Apostila de Conformação Mecânica

8/18/2019 Apostila de Conformação Mecânica

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TENSÃO

Admita que o corpo mostrado na figura a seguir está submetido às forçasexternas F e está em equilíbrio. A superfície S tem uma direção qualquer. Sematerial do corpo for retirado acima da superfície S, para que o corpo se mantenhaem equilíbrio, é necessário a aplicação de uma força R1 sobre esta mesmasuperfície, sendo R1 a resultante das forças eliminadas junto com a porção dematerial retirada do corpo. A direção e o módulo da força Resultante R1 dependemda direção da superfície S. Assim, também, se uma das forças atuantes na porçãosuperior do corpo for retirada, a direção e o módulo da resultante serão alteradas. Oponto P está situado sobre a superfície S e é o local de aplicação da resultante R1.

Figura 1 – Equilíbrio de forças no corpo

Define-se tensão como o resultado do carregamento da superfície S, ou seja,

Tensão =força em Sárea de S

P é um ponto de S. Então a tensão atuante em P será:

Tensão =F A

Se P é infinitamente pequeno, tem-se:

=dFdA

Componentes da tensão

A tensão atuante na área S pode ser decomposta segundo um sistematriortogonal, em uma componente normal e duas componentes tangenciais à área S.


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2

Seja o sistema de referência denotado pelos eixos x,y,z. Desta forma atensão será descrita por [], onde o primeiro índice refere-se ao plano onde atua atensão e o segundo índice à direção:

[] =

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

Esta representação matricial é denominada Tensor de Tensão.

Para melhorar o entendimento, vamos indicar por as tensões normais e por as tensões tangenciais. Também podemos suprimir um dos índices das tensõesnormais de forma que simbolizaremos xx por x e assim por diante. O tensor detensão será então:

[] =

x xy xz

yx y yz zx zy z

A representação gráfica do tensor de tensão é a da Figura 2, a seguir:

Figura 2 – Tensor de Tensão

Equilíbrio das Tensões:

Condição para não haver translação: Tomemos a somatória das forças na

direção x, por exemplo, de acordo com as tensões no cubo infinitesimal mostrado na

figura a seguir


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3

Desprezando-se as forças de corpo, temos

xx(dy dz) + yx (dx dz) + zx (dx dy) – (xx +xxx dx)(dy.dz) – (yx +

yxy dy) (dz dx) –

- (zx +zxz dz) (dx dy) = 0

Lembre-se: Força = Tensão x Área

Fazendo as operações de subtração e dividindo tudo por dx dy dz, obtemos:

xxx +

tyxy +

tyxz = 0

De modo semelhante, vamos estabelecer o equilíbrio de rotação do corpo emrelação a um ponto situado no centro do cubo. Para facilitar o entendimento, vamosfazê-lo tomando com base o plano x y, conforme a Figura 4.

xy (dy.dz)dx2 ) + (xy +

xyx (dy.dz)

dx2 – yx (dx.dz)

dy2 – (yx +

yxy ) (dx.dz) = 0

Os termosx e

y são de quarta ordem e podem ser desprezados.

Figura 3 – Equilíbrio na direção x


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4

De onde obtemos; xy = yx;

Do mesmo modo, obtemos:

xy = yx; xz = zx e yz = zy

Desta forma o tensor de tensão se reduz a um tensor simétrico da forma:

[] =

x xy xz

xy y yz xz yz z

TENSÕES PRINCIPAIS

Existem planos no corpo onde só ocorrem tensões normais, não havendo,portanto, nestes planos, tensões cisalhantes. À estas tensões normais chamamostensões principais. De acordo com a figura a seguir, que representa um plano ondeocorre tensão principal, esta deve ser paralela à direção n.

Figura 5 – Plano de aplicação da carga

Existe uma tensão normal a A, de valor . O equilíbrio das forças na direçãox será:

Figura 4 – Equilíbrio à rotação


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5

A cos x – yx Ay - zx Az - x Ax = 0

Ax = A cos x Ay = cos y Az = cos zSubstituindo, temos:

A cos x – yx cos y - zx cos z - x A cos x = 0

Dividindo tudo por A:

x - )cos x + yx cos y + zx cos z = 0

O mesmo pode ser feito para as direções y e z, e então teremos:

yx cos x + y - )cos y + zy cos z = 0

zx cos x + yz cos y + z - ) cos z = 0

Que pode ser escrito como:

x - xy xz

xy y - yz xz yz z -

x

y z

= 0

Para que o sistema tenha solução não trivial:

det

x - xy xz xy y - yz xz yz z -

= 0

x - )y - )z - ) + 2yxxzyz - x - )yz - y - )xz - z - )xy = 0

Que resulta em

3 + 2 (x + y +z) - (x y + x xz + y z - xy - yz - xz) + (x y z + 2yxxzyz - x yz - y xz - z xy) = 0

Que é uma equação do 3º grau. As três raízes destas equações são as tensõesprincipais atuando em planos ortogonais entre si.

Podemos substituir:I1 = x + y +z, que é a soma da diagonal principal do tensor de tensão;I2 = x y + x xz + y z - xy - yz - xz eI3 = x y z + 2yxxzyz - x yz - y xz - z xy, que é o determinante do tensor detensão.

Então a equação se torna:

3 + I1 2 - I2 + I3 = 0.


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6

Os termos I1, I2 e I3 são chamados invariantes do tensor. Isto é, umdeterminado estado de tensão pode ser representado por diversos tensores, todoseles tendo os mesmos invariantes.

Exemplo:

Seja o estado de tensão: x = 100; y = 80; z = 20; yx = 20; xz = 20; yz = 20

O tensor de tensão fica:100 20 20

20 80 2020 20 20

I1 = 200; I2 = 10400 e I3 = 96000

3 - 200 2 + 10400 - 96000 = 0.

Aplicaremos o método de Newton para resolver a equação. Este métodoconsiste em adotar um valor para e calcular o valor da equação. Aplicar o mesmovalor adotado à derivada primeira da equação. O próximo valor a ser adotado deveser o resultado da diferença entre o valor admitido e a divisão entre os resultadosobtidos na equação e a sua derivada. Vamos passo a passo:

Seja = 0. Substituindo 0 na equação, temos

F(

3

- 200

2

+ 10400 - 96000F(0) = 3 - 200 (2 + 10400 ( - 96000 = -96000

A derivada da equação é:

32 - 400 + 10400

substituindo por 0 obtemos;

F’( 32 - 400 (0) + 10400 = 10400

O próximo valor de deve ser

100 – (-56000/110400) = 9,2308

Repetimos até que o valor da equação se iguale a zero (ou muito próximo disso)

Resultado da

equação

Resultado da

derivada0 -96000 10400

9,230769 -16254,9 6963,31411,56513 -926,226 6175,204


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7

11,71512 -3,71554 6125,68311,71573 -6,1E-05 6125,483

O processo converge em quatro passos, dando como resultado a raiz:

11,71573

Agora fazemos a divisão de 3 - 200 2 + 10400 - 96000 por - 11,71573 eobtemos a equação de segundo grau:

2 -188,284 + 8194,113 = 0

Que nos fornece as outras duas raízes:

120 68,26427

Colocamos as raízes na ordem decrescente (

120 68,26427 11,71573

Finalmente, podemos escrever:

100 20 20 120 0 0

20 80 20 0 68,2642720 20 20 0 0 11,71573

Verifique que os invariantes de [] são os mesmos de [p]

DIREÇÕES PRINCIPAIS

Já vimos que as tensões principais atuam em planos perpendiculares entre si.

Também já vimos que:

x - xy xz

xy y - yz xz yz z -

x

y z

= 0

onde x, y, z são os cossenos diretores dos planos onde atuam as tensõesprincipais. Substituindo-se os valores das tensões principais na multiplicação acima,obtemos, para cada tensão principal um sistema de equações lineares, cujosresultados são os cossenos diretores dos planos.


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8

Note-se que a tensão principal 1 é perpendicular ao plano principal 1 e,portanto, é paralela ao eixo principal 1. Devemos, para solucionar o sistema, fazerx1 = 1.

x - xy xz

xy y - yz xz yz z -

y1 z1

= 0

Sabemos que x+ y z = 1

= 1 + 2y1 z1

x1 =1 y1 =

y1 y1 =

z1

De modo semelhante, fazemos y2 = 1 e z3 = 1.

Veja o exemplo:

Exemplo 2

Seja o estado de tensão: x = 12; y = 3; z = -5; yx = 2; xz = 1; yz = 0O tensor de tensão fica:

12 2 1

2 3 01 0 -5

I1 = 10 I2 = -44 e I3 = -163

3 - 10 2 - 44 +163 = 0.

equação derivada0 163 -44

3,704545 -86,3967 -76,91992,581343 -0,01207 -75,63692,581183 -5,7E-08 -75,63612,581183 0 -75,6361

Obtemos a raiz 2,581 e a equação de segundo grau:

2 -7,419 - 63,148 = 0

Cujas raízes são 12, 479 e -5,060

2,581


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9

-5,060

Agora podemos calcular os cossenos diretores.

Façamos e x1 = 1

12 - 2 1 2 3 - 0 1 0 -5 -

y1

z1 = 0

Bastam duas equações:2 y1 + z1 = 0,4799,479y1 = 2

y1 = 0,211z1 = - 0,057

12 + 0,2112 + (-0,057)2 = 1,0236x1 = 0,9769 12º 20’ y1 = 0,206 78º 6’ z1 = - 0,0557 93º 11’

Façamos, agora, e x1 = 1

12 - 2 1

2 3 - 0 1 0 -5 -

x2

z2

= 0

Bastam duas equações:9,419 y2 + z2 = -22 y2 = -0,419

x2 = - 0,2095z2 = - 0,0267 0,20952 + 12 + (-0,0267)2 = 1,022x2 = - 0,205 101º 48’ y1 = 0,978 12º 2’

z1 = - 0,026 93º 30’ Façamos, agora, e x1 = 1

12 2 1

2 3 0 1 0 -5

x3

y3

= 0

Bastam duas equações:17,06 x3 + 2 y3 = -12 x3 - 8,06 y3 = 0

x3 = - 0,06y3 = 0,015


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10

(-0,06)2 + 0,0152 + (1)2 = 1,019

x3 = - 0,06 93º 26’ y3 = 0,015 89º 8’ z3 = 0,998 3º 36’

Na figura 6 mostram-se os planos e as direções onde atuam as tensõesprincipais

CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES

O círculo de Mohr descreve, graficamente, o tensor de tensões. A construçãodo Círculo de Mohr para três dimensões faz –se da seguinte forma:

1) Traça-se dois eixos perpendiculares , sendo o eixo das abscissas e o eixodas ordenadas;

2) Marcam-se os pontos 1, 2 e 3 sobre o eixo das tensões normais;3) Traçam-se os círculos passando pelos pontos 1 e 2, 2 e 3, 1 e 3;

x

z

Figura 6 – Planos principais

Figura 7 – Círculo de Morh


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11

Para a determinação da tensão em um plano qualquer, necessita-se doscossenos diretores deste plano. Chamemos estes ângulos de 1n, 2n e 3n.

O ponto G que representa o plano onde atuam n e n, é obtido da seguinte forma:

4) Desenhamos uma reta passando s1 e fazendo um ângulo g1n com a vertical que

passa por s1, definindo os pontos A e B;5) Desenhamos uma reta passando por s3 e fazendo um ângulo g3n com a verticalque passa por s3 e definindo os pontos C e D;

6) Passamos um arco pelos pontos A e B, com centro no círculo que passa por s1 es2;

7) Passamos um arco pelos pontos C e d, com centro no círculo que passa por s2 es3;

8) O ponto G é o ponto definido pelo cruzamento destes dois arcos.

Exemplo 3:

Seja o tensor:

150 30 2030 100 1020 10 40

Obtemos:

167,9564 85,95502 36,08859

Cossenos 1 2 3x 0,8916 -0,4270 -0,1510y 0,4189 0,9042 -0,0832z 0,1721 0,0109 0,9850

ângulos 1 2 3x 26,92905 115,275 98,68632y 65,23387 25,2839 94,77435z 80,09041 89,37317 9,929791

Vamos obter o ponto G para 1x, 2x e 3x

Neste plano – que neste caso é o próprio plano x, as tensão normal é 150 e temosduas tensões cisalhantes, 30 e 20, cuja resultante é 302 + 202 = 36,06


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12

Veja que 74,7º é o suplemento de 115,3º, assim como 81,3º é o suplementode 98,9º.

Podemos obter o ponto G para qualquer plano. tomemos o plano “n” com os

seguintes cossenos diretores:

0,4; 0,5 e 0,768.

Precisamos situar a direção n no sistema 1, 2 e 3. Isto se faz multiplicando-se a matriz transposta dos cossenos das direções principais pela matriz da direção n

[C]T.[n] = [R]

0,891568 0,418915 0,172094 0,4 0,698-0,42696 0,904203 0,01094 0,5 = 0,289-0,15102 -0,08323 0,98502 0,768 0,654

Com os cossenos rotacionados para o novo sistema, encontramos os ângulosque eles fazem com as direções principais:

c1n = 0,698 1n= 45,7ºc2n = 0,289 2n = 73,2ºc3n = 0,654 3n = 49,1º

O valor da tensão é obtido fazendo-se:

[F] = [T] x [N]

150 30 20

30 100 1020 10 40

0,4

0,50,768

=

90,36

69,6843,75

Figura 9 – Círculo de Mohr


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14

[Fp] =

0 0

0 00 0

13

13

1

3

=

13

2

3

33

oct =

1

3 2

3 3

3

13

13

13

=1 + 2 + 3

3

A tensão cisalhante, obtem-se por:

oct = F2 – (oct)2

oct = (1

3)2 + (

23

)2 + (3

3)2 +

1 + 2 + 3

3

2

oct =(1)2 + (2)2 + (3)2

3 -19 (1 + 2 + 3)

2

oct = (1)2 + (2)2 + (3)2

3 -19 ((1)

2 + (2)2 + (3)2) + 212 + 2 2 3 + 2 1 3)

oct =29 ((1)

2 + (2)2 + (3)2) + 12 + 2 3 + 1 3)

oct =13 (1 - 2)

2 + (2 - 3)2 + (3 - 1)2

ESTADOS TRIPLOS DE TENSÃO PARTICULARES

1. Estado de Tensão Uniaxial: neste estado existe apenas carregamento normal emuma única direção. O carregamento pode ser de compressão ou tração. A figura mostra o carregamento e o círculo de Mohr correspondente..


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15

2. Estado de cisalhamento puro:

Ocorre quando o corpo está submetido à torção pura, conforme se mostra:

O tensor ficará:0 0

0 00 0 0 ==> I1 = 0; I2 = - 2

; I3 = 0

Figura 10 – Estado uniaxial de tração

Figura 12 – Estado de cisalhamento puro


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16

e

3. Estado cilíndrico:

Ocorre para o caso em que:

O círculo de Mohr é do tipo:

3. Estado Hidrostático.

Ocorre para

Em qualquer plano = 0

TENSÕES REDUZIDAS

No estado hidrostático não existem tensões de cisalhamento e a tensão normalpode ser representada pela tensão média.

m = 3

O tensor de tensão para os eixos principais é:

0 00 00 0

O Tensor pode ser decomposto em:

Fi ura 13 – Estado Cilíndrico

Fi ura 14 – Estado Hidrostático


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17

0 00 00 0

=

m 0 00 m 00 0 m

+

- m 0 00 - m 00 0 - m

[Tp] = [Tm] + [Tr]

Onde [Tp] = tensor de tensões principais[Tm] = Tensor de tensões médias = hidrostático[Tr] = tensor de tensões reduzidas.

Intensidade da Tensão de cisalhamento

A intensidade da tensão de cisalhamento é definida como a raiz quadrada dosegundo invariante do tensor de tensões reduzidas:

I = I2r I = (1 - m) (2 - m)+ (2 - m) (3 - m) + (1 - m) (3 - m)

I = 1 2 + 2 3 + 1 3 - 2 m (1 + 2 + 3) + 3(m)2

I = 1 2 + 2 3 + 1 3 - 3(m)2

I = 1 2 + 2 3 + 1 3 - 3(

3 )2

I = 1 2 + 2 3 + 1 3 -13 [(1)

2 + (2)2 + (3 )2 - 2 1 2 + 2 3 + 1 3]

I =13 [(1)

2 + (2)2 + (3 )2 - 1 2 + 2 3 + 1 3]

I =16

(1 - 2)2 + (2 - 3)2 + (3 - 1)2

Calculando a intensidade de tensão para os casos particulares:Caso 1: Tração pura ou compressão pura

1 0; 2 = 3 = 0 I =1

3

Caso 2: Torção pura

1 = - 3; 2 = 0 I = 1

Caso 3: Estado hidrostático

1 = 3 = 2 I = 0


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Elipsóide das tensões

Pode-se mostrar que:

Cos

X

Cos

Y

Cos Z

(Cos )2 + (Cos )2 + (Cos

X

2 +

Y

2 +

Z

2 = 1

Que é a equação de um elipsóide, com eixos iguais às tensões principais:

DEFORMAÇÕES

Quando um corpo é submetido a um esforço ele sofre alterações em suaforma inicial. Estas alterações podem ser permanentes ou não. À esta mudança deforma, denominamos deformação. Entretanto, se em razão do esforço aplicado, omovimento de material do corpo não implicar em mudança de forma, ou seja, adistancia entre cada parte do corpo permanecer constante, haverá somente o

deslocamento de um corpo rígido. O deslocamento pode consistir de translação erotação

COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO

Deformações lineares

Seja o segmento de reta AB, conforme figura 2.1. o segmento de reta é

deformado para A’B’. Devido a deformação o segmento de reta AB aumenta de umvalor dx1. o ponto deslocou-se para A’ de um valor u1. O ponto B se deslocou paraB’ de um valor u1 + dx1. Se a taxa de mudança de comprimento for u1/x1, o

Figura 15 – Elipsóide das tensões


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19

incremento total em relação ao comprimento original dx1 será (u1/x1) dx1. O pontoB deslocou-se portanto do valor u1 +(u1/x1) dx1.

Podemos escrever:

dx1 =

u1 +

u1

x1 - u1 =

u1

x1 dx1

O alongamento relativo ao comprimento original é expresso por

1 =dx1 dx1

=

u1x1

dx1

dx1 =

u1x1

de modo análogo pode-se mostrar que:

2 = u2x2

3 =u3x3

Deformações cisalhantes

A deformação cisalhante em um ponto é igual ao deslocamento angular doponto. Considere a figura 17. Nela está representado o deslocamento de um ponto

levando em consideração as componentes de deslocamento linear e rotacional.

Figura 16 – Deformação linear


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20

Na figura 17, o ângulo formado pelos segmentos OA e OB é 90º. Após adeformação, os pontos se movem para O’A’ e O’B’, com angulo diferente de 90º. Adeformação cisalhante é dada por

sendo tan = A’A”O’A”

Para pequenos deslocamentos podemos considerar O’A” = OA e = tan

Assim = A’A”OA =

DA’ - DA”OA

=

du2 +du2

x1 - du2

dx1 = du2x1


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21

Do mesmo modo, mostra-se que:

=du1x2

E, em consequência:

du2x1

+du1x2

Então para o sistema triortogonal x1, x2 e x3, teremos:

12 =du2x1

+du1x2

13 =du3x1 +

du1x3

d u 2 +

d u 2

x 1 d x 1

d u 2 +

d u 2

x 2

d x 2

du1+du1 x2

dx2

x 2

d u 2

dx1

du1

du1+du1 x1 dx1

Figura 17 – Elemento antes e após deformado


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O tensor desvio da deformação é obtido subtraindo-se o tensor deformaçãohidrostática do tensor deformação:

desvio =

xx - m xy xz xy yy m yz

xz yz zz m

DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

De modo análogo ao tensor de tensão, existirá para o tensor deformação um

conjunto de planos ortogonais entre si onde só ocorrem deformações lineares, ouseja, xy = xz = yz = 0

Assim, existem os invariantes do tensor deformação:

E1 = xx + yy + zz

E2 = xy2 + xz2 + yz2 - xxyy - xxzz - yyzz

E3 = xxzzzz + 2xyzzyz - xy2 zz - xz2 yy -yz2 xx

Que leva à equação do terceiro grau:

- E1 + E2 - E3 = 0

cujas raízes serão as deformações principais e

No caso da deformação plástica E1 = 0

GRANDES DEFORMAÇÕES

O corpo na figura 19 foi tracionado aumentando o seu comprimento de L paraL1. A seção transversal AA deslocou-se para A’A’ após a deformação.


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24

Nas condições mostradas podemos escrever:

duxx =

DLL

Mas, como vimos anteriormente:

dx =dux x

Fazendo as substituições devidas, obteremos:

dx =x

x dLL =

dLL

e, finalmente obtemos:

x= dx =

Lo

Lf

dL

L = ln

Lf

Lo

A deformação assim calculada é denominada deformação logarítmica oudeformação verdadeira.

TAXA DE DEFORMAÇÃO

O processo de deformação ocorre ao longo de um determinado tempo. A

velocidade instantânea de um ponto no corpo sob deformação é dada por:


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25

v =dudt

as velocidades nas direções x y e z serão, então:

vx =

dux

dt

vy =duydt

vz =duzdt

Como havíamos mostrado o tensor deformação é:

ij =12

ui x j

+ui x j

A taxa de deformação é definida como a variação da deformação por unidade detempo, ou

ij . =

ij t =

t

1

2

ui x j

+ui x j

ij . =

12

t

ui x j

+12

t

ui x j

ij . =

12

x j

ui t +

12

x j

ui t

Lembrando que vi =duidt e v j =

du jdt

Teremos:

ij . = 12 vi x j + 12 v

jx j

x . =

12

vxxx

y . =

12

vyxy

z . =

12

vzxz

xy . =

12

vxxy +

12

vyxx


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26

xz . =

12

vzxx

+12

vxxz

yz . =

12

vzxy

+12

vyxz

E o tensor taxa de deformação se escreverá:

ij .= =

xx. xy. xz.

xy. yy

. yz.

xz. yz

. zz

.

e finalmente, da mesma forma que já mostrado para o tensor deformação, pode-seencontrar as taxas de deformações principais.

Exemplo 1 – Cálculo de deformações

Um corpo foi submetido à torção no plano xy. O ângulo de torção foi xy = 1º.Vamos estudar as deformações geradas no corpo.

xy 1º xy = 0,01745

xy = xy

2 = 0,008725

O tensor deformação será:

0 0,008725 0 0,008725 0 0

0 0 0

Os invariantes do tensor deformação são:

E1 = 0E2 = - 7,6.10-5 E3 = 0

Que fornece a equação:

3 - 7,6.10-5 = 0

Cujas raízes são:

0,008725 0


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27

-0,008725

Para calcular os cossenos diretores, faremos:

xx xy xz xy yy yz

xz yz zz .

k1x

k1y

k1z

=

k1x

k1y

k1z

xx xy xz xy yy - yz xz yz zz

.

k1x

k1y k1z

=

0 0,008725 0 k1x 0,0087250,008725 -0,00873 0 k1y = 0

0 0 -0,0087 k1z 0

analiticamente, temos

[] . [k] = [1]

Então

[]-1 . [1] = [k]

114,6132 114,6132 0 0,008725 k1x 114,6132 0 0 0 = k1y

0 0 -114,613 0 k1z

que fornece o resultado

[k] =

1

10

O módulo de [k} = 2

e os cossenos diretores são:

De forma semelhante encontramos:

n2x = - 0707 2x = 135º

n2y = 0,707

2y = 45ºn2z = 0 2z = 90º


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28

e

n3x = 0 3x = 90ºn3y = 0 3y = 90ºn3z = 1 3z = 0º

O circulo de Mohr é mostrado na figura a seguir

O círculo de Mohr mostrada na figura mostra as deformaçõesmultiplicadas por 1000.

O plano N, mostrado no circulo mostra a posição da tensão para umplano qualquer no corpo. Neste caso, o plano N é:

N =

3

3 3

3 3

3

As deformações neste plano são, então:

n = 0,00581

n = 0,00411

RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

CÍRCULO DE MOHR DAS DEFORMAÇÕES

8,730,00-8,73

Plano N

0123456

789

10

-10 -5 0 5 10DEFORMAÇÕES LONGITUDINAIS

D E F O R M A Ç Õ E S A N

G U L A R E S


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29

Como vimos, quando um corpo é submetido a um carregamento sofre umadeformação. Em razão disto, na direção de aplicação do esforço, sua dimensãoresultará aumentada, se o esforço for trativo, ou, reduzida, se o esforço forcompressivo. A alteração nas dimensões do corpo não ocorrerá, contudo, somentena direção de aplicação da força, senão também nas outras duas direções quedefinem as dimensões do corpo. Se o esforço em uma direção causa aumento da

dimensão naquela direção, provocará redução nas direções perpendiculares àquela.Caso contrário, provocará redução nas direções perpendiculares àquela. Asdeformações perpendiculares relacionam-se entre si de acordo com o coeficiente dePoisson, isto é:

x = - y = - z y = - x = - z z = - y = - x

O coeficiente de Poisson n é uma propriedade de cada material.

RELAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO

Como dissemos, se o corpo é carregado terá suas dimensões alteradas. Se,após a retirada do carregamento, o corpo retornar às suas dimensões originais,diremos que o carregamento ocorreu no regime elástico. Caso, contrário, diremosque ocorreu no regime plástico. A figura abaixo mostra o um ensaio de tração de umcorpo e representa a parte elástica e plástica do material sob carregamento.

No regime elástico, a tensão é proporcional á deformação. Segundo a Lei de Hooke,escreve-se:

= E

Sendo E = módulo de elasticidade ou módulo de Young.

Podemos então, escrever:

Figura 19 – Curva tensão x deformação


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30

x =1E x = -

1E y = -

1E z

y =1E y = -

1E x = -

1E z

z = 1E z = - 1E = - 1E x

As sobreposição dos efeitos de x , y e z sobre as deformações será então:

x =1E x - y + z )]

y =1E y - x + z )]

z =

1

E z

- y

+x

)]

Para as deformações angulares, a lei de Hooke se escreve:

= G

Onde G = módulo de elasticidade transversal.

Lembrando que = 2

xy = 2G xy

xz = 2G xz

yz = 2G yz

As equações acima podem ser escritas para as direções principais:

1 =1E 1 - 2 + 3 )]

2 =1E 2 - 1 + 3 )]

3 =1E 3 - 2 + 1 )]

Existe uma relação entre G e E, que pode ser obtida quando se considera o estadode torção pura.

na torção pura : = -3 ; 2 = 0


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31

máx = 1 máx = 1

substituindo na equação acima para 1 , temos:

1 =1E 1 - - 1 )]

1 =1E 1 (1+ )

máx =1E 1 (1+ )

máx 2G =

1E 1 (1+ )

de onde se tira:

G =E

2(1 + )

Princípios da plasticidade

Princípio da incompressibilidade:

Um corpo submetido a um esforço, no regime plástico, mudará de formapermanentemente sem contudo mudar seu volume. Na verdade, há uma variação

volumétrica desprezível.

Tomemos um corpo de comprimento c, altura h e largura w. Ao se deformarplasticamente passa a Ter as dimensões cf , hf e wf .Seu volume inicial será:

V = c.h.w

Enquanto seu volume final será:

Vf = cf . hf . wf

Sendo

V = Vf c.h.w

cf .hf .wf = 1

lnccf

+ lnhhf

+ lnwwf

= ln 1 = 0 x + y + z = 0

Podemos também afirmar que:

x. + y. + z. = 0


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32

Coeficiente de Poisson no Regime Plástico

O coeficiente de Poisson relaciona as deformações longitudinais, como vimospara o regime elástico. Considerando o volume constante, no regime plástico,teremos:

y = z

x + y + z = 0 x + 2 y = 0

y =-x2

Então, o coeficiente de Poisson é, neste caso, = 0,5

CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO

O corpo sob carregamento deixará de se comportar elasticamente sobdeterminado nível de carregamento. Para determinar este nível, precisamos adotaralgum critério. A seguir, apresentamos os dois critérios mais empregados.

Critério de Tresca:

Segundo este critério um corpo escoa quando a tensão de cisalhamentomáxima atinge um valor crítico.

No ensaio de tração a tensão de cisalhamento máxima é dada por

máx =1 – 3

2

Na tração pura, 2 = 3 = 0. Seja k o valor crítico da tensão de cisalhamento

máxima onde se inicia o escoamento. Então substituindo-se estes dados naequação anterior, obtemos

k =12

No ensaio de tração, o corpo escoa quando a tensão atinge o limite de escoamentodo material (o). Logo:

K =o2 o = 1 - 3

Na torção pura, temos que 1 = -3 e 2 = 0


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33

o = 1 - 1) o = 1 ou 1 =o 2

Isto é, precisa-se da metade da tensão para deformar plasticamente um corpopor torção pura do que o necessário para deformar este corpo por tração pura.

Critério de von Mises.

Este é um critério de energia. Segundo este critério, o corpo escoa quando aenergia de deformação do tensor-desvio atingir um valor crítico.

O tensor-desvio para as tensões principais é:

1 – m 0 0

0 2 – m 00 0 3 – m

= [ij]

m =1 + 2 + 3

3

A energia de deformação será:

W = [ij].[ij]

Mas, ij =ijE

Logo, W = [ij]. ij

E =[ij]2

E

W =1E (1 – m)

2 + (2 – m)2 + (3 – m)2

W =1E 1)

2 - 2 1 m + (m)2 + 2)2 - 2 2 m + (m)2 +3)2 - 2 3 m + (m)2}

W =1E { 1)

2 + 2)2 + 3)2 - 2 m(1 2 3) + 3(m)2}

W =1

E { 1)2 + 2)2 + 3)2 - 2

1 + 2 + 3

3 ) (1 2 3) + 3(

1 + 2 + 3

3 )2}

W =1E { 1)

2 + 2)2 + 3)2 – 23 ( )1 + 2 + 3

2+

13 ( )1 + 2 + 3

2}

W =1E { 1)

2 + 2)2 + 3)2 – 13 ( )1 + 2 + 3

2 }

W =1E { 1)

2 + 2)2 + 3)2 – 13 [1)

2 + 2)2 + 3)2 + 212) + 213) + 223)]}

W =1

3E { 1 - 2)2

+ 2 - 3)2

+ 1 3)2

} = k

Onde k = valor crítico a partir do qual inicia-se o escoamento


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34

Vamos aplicar a o critério para o ensaio de tração. Neste caso, como já vimos:2 = 3 = 01 = o (Limite de escoamento para o ensaio de tração)

Substituindo na função do critério:

k =1

3E { 1 - 2)2 + 2 - 3)2 + 1 3)2}

k =1

3E { o - 0)2 + ( - 0)2 + o – 0)2}

k =2

3E (o)2

Igualando-se as duas equações, obtemos o critério de von Mises:

o =12

[1 - 2)2 + 2 - 3)2 + 1 3)2] 12

Vamos, agora, aplicar o critério para a torção pura:

1 = -3 e 2 = 0

o =12 [1 - )2 + - (-1))2 + 1 (-1))2]

12

o =12 [61)2]

12

1 =13 o = 0,577o

Compare os critérios:

Tração pura Torção puraTresca 1 = o 1 = 0,5 o von Mises 1 = o 1 = 0,577o

Uma comparação gráfica dos dois critérios pode ser feita traçando-se a alinha que representa o limite de escoamento no plano (estado biaxial com 3 = 0)onde o eixo y corresponda a 2\o e o eixo x a 1\º

Para o critério de von Mises teremos:

o =12

[1 - 2)2 + 2 - 3)2 + 1 3)2] 12


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35

Substituindo os valores obtemos:

1o

2

+

2o

2

-1o

2o

= 0

Que é a equação de uma elipse que passa pelos pontos (1,0) (1,1)(0,1) (-1,0) (-1,-1) (0,-1) e esta representada pela linha azul.

Para o critério de Tresca teremos, fazendo uma das tensõesigual a zero:

o = x - y

No primeiro quadrante, como as tensões só podem ser positivas,

x = o ou y = o

Da mesma forma, no terceiro quadrante, as tensões são negativas, podendoocorrer:

x = -o ou y = - o

Figura 20 – Critérios de Tresca e von Mises


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36

No segundo e no quarto quadrantes as tensões são uma positiva e a outranegativa. Nestas circunstancias vale a equação da reta

o = x - y ou o = y – x

RELAÇÕES TENSÃO – DEFORMAÇÃO NO REGIME PLÁSTICO

No regime plástico, as deformações não são proporcionais à tensão, como nocaso do regime elástico. Considere a figura abaixo, que representa o escoamento deum material no ensaio de tração.

Na parte plástica da curva, a inclinação da reta s dependerá do incremento d. seja

a inclinação da reta s . Então:

d = d

Diferenciando a equação em relação ao tempo, teremos:

ddt =

ddt

Ou

o

= o

Em termos de tensoriais, podemos escrever:

s

Figura 21 – Relações no Regime Plástico


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38

o

=1

e

32

o

o

o

=1

e

32 [ ]x

o

+ y o

+ z o

2 + 2 (xy o

2 + x o

2 + x o

2)

e é denominada tensão efetiva, equivalente ou tensão comparada (equivalenteá tensão aplicada na tração pura)

c o

é denominada taxa de deformação equivalente, efetiva ou comparada e pode ser

calculada por:

c o

=23

o

o

Agora, tomando a expressão:

o

o

= o 2 , e substituindo, obtemos:

de onde

dc o

= d 23 e d = 32 dc o

e

Finalmente podemos obter a relação entre a tensão deformação:

dx = d

23x -

y + z3

Então:

dx =32

dc o

e

23x -

y + z3

dx =dc

o

e

x -

y + z2

De modo similar:

dy =dc

o

e

y -x + z

2


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39

dz =dc

o

e

z -

y + x2

dxy =dc

o

e ( )xy dxz =dc

o

e ( )xz dyz =dc

o

e ( )yz

ESTADO DE DEFORMAÇÃO PLANA

A figura a seguir apresenta o ensaio de deformação plana. O corpo estásubmetido à compressão “-p”, ocorrendo o atrito = p, na direção x, na interfaceentre a peça e as ferramentas. O corpo está livre para escoar nas direções x e y.Entretanto, devido à restrição do material ao redor da zona de deformação, o corpoescoa muito pouco (desprezível) na direção y. Isto equivale dizer que y = 0. Comonão há escoamento na direção y, não há movimento relativo do material da peça em

relação ao material das ferramentas e, portanto, não há atrito nesta direção.

y= 0 dy=0

dy =σ

εd

y – x + z

2 = 0

z = -p; x = 0

donde:

y = - p/2

p

-p

p

-p/2

y

zx

-p

-p

-p

Figura 22 – Forjamento em deformação plana


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40

O tensor de tensão fica:

[T] =

0 0 p

0 -p2 0

p 0 -p

I1 = -3p/2

I2 =p2

2 – (p) 2

I3 =p(p)2

2

3 – I1 2 + I2 - I3 = 0

cujas raizes são:

=-p( 1+ 1 + 42)

2

= -p/2

=-p( 1- 1 + 42)

2

fazendo c = 1 + 42

Temos

=-p( 1 + c)

2 ; = -p/2 ; =-p( 1 - c)

2

- ) = -pc/2 - ) = -pa/2

-

) = -pc

Aplicando critério de von Mises para o escoamento, teremos:

=12

[( - 2 + - )2 + - )2]1/2

=3

2 pc

Se não houver atrito, c = 1 e =3

2 p

Lembrando que na tração pura =

x, então


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41

p =23

x = 1,155 x

Ou seja, é necessário um esforço 15,5% maior para deformar um material emdeformação plana do que o necessário para deformar o material por tração pura.

Aplicação das relações tensão deformação no regime elástico

Um anel de contração é aquecido e sobreposto a um inserto conformemostrado na figura 23.

O diâmetro interno do anel de contração antes de ser colocado sobre oinserto é 99,8 mm. O diâmetro externo é 120 mm. O inserto tem um diâmetro de 100mm.

O material do inserto tem as seguintes propriedades: Einserto = 70 GPa e = 0,3

O material do anel tem as seguintes propriedades: Eanel = 200 GPa e = 0,25

Qual o valor da pressão de contato anel-inserto?

A figura a seguir mostra o corte do anel e o equilíbrio das forças atuantes.

100

120

Figura 23 – Anel montado sobre inserto


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42

Para haver o equilíbrio do anel é necessário que:

50.30 c = 2.20.30 t

c = t

A tensão t é trativa e atua no sentido de aumentar o perímetro do anel decontração. A deformação devida ao alongamento é:

t = t / Eanel

t = 3,926 c / 200 .109

t = 1,963 .10 –11 c

As tensões no inserto são como mostradas a seguir:

Figura 24 – Equilíbrio do anel em corte

Figura 25 – Tensões no inserto


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43

Adotando o plano da face do inserto como o plano xy, temos que:

x = y = c z = 0

Aplicando as relações:

x =1

Einserto [ ]x y z)

x =1

70.109 [ ]-c c ) x = - 1,071 10

-11 c

Logo:

x = y

z =1

Einserto [ ]z y x)

z =1

70.109 [ ]0 c c )

z = 7.14 10-12

O círculo de Mohr para a tensão e deformação é o mostrado a seguir

figura 26 – Círculo de Mohr no inserto


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44

Após o resfriamento o diâmetro interno do anel será igual ao diâmetro externodo inserto.

Ranel = Rinserto

Ranel = 49,9 (1 + t)

Ranel = 49,9 (1 + 1,963 .10 –11 c)

Rinserto= 50 (1 + c)Rinserto= 50 (1 - 1,071 10

-11 c )

Então:

49,9 (1 + 1,963 .10 –11 c) = 50 (1 - 1,071 10-11 c )

c = 66 MPa

ENSAIO DE TRAÇÃO

A curva típica do ensaio de tração de um material metálico tem o seguinte aspecto:

Figura 27- Curva obtida no ensaio de tração


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46

=

Lo

Ldxx = ln

L

Lo = ln (e+1)

A figura 28 mostra a comparação entre as curvas tensão-deforrmaçãoverdadeira e de engenharia (convencional).

Como se pode ver na figura, a curva tensão deformação verdadeira é semprecrescente. Esta curva, para muitos metais, pode ser expressa por

= K n (Equação de Holloman)

Onde K é o Coeficiente de Resistência e n e o coeficiente de encruamento

Esta expressão pode ser adaptada para

log = log k + n log

NOTE BEM: Não confundir deformação com redução de diâmetro. Por exemplo,para corpos de seção transversal circular a deformação será:

= ln Ao A = ln

(/4)Do2

(/4)D2 = 2 lnDoD

Figura 28 – Curvas convencional e verdadeira


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47

Que representa a equação de uma reta do tipo Y = B + AX , sendo B = log K e A = n= inclinação da reta

Da figura 29, temos n =d(log )d(log ) =

d(ln )d(ln ) =

d d

dd = n

Instabilidade em tração

Quando se atinge a carga máxima (Limite de Resistência à Tração),geralmente, inicia-se o empescoçamento do corpo de prova. O pescoço é umadeformação localizada. Isto significa que, naquele instante, a diminuição da seçãotransversal do corpo se torna maior que a resistência do material ao carregamentodevido ao encruamento. Esta condição ocorre para dP = 0

Sendo P = A

dP = A d + dA = 0 -dA A =

d

sendodLL = -

dA A = d

Então,dd =

Note que a taxa de encruamento é diferente do coeficiente de encruamento.

dd = ......................... Taxa de encruamento

d d = n ......................Coeficiente de encruamento

Figura 24 – Curva linearizada

Figura 29 – Curva tensão deformação verdadeira linearizada


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48

Sendo = ln (1 + e)

d =de

(1+ e) dd = =

de(1+ e)

dd =

1+ e

O que leva à construção de Considère:

Figura 30 – Determinação do ponto de instabilidade à tração

Figura 31 – Construção de Considère


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49

Na figura a linha que passa pelo ponto e = -1 e tangencia a curva tensãoverdadeira x deformação convencional determina o Limite de Resistência domaterial. O ponto onde a linha corta o eixo das tensões determina a tensão média noLimite de Resistência do material.

Os dados da tabela abaixo foram obtidos para o ensaio de tração de umcorpo de prova de cobre ETP, com comprimento útil de 50 mm e diâmetro de 8mm.

desloca-mento

d [mm]

força

P [N]

Tensãomédia

S [Mpa]

deformação de

engenhariae

deforma-ção

verdadeira

Ärea real

A [mm2]

Tensãoverdadeira

Mpa]0 0 0 0 0 50,2654 03 3400 67,64085 0,0600 0,0583 47,42027 71,69936 4500 89,52466 0,1200 0,1133 44,8799 100,26769 5300 105,4401 0,1800 0,1655 42,59787 124,419412 5800 115,3873 0,2400 0,2151 40,53668 143,080315 6200 123,3451 0,3000 0,2624 38,66576 160,348618 6400 127,324 0,3600 0,3075 36,95991 173,160621 6600 131,3028 0,4200 0,3507 35,39823 186,4524 6700 133,2923 0,4800 0,3920 33,96316 197,272627 6800 135,2817 0,5400 0,4318 32,63992 208,333830 6900 137,2711 0,6000 0,4700 31,41593 219,633833 6900 137,2711 0,6600 0,5068 30,28041 227,870136 6800 135,2817 0,7200 0,5423 29,22412 232,6845

A área inicial do corpo de prova Ao = 50,2654.

e =dLo

= ln (1+ e) A = Ao

1 = e S = P/Ao = P/A

O gráfico a seguir mostra as curvas tensão-deformação verdadeira e convencional. A equação 0,536 foi obtida por regressão estatística empregando-se ométodo dos mínimos quadrados.

A gráfico mostra a construção de Considère.

Exemplo


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50

Todos softwares de planilha de dados executam funções de regressãoestatística. Utilizando o método dos mínimos quadrados temos, para a equação de

Holloman:

= Kn ln () = ln (K) + n ln (), que corresponde à equação da reta

Y = B + AXsendo

Y = ln ()B = ln (K)X = ln ()

a solução pelo método dos Mínimos Quadrados é dada pelo sistema:

Y= cB + A X XY = b X + A X2

onde c é o número de pontos a serem ajustados.

No exemplo anterior, montamos a seguinte tabela

c X = ln () Y = ln () XY X

Apêndice

y = 326,49x0,5361

0

50

100

150

200

250

300

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

138 MPa

2 3 3 M P a


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51

Atrito a seco Lubrificação limítrofe

Lubrifica ão filme es essoLubrificação filme fino

Figura 32 – Tipos de lubrificação

1 -2,84269 4,272481 -12,1453 8,0808672 -2,17746 4,607843 -10,0334 4,7413453 -1,7987 4,823658 -8,6763 3,235314 -1,5366 4,963406 -7,62677 2,3611385 -1,33802 5,07735 -6,7936 1,7903016 -1,17933 5,154219 -6,07853 1,390819

7 -1,04795 5,228163 -5,47884 1,0981938 -0,93639 5,284586 -4,94841 0,8768199 -0,83983 5,339142 -4,48399 0,7053210 -0,75501 5,391962 -4,07101 0,57004711 -0,6796 5,428776 -3,68942 0,46186212 -0,61189 5,449684 -3,33461 0,374411 -15,7435 61,02127 -77,3602 25,68643

o sistema a ser resolvido é:

61,02127 = 12 B -15,7435 A

-77,3602 = -15,7435 B + 25,68643 A

Cuja solução é B = 5,7883 B = ln (K) K = e5,7883 = 326,46

A = 0,536

ATRITO E CONFORMAÇÃO

No decorrer do processo existe o movimento relativo entre o material da peça

que esta sendo formada e as ferramentas. As forças de atrito resultantes destemovimento relativo dependerão da existência ou não de um meio lubrificante nainterface. No caso da existência de um meio lubrificante líquido o atrito dependerada eficiência da lubrificação e da viscosidade do fluido. Se o meio lubrificante forsólido, o atrito dependerá da resistência ao cisalhamento do material lubrificante. Deum modo geral podemos supor quatro modos de lubrificação na conformação:


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O maior valor do atrito ocorrerá quando a tensão de cisalhamento do material maismole atingir o valor da tensão limite de cisalhamento no escoamento.

A pior condição de atrito ocorre para o cisalhamento puro, isto é:

1 = ; 3 = - 2 = 0

Aplicando-se o critério de von Mises, obtemos:

o =12 [1 - 2)2 + 2 - 3)2 + 1 3)2]

12

o =12 [ - )2 + (o - )2 + )2]

12

o =12 [ 2]

12 ==> o = 3

Assim

n =o

3 e

máx =13

= 0,577

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LEVI-MISES

O corpo contido na matriz é submetido a uma tensão de compressão igual a -915 MPa. O corpo é constituído de um material com curva tensão-deformação igual = 1451 0,6. A lubrificação é perfeita, de modo que o atrito é nulo em todas assuperfícies. Queremos determinar as dimensões finais do corpo As dimensões inicias do tarugo são:Lx = 30 Ly = 40 Lz = 30

915 MPa

Punção

Tarug

Figura 33 – Forjamento em deformação plana


54/79

54

Nestas condições:x = 3; y = 1 e z = 2 (não havendo atrito, não há tensões cisalhantes nassuperfícies e portanto as tensões nos eixos x,y,z são as tensões principais)Também, sabe-se que y = 1 = 0 ( está livre para escoar). E, ainda, que z = 0 (omaterial está restrito na direção z).

Então, aplicando as equações de Levy-Mises, obtemos:

dz =dc

o

e

z -

y + x2 = 0

Para

y = 0, obtemos

z =x2

Lembrando que:

e=12

[1 - 2)2 + 2 - 3)2 + 1 3)2] 12

A deformação em cada eixo pode ser calculada da seguinte forma:1 – impõe-se um incremento de no eixo x2 – calcula-se o incremento no eixo z3 – calcula-se a tensão equivalente (tensão no eixo y é zero)4 – com o valor da tensão equivalente vai-se à curva tensão deformação e calcula-

se a deformação equivalente

5 – calcula-se o valor de dee 6 –calculam-se os valores de dex e dez7 – impõe-se um novo incremento de e volta-se ao passo 1, até atingir a tensãoprevista.

A tabela a seguir apresentam os valores calculados passo a passo:

y z x e e dy dz dx y z x 0 -45 -90 77,942 0,0076 0

0 -58 -115 99,593 0,0115 3,87E-05 0,0033 0 -0,0033 0,0033 0 -0,0033

0 -70 -140 121,24 0,016 3,68E-05 0,0039 0 -0,0039 0,0072 0 -0,0072

0 -83 -165 142,89 0,021 3,52E-05 0,0044 0 -0,0044 0,0116 0 -0,0116

0 -95 -190 164,54 0,0266 3,38E-05 0,0048 0 -0,0048 0,0164 0 -0,0164

0 -108 -215 186,2 0,0326 3,26E-05 0,0053 0 -0,0053 0,0216 0 -0,02160 -120 -240 207,85 0,0392 3,16E-05 0,0057 0 -0,0057 0,0273 0 -0,0273

0 -133 -265 229,5 0,0463 3,07E-05 0,0061 0 -0,0061 0,0334 0 -0,0334


55/79

55

0 -145 -290 251,15 0,0538 2,99E-05 0,0065 0 -0,0065 0,0399 0 -0,0399

0 -158 -315 272,8 0,0617 2,91E-05 0,0069 0 -0,0069 0,0468 0 -0,0468

0 -170 -340 294,45 0,0701 2,84E-05 0,0073 0 -0,0073 0,0541 0 -0,0541

0 -183 -365 316,1 0,0789 2,78E-05 0,0076 0 -0,0076 0,0617 0 -0,0617

0 -195 -390 337,75 0,0881 2,73E-05 0,008 0 -0,008 0,0697 0 -0,0697

0 -208 -415 359,4 0,0977 2,67E-05 0,0083 0 -0,0083 0,078 0 -0,078

0 -220 -440 381,05 0,1077 2,63E-05 0,0087 0 -0,0087 0,0866 0 -0,08660 -233 -465 402,7 0,1181 2,58E-05 0,009 0 -0,009 0,0956 0 -0,0956

0 -245 -490 424,35 0,1289 2,54E-05 0,0093 0 -0,0093 0,105 0 -0,105

0 -258 -515 446 0,14 2,5E-05 0,0096 0 -0,0096 0,1146 0 -0,1146

0 -270 -540 467,65 0,1515 2,46E-05 0,01 0 -0,01 0,1246 0 -0,1246

0 -283 -565 489,3 0,1634 2,43E-05 0,0103 0 -0,0103 0,1349 0 -0,1349

0 -295 -590 510,95 0,1756 2,39E-05 0,0106 0 -0,0106 0,1455 0 -0,1455

0 -308 -615 532,61 0,1882 2,36E-05 0,0109 0 -0,0109 0,1563 0 -0,1563

0 -320 -640 554,26 0,2011 2,33E-05 0,0112 0 -0,0112 0,1675 0 -0,1675

0 -333 -665 575,91 0,2144 2,3E-05 0,0115 0 -0,0115 0,179 0 -0,179

0 -345 -690 597,56 0,228 2,28E-05 0,0118 0 -0,0118 0,1908 0 -0,1908

0 -358 -715 619,21 0,2419 2,25E-05 0,0121 0 -0,0121 0,2029 0 -0,2029

0 -370 -740 640,86 0,2561 2,23E-05 0,0123 0 -0,0123 0,2152 0 -0,2152

0 -383 -765 662,51 0,2707 2,2E-05 0,0126 0 -0,0126 0,2278 0 -0,2278

0 -395 -790 684,16 0,2856 2,18E-05 0,0129 0 -0,0129 0,2407 0 -0,2407

0 -408 -815 705,81 0,3009 2,16E-05 0,0132 0 -0,0132 0,2539 0 -0,2539

0 -420 -840 727,46 0,3164 2,14E-05 0,0135 0 -0,0135 0,2674 0 -0,2674

0 -433 -865 749,11 0,3323 2,12E-05 0,0137 0 -0,0137 0,2811 0 -0,2811

0 -445 -890 770,76 0,3484 2,1E-05 0,014 0 -0,014 0,2951 0 -0,2951

0 -458 -915 792,41 0,3649 2,08E-05 0,0143 0 -0,0143 0,3094 0 -0,3094

As dimensões finais se calculam da seguinte forma

x = lnhf ho

hf = ho e x hf = 22,02

z = lnhf ho

hf = ho e z hf = 30

y = lnhf ho

hf = ho e y hf = 54,5

METODOS ANALÍTICOS

MÉTODO DA ENRGIA UNIFORME

O Método da Energia Uniforme não leva em consideração os trabalhos devidoao atrito e devido à mudança de forma.

Trefilação


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56

O trabalho de deformação homogênea por unidade de volume para levar umcorpo desde o diâmetro inicial do até o diâmetro final df é:

WH. = d

Considerando-se s uma tensão constante média de escoamento, teremos

WH. =

_ d

WH. =

_

Como = 2 ln

do

df

WH. = 2

_ ln

do

df O trabalho das forças externas na trefilação é

Wext . =

Ftref . Lf Volf

Volf = Af Lf

Então igualando o trabalho externo ao trabalho de deformação homogênea, obtemosa força de trefilação

Ftref = 2 tref _

ln d

odf

Laminação

Considere a figura a seguir, onde se compara a laminação com o forjamentoentre matrizes planas:

Figura 34 - Laminação


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58/79

58

- h dx - x dh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Da figura, sabe-se que:

dh2dx = tg

dh2 tg = dx

h dx + x dh + 2p tg dh

2 tg + 2pdh

2 tg = 0

h dx + x dh + p dh + p cotg dh = 0

Aplicando o critério de Tresca e admitindo que 1 = x e 3 = -p, temos:

o = x + p p = o - x

h dx + [x + (o - x ) (1 + cotg dh = 0

Fazendo B = cotg , teremos:

h dx + [ -Bx + o (1 + B)]dh = 0

dh2

dx

pp

p

dx

h + d h x+dx x

p

Figura 35 – Trefilação de placas planas


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59

dhh =

dx Bx - o (1 + B)

Bdhh =

dx

x -

o

1 + B

B

na trefilação:

hO= x = 0

hF = x = tref

B

ho

hf

dhh =

0

tref

dx

x - o

1 + B

B

B lnhf ho

= lntref - o

1 + B

B

o

1 + B

B

hf ho

B

=

tref - o

1 + B

B

o

1 + B

B

tref = o

1 + B

B

1 -

hf ho

B

Para obtenção da tensão de trefilação para um corpo cilíndrico devemossimplesmente substituir a altura h pelo raio r, de forma que:

hf ho

r f r o

2

Pois a área de um corpo cilíndrico varia com o raio ao quadrado.

A equação que se obtem é:

tref = o

1 + B

B

1 -

r f

r o

2B


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60

Extrusão

A extrusão se dá de forma semelhante à trefilação. Aproveitamos a mesma figura xx.

Fazendo o somatório das forças na direção x:

Fx = 0

x (hb) - (x + dx )(h + dh)b – 2p sen dx

cos b – 2p cos dx

cos b = 0

Divide-se tudo por b, obtendo:

x (h) - (x + dx )(h + dh) – 2p tg dx – 2p dx = 0

x h - h x - h dx - x dh - dx dh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Considerando-se o produto dx dh = 0 :

- h dx - x dh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Da figura, sabe-se que:

dh2dx = tg

dh2 tg = dx

h dx + x dh + 2p tg dh2 tg + 2p dh2 tg = 0

h dx + x dh + p dh + p cotg dh = 0

Aplicando o critério de tresca e admitindo que 1 = x e 3 = -p, temos:

o = x + p p = o - x

h dx + [x + (o - x ) (1 + cotg dh = 0

dh

2

dx


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61

Fazendo B = cotg , teremos:

h dx + [ -Bx + o (1 + B)]dh = 0

dhh =

dx

Bx - o (1 + B)

Bdhh =

dx

x - o

1 + B

B

na EXTRUSÃO

hF = x = 0

hO = x = EXT

B

ho

hf dhh =

EXT

0

dx x - o

1 + B

B

B lnhf

ho

= lno

1 + B

B

EXT - o 1 + BB

Invertendo ambos os lados da equação:

hohF

B

=EXT - o

1 + B

B

o

1 + B

B

EXT = o

1 + B

B

1 -

hohf

B

Note que desta forma obtemos uma tensão negativa, compatível com oprocesso de extrusão.

Da mesma forma como fizemos para a trefilação de um corpo cilíndrico, atensão de extrusão fica:


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62

EXT = o

1 + B

B

1 -

r or f

2B

Forjamento Livre

A figura apresenta o estado de tensões atuantes para um corpo comprimidoentre duas matrizes planas.

O equilíbrio das forças na direção x por unidade de largura do elemento é:

à esquerda da linha central

x + dx ) h - x h -2 p dx = 0

à direita da linha central

x + dx ) h - x h + 2 p dx = 0

Simplificando, obtemos:

h dx 2 p dx = 0

Para atrito pequeno, podemos considerar – p e x como tensões principais.

Aplicando-se, então, o critério de Tresca:

1 - 3 = o

Assim:

x + p = o

dx + dp = 0

dx = - dpSubstituindo, temos:

h dp 2 p dx = 0

dpp =

2h dx

Integramos:

ln p = 2h x + C ou

p = c e

2h x

Figura 36 - Forjamento de placas planas


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63

As condições de contorno à direita da linha de centro são:

x= b/2 x = 0

Lembrando que x

+ p = o

p =

o = c e-bh

c = o e

bh

Portanto

p = o e2h b2 - x

A distribuição da pressão p é simétrica à linha de centro. A pressão média se dásobre linha ce centro (x=0) e vale:

p = o e

bh

Para valores de m pequenos a pressão média sobre as ferramentas pode ser

escrita:

p = o

1 +b2h

Lembre-se que a expressão pode ser expandida pela série de Taylor

ex = 1 + x +x2

2 +x3

6 + ….. +xn

n!

A figura a seguir mostra distribuição de pressão para diversos valores do atrito epara as seguintes condições:b = 10 unidades

h = 1 unidade

o = 1 unidade


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64

0

2

4

6

8

10

12

14

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Forjamento de Disco Plano

As tensões atuantes no forjamento de um disco plano estão mostradas nafigura 38.

r + dr ) h (r + dr) d - r h r d - 2 h r dr send2 - 2 zr d dr = 0

Que, desprezando as multiplicações de infinitesimais, dividindo tudo por d e

fazendo send

2 = d

se reduz a:

r h r + h r dr - r h r d - h dr - 2 zr dr = 0

Admitindo que r , e p são tensões principais e aplicando o critério deTresca:

r + p = o

Pode-se mostrar que o estado é cilíndrico, isto é: r =

Fazendo zr = p, chega-se a:

– h dp – 2 p dr = 0

Integrando-se:

ln p = 2h r + C ou

Figura 37 – Distribuição da pressão na matriz


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65

p = c e

2h r

Para as condições de contorno r = D/2; r = 0 e p = o (do critério de Tresca):

p = o e

2h

D

2 - r

E desta forma obtivemos uma equação semelhante á obtida para a uma placaplana.

Figura 38 – Equilíbrio das forças no forjamento de um disco plano


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66

Método da Divisão em Elementos – Laminação de placas planas

A figura a seguir exemplifica a laminação de uma placa plana.

Na figura observam-se os seguintes elementos

ho = altura de entrada da placahf = altura de saída da placa laminadaw = largura da placa

Durante a laminação a região de deformação é delimitada pelo arco de

contato entre o cilindro e a placa. A velocidade de redução, considerando o volumeconstate da placa, pode ser expressa da seguinte forma:

WhoVo = whf Vf Vf =Voho

hf

Vo = velocidade de entrada da placaVf = velocidade de saída da placa

Daí se conclui que a velocidade de saída da placa é maior que a velocidadede entrada e, portanto, a velocidade aumenta ao longo da região de contato. No

início da laminação, a velocidade periférica dos rolos é maior que a velocidade deentrada da placa. Surge portanto uma resistência ao movimento no sentido dearrastar a placa para o interior da abertura dos rolos. A velocidade da placa em

Figura 39 – Laminação de placas planas


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67

deformação então cresce até o ponto em que se iguala a velocidade periférica dosrolos. neste ponto não há atrito e o denominamos de ponto neutro por extensão,definimos um plano neutro). Após a este plano, a velocidade da placa é maior que avelocidade periférica dos rolos e o atrito se inverte.

Vamos fazer o equilíbrio das forças em um elemento diferencial dx situado à

direita do plano neutro.

(x + dx) (h + dh) - hx + 2

p

dxcos sen + 2

p

dxcos cos = 0

O equilíbrio à esquerda do plano neutro é obtido da mesma forma, porem como sentido do atrito invertido.

h dx + x dh + 2 p dx tg - 2p dx = 0

Combinando as duas equações, teremos:

Fazendo dh = 2 dx tg

h dx + x dh + p dh ± p dh cotg = 0

d(h x) = -p (1 ± cotg dh

Para condições onde o ângulo é pequeno,

podemos admitir que x e y sejam as tensões principais. Sendo y = -p, aplicamos ocritério de Tresca para o escoamento e obtemos:

x - y = o

x + p = o d(x) = d (o - p)

d(h x) = d(h o – hp) = -p (1 ± cotg dh

A relação entre o ângulo a altura h o raio do cilindro é:

dh = 2 R d sen

d(h o – hp) = -2 p R sen (1 ± cotg d

dd

ho

1 -

p o

= -2 p R sen (1 ± cotg

ho dd 1 - p o

+ 1 - p o

d(ho) d = -2 p R sen (1 ± cotg

h

h + d h

dx


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69/79

69

Substituindo na equação, obtemos:

C =Rhf

E a equação para o lado da saída é:

p o

=

h

hf e+

Do lado da entrada as condições de contorno são:

b h = ho x = 0 Ho = 2Rho

.arctg

Rho

o

Como x + p = o p = o

Substituindo em:

p o

= C

h

R e-

1 = C

ho

R e-

C =

R

ho e

+

E a equação para o lado da saída será:

p o

=

R

ho e

+

h

R e-

p

o =

h

ho e

p o

=

h

hf e+

para a saída

p o

=

h

ho e

para a entrada

Estas equações representam a pressão dos cilindros ao longo do arco de contato

Exemplo:

Seja a laminação de uma chapa plana de um material cuja curva tensãodeformação é: = 300 e0,5. A espessura da chapa na entrada é 6,14 mm e na saídatem 2,50 mm. Os rolos são de aço com raio 150 mm. Determinar a curva de pressãode laminação no rolo.


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71/79

71

rad h h H o

p à direitado planoneutro

p à esquer-da do planoneutro

0,000 0,000 0,000 5,000 0,000 0,206 136,084 136,084 155,9300,654 0,004 0,003 5,003 0,262 0,205 135,895 138,487 152,9741,309 0,009 0,011 5,011 0,523 0,203 135,327 140,696 149,8281,963 0,013 0,026 5,026 0,784 0,201 134,377 142,688 146,5012,618 0,017 0,046 5,046 1,044 0,197 133,041 144,436 142,9963,272 0,022 0,071 5,071 1,303 0,192 131,312 145,904 139,3093,927 0,026 0,103 5,103 1,560 0,185 129,178 147,048 135,4324,581 0,031 0,140 5,140 1,816 0,178 126,628 147,814 131,3535,235 0,035 0,183 5,183 2,069 0,170 123,643 148,140 127,0505,889 0,039 0,231 5,231 2,321 0,161 120,202 147,947 122,4966,543 0,044 0,286 5,286 2,570 0,150 116,275 147,140 117,6547,197 0,048 0,346 5,346 2,816 0,139 111,823 145,601 112,4787,850 0,052 0,411 5,411 3,059 0,127 106,795 143,182 106,9048,504 0,057 0,483 5,483 3,300 0,114 101,121 139,694 100,849

9,157 0,061 0,560 5,560 3,537 0,100 94,703 134,888 94,1999,810 0,065 0,643 5,643 3,771 0,085 87,395 128,417 86,79310,463 0,070 0,731 5,731 4,001 0,069 78,973 119,777 78,38711,116 0,074 0,825 5,825 4,227 0,053 69,057 108,162 68,57511,769 0,079 0,925 5,925 4,450 0,036 56,901 92,076 56,58412,421 0,083 1,031 6,031 4,669 0,018 40,582 67,873 40,45113,073 0,087 1,142 6,142 4,884 0,000 0,000 0,000 0,000

O plano neutro e determinado igualando-se a expressão de p à esquerda e à direita:

p o

=

h

hf e+

=p

o =

h

ho e

h

hf e+

=

h

ho e

h

hf e+

=

h

ho e

ho

hf = e

ln

ho

hf =


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72

Sabendo-se que H = 2Rhf

.arctg

Rhf

Calcula-se o valor de = 0,016295 rad = 0,93364º

Com este valor calculamos Lx = 2,44 mm

A figura 41 mostra a curva da pressão no arco de contato.

MÉTODO DO LIMITE SUPERIOR

O Método do Limite Superior se baseia no teorema do Limite Superior, o qualestabelece que, dentre todos os campos cinematicamente admissíveis existe umque minimiza a expressão:

J* = 2k

v ij. ij

. dV + Si f v* ds - Si Ti v* ds

A energia externa aplicada será menor ou igual à energia interna calculadapela expressão acima.

Trefilação de barras redondas

Tomemos o exemplo da trefilação de uma barra redonda.

PLANO NEUTRO

Figura 41 – Distribuição da pressão nos rolos


73/79


74/79


75/79

75

W. = 2 o vf r r 2 f() ln

r ir f

f() = 1sen2

1 – cos 1 -1112 sen

2 +1 -

1112

1112

ln

1 + 1112

1112 cos + 1 -

1112 sen

2

Trabalho de deformação redundante

Ao longo das superfícies 1 e 2, a energia consumida é:

Ws12 =. ST12 f v* ds = S1 o vs dA + S2 o vs dA =

Ws12 = 4 r f 2 vf o sen2 d

Ws12 = 2 r f 2 vf o [ - sen () cos()] =

Ws12 = 2 r f 2 vf o

sen2 () - cotg ()

Trabalho devido ao atrito:

O atrito ocorre ao longo das superfícies 3 , 4 . Na superfície 3 a energiaconsumida será:

Ws3 =. ST3 f v* ds

Ws3 =

Rf

Ro 2Rsen vi cos ()

Ri

R

2 i dR

Admitindo que i é independente de R, obtemos:

Ws3 = 2 r f 2 vf i cotg ()

Rf

Ro dRR

Ws3 = 2 r f 2 vf i cotg () lnRiRf

A energia consumida na superfície de calibração é:

Ws5 =

.

ST5 f v* ds = 2 Rf

vf c L

Trabalho externo:


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76

J* = Rf 2 vf tref

J* = i = 1

5

Ws i .

Rf 2 vf tref =

= 2 o f() vf Rr 2 lnr ir f + 2 r f 2 vf o

sen2 () - cotg () -

sen2 () - cotg () +

+ 2 r f 2 vf i cotg () lnRiRf

+ 2 r f 2 vf ii cotg () lnRioRif

+ 2 Rf vf c L

Dividindo tudo por Rf 2 vf , obtemos:

tref = 2 o f() ln RiRf + 2 o sen2 () - cotg () + 2 i cotg () ln Ri

Rf + 2 c LRf

Nas superfícies de descontinuidade, e temos cisalhamento puro e, portanto:

o =o

3;

Substituindo, obtemos:

tref = 2 o f() ln

Ri

Rf + 2

o

3;

sen2 () - cotg () + + 2 i cotg () ln

Ri

Rf + 2 c

L

Rf

Para as superfícies cilíndricas, a solução de Sachs para a trefilação é:

= C + o (1 - ln R2)

C = xb + o ln R2

O critério de von Mises para a trefilação é

= xf -

o atrito de Coulomb é dado por;

= = C - o (1 + ln (Ri Rf ))

Substituindo i e ii

tref = 2 o f() lnRiRf

+ 2o

3;

sen2 () - cotg () +

+ 2[C - o(1 + ln (Ri Rf ))] cotg () ln

Ri

Rf + 2cL

Rf

Na zona cilíndrica


77/79

77

c = = (xf - )

portanto, substituindo e rearranjando, obtemos:

tref =

2 f() ln RiRf +

23

sen2 () - cotg () + 2 cotg () (1 - lnRiRf

) lnRiRf

+ 2LRf

1 + 2 LRf

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Gopinathan, V. – Plasticity and its Application in


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78

TENSÃO 1 Componentes da tensão 1

Equilíbrio das Tensões: 2

Tensões principais 4

Direções principais 7

Círculo de Mohr das tensões 10 Tensão de Cisalhamento Máxima 13

Tensões Octaédricas 13

Estados Triplos de Tensão Particulares 14

Tensões Reduzidas 16 Intensidade da Tensão de cisalhamento 17

Elipsóide das tensões 18

DEFORMAÇÕES 18

Componentes da deformação 18 Deformações lineares 18

Deformações cisalhantes 19

Tensor deformação 22

Tensor desvio da DEFORMAÇÃO 22

Deformações PRINCIPAIS 23

Grandes DEFORMAÇÕES 23

Taxa de DEFORMAÇÃO 24 Exemplo 1 – Cálculo de deformações 26

RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 28

Relações no Regime Elástico 29 Princípios da plasticidade 31

Coeficiente de Poisson no Regime Plástico 32

Critérios de Escoamento 32


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Documents

Apostila de Conformação Mecânica