

Aplicando as Leis de Newton aos movimentos dos blocos A e B temos:

Bloco A

MgMaTMafT

MaFMgNf

MgPNF

c

x

Acc

AAy

50,0

50,0.

0

Bloco B

MaTPMaF

MgPNF

xB

x

yBBy

22

30cos0

(b)

ga

MaMgMaMgMaMg

MaTP xB

61

350,0250,0

2

(a)

MgT

MggMT

MgMaT

32

21

61

50,0

A

B

30

866,030cos50,030sen oo e

aaaTT

MgPMgMgP

AB

yB

xB

30cos2

30sen2

A

B

30

AP

BP

yBP

xBP

BN

AN

cf

T

T

Aa

Ba

49

11. Uma caixa de massa m desliza para baixo, apoiada em uma superfcie inclinada de um ngulo com a horizontal, empurrada por uma fora horizontal cujo mdulo F. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa e a superfcie c e o mdulo da acelerao da gravidade local g. (a) Faa um diagrama de corpo isolado para a caixa. Determine (b) a fora de atrito cintico sobre a caixa; (c) a acelerao da caixa e (d) o mdulo da fora F

para que a caixa deslize para baixo com

velocidade constante.

(b) 0 NPFF yyy

cosmgFsenNPFN yy

)cos( mgFsenNf ccc

(c) xx maF

)cos()(cos

)cos()(cos)cos(cos

cc

cc

c

cxx

sengsenmFa

masenmgsenFmamgFsenmgsenF

mafPF

(d) Para que a caixa deslize com velocidade constante, a acelerao dever ser igual a zero.

)cos()cos(

)cos()(cos

)cos()(cos

0)cos()(cos

0)cos()(cos

sensen

mgF

sengsenmF

sengsenmF

sengsenmF

sengsenmFa

c

c

cc

cc

cc

cc

(a)

xP

F

N

P

cf

xF

yF

yP

cos

cos

mgPmgsenPFsenFFF

yx

yx

y x

0 yx aaa

F

50

12. Um tren cheio de estudantes em frias (massa total M) escorrega para baixo numa encosta de montanha cujo ngulo de inclinao . Determine, em funo dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, o vetor acelerao do tren quando:

Faa uso de ilustraes, eixos cartesianos de referncia, e represente os dados pertinentes. Faa o diagrama do corpo isolado para cada situao. Utilize g para a acelerao da gravidade.

(a) a montanha est coberta de gelo (supor c = 0);

Dados: M, e c = 0 (fc = 0) Representao grfica:

mgP (1) cosmgPy (2)

senmgPx (3)

Como no h atrito ao longo do declive, 0 Nf cc , a anlise a seguir, da resultante

das foras ao longo do eixo y, que fornecer o valor da normal (N), torna-se dispensvel.

Em y: 0 yy PNF (4)

cosmgN (5)

Em x: xxx maPF (6)

xmamg sen (7)

sengax

ou )(sen iga

(8)

(b) a montanha est coberta de neve (c > 0).

Dados: M, e c > 0 (fc > 0) Representao grfica: vide figura acima.

De modo similar ao item (a), tem-se:

mgP (1) cosmgPy (2)

senmgPx (3)

Nf cc (4)

Em y: 0 yy PNF (5)

cosmgN (6)

Em x: xcxx mafPF (7)

Usando (3), (4) e (6) em (7), obtm-se

xe mamg )cos(sen (8)

)cos(sen ex ga

ou )()cos(sen iga e

(8)

x

y

g

P

N

yP

cf

xP

sentido do movimento

51

+y

+x ef

31 PP

)( 31 PPN

1T

1

+y

+x

cf

1P

1PN

1T

1

1a

+y

2P

22 PT

2

+y

2P

2T

2 2a

13. Os blocos 1 e 2 da figura ao lado tm massas m1 e m2, respectivamente. Considere que o fio seja inextensvel, que no haja atrito na polia e que as massas do fio e da polia sejam desprezveis. Sejam e e c os coeficientes de atrito esttico e cintico entre o bloco 1 e a mesa, respectivamente.

a) Determine a massa mnima do bloco 3 (m3) para impedir que o bloco 1 deslize.

b) Determine a acelerao do bloco 2, quando o bloco 3 removido subitamente de cima do bloco 1.

Resoluo:

Dados: m1 , m2 , e , c e g Ilustrao: Diagrama do corpo livre.

(a) Bloco 1:

P = mg (1)

Em y: 0 yF

0)( 31 PPN

31 PPN (2)

Como Nf ee

)( 31max PPNf eee (3)

Em x: 0 xF 01 efT

)( 311 PPfT ee (4)

Bloco 2:

Em y: 0 yF

022 PT

22 PT (5)

Mas 21 TT , ento, de (4) e (5), obtm-se

12

3 PPP

e

1

23 m

mme

(6)

(b) Bloco 1:

Em y: 0 yF

01 PN gmPN 11 (7)

Ento gmNf ccc 1 (8)

Em x: 11amFx

111 amfT c

)( 111 agmT c (9)

Bloco 2:

Em y: 22amFy

2222 amPT )( 222 agmT (10)

Mas 21 TT e 21 aa , ento, de (4) e (5), tem-se

gmm

mma e

21

12 (11)

m1

m2

m3

52

14. Os blocos A e B so dispostos sobre superfcies sem atrito, como indicado na figura ao lado e ligados por cordas de massas desprezveis. As massas de A e B so iguais a M. Determine a acelerao dos blocos e a tenso na corda que os une. Expresse suas respostas em termos das grandezas M, g e que se fizerem necessrias.

15. Uma pilha de 3 blocos iguais, de mesma massa m, encontra-se apoiada

sobre o piso de um elevador, como representado na figura ao lado. O elevador est subindo em movimento uniformemente retardado com uma acelerao de mdulo a. Determine o mdulo da fora que o bloco 1 exerce sobre o bloco 2. Considere g o mdulo da acelerao da gravidade local.

Diagrama de corpo livre dos blocos 1, 2 e 3:

Bloco B

cos0 MgNF By

Ma-sensen

MgTMaTMgmaF xx

Bloco A MaTmaF xx

sen21

sen2-sen

ga

MgMaMaMaMg

sen

21sen

21 MggMTMaT

A

B

TTT AB

A AT

P

AN

BT

P

B BN

a

321

a

Aplicando a 2 Lei de Newton ao movimento dos blocos temos:

Bloco 3

mamgNmaNP

3

3

Bloco 2

)(222

2

2

2

32

23

agmNmamgN

mamamgmgNmaNmgN

maNNP

3

2

1

P

P

P

1N

2N

2N

3N

3N

(+)

a

Pela 3 Lei de Newton: 3322 NNeNN

53

16. Um bloco A, de massa igual a M colocado sobre um bloco B, de massa igual a 2M. Este, por sua vez colocado sobre o bloco C, de massa igual a 3M, que se encontra apoiado sobre o piso de um elevador (figura abaixo). Sabendo que o mdulo da acelerao da gravidade local vale g e que o elevador est subindo com acelerao igual a 0,5g, calcule o mdulo da fora que o piso do elevador exerce sobre o bloco C. (Dados: M e g).

17. Um bloco A de massa 2M est apoiado em um plano, inclinado de 30 com a horizontal. Um

segundo bloco (B) de massa 4M est ligado ao primeiro por uma corda que passa por uma polia. O

coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o plano inclinado vale 33 . A corda leve e o atrito

com a polia desprezvel. A acelerao da gravidade g. a) Indique na figura o sentido da acelerao de cada bloco. Explique.

b) Determine a acelerao dos blocos em funo de g.

aA

B

C

30

2M 4M

A B

2330

2130 cossen

N

AP

BP

CP

a

Considerando o sistema constitudo pelos trs blocos:

MggMN

ggMN

gaMNMaMgN

ammmPPPNamF

CBACBA

sistsist

9236

)21(6

)(666

)()(..

30

BP

BT

AT

AP

yAP

xAP

N

cf

Para o bloco A:

MgMgN

MgcosNFy

3232

0302

Assim:

MgMgNf cc 3.33

MgMgsenP xA 302

y

Uma vez que: cxAB fPP , o bloco A mover para cima e o bloco B para baixo, com acelerao de mdulo a.

x

a

a

54

c) Determine a trao na corda em funo de M e g.

Pela equao (1) ou (2) podemos calcular o valor da trao na corda:

18. No sistema ilustrado abaixo, trs blocos so ligados por cordas leves. As massas de A, B e C so,

respectivamente, 2M, 3M e 5M. Os blocos descem em movimento acelerado, com uma acelerao cujo mdulo 0,1g, onde g o mdulo da acelerao da gravidade local. Determine: (a) o mdulo da fora F

aplicada sobre o bloco A e (b) as tenses nas cordas que unem os blocos A e B e os

blocos B e C. Apresente suas respostas em funo das grandezas M e g.

Aplicando a 2 Lei de Newton para os movimentos dos blocos A e B temos:Bloco A:

)1(222

MaMgTMaMgMgT

amPfTF

A

A

AAxAcAx

Bloco B:

)2(4444

MaMgTMaTMg

amTPF

B

B

BBBBB

Uma vez que TB = TA, igualando as equaes (1) e (2):

ga

MgMaMaMgMaMg

31

264422

MgT

MgMgT

gMMgT

MaMgTEq

A

A

A

A

38

322

3122

22:)1.(

Ou:

MgT

MgMgT

gMMgT

MaMgTEq

B

B

B

B

38

344

3144

24:)2.(

F

C

A

B

C

F

A

B

BCT

ABT

BAT

CBT

BP

AP

CP

ga 1,0

ga 1,0

ga 1,0

Para o bloco A:

)1(8,1)1,0(22

22)(

1

1

1

1

MgTFgMTMgF

MaTMgFamTPF

amF

AA

A

Para o bloco B:

)2(7,2)1,0(33

33)(

21

21

21

21

MgTTgMTMgT

MaTMgTamTPT

amF

BB

B

Para o bloco C:

)3(5,4)1,0(55

55)(

2

2

2

2

MgTgMMgT

MaMgTamPT

amF

CC

C

1TTT BAAB

2TTT CBBC

55

19. Dois corpos A e B, ligados por uma corda que passa por uma pequena roldana sem atrito, esto sobre superfcies inclinadas, sem atrito, conforme ilustrado abaixo. As massas de A e B so, respectivamente, M e 2M e o mdulo da acelerao da gravidade local g. (a) Em que sentido o sistema se move? Explique. (b) Determine a acelerao dos corpos e (c) a tenso na corda que os une. D suas respostas em funo das grandezas M e g que se fizerem necessrias.

AB

30 53

Use, se necessrio: cos30 = 0,87 e sen30 = 0,50 cos53 = 0,60 e sen53 = 0,80

Pela equao (3): MgTTT CBBC 5,42

Pela equao (2):

MgTTTMgT

MgMgTMgTT

BAAB 2,72,7

7,25,47,2

1

1

1

21

Pela equao (1):

MgFMgMgF

MgTF

0,98,12,7

2,21

BN

AB

30

53 30 AP

BP

53 BxP

ByP

AyP

AxP

AN

BT

AT

a a

MgMgsenPPMgsenPP

TTT

BBx

AAx

BA

0,150,0.23080,0.53

(a) Uma vez que PBx PAx os corps A e B se movero para a esquerda com acelerao constante de mdulo igual a a. (Veja no diagrama de foras).

Para o corpo A:

)1(80,080,0

MgMaTMaMgT

amPTF AAxx

Para o corpo B:

)2(20,120,1

MaMgTMaTMg

amTPF BBxx

(a) Igualando as equaes (1 e (2):

ggga

MgMaMaMgMgMa

067,0151

320,0

20,0320,180,0

(b) Substituindo o valor de a em (1):

MgMgMgT

MggMT

MgMaT

867,01513

36,2

80,0320,0

80,0

56

20. Um pequeno bloco solto do repouso em um plano inclinado de um ngulo com a horizontal. Aps descer uma distncia L ao longo do plano, com acelerao constante, o mdulo de sua

velocidade Lg54 , onde g o mdulo da acelerao da gravidade local. Determine (a) o

mdulo da acelerao do bloco (em funo de g) e (b) o valor do coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a superfcie do plano.

43

45

53

tan

tan

L

Dados: sen = 3/5 cos = 4/5

yP

P

xP

cf

N

+x

+y

a) Clculo da acelerao do bloco.

ga

aLLg

aLLg

xavv

52

254

254

22

20

2

b) Clculo do coeficiente de atrito cintico.

41

42

43

54

52

43

0

c

c

c

c

c

cx

x

ccc

y

y

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