Apostila de a 2 Grau

8/6/2019 Apostila de a 2 Grau

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Anlise CombinatriaFatorial de um nmero:

Definies especiais:

Arranjo simples:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

0!=11!=1

ades.possibilid242.3.4lugar3oparaadespossibilid

2elugar2oparaadespossibilid3sobrandolugar,1oparaadespossibilid4Existem:R

lugares?primeirostrsosparaadespossibilidassoQuantasmundo.docampees

dostorneioodisputamFlamengo)ePauloSoSantos,(Grmio,futeboldetimesQuatro3)

negativo.nmeroumdefatorialexistenopois,7:Resposta

-8x

7x

2

151

2

2251056

56x56))(1(56)!1(

)!1)()(1(56

)!1(

)!1(

.56)!1(

)!1(equaoaResolva2)

1020010100100100.101100!99

!99.100.101!99.100

!99

!101!100

.!99

!101!100expressodavaloroCalcule1)

2

2

=

=

=

=

=

==+

=+=+=

+=

+

=

+

=+=+=

+

=

+

+

x

xxxx

xxxx

xxx

x

x

x

x

)!(

!,

pn

nA pn

=

40

17

80

34

872

202430

)!18(!8

)!29(!9

)!25(

!5

)!34(

!4

)!26(

!6

.Calcule)4

1,82,9

2,53,42,6

1,82,9

2,53,42,6

==

+

+=

+

+

=

+

+

+

+

AA

AAA

AA

AAA


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nmeros.3366.7.8!5

!5.6.7.8

!5

!8

)!38(

!81.

:entos,disponvei

nmeros8existemaindatrsoutrososparae(2),adepossibilidumaapenasexistealgarismo

primeirooPara3000).e2000entreest(poisalgarismosquatroterdevenmeroO:R

9?e6,7,81,2,3,4,5,entreescolhidosdistintos

algarismosporformados3000e2000entredoscompreendinmerosossoQuantos6)

nmeros.13664725pordivisveisdenmeroO:Resposta

nmeros.648.8!7

!7.8.

!7

!7.8

!7

!8.

!7

!8

)!18(

!8.

)!18(

!8.1.

0).serpodealgarismosegundo(oadespossibilid8existemtambmalgarismosegundo

oparaE).algarismos2denmeroumseria(seno0comcomearpodenonmeroopois

ades,possibilid8aindaexistemalgarismoprimeirooPara(5).adepossibilidumaapenasexiste

algarismoterceiroopara:5comterminam5pordivisveisquantoscalculamosAgoranmeros.728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!9

1.

:0comterminamque5pordivisveisdenmerooPortantos.disponveinmeros9existem

aindaprimeirosdoisosparae(0),adepossibilid1apenasexistealgarismoterceirooPara

:0comterminamque5pordivisveisdenmeroocalcularvamos

ntePrimeirame5.comou0comterminardeveele5,divisvelsernmeroumPara:R

5.PORDIVISVEISSEJAMc)

nmeros.8!7

!7.8

!7

!8

)!18(

!81.1.

:adespossibilid8existemaindasegundooPara(5).adepossibilid1apenasexiste

tambmterceirooparae(2),adepossibilid1apenasexistealgarismoprimeirooPara:R

5.COMTERMINEME2COMCOMECEMb)

nmeros.728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:sdisponveinmeros9existemaindadoisoutrososparae(1)adepossibilid1apenasexisteprimeirooparaquesendo,algarismosspossuir trpodenmeroO:R

1.COMCOMECEMa)

:quemododerepetir,ossem),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4decimalsistema

doalgarismosocomformarpodemosdistintosalgarismos3denmerosQuantos5)

3,8

1,81,8

2,9

1,8

2,9

====

=

=+

====

=

====

=

====

====

=

A

AA

A

A

A


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Permutao Simples: um caso particular de arranjo simples. o tipo deagrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Combinao Simples: o tipo de agrupamento em que um grupo difere dooutro apenas pela natureza dos elementos componentes.

!nPn =

maneiras.1152576576totaloPortanto

maneiras.57624.24!4!.4.

:tambmtemosposioprimeiranadamaumaColocando

maneiras.57624.24!4!.4.

:maneirasdetotalnmerocomotemosposioprimeiranacavalheiroumColocando

C-D-C-D-C-D-C-DouD-C-D-C-D-C-D-C

:issofazerdemaneirasduasExistem:R

damas.duasescavalheirodoisjuntosfiquemnoqueforma

defila,numas,cavalheiro4edamas4dipostasserpodemmaneirasquantasdeCalcule8)

anagramas.1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1

:totaloEntoades.possibilid5existemletras5outrasasparae

(E),1existestambmltimaparae(A),adepossibilid1existeletraprimeiraaPara

E.comterminameAPORCOMEAMb)

anagramas.7201.2.3.4.5.6!6.1.1

:totaloEntoades.possibilid6existemletras6outrasasparae(A),adepossibilidumaapenasexisteletraprimeiraaPara

A.PORCOMEAMa)

:EDITORApalavradaanagramasQuantos8)

nmeros.1201.2.3.4.5!5

8?e1,2,3,5porformadosserpodemdistintosalgarismos5denmerosQuantos)7

44

44

5

6

5

=+

===

===

===

===

===

PP

PP

P

P

P

)!(!

!,

pnp

nC pn

=


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Binmio de Newton

comisses.52515.352

30.

!3

210

!2!.4

!4.5.6.

!4!.3

!4.5.6.7

)!46(!4

!6.

)!37(!3

!7

..produtooresultadoO

-MOAS

-RAPAZES

moas?4erapazes

3comformarpodemoscomissesquantasmoas,6erapazes7comreunioNuma11)

saladas.detipos21024

5040

!4

5040

!4!.6

!6.7.8.9.10

)!610!.(6

!10

feitas?serpodem

diferentesespcies6contendosalada,detiposquantosfrutas,deespcies10Com10)

.Chaverpodenoporquerespostaano1:obs

.5:Resposta

1''

5'

2

166056

05606

3323

026

22

0!2

)1.(

!3

)2).(1.(

0)!2(!2

)!2).(1.(

)!3(!3

)!3).(2).(1.(

0)!2(!2

!

)!3(!3

!

.0equaoaResolver9)

4,63,7

4,6

3,7

6,10

1,3

2

23223

2223

2,3,

====

====

=

=

=

=

=

==+

=+=++

=+

=

=

=

=

CC

C

C

C

m

m

m

mmmm

mmmmmmmm

mmmmmm

mmmmm

m

mmm

m

mmmm

m

m

m

m

CC mm


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Introduo

Pelos produtos notveis, sabemos que (a+b) = a + 2ab + b.Se quisermos calcular (a + b), podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo anlogo, podemos calcular as quintas e sextas potncias e, demodo geral, obter o desenvolvimento da potncia a partir da

anterior, ou seja, de .Porm quando o valor de n grande, este processo gradativo de clculo

muito trabalhoso.Existe um mtodo para desenvolver a ensima potncia de um binmio,

conhecido como binmio de Newton (Isaac Newton, matemtico e fsicoingls, 1642 - 1727). Para esse mtodo necessrio saber o que socoeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o tringulo de

Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois nmeros naturais , chamamos de coeficiente

binomial de classe p, do nmero n, o nmero , que indicamos por

(l-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial tambm chamado de nmero binomial. Poranalogia com as fraes, dizemos que n o seu numerador e p, o

denominador. Podemos escrever:


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tambm imediato que, para qualquern natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

1)Se n, p, k e p + k = n

ento

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e asoma dos denominadores igual ao numerador, so chamadoscomplementares.

Exemplos:


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2)Se n, p, k e p p-1 0

ento

Essa igualdade conhecida como relao de Stifel (Michael Stifel,matemtico alemo, 1487 - 1567).

Exemplos:

Tringulo de Pascal

A disposioordenada dos nmeros

binomiais, como natabela ao lado, recebeo nome de Tringulode Pascal

Nesta tabela triangular, os nmeros binomiais com o mesmo numeradorso escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesmacoluna.

Por exemplo, os nmeros binomiais , , e esto na linha 3 e os

nmeros binomiais , , , , ..., , ... esto na coluna 1.

Substituindo cada nmero binomial pelo seu respectivo valor, temos:


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Construo do tringulo de Pascal

Para construir o tringulo do Pascal, basta lembrar as seguintespropriedades dos nmeros binomiais, no sendo necessrio calcul-los:

1) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 so iguais a 1.

2) Como = 1, o ltimo elemento de cada linha igual a 1.

3) Cada elemento do tringulo que no seja da coluna 0 nem o ltimo decada linha igual soma daquele

que est na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa esquerda deste ltimo (relao

de Stifel).

Observe os passos e aplicao da relao de Stifel para a construodo tringulo:

Propriedade do tringulo de Pascal

P1 Em Qualquer linha, dois nmeros binomiais eqidistantes dosextremos so iguais.


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De fato, esses binomiais so complementares.

P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da ensimalinha .

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do

1 elemento at um qualquer, igual ao elemento situado na coluna direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.


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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesmadiagonal desde o elemento da 1 coluna at o de uma qualquer igual aoelemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Frmula do desenvolvimento do binmio de Newton

Como vimos, a potncia da forma , em que a, , chamada binmio de Newton. Alm disso:

quando n = 0 temos

quando n = 1 temos

quando n = 2 temos

quando n = 3 temos

quando n = 4 temos


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Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o tringulo dePascal. Ento, podemos escrever tambm:

De modo geral, quando o expoente n, podemos escrever a frmula dodesenvolvimento do binmio de Newton:

Note que os expoentes de a vo diminuindo de unidade em unidade,variando de n at 0, e os expoentes de b vo aumentando de unidade emunidade, variando de 0 at n.O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1termos.

Frmula do termo geral do binmio


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Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos

que cada um deles da forma .

Quando p = 0 temos o 1 termo:




Quando p = 4 temos o 5 termo:..............................................................................

Percebemos, ento, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode serexpresso por:


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Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , umcrculo Rcontido em e uma reta r que intercepta , mas no R:

Para cada ponto C da regio R, vamos considerar o segmento ,paralelo reta r :

Assim, temos:


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Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos ossegmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os crculos de centro O e O'e raios r

altura: a distncia h entre os planos

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos dascircunferncias das bases ( por exemplo, ) e paralelo reta r

reas


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Num cilindro, consideramos as seguintes reas:

a) rea lateral (AL)

Podemos observar a rea lateral de um cilindro fazendo a sua

planificao:

Assim, a rea lateral do cilindro reto cuja altura h e cujos raios doscrculos das bases so r um retngulo de dimenses :

b) rea da base ( AB):rea do crculo de raio r

c) rea total ( AT): soma da rea lateral com as reas das bases

Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princpio deCavalieri.


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Dados dois slidos com mesma altura e um plano , se todo plano ,paralelo ao plano , intercepta os slidos e determina seces de mesmarea, os slidos tm volumes iguais:

Se 1 um paraleleppedo retngulo, ento V2 = ABh.

Assim, o volume de todo paraleleppedo retngulo e de todo cilindro o produto da rea da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a rea da base a rea do crculo de

raio r ;

portanto seu volume :


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EsferaChamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do

espao cuja distncia ao centro menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotao completa de um semicrculo em torno de umeixo e, a esfera o slido gerado por essa rotao. Assim, ela limitada poruma superfcie esfrica e formada por todos os pontos pertencentes a essasuperfcie e ao seu interior.

Volume

O volume da esfera de raio R dado por:

Partes da esfera

Superfcie esfrica

A superfcie esfrica de centro O e raio R o conjunto de pontos does[ao cuja distncia ao ponto O igual ao raio R.

Se considerarmos a rotao completa de uma semicircunferncia emtorno de seu dimetro, a superfcie esfrica o resultado dessa rotao.


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A rea da superfcie esfrica dada por:

Cone circularDado um crculo C, contido num plano , e um ponto V ( vrtice) fora

de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos

.

Elementos do cone circular

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:


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altura: distncia h do vrtice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra numponto da circunferncia

raio da base: raio Rdo crculo

eixo de rotao:reta determinada pelo centro do crculo e pelo vrticedo cone

Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotao perpendicular base chamado cone

reto, tambm denominado cone de revoluo. Ele pode ser gerado pelarotao completa de um tringulo retngulo em torno de um de seuscatetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitgoras, temos a seguinte relao:


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G2 = h2 + R2

Seco meridiana

A seco determinada, num cone de revoluo, por um plano quecontm o eixo de rotao chamadaseco meridiana.

Se o tringulo AVB for eqiltero, o cone tambm ser eqiltero:

reas

Desenvolvendo a superfcie lateral de um cone circular reto, obtemos umsetor circular de raio g e comprimento :


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Assim, temos de considerar as seguintes reas:

a) rea lateral (AL): rea do setor circular

b) rea da base (AB):rea do circulo do raio R

c) rea total (AT):soma da rea lateral com a rea da base

Volume

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumesde slidos de revoluo. Observe a figura:

d = distncia docentro de gravidade(CG) da suasuperfcie ao eixo e

S=rea da superfcie


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Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando umasuperfcie gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, ento, determinar o volume do cone de revoluo gerado pelarotao de um tringulo retngulo em torno do cateto h:

O CG do tringulo est a uma distncia do eixo de rotao.Logo:


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CONJUNTOS NUMRICOS Conjunto dos nmeros naturais (IN)

Um subconjunto importante de IN o conjunto IN*:IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excludo do conjunto IN.Podemos considerar o conjunto dos nmeros naturais ordenados sobre

uma reta, como mostra o grfico abaixo:

Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

O conjunto IN subconjunto de Z.Temos tambm outros subconjuntos de Z:Z* = Z-{0}Z+= conjunto dos inteiros no negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_= conjunto dos inteiros no positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN.Podemos considerar os nmeros inteiros ordenados sobre uma reta,

conforme mostra o grfico abaixo:

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}


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b

a

Conjunto dos nmeros racionais (Q)

Os nmeros racionais so todos aqueles que podem ser colocados na

forma de frao (com o numerador e denominador Z). Ou seja, oconjunto dos nmeros racionais a unio do conjunto dos nmerosinteiros com as fraes positivas e negativas.

Exemplos:

Assim, podemos escrever:

interessante considerar a representao decimal de um nmeroracional , que se obtm dividindo a porb.

Exemplos referentes s decimais exatas ou finitas:

Exemplos referentes s decimais peridicas ou infinitas:

Toda decimal exata ou peridica pode ser representada na forma denmero racional.

Conjunto dos nmeros irracionais

racionais.nmerossoexemplo,por,2

3,1,

5

3,1,

4

52:Ento ,-

}0e,com,|{ == bZbZab

axxQ

3

3

2

2

1

11)

3

9

2

6

1

33)

===

===

b

a

75,320

7525,1

4

55,0

2

1===

...1666,16

7...428571428571,0

7

6...333,0

3

1===


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Os nmeros irracionais so decimais infinitas no peridicas, ou seja,os nmeros que no podem ser escrito na forma de frao (diviso de doisinteiros). Como exemplo de nmeros irracionais, temos a raiz quadrada de2 e a raiz quadrada de 3:

Um nmero irracional bastante conhecido o nmero =3,1415926535...

Conjunto dos nmeros reais (IR)

Dados os conjuntos dos nmeros racionais (Q) e dos irracionais,definimos o conjunto dos nmeros reais como:

O diagrama abaixo mostra a relao entre os conjuntos numricos:

Portanto, os nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais sotodos nmeros reais. Como subconjuntos importantes de IRtemos:

IR* = IR-{0}IR+ = conjunto dos nmeros reais no negativos

IR_ = conjunto dos nmeros reais no positivos

Obs: entre dois nmeros inteiros existem infinitos nmeros reais. Porexemplo: Entre os nmeros 1 e 2 existem infinitos nmeros reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

Entre os nmeros 5 e 6 existem infinitos nmeros reais:5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

...7320508,13

...4142135,12

=

=

IR=Q {irracionais} = {x|x racional ou x irracional}


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DeterminantesComo j vimos, matriz quadrada a que tem o mesmo nmero de linhas

e de colunas (ou seja, do tipo nxn).

A toda matriz quadrada est associado um nmero ao qual damos o nomede determinante.

Dentre as vrias aplicaes dos determinantes na Matemtica, temos:

resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares;

clculo da rea de um tringulo situado no plano cartesiano, quando soconhecidas as coordenadas dos seus vrtices;

Determinante de 1 ordem

Dada uma matriz quadrada de 1 ordem M=[a11], o seu determinante onmero real a11:

det M =Ia11I = a11

Observao: Representamos o determinante de uma matriz entre duasbarras verticais, que no tm o significado de mdulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I =

-3

Determinante de 2 ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definio o determinanteassociado a M, determinante de 2 ordem, dado por:


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Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferenaentre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto doselementos da diagonal secundria. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de umamatriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1,associado matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que

passam poraij .

Vejamos como determin-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menorcomplementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e acoluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 :


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b) Sendo , de ordem 3, temos:

Cofator

Chamamos de cofatorou complemento algbrico relativo a um elementoaij de uma matriz quadrada de ordem n o nmero Aij tal que Aij = (-1)i+j .MCij .

Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 damatriz M so:

b) Sendo , vamos calcular os cofatoresA22, A23 e A31:


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Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [a ij]mxn pode serobtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linhaou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando , temos:

em que o somatrio de todos os termos de ndice i, variando de 1 atm, .

Regra de Sarrus

O clculo do determinante de 3 ordem pode ser feito por meio de umdispositivo prtico, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1 passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:


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2 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalprincipalcom os dois produtos obtidos pela multiplicao dos elementosdas paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonalsecundria com os dois produtos obtidos pela multiplicao dos elementosdas paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinalnegativo):

Assim:


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Observao: Se desenvolvermos esse determinante de 3 ordem aplicando oTeorema de Laplace, encontraremos o mesmo nmero real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus vlida para o clculo do determinante deuma matriz de ordem 3. Quando a matriz de ordem superior a 3, devemosempregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 edepois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as

seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) so nulos, odeterminante dessa matriz nulo.

Exemplo:

P2)Se duas filas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento seudeterminante nulo.

Exemplo:


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P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, ento seu determinante nulo.

Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz no se alteraquando somamos aos elementos de uma fila uma combinao linear doselementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2,temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais.

Exemplo:


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P7) Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila emuma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero.

Exemplos:

P8) Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante deuma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonalprincipal so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementosdessa diagonal.

Exemplos:


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P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonalsecundria so todos nulos, o determinante igual ao produto dos

elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:


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Equaes algbricas(com uma varivel)

IntroduoEquao toda sentena matemtica aberta que exprime uma relao de

igualdade. A palavra equao tem o prefixo equa, que em latim quer dizer"igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0No so equaes:

4 + 8 = 7 + 5 (No uma sentena aberta)

x - 5 < 3 (No igualdade)

(no sentena aberta, nem igualdade)

A equao geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b so nmeros conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equao 2x - 8 = 3x -10


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A letra a incgnita da equao. A palavra incgnita significa "

desconhecida".

Na equao acima a incgnita x; tudo que antecede o sinal da igualdadedenomina-se 1 membro, e o que sucede, 2 membro.

Qualquer parcela, do 1 ou do 2 membro, um termo da equao.

Equao do 1 grau na incgnita x toda equao que pode serescrita na forma ax=b, sendo a e b nmeros racionais, com adiferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equao

Considere o conjuntoA = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equao x + 2 = 5.

Observe que o nmero 3 do conjunto A denominado conjuntouniverso da equao e o conjunto {3} o conjunto verdade dessa mesmaequao.

Observe este outro exemplo:

Determine os nmeros inteiros que satisfazem a equao x = 25


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O conjunto dos nmeros inteiro o conjunto universo da equao.

Os nmeros -5 e 5, que satisfazem a equao, formam o conjuntoverdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Da conclumos que:

Conjunto Universo o conjunto de todos os valores quevarivel pode assumir. Indica-se porU.

Conjunto verdade o conjunto dos valores de U, quetornam verdadeira a equao . Indica-se porV.

Observaes:

O conjunto verdade subconjunto do conjunto universo.

No sendo citado o conjunto universo, devemos considerar comoconjunto universo o conjunto dos nmeros racionais.

O conjunto verdade tambm conhecido por conjunto soluo e podeser indicado porS.

Razes de uma equao

Os elementos do conjunto verdade de uma equao so chamados razesda equao.

Para verificar se um nmero raiz de uma equao, devemos obedecer seguinte seqncia:

Substituir a incgnita por esse nmero.

Determinar o valor de cada membro da equao.


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Verificar a igualdade, sendo uma sentena verdadeira, o nmeroconsiderado raiz da equao.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo so razesdas equaes abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equao x - 2 = 0, sendo U= {0, 1, 2, 3}.

Parax = 0 na equaox - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0=> -2 = 0. (F)

Parax = 1 na equaox - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0=> -1 = 0. (F)

Parax = 2 na equaox - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0=> 0 = 0. (V)

Parax = 3 na equaox - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0=> 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 raiz da equaox - 2 = 0, logo V= {2}.

Resolva a equao 2x - 5 = 1, sendo U= {-1, 0, 1, 2}.

Parax = -1 na equao 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) -5 = 1 => -7 = 1. (F)

Parax = 0 na equao 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 =1 => -5 = 1. (F)



A equao 2x - 5 = 1 no possui raiz em U, logo V= .


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Funo de 1 grau - Afim DefinioChama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer

funofde IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e bso nmeros reais dados e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e onmero b chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1:Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los

com o auxlio de uma rgua:

a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos osdois com uma reta.


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x y0 -1

0

J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta.O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e, comoveremos adiante, a est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox.

O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,temosy = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do pontoem que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equao do 1 Grau

Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a0, o nmero realx tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

1. Obteno do zero da funo f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Clculo da raiz da funo g(x) = 3x + 6:g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

3. Clculo da abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10corta o eixo das abicissas:

O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em que h(x) =


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0; ento:h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento

Consideremos a funo do 1 grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cadavez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentesvalores de y tambm aumentam. Dizemos, ento que a

funo y = 3x - 1 crescente.Observamos novamente seu grfico:

Regra geral:

a funo do 1 grau f(x) = ax + b crescente quando o coeficiente de x positivo (a > 0);a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x negativo (a < 0);

Justificativa:


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para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de ondevem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de ondevem f(x1) > f(x2).

Sinal

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) determinar os valor de x paraos quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores dex para os quais y negativo.

Consideremos uma funo afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu

sinal. J vimos que essa funo se anula pra raiz . H dois casospossveis:

1) a > 0 (a funo crescente)

y > 0 ax + b > 0 x >

y > 0 ax + b < 0 x 0 ax + b > 0 x


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y > 0 ax + b < 0 x == aanmaa nm

4

3logo;3333273:Resoluo

273)4

.4ento;4

3

4

3

4

3

4

3

256

81

4

3:Resoluo

256

81

4

3)3

4

3

4 34

4

4

4

4

====

=

=

=

=

=

=

x

x

xxx

x

xxx

x


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X -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0


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A funo f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, chamada funo logartmica de base a. O domnio dessa funo oconjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomnio IR

(reais).

GRFICO CARTESIANO DA FUNO LOGARTMICA

Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0


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Nos dois exemplos, podemos observar qued) o grfico nunca intercepta o eixo vertical;e) o grfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da funo

x=1;f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem Im=IR.

Alm disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0y1 (as desigualdades tmmesmo sentido)

f(x) decrescente e Im=IR

Para quaisquer x1 e x2 do domnio:x2>x1 y2


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EQUAES LOGARTMICAS

Chamamos de equaes logartmicas toda equao que envolvelogaritmos com a incgnita aparecendo no logaritmando, na base ou em

ambos.

Exemplos de equaes logartmicas:7) log3x=5 (a soluo x=243)8) log(x2-1) = log 3 (as solues so x=-2 e x=2)9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a soluo x=4)10) logx+1(x2-x)=2 (a soluo x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos:1) log3(x+5) = 2Resoluo: condio de existncia: x+5>0 => x>-5log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4Como x=4 satisfaz a condio de existncia, ento o conjunto

soluo S={4}.

2) log2(log4 x) = 1

Resoluo: condio de existncia: x>0 e log4x>0log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), entolog2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16Como x=16 satisfaz as condies de existncia, ento o

conjunto soluo S={16}.

3) Resolva o sistema:

Resoluo: condies de existncia: x>0 e y>0Da primeira equao temos:log x+log y=7 => log y = 7-log xSubstituindo log y na segunda equao temos:3.log x 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103

Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:

==+

1log.2log.3

7loglog

yx

yx


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log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.Como essas razes satisfazem as condies de existncia, ento o conjuntosoluo S={(103;104)}.

INEQUAES LOGARTMICAS

Chamamos de inequaes logartmicas toda inequao que envolvelogaritmos com a incgnita aparecendo no logaritmando, na base ou emambos.

Exemplos de inequaes logartmicas:1) log2x > 0 (a soluo x>1)2) log4(x+3) 1 (a soluo 31 0n>0(as desigualdades tm mesmo sentido)

logam > logan 00, ou seja, x>-2 (S1)

Como a base (2) maior que 1, temos:x+2>8 e, da, x>6 (S2)O conjunto soluo S= S1 S2 = {x IR| x>6}.Portanto a soluo final a interseco de S1 e S2, como est

representado logo abaixo no desenho:


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2) log2(log3x) 0Resoluo:Condies de existncia: x>0 e log3x>0

Como log21=0, a inequao pode ser escrita assim:log2(log3x) log21Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x 1.Como log33 = 1, ento, log3x log33 e, da, x 3, porque a base (3) maior que 1.As condies de existncia esto satisfeitas, portanto S={x IR| x 3}.


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Funo Quadrtica

DefinioChama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer

funofde IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 12. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -13. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 05. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com a0, uma curva chamada parbola.

Exemplo:Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:

Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valorcorrespondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6


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Observao:

Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c,notaremos sempre que:

se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equao do 2 GrauChama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 +

bx + c , a 0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0.

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equaodo 2 grau ax2 + bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula deBhaskara:

Temos:

Observao

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valorobtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais e distintas;

quando zero, h s uma raiz real;

quando negativo, no h raiz real.

Coordenadas do vrtice da parbola


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Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e umpontode mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixoe umponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:

Imagem


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O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjuntodos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:

1 - quando a > 0,

a > 0

2 quando a < 0,

a < 0


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Construo da Parbola

possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar atabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observaoseguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dosx;

3. O vrtice V indica o ponto de mnimo (se a > 0), oumximo (se a< 0);

4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetriada parbola;

5. Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento (0, c) o ponto emque a parbola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c edeterminemos os valores de x para os quais y negativo e os valores de x

para os quais y positivos.Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os

seguintes casos:

1- >0Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1


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x2). a parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo oindicado nos grficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2y < 0 (x < x1 ou x > x2)


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2 - = 0

quando a > 0

quando a < 0


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3 - < 0

quando a > 0

quando a < 0


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GEOMETRIA ANALTICARetas

Introduo

Entre os pontos de uma reta e os nmeros reais existe umacorrespondncia biunvoca, isto , a cada ponto de reta corresponde umnico nmero real e vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,unitrio e no-nulo, temos que dois nmeros inteiros e consecutivosdeterminam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algbrica de um segmento

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os nmeros reais xA

e xB , temos:


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A medida algbrica de um segmento orientado o nmero real quecorresponde diferena entre as abscissas da extremidade e da origemdesse segmento.

Plano cartesiano

A geometria analtica teve como principal idealizador o filsofo francsRen Descartes ( 1596-1650). Com o auxlio de um sistema de eixosassociados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um parordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas so perpendiculares na origem, essacorrespondncia determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou planocartesiano). Assim, h uma reciprocidade entre o estudo da geometria( ponto, reta, circunferncia) e da lgebra ( relaes, equaes etc.),

podendo-se representar graficamente relaes algbricas e expressaralgebricamente representaes grficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1 quadrante (xA > 0 e yA > 0)


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B(-3, -5) pertence ao 3 quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observao: Por conveno, os pontos localizados sobre os eixos no estoem nenhum quadrante.

Distncia entre dois pontos

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distncia entre eles,temos:

Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distncia entre os pontos A(1, -1) eB(4, -5):


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Equaes de uma reta

Equao geral

Podemos estabelecer a equao geral de uma reta a partir da condio dealinhamento de trs pontos.

Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos edistintos de r e P(x,y) um ponto genrico, tambm de r, estando A, B e Palinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b no sosimultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equao geral da reta r)

Essa equao relaciona x e y para qualquer ponto P genrico da reta.Assim, dado o ponto P(m, n):


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se am + bn + c = 0, P o ponto da reta;

se am + bn + c 0, P no ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equao geral da reta r que passa porA(1, 3) e B(2,4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem reta r doexemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0,temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade verdadeira, ento P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

Como a igualdade no verdadeira, ento Q r.

Geometria Analtica: Circunferncia

Equaes da circunferncia

Equao reduzida

Circunferncia o conjunto de todos os pontos de um planoeqidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro dacircunferncia:


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Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer dacircunferncia, a distncia de C a P(dCP) o raio dessa circunferncia.Ento:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 a equao reduzida da circunferncia e permite determinar os elementos essenciais para a construo dacircunferncia: as coordenadas do centro e o raio.

Observao: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem( C(0,0)), a equao da circunferncia ser x2 + y2 = r2 .

Equao geral

Desenvolvendo a equao reduzida, obtemos a equao geral dacircunferncia:


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2) O cometa de Halley segue uma rbita elptica, tendo o Sol como um dosfocos.

3) As elipses so chamadas cnicas porque ficam configuradas pelo cortefeito em um cone circular reto por um plano oblquo em relao sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2

centro: o ponto O, que o ponto mdio de

semi-eixo maior: a

semi-eixo menor: b

semidistncia focal: c

vrtices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distncia focal:

Relao fundamental


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Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitgoras ao tri6angulo OF2B2 ,retngulo em O, podemos escrever a seguinte relao fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o nmero real e tal que:

Pela definio de elipse, 2c < 2a, ento c < a e, conseqentemente, 0 < e< 1.

Observao:Quando os focos so muito prximos, ou seja, c muitopequeno, a elipse se aproxima de uma circunferncia.

Equaes

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistncia focal, os focos da elipse so F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definio de elipse , obtemos a equao daelipse:


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b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condies, a equao da elipse :

HiprboleConsiderando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a

um nmero real menor que a distncia entre F1 e F2 , chamamos dehiprbole o conjunto dos pontos do plano tais que o mdulo da diferenadas dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano eF1F2 = 2c, temos:


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A figura obtida uma hiprbole.

Observao:Os dois ramos dahiprbole so determinados por um

plano paralelo ao eixo de simetria dedois cones circulares retos e opostos

pelo vrtice:

Parbola

Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos deparbola o conjunto de pontos do plano eqidistantes de F e d.

Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e Rpontos de um plano e d uma

reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertena a d, temos:


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Observaes:

1) A parbola obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2) Os telescpios refletores mais simples tm espelhos com seces planasparablicas.

3) As trajetrias de alguns cometas so parbolas, sendo que o Sol ocupa o

foco.4) A superfcie de um lquido contido em um cilindro que gira em torno deseu eixo com velocidade constante parablica.


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MatrizesIntroduo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria dasmatrizes seja cada vez mais aplicada em reas como Economia,

Engenharia, Matemtica, Fsica, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de trs alunos em uma etapa:

Qumica Ingls Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar onmero que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.


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Vamos agora considerar uma tabela de nmeros dispostos em linhas ecolunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parnteses oucolchetes:

Em tabelas assim dispostas, os nmeros so os elementos. As linhas soenumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nmeros naturais diferentes de0) so denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto,

uma matriz 3 x 3.Veja mais alguns exemplos:

uma matriz do tipo 2 x 3

uma matriz do tipo 2 x 2

Notao geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maisculas e seuselementos por letras minsculas, acompanhadas por dois ndices queindicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n representada por:


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Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo nmerode linhas e colunas; dizemos que a matriz de ordem n. Por exemplo, a

matriz do tipo 2 x 2, isto , quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonalsecundria. A principal formada pelos elementos aij tais que i = j. Nasecundria, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos so nulos;

representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no

esto na diagonal principal so nulos. Por exemplo:


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Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos dadiagonal principal so iguais a 1 e os demais so nulos; representada

porIn, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-seordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Porexemplo:

Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m.

Note que a 1 linha de A corresponde 1 coluna de Ate a 2 linha de Acorresponde 2 coluna de At.

Matriz simtrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Porexemplo,


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Observao: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintespropriedades para a adio:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtrao

Dadas as matrizes , chamamos de diferena entreessas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicao de um nmero real por uma matriz

Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de xpor A uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicao de cadaelemento de A porx, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:


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Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y nmeros reaisquaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um nmero real em relao adio de matrizes: x . (A +B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relao adio de dois nmeros reais: (x+ y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicao de matrizes

O produto de uma matriz por outra no determinado por meio doproduto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n a matriz C =(cij) m x n em que cada elemento cij obtido por meio da soma dos produtosdos elementos correspondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como seobtm cada Cij:

1 linha e 1 coluna

1 linha e 2 coluna


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2 linha e 1 coluna

2 linha e 2 coluna

Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicao de matrizes no vale apropriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :


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Da definio, temos que a matriz produto A . B s existe se o nmero decolunas de A for igual ao nmero de linhas de B:

A matriz produto ter o nmero de linhas de A (m) e o nmero decolunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , ento ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, ento no existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, ento ( A . B ) 4 x 1

Propriedades

Verificadas as condies de existncia para a multiplicao de matrizes,

valem as seguintes propriedades:a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relao adio: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou (A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade deordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, no vale para amultiplicao de matrizes. No vale tambm o anulamento do produto, ouseja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n no implica,necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', demesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , ento A' matriz inversa de A .

Representamos a matriz inversa porA

-1

.


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Quando duplicamos o tempo, a produo tambm duplica.5min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produo tambm triplica.5min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variveis dependentes so diretamenteproporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da 2

Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual arazo entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra orelgio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)5 2008 125

10 10016 62,520 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezasso variveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido metade.5m/s ----> 200s

10 m/s ----> 100s


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Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido quartaparte.5m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variveis dependentes so inversamente proporcionais quando arazo entre os valores da 1 grandeza igual ao inverso da razo entre osvalores correspondentes da 2.

Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igualao inverso da razo entre os dois valores correspondentes da outragrandeza.


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POLINMIOS

Definio

Uma funo polinomial ou simplesmente polinmio, toda funodefinida pela relao P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x+ a0.

Onde:an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 so nmeros reais chamados coeficientes.n INx C (nos complexos) a varivel.

GRAU DE UM POLINMIO:

Grau de um polinmio o expoente mximo que ele possui. Se ocoeficiente an0, ento o expoente mximo n dito grau do polinmio eindicamosgr(P)=n. Exemplos:

a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 um polinmio constante, ou seja,gr(P)=0.b) P(x)=3x+5 um polinmio do 1 grau, isto ,gr(P)=1.c) P(x)=4x5+7x4 um polinmio do 5 grau, ou seja,gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, no se define o grau do polinmio.

Valor numrico

O valor numrico de um polinmio P(x) para x=a, o nmero que seobtm substituindo x pora e efetuando todas as operaes indicadas pelarelao que define o polinmio. Exemplo:

Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numrico de P(x), para x=2, :P(x)= x3+2x2+x-4

P(2)= 23

+2.22

+2-4P(2)= 14


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Observao: Se P(a)=0, o nmero a chamado raiz ou zero de P(x).Por exemplo, no polinmio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 raiz

ou zero desse polinmio.

Alguns exerccios resolvidos:

1) Sabendo-se que 3 raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.Resoluo: Se 3 raiz de P(x), ento P(-3)=0.P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 03a = -10 => a=-10/3

Resposta:a=-10/3

2) Calcular m IR para que o polinmioP(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:a) do 3grau b) do 2 grau c) do 1 grau

Resposta:a) para o polinmio ser do 3 grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser

diferentes de zero. Ento:m2-10 => m21 => m1m+10 => m-1Portanto, o polinmio do 3 grau se m1em-1.

b) para o polinmio ser do 2 grau, o coeficiente de x3 deve ser igual azero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Ento:m2-1=0 => m2=1 => m=1

m+10 => m-1Portanto, o polinmio do 2 grau se m=1.

c) para o polinmio ser do 1 grau, os coeficientes de x2 e x3 devem seriguais a zero. Ento:m2-1=0 => m2=1 => m=1m+1=0 => m=-1Portanto, o polinmio do 1 grau se m=-1.

3) Num polinmio P(x), do 3 grau, o coeficiente de x3

1. SeP(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).


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Resoluo:Temos o polinmio: P(x)=x3+ax2+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de trs variveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as solues:a=9, b=-34, c=24Portanto o polinmio em questo P(x)= x3+9x2-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66

Polinmios iguais

Dizemos que dois polinmios A(x) e B(x) so iguais ou idnticos (eindicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numricos iguais paraqualquer valor comum atribudo varivel x. A condio para que dois

polinmios sejam iguais ou idnticos que os coeficientes dos termos

correspondentes sejam iguais.Exemplo:Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resoluo: Eliminando os parnteses e somando os termos semelhantesdo segundo membro temos:

x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

=++

=++

=++

3c3b9a

-8c2b4a

-1cba

=+=++ =+

1

21

ca

cbaba


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Verificamos que:

Diviso de um polinmio por um binmio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da diviso de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.Utilizando o mtodo da chave temos:

Logo: R(x)=3A raiz do divisor 2x-1=0 => x=1/2.Agora calculamos P(x) para x=1/2.P(1/2) = 4(1/4) 2(1/2) + 3P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)Portanto, mostramos que o resto da diviso de P(x) por D(x) igual ao

valor numrico de P(x) para x=1/2, isto , a raiz do divisor.

Teorema do resto

R(x)Q(x)

2

D(x)

2

P(x)

234

1)(2x1)2x-(x2)-3x(x1-9x7x-xx ++++++

3

224

12324

2

2

xxx

xxx

+

+

O resto da diviso de um polinmio P(x) pelo binmio ax+b igual a P(-b/a).

)(12

23

15

462

1952

)(1223

23197

2

2

23

23

2234

2234

xRx

xx

xx

xxx

xxx

xQxxxxx

xxxxxx

++

+++

+

++

+++


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Note queb/a a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da diviso de x2

+5x-1 por x+1.Resoluo: Achamos a raiz do divisor:x+1=0 => x=-1Pelo teorema do resto sabemos que o resto igual a P(-1):P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

Teorema de DAlembert

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinmio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisvel por x-2.

Resoluo: Se P(x) divisvel por x-2, ento P(2)=0.P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta:p=19.

Diviso de um polinmio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da diviso dopolinmio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisode P(x) por(x-a) e por(x-b) so, respectivamente, r1 e r2.

Temos:a a raiz do divisorx-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)b a raiz do divisorx-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)E para o divisor(x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq.

3)

O resto da diviso de P(x) por(x-a)(x-b) no mximo do 1 grau, pois odivisor do 2 grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)

Um polinmio P(x) divisvel pelo binmio ax+b se P(-b/a)=0


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x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

Das equaes 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Observaes:1) Se P(x) for divisvel por(x-a) e por(x-b), temos:P(a)= r1 =0P(b)= r2 =0Portanto, P(x) divisvel pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2) Generalizando, temos:Se P(x) divisvel por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) ento

P(x) divisvel pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).

Exemplo:Um polinmio P(x) dividido porx d resto 6 e dividido por (x-1) d

resto 8. Qual o resto da diviso de P(x) porx(x-1)?Resoluo:0 a raiz do divisorx, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 a raiz do divisorx-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)E para o divisorx(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da diviso de P(x) porx(x-1) no mximo do 1 grau, pois odivisor do 2 grau; logo:

R(x)=ax+b

000)( 1221 =+=+= ba ararxba rrxR

=+ =+ 2

1

rdcbrdca

ba

ba

ararx

ba

rrxR

baba

arard

ba

rrc

+

=

=

=

com,)(:Logo

com,e

1221

1221


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Da eq.3 vem:P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + bFazendo:x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)

x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)Das equaes 1, 2, 4 e 5 temos:

Logo, b=6 e a=2.Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta:R(x) = 2x+6.

O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a diviso de um polinmio P(x) por um binmio daforma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da diviso do polinmioP(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).

Resoluo:

Observe que o grau de Q(x) uma unidade inferior ao de P(x), pois odivisor de grau 1.

Resposta:Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resoluo desse problema seguimos os seguintes passos:1) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo

ordenadamente na parte de cima da cerquinha.2) O primeiro coeficiente do dividendo repetido abaixo.

=+

=

8

6

ba

b

RESTOQ(x)QUOCIENTEDOESCOEFICIENT

P(x)DEESCOEFICIENTDIVISORDORAIZ

4313

2)2.(31)2.(15)2.(3

21532

+


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Uma das razes j encontramos (x=0).As outras duas saem da equao: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.Portanto, o polinmio 2x3-x2-x, na forma fatorada :2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinmio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n razesr1, r2,..., rn, podemos decomp-lo em fatores da seguinte forma:

Observaes:1) Se duas, trs ou mais raiz forem iguais, dizemos que so razes

duplas, triplas, etc.2) Uma raiz r1 do polinmio P(x) dita raiz dupla ou de

multiplicidade 2 se P(x) divisvel por (x-r1)2 e no por (x-r1)3.

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0= an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)


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PROBABILIDADEA histria da teoria das probabilidades, teve incio com os jogos de

cartas, dados e de roleta. Esse o motivo da grande existncia de exemplosde jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade

permite que se calcule a chance de ocorrncia de um nmero em umexperimento aleatrio.

Experimento Aleatrio

aquele experimento que quando repetido em iguais condies, podemfornecer resultados diferentes, ou seja, so resultados explicados ao acaso.Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagemenvolve clculo de experimento aleatrio.

Espao Amostral

o conjunto de todos os resultados possveis de um experimentoaleatrio. A letra que representa o espao amostral, S.

Exemplo:

Lanando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaoamostral, constitudo pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m nmero par aparece}, B={um nmero primo aparece}, C={coroas e umnmero mpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que:


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a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C so mutuamente exclusivos

Resoluo:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constitudos de um K eum nmero par: A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constitudos de nmerosprimos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constitudos de um R e umnmero mpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que no esto em A ou C;

B Ac Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C so mutuamente exclusivos, porque A C =

Conceito de probabilidade

Se em um fenmeno aleatrio as possibilidades so igualmenteprovveis, ento a probabilidade de ocorrer um evento A :

Por, exemplo, no lanamento de um dado, um nmero par pode ocorrerde 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente provveis, portanto, P =3/6= 1/2 = 50%


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Dizemos que um espao amostral S (finito) equiprovvel quando seuseventos elementares tm probabilidades iguais de ocorrncia.

Num espao amostral equiprovvel S (finito), a probabilidade deocorrncia de um evento A sempre:

Propriedades Importantes:

1. Se A e A so eventos complementares, ento:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento sempre um nmero entre (probabilidade de evento impossvel) e 1 (probabilidade do eventocerto).

Probabilidade Condicional

Antes da realizao de um experimento, necessrio que j tenhaalguma informao sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, oespao amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade deocorrncia alterada.

Frmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 eE2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fatode j ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de jterem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fatode j ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo:


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Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer umsorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposio, qual ser a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resoluo:

Seja o espao amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos osseguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En so eventos independentes quando aprobabilidade de ocorrer um deles no depende do fato de os outros teremou no terem ocorrido.

Frmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual ser aprobabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resoluo:

Como os eventos so independentes, a probabilidade de sair vermelhana primeira retirada e azul na segunda retirada igual ao produto das

probabilidades de cada condio, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, aprobabilidade de sair vermelha na primeira retirada 10/30 e a de sairazul na segunda retirada 20/30. Da, usando a regra do produto, temos:10/30.20/30=2/9.


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Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, poishouve reposio. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bolavermelha na primeira retirada no influenciou a segunda retirada, j queela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a unio de eventos

Frmula da probabilidade de ocorrer a unio de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarocomputados no clculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados

uma vez s, subtramos P(E1 e E2).

Frmula de probabilidade de ocorrer a unio de eventos mutuamenteexclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lanados, qual a

probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espao amostral de todos os possveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Da, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 1/36= 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espao amostral de todos os resultados possveis, temos: n(S)= 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52


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B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) =0, pois uma carta no pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando issoocorre dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos.

Progresses AritmticasProgresso aritmtica uma sequncia numrica na qual, a partir

do segundo, cada termo igual soma de seu antecessor com umaconstante, denominada razo.

Logo abaixo temos alguns exerccios de progresses aritmticasresolvidos.

1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu ensimo termo.

rnaan ).1(:P.A.umadegeraltermodoFrmula 1 +=

2

).(S:finitaP.A.umadetermosdeSoma 1

naa nn

+=

23444194).1(19).1(

:geraltermooLogo,

.4)19(15:razoasencontramontePrimeirame

1

12

=+=+=+=

===

nananarnaa

rraar

nnnn


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104/138

(8,4,0).ou(0,4,8):Resposta

(8,4,0):P.A

8a(-4)-4ar-4

:4Para1)

(0,4,8):P.A

0a4-4ar-4

:4Para1)

:termoprimeiroosencontramoAgora

4r16r16r322r48802r80248

80562432448

805)624()816(3805)4(6)4(3

:temosequaosegundanadoSubstituin

80563

43

3121233

80442

1233

80)2()(

12)2()(

:acimasistemanoossubstituimEnto.2queequeSabemos

80

12

111

111

2222

222

22

22

2

1

2

1

111

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

111

1312

2

3

2

2

2

1

321

====

====

======+

=+++

=+++=++

=++

=

==+

=++++++=+

=++++=++++

+=+=

=++

=++

a

r

a

r

r

rrrrr

rrrrr

rrrr

rraa

rar

ara

rraarraaa

ra

raraa

raraa

raaraa

aaa

aaa


105/138

4) Calcule quantos nmeros inteiros existem entre 13 e 247 que no somltiplos de 3.

3.demltiplossono155logo3,demltiplosso78nmeros,233Dos

78n3

234n3-3n2311)3-(n15246).1(

:mltiplosdenmerooque,oacharBasta247).doantes3demltiploltimoo(pois246,3

13)dodepois3demltiploprimeiroo(pois15

:3demltiplosdenmeroocalcularPara

mltiplos.NOdenmerooresultadocomodarqueomltiplos,denmeropelo(233)nmerosdetotal

nmeroosubtrairapslogoe3,demltiplosSOnmerosquantosnteprimeiramecalculardevemosns3,demltiplossoNOnmerosquantoscalcularParanmeros.233existem247e13Entre

1

1

===+=+=

===

rnaa

nar

a

n

n


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5) Encontre o valor de x para que a sequncia (2x, x+1, 3x) seja umaprogresso aritmtica.

6) Numa progresso aritmtica em que a2+a7=a4+ak, o valor de k :

7) Se Sn a soma dos n primeiros termos da progresso aritmtica (-90,-86,-82,...) ento o menor valor de n para que se tenha Sn>0 :

8) A soma dos n primeiros nmeros pares positivos 132. Encontre o valor

de n.

3

223112

112

2)1()1(3

:P.A.umaserPara 1223

==+=+

=

+=+=

xxxx

xx

xxxx

aaaa

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372

)3()6()(

15

111

11

111

raaraaarraa

arara

ararara

kk

k

k

+== +==+

++=+++=+++

474

18844184

449094

4).1(9094

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1

n

1

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=+

+=

+=

=

=

=

nnn

n

n

rnaa

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a

r

n

n

1111

12

2

231

2

5291

2

132.1.411

01322

)22(132

2

).(

:temossomadafrmulanadoSubstituin

22222).1(2).1(

132;2;2

21

1

1

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=

==

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=

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=++

=+

=

=+=+=+=

===

nn

nn

nnnnnaa

S

nananarnaa

Sar

nn

nnnn

n


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PROGRESSES GEOMTRICASPodemos definir progresso geomtrica, ou simplesmente P.G., como

uma sucesso de nmeros reais obtida, com exceo do primeiro,

multiplicando o nmero anterior por uma quantidade fixa q, chamadarazo.

Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no estejasuficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Porexemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Clculos do termo geral

Numa progresso geomtrica de razo q, os termos so obtidos, por

definio, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral,tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, ento:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na

frmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferenasubstancial no momento de sua definio. Enquanto as progressesaritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma

repetida, nas progresses geomtricas os termos so gerados pela


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multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas noparam a.

Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva,isto , r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se deuma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progressoaritmtica com razo negativa, r < 0, seu comportamento ser decrescente.Observe, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo, |r|. Assim, quanto maior forr, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razo q vem:Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q

Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula dasoma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para afrmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:


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Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestascondies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindona frmula anterior, encontraremos:

Exemplo:Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100O primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo,substituindo na frmula, vem:

Dessa equao encontramos como resposta x = 50.


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Propores - Introduo

Rogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerio pesa 120kg,e seu co, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu co, 16kg.

Observe a razo entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razo entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razes so iguais. Nesse caso, podemos

afirmar que a igualdade uma proporo. Assim:

Proporo uma igualdade entre duasrazes.

Elementos de uma proporoDados quatro nmeros racionais a, b, c, d, no-nulos, nessa ordem, dizemosque eles formam uma proporo quando a razo do 1 para o 2 for igual razo do 3 para o 4. Assim:

ou a:b=c:d

(l-se "a est para b assim como c est para d")

Os nmeros a, b, c e dso os termos da proporo, sendo:


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b e c os meios da proporo. a e dos extremos da proporo.

Exemplo:

Dada a proporo , temos:Leitura: 3 est para 4 assim como 27 est para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36


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(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observaes:

1) A razo entre dois nmeros racionais pode ser apresentada de trsformas. Exemplo:

Razo entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razo entre dois nmeros racionais pode ser expressa com sinal

negativo, desde que seus termos tenham sinais contrrios. Exemplos:

A razo entre 1 e -8 .

A razo entre .

Observe a razo:

(l-se "a est para b" ou "a para b").

Na razo a:b ou , o nmero a denominado antecedente e onmero b denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razo: 3 est para 5 ou 3 para 5.


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Regra de trs simplesRegra de trs simples um processo prtico para resolver problemas queenvolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos,

portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcieem colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentesem correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamenteproporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplos:

1) Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m2, uma lanchacom motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora deenergia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia

produzida?

Soluo: montando a tabela:rea (m2) Energia (Wh)

1,2 4001,5 x

Identificao do tipo de relao:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x(2 coluna).

Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solaraumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemosafirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo,colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna.Montando a proporo e resolvendo a equao temos:


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Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, fazum determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo

percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Soluo: montando a tabela:

Velocidade(Km/h)

Tempo (h)

400 3480 x

Identificao do tipo de relao:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x(2 coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percursodiminui.

Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemosafirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo,colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna.Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.


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2) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias?

Soluo: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que:Aumentando o nmero de homens, a produo de carrinhos

aumenta. Portanto a relao diretamente proporcional(no precisamosinverter a razo).

Aumentando o nmero de dias, a produo de carrinhos aumenta.Portanto a relao tambm diretamente proporcional(no precisamosinverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o

produto das outras razes.

Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, sero montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m dealtura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser otempo necessrio para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm ox. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamenteproporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamenteproporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporo e resolvendo a equao temos:


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Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias.

Exerccios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer essesexerccios:

1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horaslevaro 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladasde carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiroextrair 5,6 toneladas de carvo? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias paraconstruir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas

por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia eledeveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdiade 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m detecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

Resposta: 2025 metros.


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Sistemas Lineares

Equao linear

Equao linear toda equao da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an so nmeros reais, que recebem o nome decoeficientes das incgnitas


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Resolvendo o sistema , encontramos uma nica soluo: o parordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema possvel (tem soluo) edeterminado (soluo nica).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...so algumas de suas infinitas solues. Porisso, dizemos que o sistema possvel (tem soluo) e indeterminado(infinitas solues).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz

simultaneamente as equaes. Portanto, o sistema impossvel (no temsoluo).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possvel e determinado (soluo nica);b) possvel e indeterminado (infinitas solues);c) impossvel (no tem soluo).

Sistema normal

Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e deincgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero.

Se m=n e det A 0, ento o sistema normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta

associada ao sistema, e Dxi o determinante obtido pela substituio, na


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Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema impossvel e no apresenta soluo.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjuntosoluo.

Por exemplo, dados os sistemas:

e

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e nico.Logo, S1 e S2 so equivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos outro sistema

equivalente.

Por exemplo:

e

S1 ~S2


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b) Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero K(K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equaes de um sistema o produto de outraequao desse mesmo sistema por um nmero k( K IR*), obtemos umsistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado , substituindo a equao (II) pela soma do produtode (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) soluo de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares

em que o nmero de equaes (m) igual ao nmero de incgnitas (n).Quando m e n so maiores que trs, torna-se muito trabalhoso utilizar essaregra. Por isso, usamos a tcnica do escalonamento, que facilita a discussoe resoluo de qua

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Apostila de a 2 Grau