Métodos Quantitativos Aplicados à Administração

Nome da Professora: Prof.ª Bruna D. Silva

Aluno(a):_________________________________________________________ Nº.___ Turma: __________Habilitação:____________

Sumário

RELAÇÕES E FUNÇÕES _____________________________________________________________4 Relação entre grandezas variáveis _________________________________________________________ 4 Função como uma relação especial ________________________________________________________ 5 O conceito matemático de função _________________________________________________________ 5 Atividades ____________________________________________________________________________ 5

Gráficos e Tabelas ________________________________________________________________7 Tabelas ______________________________________________________________________________ 7 Gráficos ______________________________________________________________________________ 7

_______________________________________________________________________________8 Atividades ___________________________________________________________________________ 10

Juros, capitalização, descontos. _____________________________________________________12 Juros _______________________________________________________________________________ 12 Taxas proporcionais ___________________________________________________________________ 13 Montante ___________________________________________________________________________ 13 Desconto Simples _____________________________________________________________________ 13 Taxa de juro efetiva____________________________________________________________________ 14 Juros Composto_______________________________________________________________________ 15 Tábua financeira ______________________________________________________________________ 15 Cálculo do Capital _____________________________________________________________________ 16 Desconto composto ___________________________________________________________________ 16

Series de pagamentos ____________________________________________________________17 Valor Presente (PV) ____________________________________________________________________ 17 Valor Futuro (FV) ______________________________________________________________________ 17

Sistemas de amortização. _________________________________________________________18 1. Sistema de Amortização Constante _____________________________________________________ 18 2. Sistema de Amortização Crescente ______________________________________________________ 18 3. Sistema de Amortização Francês - Tabela Price ____________________________________________ 19 4. Comparações entre os Sistemas: PRICE x SACRE e SAC ______________________________________ 20 5. Mais uma comparação - SAC x Tabela Price _______________________________________________ 22

Gráficos e distribuição de frequência. ________________________________________________23 Distribuição de Frequência ______________________________________________________________ 23

Medidas Associativas _____________________________________________________________26 Média aritmética (MA) _________________________________________________________________ 26 Moda (Mo) __________________________________________________________________________ 26 Mediana (Me) ________________________________________________________________________ 27 Medidas de dispersão __________________________________________________________________ 27 Desvio padrão (DP) ____________________________________________________________________ 28

Diagrama de dispersão e medidas de correlação. ______________________________________30 DIAGRAMA DE DISPERSÃO ______________________________________________________________ 30

Estudo da probabilidade. __________________________________________________________31 Espaço amostral e evento _______________________________________________________________ 31 Probabilidade da união de dois eventos ____________________________________________________ 31 Probabilidade Condicional ______________________________________________________________ 32 Eventos idependentes__________________________________________________________________ 32 Método Binomial _____________________________________________________________________ 32

Inferência estatística. _____________________________________________________________34

Curva normal Gauss. _____________________________________________________________36

Intervalos de confiança. ___________________________________________________________37

Tábua Financeira ________________________________________________________________38

4

RELAÇÕES E FUNÇÕES

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização

as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no

estudo de funções. Pode notar-se que as palavras: função; mapeamento; mapear; e transformar são

geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso, funções podem ocasionalmente ser

referidas como funções bem definidas ou função total. O conceito de uma função é uma

generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações

matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar

a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando

através de: uma equação, um relacionamento gráfico; diagramas representando os dois conjuntos;

uma regra de associação; uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela

função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um

único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

Relação entre grandezas variáveis

Há diversas maneiras de representar uma relação entre duas grandezas. Veja abaixo algumas

situações:

A tabela abaixo mostra as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio não

comercial e cartão-postal.

A partir da tabela, podemos responder a

perguntas como:

- Qual o valor a ser pago por uma carta que ―pesa‖

62 g?

- Qual o ―peso‖ máximo de uma carta para que sua

tarifa não ultrapasse R$ 1,00?

- É possível que duas cartas com tarifas diferentes

tenham o mesmo ―peso‖?

Nessa relação, o ―peso‖ da carta é a variável

independente, e a tarifa a variável dependente. Você

pode notar que a cada ―peso‖ de carta a ser enviada

corresponde uma única tarifa. A tarifa depende do ―peso‖ da carta.

O gráfico abaixo mostra a variação da taxa de desemprego mensal no Brasil, no período de

abril de 2008 a março de 2009.

A partir do gráfico podemos obter diversas

informações sobre o desemprego no Brasil: o mês

em houve maior número de desempregados, a época

em que tivemos menos desempregados, a

porcentagem de aumento e diminuição entre dois

meses quaisquer e muitas outras.

Nessa relação, o mês é a variável independente

e a taxa de desemprego a variável dependente. Você

pode notar que a cada mês corresponde a uma única

taxa de desemprego. A taxa de desemprego depende

do mês escolhido.

A fórmula A=l² nos permite determinar a área A de um quadrado de lado l.

Assim se o lado do quadrado mede 5 cm sua área será de A=25 cm².

Nessa relação, a medida do lado é a variável independente e a área a variável dependente.

Você pode notar que a cada medida do lado do quadrado corresponde uma única área para esse

quadrado. A área do quadrado depende da medida de seu lado.

Essas três formas, tabelas, gráficos e fórmulas, são as mais utilizadas para representar uma

relação entre variáveis.

CARTA NÃO COMERCIAL E CARTÃO-

POSTAL – NACIONAL

(PREÇOS EM REAIS)

PESO (GRAMAS) VALOR BÁSICO

Até 20 0,27

Mais de 20 até 50 0,45

Mais de 50 até 100 0,70

Mais de 100 até 250 1,00

Mais de 250 até 500 2,00

Acima de 500 g serão aplicadas as mesmas condições de valor e prestação do SEDEX

Função como uma relação especial

As três relações que vimos anteriormente têm duas características em comum:

A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente.

Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável

dependente.

As relações que têm essas características são chamadas funções.

Dizemos que: - A tarifa postal é dada em função do ―peso‖ da carta.

- A taxa de desemprego é dada em função do mês.

- A área do quadrado é dada em função da medida do se lado.

Em toda função, destacamos dois conceitos importantes: o domínio e a imagem.

Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente.

Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente.

O conceito matemático de função

Produto

cartesiano

Dado dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano

(indica-se: A ×B de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais

o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B.

A×B={(x,y)|x є A e y є B}

Dado os conjuntos A= {1, 2, 3} e b {2,4}, vamos construir um novo conjunto a partir de A e B,

formado por todos os pares ordenados , onde o primeiro elemento de cada par pertença ao conjunto A e

o segundo elemento pertença ao B.

Esse novo conjunto chama-se produto cartesiano de A e B.

Indica-se: A × B. (Lê-se: A cartesiano B.)

A × B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}

Representamos esse produto em diagrama:

Atividades

Relação

Dado dois conjuntos A e B, dá-se o nome relação R de A em B a qualquer subconjunto

de A ×B .

R é relação de A em B ⟺ R ⊂ A ×B

Função Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B.

Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está

associado um e apenas um elemento y do conjunto B.

Domínio O domínio é constituído por todos os valores que podem atribuídos à variável

independente.

Imagem

de uma

função

A imagem da função é formada por todos os valores correspondentes da variável

dependente.

Contra-

domínio

O conjunto imagem de uma função é composto pelos elementos do contra-domínio

que foram relacionados.

1

2

3

2 4

6

1. A população brasileira é a quinta maior do mundo e vem aumentando a cada ano, sendo que

no decorrer do século passado essa população foi praticamente multiplicada por 10. Atualmente,

segundo o IBGE, o Brasil possui mais de 190 milhões de habitantes.

Evolução da população

brasileira do século XX

Ano População (em milhões

de habitantes)

1900 17,4

1920 30,6

1940 41,2

1960 71

1970 94,5

1980 121,2

1991 146,9

2000 169,6

Fonte: www.sidra.ibge.gov.br.

Acesso em: 16 jun. 2009.

a) Na tabela, quais as variáveis que se relacionam?

b) Qual era a população brasileira no ano de 1980?

c) A cada ano apresentado na tabela estão associadas mais de uma quantidade de habitantes?

2. Uma locadora de automóveis anuncia uma promoção de aluguel de veículos na qual o

locatário deve pagar uma taxa fixa de R$ 39,90 mais uma quantia proporcional á quantidade d de

quilômetros rodados. Nessa promoção, para calcular a quantia Q a ser paga pelo aluguel de

veículo, utiliza-se a fórmula Q = 39,90 + 0,46d.

a) Na fórmula Q = 39,90 +0,46d, qual é a variável dependente? E a independente?

b) Nessa locadora, qual o preço por quilômetros rodado?

c) Quanto pagará uma pessoa que alugar um veículo e percorrer 230 km?

d) Se um cliente pagou R$ 223,90 pelo aluguel de veículo, quantos quilômetros ele percorreu com

esse veículo?

7

Gráficos e Tabelas

Tabelas

A produção de tabelas deve seguir

algumas regras sobre os elementos que

compõem este tipo de texto.

Título - indica o assunto tratado ou

pode ser apenas ter a função de chamar a

atenção do leitor. Subtítulo ou texto

explicativo - explicita o tema da tabela e

contextualiza a situação.

Cabeçalho e colunas indicadoras -

correspondem aos títulos dos conteúdos das

colunas e linhas, respectivamente.

Corpo - os dados da tabela.

Fonte - que possui a mesma função

que nos gráficos e que usualmente aparece no

rodapé da tabela.

Gráficos

O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de

produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno

em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.

São elementos de um gráfico:

Título - em geral na forma de frase curta e chamativa, para despertar o interesse do leitor.

Subtítulo ou texto explicativo - essencial para a compreensão do gráfico. Nele encontramos

o assunto de que trata o gráfico, aonde e quando foi feita a pesquisa e muitas vezes as unidades

escolhidas para uma ou para as duas variáveis envolvidas.

Fonte - identificação do

órgão ou instituição que fez a

pesquisa de dados. A fonte

valida a pesquisa e permite que o

leitor possa confiar nas

informações descritas pelo

gráfico.

Eixo Horizontal

Onde é representada a

variável independente que pode

ser do tipo qualitativo ou

quantitativo.

Eixo Vertical

Este eixo também pode estar ou não explicitamente desenhado, mas a unidade utilizada deve

ser cuidada dependendo do intervalo de sua variação.

Tipos de Gráficos

Cada tipo de gráficos tem uma função diferente,

basicamente eles são de três tipos: em barras, em linha ou

segmentos ou em setores.

Histograma, Polígono de Frequência e Ogiva: São

utilizados para representar a distribuição de frequência. 0

20

40

60

80

100

120

5|-6 6|-7 7|-8 8|-9 9|-10

%

acu

mu

lad

a

Notas obtidas na disciplina de programação I

8

Histograma O histograma consiste em retângulos contíguos com base

nas faixas de valores da variável e com área igual à

freqüência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a

altura de cada retângulo é denominada densidade de

freqüência ou simplesmente densidade definida pelo

quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores

utilizam a freqüência absoluta ou a porcentagem na

construção do histograma, o que pode ocasionar

distorções (e, consequentemente, más interpretações)

quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas.

Polígono de freqüências Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos

pontos médios das classes.

Gráfico de ogiva Apresenta uma distribuição de freqüências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando

os pontos extremos.

Gráfico em linha é um dos mais importantes gráficos; representa

observações feitas ao longo do tempo. Tais conjuntos de

dados constituem as chamadas séries históricas ou

temporais.

Gráfico em setores É um gráfico construído no círculo, que é

dividido em setores correspondentes aos

termos da série e proporcionais aos

valores numéricos dos termos da série. É

mais utilizado para séries específicas ou

geográficas com pequeno número de

termos e quando se quer salientar a

proporção de cada termo em relação ao

todo.

Gráficos em Barras

(ou em colunas). É a representação de uma série por meio de

retângulos, dispostos horizontalmente (em barras) ou

verticalmente (em colunas). Quando em barras, os

retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são

proporcionais aos respectivos dados.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5|-6 6|-7 7|-8 8|-9 9|-10

F

r

e

q

u

e

n

c

i

a

Notas

Notas obtidas na disciplina de programação I

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5|-6 6|-7 7|-8 8|-9 9|-10

F

r

e

q

u

e

n

c

i

a

Notas

Notas obtidas na disciplina de programação I

9

Quando em colunas, os retângulos têm a

mesma base e as alturas são proporcionais aos

respectivos dados.

Cartograma. É representação sobre uma carta geográfica. Este

gráfico é empregado quando o objetivo é o de

figurar os dados estatísticos diretamente

relacionados com as áreas geográficas ou políticas.

Pictograma. Constitui um dos processos gráficos que

melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo

tempo atraente e sugestiva. A

representaçãográfica consta de figuras.

Ex.: População Urbana do Brasil em 1980 (x 10)

10

Atividades

1. Dependendo da informação procurada é preciso uma leitura

diferente da tabela:

a) Em qual faixa etária as pessoas possuem mais

computadores no Brasil?

b) Se nos perguntarmos, jovens ou idosos têm maior acesso à

internet?

2. Analisando o gráfico ―mortalidade infantil 200/2005‖.

Elabore uma tabela

Responda:

a. Qual cidade aponta o maior número de mortalidade?

b. Qual a fonte de pesquisa?

c. Qual o título da tabela?

Mortalidade infantil 200/2005

3. Observe a tabela e construa um gráfico

Calorias de doces típicos

Fonte : http://www.melhoramiga.com.br/2011/06/saboreie-os-quitutes-das-festas-juninas-sem-culpa/

11

4. Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre os meios de transporte utilizado

diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram

registados no seguinte gráfico, construa uma tabela com a frequência relativa de cada um dos

transportes.

CAPÍTULO III – JUROS, CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO S

Juros, capitalização, descontos.

Juros

Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

Na prática, o valor do juro é determinado por meio de uma taxa percentual, referida a um

intervalo de tempo, denominada taxa de juro.

Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse

capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de

Capitalização.

Capitalização

Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro.

Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto.

No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é

incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a render juro no

período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados.

Já no regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende

juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital

para também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são

capitalizados.

Juros Simples

Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

Cálculo do juro simples Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de

aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade.

C= Capital inicial

j = juros

i = taxa de juro (percentual(30%) ou unitária (0,30)

n= período (tempo)

m=montante (m=C+j)

Obs. O prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i

considerada.

Exemplo

1. Tornou-se emprestada a importância de R$ 1.200, pelo prazo de 2 anos a taxa de 30% ao ano.

Qual será o valor do juro a ser pago?

Resolução

Temos: C= 1.200 n= 2 a i= 30% a.a. = 0,3a.a.

Como :

Temos:

Logo, o juro a ser pago é de: R$720

Atividades

1. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, a taxa de 5% ao trimestre, durante

3 trimestres.

2. Um capital de R$56.800 foi empregado, a taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule

o juro produzido.

CAPÍTULO III – JUROS, CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO S

Taxas proporcionais

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os temos a elas

referidos, reduzidos á mesma unidade.

Exemplo

Calcule a taxa mensal proporciona a 30% ao ano.

Resolução:

Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:

i=

isto é: 2,5% a.m

Atividades

3. Calcule a taxa mensal proporcional a:

a. 9 % a.t. b. 24 % a. s. c. 0,04 % a.d.

4. Calcule a taxa anual proporcional a:

a. 1,5 % a.m. b. 8 % a. s. c. 0,05 % a.d.

Montante

Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual á soma do capital inicial (ou valor atual)

com o juro relativo ao período de aplicação, isto é:

Montante = capital inicial + juro

Ou

Valor nominal = valor atual + juro

Assim, designando o montante por M, temos:

M = C + j ou M= C (1+in)

Atividades

1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000, á taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos.

2. Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de

R$ 180.000. Qual foi a taxa anual?

Desconto Simples

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao

credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.

Todo título tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente,

obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.

Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a

duplicata e a letra de câmbio.

Desconto é a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre valor nominal e valor

atual.

Desconto comercial

Desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor

nominal do título no período correspondente, e a taxa fixada.

Valor do desconto comercial

Chamando de:

d o valor do desconto comercial

N o valor nominal do título

A o valor atual comercial ou valopr descontado comercial

n o tempo

i a taxa de desconto

14

Valor atual comercial O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:

A =N –d

Daí:

Exemplo Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 454 dias paro o

vencimento do título, determine:

a. O valor do desconto comercial;

b. o valor atual comercial.

Resolução:

Temos: N = 6.000 n = 45d i = 2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d

a. Sabemos que:

Logo:

,

isto é, o desconto comercial é de: R$ 189

b. Como:

Atividades 5. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000, foi resgatada 2 meses antes do

vencimento, a taxa de 30 % ao ano. Qual o desconto comercial?

6. Um título, no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07.

Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?

Taxa de juro efetiva

A taxa de juro que no período n torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente

está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.

Exemplo: Um título de R$ 6.000,00 foi descontado á taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para

o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto comercial foi de R$ 189,00, calcule a ―taxa de

juro efetiva‖.

Temos: N= 6.000 d= 189 n = 45 d

Como:

A= N – d A= 6.000 – 189 A= 5.811

Vem:

Isto é:

Ou: ou

Atividades

7. Uma duplicata de R$ 23.000 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068.

Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva.

Desconto Racional

Chamamos de desconto racional o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa

taxa fixada e durante o tempo correspondente.

15

dr = Valor do Desconto Racional ( por dentro ):

Ar = Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional

Valor do Desconto Racional Valor Atual Racional:

Exemplo

Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês faltando 45 dias para o

vencimento. Determine:

a) o valor do desconto racional ( dr = R$ 183,23 )

b) o valor atual racional ( Ar = R$ 5.816,77 )

Atividades

8. Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$

50.000, disponíveis dentro de 40 dias, á taxa de 3% ao mês.

Juros Composto

Juros composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre

o montante relativo ao período anterior.

Que nos permite escrever, para o enésimo período:

Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto, também fórmula fundamental do juro composto,

para um número inteiro de períodos.

O fator (l + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

Exemplo

Calcule o montante produzido por R4 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5 % ao

mês, durante 2 meses.

Temos: C =2.000 n=2 me i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Logo:

Isto é, o montante é de : R$ 2.205

Tábua financeira

No final desta apostila, apresentamos uma Tábua financeira que nos dá os valões de (1+i) n,

para

vários valores de i e de n.

Para localizarmos nessa Tábua determinado valor de (1+i)n, procuramos o quadro da taxa

percentual correspondente a i e na primeira coluna dessa tabela o valor de n. O valor de (1+i)n é aquele

que figura na intersecção da segunda coluna com a linha do número de períodos (n).

Nessa tábua o número de períodos é dado na unidade de tempo da taxa; assim, se a taxa é anual,

n é o número de anos; se mensal, n é o número de meses etc.

Exemplos:

Suponhamos problemas que envolvam:

1. Taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos. Temos:

i = 20% a.a. = 0,2 a.a

.n = 5 a

Queremos determinar o valor de (1 + 0,2)5.

16

Localizamos, inicialmente, a tabela corresponde a i =20%. Na primeira coluna procuramos o

valor 5 de n .O valor de (1 + 0,2)5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com a

segunda coluna: 2, 48832.

Logo: (1 + 0,2)5 = 2,48832

Atividades

9. Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestados, a juro de 3 % ao mês, pelo prazo de 10 meses, com

capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?

10. Calcule o montante de R$ 20.000 a juros composto de 3,5% ao mês durante 36 meses.

Cálculo do Capital

Exemplo

Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$

4.058. C = R$ 3.500

Atividades

11. Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, á taxa de 2,5% ao mês, durante

4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475, calcule esse capital.

Desconto composto

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o

abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento.

Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto

simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo.

Cálculo do valor atual

Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa

i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n

períodos o montante N.

Assim, em virtude dessa definição, temos:

A (1 + i)n = N

Logo:

Daí:

A= N(1 + i)-n

D=N-A

Exemplo

Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses ates de seu vencimento, á taxa

de desconto (composto) se 2% ao mês ( A= R$ 739)

Atividade

12. Qual o desconto composto de um titulo de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses

antes de seu vencimento, á taxa de 2,5% ao mês?

CAPÍTULO IV – SERIES DE PAGAMENTOS

Series de pagamentos Genericamente, entende-se por Série de Pagamentos uma seqüência de embolsos (entradas)

e/ou desembolsos (saídas) de capitais que são distribuídos periodicamente, um após o outro, em

uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestações (PMT).

O estudo das séries de pagamentos envolve basicamente três conceitos: o Valor Presente

(PV), que é a somatória das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV), que é a somatória das

parcelas em data futura, em data igual ou após o vencimento da ultima prestação; e a Equivalência

de Capitais, que é a somatória das prestações em uma data qualquer.

Abordaremos cada um dos pontos acima, porém, antes, é preciso classificar os tipos de séries,

ou seja, a forma como se comportam os fluxos monetários ao longo do tempo, haja vista os diversos

formatos que eles podem assumir:

Quanto à Periodicidade das Prestações:

• Periódica: Ocorrem em intervalos regulares do tempo. Por exemplo : prestações mensais,

anuais, semestrais e etc.;

• Não Periódica: Não obedece a uma regularidade temporal.

Quanto ao Valor das Prestações:

• Constante: Quando eles são iguais.

• Variáve l: Quando eles não são iguais.

Quanto ao Número de Prestações:

• Finita: Quando a quantidade for conhecida;

• Perpétua: Quando a quantidade não for conhecida.

Quanto ao Início do Pagamento da Primeira Prestação:

• Antecipada: Quando a primeira prestação for efetivada no ato da operação financeira;

Postecipada: Quando a primeira prestação for efetivada depois de decorrido um período da

operação financeira.

• Diferida: Quando a primeira prestação for efetivada n 1períodos após a época zero.

Dizemos que n é o prazo de carência da série.

Valor Presente (PV)

O Valor Presente de uma série de pagamentos é dado pela somatória das prestações

descapitalizadas por uma taxa (i) à data inicial (t0) do fluxo de caixa. De forma simplista, valor

presente é a substituição de várias parcelas, recebimentos e/ou pagamentos, por apenas uma, em

data igual ou anterior ao vencimento da primeira.

No item presente discutiremos o Valor Presente para as seguintes formatações de séries:

PVP - Série Periódica Constante Postecipada;

PVA - Série Periódica Constante Antecipada;

PVG - Série Perpetua;

Outros Modelos Aleatórios.

Valor Futuro (FV)

O conceito e a metodologia de cálculo do Valor Futuro (FV) para séries de pagamentos é

análoga a do Valor Presente. O FV pode ser entendido como a somatória das prestações de uma

série de pagamentos, capitalizadas a taxa (i) em única data, igual ou posterior ao último período do

fluxo de caixa. De forma simplista, é a substituição de várias parcelas por uma única, em data igual

ou posterior ao vencimento da última prestação.

Desenvolveremos o calculo do FV para os seguintes formatos de séries:

• Série Periódica Constante Postecipada;

• Série Periódica Constante Antecipada;

• Séries Aleatórias de Pagamentos.

CAPÍTULO V – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Sistemas de amortização. Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos,

que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma

do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de

ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

No Brasil, existe a amortização contábil, cujo conceito não se restringe à diminuição de

dívidas, mas também à direitos intangíveis classificados no ativo (conta de balanço), derivado da

teoria de dimensão económico dos fundos contábeis. Assim, associa-se o termo amortização

contábil, à depreciação contábil (redução de bens tangíveis) e à exaustão contábil (recursos

naturais).

Com o desenvolvimento econômico, toda relação econômica passou a ter um componente

financeiro como parte da negociação de bens e serviços, determinando o surgimento de dívidas. A

Matemática Financeira trata o pagamento dessas dívidas, principalmente no médio e longo prazo,

pelos sistemas de amortização de empréstimos, envolvendo desembolsos periódicos do principal e

encargos financeiros.

Os contratos firmados entre credor e devedor ou mutuário estabelecem as condições de se

amortizar a dívida contraída.

Nos financiamentos imobiliários, alguns sistemas de amortização desapareceram e, mais

tarde, voltaram a ser usuais, como é o caso do Sistema de Amortização Constante (SAC). A

capitalização composta está presente em todos os sistemas de concessão de crédito.

Além do SAC, hoje, os dois outros modos de cálculo mais usados em financiamentos

imobiliários novos são a Tabela Price e o Sistema de Amortização Crescente (SACRE).

1. Sistema de Amortização Constante

No Sistema de Amortização Constante (SAC), as amortizações do saldo devedor são

constantes, mas as prestações iniciais são mais altas, uma parcela fixa da prestação vai abatendo o

que você deve e, sobre o saldo, cada vez menor, são aplicados os juros. Isso faz com que o valor

pago a título de juros e, afinal, as próprias prestações sejam decrescentes ao longo do tempo.

2. Sistema de Amortização Crescente

O Sistema de Amortização Crescente - SACRE - é muito parecido com o Sistema de

Amortização Constante - SAC. Suas prestações iniciais são mais altas, mas decrescem à medida que

o tempo passa.

O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor

emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor.

19

A diferença está no índice de correção – a taxa referencial (TR) –, que entra nos cálculos

posteriormente, alterando a amortização constante e tornando-a variável.

Se a Taxa Referência estiver em declínio constante, a amortização do saldo devedor será

decrescente, não crescente.

3. Sistema de Amortização Francês - Tabela Price

A prestação pela Tabela Price é obtida por uma fórmula de prestações iguais:

A correção monetária do saldo devedor pode fazer com que uma prestação, que, no início do

contrato, comprometa 25% da renda do mutuário, com o passar do tempo, passe a comprometer

30%, 40% ou mais de sua renda. Além disso, o sistema obriga, durante a maior parte do contrato,

que, primeiro, sejam pagos, essencialmente, os juros, não o principal da dívida, pois os juros são

calculados sobre o saldo devedor que, no início, é maior.

A parcela cobrada a título de juros não reduz o contrato, a amortização do saldo é muito

pequena, aumentando à medida que passam os períodos. A amortização só se torna possível porque

as prestações são cada vez mais altas

Para melhorar a compreensão do sistema francês o exemplo abaixo.

• Valor do empréstimo: $ 10.000,00

• Taxa de juros: 36% ao ano

• Prazo: 10 meses

• Taxa Equivalente Mensal: 2,6% ao mês

Prestação

20

Juros do 1o. período = 10.000,00 x 0,025955 = 259,55

Juros do 2o. período = 9.111,32 x 0,025955 = 236,48

Amortização do 1o. período = 1.148,23 – 259,55 = 888,68

Amortização do 2o. período = 1.148,23 – 236,48 = 911,75

4. Comparações entre os Sistemas: PRICE x SACRE e SAC

O banco pode oferecer ao cliente três tipos de Sistemas de amortização para estabelecer o

valor da prestação do financiamento: tabela Price (Sistema Francês de Amortização), tabela SACRE

(Sistema de Amortização Crescente), exclusiva da Caixa Econômica Federal, e tabela SAC

(Sistema de Amortização Constante).

Digamos que você tenha essas três opções, qual escolher? Para fazer essa comparação, vamos

imaginar que a correção monetária dos contratos de financiamento foi extinta pelo governo federal

(a extinção da correção monetária já está sendo estudada pelo governo).O valor da prestação

corresponde apenas ao pagamento da amortização dívida e dos juros sobre a dívida.

Considerando a ausência de correção das prestações, no Sistema de Amortização Francês

(tabela Price), a prestação inicial é menor e constante durante todo o contrato. Nos Sistemas de

Amortização Constante e Crescente (tabelas SAC e SACRE), a prestação inicial é maior, mas

decresce com o tempo. A amortização da dívida é maior no começo do plano no caso da SAC e da

SACRE. O saldo devedor cai mais no caso das tabelas SAC e SACRE do que da tabela Price - o

que gera essa diferença na prestação.

Atualmente, o saldo devedor é corrigido pela TR (Taxa Referencial), agravando ainda mais

essa diferença e, dependendo de como é feita a correção da prestação, pode ficar maior em todas as

tabelas, crescendo mais no Sistema de Amortização Francês (tabela Price).

Exemplo elaborado pela Caixa Econômica Federal

Este exemplo mostra as diferenças entre os sistemas Price e SACRE. Para simplificar,

excluímos o SAC por apresentar características semelhantes ao SACRE.

DADOS:

- Valor financiado: $ 50.000,00

- Taxa de juros: 10,5% ao ano.

- Prazo: 180 meses

- TR (projetada): 1,006% ao mês

- Renda Exigida no SACRE: $ 2.384,26

- Renda Exigida no Price: $ 2.210,80

A seguir, temos a evolução das prestações até o final do contrato nessas condições,

considerando, também, que os dois mutuários do exemplo não tiveram aumento salarial durante

todo o contrato. O valor das prestações é válido por 12 meses, incluindo o do recálculo.

21

A tabela acima oferece informações importantes:

• Observando a coluna de valor da prestação da SACRE, a primeira é de $ 715,28, chega ao

máximo de $ 900,94 por ocasião do recálculo na 133.a prestação, e termina em $ 870,31. Entre a

prestação máxima e a inicial, há uma diferença de 25,96%.

• Observando a coluna do lado, de % de renda (nível de comprometimento da renda do

mutuário), a primeira prestação equivale a 30% da renda do mutuário. Esse percentual chega a

37,79% da renda, para, finalmente, terminar, no último ano, em 36,5%.

• Observando a coluna de valor da prestação da Price, a primeira é de $ 552,70, portanto

menor que o valor da tabela SACRE. Porém, seu valor vai subindo até chegar em $ 1.770,04 no

final do contrato - valor que equivale ao da maior prestação. Isso corresponde a um aumento de

220,25%.

• Observando a quinta coluna, de % de comprometimento da renda na tabela Price, o nível

inicial era de 25%, mais suave que na SACRE, que era de 30%. Porém, no final do contrato, esse

nível já está em 80,06%.

Com essas observações, podemos concluir que a tabela Price é mais suave de pagar no

começo, porque a prestação é menor e a renda mínima exigida também. Isso pode deixar o mutuário

com tendência a querer essa tabela. No entanto, com o tempo, o que era fácil vira difícil. O nível de

comprometimento de renda na tabela Price vai ficando insuportável, chegando nos 80%, no

exemplo dado. A prestação da Price fica maior do que a da SACRE. A prestação inicial da SACRE

supera a da Price em 29,42%. Todavia, no final, a da SACRE é menor, ficando em torno da metade

da prestação da Price.

Logo, é muito mais arriscado comprar na tabela Price, porque, se a renda do mutuário não

aumentar, certamente haverá dificuldades para pagar a dívida.

Outro ponto importante é com relação ao saldo residual devedor no final do contrato. Na

tabela SACRE, no exemplo montado, o saldo é positivo e não devedor, ou seja, o mutuário deve

receber de volta $ 63,54. Já na tabela Price, há um saldo residual devedor de $ 894,25. Logo,

também do ponto de vista do saldo residual, a tabela SACRE foi mais atraente.

22

5. Mais uma comparação - SAC x Tabela Price

Vamos comparar dois financiamentos de mesmo valor (R$ 150.000,00), mesma taxa de juros

(0,9489% ao mês) e mesmo prazo de amortização (15 anos), variando apenas o Sistema de

Amortização (SAC ou Tabela Price).

Veja, nos gráficos abaixo, os valores das prestações mensais ao longo do tempo (linhas azuis) e

como essas prestações se decompõem em quotas de amortização (linha verde) e quota de juros

(linha vermelha)

Fonte: <http://www.santacecilia.net/institucional/informativo.aspx>. Acesso em: 28/09/06.

Observe que as linhas azuis que representam as prestações indicam que:

a) no financiamento pelo SAC – as prestações são decrescentes, começam em R$ 2.256,65 e

terminam em R$ 841,24;

b) no financiamento pela Tabela Price – as prestações são constantes, começam e terminam em

R$ 1741,48;

c) as prestações no SAC são inicialmente mais altas do que as Prestações calculadas pela

Tabela Price, exigindo mais capacidade de pagamento por parte do comprador.

CAPÍTULO VII – MEDIDAS ASSOCIATIVAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS E

QUALITATIVAS

Gráficos e distribuição de frequência.

Distribuição de Frequência

Definição – é um sumário tabular de dados que mostra a frequência (ou o número) de

observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas.

Exemplo: Dados de uma amostra de 24 compras de refrigerantes

Tabela 1: Distribuição de frequência das compras de refrigerantes

Onde f – frequência absoluta simples

n – número total de elementos

n=Σf

No exemplo, n=24.

Distribuição de frequência Relativa ou Relativa Percentual

Tabela 1: Distribuição de frequência das compras de refrigerantes

24

Dados Quantitativos - se referem a números no sentido de quantidade e podem se dividir em

discretos e contínuos.

Passos para construção da D.F. em classes:

1. determinar o número de classes não sobrepostas;

2. determinar o tamanho de cada classe, amplitude de classe(h);

H= maior – menor valores

3. determinar os limites de classes;

4. contar o número de elementos que estão em cada uma das classes.

Exemplo: Distribuição dos Salários dos empregados da Empresa X

Nesta tabela, temos:

• k= 5 intervalos de classe

• h=ls-li, h=2, amplitude de classe

• ls=limite superior da classe

• li=limite inferior da classe

• H= amplitude total de classe

• H= maior valor – menor valor

• X= (li+ls)/2, ponto médio da classe

• f= freqüência absoluta simples

• fr= freqüência relativa simples

• F= freqüência absoluta acumulada

• Fr= freqüência relativa acumulada

• n= número de elementos, ou seja,

Histograma – é o gráfico de uma distribuição de freqüências em classes.

25

No eixo x, colocam-se as classes e no eixo y, a freqüência absoluta simples ou a relativa

simples.

Distribuição de Freqüência por ponto – indicado para variáveis discretas, com pouca

variabilidade entre os valores.

Exemplo: Nº de irmãos na Turma 126

CAPÍTULO VII – MEDIDAS ASSOCIATIVAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS E

QUALITATIVAS

Medidas Associativas

a Variáveis Quantitativas e Qualitativas. Ao trabalhar com dados em uma pesquisa, precisamos ter conhecimento das possíveis

variáveis que podem estar relacionadas. A principal divisão ocorre entre variáveis quantitativas e

qualitativas.

Variáveis quantitativas são aquelas cujos dados são valores numéricos que expressam

quantidades, como idade e estatura das pessoas. Elas podem ser classificadas em:

a) Variáveis quantitativas discretas – são aquelas em que os dados somente podem apresentar

determinados valores, em geral, números inteiros. Por exemplo: número de filhos nascidos vivos,

número de obras catalogadas.

b) Variáveis quantitativas contínuas – são aqueles cujos dados podem apresentar qualquer

valor dentro de um intervalo de variação possível. Por exemplo: como valor de 1,67 cm de altura.

A distinção entre uma variável contínua e uma discreta é que nesta não existe a possibilidade,

mesmo teórica, de se observar um valor fracionário.

Variáveis qualitativas (ou variáveis categóricas ou atributos) são as que fornecem dados de

natureza não-numérica, como o sexo de um paciente e estado civil. Mesmo que os dados possam ser

codificados numericamente (masculino = 1, feminino = 2), os números aqui são apenas símbolos

sem valor quantitativo. Essas variáveis podem ter dois níveis de mensuração:

a) Nível nominal – nesse nível diferencia-se uma categoria de outra somente por meio da

denominação da categoria. Por exemplo: sexo de um sujeito, masculino ou feminino, ou um

paciente psicótico ou neurótico.

b) Nível ordinal – nesse nível não é possível identificar diferentes categorias nem reconhecer

graus de intensidade entre elas, o que possibilita uma ordenação das várias categorias. É necessário,

no entanto, que a gradação seja inerente à variável e não imposta por conveniência do pesquisador.

Por exemplo: nível de satisfação de uma aula pode variar desde ―o pior‖ até ―o melhor‖.

Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que

caracteriza o grupo todo. O numero obtido é a medida de tendência central dos vários números

usados.

Média aritmética (MA)

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 2420 anos, observamos que :

Dizemos, então, que a média aritmética de idade do grupo é 21,4 anos

∑

Moda (Mo)

Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente

de um grupo de valores observados.

É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez que é, dentre as medidas de tendência, a

mais variável de amostra para amostra

Consideremos, por exemplo um grupo de pessoas com idades de 4, 1, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9

e 50

X={4, 1, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9,50} a moda é 6 anos e demonstra mas eficiência para

caracterizar o grupo do que a média aritmética pois ao contrário da média aritmética, a moda não é

afetada por valores extremos.

OBS: Amostras podem possuir apenas uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), mais de

duas modas (multimodal), ou nenhuma moda (amodal).

27

Mediana (Me)

A mediana é outra medida de tendência central, Assim, dados n números em ordem crescente

ou decrescente, a mediana será:

• o número que ocupar a posição central se n for ímpar;

• a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, l, 3, 4, 5, 7,

0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescente, temos:

0,0, 1,2, 2,2, 3, 3, 3,4,4,5,5,7,7

7valores Me 7valores

Como 15 é Impar, o termo médio é o 8º.

Logo, a mediana é 3, Simbolicamente, Me = 3.

As Idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e l7anos.

Para determinar a mediana desses valores, colocamos Inicialmente na ordem crescente (ou

decrescente):

12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

As duas posições centrais

Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais,

que são o 4º e o 5º termo. Logo, a mediana é dada por:

Simbolicamente, Me = 15 anos.

Medidas de dispersão

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da

variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da

amostra.

Vejamos a seguinte situação:

O critério de aprovação em um concurso estabelece que o candidato deve realizar 3 provas e

obter, com suas notas, média igual ou maior do que 6,0. Nesse caso, a informação de que o

candidato obteve média 7,5 é suficiente para con¬cluir que ele está aprovado.

Consideremos agora outra situação:

Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um grupo de ó pessoas e

recebe a informação de que a média de idade do grupo é 20 anos. Nesse caso, ape¬nas a informação

da média não é suficiente para planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade

de 20 anos e características totalmente diferentes.

Observemos alguns grupos possíveis:

• Grupo A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos.

MA =

• Grupo B: 22 anos; 23 anos; 1 8 anos; 1 9 anos; 20 anos; 1 8 anos.

• Grupo C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 anos; l ano.

• No grupo A não houve dispersão.

• A dispersão no grupo B é menor do que no grupo C.

• Dizemos que o grupo B é mais homogêneo do que o C ou que o grupo C é mais heterogêneo

do que o B.

28

Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é

conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. As mais

usadas são a variância e o desvio padrão.

Variância

Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios

das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da

amostra menos um.

A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores x, em relação à média aritmética

(xi — MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da média). Uma opção

possível, então, é considerar o total dos quadrados dos desvios ∑

e expressar a

variância (V) como a média dos quadrados dos desvios, ou seja:

∑

Exemplo:

Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C citados anteriormente:

• Grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)

MA = 20

Desvios: 20 - 20 = 0; todos iguais a 0.

V = 0

Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão e, por isso, a variância

é 0.

• Grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)

MA = 20

Desvios: 22 - 20 = 2; 23 - 20 = 3; 18 - 20 =-2; 19-20= -1;20- 20 = 0; 18-20= -2

4

Grupo C (6; 62; 39; 4; 8; 1)

MA = 20

Desvios: 6 - 20 = -14; 62 - 20 = 42; 39 – 20 = 19; 4 - 20 = -16; 8 - 20 = -12; l - 20= -19

A variância é suficiente para diferenciar a dispersão dos grupos: o grupo A não tem dispersão

(V = O) e o grupo C tem uma dispersão maior do que a do grupo B (513,6 > 3,6).

Porém, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma

vez que os desvios são elevados ao quadrado. Então, definiu-se a medida de dispersão são chamada

desvio padrão.

Desvio padrão (DP)

O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados,

pois é expresso na mesma unidade dos valores observados (do conjunto de dados).

No exemplo que estamos analisando, temos:

• Grupo A: DP = √ = O ano

• Grupo B: DP = √ l ,9 ano

• Grupo C: DP = √ 22,6 anos

A variância e o desvio padrão são números positivos ou nulos.

Resumindo, se x1, x2, x3, ..., xn são os n valores de uma variável quantitativa x, temos:

• a média aritmética dos valores de x: ∑

• a variância de x: ∑

• o desvio padrão de x: DP = √

29

Observações:

1) Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0.

2) Quanto mais próximo de O é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos

valores da variável.

3) O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável

CAPÍTULO VIII – DIAGRAMA DE DISPERSÃO E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO.

Diagrama de dispersão e medidas de correlação.

DIAGRAMA DE DISPERSÃO

O diagrama de dispersão fornece uma representação visual da relação existente entre duas

variáveis, consiste em uma nuvem de pontos. Dessa forma, o diagrama de dispersão é usado para se

verificar uma possível relação de causa e efeito. Isto não prova que uma variável afeta a outra, mas

torna claro se a relação existe e em que intensidade. O

diagrama de dispersão é construído de forma que o eixo

horizontal represente os valores medidos de uma

variável e o eixo vertical represente as medições da segunda

variável. Um diagrama de dispersão típico possui o seguinte

aspecto:

Dentre vários benefícios da utilização de diagramas

de dispersão como ferramenta da qualidade, um de

particular importância é a possibilidade de

inferirmos uma relação causal entre váriáveis, ajudando na

determinação da causa raiz de problemas.

O diagrama de dispersão é também utilizado como ferramenta de qualidade. Um método

gráfico de análise que permite verificar a existência ou não de relação entre duas variáveis de

natureza quantitativa, ou seja, variáveis que podem ser medidas ou contadas, tais como: sinergia,

horas de treinamento, intenções, número de horas em ação, jornada, intensidades, velocidade,

tamanho do lote, pressão, temperatura, etc...

•Desta forma, o diagrama de dispersão é usado para se verificar uma possível relação de causa

e efeito.

•Isto não prova que uma variável afeta a outra, mas torna claro se a relação existe e em que

intensidade.

A medida de correlação é o tipo de medida que se usa quando se quer saber se duas variáveis

possuem algum tipo de relação, de maneira que quando uma varia a outra varia também. Baseado

na medida de correlação entre duas variáveis, pode-se ter uma idéia sobre se o conhecimento de

valores de uma das variáveis permite a previsão de valores da outra variável.

Se uma variável tende a aumentar quando a outra aumenta, dizemos que a correlação é

positiva. Por outro lado, se uma variável tende a diminuir quando a outra aumenta,dizemos que a

correlação é negativa. Já uma correlação igual a zero indica que uma variação em uma das variáveis

(aumento ou diminuição) não influencia a outra.

Pense nas seguintes afirmações:

1. Quanto mais velha a pessoa, de menos coisas ela se lembra;

2. Quanto mais se dá às crianças, mais elas querem;

3. As pessoas mais altas tendem a ter mais sucesso nas suas carreiras;

4. Quanto mais punição física as crianças recebem, mais agressivas elas vão ficar quando

crescerem;

5. A estimulação cognitiva na infância aumenta a inteligência da pessoa;

6. Bons músicos são, em geral, bons em matemática;

7. Pessoas que são boas em matemática tendem a ser ruins em literatura;

8. Quanto mais se pratica um instrumento musical, menos erros são cometidos ao tocá-lo;

9. Quando se aumenta a taxa básica de juros de um país, sua inflação tende a diminuir.

Estes são todos exemplos de casos de correlação entre duas variáveis. Cada afirmação propõe

que duas variáveis estão correlacionadas, isto é, que elas co-variam no sentido de que:

• Quando uma variável aumenta a outra também aumenta (correlação positiva);

• Quando uma variável aumenta a outra diminui (correlação negativa)

CAPÍTULO IX – ESTUDO DA PROBABILIDADE

Estudo da probabilidade. Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob

condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma

moeda perfeita, o resultado PE imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não

saberemos se cairá ―cara‖ ou ―coroa‖. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de

fenômenos aleatórios (ou casuais).

Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os

resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer.

Espaço amostral e evento

Chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.

Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo. Quando um

evento é vazio, ele é chamado evento impossível.

Exemplo

1. Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas.

Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser branca?

Solução:

Probabilidade da união de dois eventos

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, a união dos dois evento, é igual á

probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade da intersecção de

A com B.

Exemplo

De um grupo de 48 pessoas, 36 possuem cachorro como animal de estimação, 20 possuem gato,

12 possuem as duas espécies e os demais não possuem animal ou possuem outra espécie de animal de

estimação. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de ela possuir:

a) Cachorro de estimação?

b) Cachorro ou gato de estimação?

c) Apenas gato de estimação?

Resolução

Seja C o evento ―possuir cachorro‖, G o evento ―possuir gato‖.

a)

ou 75%

b)

ou 91,66...%

c)

ou 16,66...%

32

Probabilidade Condicional

A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada

probabilidade condicional do evento A dado B. Ela é denotada por e calculada por:

(

)

Esta expressão pode ser reescrita como:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada

vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos idependentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer

um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e

repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul

na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) =

P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na

segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição.

Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a

segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Método Binomial

Considerando-se um experimento aleatório, observa-se a probabilidade de ocorrer um evento E

(sucesso), assim como o seu complementar E (insucesso), em n tentativas independentes. A

probabilidade de ocorrerem k sucessos e n-k fracassos é dada pelo termo geral do Binômio de Newton

(p+q)n.

Exemplo:

Qual a probabilidade de sair o numero 3 quatro vezes, num dado que é jogado 5 vezes?

Resolução

Probabilidade de sair o numero 3 em cada jogada

Probabilidade de não sair o numero 3 em cada jogada

Dados: n = 5 tentativas

k = 4 sucessos, ou seja, 4 vezes que deve sair o número 3

33

p =

q =

Probabilidade de sair o numero 3 em 4, das 5 jogadas:

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

CAPÍTULO X – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA.

Inferência estatística. O objetivo principal da inferência estatística é fazer afirmações sobre características de uma

população baseando-se em resultados de uma amostra.

Na inferência estatística está sempre presente. No entanto, se o experimento foi feito de acordo

com certos princípios essa incerteza pode ser medida.

Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para fazer inferências e medir o grau

de incerteza destas inferências.

A incerteza é medida em termos de probabilidade.

Exemplo

Suponha que em um celeiro existam 10 milhões de sementes de flores brancas ou flores

vermelhas. Deseja-se a seguinte informação: que proporção, dessas 10 milhões de sementes, produzirá

flores brancas?

Não é de interesse plantar todas as sementes para verificar a cor das flores produzidas. Vamos

plantar algumas poucas e com base nas cores dessas poucas, fazer alguma afirmação sobre a proporção

das (10 milhões) que produzirá flores brancas. Não podemos fazer esta generalização com certeza, mas

podemos fazer uma afirmação probabilística, se selecionarmos as sementes á amostra de forma

adequada.

Suponha que foi retirada uma amostra aleatória (ao acaso) composta de 200 sementes da

população acima. Observou-se que dessas sementes 120 eram de flores brancas e 80 de flores

vermelhas. A proporção de flores brancas encontradas na amostra de 60%.

Como poderíamos utilizar o resultado de uma amostra para estimar a verdadeira proporção

de sementes de flores brancas?

Analisando o problema em questão com auxílio da teoria das probabilidades, pode-se encontrar

um intervalo em torno da proporção observada na amostra (60%) e afirmar com bastante segurança que

a proporção populacional de sementes de flores brancas estará contida neste intervalo. Por exemplo,

no problema acima, se admitíssemos uma chance de erro de 5%, com o tamanho de amostra utilizado

(n=200), a teoria estatística permite afirmar que a proporção populacional de flores brancas está entre

53% e 67%. Se os métodos estatísticos forem corretamente utilizados podemos garantir que é de apenas

5% a probabilidade de estarmos fornecendo um intervalo que não contenha a verdadeira proporção

populacional.

Estatísticas, parâmetros e estimadores.

Dois conceitos básicos são necessários para o desenvolvimento de Inferência Estatística:

População: é o conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica comum observável.

Amostra: é um subconjunto de elementos extraídos de uma população.

Outros conceitos importantes:

Parâmetro: qualquer valor calculado com base em todos elementos da população.

Estatística: qualquer valor calculado com base (apenas) nos elementos da amostra.

Estimador: Uma estatística destinada a estimar um parâmetro populacional.

Estimativa: é o valor numérico do estimador com base nas observações amostrais.

Observação importante: As estatísticas, como funções de variáveis aleatórias, são também

variáveis aleatórias, e portanto, tem uma distribuição de probabilidade, esperança e variância.

35

CAPÍTULO XI – CURVA NORMAL GAUSS.

Curva normal Gauss.

Para entender o que é distribuição normal, é necessário, primeiramente, definir evento

aleatório. Trata-se de evento cuja ocorrência individual não obedece a regras ou padrões que

permitam fazer previsões acertadas, como, por exemplo, qual face de um dado lançado cairá para cima.

A estatística mostra que, apesar de a ocorrência individual destes eventos aleatórios serem

imprevisível objetivamente, é possível tirar algumas conclusões a partir de um conjunto

suficientemente grande deles.

Muitos dos conjuntos de eventos aleatórios apresentam padrões que não são identificáveis em

cada evento isoladamente, como a tendência de os eventos se concentrarem próximos a uma posição

que representa uma média matemática deles. Assim, a quantidade de eventos diminui constante e

gradativamente à medida que nos afastamos da média.

Um levantamento das estaturas de homens adultos, em uma amostragem significativa, tende a

posicionar a maioria das medidas na chamada estatura mediana, entre 1,70 e 1,80m. Já as estaturas

entre 1,40 e 1,50m e entre 2,00 e 2,10m tendem a apresentar poucas ocorrências.

Distribuição normal

Eventos aleatórios que seguem este padrão enquadram-se na chamada "distribuição normal",

representada pela curva também conhecida como Curva de Gauss ou Curva do Sino (Bell Curve).

Um exemplo bastante próximo de todos sobre como a curva de distribuição normal ajuda a

definir padrões esperados é a pressão arterial. Quando o médico infla a almofada em nosso braço, lê o

manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8, nos sentimos aliviados.

Alguém já se perguntou, porém, por que 12/8 e não qualquer outro resultado é considerado

padrão de normalidade deste parâmetro médico?

A resposta é simples: as curvas de distribuição normal para a pressão arterial sistólica e

diastólica tendem a concentrar seus resultados em torno de 120 e 80 mmHg, respectivamente.

CAPÍTULO XII – INTERVALOS DE CONFIANÇA.

Intervalos de confiança. Um método usual de especificar a precisão é determinar um intervalo de confiança para o

parâmetro da população. Exemplo: pode-se dizer que ℓ1 e ℓ2 são, respectivamente, os limites

inferior e superior de um intervalo de confiança de 95% para a média μ.

Um engano conceitual comum é supor que, no exemplo citado, há 95% de probabilidade de a

média estar entre os limites ℓ1 e ℓ2. Considerando a população estável, a média é fixa, ou seja, ela

só pode estar dentro ou fora de um intervalo e, portanto, esse conceito não é válido. Desde que

intervalos de confiança são calculados a partir de amostras, o correto é dizer que, na repetição de

amostras dessa população, em 95% dos casos a média μ estará entre os valores calculados ℓ1 e ℓ2.

O intervalo de confiança só tem interesse se as percentagens em causa são de uma amostra

seleccionada aleatoriamente de uma população mais vasta.

Por exemplo, suponhamos que a nossa base de dados "Experiência" (5 elementos em que 3

são homens e 2 são mulheres) representa uma amostra de todos os utentes dum serviço de saúde.

Nesta amostra poderemos dizer que existem 60% (3/5=0,6) de homens e 40% (2/5=0,4) de

mulheres. Mas será que as percentagens de cada sexo, em toda a população de utentes, são também

estas? Nunca o saberemos ao certo com estes dados. No entanto, aplicando a prova que o EpiInfo

aplica, poderemos acreditar com uma confiança de 95% que a percentagem de homens na

população estará algures entre 14,7% e 94,7% e a percentagem de mulheres entre 5,3% e 85,3% [1].

Repare-se que neste caso os intervalos de confiança são muitíssimos dilatados, atendendo que

a amostra em causa conta com apenas 5 elementos, pelo que o erro de amostragem é enorme.

É evidente que quanto maior for a nossa amostra, mais pequeno será o intervalo de confiança

e por isso, mais provável será obtermos extrapolações precisas das verdadeiras percentagens da

população.

Mas atenção: mesmo este intervalo não é uma certeza, pois se tem uma confiança de 95%, ou

seja, há sempre uma probabilidade de 5% de a verdadeira percentagem estar fora destes limites...

É claro que, se as percentagens em causa forem calculadas tendo por base não uma amostra

mas toda a população, os intervalos de confiança que o EpiInfo automaticamente vomita não têm

significado absolutamente nenhum, pelo que devem ser ignorados. Um exemplo é quando um

médico introduz os dados de todo o seu ficheiro clínico e depois quer saber a percentagem de cada

sexo para o seu ficheiro. Se o resultado for 35% de mulheres, é mesmo 35% sem qualquer dúvida

ou intervalo de confiança, pois ele quis saber a percentagem de mulheres do seu ficheiro que, neste

caso, está totalmente informatizado.

Finalmente, tenha-se em atenção que se a amostra não é aleatória, também não será legítimo

falar-se em intervalos de confiança para a população, porque aqui a amostra não será representativa

de nenhuma população conhecida.

Tábua Financeira 0,5% 1% 1,5% 2% 2,5% 3%

n (1+i)n (1+i)-n

n (1+i)n (1+i)-n

n (1+i)n (1+i)-n

n (1+i)n (1+i)-n

N (1+i)n (1+i)-n

n (1+i)n (1+i)-n

1 1.00500 0,99502 1 1.01000 0,99010 1 1.01500 0,98522 1 1.02000 0,98039 1 1.02500 0,97561 1 1.03000 0,97087

2 1.01003 0,99007 2 1.02010 0,98030 2 1.03023 0,97066 2 1.04040 0,96117 2 1.05063 0,95181 2 1.06090 0,94260

3 1.01508 0,98515 3 1.03030 0,97059 3 1.04568 0,95632 3 1.06121 0,94232 3 1.07689 0,92860 3 1.09273 0,91514

4 1.02015 0,98025 4 1.04060 0,96098 4 1.06136 0,94218 4 1.08243 0,92385 4 1.10381 0,90595 4 1.12551 0,88849

5 1.02525 0,97537 5 1.05101 0,95147 5 1.07728 0,92826 5 1.10408 0,90573 5 1.13141 0,88385 5 1.15927 0,86261

6 1.03038 0,97052 6 1.06152 0,94205 6 1.09344 0,91454 6 1.12616 0,88797 6 1.15969 0,86230 6 1.19405 0,83748

7 1.03553 0,96569 7 1.07214 0,93272 7 1.10985 0,90103 7 1.14869 0,87056 7 1.18869 0,84127 7 1.22987 0,81309

8 1.04071 0,96089 8 1.08286 0,92348 8 1.12649 0,88771 8 1.17166 0,85349 8 1.21840 0,82075 8 1.26677 0,78941

9 1.04591 0,9561 9 1.09369 0,91434 9 1.14339 0,87459 9 1.19509 0,83676 9 1.24886 0,80073 9 1.30477 0,76642

10 1.05114 0,95135 10 1.10462 0,90529 10 1.16054 0,86167 10 1.21899 0,82035 10 1.28009 0,78120 10 1.34392 0,74409

11 1.05639 0,94661 11 1.11567 0,89632 11 1.17795 0,84893 11 1.24337 0,80426 11 1.312209 0,76214 11 1.38423 0,72242

12 1.06168 0,94191 12 1.12683 0,88745 12 1.19562 0,83639 12 1.26824 0,78849 12 1.34489 0,74356 12 1.42576 0,70138

13 1.06699 0,93722 13 1.13809 0,87866 13 1.21355 0,82403 13 1.29361 0,77303 13 1.37851 0,72542 13 1.46853 0,68095

14 1.07232 0,93256 14 1.14947 0,86996 14 1.23176 0,81185 14 1.31948 0,75788 14 1.41297 0,70773 14 1.51259 0,66112

15 1.07768 0,92792 15 1.16097 0,86135 15 1.25023 0,79985 15 1.34587 0,74301 15 1.44830 0,69047 15 1.55797 0,64186

16 1.08307 0,92330 16 1.17258 0,85282 16 1.26899 0,78803 16 1.37279 0,72845 16 1.48451 0,67362 16 1.60471 0,62317

17 1.08849 0,91871 17 1.18430 0,84438 17 1.28802 0,77639 17 1.40024 0,71416 17 1.51262 0,65720 17 1.62585 0,60502

18 1.09393 0,91414 18 1.19615 0,83602 18 1.30734 0,76491 18 1.42825 0,70016 18 1.55966 0,64117 18 1.70243 0,58739

19 1.09939 0,90959 19 1.20811 0,82774 19 1.32695 0,75361 19 1.45681 0,68643 19 1.58965 0,62553 19 1.75351 0,57029

20 1.10489 0,90506 20 1.22019 0,81954 20 1.34686 0,74247 20 1.48595 0,67297 20 1.63862 0,61027 20 1.80611 0,55368

21 1.11042 0,90056 21 1.23239 0,81143 21 1.36706 0,73150 21 1.51567 0,65978 21 1.67958 0,59539 21 1.86029 0,53755

22 1.11597 0,89608 22 1.24472 0,80340 22 1.38756 0,72069 22 1.54598 0,64684 22 1.72157 0,58086 22 1.91610 0,52189

23 1.12155 0,89162 23 1.25716 0,79544 23 1.40838 0,71004 23 1.57689 0,63416 23 1.76461 0,56670 23 1.97359 0,50669

24 1.12716 0,88719 24 1.26973 0,78757 24 1.24950 0,69954 24 1.60844 0,62172 24 1.80873 0,55288 24 2.03279 0,49193

25 1.13280 0,88277 25 1.28243 0,77977 25 1.45095 0,68921 25 1.64061 0,60953 25 1.85394 0,53939 25 2.09378 0,47761

26 1,13846 0,87838 26 1,29526 0,77205 26 1,47271 0,67902 26 1,67342 0,59758 26 1,90029 0,52623 26 2,15659 0,46369

27 1,14415 0,87401 27 1,30821 0,76440 27 1,49480 0,66899 27 1,70689 0,58586 27 1,94780 0,51340 27 2,22129 0,45019

28 1,14987 0,86966 28 1,32129 0,75684 28 1,51722 0,65910 28 1,74102 0,57437 28 1,99650 0,50088 28 2,28793 0,43708

29 1,15562 0,86533 29 1,33450 0,74934 29 1,53998 0,64936 29 1,77584 0,56311 29 2,04641 0,48866 29 2,35657 0,42435

30 1,16140 0,86103 30 1,34785 0,74192 30 1,56308 0,63976 30 1,81136 0,55207 30 2,09757 0,47674 30 2,42726 0,41199

39

3,5%

4%

4,5% 5% 5,5% 6%

n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n

1 1.03500 0,96618 1 1.04000 0,96154 1 1.04500 0,95694 1 1.05000 0,95694 1 1.05500 0,95694 1 1.06000 0,95694

2 1.07123 0,93351 2 1.08160 0,92456 2 1.09203 0,91573 2 1.10250 0,90703 2 1.11303 0,89845 2 1.12360 0,89000

3 1.10872 0,90194 3 1.12486 0,88900 3 1.14117 0,87630 3 1.15763 0,86384 3 1.17424 0,85161 3 1.19102 0,83962

4 1.14752 0,87144 4 1.16986 0,85480 4 1.19252 0,83856 4 1.21551 0,82270 4 1.23883 0,80722 4 1.26248 0,79209

5 1.18769 0,84197 5 1.21665 0,82193 5 1.24618 0,80245 5 1.27628 0,78353 5 1.30696 0,76513 5 1.33823 0,74726

6 1.22926 0,81350 6 1.26532 0,79031 6 1.30226 0,76790 6 1.34009 0,74622 6 1.37884 0,72525 6 1.41852 0,70496

7 1.27228 0,78599 7 1.31593 0,75992 7 1.36086 0,73483 7 1.40710 0,71068 7 1.45468 0,68744 7 1.50363 0,66506

8 1.31681 0,75941 8 1.36857 0,73069 8 1.42210 0,70319 8 1.47746 0,67684 8 1.53469 0,65160 8 1.59385 0,62741

9 1.36289 0,73373 9 1.42331 0,70259 9 1.48610 0,67290 9 1.55133 0,64461 9 1.61909 0,61763 9 1.68948 0,59190

10 1.41060 0,70892 10 1.48024 0,67556 10 1.55237 0,64393 10 1.62889 0,61391 10 1.70814 0,58543 10 1.79085 0,55839

11 1.45997 0,68495 11 1.53045 0,64958 11 1.62285 0,61620 11 1.71034 0,58468 11 1.80209 0,55491 11 1.89830 0,52679 12 1.51107 0,66178 12 1.60103 0,62460 12 1.69588 0,58966 12 1.79586 0,55684 12 1.90121 0,52598 12 2.01220 0,49697 13 1.56396 0,63940 13 1.66507 0,60057 13 1.77220 0,56427 13 1.88565 0,53032 13 2.00577 0,49856 13 2.13293 0,46884

14 1.61870 0,61778 14 1.73168 0,57748 14 1.85195 0,53997 14 1.97993 0,50507 14 2.11609 0,47257 14 2.26090 0,44230

15 1.67535 0,59689 15 1.80094 0,55526 15 1.93528 0,51672 15 2.07893 0,48102 15 2.23248 0,44793 15 2.39656 0,41727

16 1.73399 0,57671 16 1.87298 0,53391 16 2.02237 0,49447 16 2.18287 0,45811 16 2.35526 0,42458 16 2.54035 0,39365

17 1.79468 0,55720 17 1.94790 0,51337 17 2.11338 0,47318 17 2.29202 0,43630 17 2.48480 0,40245 17 2.69277 0,37136

18 1.85749 0,53836 18 2.02582 0,49363 18 2.20848 0,45280 18 2.40662 0,41552 18 2.62145 0,38147 18 2.85434 0,35034

19 1.92250 0,52016 19 2.10685 0,47464 19 2.30786 0,43330 19 2.52695 0,39573 19 2.76565 0,36158 19 3.02560 0,33051 20 1.98979 0,50257 20 2.19112 0,45639 20 2.41171 0,41464 20 2.65330 0,37689 20 2.91776 0,34273 20 3.20714 0,31180

21 2.05943 0,48557 21 2.27877 0,43883 21 2.52024 0,39679 21 2.78596 0,35894 21 3.07823 0,32486 21 3.39956 0,29416 22 2.13151 0,46915 22 2.36992 0,42196 22 2.63365 0,37970 22 2.92526 0,34185 22 3.24754 0,30793 22 3.60354 0,27751

23 2.20611 0,45329 23 2.46472 0,40573 23 2.75217 0,36335 23 3.07152 0,32557 23 3.42615 0,29187 23 3.81975 0,26180

24 2.28333 0,43796 24 2.56330 0,39012 24 2.87601 0,34770 24 3.22510 0,31007 24 3.61459 0,27666 24 4.04894 0,24698

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26 2,44596 0,40884 26 2,77247 0,36069 26 3,14068 0,31840 26 3,55567 0,28124 26 4,02313 0,24856 26 4,54938 0,21981

27 2,53157 0,39501 27 2,8837 0,34682 27 3,28201 0,30469 27 3,73346 0,26785 27 4,24440 0,23560 27 4,82235 0,20737

28 2,62017 0,38165 28 2,99870 0,33348 28 3,42970 0,29157 28 3,92013 0,25509 28 4,47784 0,22332 28 5,11169 0,19563 29 2,71188 0,36875 29 3,11865 0,32065 29 3,58404 0,27902 29 4,11614 0,24295 29 4,72412 0,21168 29 5,41839 0,18456 30 2,80679 0,35628 30 3,24340 0,30832 30 3,74532 0,26700 30 4,32194 0,23138 30 4,98395 0,20064 30 5,74349 0,17411

6,5% 7% 7,5% 8% 8,5% 10%

n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n

1 1,06500 0,93897 1 1,07000 0,93458 1 1,07500 0,93458 1 1.08000 0,92593 1 1,08500 0,93458 1 1.10000 0,93458

2 1,13423 0,88166 2 1,14490 0,87344 2 1,15563 0,86533 2 1.16640 0,85734 2 1,17723 0,85734 2 1.21000 0,84946

3 1,20795 0,82785 3 1,22504 0,81630 3 1,24230 0,80496 3 1.25971 0,79383 3 1,27729 0,79383 3 1.33100 0,78291

4 1,28647 0,77732 4 1,31080 0,76290 4 1,33547 0,74880 4 1.36049 0,73503 4 1,38586 0,73503 4 1.46410 0,72157

5 1,37009 0,72988 5 1,40255 0,71299 5 1,43563 0,69656 5 1.46933 0,68058 5 1,50366 0,68058 5 1.61051 0,66505

6 1,45914 0,68533 6 1,50073 0,66634 6 1,54330 0,64796 6 1.58687 0,63017 6 1,63147 0,63017 6 1.77156 0,61295

7 1,55399 0,64351 7 1,60578 0,62275 7 1,65905 0,60275 7 1.71382 0,58349 7 1,77014 0,58349 7 1.94972 0,56493

8 1,65500 0,60423 8 1,71819 0,58201 8 1,78348 0,56070 8 1.85093 0,54027 8 1,92060 0,54027 8 2.14359 0,52067

9 1,76257 0,56735 9 1,83846 0,54393 9 1,91724 0,52158 9 1.99900 0,50025 9 2,08386 0,50025 9 2.35795 0,47988

10 1,87714 0,53273 10 1,96715 0,50835 10 2,06103 0,48519 10 2.15893 0,46319 10 2,26098 0,46319 10 2.59374 0,44229

11 1,99915 0,50021 11 2,10485 0,47509 11 2,21561 0,45134 11 2.33164 0,42888 11 2,45317 0,42888 11 2.85312 0,40764

12 2,12910 0,46968 12 2,25219 0,44401 12 2,38178 0,41985 12 2.51817 0,39711 12 2,66169 0,39711 12 3.13843 0,37570

13 2,26749 0,44102 13 2,40985 0,41496 13 2,56041 0,39056 13 2.71962 0,36770 13 2,88793 0,36770 13 3.45227 0,34627

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15 2,57184 0,38883 15 2,75903 0,36245 15 2,95888 0,33797 15 3.17217 0,31524 15 3,39974 0,31524 15 4.17725 0,29414

16 2,73901 0,36510 16 2,95216 0,33873 16 3,18079 0,31439 16 3.42594 0,29189 16 3,68872 0,29189 16 4.59497 0,27110

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19 3,30859 0,30224 19 3,61653 0,27651 19 3,95149 0,25307 19 4.31570 0,23171 19 4,71156 0,23171 19 6.11591 0,21224

20 3,52365 0,28380 20 3,86968 0,25842 20 4,24785 0,23541 20 4.66096 0,21455 20 5,11205 0,21455 20 6.72750 0,19562

41

11% 12% 15% 18% 24% 25%

n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n

1 1,11000 0,90090 1 1,12000 0,89286 1 1.15000 0,86957 1 1,18000 0,84746 1 1.24000 0,80645 1 1,25000 0,80000 2 1,23210 0,81162 2 1,25440 0,79719 2 1.32250 0,75614 2 1,39240 0,71818 2 1.53760 0,65036 2 1,56250 0,64000 3 1,36763 0,73119 3 1,40493 0,71178 3 1.52088 0,65752 3 1,64303 0,60863 3 1.90662 0,52449 3 1,95313 0,51200 4 1,51807 0,65873 4 1,57352 0,63552 4 1.74901 0,57175 4 1,93878 0,51579 4 2.36421 0,42297 4 2,44141 0,40960 5 1,68506 0,59345 5 1,76234 0,56743 5 2.01136 0,49718 5 2,28776 0,43711 5 2.93165 0,34111 5 3,05176 0,32768 6 1,87041 0,53464 6 1,97382 0,50663 6 2.31306 0,43233 6 2,69955 0,37043 6 3.63522 0,27509 6 3,81470 0,26214 7 2,07616 0,48166 7 2,21068 0,45235 7 2.66002 0,37594 7 3,18547 0,31393 7 4.50767 0,22184 7 4,76837 0,20972 8 2,30454 0,43393 8 2,47596 0,40388 8 3.05902 0,32690 8 3,75886 0,26604 8 5.58951 0,17891 8 5,96046 0,16777 9 2,55804 0,39092 9 2,77308 0,36061 9 3.05179 0,28426 9 4,43545 0,22546 9 6.93099 0,14428 9 7,45058 0,13422 10 2,83942 0,35218 10 3,10585 0,32197 10 4.04556 0,24718 10 5,23384 0,19106 10 8.59443 0,11635 10 9,31323 0,10737 11 3,15176 0,31728 11 3,47855 0,28748 11 4.65239 0,21494 11 6,17593 0,16192 11 10.6571 0,09383 11 11,64153 0,08590 12 3,49845 0,28584 12 3,89598 0,25668 12 5.35025 0,18691 12 7,28759 0,13722 12 13.2148 0,07567 12 14,55192 0,06872 13 3,88328 0,25751 13 4,36349 0,22917 13 6.15279 0,16253 13 8,59936 0,11629 13 16.3863 0,06103 13 18,18989 0,05498 14 4,31044 0,23199 14 4,88711 0,20462 14 7.07571 0,14133 14 10,14724 0,09855 14 20.3191 0,04921 14 22,73737 0,04398 15 4,78459 0,20900 15 5,47357 0,18270 15 8.13706 0,12289 15 11,97375 0,08352 15 25.1956 0,03969 15 28,42171 0,03518 16 5,31089 0,18829 16 6,13039 0,16312 16 9.03576 0,10686 16 14,12902 0,07078 16 31.2426 0,03201 16 35,52714 0,02815 17 5,89509 0,16963 17 6,86604 0,14564 17 10.7612 0,09293 17 16,67225 0,05998 17 38.7408 0,02581 17 44,40892 0,02252 18 6,54355 0,15282 18 7,68997 0,13004 18 12.3755 0,08081 18 19,67325 0,05083 18 48.0386 0,02082 18 55,51115 0,01801 19 7,26334 0,13768 19 8,61276 0,11611 19 14.2318 0,07027 19 23,21444 0,04308 19 59.5679 0,01679 19 69,38894 0,01441 20 8,06231 0,12403 20 9,64629 0,10367 20 16.3665 0,06110 20 27,39303 0,03651 20 73.8642 0,01354 20 86,73617 0,01153

30% 35% 36% 40%

n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n n (1+i)n (1+i)-n

1 1.30000 0,76923 1 1,35000 0,74074 1 1.36000 0,73529 1 1,40000 0,71429 2 1.69000 0,59172 2 1,82250 0,54870 2 1.84960 0,54066 2 1,96000 0,51020 3 2.19700 0,45517 3 2,46038 0,40644 3 2.51546 0,39754 3 2,74400 0,36443 4 2.85610 0,35013 4 3,32151 0,30107 4 3.421020 0,29231 4 3,84160 0,26031 5 3.71293 0,26933 5 4,48403 0,22301 5 4.652587 0,21493 5 5,37824 0,18593 6 4.82681 0,20718 6 6,05345 0,16520 6 6.327519 0,15804 6 7,52954 0,13281 7 6.27485 0,15937 7 8,17215 0,12237 7 8.605425 0,11621 7 10,54135 0,09486 8 8.15731 0,12259 8 11,03240 0,09064 8 11.70338 0,08545 8 14,75789 0,06776 9 10.6045 0,09430 9 14,89375 0,06714 9 15.91659 0,06283 9 20,66105 0,04840 10 13.7858 0,07254 10 20,10656 0,04974 10 21.64657 0,04620 10 28,92547 0,03457 11 17.9216 0,05580 11 27,14385 0,03684 11 29.43934 0,03397 11 40,49565 0,02469 12 23.2981 0,04292 12 36,64420 0,02729 12 40.03750 0,02498 12 56,69391 0,01764 13 30.2875 0,03302 13 49,46967 0,02021 13 54.45099 0,01837 13 79,37148 0,01260 14 39.3738 0,02540 14 66,78405 0,01497 14 74.05335 0,01350 14 111,12007 0,00900 15 51.1859 0,01954 15 90,15847 0,01109 15 100.7126 0,00993 15 155,56810 0,00643 16 66.5417 0,01503 16 121,71393 0,00822 16 136.9691 0,00730 16 217,79533 0,00459 17 86.5042 0,01156 17 164,31381 0,00609 17 186.2779 0,00537 17 304,91347 0,00328 18 112.455 0,00889 18 221,82364 0,00451 18 253.3380 0,00395 18 426,87885 0,00234 19 146.192 0,00684 19 299,46192 0,00334 19 344.5397 0,00290 19 597,63040 0,00167 20 190.050 0,00526 20 404,27359 0,00247 20 468.5740 0,00213 20 836,68255 0,00120