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7/27/2019 Apostila-Aneis.pdf

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Introducao a Teoria de Aneis

Cristina Maria MarquesDepartamento de Matematica-UFMG

1999 ( com revisao em 2005)


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Prefacio

Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Algebra I e Estruturas Algebricas,as quais que ja lecionei varias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura algebricados aneis .

O pre requisito para a leitura desse livro e a disciplina Fundamentos de Algebra, ou seja, umaintroducao aos numeros inteiros. Fazemos uma recordacao dessa disciplina no Captulo 1.

Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos deAlgebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Varios aneis sao apresentados como osaneis quocientes, aneis de polinomios sobre aneis comutativos e outros. No Captulo 7 e feita umageneralizacao desses aneis, definindo domnios euclidianos, domnios de fatoracao unica e domniosde ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos quepermite a compararacao de aneis.

Espero alcancar meu objetivo.

Cristina Maria Marques.

Belo Horizonte,9/3/99.

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Sumario

Prefacio i

1 Inteiros 1

1.1 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Teorema Fundamental da Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Inducao matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Relacao de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Exerccios do captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Aneis 10

2.1 Definicoes e propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Subaneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Domnios Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Caracterstica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Ideais e aneis quocientes 19

3.1 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Aneis quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Ideais primos e ideais maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Exerccios do Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Homomorfismos de aneis 264.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Propriedades dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 O corpo de fracoes de um domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Lista de exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Aneis de Polinomios 34

5.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 O Algoritmo da divisao e consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Lista de exerccios do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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SUMARIO iii

6 Fatoracao de polinomios 416.1 Testes de redutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Testes de irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Fatoracao unica em Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4 Lista de exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Divisibilidade em domnios 517.1 Irredutveis e primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Domnios de Fatoracao unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.3 Domnios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Lista de exerccios do Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Algumas aplicacoes da fatoracao unica em domnios 60

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2 O anel Z[] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3 A equacao X3 + Y3 + Z3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.4 A equacao Y2 + 1 = 2X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


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iv SUMARIO


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Captulo 1

Inteiros

1.1 Propriedades basicas

Vamos recordar aqui as principais propriedades dos inteiros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} as quaisserao consideradas como axiomas.Elas serao usadas em todo nosso curso.

Fecho: Se a e b sao inteiros entao a + b e a.b tambem sao. Propriedade comutativa: a + b = b + a e a.b = b.a para quisquer inteiros a e b. Propriedade associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) para quaisquer inteiros

a, b e c.

Propriedade distributiva: (a + b).c = a.c + b.c para quisquer inteiros a, b e c. Elementos neutros: a + 0 = a e a.1 = a para todo inteiro a. Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que e solucao da equacao a + x = 0.

Tal x e denominado inverso aditivo e tem a notacao a.Obs: a notacao b a significa b + (a).

Cancelamento: Se a, b e c sao inteiros com a.c = b.c com c = 0 entao a = b

Tais axiomas nos permitem provar outras propriedades de Z bastante comuns.

Exemplo 1.1.1. Para todo a, b e c em Z temos a.(b + c) = a.b + a.cCom efeito, como sabemos que o produto e comutativo em Z segue que

a(b + c) = (b + c).a

Pela propriedade distributiva temos que

(b + c).a = b.a + c.a

Finalmente usando a propriedade comutativa do produto segue o resultado.

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2 CAPITULO 1. INTEIROS

Exemplo 1.1.2. Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como

0 = 0 + 0

0.a = (0 + 0)a = 0.a + 0.a

Somando de ambos os lados 0.a teremos que

0 = 0.a = a.0

pela comutatividade do produto.

Exerccio 1.1.3. Prove que para todo a, b e c emZ temos:

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (1)a = a

3. (ab) = a(b)

4. (a)(b) = ab

5. (a + b) = (a) + (b)

A ordem em Z e definida usando os inteiros positivos { 1,2,3,...}.

Definicao 1.1.4. Se a e b sao inteiros dizemos que a e menor que b, e denotamos por a < bquando b a for positivo.Se a < b escrevemos tambem b > a.

As principais propriedades da ordem dos inteiros sao :

Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos sao positivas.

Tricotomia : para todo inteiro a, temos que ou a > 0, ou a < 0 ou a = 0.

Outras propriedades da ordem de Z podem ser obtidas atraves dessas.

Exemplo 1.1.5. Suponha que a, b e c sao inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc.Por definicao a < b significa que

b a > 0Pela propriedade do fecho

(b a)c > 0.Pela propriedade distributiva e o exerccio anterior, segue o resultado.

Exerccio 1.1.6. Prove que se a, b e c Z, a < b e c < 0 entao ac > bc.


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1.1. PROPRIEDADES BASICAS 3

Uma propriedade muito importante de Z e o princpio da boa ordenacao :

Princpio da boa ordenacao (PBO) Todo subconjunto nao vazio de inteiros positivos possuium menor elemento.

O PBO diz que se S e um subconjunto nao vazio dos inteiros positivos entao existe um s0 Stal que s s0 para todo s em S.

O conceito de divisibilidade e muito importante na teoria dos numeros e sera estendido na teoriade aneis em geral. Dizemos que um inteiro nao nulo t e divisor de um inteiro s se existe um inteirou tal que s = tu. Escrevemos neste caso que t|s ( lemos t divide s )Quando t nao e um divisor de s, nos escrevemos t | s. Um primo e um inteiro positivo maior que1 cujo unicos divisores positivos sao 1 e ele mesmo.

Como nossa primeira aplicacao do PBO temos uma propriedade fundamental do inteiros:

Teorema 1.1.7 (Algoritmo de Euclides (AE)). Sejam a e b inteiros com b > 0. Entao existeminteiros q e r tais que a = bq+ r onde b > r b. Tais q e r sao unicos.

Demonstracao :Existencia: Considere o conjunto S = {a bk | k Z e a bk 0}.Se 0 S, existe q Z tal que a bq = 0. Fazendo r = 0 o algoritmo esta provado.Se 0 S vamos aplicar o PBO.Para isto temos que provar que S= .Se a > 0, a b0 = a > 0 e entao S= .Se a < 0, a b2a = a(1 2b) > 0 e entao S= .Pelo PBO, S possui um menor elemento que chamaremos de r. Assim, existem q, r Z tais quea bq = r , r e o menor elemento de S e r > 0. So falta provar que r < b.Se r = b

a bq = r = ba bq = b

a b(q+ 1) = 0Isto indica que 0

S, o que nao acontece neste caso.

Se r > ba bq = r > ba bq b > 0

a b(q+ 1) > 0Isto indica que a b(q+ 1) pertence a S o que e um absurdo pois e menor que r = a bq e r e omenor elemento de S.UnicidadeSuponha que existam q, q, r , r tais que

a = bq+ r = bq + r


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com 0 r, r < b. Comor r = b(q q)

temos que b | (r r). Mas como r r < b concluimos que r r = 0, r = r e q = q.Notacao : q sera chamado de quociente e r sera chamado de resto da divisao de a por b.Exemplo 1.1.8. Se a = 34 e b = 7 o algoritmo diz que 34 = 7.4 + 6; para a = 49 e b = 6, oalgortmo de Euclides diz que 49 = 6.(9) + 5.Definicao 1.1.9 (Maximo divisor comum). O maximo divisor de dois inteiros a e b nao nulos e omaior de todos os divisores comuns de a eb. Ele sera denotado pormdc(a, b) ou quando nao causarduvidas simplesmente por (a, b). Quando mdc(a, b) = 1 dizemos que a e b sao relativamenteprimos.

Podemos definir mdc(a, b) da seguinte forma: mdc(a, b) = d se e somente se

1. d > 0

2. d|a e d|b.3. se existir um inteiro c tal que c|a e c|b entao c|d.

Temos de provar que as duas definicoes sao equivalentes. Para isto precisamos do proximo teoremaque diz que o mdc(a, b) e uma combinacao linear de a e b. Esta e nossa segunda aplicacao do PBO.

Teorema 1.1.10 (mdc e uma combinacao linear). Se a e b sao inteiros nao nulos entao existeminteiros s e r tais que mdc(a, b) = sa + tb

Demonstracao Considere o conjunto S =

{am + bn

|m, n

Z e am + bn > 0

}.

S = porque se voce achar uma combinacao am + bn < 0 entao multiplique por 1 e tera umacombinacao positiva.Pelo PBO, S possui um menor elemento. Seja d o menor elemento de S. Assim existem s, t Ztais que d = sa + tb .Afirmacao : d = mdc(a, b)Com efeito, pelo algoritmo de Euclides, existem q, r Z tais que a = dq+ r e 0 r < d. Se r > 0,entao 0 < r = a dq = a (as + tb)q = a(1 s) + (tq)b S . Isto e um absurdo pois d e o menorelemento de S, Assim r = 0 e d|a. Analogamente, d|bSeja agora d outro divisor comum de a e b. Assim a = dk e b = dh para certos k e h em Z,d = as + bt = dks + dht = d(ks + ht) e portanto d|d.Logo d = mdc(a, b).Definicao 1.1.11 (Mnimo multiplo comum ). O mnimo m ultiplo comum de dois interos naonulos e o menor multiplo comum positivo de a e b.

Notacao : mmc(a, b)

Podemos definir o mmc(a, b) na forma : mmc(a, b) = m se e somente se

1. m > 0

2. a|m e b|m3. Se existir m inteiro tal que a|m e b|m entao m|m

Exerccio 1.1.12. Prove que as duas definicoes de mdc sao equivalentes.


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1.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 5

1.2 Teorema Fundamental da Aritmetica

O teorema fundamental da aritmetica e um resultado importante o qual mostra que os numerosprimos sao os construtores dos inteiros.

Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental da Aritmetica (T F A) ). Todo inteiro maior que um seescreve de maneira unica como um produto de primos.

Para provarmos este teorema temos de provar algumas propriedades dos primos.

Lema 1.2.2 (Lema de Euclides). Se p e um primo que divide a.b entao p divide a ou p divide b.

Demonstracao :Suponha que p e um primo que divide ab mas que p

|a.Como p e primo podemos afirmar que p e

a sao relativamente primos .Assim existem inteiros r e s tais que ra + sp = 1. Entao rab + rpb = b.Como p|ab e p|rpb temos que p|b.

Note que o Lema de Euclides falha se p nao for primo ; por exemplo 6|4.3 ,6 |4 e 6 |3

Demonstracao do Teorema Fundamental da AritmeticaUnicidade Suponha que exista duas fatoracoes em primos de n:

n = p1p2...pr = q1q2...qs.

Pelo Lema de Euclides p1|qi para algum qi e como p1 e qi sao primos temos que p1 = qi paraalgum i {1, 2,...,s}. Analogamente p2 = qj para algum j {1, 2,...,s} e assim por diante . Pelapropriedade do cancelamento teremos 1 = qi1...qik se s > r. Mas isto e um absurdo pois nenhumprimo e invertvel. Analogamente se r < s chegamos num absurdo. Logo s = r e os primos sao osmesmos.Existencia: Sera feito depois do segundo princpio da inducao matematica na proxima secao .

1.3 Inducao matematica

Existem dois tipos de prova usando inducao matematica. Ambas sao equivalentes ao PBO e vemdo seculo XVI.

Primeiro princpio da inducao matematica (1oP IM)Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tem a propriedade de possuir n+1 sempreque S possuir n com n a. Entao S contem todo inteiro maior ou igual a a.

Assim, para provarmos que uma afirmacao e verdadeira para todo inteiro positivo, nos devemosprimeiro verificar que a afirmacao e verdadeira para o inteiro 1. Nos entao supomos que a afirmativae verdadeira para o inteiro n e usamos esta afirmativa para provar que a afirmativa e valida paran + 1.


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Exemplo 1.3.1. Podemos usar o (10P IM) para provar que n! nn para todo inteiro positivo n.A afirmativa e valida para n = 1 pois 1! = 1 11 = 1. Agora suponha que n! nn ; esta e ahipotese de inducao .Temos de provar que (n + 1)!

(n + 1)(n+1). Usando a hipotese de inducao

(n + 1)! = (n + 1).n!

(n + 1)! (n + 1).nn(n + 1)! (n + 1).(n + 1)n

(n + 1)! (n + 1)(n+1)Isto completa a prova.

Segundo princpio de inducao matematica.(2oP IM)

Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tenha a propriedade de sempre contern quando S contiver todos os inteiros menores que n e maiores que a. Entao S contem todo inteiromaior ou igual a a.

Para usar esta forma de inducao , nos primeiro provamos que a afirmativa e valida para a.Depois mostramos que se a afirmativa e verdadeira para todos os inteiros maiores ou iguais a a emenores que n entao ela e verdadeira para n.

Exemplo 1.3.2 (Existencia do TFA). Nos usamos o 2oP IM com a = 2 para provar a parte daexistencia do TFA. Seja S Z formado de inteiros maiores que 1 que sao primos ou um produtode primos. Claramente 2

S. Agora nos assumimos que para algum inteiro n, S contem todos

os inteiros k com 2 k < n. Nos devemos mostrar que n S. Se n e primo, entao n S pordefinicao . Se n nao for primo, n podera ser escrito na forma n = ab onde 1 < a < n e 1 < b < n.Como estamos assumindo que a e b pertencem a S, nos sabemos que eles sao primos ou produtode primos. Assim, n tambem e um produto de primos. Isto completa a prova.

1.4 Relacao de equivalencia

Em matematica objetos diferentes num contexto podem ser vistos como iguais noutro. Por exemplo,como i2 = 1, i3 = i, i4 = 1 temos que para efeito de achar potencias de i os numeros sao iguaisse tiverem o mesmo resto na divisao por 4. Assim, aqui 5 = 1, 240 = 0, 243 = 3.O que e necessario fazer para que estas distincoes fiquem claras, e uma generalizacao apropriada danocao de igualdade; isto e, nos necessitamos de mecanismo formal para especificar quando ou naoduas quantidades sao iguais numa certa colocacao . Tais mecanismos sao as relacoes de equivalencia.

Definicao 1.4.1 (Relacao de Equivalencia). Uma relacao de equivalencia num conjunto S e umconjunto R de pares ordenados de elementos de S de modo que:

1. (a, a) R para todo a S ( propriedade reflexiva )2. (a, b) R implica (b, a) R ( propriedade simetrica ).

3. (a, b) R e (b, c) R implica (a, c) R ( propriedade transitiva )


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1.4. RELAC AO DE EQUIVALENCIA 7

Quando R for uma relacao de equivalencia num conjunto S, escrevemos aRb ao inves de(a, b) R. Tambem como uma relacao de equivalencia e uma generalizacao de igualdade, smbolossugestivos sao

,

, ou

.Se for uma relacao de equivalencia num conjunto S e a S , entao o conjunto [a] = {x S| x a} e chamado de classe de equivalencia de S contendo a .

Exemplo 1.4.2 ((a b mod n)). Em Z definimos a relacao de equivalencia:

a b mod n n|(a b)

E facil ver que modn e uma relacao de equivalencia ;1. a

a mod n pois n

|0

2. Se a b mod n entao b a mod n pois se n|(a b) entao n|(b a).3. Se a b mod n e b c mod n temos que n|(a b) e n|(b c) e entao n|(a c). Isto mostra

que a c mod nAs classes de equivalencia de Z mod n serao as classes dos restos da divisao por n. Com

efeito, dado a em Z pelo algortmo de Euclides temos a = qn + r com 0 r < n. Isto mostraque a r mod n. Denotaremos por Zn o conjunto das classes de equivalencia de Z modulo n.Usaremos a notacao a para [a].Assim

Zn = {0, 1,...,n 1}.

Definicao 1.4.3 (Particao de um conjunto S). Uma particao de um conjunto S e uma colecao desubconjuntos nao vazios disjuntos de S cuja uniao e S.

Teorema 1.4.4. As classes de equivalencia de um conjunto S formam uma particao de S. Reci-procamente, para toda particao P de um conjunto S, existe uma relacao de equivalencia emS cujasclasses de equivalencia sao os elementos de P.

Demonstracao :Seja uma relacao de equivalencia em S. Para todo a S temos que a [a] pela propriedadereflexiva. Assim [a] = e a uniao de todas as classes de equivalencia de S e S. Vamos agora provarque duas classes de equivalencia distintas sao disjuntas . Com efeito, suponha que [a] e [b] possuemum elemento x em comum. Isto implica que x a e x b. Pela propriedade transitiva a b eportanto [a] = [b].A recproca e deixada como exerccio.

Exemplo 1.4.5. Pelo exemplo anterior temos que Z = [0] [1] ... [n 1].


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1.5 Exerccios do captulo 1

1. Se a e b sao inteiros positivos entao ab = mdc(a, b).mmc(a, b)

2. Suponha que a e b sao inteiros que dividem o inteiro c.Se a e b sao relativamente primos, mostre que ab|c.Mostre com um exemplo, que se a e b nao sao relativamente primos entao ab nao necessitadividir c.

3. O conjunto dos racionais positivos satisfaz o PBO ?

4. Mostre que mdc(a,bc) = 1 mdc(a, b) = 1 e mdc(a, c) = 15. Se existem inteiros a,b,s e t de modo que at + bs = 1 mostre que mdc(a, b) = 1.

6. Seja d = mdc(a, b). Se a = da

e b = db

mostre que mdc(a

, b

) = 1

7. Sejam p1, p2,...,pn primos distintos.Mostre que p1p2...pn + 1 nao e divisvel por nenhum desses primos.

8. Mostre que existem infinitos primos. Sug: Use 7.

9. Prove que para todo n, 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2

10. Para todo inteiro positivo n, prove que um conjunto com n elementos tem exatamente 2n

subconjuntos(contando com o vazio e o todo).

11. Prove o Lema generalizado de Euclides: Se p e um primo e p|a1...an, prove que p|ai paraalgum i, i = 1, 2,...,n.

12. Seja S um subconjunto de R.Se a e b pertencem a S, defina a b se a b e um inteiro.Mostre que e uma relacao de equivalencia em S.

13. Seja S = Z.Se a, b S defina aRb se ab 0.R e uma relacao de equivalencia em S ?

14. Uma relacao num conjunto S e um conjunto de pares ordenados de elementos de S. Acheum exemplo de uma relacao que seja simetrica, reflexiva mas nao transitiva.

15. Ache um exemplo de uma relacao que seja reflexiva , transitiva mas nao simetrica.

16. Ache um exemplo de uma relacao que seja simetrica, transitiva e nao reflexiva.

17. Sejam n e a inteiros positivos e d = (a, n). Mostre que a equacao ax 1 modn tem umasolucao d = 1.

18. Prove que o 1o PIM e uma consequencia do PBO.


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1.5. EXERCICIOS DO CAPITULO 1 9

19. Seja (x0, y0) uma solucao de ax + by = c com a, b e c inteiros. Mostre que todas as solucoesde ax + by = c tem a forma x = x0 + t(b/d), y = y0 t(a/d) onde d = mdc(a, b) e t Z.

20. Se u e v sao positivos, mdc(u, v) = 1 e uv = a2, mostre que u e v sao quadrados onde u, v ea pertencem a Z.

21. Prove por inducao sobre n , que n3 + 2n e sempre divisvel por 3.

22. Se n e um natural mpar, prove que n3 n e sempre divisvel por 24.23. Seja n um natural composto. Entao n tem um divisor primo p tal que p n.24. Prove que existe um numero infinito de primos da forma 4n 1.


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Captulo 2

Aneis

2.1 Definicoes e propriedades basicas

Um anel e um conjunto A, cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados ( isto e, saodadas duas operacoes (x, y) x + y e (x, y) x.y aos pares de elementos de A em A) satisfazendoas seguintes condicoes :

1. Para todo x e y A nos temos a comutatividade da soma, a saberx + y = y + x

2. Para todo x e y

A nos temos a associatividade da soma, a saber,

(x + y) + z = x + (y + z)

3. Existe um elemento e em A tal que x + e = x para todo x A.Not: e = 0. Este e chamado elemento neutro da adicao .

4. Para todo elemento x A existe um elemento y em A tal que x + y = 0.Not: y = x Este e tambem chamado de simetrico de x.

5. Para todo x,y,z A nos temos a associatividade da multiplicacao , a saber

(x.y).z = x.(y.z)

6. Para todo x,y,z A nos temos a distributividade da multiplicacao a direita e esquerda , asaber

x(y + z) = x.y + x.z

e(y + z).x = y.x + z.x

Observacoes : 1) Observe que a multiplicacao nao necessita ser comutativa. Quando istoocorrer, dizemos que A e um anel comutativo

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2.1. DEFINIC OES E PROPRIEDADES BASICAS 11

2) Um anel nao necessita ter elemento neutro da multiplicacao (isto e, um elemento y tal quexy = yx = x para todo x A). Este elemento e chamado de unidade do anel e denotado por 1.Quando um anel A possui o elemento neutro da multiplicacao dizemos que A e um anel com unidade.

3) Os elementos nao nulos de um anel nao necessitam ter inversos multiplicativos (isto e, y einverso multiplicativo de x se e somente se xy = yx = 1). Os elementos de um anel A que possueminverso multiplicativo sao chamados de invertveis de A ou unidades de A.Usaremos a notacao U(A) = {x A| x e uma unidade de A}.

Exemplo 2.1.1. O conjunto dos inteiros Z com a adicao e multiplicacao usuais e um anel.

Exemplo 2.1.2. Os conjuntos Q, R, C com as operacoes usuais sao exemplos de aneis. Observeque U(Q) = Q {0}, U(R) = R {o}, U(C) = C {0}.Exemplo 2.1.3 (O anel Zn). Ja definimos Zn no captulo 1.

Zn = {0, 1,...,n 1}Vimos tambem quando duas classes sao iguais,isto e,

a = b n|(a b)Em Zn definimos as operacoes :

Zn

Zn

Zn Zn

Zn

Zn

(a, b) a + b (a, b) a.bComo estamos trabalhando com classes, as quais sao conjuntos, temos de mostrar que estasoperacoes estao bem definidas, isto e , se a = a1 e b = b1 entao a + b = a1 + b1 e a.b = a1.b1.Pela igualdade das classes temos que existem x, y Z tais que

a a1 = x n e b b1 = ynSomando estas duas equacoes temos que

(a + b) (a1 + b1) = (x + y)nIsto significa que

a + b = a1 + b1

Tambem ,a.b = (xn + a1)(yn + b1) = xyn

2 + xnb1 + a1yn + a1b1

e esta equacao indica que n|(ab a1b1) ou seja a.b = a1.b1 .Como a soma e a multiplicacao de duas classes dependem essencialmente da soma e multiplicacaoem Z, respectivamente, temos que varias propriedades dessas operacoes de Zn sao herdadas de Z.Eo caso da comutatividade da soma, associatividade da soma e produto e distributividade. Observeque o elemento neutro da soma de Zn vai ser a classe 0 que representa os multiplos de n. O simetrico

da classe a e a classe a. O anel Zn e comutativo com unidade sendo a unidade a classe 1.


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12 CAPITULO 2. ANEIS

Exemplo 2.1.4. O conjunto Z[x] de todos os polinomios na variavel x com coeficientes inteiroscom a multiplicacao e adicao usuais e um anel comutativo com unidade. Recorde que se

f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

eg(x) = b0 + b1x + ...bmx

m

entaof(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ... + (ak + bk)x

k onde k = max{n, m}f(x).g(x) = c0 + c1x + ... + cn+mx

n+m onde cj = aj.b0 + aj1.b1 + ... + a0.bj

Agora verifique que Z[x] realmente um anel comutativo e a sua unidade e f(x) = 1

Exemplo 2.1.5. O conjunto M2(Z) das matrizes 2 2 com entradas inteiras e um anel naocomutativo com unidade

1 00 1

. Verifique isto!

Exemplo 2.1.6. O anel 2Z com a soma e produto usuais e um anel comutativo sem unidade.

Exemplo 2.1.7. O conjunto das funcoes reais contnuas a uma variavel cujo grafico passa peloponto (1, 0) e um anel comutativo sem unidade com as operacoes : (f + g)(a) = f(a) + g(a) e(f g)(a) = f(a)g(a)

Exemplo 2.1.8. Se A1 e A2 sao aneis , nos podemos definir um novo anel A1 A2 = {(a1, a2)|ai Ai} com as operacoes componente a componente:

(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) e (a1, a2).(b1, b2) = (a1.b1, a2.b2)

Este anel e chamado de soma direta de A1 e A2.

Vamos ver agora como podemos operar com aneis.

Teorema 2.1.9 (Regras da soma e do produto). Sejam a, b e c elementos de um anel A. Entao:

1. Vale a lei de cancelamento para a soma, isto e, se a + b = a + c entao b = c.

2. O elemento neutro aditivo e unico.

3. O inverso aditivo e unico.

4. a.0 = 0.a = 0

5. a(b) = (a)b = (ab)6. (a)(b) = ab7. a(b c) = ab ac e (b c)a = ba ca.

Se A tem unidade 1 entao


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2.2. SUBANEIS 13

8. (1)a = a9. (

1)(

1) = 1

10. O elemento neutro da multiplicacao e unico.

11. O inverso multiplicativo e unico.

Demonstracao

1. Basta somar a ambos os lados da igualdade o inverso aditivo de a.

2. Suponha que existam dois elementos neutros, a saber, e e e1. Usando a definicao de elementoneutro temos e = e + e1 = e1.

3. Suponha que o elemento a possui dois inversos aditivos: a1 e a2. Entao a + a1 = a + a2 = 0.Segue entao pelo cancelamento provado em 1 que a1 = a2.

4. Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0+0) = a.0 + a.0. pelo cancelamento em 1 temosque a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.

5. Queremos provar que a(b) e o simetrico de ab. Para isto basta somar a(b) + ab e ver se oresultado e zero. Como a(b) + ab = a(b + b) = a.0 = 0, segue o resultado. Analogamentepara (a)b e o simetrico de ab.

6. (

a)(

b) =

[a(

b)] =

[

ab] pelo tem anterior. E facil ver que

(

a) = a para todo aem A.

7. a(b c) = a(b + (c)) = ab + a(c) = ab + (ac) = ab ac pelas propriedades anteriores.8. (1)a = (1a) = a por 5.9. Direto de 6.

10. Suponha que existam duas unidades em A: 1 e b . Pela definicao de unidade teremos 1 =1.b = b.

11. Suponha que o elemento a de A tenha dois inversos multiplicativos : b e c. Assim ba = ab =ac = ca = 1 e b = b1 = bac = 1c = c utilizando a associatividade da multiplicacao .

2.2 Subaneis

Um subconjunto S de um anel A e um subanel de A se S for um anel com as operacoes de A.

Exemplo 2.2.1. Z e um subanel de Q, Q e um subanel de R e R e um subanel de C.

Teorema 2.2.2 ( Teste para saber se e um subanel). Um subconjunto S de um anelA e um subanelde A se:


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1. S = 2. Para todo a e b em S, a

b

S e ab

S.

DemonstracaoComo as propriedades comutativa, associativa,distributiva sao validas para A, em particular, paraS. Entao faltam apenas verificar se as operacoes sao fechadas, se o elemento neutro aditivo esta emS e se o inverso aditivo de cada elemento de S esta em S. Por hipotese, se a e b S entao ab S.Como S = , tome x em S.Por hipotese x x = 0 S. Tambem, por hipotese 0 a = a Spara todo a S Logo, se a e b S ,a + b = a (b) S por hipotese e o teste esta provado.Exemplo 2.2.3. {0} e A sao subaneis de A.Exemplo 2.2.4. {0, 2, 4} e um subanel de Z6. Construa as tabelas para verificar isto.Exemplo 2.2.5. Os subaneis de Z sao da forma nZ .

Exemplo 2.2.6 (Inteiros de Gauss). Z[i] = {a + bi | a e b Z} e um subanel de C.Com efeito, Z[i] = .

(a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Z[i](a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Z[i]

Pelo teste, Z[i] e um subanel de C.

2.3 Domnios Integrais

O anel Z tem propriedades que em geral um anel qualquer nao tem. Veremos algumas delas nestasecao .

Definicao 2.3.1 (Divisor de zero). Um elemento nao nulo a em um anel comutativo A e chamadoum divisor de zero se existe um elemento nao nulo b em A tal que ab = 0.

Definicao 2.3.2 (Domnio integral). Um anel comutativo com unidade e chamado de domniointegral ou simplesmente domnio se ele nao tem nenhum divisor de zero.

Assim, num domnio integral ab = 0 a = 0 ou b = 0Exemplo 2.3.3. Z,Q,C,R sao domnios . Z6 nao e um domnio pois 2.3 = 0 e 2, 3 = 0Exemplo 2.3.4. O anel dos inteiros de Gauss Z[i] =

{a + bi

|a, b

Z

}e um domnio pois e

comutativo com unidade e nao tem divisores de zero porque esta contido em C

Exemplo 2.3.5. Z[x] e um domnio .Com efeito, sejam

f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

eg(x) = b0 + b1x + ...bmx

m

em Z[x] tal que f(x)g(x) = 0. Suponha que f(x) e g(x) nao sao nulos. Tome ai0 Z tal que i0 eo menor coeficiente de f(x) tal que ai0 = 0 . Analogamente tome bj0 em g(x) tal que j0 e o menorndice tal que bj0 = 0 . Se f(x)g(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cn+mxn+m teremos pela nossa escolhade i0 e j0 que ci0+j0 = ai0bj0

= 0, o que e um absurdo.

Logo f(x) ou g(x) e nulo.


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2.4. CORPOS 15

Exemplo 2.3.6. Z[

2] = {a + b2 | a, b Z} e um domnio . Observe que Z[2] RExemplo 2.3.7. Zp e um domnio

p e primo. Com efeito, suponha que p e primo e ab = 0; isto

indica que ab = 0 ou p|ab. Pelo Lema de Euclides temos p|a ou p|b, ou seja a = 0 ou b = 0.Reciprocamente suponha que Zp e um domnio e p nao e primo. Entao existem inteiros a e b taisque p = ab e 1 < a, b < p. Temos entao o = ab. Como Zp e um domnio temos que a = 0 ou b = 0,

ou seja p|a ou p|b . E facil ver que isto nao acontece e chegamos assim num absurdo.

Uma das propriedaes mais importantes dos domnios e a propriedade de cancelamento.

Teorema 2.3.8 (Cancelamento). Sejam a, b e c pertencem a um domnio integral. Se a = 0 eab = ac entao b = c.

Demonstracao

De ab = ac temos a(b c) = 0 e como a = 0 e estamos num domnio temos que b = c.

2.4 Corpos

Em muitas aplicacoes , um tipo especial de domnio e usado.

Definicao 2.4.1. Um anel comutativo com unidade e chamado um corpo se todo elemento naonulo e uma unidade.

Frequentemente usamos a notacao ab1 como a dividido por b. Pensando nisto podemos dizerque um corpo e um conjunto o qual e fechado em relacao a adicao , subtracao , multiplicacao e

divisao.

Exemplo 2.4.2. Q, R, C sao os exemplos mais famosos de corpos.

O teorema seguinte diz que no caso finito, corpos e domnios sao os mesmos.

Teorema 2.4.3. Se D e um domnio finito ent ao D e um corpo.

DemonstracaoComo D e um domnio, D ja e um anel comutativo com unidade. Assim so falta provar que todoelemento nao nulo e invertvel. Seja a = 0 um elemento de D. Como D e finito, a sequenciaa, a2, a3, a4,... comecara a se repetir, isto e, existe um i > j tal que ai = aj. Entao pela lei do

cancelamento aj

(ai

j

1) = 0 e como a = 0 temos que ai

j

= 1 . Se i j = 1 , a = 1 e portanto einvertvel. Se i j > 1, aij1 e o inverso de a e entao a e invertvel.Corolario 2.4.4. Se p e primo Zp e um corpo.

Usando o exemplo 2.3.7 anterior temos

Corolario 2.4.5. Zn e corpo se e somente se n e primo.

Exemplo 2.4.6 (Corpo com 49 elementos). Seja Z7[i] = {a + bi | a, b Z7 e i2 = 1}. Este e oanel dos inteiros de Gauss modulo 7. Elementos sao adicionados e multiplicados como em numeroscomplexos, exceto que e modulo 7. Mostre que Z7[i] e um corpo.

Exemplo 2.4.7. Q[2] e um corpo . Prove isto.


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2.5 Caracterstica de um anel

Note que para todo x

Z7[i] nos temos 7x = 0. Similarmente no anel

{0, 3, 6, 9

}contido em Z12

nos temos 4x = 0 para todo x. Esta observacao motiva a definicao seguinte.

Definicao 2.5.1 (caracterstica de um anel). A caracterstica de um anel A e o menor inteiropositivo n tal que nx = 0 para todo x A . Se tal elemento n nao existe nos dizemos que A temcaracterstica 0. Not: car(A)

Exemplo 2.5.2. Z tem caracterstica zero e Zn tem caracterstica n. Um anel infinito pode tercaracterstica nao nula. Por exemplo, o anel Z2[x] de todos os polinomios com coeficientes em Z2tem caracterstica 2.

Quando um anel tem unidade, o processo de achar a caracterstica e simplificado;

Teorema 2.5.3 (caracterstica de um anel com unidade). Seja A um anel com unidade 1. Sen.1 = 0 e n e o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que a caracterstica de A e n. Se naoexiste n inteiro positivo tal que n.1 = 0 entao a caracterstica de A e 0.

DemonstracaoSuponha que nao existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0; pela definicao de caracterstica deA,car(A) = 0. Se n e o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que nx = n(1x) = (n.1)x = 0para todo x em A. Isto prova que car(A) = n

Teorema 2.5.4 (caracterstica de domnio). A caracterstica de um domnio e 0 ou um numero

primo.

DemostracaoSeja D um domnio . Pelo teorema 2.5.3, como D possui unidade basta verificar a unidade. Se naoexiste n inteiro positivo tal que n.1 = 0, entao a caracterstica de D e 0.Suponha agora que existeum inteiro positivo m tal que m.1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Queremosprovar que n e primo. Suponha que n nao e primo. Entao existem inteiros s, t tal que n = st com1 < s, t < n. Assim 0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1) e como D e domnio temos que s.1 = 0 ou t.1 = 0.Mas isto contraria o fato de n ser o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Logo n e primo.


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2.6 Exerccios do Captulo 2

1. Ache o erro na prova seguinte de (

a)(

b) = ab sabendo que a e b sao elementos de um anel R.

(a)(b) = (1)a(1)b = (1)(1)ab = 1ab = ab

2. Ache todos os subaneis de Z.

3. Mostre que se m e n sao inteiros e a e b sao elementos de um anel, entao (ma)(nb) = (mn)(ab).Observe que ma = a + a + ... + a, m vezes se m for positivo e ma = (a) + (a) + ... + (a),m vezes quando m for negativo. Observe que usamos isto no teorema 2.5.4.

4. Z6 e um subanel de Z12?

5. A unidade de um subanel tem de ser a mesma do anel todo? Se sim, prove! Senao , de umexemplo.

6. Mostre que 2Z 3Z nao e um subanel de Z.7. Determine o menor subanel de Q que contem 1/2, isto e, um subanel X tal que se S for um

subanel de Q que contem 1/2 entao S vai conter X.

8. Determine o menor subanel de Q que contem 2/3.

9. Suponha que exista um inteiro positivo par n tal que an = a para todo elemento a de um

anel R. Mostre que a = a para todo a em R.10. Seja Z[

2] = {a + b2 | a, b Z}. Prove que Z[2] e um anel com as operacoes +, . usuais

dos reais.

11. Ache um inteiro n que mostre que Zn nao necessita ter as propriedades abaixo, as quais Ztem:

(a) a2 = a a = 0 ou a = 1(b) ab = 0 a = 0 ou b = 0

(c) ab = ac e a = 0 b = c.Este inteiro n e primo? Mostre que as tres propriedades acima sao validas em Zn quandon for primo.

12. Prove que um anel comutativo com a propriedade de cancelamento (na multiplicacao ) naotem divisores de zero.

13. Liste todos os divisores de zero de Z20. Qual a relacao entre os divisores de zero de Z20 e asunidades de Z20?

14. Mostre que todo elemento nao nulo de Zn e um unidade ou um divisor de zero.

15. Ache um elemento nao nulo num anel que nao e um divisor de zero nem uma unidade.


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16. Seja R um anel comutativo finito com unidade. Prove que todo elemento nao nulo de R oue um divisor de zero ou uma unidade. O que acontece se tirarmos a hipotese finito de R?

17. Descreva todos os divisores de zero e unidades de ZQ Z.18. Ache um divisor de zero em Z5[i] = {a + bi | a, b Z5 , i2 = 1}.19. Seja d um inteiro positivo que nao e um quadrado.

Prove que Q[

d] = {a + bd | a, b Q} e um corpo.

20. Seja S o conjunto das matrizes 2 2 com entradas em Z da forma

a b0 0

.

(a) Mostre que S e um subanel de M2(Z).

(b) Mostre que S tem um elemento neutro multiplicativo a esquerda, mas nenhum a direita.

(c) Mostre que S tem un numero infinito de elementos neutros multiplicativos a esquerda.

21. Prove que se um anel tem um unico elemento neutro multiplicativo a esquerda,ele tambem eum elemento neutro multiplicativo a direita e portanto e o elemento neutro multiplicativo doanel.

22. Ache o inverso multiplicativo de 2x2 + 2x + 3 Z4[x] e o inverso multiplicativo de 4x3 + 6x2 +2x + 5 Z8[x].Os exerccios abaixo estao relacionados entre si.

23. Seja A um anel . Um elemento x de A e chamado de nilpotente se existir um inteiro positivon tal que xn = 0. De exemplos de elementos nilpotentes.

24. Seja x um elemento nilpotente de um anel comutativo com unidade A.

(a) Mostre que 1 + x e uma unidade de A.

(b) Mostre que a soma de um nilpotente com uma unidade e uma unidade de A.

25. Seja A um anel comutativo com unidade, A[x] o anel dos polinomios com coeficientes em A

e f(x) = anxn + an1xn1 + ... + a0 A[x].Prove que f(x) e uma unidade em A[x] a0 e uma unidade em A e a1, a2,...,an sao nilpo-tentes. (Sug.: Se b0 + b1x + ...bmx

m e o inverso de f, prove por inducao que ar+1n bmr = 0.Portanto an e nilpotente e entao use o exerccio anterior).

26. Complete os exemplos 2.4.6 e 2.4.7 do texto.


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Captulo 3

Ideais e aneis quocientes

Definiremos agora um subanel que nos permitira definir novos aneis a partir dele.

3.1 Ideais

Definicao 3.1.1 (Ideal). Um subanelI de um anelA e chamado um ideal de A se para todo a Ae todo x I, xa I e ax I .

Assim, um subanel de um anel A e um ideal se ele absorve os elementos de A, isto e, aI I eIa I para todo a em A.Um ideal I de A e proprio se I

= A.

Enunciaremos agora um teste para saber quando um subconjunto de A e um ideal de A. A suademonstracao resulta direto do teste para saber se um subconjunto de A e um subanel e da definicaode ideal.

Teorema 3.1.2 (Teste para saber se e ideal). Um subconjunto nao vazio de um anel I e um idealde A se:

1. a b I, para todo a, b I2. xa e ax estao em I quando a A e x I .

Exemplo 3.1.3. Para todo anel A, {0} e A sao ideais de A. O ideal {0} e chamado de trivial.Exemplo 3.1.4. nZ com n Z e um ideal de Z. Como ja provamos no exerccio 2 do captulo 2que os unicos subaneis de Z sao os da forma nZ, estes tambem sao os unicos ideais de Z.

Exemplo 3.1.5. Seja A um anel comutativo com unidade e x A. O conjunto < x >= {ax|a A}e um ideal de A chamado de ideal gerado por x

Exemplo 3.1.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) e um polinomio com coeficientes em R} e I = { f(x) R[x]|f(0) = 0}. E facil provar que I e um ideal de R[x]Exemplo 3.1.7. Seja A =

{f : R

R onde f e uma funcao

}e S =

{funcoes diferenciaveis de

R em R}. Prove que S nao e um ideal de A.

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20 CAPITULO 3. IDEAIS E ANEIS QUOCIENTES

3.2 Aneis quocientes

Seja A um anel e I um ideal de A. Defina em A a relacao :

x y x y IE facil ver que e uma relacao de equivalencia:

1. x x pois x x = 0 I2. se x y entao y x pois x y I implica em y x = (x y) I porque I e um ideal.3. se x y e y z entao x z pois se x y I e y z I, somando temos que x z I

pela definicao de ideal.

Assim, como toda relacao de equivalencia determina uma particao temos que A vai ser a reuniaodisjunta das classes de equivalencia :

A =

xA[x]

onde

[x] = {y A | y x} = {y A | y x I} = {y A | y x + I}Usaremos as notacoes

x + I = [x]

e A/I = {x + I | x A}.

Queremos transformar A/I em um anel. Para isto vamos definir em A/I duas operacoes e de-pois provar que elas estao bem definidas, pois como estamos trabalhando com classes, e portantoconjuntos , elas nao poderao depender do representante da classe. As operacoes vao ser:

(x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2) + I

e

(x1 + I).(x2 + I) = (x1.x2) + I

Suponha que x1 + I = y1 + I e x2 + I = y2 + I. Entao x1 y1 I e x2 y2 I . Como I eum ideal (x1 y1) + (x2 y2) I ,ou seja, (x1 + x2) (y1 + y2) I . Pela definicao da relacaode equivalencia isto indica que (x1 + x2) + I = (y1 + y2) + I e fica provado que a soma esta bemdefinida. Para provar que o produto esta bem definido,observe que

x1x2 y1y2 = x1x2 y1x2 + y1x2 y1y2 = (x1 y1)x2 + y1(x2 y2)Como I e um ideal, (x1 y1)x2 I e y1(x2 y2) I. Logo o produto fica bem definido .

Exerccio 3.2.1. Prove que (A/I, +, .) e um anel com elemento neutro 0 + I e o inverso aditivo

de x + I e x + I.


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3.2. ANEIS QUOCIENTES 21

Exerccio 3.2.2. Prove que se A e um anel comutativo com unidade entao A/I tambem e um anelcomutativo com unidade.

Chamaremos A/I de anel quociente.

Exemplo 3.2.3. Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}. Com efeito, todo n em Z e da forman = 4q + r onde q Z e 0 r 3 pelo Algortmo de Euclides.Pela definicao da classe deequivalencia temos que n + 4Z = r + 4Z com r = 0, 1, 2, 3

Exemplo 3.2.4. 2Z/6Z = {0 + 6Z, 2 + 6Z, 4 + 6Z}. Observe que 6Z e um ideal de 2Z e que todoelemento da forma 2n e da forma 2(3q+ r) quando aplicamos o Algortmo de Euclides para n e 3.Assim os elementos de 2Z/6Z vao ser 0 + 6Z, 2 + 6Z e 4 + 6Z.

Exemplo 3.2.5. Sejam

A = {

a1 a2a3 a4

tal que a1, a2, a3, a4 Z}

e

I = {

a1 a2a3 a4

tal que a1, a2, a3, a4 2Z}

E facil de provar que I e um ideal de A e que

A/I ={

a1 a2

a3 a4+ I tal que ai {0, 1}}.

Observe que A/I e um anel nao comutativo com unidade com 16 elementos.

Exemplo 3.2.6. Sejam R[x] = { f(x)| f(x) e um polinomio com coeficientes em R} e < x2 + 1 > oideal gerado por x2 + 1. Entao

R[x]

< x2 + 1 >= {ax + b+ < x2 + 1 > |a e b R}

Para provar isto, tome f(x) R[x] e divida f(x) por x2 + 1 obtendo um quociente q(x) e um restoda forma ax + b em R[x]. Podemos escrever f(x) = q(x)(x

2

+ 1) + ax + b e entao a classe de f(x)modulo < x2 + 1 > vai ser ax + b+ < x2 + 1 >. Observe que

(x+ < x2 + 1 >)2 = x2+ < x2 + 1 >= 1+ < x2 + 1 >

e entao substituindo a classe x+ < x2 + 1 > por i teremos que

R[x]

< x2 + 1 >= {ai + b | a, b R e i2 = 1} = C

.

Vemos assim que aneis quocientes nos permite a criacao de certos tipos especiais de aneis.


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3.3 Ideais primos e ideais maximais

Definicao 3.3.1 (ideal primo). Um ideal proprio I de um anel A e primo se quando x, y

A exy I entao x I ou y I.

Exemplo 3.3.2 (ideais primos de Z). Os ideais primos nao nulos de Z sao os pZ onde p e umprimo de Z. Para ver isto seja nZ um ideal de Z e suponha que nZ e um ideal primo. Se n nao forprimo existem a e b em Z tais que n = ab e 1 < a, b < n. Como por hipotese estamos supondo quenZ e primo temos que a ou b pertencem a nZ. Suponha que a = kn com k Z. Temos entao quen = knb ou n(1 kb) = 0, e como estamos no domnio Z isto implica que n = 0 ou 1 kb = 0, istoe, n = 0 ou b = 1. Como n = 0 e b = 1 concluimos que n tem que ser primo.Por outro lado suponha que p e primo e xy pZ. Logo p divide xy e pelo Algortmo de Euclidesp divide x ou p divide y, isto e, x

pZ ou y

pZ e entao pZ e um ideal primo.

Definicao 3.3.3 (ideal maximal). Um ideal proprio I de um anel A e maximal se quando existirum ideal B de A tal que I B A entao I = B ou B = A

Exemplo 3.3.4. < x2 + 1 > e um ideal maximal de R[x]Com efeito, suponha que exista um ideal B de R[x] tal que < x2 + 1 > B R[x] e que = B. Entao existe um f em B tal que f < x2 + 1 > isto e, o resto da divisao de f porx2 + 1 nao e zero e podemos escrever f = q(x2 +1)+ ax + b para algum q R[x] e a, b em R onde ae b nao sao simultaneamente nulos. Isolando ax + b vemos que ax + b = f q(x2 + 1) B e entao

(ax + b)(ax

b) = a2x2

b2 = a2(x2 + 1)

(a2 + b2)

B

Como x2 + 1 B temos que a2 + b2 B. Observe que a2 + b2 = 0 e entao 1a2+b2

.a2 + b2 = 1 B oque implica que B = R[x]. Isto mostra que < x2 + 1 > e um ideal maximal de R[x].

Teorema 3.3.5 (A/I e domnio I e primo). Seja A um anel comutativo com unidade e I umideal proprio de A. Entao A/I e domnio I e primo.

DemonstracaoComo A e comutativo com unidade temos que A/I e um anel comutativo com unidade. Sejama, b A tal que ab I. Passando para classes teremos

ab + I = (a + I)(b + I) = 0 + I

Como A/I e um domnio temos que a + I = 0 + I ou b + I = 0 + I , isto e, a I ou b I.

Reciprocamente, suponha que I e primo e que (a + I)(b + I) = 0 + I, isto e, ab + I = 0 + I, ouseja ab I. Como I e um ideal primo de A temos que a I ou b I, o que significa em termosde classes que a + I = 0 + I ou b + I = 0 + I e que A/I nao tem divisores de zero. Como A/I ecomutativo com unidade porque A e, temos que A/I e domnio.

Teorema 3.3.6 (A/I e corpo

I e maximal). Seja A um anel comutativo com unidade e I umideal de A. Entao A/I e corpo I e maximal.


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3.3. IDEAIS PRIMOS E IDEAIS MAXIMAIS 23

Demonstracao

Como A e comutativo com unidade temos que A/I e um anel comutativo com unidade.Suponha que exista um ideal B de A tal que I B A e que I = B. Entao existe um x B e

x I. Em termos de classe temos que x + I = 0 + I e como A/I e um corpo existe y + I A/I talque xy + I = 1 + I, isto e, xy 1 I. Como x B temos que xy B e portanto, 1 B e B = A.Reciprocamente suponha que I e maximal e vamos mostrar que A/I e um corpo. Para isto tomex + I = 0 + I em A/I . Isto significa que x I e temos entao a cadeia de ideais I I+ < x > A.Como I e maximal temos que I+ < x >= A. Assim existe y I e a A tal que 1 = y + ax ou1 ax I. Em termos de classe significa que

(a + I)(x + I) = 1 + I

isto e, x + I e invertvel e A/I e um corpo.


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3.4 Exerccios do Captulo 3

1. Sejam x e y elementos de um domnio de caracterstica p.

(a) Mostre que (x + y)p = xp + yp

(b) Mostre que para todo inteiro positivo n, (x + y)pn

= xpn

+ ypn

.

(c) Ache um anel de caracterstica 4 tal que (x + y)4 = x4 + y4

2. Se I e J sao dois ideais de um anel A, mostre que a soma de ideais definida por I + J ={x + y|x I e y J} e um ideal de A.

3. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que

(a) < a >=< 2 > + < 3 >

(b) < a >=< 6 > + < 3 >

(c) < a >=< m > + < n >

4. Se I e J sao dois ideais de um anel A, mostre que o produto de ideais definido porI.J = {a1b1 + a2b2 + ... + anbn|ai I e bi J e n e um inteiro positivo } e um ideal de A.

5. No anel dos inteiros, ache um inteiro positivo a tal que

(a) < a >=< 3 > . < 4 >

(b) < a >=< 6 > . < 8 >

(c) < a >=< m > . < n >

6. Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que IJ I J7. Se I e J sao ideais de um anel comutativo com unidade A e I + J = A mostre entao que

IJ = I J8. Se um ideal I de um anel A contem uma unidade, mostre que A = I.

9. Prove que o ideal < x2 + 1 > e primo em Z[x], mas nao e maximal. Sug.: use um fato queveremos no captulo 5 que Z[x] possui algoritmo da divisao para polinomios cujo coeficiente

lder e 1 ou 1. Ver exerccio 15 do Cap.5 .10. Se A e um anel comutativo com unidade e I e um ideal de A, mostre que A/I e um anel

comutativo com unidade.

11. Prove que R[x]/ < x2 + 1 > e um corpo.

12. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que todo ideal maximal e primo.

13. Mostre que I = {(3x, y)|x, y Z} e um ideal maximal de Z Z.14. Seja A o anel das funcoes contnuas de R em R. Mostre que I =

{f

A

|f(0) = 0

}e um ideal

maximal de A.


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15. Quantos elementos tem Z[i]/ < 3 + i > ? De razoes para sua resposta.

16. Em Z[x], o anel dos polinomios com coeficientes inteiros, seja I =

{f

Z[x]

|f(0) = 0

}. Prove

que I nao e um ideal maximal de Z[x]

17. Prove que I =< 2 + 2i > nao e um ideal primo de Z[i]. Quantos elementos tem Z[i]/I ? Quale a caracterstica de Z[i]/I.

18. Em Z5[x], seja I =< x2 + x + 1 >. Ache o inverso multiplicativo de 2x + 3 + I em Z5[x]/I.

19. Mostre que Z2[x]/ < x2 + x + 1 > e um corpo.

20. Mostre que Z3[x]/ < x2 + x + 1 > nao e um corpo.

21. Ache todos os ideais maximais de Z.

22. Se D e um domnio de ideais principais, isto e, domnio onde todo ideal e da forma < a >para algum a em D, prove que D/I e um anel de ideais principais onde I e um ideal de D.

23. Mostre que todo ideal nao nulo de Zn e da forma < d > onde d e um divisor de n.

24. Ache todos os ideais maximais de

(a) Z8

(b) Z10

(c) Z12

(d) Zn


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Captulo 4

Homomorfismos de aneis

4.1 Definicao e exemplos

Podemos descobrir informacoes sobre um anel examinando sua interacao com outros aneis. Fazemosisto atraves dos homomorfismos . Um homomorfismo e uma aplicacao que preserva as operacoessoma e produto dos aneis.

Definicao 4.1.1 (Homomorfismo e isomorfismo de aneis). Um homomorfismo de um anel Rem um anel S e uma aplicacao de R em S a qual preserva as operacoes de um anel, isto e,

(a + b) = (a) + (b)

(ab) = (a).(b)

para todo a e b em R.Um homomorfismo de aneis o qual e injetivo e sobrejetivo e chamado um isomorfismo de aneis.Neste caso dizemos que R e S sao isomorfos.

Observe que na definicao acima as operacoes a esquerda do sinal de igual sao as de R, enquantoas da direita sao de S.Quando temos um isomorfismo : R S isto significa que R e S sao algebricamente identicos .

Exemplo 4.1.2. Para todo inteiro n a aplicacao k k mod n e um homomorfismo de Z em Zn.Com efeito

(a + b) mod n = a mod n + b mod n

(a.b) mod n = a mod n.b mod n

Este homomorfismo e chamado homomorfismo canonico.Observe que toda classe k mod n e imagem do inteiro k e assim o homomorfismo canonico e sobre-jetivo.

Exemplo 4.1.3. Em geral se I em ideal de um anel R a aplicacao que associa a cada elemento r

de R a sua classe r + I e um homomorfismo de aneis chamado homomorfismo canonico .

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4.1. DEFINIC AO E EXEMPLOS 27

Exemplo 4.1.4. Seja : R[x] R que associa f(x) f(1). Entao e um homomorfismosobrejetivo pois

(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = (f) + (g)

(f.g) = (f.g)(1) = f(1).g(1) = (f).(g)

Para todo a R, a = f(1) onde f(x) = a R[x].Isto mostra que e sobrejetivo.Exemplo 4.1.5. A aplicacao a + bi a bi e um isomorfismo de C em C.Prove isto.

Exemplo 4.1.6. A aplicacao : x 4x de Z3 Z12 e um homomorfismo . Temos primeiroque verificar que esta aplicacao esta bem definida pois estamos trabalhando com classes e portantotem que independer do representante da classe. Suponha entao que em Z3 as classes a = b. Assima

b = 3k para algum k em Z. Multiplicando esta expressao por 4 temos 4a

4b = 12k. Isto

mostra que as classes 4a = 4b em Z12 e assim temos que (a) = (b) e esta bem definida.Vamos agora provar que e um homomorfismo. Pela definicao de ,

(a + b) = (a + b) = 4(a + b) = 4a + 4b = (a) + (b)

(a.b) = (a.b) = 4a.b

Por outro lado em Z12,

(a).(b) = 4a.4b = 16ab = 4ab.

Logo e um homomorfismo.

Exemplo 4.1.7. A aplicacao : Z5 Z10 que leva x 5x nao esta bem definida pois 1 = 6 emZ5 mas (1) = 5 = 30 = (6) em Z10.Exemplo 4.1.8. Podemos usar homomorfismos para concluir fatos sobre teoria de numeros. Porexemplo, para provar que a sequencia 2, 10, 18, 26,... nao contem nenhum cubo , suponha que umelemento da forma 8k + 2 com k Z seja um cubo a3. Aplicando o homomorfismo canonico : Z Z8 teremos que 2 = (8k +2) = (a)3. Mas e facil verificar que em Z8 nao existe nenhumelemento cujo cubo de 2. Assim, a sequencia acima nao tem nenhum cubo.

Exemplo 4.1.9 (Teste de divisibilidade por 9). Um inteiro n cuja representacao decimal e akak1...a0e divisvel por 9 se e somente se ak + ak

1 + ... + a0 for divisvel por 9.

Para provar isto, observe que

n = ak10k + ak110

k1 + ... + a0100

e seja : Z Z9 o homo canonico.Assim 9|n (n) = 0.Como (10) = 1 teremos:

(n) = (ak10k + ak110

k1 + ... + a0100) = ak1

k + ak11k1 + ... + a01

0

= ak + ak1 + ... + a0 = ak + ak1 + ...a0

Assim 9|n se e somente se ak + ak1 + ...a0 = 0, isto e, 9|(ak + ak1 + ... + a0)


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28 CAPITULO 4. HOMOMORFISMOS DE ANEIS

4.2 Propriedades dos homomorfismos

Aqui vamos aprender a trabalhar com homomorfismos.

Teorema 4.2.1 (Propriedades dos homomorfismos de aneis). Seja um homomorfismo de umanel R em um anel S. Entao:

1. (0) = 0

2. (r) = (r) para todo r em R.3. Para todo r em R e todo inteiro positivo n, (nr) = n(r) e (rn) = (r)n.

4. SeA e um subanel de R entao (A) e um subanel de S.

5. SeI e um ideal de R e e sobrejetivo entao (I) e um ideal de S.

6. SeJ e um ideal de S entao 1(J) e um ideal de R.

7. SeR e comutativo entao (R) e comutativo.

8. SeR tem unidade 1 e e sobrejetivo entao (1) e a unidade de S se S for nao nulo.

9. e um isomorfismo se e somente se e sobrejetivo e ker = {r R|(r) = 0} = {0}.10. Se e um isomorfismo de R sobre S entao 1 e um isomorfismo de S sobre R.

Demonstracao

1. Aplicando a expressao 0 + 0 = 0 teremos (0 + 0) = (0) e assim (0) + (0) = (0), istoe, 2(0) (0) = 0 e finalmente (0) = 0.

2. Aplicando a expessao r + (r) = 0 teremos que (r) + (r) = (0) = 0. Somando deambos os lados (r) temos (r) = (r) como queramos provar.

3. (nr) = (r+r+r+...r) = n(r) e (rn) = (rr...r) = (r)n pela definicao de homomorfismo.

4. Sejam x, y (A). Entao x = (a1) e y = (a2) onde a1 e a2 estao em A. Pelo teste, basta

provar que x y (A) e xy (A). Mas x y = (a1) (a2) = (a1 a2) (A) poisA e um subanel. Pelo mesmo motivo xy = (a1)(a2) = (a1a2) (A).5. Como I e um subanel pelo item anterior (I) ja e um subanel de S. So falta provar que

S.(I) (I). Como e sobre, todo s em S e da forma s = (r) para algum r em R. Assim,s(a) = (r).(a) = (ra) (I) para todo a I.

6. Aplicando o teste para saber se e um ideal, sejam x, y 1(J). Existem entao j1 e j2 emJ tais que (x) = j1 e (y) = j2. Como (x y) = (x) (y) = j1 j2 J temos quex y 1(J). Tambem, para todo r R e x 1(J) temos (rx) = (r)(x) J o quemostra que rx 1(J)

7. Basta observar que (r1)(r2) = (r1r2) = (r2r1) = (r2)(r1) para todo r1 e r2 em R.


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4.3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS 29

8. Para todo s S, s = (r) para algum r em R porque e sobre. Assim s(1) = (r)(1) =(r1) = (r) = s. Analogamente (1)s = s.

9. Se e isomorfismo entao e sobre e injetiva, isto e, se (r1) = (r2) entao r1 = r2. Ser ker entao (r) = (0) = 0 e portanto r = 0. Assim ker = {0}.Reciprocamente suponha que e sobre e ker = {0}. Vamos provar que e injetiva. Paraisto suponha que (r1) = (r2). Entao (r1 r2) = 0 o que mostra que r1 r2 = 0 porqueker = {0}. Assim e injetivo e sobre e portanto um isomorfismo.

10. Temos de provar que 1(s1 + s2) = 1(s1) + 1(s2) e 1(s1.s2) = 1(s1).1s2.Suponha que 1(s1) = r1 e 1(s2) = r2 . Logo (r1) = s1 , (r2) = s2 e (r1 + r2) =(r1) + (r2) = s1 + s2. Isto mostra que

1(s1 + s2) = r1 + r2 = 1(s1) + 1(s2).Analogamente 1(s1.s2) = 1(s1).1s2.

Teorema 4.2.2. Seja um homomorfismo de um anel R no anel S. Entao o conjunto ker ={r R | (r) = 0} e um ideal de R.Demonstracao Exerccio.

4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos

Teorema 4.3.1 (Teorema fundamental dos homomorfismos (TFH)). Seja um homomorfismo deum anel R no anel S. Entao (R) e isomorfo ao anel quociente R

ker.Em smbolos, (R) R

ker

DemonstracaoDefina a aplicacao

: Rker

(R)r + ker (r)

Temos que mostrar que e um isomorfismo. Em primeiro lugar vamos provar que esta bemdefinida, isto e, que independe da escolha da classe. Suponha que r1 + ker = r2 + ker. Entaor1 r2 ker, isto e (r1) = (r2) e (r1 + ker) = (r2 + ker) e esta bem definida. e um homomorfismo pois

(r1+ker+r2+ker) = (r1+r2+ker) = (r1+r2) = (r1)+(r2) = (r1+ker)+(r2+ker)

((r1 + ker).(r2 + ker)) = (r1.r2 + ker) = (r1.r2) = (r1).(r2) = (r1 + ker).(r2 + ker) e injetiva pois ker = {r + ker R

ker|(r) = 0} = {0 + ker}.

E facil ver que e sobre.

Exemplo 4.3.2. Queremos mostrar que R[x]

e isomorfo a C. Utilizando o teorema fundamentaldos homomorfismos basta criar um homo sobre entre R[x] e C tal que ker seja igual a< x2 + 1 >.Defina

: R[x]

C

f(x) f(i)


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E facil ver que e um homo sobre e que < x2 + 1 > ker.

Seja agora f(x)

ker. Dividindo f(x) por x2 + 1 temos que existem q(x)R[x] e a, b

R

tais que f(x) = (x2 + 1)q(x) + ax + b. Queremos provar que a e b sao nulos. Como f(x) ker ,aplicando na expressao acima temos que ai + b = 0. Logo a = b = 0 e f(x) < x2 + 1 >. Assimker =< x2 + 1 > e pelo TFH, C R[x]

.

Todo anel com unidade de caracterstica 0 possui uma copia de Z e todo anel com unidade decaracterstica n tem uma copia de Zn. E o que veremos a seguir.

Teorema 4.3.3 (Homomorfismo de Z em aneis com unidade). Seja R um anel com unidade 1. Aaplicacao

: Z

R

n n.1e um homomorfismo de aneis.

Demonstracao(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = (n) + (m) e (nm) = (nm).1 = (n.1)(m.1) = (n)(m)como ja provamos no Cap.2.

Corolario 4.3.4 (Um anel com unidade contem Z ou Zn). Se R e um anel com unidade de carac-terstica n entao R contem um subanel isomorfo aZn.SeR e um anel com unidade de caracterstica0 entao R contem um subanel isomorfo aZ.

Demonstracao

Vimos que a aplicacao

: Z Rm m.1

e um homomorfismo de aneis.Se a caracterstica de R for n entao ker = {m Z|m.1 = 0} = nZ. (Prove isto!). Entao pelo

TFH, (Z) Z/nZ = Zn e (Z) e o subanel de R procurado.

Se a caracterstica de R for 0 entao ker = {m Z|m.1 = 0} = {0}. Entao pelo TFH,(Z) Z/{0} = Z, Como (Z) e um subanel de R, este e o subanel procurado.Corolario 4.3.5 (Um corpo contem Zp ou Q). Se F e um corpo de caracterstica p entao Fcontem um subcorpo isomorfo a Zp. Se F e um corpo de caracterstica 0 entao F contem umsubcorpo isomorfo a Q.

Demonstracao Como todo corpo e um domnio , ele tem unidade e sua caracterstica ou e0 ou um numero primo p. Se caracterstica de F for p entao pelo corolario anterior F vai ter umsubanel isomorfo a Zp, o qual vai ser um subcorpo de F. Se caracterstica de F for 0 entao F vai terum subanel S isomorfo a Z. Como F e um corpo F vai conter todos os inversos de S. Considerandoo conjunto T = {ab1|a, b S e b = 0} temos que T F e T e isomorfo a Q(prove isto !).


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4.4. O CORPO DE FRAC OES DE UM DOMINIO 31

4.4 O corpo de fracoes de um domnio

Note que Q e constitudo das fracoes de Z. Podemos repetir esta construcao a todos os domnios .

Teorema 4.4.1. Seja D um domnio. Entao existe um corpo F (chamado corpo das fracoes oucorpo quociente de D) que contem um subanel isomorfo a D.

Demonstracao

Repetiremos a construcao de Q. Seja S = {(a, b)|a, b D e b = 0}.

Em S definimos a relacao de equivalencia

(a, b)

= (c, d)

ad = bc

Denotamos por [(a,b)] a classe de equivalencia de (a, b) e F := {[(a, b)]|(a, b) S}.

Em F definimos uma soma e um produto:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]

[(a, b)].[(c, d)] = [(ac, bd)]

E trabalhoso, mas facil, provar que estas operacoes estao bem definidas e que (F, +, .) e um

anel.Observe que o elemento neutro da soma e [(0,1)] e o da multiplicacao e [(1,1)]. O inverso de umelemento [(a, b)] = 0 e [(b,a)]. Usando a notacao ab

= [(a, b)] podemos trabalhar com F do mesmomodo que trabalhamos com Q. Finalmente vamos mostrar que F contem um subanel isomorfo aD. Basta considerar a aplicacao

: D Fd d

1

e mostrar que e um homomorfismo injetivo . Isto e deixado para o leitor assim como todos osdetalhes dessa demonstracao .

Exemplo 4.4.2. O corpo de fracoes do domnio Z[x] e {f(x)g(x)

|g(x) = 0}. Este corpo e chamado deconjunto das funcoes racionais e denotado por Z(x)


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4.5 Lista de exerccios do Captulo 4

1. Mostre que a correspondencia x

5x de Z5 para Z10 nao esta bem definida.

2. Mostre que a correspondencia x 3x de Z4 para Z12 esta bem definida e preserva a adicaomas nao a multiplicacao .

3. Crie um criterio de divisibilidade por 4.

4. O anel 2Z e isomorfo a 3Z? O anel 2Z e isomorfo a 4Z?

5. Seja Z3[i] = {a + bi|a, b Z3}. Mostre que Z3[i] e isomorfo a Z3[x] como corpos.6. Seja

S = { a bb a |a, b R}.

Mostre que : C S dada por (a + bi) =

a bb a

e um isomorfismo de aneis.

7. Seja Z[

2] = {a + b2 a, b Z} e H = {

a 2bb a

|a, b Z}.

Mostre que Z[

2] e H sao isomorfos como aneis.

8. Considere a aplicacao de M2(Z) em Z dada por a b

c d a. Esta aplicacao e um homo-

morfismo de aneis?

9. A aplicacao de Z5 em Z30 dada por x 6x e um homomorfismo de aneis? Note que aimagem da unidade e a unidade da imagem mas nao a unidade de Z30

10. A aplicacao x 2x de Z10 em Z10 e um homomorfismo de aneis?11. Ache o kernel do homomorfismo : R[x] R dado por (f(x)) = f(1).12. Ache todos os homomorfismos de Z em Z

13. Ache todos os homomorfismos de Q em Q

14. Prove que a sequencia 3, 7, 11, 15,... nao tem nenhuma soma de dois quadrados.

15. Prove que a soma dos quadrados de tres inteiros consecutivos nao pode ser um quadrado.

16. Seja n um inteiro positivo obtido rearranjando os dgitos de m de algum jeito (por exemplo,4567 e um rearranjamento de 6754). Mostre que m n e divisvel por 9.

17. Sejam R e S aneis comutativos com unidade. Se e um homomorfismo de R sobre S e acaracterstica de R e nao nula, prove que a caracterstica de S divide a caracterstica

de R.


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4.5. LISTA DE EXERCICIOS DO CAPITULO 4 33

18. Se R e um anel comutativo de caracterstica p, p primo, mostre que a aplicacao de Frobeniusx xp e um homomorfismo de R em R.

19. Seja um homomorfismo de um anel comutativo R com unidade sobre S e A um ideal de S.

(a) Se A e primo em S entao 1(A) e um ideal primo de R.

(b) Se A e maximal em S entao 1(A) e um ideal maximal de R.

20. Prove que a imagem por homomorfismo de um anel de ideais principais e um anel de ideaisprincipais. Prove que Zn e um anel de ideais principais e que todo anel quociente de um anelde ideais principais e um anel de ideais principais.

21. Prove que se m e n sao inteiros positivos distintos entao os aneis nZ e mZ nao sao isomorfos.

22. R e C sao isomorfos como aneis?

23. Determine todos os homomorfismos de R em R.

24. Mostre que Q[

2] e Q[

3] nao sao isomorfos.

25. Mostre que o corpo quociente de Z[i] e isomorfo a Q[i].

26. Mostre que o numero de Fermat 225

+ 1 nao e primo. Para isto, observe que 641 sendo primoimplica que Z/641Z e um corpo.

Observe tambem que 641 = 24 + 54 e 641 = 27.5 + 1. Da segunda igualdade, tire a expressao

de 5 mod 641, substitua na primeira e veja que 641 divide 225

+ 1.

27. Seja D um domnio e F seu corpo quociente. Mostre que se E e um corpo que contem Dentao E contem um subcorpo isomorfo a F(assim o corpo quociente de um domnio D e omenor corpo que contem D).

28. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que existe uma correspondencia biunvoca entreos ideais de A que contem I e os ideais do anel quociente A/I.

29. Ache todos os ideais de Z36.

30. Ache todos os ideais de Zn. Quantos existem ?31. Mostre que Z5[x]

e isomorfo a Z5[x]

como corpos.


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Captulo 5

Aneis de Polinomios

Trabalharemos com aneis de polinomios do mesmo jeito que voces aprenderam no segundo grau.So tem que agora estamos preocupados com a sua estrutura de anel .Veremos que mudando o anelonde os coeficientes pertencem teremos aneis de estruturas diferentes.

5.1 Definicao e exemplos

Definicao 5.1.1. Seja R um anel comutativo. O conjunto dos smbolos formais

R[x] ={

anxn + an

1x

n1 + ... + a0|

ai

R, nN

}e chamado o anel de polinomios sobre R na indeterminada x .

Dois polinomios

anxn + an1x

n1 + ... + a0

e

bmxm + bm1x

m1 + ... + b0

sao considerados iguais se e somente se ai = bi para todo i N (defina ai = 0 quando i > n ebi = 0 quando i > m)

Nesta definicao , os smbolos x1, x2,...,xn nao representam variaveis do anel R. Sua finalidade eservir como lugares convenientes para separar os elementos do anel R ; a1, a2,...,an. Nos poderamoster evitado os x,s definindo um polinomio como uma sequencia infinita a0, a1, a2,...,an, 0, 0,... masnosso metodo tem a vantagem da experiencia de x como variavel. A desvantagem do nosso metodoe a confusao que se pode fazer entre polinomio e a funcao que ele pode representar. Por exemplo,em Z3[x] os polinomios f(x) = x

4 + x e g(x) = x2 + x representam a mesma funcao de Z3 em Z3pois f(a) = g(a) para todo a Z3, mas f(x) e g(x) sao elementos diferentes de Z3[x].

Para fazer R[x] um anel definimos a adicao e multiplicacao de modo usual.

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5.1. DEFINIC AO E EXEMPLOS 35

Definicao 5.1.2 (soma e multiplicacao de polinomios ). Sejam R um anel comutativo e

f(x) = anxn + an

1x

n1 + ... + a0

g(x) = bmxm + bm1x

m1 + ... + b0polinomios pertencentes a R[x].

Entaof(x) + g(x) = (as + bs)x

s + (as1 + bs1)xs1 + ... + (a0 + b0)

onde ai = 0 para todo i > s e bi = 0 se i > m. Tambem

f(x)g(x) = cm+nxm+n + cm+n1x

m+n1 + ... + c0

onde ck = akb0 + ak1b1 + ... + a1bk1 + a0bk para k = 0,...,m + n.

A definicao da multiplicacao parece confusa mas nao e. Ela e a formalizacao do processo familiarda distributividade e colecionando termos iguais.

Exemplo 5.1.3. Sejam f(x) = x3 + 2x + 1 e g(x) = 2x2 + 2 Z3[x].

f(x) + g(x) = x3 + 2x2 + 2x + 0

f(x)g(x) = (x3 + 2x + 1)(2x2 + 2) = 2x5 + 2x3 + x3 + x + 2x2 + 2 = 2x5 + 2x2 + x + 2

Nossa definicao de soma e produto de polinomios foram formuladas de tal forma que R[x] e umanel comutativo . Prove isto!

Vamos agora introduzir alguma terminologia para polinomios. Se

f(x) = anxn + ... + an1x

n1 + ... + a1x1 + a0

onde an = 0, nos dizemos que f(x) tem grau n ; o termo an e chamado de coeficiente lderde f(x); se o coeficiente lder de f(x) for a unidade do anel dizemos que f e monico. Nao definimosgrau para o polinomio nulo f(x) = 0 . Polinomios do tipo f(x) = a0 sao chamados de polinomiosconstantes. Nos geralmente escrevemos grf = n para indicar que grau de f e n.

Muitas propriedades de R sao levadas para R[x]. Nosso primeiro teorema mostra um exemplo:

Teorema 5.1.4. Se D e um domnio ent ao D[x] e um domnio.

Demonstracao

Como nos ja sabemos que D[x] e um anel, o que precisamos provar e que D[x] e comutativocom unidade sem divisores de zero. Claramente D[x] e comutativo porque D o e. Se 1 for aunidade de D entao e facil ver que f(x) = 1 e a unidade de D[x]. Finalmente suponha quef(x) = anx

n + an1xn1 + ... + a0 e g(x) = bmxm + bm1xm1 + ... + b0 onde an = 0 e bm = 0. Entao pela definicao do produto, f(x)g(x) tem coeficiente lder anbm

= 0 porque D e domnio.

Logo f(x)g(x) = 0 e D[x] e um domnio.


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36 CAPITULO 5. ANEIS DE POLINOMIOS

Exemplo 5.1.5. Como todo corpo K e um domnio entao K[x] e um domnio . Tambem K[x, y] :=K[x][y] em domnio.

5.2 O Algoritmo da divisao e consequencias

Uma das propriedades dos inteiros que usamos repetidas vezes e o algoritmo da divisao: se a e bsao inteiros e b = 0, entao existem inteiros unicos q e r tais que a = bq+ r onde 0 r < |b|. Oteorema a seguir e um analogo para os polinomios sobre um corpo.

Teorema 5.2.1 (algoritmo da divisao para polinomios). Sejam F um corpo, f(x) e g(x) F[x]comg(x) = 0. Entao existem polinomios q(x) e r(x) em F[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) comr(x) = 0 ou gr r(x) < gr g(x). Tais q(x) e r(x) sao unicos .

Demonstracao

Existencia de q(x) e r(x): Se f(x) = 0 ou gr f < gr g nos colocamos q(x) = 0 e r(x) = f(x).

Entao vamos assumir que n = grf grg = m.

Sejam f(x) = anxn + an1xn1 + ... + a0 e

g(x) = bmxm + bm1xm1 + ... + b0. Usaremos o 2oP IM no grau de f.

Se grf = 0, f e g sao constantes em F , tome q(x) = f /g e r(x) = 0.

Vamos supor agora que grf > 0 e colocamos f1 = f(x) anbm1xnmg(x).

Entao f1 = 0 ou grf1 < grf. Pela nossa hipotese de inducao existem q1(x) e r1(x) em F[x] taisque f1 = g(x)q1(x) + r1(x) onde r1 = 0 ou gr r1 < gr g. Assim

f(x) = anbm1xnmg(x) + f1(x) = anbm

1xnmg(x) + q1(x)g(x) + r1(x)

= [anbm1xnm + q1(x)]g(x) + r1(x).

e esta parte do teorema esta provada.

Unicidade:Suponhamos f(x) = q0(x)g(x) + r0(x) = g(x)q1(x) + r1(x) onde ri = 0 ou gr ri < gr g, i = 1, 2.

Subtraindo as duas equacoes temos que

0 = g(x)(q0(x) q1(x)) + (r0(x) r1(x))ou

r0(x) r1(x) = g(x)(q0(x) + q1(x)). Como o grau de r0(x) r1(x) e menor que o grau de g(x) e g(x) divide r0(x) r1(x), isto so epossvel se r0(x)

r1(x) = 0. Assim r1 = r0 e q1 = q0.


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5.2. O ALGORITMO DA DIVIS AO E CONSEQUENCIAS 37

Os polinomios q(x) e r(x) sao chamados de quociente e resto da divisao.

Seja agora D um domnio. Se f e g D[x] dizemos que g|f isto e, g divide f se existe umpolinomio h D[x] tal que f = gh. Neste caso nos chamamos g de fator de f. Um elementoa D e um zero de f se f(a) = 0. Quando F e um corpo, a F e f(x) F[x], nos dizemos quea e um zero de multiplicidade k se (x a)k divide f mas (x a)k+1 nao divide f. Com estasdefinicoes , podemos dar varias consequencias do algortmo da divisao .

Corolario 5.2.2 (o teorema do resto). Se F e um corpo, a F e f(x) F[x] entao f(a) e o restoda divisao de f porx a.Corolario 5.2.3 (o teorema do fator). Seja F um corpo, a F e f F[x]. Entao a e zero de fse e somente se x

a e fator de f.

Corolario 5.2.4 (polinomios de grau n tem no maximo n zeros). Um polinomio de grau n sobreum corpo tem no maximo n zeros contando multiplicidades.

DemonstracaoUsamos inducao em n. Claramente um polinomio de grau 1 tem exatamente 1 zero . Agora suponhaque a afirmativa e valida para todo polinomio de grau menor que n e n e maior que 1. Seja f umpolinomio de grau n sobre um corpo e seja a um zero de multiplicidade k. Entao f(x) = (xa)kg(x)onde g(a) = 0 e n = k + grg o que mostra que grg < n. Se f nao tem nenhum zero diferente de aentao nao temos nada mais a demonstrar. Se f tiver outro zero b = a entao 0 = f(b) = (ba)kg(b)

e entao g(b) = 0 .Como grg < n segue pela nossa hipotese de inducao que o numero de zeros de ge menor ou igual ao grau de g e assim numero de zeros contando multiplicidades de f e menor ouigual a k + grg = k + n k = n e o nosso corolario esta demonstrado.

Nos observamos que o ultimo corolario nao e verdade para aneis de poliomios arbitrarios. Porexemplo x2 + 3x + 2 tem 4 zeros em Z6.

Exemplo 5.2.5. Os zeros de xn 1 C[x] sao wi com w = cos3600/n+isen3600/n e i = 1, 2,...,n.Para ver isto use a formula de Moivre. Pelo corolario anterior esses sao os unicos zeros de xn 1.O numero complexo w e chamado de raiz primitiva da unidade.

Nos terminamos esse captulo apresentando uma aplicacao teorica do algoritmo da divisao mos-trando que F[x] e Z sao bem parecidos. Para isto vamos definir domnios de ideais principais.

Definicao 5.2.6 (domnio de ideais principais). Um domnio de ideais principais (DIP) e umdomnio R no qual todo ideal tem a forma < a >= {ra | r R}Teorema 5.2.7. Se F um corpo entao F[x] e um DIP.

Demonstracao

Pelo teorema sabemos que F[x] e um domnio. Seja agora I um ideal de F[x]. Se I = 0 nadaa demonstrar. Suponha entao que I = 0 e seja g o polinomio de menor grau que pertence a I .


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Vamos provar que I =< g >. Como g I, gF[x] I e entao < g > I. Tome h I. Peloalgortmo da divisao temos que existem q e r em F[x] tais que h = qg + r com r = 0 ou grr < grg.Temos que r = h

qg

I e entao pela escolha de g, r so pode ser 0. Logo g

|h o que prova que

I < g > e portanto I =< g >.

O teorema acima mostra tambem como achar um gerador dos ideais de F[x]:

Teorema 5.2.8. Seja I um ideal de F[x] , F um corpo e g um elemento de F[x]. Entao g gera I,isto e, I =< g > se e somente se g e um elemento nao nulo de grau mnimo em I.

Faremos agora uma aplicacao desse teorema:

Exemplo 5.2.9. Considere o homo de R[x] em C dado por f(x) f(i). Entao x2 + 1 kere e claramente o polinomio de menor grau em ker. Assim ker =< x2 + 1 > e R[x]

C pelo

TFH.

Observe que nao temos unicidade no gerador de um ideal I de F[x], mas podemos determinaras relacoes entre geradores de um ideal nao nulo de um domnio D. Com efeito, suponha queI =< g >=< g1 >. Assim g|g1 e g1|g. Logo g = g1.h1 e g1 = g.h onde h1 e h estao em D..Substituindo as duas expressoes temos g = g.h.h1 , g(1 hh1) = 0 e como estamos num domnio,g = 0 ou h1.h = 1, isto e, g e g1 diferem por unidades. Dizemos neste caso que g e g1 sao associados.

Exemplo 5.2.10. < x2 + 1 >=< 2(x2 + 1) >=< 13

(x2 + 1) > em R[x].

< 3 >= em Z.

< 2x2 + 6x + 2 >=< x2 + 3x + 1 > em Q[x]

< x + i >=< ix 1 > em C[x].


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5.3. LISTA DE EXERCICIOS DO CAPITULO 5 39

5.3 Lista de exerccios do Captulo 5

1. Seja R um anel comutativo. Mostre que a caracterstica de R[x] e igual a caracterstica de R.

2. Se : R S um homomorfismo de aneis, defina : R[x] S[x] por (anxn + ... + a0) =(an)x

n + ... + (a0). Mostre que e um homomorfismo de aneis .

3. Seja f(x) = x3 + 2x + 4 e g(x) = 3x + 2 em Z5[x]. Determine o quociente e o resto da divisaode f(x) por g(x).

4. Mostre que o polinomio 2x + 1 em Z4[x] tem inverso multiplicativo. Em Z[x] existem po-linomios nao constantes com inverso multiplicativo?

5. Prove que o ideal < x > em Z[x] e primo e nao maximal.

6. Prove que o ideal < x > em Q[x] e maximal.

7. Seja F um corpo infinito e f(x) F[x] Se f(a) = 0 para um numero infinito de elementos ade F, entao f(x) = 0

8. Seja F um corpo infinito e f(x), g(x) F[x]. Se f(a) = g(a) para um numero infinito deelementos a de F, entao f(x) = g(x).

9. Seja F um corpo e p(x) F[x]. Se f(x), g(x) F[x], gr f < gr p e gr g < gr p, mostre quef(x)+ < p(x) >= g(x)+ < p(x) > implica que f(x) = g(x).

10. Se I e um ideal de um anel R, prove que o conjunto I[x] dos polinomios de R[x] cujoscoeficientes estao em I e um ideal de R[x]. De um exemplo de um anel comutativo R comunidade e um ideal maximal I de R de modo que I[x] nao e um ideal maximal de R[x].

11. Seja R um anel comutativo com unidade. Se I e um ideal primo de R, prove que I[x] e umideal primo de R[x]

12. Prove que Q[x] e isomorfo a Q[

2] = {a + b2|a, b Q}.

13. Prove que Z3[x]

e isomorfo a Z3[i] = {a + bi | a, b Z3}.14. Seja f(x)

R[x]. Suponha que f(a) = 0 e que f(a)

= 0. Mostre que a e um zero de f(x) de

multiplicidade 1.

15. Seja f(x) R[x]. Suponha que f(a) = 0 e que f(a) = 0. Mostre que (x a)2 divide f(x).16. Seja R um anel comutativo com unidade e f(x) R[x]. Suponha que g(x) = bmxm + ... + b0

R[x]

e bm seja inversvel em R. Prove que o algortmo de divisao existe para f e g, isto e,q(x), r(x) R[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr r(x) < gr g(x) .Prove que temos tambem unicidade neste caso.

17. Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x)

A[x] e a

A. Entao f(a) = 0

t(x)

A[x] tal que f(x) = (x a)t(x).


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18. Seja D um dom. e 0 = f(x) D[x]. Entao o numero de razes de f(x) em D (contandomultiplicidades) e menor ou igual ao grau de f.

19. Se K e um corpo, K[x, y] = K[x][y] = anel de polinomios em y com coeficientes em K[x]

(a) Mostre que K[x, y] e um domnio e nao e principal.

(b) Mostre que o ideal < x, y > e maximal em K[x, y].


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Captulo 6

Fatoracao de polinomios

6.1 Testes de redutibilidade

Como vimos no captulo anterior, o anel de polinomios K[x] com K corpo e bem parecido com oanel dos inteiros. Temos tambem o analogo a numero primo:

Definicao 6.1.1 (pol. irredutvel e redutvel). Se D um domnio, um polinomio f(x) D[x] eirredutvel sobre D se

1. f = 0 e f nao e uma unidade de D[x].2. Sempre que f = gh entao g ou h e uma unidade de D[x].

Um polinomio f D[x] e redutvel se f nao e nulo nem uma unidade de D[x] e se f nao forirredutvel.

Antes de darmos exemplos de irredutveis precisamos saber quais sao as unidades de D[x], ouseja, quais sao os elementos inversveis de D[x].

Sabemos que D[x] e um domnio e entao vale que gr(f.g) = grf + grg . Seja f uma unidadede D[x]. Entao existe um g D[x] tal que f.g = 1. Aplicando o grau , temos que grf + grg = 0.Assim grf = grg = 0, f, g D e f.g = 1 provando assim que f e g sao unidades de D e acabamosde provar o teorema:

Teorema 6.1.2. Os elementos inversveis de D[x], onde D e um domnio, s ao as unidades de D.

Exemplo 6.1.3. Vamos calcular o conjunto das unidades de alguns aneis de polinomios

1. U(Z[x]) = {1, 1}.2. U(R[x]) = R {0}.3. U(K[x]) = K {0} se K e um corpo.

Conhecendo agora as unidades de K[x] onde K e um corpo, temos que f e irredutvel sobre Kse nao for constante e se f nao puder ser escrito como produto de dois polinomios em K[x] de graumenor .

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42 CAPITULO 6. FATORAC AO DE POLINOMIOS

Exemplo 6.1.4. f(x) = 2x2 + 4 Q[x] e irredutvel sobre Q pois 2x2 + 4 = 2(x2 + 2), 2 e umaunidade de Q[x] e x2 + 2 nao pode ser escrito como um produto de polinomios de grau 1. Proveesta ultima afirmacao !

Exemplo 6.1.5. f(x) = 2x2 + 4 Z[x] e redutvel sobre Z. Com efeito, 2x2 + 4 = 2(x2 + 2), e 2nao e uma unidade em Z[x]

Exemplo 6.1.6. f(x) = 2x2 + 4 Q[x] e irredutvel sobre R e redutvel sobre C. Com efeito,2x2 + 4 = 2(x +

2i)(x 2i). Tente escrever 2x2 + 4 = (ax + b)(cx + d) em R[x] para provar que

2x2 + 4 e irredutvel sobre R.

Exemplo 6.1.7. x2 2 e redutvel sobre R e irredutvel sobre Q.

Exemplo 6.1.8. O polinomio x2

+ 1 e irred. sobre R e red. sobre C.

Em geral e difcil determinar se um polinomio e ou nao irredutvel sobre um domnio masexistem alguns casos especiais quando isto e facil . Nosso primeiro teorema e um desses casos. Elese aplica aos exemplos acima.

Teorema 6.1.9 (teste de redutibilidade para graus 2 e 3). Seja F um corpo. Se f(x) F[x] egrf = 2 ou 3 entao f e redutvel sobre F se e somente se f tem um zero em F

Demonstracao

Suponha que f = gh onde g e h posssuem grau menor que o de f e pertencam a F[x]. Comogrf = grg + grh e grf = 2 ou 3 , pelo menos um dos g ou h tem grau 1, digamos g(x) = ax + b.Entao claramente b/a e um zero de g e entao um zero de f.

Reciprocamente, suponha que f(a) = 0 onde a F. Entao pelo teorema do fator , x a e umfator de f e assim f(x) e redutvel sobre F.2

Este teorema e facil de ser usado quando estamos com corpos finitos Zp pois basta verificar oszeros de f. Note que polinomios de grau 4 podem ser redutveis sem ter zeros no corpo. Porexemplo (x

2

+ 1)2

e redutvel sobre Q e nao tem nenhum zero em Q.

Observe que o Teorema 6.1.9 nao se aplica em domnios em geral. Por exemplo, 2(x2 + 1) eredutvel sobre Z e nao tem razes em Z.

Os nossos proximos tres testes lidam com polinomios com coeficientes inteiros. Para simplificara prova do primeiro deles nos introduzimos alguma terminologia.

Definicao 6.1.10 (conteudo de um pol. e pol. primitivo). O conteudo de um pol. f = anxn +

... + a0 Z[x] e o mdc{ai|i = 0,...n}. Um polinomio e chamado de primitivo se seu conteudo forigual a 1.

Teorema 6.1.11 (Lema de Gauss). O produto de 2 polinomios primitivos e primitivo.


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6.2. TESTES DE IRREDUTIBILIDADE 43

Demonstracao

Sejam f e g dois pol. primitivos e suponha que o produto f g nao seja primitivo. Seja p umdivisor primo do conteudo de f g e sejam f e g as imagens dos pol. obtidos de f e g aplicando ohomomorfismo : Z[x] Zp[x] , o qual leva anxn +an1xn1+ ...+a0 em anxn +an1xn1+...+a0onde ai significa a classe de ai em Zp. Entao fg = 0. Como Zp[x] e um domnio temos que f ou ge nulo. Isto indica que p divide o conteudo de f ou p divide o conteudo de g, o que e absurdo poisf e g sao primitivos .2

Lembre-se que a questao da redutibilidade depende do anel onde os polinomios estao. Assimx2 2 e irredutvel sobre Z mas redutvel sobre Q[2]. Podemos provar que todo polinomio sobreum domnio de grau maior do que um, e redutvel sobre algum corpo. O teorema a seguir mostra

que no caso dos inteiros este corpo tem que ser maior que Q.

Teorema 6.1.12 (red. sobre Q red. sobre Z). Seja f Z[x] . Se f for redutvel sobreQ entaoele vai ser redutvel sobreZ

Demonstracao

Suponha que f = gh onde g e h estao em Q[x]. Se f nao for primitivo f ja e redutvel sobre Z enao temos nada mais a demonstrar. Podemos supor agora que f seja primitivo. Tirando o mmc dosdenominadores dos coeficientes de g e de h temos que existem inteiros a e b e polinomios g1 e h1 emZ[x] tais que abf = g1h1. Se c1 = conteudo de g1 e c2 = conteudo de h1 temos que abf = c1c2g2h2

onde g2 e h2 estao em Z[x] e sao primitivos . Tomando o conteudo da ultima expressao e usando oLema de Gauss temos que ab = c1c2 e f = g2h2 . Como g2 e h2 estao Z[x] temos que f e redutvelsobre Z.2.

6.2 Testes de irredutibilidade

O teorema 6.1.10 reduz a questao de irredutibilidade de um polinomio de grau 2 ou 3 para a questaode achar um zero. O proximo teorema permite simplificar o problema mais ainda.

Teorema 6.2.1 (teste de irred. modp). Seja p um numero primo e suponha f(x) Z[x] comgrf 1. Seja f e o polin omio obtido def reduzindo todos os coeficientes modp . Se f e irredutvelmod p, isto e, sobreZp e grf = grf entao f e irredutvel sobre Q.

Demonstracao

Suponha que f seja redutvel sobre Q.Pelo teorema anterior, se f for red. sobre Q entao ele vai ser red. sobre Z.Assim existem pol. g e h em Z[x] tais que f = gh onde g e h possuem graus menores que grf

[observe que g e h nao podem ter grau igual a zero porque senao f nao seria redutvel sobre Q].

Sejam f , g e h as imagens de f, g e h respectivamente atraves do homomorfismo


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44 CAPITULO 6. FATORAC AO DE POLINOMIOS

Z[x] Zp[x]g = ni=0 bixi

g = ni=0 bixiComo

grg grg < grf ,

grh grh < grfe grf = grf por hipotese, nos temos que f = gh com grg = grg e grh = grh o que e um absurdopois nossa hipotese diz que f e irred. sobre Zp. Assim f e irred. sobre Q.2

Observacoes

1. Se grf = grf nao podemos afirmar nada ; por exemplo, f(x) = 3x22x1 Z[x] e redutvelsobre Q e f = 2x 1 = 1x + 2 Z3[x] e irredutvel sobre Z3.

2. Seja cuidadoso para nao usar a recproca do teorema; se f Z[x] e f e red. sobre Zp paraalgum p, f pode ainda ser irred. sobre Q. Por exemplo, considere f(x) = 21x3 3x2 + 2x + 8.Sobre Z2 temos que f = x

3 + x2 = x2(x + 1). Mas sobre Z5, f = x3 3x2 + 2x + 3 nao tem

nenhuma raiz em Z5 o que mostra que f e irred. sobre Z5 e entao f e irred. sobre Q.

3. O exemplo anterior mostra que f pode nao ser irredutvel sobre Zp mas ser irredutvel sobreoutro primo p. Observe que existem pol. f que sao irred. sobre Q mas f e red. sobre Zppara todo primo p, como e o caso do pol. f(x) = x4 + 1

Z[x].

Exemplo 6.2.2. Seja f = 15x3 3x2 + 2x + 7 Z[x]. Em Z2[x] temos que f = x3 x2 + 1,f(0) = 1 e f(1) = 1. Assim f e irred.

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