Upload
lnery1
View
589
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Modelagem matemtica de Sistemas g de Controle
Caractersticas EDG Operador Derivativo FTO DB
Controle de Sistemas Mecnicos
Modelagem Matemtica de Sistemas de Controler(t)1 In 1 1 Comparao 1 1
e(t) ()1
u(t)1
y(t)Processo 11
Controlador 1
Medio 1
1
Obter inicialmente a E.D. de cada subsistema Obter para Obterpara cada subsistema uma funo que relacione a entrada com a sada (FT) Obter uma representao grfica (diagrama de blocos) que descreva as relaes entre os subsistemas Do DB do sistema obter sua E.D. ou sua FT Estes subsistemas podem ser mecnicos, hidrulicos, , , p trmicos, eltricos, eletrnicos ou pneumticos.Controle de Sistemas Mecnicos
Principio da superposioUm i t U sistema dit linear se segue a lei da dito li l id superposio. Significa que a resposta a combinao linear de duas entradas simultneas igual mesma combinao aplicada as respostas consideradas separadamente. separadamente Ou seja o fato das entradas seja, ocorrerem simultaneamente no interfere com o resultado.y1 = Pu1 y = P (u1 + u 2 ) = y1 + y2 , , y2 = Pu2
Controle de Sistemas Mecnicos
Caractersticas da Modelagem matemtica a ser abordadaLinearidade obedece aos princpios da superposio e homogeneidade
Parmetros concentrados equaes diferenciais ordinrias no tempo contnuo
Invarincia no tempo p coeficientes da equao constantes
Causalidade sistemas s respondem aps a excitao i t d it
Controle de Sistemas Mecnicos
Equao Diferencial GeralSistemas Lineares Si t Li Parmetros concentrados Invariantes no tempo Mnico (an = 1)
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) + a n 1 + ... + a1 + a 0 y (t ) = n n 1 dt dt dt d m u (t ) bm + ... + b0 u (t ) m dtAdmite-se sempre
m n
Sistema prprio
Controle de Sistemas Mecnicos
Transformada de Laplaced n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) + a n 1 + ... + a1 + a 0 y (t ) = n n 1 dt dt dt d m u (t ) bm + ... + b0 u (t ) m dtTransformada de T f d d Laplace com CI nulas
( s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s n + L + b1s + b0 )U ( s )Controle de Sistemas Mecnicos
Equao Geral Simplificada
( s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s n + L + b1s + b0 )U ( s )
D(s )O resultado fica
N (s )
D( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )Controle de Sistemas Mecnicos
Funo de Transferncia
D( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )N (s) Y ( s) = U (s) D( s)P( p)
Y ( s) N ( s) FT = P ( s ) = = U ( s) D( s)FT do Sistema
m n
Sistema prprio Sistema bi-prprio Sistema estritamente prprio Polinmio CaractersticoControle de Sistemas Mecnicos
m=n m< nD(s )
Definindo FT para SSOAplicando Laplace numa equao de segunda ordem:
& a2 (s 2Y (s) y(0) sy(0)) + a1 (sY (s) y(0)) + a0Y (s) = b0U (s)Substituindo as condies iniciais:y ( 0) = 0 & y ( 0) = 0
a2 s 2Y (s) + a1sY (s) + a0Y (s) = b0U (s) (a2 s 2 + a1s + a0 )Y (s) = b0U (s)
Colocando Y(s) em evidencia: Definimos a FT:
FT(s) =
b Y (s) = 2 0 U (s) a2 s + a1s + a0Controle de Sistemas Mecnicos
Diagramas de blocos bsicosSero i t S vistos cinco blocos bsicos: i bl b i Amplificador Somador Diferena Integrador Ramificao
Todos os sistemas que sero analisados aqui podero ser representados usando apenas esses cinco blocos e suas associaes
Controle de Sistemas Mecnicos
AmplificadorO amplificador, ou multiplicao por escalar, lifi d lti li l representado conforme a figura onde consta o seu ganho (a constante de multiplicao) g ( p )u(t) K y(t)
y (t ) = Ku (t )
Notar que dimensional
[K ] = [ y ] [u ]Controle de Sistemas Mecnicos
Ganhos em cascataDois D i amplificadores podem ser associados em lifi d d i d cascatau(t) K1 v(t) K2 y(t)
y (t ) = K 2 v (t ) = K 2 K1u (t ) = Ku (t ) K = K 2 K1
Controle de Sistemas Mecnicos
SomadorRepresenta a soma entre d i sinais R t t dois i i
u(t) y(t) v(t)
y (t ) = u (t ) + v(t )
Controle de Sistemas Mecnicos
DiferenaO mesmo bloco tambm pode representar a bl t b d t diferena entre sinais
u(t) v(t)
y(t)
y (t ) = u (t ) v(t )
Controle de Sistemas Mecnicos
Associao com o ganhoO diagrama de blocos abaixo representa uma di d bl b i t associao muito comumu(t)K1
y(t)
v(t)
K2
y (t ) = K1u (t ) + K 2v(t )
Controle de Sistemas Mecnicos
IntegradorRepresenta a i t R t integrao d sinal de entrada ao do i l d t d longo do tempou(t) y(t)
t 0
y (t ) = u ( )d
Controle de Sistemas Mecnicos
RamificaoRepresenta a bif R t bifurcao d um sinal de i l
y(t)y(t)
y(t)
y(t)
y(t)
Controle de Sistemas Mecnicos
Diagrama de Bloco sem derivadas no numeradorPara obter o DB d uma E P bt de Equao Dif Diferencial i l sem derivadas no numerador,d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) y + an 1 + L + a1 + a0 y (t ) = u (t ) dt n dt n 1 dt
D( s )Y ( s ) = U ( s )
u1/D
y
isola-se o termo de maior ordem e utiliza-se dos blocos bsicos (numero de integradores igual a ordem do sistema) i l d d i t )d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) = an 1 L a1 a0 y (t ) + u (t ) dt n 1 dt dt nControle de Sistemas Mecnicos
Exemplo:Obter Obt o DB da Equao Diferencial abaixo d E Dif i l b id 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = u ( t ) 3 2 dt dt dt
D( s )Y ( s ) = U ( s )P( s) =
u1/D
y
Y (s) 1 = 3 U ( s ) s + 8s 2 + 37 s + 50Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:A E.D. EDd 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = u ( t ) 3 2 dt dt dt Pode ser rescrita na forma d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) = 8 37 50 y ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) = 8 37 50 y ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt&&(0) y & y(0) && y y(0) & y &y& &
u(t )
8
y(t )
37 50
Controle de Sistemas Mecnicos
Diagrama de Bl Di d Bloco com d i d derivadas no numerador dDada E.D.G
d n y(t ) d n1 y(t ) d mu(t ) + an1 + ... + a0 y(t ) = bm + ... + b0u(t ) n n1 m dt dt dt
(s
Pode-se rescrev-la na notao de operadorn
+ an 1s n 1 + K + a1s1 + a0 Y ( s ) = bm s m + K + b0 U ( s )D (s ) N (s)
)
(
)
D( s)Y ( s) = N ( s)U ( s)Controle de Sistemas Mecnicos
Como o sistema linear
D ( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )Y (s) D(s) = U (s) N (s) (s
U (s) X (s) = D (s)
D(s) X (s) = U (s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)y
xu1/D
xN
Controle de Sistemas Mecnicos
continuandoU (s) X (s) = D(s) (sdiagrama de bloco j construdo d anteriormente
D(s) X (s) = U (s)
Y (s) X (s) = N (s)
Y (s) = N (s) X (s)
utiliza-se os valores de x que saram do diagrama acima
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo:Obter Obt o DB d equao abaixo da b idu ( t ) d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = 3 + 5u (t ) 3 2 dt dt dt dt
u1/D
xN
y
D( s)Y ( s) = N ( s)U ( s)Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:A equao abaixo b id 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) du ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = 3 + 5u (t ) 3 2 dt dt dt dt
Pode ser reescrita na forma
(s
3
+ 8 s 2 + 37 s + 50 Y ( s ) = (3 s + 5 )U ( s )D (s ) N (s)
)
D( s)Y ( s) = N ( s)U ( s)Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:Representa-se o DB para entrada u e sada x R t t d d
D(s) X (s) = U (s)d 3 x (t ) d 2 x (t ) dx ( t ) = 8 37 50 x ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt
Em seguida representa-se o DB para entrada x e sada y Y (s) = N (s) X (s) & y = 3x + 5x Y = (3 s + 5 ) XControle de Sistemas Mecnicos
Soluo:d 3 x (t ) d 2 x (t ) dx ( t ) = 8 37 50 x ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt& y = 3x + 5xu (t )
3
&x& &
8
&& x
& x
x
5
y (t )
37 50
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio:Obter Obt o DB e a FTO da equao abaixo d b idu ( t ) d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) 2 +4 +6 + 8 y (t ) = 5 + 7 u (t ) 3 2 dt dt dt dt
u1/D
xN
y
D( s)Y ( s) = N ( s)U ( s)Controle de Sistemas Mecnicos
Equao Diferencial a partir do Di E Dif i l ti d Diagrama de Bl d BlocosPara obter a Equao Dif P bt E Diferencial a partir do i l ti d Diagrama de Bloco1. Identificar com letras as sadas dos somadores, entradas e sadas das funes de transferncia 2. 2 Escrever uma equao para cada sada do somador e para cada funo de transferncia 3. Obter a funo de transferncia relacionando a sada e a entrada do sistema total utilizando as total, equaes escritas no item 2 4. Obter a Equao Diferencial a partir da FTO
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo:Obter Obt a equao diferencial do diagrama de dif i l d di d blocos abaixo.3
u (t )1 1 1 ss+1 +1 1 1 s s 5
y (t )1
2
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:Identificar com letras entradas e sadas das Id tifi l t t d d d FTO e dos somadores.3
u (t )1
a A
1 1 ss+1 +1
b B
1 1 s s
c C
y (t )5 1
2
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:Escrever as equaes. E 3
U u(ts ) )1
a A
1 1 ss+1 +1
b B
1 1 s s
c C
Y (t() s ) y5 1
2
A = U 2B CB 1 = A s +1
Y = 5C + 3B
C 1 = B s
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo:Com as equaes C A = U 2B C Y = 5C + 3BB 1 = A s +1 C 1 = B s
Obter a FT
P( s) =
Y ( s) U ( s)5 Y = + 3B s
C 1 = B s B 1 = A s +1
Y = 5C + 3B
A = U 2B C
s B= 2 U s + 3s + 1
Y 5 + 3s = 2 U s + 3s + 1
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio:Dado D d o sistema abaixo, obter a sua FTO, sada i t b i bt FTO d y(t) e entrada u(t).H2 s1
u(t)1
y(t )G1 s H1 s1 1
G2 s
1
G3 s
1
1
Controle de Sistemas Mecnicos