Aula Teorica 4: Diagrama de Blocos

Conteudo

• Representação de um sistema por meio de diagramas de blocos• Reduções básicas• Exemplo de redução de diagramas de blocos• Formula de Mason• Exemplo de Formula de Mason

Quando definimos Funções de Transferência, fizemos a seguinte figura:

Diagramas de Blocos:

G(s)X(s) Y(s)

Esse é, pois, o diagrama de blocos do sistema em questão

Essa representação significa que os sinais de entrada e saída estão relacionados por

As setas representam o sentido em que se dá o fluxo dos sinais.

)(sG

sXsGsY Assim (regra)O que está à saída do blocoé igual ao que está a sua entrada pelo que está dentro

Primeira definição

R(s) E(s)

C(s)

+

-

R(s) E(s)

C(s)

+-ou

E s R s C s

Segunda definição

Quando há sinais que se adicionam ou subtraem usamos um

Detector de Erro ou comparador

Assim

Se precisamos tomar o valor de uma variável usamos

Um ponto de bifurcação

Terceira definição

ConcluindoUm diagrama de blocos está formado por:

• Funções de transferência• Blocos• Flechas• Pontos de somas • Pontos de bifurcação

Dado o sistema

)(

)(

)(

sG

sG

sG

c

v

pDefine-se

)(sHm

Funções de transferência da planta, o elemento de controle final e o controlador

Função de transferência do elemento de medição

)(*)(*)( sGsGsG cvp

Define-se além disso

Função de transferência da trajetória direta

)(sHmFunção de transferência da trajetória de realimentação

Observe que as funções de transferência de blocos em série se podem multiplicar (regra)

Procuremos que relação guarda a saída controlada C(s) com a entrada de referência R(s)

)()()()()()()()()()(

)()()()()()()(

(1)en (2) doSubstituin

)2().........()()()(

)1)........(()()()()(

sCsHsGsGsGsRsGsGsGsC

sCsHsRsGsGsGsC

sCsHsRsE

sEsGsGsGsC

cvpcvp

mcvp

m

cvp

aberto laço de ..1

direta ia trajetór..

)()()()(1

)()()(

)(

)(

entrada a e saída a Dividindo

)()()()()()()()(1)(

saída a contêm que termosos Agrupando

TF

TF

sHsGsGsG

sGsGsG

sR

sC

sRsGsGsGsHsGsGsGsC

mcvp

cvp

cvpmcvp

Isto se chama Função de transferência de laço fechado

)()()( sGsGsGG cvpSe nomearmos

Então

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

A equação característica: A equação característica é o denominador da função de transferência de laço fechado igualada a zero.

a s a s a s an nn n0 1

11 0

As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)

0)()(1 sHsG

Muito importante para aulas futuras

Orientação para o trabalho independente do estudante:

Demonstre que a função de transferência que relaciona a saída controlada com a entrada perturbadora é:

)()()()(1

)(

)(

)(

sHsGsGsG

sG

sN

sC

mpvc

p

Observe que o denominador( equação característica) é o mesmo que o que se obteve para a outra entrada

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Motores de corrente direta em sistemas de controle

Este motor é um transductor que converte energia elétrica em energia mecânica

O par desenvolvido no eixo do motor é proporcional ao fluxo no campo e à corrente na armadura

O condutor que leva corrente está colocado em um fluxo magnético

A uma distância r do centro de rotação

Modelo matemático de sistemas dinâmicos

A relação entre o par desenvolvido, o fluxo e a corrente é:

(1) (t))()( am itKtTm Tm é o par do motor (N-m)

Km é constante de proporcionalidade

Quando o condutor se move no campo magnético, gera-se uma voltagem em seus terminais (força contraelectromotriz) que é proporcional à velocidade do eixo

(2) (t))( mmb tKe eb é a força contraelectromotriz (volts)

ωm é a velocidade do eixo

Estas equações são a base de operação do motor

Para modelar a armadura do motor utilizaremos este circuito equivalente

As variáveis e parâmetros do motor as definiremos como:

O par desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo no entre ferro e a corrente da armadura

(3) )()()( titKtT amm

Já que φ é constante

(4) )()()( titKtT aim

As equações de causa e efeito no circuito podem escrever-se se começarmos com a voltagem )(tea

0)()()( tedt

diLtiRte b

aaaaa

Ao aplicar uma voltagem à armadura

A corrente ao circular produz o par que já tínhamos enunciado

)()( tiKtT aim

A força contraelectromotriz fica definida por

)()(

)( tKdt

tdKte mb

mbb

O par produz a velocidade angular e o deslocamento

dt

tdBm

dt

tdJmtTtT mm

Lm

)()()()(

2

Aplicando transformada do Laplace a todas as equações

0)()()()( sEsSILsIRsE baaaaa

)()( sIKsT aim

)()()( sKsSKsE mbmbb

)()()()( 2 sBmSsJmSsTsT mmLm

Com cada equação faremos um diagrama de blocos equivalentes

0)()()()( sEsSILsIRsE baaaaa

)()( sIKsT aim

Relação entre ambos

)()()( sKsSKsE mbmbb

)()()()( 2 sBmSsJmSsTsT mmLm

Tratemos agora de juntar tudo e fazer um diagrama completo

trocar o sentido

¿?Só multiplicando por S

Com este diagrama podemos achar duas funções de transferência

)(

)(

sEa

sm)(

)(

sT

sm

L

Utilize o que já sabe de função de transferência de laço fechado para as encontrar em trabalho independente

Para modelar e representar em diagramas um sistema fazemos os passos seguintes:

Concluindo até aqui

• Escrevemos as equações diferenciais lineares que relacionam seus parâmetros através de leis conhecidas;

• Transformamos pelo Laplace;• Convertemos as equações em representação em blocos;

Se quisermos a função de transferência que relaciona dois variáveis que estão em um laço fechado conhecemos já que é:

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

Se ao estabelecer as relações , os diagramas ficassem com múltiplos laços?

CN

TPD

V Processoref nivel

-

TF1

++

Gv

CF

TF2

vapor

-

+G2(s)

-G1(s)

G3(s)

++X Y

G1 G2

G3

G4

G5

G6

+

++

+

+U Y

1 2 3 4 5

6

7

8

9

EXEMPLOS

Reduções básicas

+G2(s)

-G1(s)

G3(s)

++X Y

EXEMPLO

1o Passo: Deslocar G1 para antes do comparador

+G2(s)

-G1(s)

G3(s)

++X Y

G1(s)

2o Passo: Intercambiar o comparador e o somador

+ G2(s)-

G1(s)

G3(s)

++X Y

G1(s)

3o Passo: Juntar G1 e G3

G2(s)-

G1(s)+ G3(s) +X Y

G1(s)

4o Passo: Reduzir a malha fechada

G1(s)+ G3(s)X YG

G G2

1 21

5o Passo: Agrupar os blocos em cascata

G G G

G G1 3 2

1 21

X Y

Fórmula do Mason

Dado um diagrama de blocos com N trajetórias diretas e L malhas

A relação entre a saída e a entrada é

N

k

kkM

Yent

YsalM

1

...........1 321 k

kj

ji

i LLL

Sumatoria de laços individuais

Sumatoria das combinações possíveis de multiplicação de dois laços que não se tocam

Sumatoria das combinações possíveis de multiplicação de três laços que não se tocam

kA parte de que não toca a trajetória k

+G2(s)

-G1(s)

G3(s)

++X Y

O MESMO EXEMPLO

N

k

kkM

Yent

YsaiM

1

212

231

GGM

GGM

As duas trajetórias diretas que há

211 GG

1

1

2

1

21

2123

1 GG

GGGGM

Idêntica