Apostila de Física II - Engenharias - 6ªed - 2012

FSICA II

Eletricidade & Magnetismo

Professor Gilberto de Miranda Lima

6 edio 2012

1

ELETRICIDADE E ELETROMAGNETISMO

CAPTULO 1: CARGA ELTRICA E CAMPO ELTRICO.

1.1. Introduo.

Quando voc arrasta os sapatos ao caminhar sobre um carpete e depois segura uma maaneta metlica, pode sentir uma desagradvel descarga provocada pela eletricidade esttica. Qual a causa desse fenmeno e por que em um dia seco mais fcil ocorrer essa descarga do que em um dia mido? Os tomos que constituem seu corpo so mantidos unidos e no se rompem, embora as partculas que constituem esses tomos geralmente se movam com velocidades elevadas. Por qu? O que ocorre realmente em um circuito eltrico? E, afinal, o que a luz? As respostas a todas essas perguntas tm como base os princpios de um ramo fundamental da fsica conhecido como ELETROMAGNETISMO o estudo das interaes eltricas e magnticas. Estas interaes envolvem partculas que possuem uma grandeza chamada CARGA ELTRICA, uma propriedade da matria to fundamental quanto massa. Comearemos o estudo do eletromagnetismo examinando a natureza da carga eltrica. A carga eltrica quantizada e obedece a um principio de conservao. As interaes entre cargas eltricas que esto em repouso em nosso sistema de referncia, que so conhecidas como interaes ELETROSTTICAS, que mantm unidos os tomos e as molculas que constituem nosso corpo e so responsveis por inmeras aplicaes tecnolgicas.

1.2. Carga Eltrica.

No podemos dizer o que a carga eltrica ; podemos apenas descrever seu comportamento e suas propriedades. No ano de 600 a.C. os gregos descobriram que, atritado com a l, o mbar adquiria a propriedade de atrair outros objetos, ou, em outras palavras adquiria uma carga eltrica. O termo eltrico deriva-se da palavra grega elektron, que significa mbar. Ao arrastar os sapatos em tapete de nilon, voc fica com cargas eltricas; possvel carregar eletricamente um pente atritando-o com o cabelo seco. Cargas eltricas de mesmo sinal se repelem; Lei de DU FAY Unidade: Coulomb (C). Cargas eltricas de sinal contrrio se atraem;

1.3. Carga Eltrica e Estrutura da Matria.

A estrutura dos tomos pode ser descrita com base em trs partculas elementares: o eltron, que possui carga eltrica negativa; o prton, de carga eltrica positiva, e o nutron, que no possui carga eltrica. Prtons e nutrons so constitudos por outras partculas denominadas quarks.

O termo ncleo foi usado para designar a regio central do tomo onde se agrupam os prtons e os nutrons, seu dimetro da ordem de 10-15 m. Os eltrons giram em torno do ncleo central, em uma ou vrias rbitas, a uma distncia de 10-10 m, para fora do ncleo. Se o tomo tivesse o dimetro de alguns quilmetros, seu ncleo teria o tamanho de uma bola de tnis. Os eltrons so mantidos no interior de um tomo pela fora de atrao eltrica entre o ncleo positivo e os eltrons negativos. Os prtons e os nutrons so mantidos estveis no interior de um ncleo atmico em virtude de uma fora de atrao denominada fora nuclear, que supera a fora de repulso eltrica existente entre os prtons.

A carga positiva do prton igual carga negativa do eltron, sua massa cerca de 1840 vezes a do eltron, que foi tomada como unidade. A massa do eltron extremamente pequena, igual a 9,11 x 10-31 kg, e

essencialmente constante para todas as substncias (mp = 1840 x 9,11 x 10-31 mp = 1,67 x 10-27 kg). A carga do eltron a unidade de carga negativa. O seu valor igual a 1,60 x 10-19 Coulombs.

Denomina-se nmero atmico o nmero de eltrons ou de prtons existentes em um tomo neutro de qualquer elemento (tomo neutro aquele em que o nmero de prtons igual ao de eltrons).

Os eltrons da rbita externa de certas substncias, notadamente os metais, podero ser destacados mediante a aplicao de um agente externo, ficando livres para deixar o tomo e unir-se a outro tomo que tenha deficincia de eltrons. Tais eltrons perifricos que emigram de um tomo para outro atravs da massa de um slido so chamadas eltrons livres.

Os eltrons livres de um tomo so destacveis mediante a aplicao de uma presso eltrica. Quando um tomo fica com deficincia de um eltron, imediatamente ele desloca um eltron do tomo adjacente.

2

Nos metais, em geral, e acentuadamente na prata, cobre e alumnio, os eltrons livres so facilmente

destacveis do tomo. Tais substncias so chamadas condutoras. Em outras substncias slidas, notadamente

nos no-metais (vidro, silicone, borracha, etc.), os eltrons so dificilmente destacveis dos seus tomos, essas

substncias so chamadas isolantes.

Os tomos que apresentam um excesso ou deficincia de eltrons so chamados ons: on positivo o

tomo com deficincia de um ou mais eltrons; on negativo o tomo com excesso de um ou mais eltrons. O

tomo tem uma forte tendncia para permanecer neutro: um on positivo atrai eltrons para si, o contrrio

acontecendo com on negativo.

Devemos estar atentos a dois princpios muito importantes. O primeiro o principio da conservao de

carga eltrica, em que a soma algbrica de todas as cargas eltricas existentes em um sistema isolado permanece

sempre constante. Quando atritamos um basto de vidro com seda, ambos inicialmente descarregados, o basto

adquire uma carga eltrica negativa, pois retira eltrons da seda, e a seda adquire uma carga eltrica positiva com o

mesmo mdulo, pois perde a mesma quantidade de eltrons fornecidos para o basto. Portanto a carga eltrica total

do sistema constitudo pelos dois corpos permanece constante. Assim, em qualquer processo no qual um corpo

carregado, a carga eltrica no pode ser criada nem destruda, ela meramente transferida de um corpo a outro. O

segundo principio que o mdulo da carga eltrica do eltron ou do prton uma unidade de carga natural, ou seja,

qualquer quantidade de carga eltrica observada sempre um mltiplo inteiro dessa unidade bsica. Dizemos que a

carga eltrica quantizada. Portanto, a carga eltrica de qualquer corpo macroscpico sempre igual a zero ou a

um mltiplo inteiro (positivo ou negativo) da carga eltrica do eltron

1.4. Natureza da Corrente Eltrica.

De acordo com a teoria eletrnica, a corrente eltrica consiste no movimento de eltrons livres em uma

direo definida em um circuito eltrico. O fluxo de eltrons livres se faz de tomo a tomo, atravs do metal,

permanecendo imveis os tomos em suas posies mdias.

O deslocamento do eltron no sentido do tomo carregado negativamente para o tomo carregado

positivamente, ou do corpo de carga negativa para o que tem carga positiva.

Se ligarmos por um fio condutor dois corpos com cargas eltricas de sinais contrrios, uma corrente eltrica

se estabelece do corpo negativo para o corpo positivo em um curto intervalo de tempo.

A velocidade da corrente eltrica dentro dos condutores da ordem de 30.000 km/s ou 3 x 107 m/s.

1.5. Lei de Coulomb.

Charles Augustin Coulomb (1736-1806) estudou a fora de interao entre cargas eltricas puntiformes em

1784, e concluiu que a fora eltrica entre elas proporcional a 1/r, ou seja, quando a distncia r dobra, a fora de

reduz a 1/4 do seu valor inicial.

A fora eltrica entre dois corpos tambm depende da carga existente em cada corpo, que ser designada

por q ou Q. Assim a intensidade da fora de atrao ou de repulso entre duas cargas puntiformes q1 e q2,

diretamente proporcional ao produto destas cargas. Desse modo, Coulomb estabeleceu uma relao hoje conhecida

como Lei de Coulomb: O mdulo da fora entre duas cargas puntiformes diretamente proporcional ao

produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas.

Em termos matemticos: r

q.q.KF

21 . A constante de proporcionalidade neste caso simbolizada por

K, que no SI, a constante K explicitada da seguinte forma: C

m.N109

4

1K

9

0

, onde 0 (psilon zero)

a permissividade eltrica no vcuo (8,854 x 10-12 C/N.m). Com a escolha da constante K, a Lei de Coulomb

pode ser escrita:

..109

..

4

1 21921

0 r

qqFou

r

qqF

3

Um Coulomb o mdulo da carga eltrica equivalente carga total existente em aproximadamente 6 1018

eltrons. Cerca de 1019 eltrons passam atravs do filamento luminoso de uma lmpada incandescente a cada

segundo. Duas cargas eltricas de 1 C separadas pela distncia de 1 m exerceriam uma fora mtua de 9 109 N

(aproximadamente igual a 1 milho de toneladas)! A carga total existente em uma moeda de cobre de um

centavo de 1,4 105 C. Os valores tpicos de cargas eltricas livres variam entre 10-6 C e 10-9 C. O micro-

Coulomb (1 C = 10-6 C) e o nano-Coulomb (1 C = 10-9 C) so unidades de carga eltrica geralmente usadas

na prtica.

A Lei de Coulomb s poder ser usada para cargas puntiformes no vcuo ou no ar.

Quando duas cargas exercem foras sobre uma terceira carga, a fora total exercida sobre a terceira carga

dada pela soma vetorial das foras que as duas cargas exercem individualmente, a esta propriedade se d o

nome de principio de superposio de foras, e pode ser aplicado para um nmero qualquer de foras.

Exerccios:

1. Duas cargas eltricas positivas esto fixadas a 1 cm uma da outra. Calcular as cargas eltricas sabendo que uma

o dobro da outra e que a intensidade da fora de repulso entre elas de 180 N.

.1022 .101 101 108,1

10 80,1

108,1 10 80,12 109 101 180101

12.109180

..

6

212

6

1

12

110

2

1

2

1

1022

1

94

22

11

2

2921

CoulombsqqqCoulombsqqq

qqm

qq

C

mN

r

qqKF

2. Em dois pontos A e B, no vcuo, distantes 6 cm entre si, so fixadas as cargas q1 = 2C e q2 = - 8C. Determine

a intensidade da resultante das foras eltricas na carga q3 = 1C colocada no segmento AB a 2cm do ponto A. 2. Dados: A C F13 B q1 q3 F23 q2

210-2m 410-2m

| | | |

| | | |

3. A distncia mdia entre um eltron e um prton em um tomo de hidrognio de 5,3 x 10-11 m.

(a) Qual o valor mdio da fora eletrosttica que age entre essas partculas? Resposta: 8,2 x 10-8 N.

(b) Qual a intensidade mdia da fora gravitacional que age entre essas partculas? Resposta: 3,6 x 10-47 N.

Dados: G = 6,67 x 10-11 N.m/kg;

..

r

mmGF

pe

g

| | | |

4. O ncleo de um tomo de ferro tem um raio de 4 x 10-15 m e contm 26 prtons. Que fora repulsiva eletrosttica

age entre dois prtons neste ncleo se esto separados pela distncia de um raio?

Newtons. ,

, ,,

.. 414F

1016

100423F

104

10611061109F

r

qqKF

30

29

215

1919

921

2

2

8

?

?

4

5. Duas cargas puntiformes, q1 = +25C e q2 = -75C esto separadas por uma distncia igual a 3,0 cm. Determine o mdulo, a direo e o sentido: a) da fora eltrica que q1 exerce sobre q2; b) da fora eltrica que q2 exerce sobre q1. Soluo:

a)

4

94

2122

99

2

29

21

21

21109

101069,1

103

10751025.109

..

F

m

CC

C

mNF

r

qqKF

NFF 22111

21 109,110109,1

Visto que as duas cargas tm sinais opostos, a fora de atrao e o sentido q2 para q1.

b) F2-1 = 1,9 x 10-2

N e as duas cargas tm sinais opostos, a fora de atrao e o sentido q1 para q2.

6. Nos vrtices A e B de um tringulo retngulo ABC, situado no vcuo, com ngulo reto no vrtice B, so fixadas as

respectivas cargas puntiformes qA = -1,0C e qB = 0,75C. O ngulo no vrtice A de 60 e os catetos AB e BC

medem, respectivamente, 5 cm e 53 cm. Pede-se:

a) Fazer a figura indicando as foras na carga puntiforme qC = 10C, fixada no vrtice C. b) Calcular a intensidade da fora resultante na carga qC. Resposta: 4,6 N.

7. Nos vrtices de um tringulo equiltero ABC, de lado 1 m, situado no vcuo, so colocadas as respectivas cargas

q1 = -10C, q2 = 10C, q3 = 10C. Faa a figura e calcule a intensidade da resultante das foras eltricas na carga q3.

q1 A 1m 1m F3 FAC B C FBC q2 1m q3

8. Trs cargas eltricas puntiformes e positivas de 5 C cada, ocupam os vrtices de um tringulo retngulo no vcuo, cujos catetos medem 5 cm cada. Calcule a resultante das foras eltricas na carga que ocupa o vrtice do ngulo reto.

5C A 5cm FCB 5C 5C B 5cm C FAB FB

9. A figura a mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas separadas por uma distncia fixa d.

(a) Encontre a intensidade que a fora eltrica age em q1. Suponha que q1 = q2 = 21,3 C e que d = 1,52 m.

(b) Uma terceira carga q3 = 21,3 C trazida e posicionada como mostrado na figura b. Encontre a nova

intensidade da fora eltrica em q1. Resposta: (a) 1,77 N. (b) 3,07 N.

q1 q1 d

(a) d d q3 (b)

q2 q2 d

AC

AC

BC

BC

AC

BC 2 AC BC cos

2 cos 2

8

8

AB CB

AB

CB

B 2

2 28

5

10. Duas cargas puntiformes esto localizadas no lado positivo do eixo 0x de um sistema de coordenadas. A carga

q1 = +1C est localizada a 2,0 cm da origem e a carga q2 = -3C est localizada a 4,0 cm da origem. Qual a

fora total exercida por essas duas cargas sobre uma carga q3 = +5C localizada na origem?

Resposta: F1-3 = 1,12 x 10-4 N; F2-3 = 0,84 x 10-4 N; F3 = - 0,28 x 10-4 N.

1.6. Campo Eltrico e Foras Eltricas.

Um corpo eletrizado capaz de fazer com que os pontos da regio do espao que o circunda fiquem dotados de certa propriedade, a qual denominamos CAMPO ELTRICO.

Qualitativamente, CAMPO ELTRICO a propriedade com que ficam dotados pontos da regio de um espao pela presena de um corpo eletrizado.

A verificao da existncia de campo eltrico num ponto de uma regio do espao feita colocando-se naquele ponto um corpo eletrizado, chamado, CARGA DE PROVA. Se esta carga ficar sujeita a ao de uma fora, de origem eltrica, naquele ponto existe um campo eltrico.

Quantitativamente, o campo eltrico definido por uma grandeza vetorial que se indica por E. Para definir E, consideremos um campo eletrizado com carga Q > 0 produzindo CAMPO ELTRICO e seja q > 0 muito menor do que Q, a carga de prova, como se v na figura abaixo. Como Q e q so de mesmo sinal, a carga q ficar sujeita a ao de uma fora no sentido de repulso, exercida por Q.

E

P (q > 0)

F

Q > 0

r

q.q.

4

1F 21

0 , sendo

04

1K

, teremos:

r

q.Q.KF

. Mas, q

FE

, ento:

22

.1.

.

..

r

QKE

qr

qQKEq

r

qQKE

, onde se v que o mdulo de

E do campo eltrico

E independe da carga de prova q.

A seguir, veja que o sentido do campo eltrico

E o de afastamento da carga Q que o produz se Q > 0, independentemente do sinal da carga de prova q. E E q > 0 F q < 0 F Q > 0 Q > 0

De modo anlogo, se Q < 0, verifica-se que qualquer que seja o sinal de q, o campo

E produzido por Q est orientado no sentido de aproximao de Q. E q > 0 q < 0 F F E Q < 0 Q < 0

Por definio, o vetor campo eltrico E no ponto P onde se coloco a carga de prova : E = F / Q, cuja direo sempre a mesma de F. O sentido de E o mesmo de F se q > 0 e contrrio de F se q < 0. Convm ressaltar que o campo eltrico estabelecido em P pela carga Q independentemente da existncia ou no da carga de prova q nesse ponto. Para mostrar que o campo eltrico uma propriedade do ponto P, no dependendo da carga de prova, suponha as duas cargas Q e q. Assim pela Lei de Coulomb, temos:

6

Da definio decorre que a unidade de

E no Sistema Internacional (SI), : C

N

Coulomb

Newton

qU

FUEU

1.7. Determinao do Campo Eltrico.

Se o campo eltrico num ponto for produzido por diversas cargas eltricas Q1, Q2, ... Qn, o campo eltrico resultante no ponto a soma vetorial dos campos, neste ponto, produzidos por cada carga Q1, Q2, ... Qn,

individualmente. nEEEE

...21 Exerccios: 11. Imagine duas placas horizontais separadas por uma distncia de 1,0cm e conectadas a uma bateria de 100V e considere o mdulo do campo eltrico dado por E = 1,00 x 104 N/C. Suponha que o vetor E seja orientado verticalmente de baixo para cima, como indica a figura abaixo. (a) Calcule a acelerao de um eltron liberado do repouso na placa superior. (b) Calcule a velocidade e a energia cintica do eltron quando ele atinge a placa inferior depois de percorrer 1,0cm. (c) Quanto tempo ele leva para percorrer esta distncia? O eltron possui carga qe = -1,6 x 10-19 C e massa m = 9,11 x 10-31 kg. y 0 x 100 Volts 1,0cm E E E E E F=-qeE E E +

Soluo: (a)

31419

0

1011,9

1000,1.1060,1.. :Ento , .

m

Eqa

m

FaamFamF Y

YYYY

.

1076,110176,01011,9

1060,1 151631

15

s

maa YY

(b) O eltron parte do repouso, ento se pode usar a frmula do movimento com acelerao constante:

./1093,5102,35

1052,31000,1.1076,1.2..2..2

:ento ,10-1,00cm 1,0- y ;0 e 0 :que temos, ..2

612

134152

-2

000

2

0

2

smvv

vvyavyav

myvyyavv

yy

yyyyyy

yyyy

A velocidade de cima para baixo, assim: ./1093,5 6 smvy

.1060,11034,1601067,320.2

1

102,35.1011,9.2

11093,5.1011,9.

2

1..

2

1

191919

12312631

JKJKK

KKvmK

(c)

.1040,31076,1

01093,5.. 9

15

60

00 stta

vvtvvtatavv

y

yy

yyyyyy

12. A distncia entre duas cargas puntiformes q1 = 12C e q2 = -12C igual a 0,10m. Denomina-se dipolo eltrico um conjunto de duas cargas iguais, porm de sinais contrrios. Determine o campo eltrico produzido por q1, o campo eltrico produzido por q2 e o campo eltrico resultante nos pontos a, b e c.

7

y

c EC 13,0cm 13,0cm Eb Ea b q1 + a - q2 4,0cm 6,0cm 4,0cm x

.1031036

108

106

1012.109. :a ponto No 41422

99

2

1

1

1C

NE

r

qKE

a

.108,61016

108

104

1012.109. 42422

99

2

2

2

2C

NE

r

qKE

a

Como E1 e E2 encontram-se sobre o eixo x, as suas componentes no eixo y sero iguais a zero, portanto:

./108,9108,6103 44421 CNEEEE aa

.108,61016

108

104

1012.109. :b ponto No 41422

99

2

1

1

1C

NE

r

qKE

b

.1055,010196

108

1014

1012.109. 42422

99

2

2

2

2C

NE

r

qKE

b

Como E1 e E2 encontram-se sobre o eixo x, as suas componentes no eixo y sero iguais a zero, portanto:

./1025,61055,0108,6 44421 CNEEEE aa

.1039,6

10169

108

1013

1012.109. E :c ponto No 321422

99

221 C

NEE

r

qKE

.1046,213

5.1039,6

13

5

hipotenusa

adjacente cateto cos :mas , cos.1039,6cos.

3

21

3

21

3

121

C

NEEEE

EEE

xxxx

xx

./1092,41046,21046,2 33321 CNEEEE CXXXCX

As componentes em y sero: E1y e E2y , mas, por simetria, E1y igual e contrria a E2y , portanto, a resultante ECY

igual a zero. Ento: ./1092,4 3 CNEC

13. A distncia entre duas cargas puntiformes q1 = 9C e q2 = -9C igual a 0,16m. Denomina-se dipolo eltrico um conjunto de duas cargas iguais, porm de sinais contrrios. Determine o campo eltrico produzido por q1, o campo eltrico produzido por q2 e o campo eltrico resultante nos pontos a, b e c.

8

y c EC 20,0cm 20,0cm Eb Ea b q1 + a - q2 6,0cm 10,0cm 6,0cm x

Respostas: N/C; 100,81 Ec N/C; 102,08 - Eb N/C; 10 3,06 Ea 344

14. Calcule o mdulo do campo eltrico de uma carga puntiforme q = 4 C em um ponto do campo eltrico situado a uma distncia de 2 m da carga. Resposta: .C/N9E 16. Uma pequena esfera de chumbo possui excesso de eltrons com uma carga lquida igual a 3,20 x 10-9 C. Calcule o nmero de eltrons em excesso sobre a esfera. qe = - 1,60 x 10-19 C. Resposta: 2,00 x 1010. 17. Duas pequenas esferas de plstico possuem cargas eltricas positivas. Quando elas esto separadas por uma distncia de 15,0 cm, a fora de repulso entre elas possui mdulo igual a 0,220 N. Qual ser a carga de cada esfera se: a) As cargas das esferas forem iguais? Resposta: 7,42 x 10-7 C. b) A carga de uma esfera for o qudruplo da carga da outra esfera? Resposta: 3,70 x 10-7 C e 1,48 x 10-6 C.

18. Duas cargas puntiformes esto localizadas sobre o eixo y do seguinte modo: a carga q1 = -1,50C, no ponto y =

-0,60m e a carga q2 = +3,20C, na origem (y = 0). Qual a fora resultante (mdulo, direo e sentido) que essas

duas cargas exercem sobre uma terceira carga q3 = +5,00C localizada no ponto y = -0,40m? Resposta: 25,88 x 10-7 N, orientada no sentido y. 18. Qual deve ser a carga (sinal e mdulo) de uma partcula com 1,45 g para que ela permanea em repouso quando colocada em um campo eltrico orientado de cima para baixo cujo mdulo igual a 650 N/C? y F 0 x m = 1,45 x 10-3 kg. E E E E E E P E E = - 650 N/C.

Como a partcula deve permanecer em repouso, deve existir uma fora com o mesmo mdulo ( F = P), mas com o sinal contrrio, anulando assim a fora gravitacional. Assim teremos:

Fora da Gravidade = Peso Fg = P, para que a partcula permanea em repouso F = P. Ento:

N102114P80910451gmP 33 ,,,. , mas P aponta para baixo, no sentido negativo do eixo y, ento P negativo: P = -14,21 x 10-3N. ComoF =P F =-14,21 x 10-3N F = 14,21 x 10-3N.

A frmula do campo eltrico : .,ou 10 ,650N/C-

N10 14,21 3--3

C921qC02190qE

Fq

q

FE

9

19. Um pequeno objeto com uma carga igual a -55C sofre a ao de uma fora de 6,20 x 10-9 N orientada de cima para baixo quando colocado em certo ponto de um campo eltrico. Calcule o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico nesse ponto. Resposta: 0,113 x 10-3 N/C, de baixo para cima.

20. Uma carga puntiforme igual a + 2,00 C est na origem e uma segunda carga puntiforme igual a 5,00 C encontra-se sobre o eixo 0x no ponto x = 0,800 m. Determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico nos

seguintes pontos sobre o eixo 0x: a x = 0,200 m; b x = 1,200 m; c x = - 0,200 m. E1 c E2 q1 = 2,00 x 10-9C a E2 E1 q2 = - 5,00 x 10-9C E2 b E1

x = - 0,200m x = 0 x = 0,200m x = 0,800m x = 1,200m

:ento , :a 21a EEEpontoNo

./,,

. CN450E0400

18

2000

102109

r

qKE 12

99

2

a1

1

1

./,,

. CN125E3600

45

6000

105109

r

qKE 22

99

2

a2

2

2

./CN575E125450EEE a21a

:ento , :b 21b EEEpontoNo

./,,,

. CN512E4401

18

2001

102109

r

qKE 12

99

2

b1

1

1

./,,,

. CN25281E1600

45

4000

105109

r

qKE 22

99

2

b2

2

2

./,,, CN75268E25281512EEE b21b

:ento , :c 12c EEEpontoNo

./,,

. CN450E0400

18

2000

102109

r

qKE 12

99

2

c1

1

1

./,,

. CN45E0001

45

0001

105109

r

qKE 22

99

2

c2

2

2

./CN405E45045EEE b12c

21. Uma carga q1 = 12,0C est na origem; uma segunda carga q2 desconhecida est no ponto x = 3,00m, y = 0; e

uma terceira carga q3 = 16,0C est no ponto x = 5,00m, y = 0. Determine o mdulo e o sinal da carga desconhecida, sabendo que o campo eltrico resultante no ponto x = 8,00m, y = 0 possui mdulo igual a 12,0 N/C e

aponta no sentido +x. Resposta: q2 = +73,1C.

22. Quantos eltrons teriam que ser retirados de uma moeda para deix-la com uma carga de +1 x 10-7 C? Sendo qe

= 1,60 x 10-19 C. Resposta: n = 6,25 x 1011 eltrons.

CAPTULO 2: LEI DE GAUSS.

2.1. Introduo.

A Lei de Gauss relaciona a carga total existente no interior de uma superfcie com o campo eltrico de todos os pontos sobre a superfcie. 2.2. Carga Eltrica e Fluxo Eltrico.

Todo campo eltrico constitudo por um movimento contnuo de energia, a esse movimento damos o nome de fluxo eltrico. Verificamos que o campo eltrico aponta para fora ou sai das cargas positivas e aponta para dentro ou entra nas cargas negativas.

Quando aplicamos estes conceitos atravs da Lei de Gauss, temos uma constatao idntica para a anlise do fluxo eltrico, ou seja, podemos dizer que:

10

a) Quando no interior de uma superfcie existe uma carga positiva, o fluxo eltrico (E) orienta-se para fora da superfcie;

b) Quando no interior da superfcie existe uma carga negativa, o fluxo eltrico (E) orienta-se para dentro da superfcie.

c) Quando no interior de uma superfcie existe uma carga igual zero, no existe nenhum fluxo eltrico

(E) na superfcie; d) Quando no interior de uma superfcie existe uma carga positiva e uma carga negativa, com o mesmo

mdulo, teremos que a carga lquida igual zero dentro da superfcie. Existe um campo eltrico, porm o fluxo para dentro em uma das metades da superfcie igual ao fluxo para fora na outra

metade da superfcie. Logo, o fluxo eltrico (E) lquido atravs da superfcie igual zero. Resumindo temos a formulao qualitativa aproximada da Lei de Gauss:

O fluxo eltrico (E) lquido atravs de uma superfcie fechada diretamente proporcional carga lquida existente no interior dessa superfcie.

2.3. Determinao do Fluxo Eltrico.

Para uma superfcie plana, perpendicular ao campo

eltrico uniforme E, o fluxo eltrico E dado por:

E = E A

E

A

Quando a rea plana, mas no perpendicular

a E, ento um nmero menor de linhas passa atravs

N dela. Assim a frmula do fluxo eltrico passa para:

E = E A cos

E

A A

23. Um disco com raio igual a 0,10 m est orientado de modo que o seu vetor normal N forme um ngulo de 30

com um campo eltrico uniforme E de mdulo igual a 2,0 x 10 N/C.

a) Qual o fluxo eltrico atravs do disco? Resposta: E = 54,40 N.m/C.

b) Qual o fluxo eltrico atravs do disco depois que ele gira e passa a ocupar uma posio perpendicular ao

campo eltrico uniforme E? Resposta: E = 0,00. c) Qual o fluxo eltrico atravs do disco quando sua normal paralela ao campo eltrico uniforme E?

Resposta: E = 62,8 N.m/C.

r = 0,10m N 30 E

11

24. Uma carga puntiforme positiva q = 3,0 C est circundada por uma esfera de raio igual a 0,20 m centralizada

sobre a carga. Calcule o fluxo eltrico atravs da esfera produzido por essa carga.

Resposta: E = 3,40 x 105 N.m/C.

E

r

+q

2.4. Lei de Gauss.

A Lei de Gauss uma alternativa Lei de Coulomb para expressar a relao entre a carga eltrica e o campo eltrico. Ela relaciona a carga total existente no interior da superfcie com o campo eltrico de todos os pontos sobre a superfcie. Se imaginarmos uma carga eltrica q dentro de uma superfcie esfrica de raio R. O mdulo do campo eltrico E em qualquer ponto sobre a superfcie ser dado por:

2

9

R

q109E

O fluxo eltrico o produto do mdulo do campo eltrico E pela rea A = 4..R da superfcie da esfera.

0

E2

9

E

qR4

R

q109AE

Portanto o fluxo eltrico independe do raio R da esfera. Ele depende apenas da carga q existente no interior da esfera. Com base no que estudamos at agora, podemos enunciar a Lei de Gauss: O fluxo eltrico total atravs de qualquer superfcie fechada igual carga eltrica total (lquida) existente

no interior da superfcie dividida por 0.

Resumindo: 0

eE

Q

int

2.5. Aplicaes da Lei de Gauss.

Blindagem Eletrosttica suponha que voc queira proteger um instrumento eletrnico muito sensvel da ao de campos eltricos externos (ocasionais) que poderiam ocasionar erros de leitura do instrumento. Voc deve colocar o instrumento no interior de uma caixa condutora ou ento forrar as paredes, o piso e o teto com um material condutor tal como uma folha de cobre. O campo eltrico externo (ocasional) se acumula na superfcie condutora da caixa ou do revestimento de cobre das paredes, do piso e do teto, proporcionando o acmulo de cargas negativas em uma superfcie condutora (interna ou externa) e o acmulo de cargas positivas na superfcie condutora oposta (interna ou externa), fazendo com que o campo eltrico resultante no interior da caixa ou revestimento seja zero. Este dispositivo conhecido como gaiola de Faraday. O interior de um automvel o lugar mais seguro para voc ficar quando ocorre uma tempestade com raios. Caso um raio atinja o automvel, as cargas tendem a se redistribuir sobre a superfcie metlica do veculo, e quase nenhum campo eltrico atinge o interior, onde os ocupantes esto sentados.

2.6. Campo Eltrico na Superfcie de um Condutor. 0

E

Sendo que a densidade de carga superficial do condutor nas vizinhanas do ponto que estar sendo analisado.

E obtido atravs da frmula: R4

q

Unidade de

m

C

adometroquadr

Coulombs

25. A Terra possui uma carga eltrica lquida. O campo eltrico resultante nas proximidades da superfcie da Terra pode ser medido utilizando-se um instrumento eletrnico sensvel; seu valor mdio aproximadamente igual a 150

N/C e est orientado para o centro da Terra. Dados: Raio da Terra = 6,38 x 106 m; 0 = 8,85 x 10-12 C/N.m a) Qual a densidade de carga superficial correspondente?

Como o camp eltrico E aponta de cima para baixo, temos que E negativo. 8 8

12

b) Qual a carga total na superfcie da Terra?

.,),()(

),(C10806q

109

10740150q

10386

q109150

R

q109E 5Terra9

12

Terra26

Terra9

2

9

26. Uma folha de papel plana com rea igual a 0,250 m orientada de tal modo que a normal ao plano forma um ngulo de 60 com a direo de um campo eltrico uniforme de mdulo igual a 14 N/C. calcule o mdulo do fluxo

eltrico atravs da folha. Resposta: E = 1,75 N.m/C.

27. Uma superfcie fechada contm uma carga lquida igual a -3,60 C. (a) Qual o fluxo eltrico total atravs da superfcie? (b) O fluxo eltrico atravs de uma superfcie fechada igual a 780 N.m/C. Qual a quantidade de

carga existente no interior da superfcie? Resposta: (a) E = -4,07 x 105 N.m/C; (b) qint = 6,90 x 10-9 C.

28. Uma carga puntiforme igual a 9,60 C est no centro de um cubo cuja aresta possui um comprimento de 0,500

m. Qual o fluxo eltrico atravs de cada uma das seis faces do cubo? Resposta: E = 1,085 x 106 N.m/C. O que mudaria na sua resposta da letra a se a aresta do cubo tivesse um comprimento de 0,250 m? Por qu?

Resposta: Nada.

29. Em uma aula de fsica experimental, uma carga igual a -0,180 C colocada na esfera do topo de um gerador Van de Graaff. Qual deve ser a distncia entre voc e o centro da esfera para que o campo eltrico no supere o

valor recomendado de 614 N/C? Dado: 0 = 8,85 x 10-12 C/N.m Resposta: r = 1,62 m.

30. Qual o excesso de eltrons que deve ser adicionado a um condutor esfrico isolado com dimetro de 32,0 cm para produzir um campo eltrico de 1150 N/C em um ponto quase sobre a superfcie externa da esfera?

2

2 8

8 8 8 2

2

2 o s

CAPTULO 3: POTENCIAL ELTRICO.

3.1. Introduo.

Toda vez que voc liga uma lmpada, ouve um CD ou usa um aparelho eletrodomstico, est utilizando a

energia eltrica, um ingrediente indispensvel em nossa sociedade tecnolgica.

Quando uma partcula carregada se desloca em um campo eltrico, o campo exerce uma fora que realiza

um trabalho sobre a partcula. Esse trabalho realizado pode ser sempre expresso em termos de energia potencial

eltrica. Descreveremos a energia potencial eltrica usando um conceito novo chamado de potencial eltrico ou

simplesmente potencial. Nos circuitos, a diferena de potencial entre dois pontos geralmente chamada de

tenso.

3.2. Energia Potencial Eltrica.

Quando uma partcula se move de um ponto no qual a energia potencial Ua at um ponto onde a energia

potencial Ub, a variao da energia potencial U = Ua - Ub, o trabalho realizado pela fora entre a e b (Wa b)

dado por: UUUW baba Trabalho realizado por uma fora conservativa.

bbaaUKUK Conservao de Energia [energia cintica (K) + energia potencial (U)].

3.3. Energia Potencial Eltrica entre Duas Cargas Puntiformes.

r

qq109U 09

Energia potencial eltrica de duas cargas puntiformes q e q0. Unidade (U) = Joule.

13

31. O psitron (a anti-partcula do eltron) possui massa igual a 9,11 x 10-31 kg e carga e = 1,60 x 10-19 C. Suponha que um psitron esteja se movendo nas vizinhanas de uma partcula alfa, que possui carga 2e = 3,20 x 10-19 C. A partcula alfa possui massa aproximadamente 7000 vezes maior do que a massa do psitron. Quando a distncia entre a partcula alfa e o psitron igual a 1,00 x 10-10 m, ele se afasta da partcula alfa com uma velocidade igual a 3,00 x 106 m/s. a) Qual a velocidade do psitron quando ele est a uma distncia de 2,00 x 10-10 m da partcula alfa? b) Qual a velocidade do psitron quando ele est a uma distncia muito grande da partcula alfa? c) Qual seria a alterao da situao, supondo que a partcula que se desloca fosse, em vez do psitron, um eltron (de mesma massa do psitron, mas de carga contrria)? Soluo: a) A fora eltrica conservativa, de modo que a energia mecnica (energia cintica + energia potencial) se conserva. Logo, as energias cinticas e potenciais no ponto inicial e no ponto final Ka, Kb,

Ua e Ub so relacionadas pela equao .UKUK bbaa Desejamos encontrar a velocidade final vb

do psitron. Ela aparece na expresso da energia cintica final,

Explicitando Kb da

equao da conservao da energia, obtemos: .UUKK baab

Os valores das energias indicadas no membro direto dessa relao so dados por:

(

)

2

(

)

2

2 2

Logo, a energia cintica final Kb : baab UUKK

2

Como Kb =

, a velocidade do psitron :

8

A fora repulsiva, de modo que o psitron acelerado medida que ele se afasta da partcula alfa.

b) Quando a posio final do psitron for muito afastada da partcula alfa, a distncia rb tender ao

infinito e a energia potencial Ub tender a zero. Ento, a energia cintica final do psitron ser:

8

Como Kb =

, a velocidade do psitron :

Comparando essa resposta com o resultado do item (a), vemos que, quando o psitron se afasta

partindo da distncia r =2,00 10-10m at o infinito, o trabalho realizado sobre ele pelo campo eltrico da partcula alfa faz a velocidade aumentar apenas 16%. Esse comportamento decorre do fato de a fora

diminuir rapidamente com a distncia.

c) Quando a carga que se move negativa, a fora que atua sobre ela de atrao e no de repulso, e

devemos esperar que, em vez de acelerar, a velocidade diminua. A nica diferena nos clculos

anteriores que as energias potenciais envolvidas so negativas. Para o item (a), considerando uma

distncia rb =2,00 10-10

m, temos:

2

2

2

2

14

Para o item (b, considerando uma distncia rb =, obtemos para a energia cintica do eltron:

Porm uma energia cintica nunca pode ser negativa! A partir deste resultado, podemos concluir

que o eltron nunca poder atingir a distncia rb =; uma fora de atrao obriga o eltron a diminuir sua velocidade at que ele pra momentaneamente quando atinge uma distncia finita da partcula alfa.

Em seguida, o eltron inverte o sentido do movimento e se aproxima da partcula alfa.

3.4. Energia Potencial Eltrica com Diversas Cargas Puntiformes.

...

13

31

23

32

12

219

r

qq

r

qq

r

qq109U

Podemos representar qualquer distribuio de cargas como um conjunto de cargas puntiformes. Portanto, a equao acima mostra que sempre possvel encontrar uma funo energia potencial para qualquer Campo Eltrico Esttico. A partir disso, podemos concluir que qualquer campo eltrico produzido por uma distribuio de cargas estticas d origem a uma fora conservativa.

3.5. Interpretao da Energia Potencial Eltrica.

Quando uma partcula se desloca de um ponto a at um ponto b, o trabalho realizado sobre ela pelo campo

eltrico Wa b = Ua Ub. Portanto, a diferena de energia potencial Ua Ub igual ao trabalho realizado pela fora eltrica quando a partcula se move de a at b. Quando Ua maior do que Ub, o campo eltrico realiza um trabalho positivo quando a partcula cai de um ponto com energia potencial mais elevada (a) at um ponto com energia potencial mais baixa (b).

3.6. Potencial Eltrico (V).

a energia potencial por unidade de carga.

0q

UV ou V.qU 0 r

q109V

q

UV 9

0

Potencial de uma carga puntiforme.

Unidade (V) = Volt.

32. Um dipolo eltrico constitudo por duas cargas puntiformes q1 = +12C e q2 = -12C sendo a distncia entre elas igual a 10cm. Calcule os potenciais nos pontos a, b e c somando os potenciais produzidos pelas cargas individuais como na equao abaixo.

c 13,0cm 13,0cm b q1 + a - q2 4,0cm 6,0cm 4,0cm x

Usando a frmula: i i

i

r

qV 9109 , teremos no ponto a, o potencial produzido pela carga positiva q1 :

8

8

O potencial produzido pela carga q2 :

2

8 2

Para 3 cargas puntiformes q1 , q2 e q3.

Dados:

q1 = +12C = + 12 10-9 C

q2 = -12C = - 12 10-9 C

r = 10 cm = 10 10-2 m

15

Fazendo as mesmas consideraes para o ponto b, teremos:

2


2 2

Repetindo os clculos para o ponto c, teremos:

8


8

8 8

33. Calcule a energia potencial associada com uma carga puntiforme de +4C quando ela colocada nos pontos a, b e c, indicados na figura do exerccio anterior.

2 2

34. Na figura abaixo, uma partcula de poeira de massa m = 5,0 x 10-9 kg e carga q0 = 2C parte do repouso no ponto a e se desloca em linha reta at o ponto b. Qual a sua velocidade v no ponto b? Resp.: v = 46,5 m/s.

3,0C a 2,0C b - 3,0C q1 q2

1,0 cm 1,0 cm 1,0 cm

35. Uma carga puntiforme q1 = + 2,40 C mantida em repouso na origem (x = 0, y = 0). Uma segunda carga

puntiforme q2 = - 4,30 C se desloca do ponto x = 0,150 m, y = 0 at o ponto x = 0,250 m, y = 0,250 m. Qual o

trabalho realizado pela pela fora eltrica sobre a carga q2? Resposta: Wa b = - 0,357 J.

36. Uma pequena esfera metlica com uma carga lquida q1 = - 2,80 C mantida em repouso por suportes

isolantes. Uma segunda esfera metlica com uma carga lquida q2 = - 7,80 C e massa igual a 1,50 g projetada contra q1. Quando a distncia entre as duas esferas igual a 0,800 m, q2 se aproxima de q1 com velocidade de 22 m/s (figura abaixo). Suponha que as duas cargas possam ser tratadas como cargas puntiformes. Despreze a gravidade. a) Qual a velocidade da carga q2 quando a distncia entre as duas esferas de 0,400 m? Resposta: v2b = 12,54 m/s. b) Qual ser a menor distncia entre q2 e q1? Resposta: rbmn = 0,323 m. v = 22 m/s q2 q1 0,800 m

37. Uma carga puntiforme Q = + 4,60 C mantida em repouso na origem. Uma segunda carga puntiforme q = +

1,20 C com massa igual a 2,80 x 10-4 kg colocada sobre o eixo 0x, a uma distncia de 0,250 m da origem. Qual a energia potencial U das duas cargas? Resposta: U = 0,199J. A segunda carga puntiforme liberada do repouso. Qual a sua velocidade quando sua distncia da origem : (a) x1 = 0,50 m? Resposta: vq1 = 26,6 m/s. (b) x2 = 5,00 m? Resposta: vq2 = 36,8 m/s. (c) x3 = 50,0 m? Resposta: vq3 = 37,6 m/s.

16

38. Uma carga puntiforme q1 = 4,00 C mantida em repouso na origem e uma segunda carga puntiforme q2 = -

3,00 C colocada sobre o eixo 0x no ponto x = +20,0cm. Uma terceira carga puntiforme q3 = 2,00 C deve ser colocada sobre o eixo 0x entre q1 e q2. Qual ser a energia potencial do sistema quando a carga q3 for colocada no ponto x = +10,0cm? Resposta: U = -3,60 x 10-7J.

39. Uma carga igual a +28,0 C est em um campo eltrico uniforme orientado verticalmente de baixo para cima e que possui mdulo igual a 4,00 x 104 V/m. Qual o trabalho realizado pela fora eltrica quando a carga se desloca: (a) 0,450m para a direita? Resposta: W = 0.

(b) 0,670m de baixo para cima? Resposta: W = 0,75 10-4 J. (c) 2,60m formando um ngulo de 45 com a vertical de cima para baixo? Resposta: W= - 2,06 10-3 J.

40. Uma partcula puntiforme possui carga 2,50 x 10-11C. A que distncia da carga o potencial eltrico : (a) 90 V? Resposta: d = 2,50 x 10-3 m. (b) 30 V? Resposta: d = 7,50 x 10-3 m.

41. Duas cargas puntiformes q1 = +2,40 C e q2 = -6,50 C, esto separadas por uma distncia igual a 0,100 m. O ponto A est localizado na metade da distncia entre as duas cargas; O ponto B est localizado a uma distncia de 0,080 m da carga q1 e a 0,060 m da carga q2 (figura abaixo). Calcule: O potencial no ponto A. Resposta: VA = -738V. O potencial no ponto B. Resposta: VA = -705V.

O trabalho realizado para deslocar uma carga de 2,50 C do ponto B at o ponto A. Resposta: WB A = 82,5 x 10-9 J. B 0,080m 0,060m

+q1 0,050m A 0,050m - q2

CAPTULO 4: CAPACITNCIA E DIELTRICOS.

4.1. Introduo.

Quando voc puxa a flecha para trs, encurvando um arco, est armazenando energia mecnica sob a forma de energia potencial. Um capacitor dispositivo que armazena energia potencial eltrica e carga eltrica. Para fazer um capacitor, basta colocar um isolante entre dois condutores. Para armazenar energia nesse dispositivo, transfira carga de um condutor para o outro de modo que um deles fique com carga negativa e o outro com carga igual, mas de sinal positivo. necessrio realizar um trabalho para deslocar essas cargas at que se estabelea uma diferena de potencial resultante entre os condutores, e o trabalho realizado armazenado sob a forma de energia potencial eltrica. Em um capacitor, a razo entre a carga acumulada em cada condutor e a diferena de potencial entre os condutores uma constante chamada de capacitncia. A capacitncia depende das dimenses, das formas dos condutores e do material (caso haja) existente entre eles. A capacitncia torna-se maior quando h um material isolante (ou dieltrico) entre os condutores.

4.2. Capacitncia e Capacitores.

Um capacitor um sistema constitudo por dois condutores separados por um isolante (ou imersos em vcuo). Inicialmente cada condutor possui carga lquida igual a zero e h transferncia de eltrons de um condutor

para o outro dizemos que o capacitor est sendo carregado. No equilbrio, os dois condutores possuem cargas de mesmo mdulo, mas de sinais contrrios e a carga lquida no capacitor como um todo permanece igual zero. Representamos por Q a carga armazenada em um capacitor e, por +Q o condutor que estiver com um potencial mais elevado e por Q o condutor com potencial mais baixo. Um capacitor pode ser representado por qualquer um dos seguintes smbolos:

a b a b

Nestes smbolos, as linhas verticais (retas ou curvas) representam os condutores, e as linhas horizontais representam fios conectados aos condutores. O campo eltrico em qualquer ponto na regio entre os condutores

17

proporcional ao mdulo Q da carga em cada condutor. A partir disso, podemos concluir que a diferena de potencial fixa Vab entre os condutores tambm proporcional a Q.

abV

QC

Equao 4.1

Quanto maior for capacitncia C de um capacitor, maior ser o mdulo de Q da carga em cada condutor para uma diferena de potencial Vab e, portanto, maior a energia armazenada.

Resumindo, a capacitncia a medida da capacidade de armazenar energia de um dado capacitor.

4.3. Clculo da Capacitncia: Capacitores de Placas Paralelas no Vcuo.

Podemos calcular a capacitncia C de um dado capacitor determinando a diferena de potencial Vab entre os condutores para um dado mdulo de carga Q e a seguir usando a Equao 4.1. Para um capacitor de placas paralelas, teremos o campo eltrico E calculado pela frmula:

A

QE

00 .

A

dQdEV

0

ab.

..

Sendo 0 = 8,85 x 10-12 F/m.

d

A.

V

QC 0

ab

Um Farad uma capacitncia muito grande, por isso usamos unidades prticas, que so o microFarad

(1 F = 10-6 F) e o picoFarad (1 pF = 10-12 F). Para qualquer capacitor no vcuo, a capacitncia C depende somente das formas, das dimenses e da distncia entre os condutores que constituem o capacitor.

42. Um capacitor com placas paralelas possui capacitncia igual a 1,0 F. Se a distncia entre as placas for igual a 1,0mm, qual ser a rea de cada placa?

.,

/,

,, 2812

3

0

0 m1011AmF10858

m1001F01dCA

d

AC

43. A distncia entre as placas de um capacitor com placas paralelas igual a 5,00mm e a rea da placa de 2,00 mm. Uma diferena de potencial de 10.000V (10kV) mantida atravs do capacitor. Calcule: a) A capacitncia. Resposta: C = 3,54 x 10-15F. b) A carga de cada placa: Resposta: Q = 3,54 x 10-11 C. c) O mdulo do campo eltrico no espao entre as placas: Resposta: E = 2,00 x 106 V/m.

d

AC 0 ab

ab

VCQV

QC

A

QE

00

d

VEdEV abab

4.4. Clculo da Capacitncia Capacitores Esfricos no Vcuo.

O campo eltrico entre as esferas precisamente dado pela carga sobre a superfcie interna, a superfcie externa no contribui para este campo. O valor do campo eltrico E ser obtido pela frmula:

r4

QE

0

J a sua capacitncia C ser obtida pela frmula:

ab

ba0

ab rr

rr4

V

QC

A capacitncia C do capacitor obtida atravs da frmula: A unidade SI de capacitncia o Farad (F). 1 F = 1 farad = 1 C / V = 1 Coulomb / Volt.

A diferena de potencial (voltagem) entre as placas dada por:

A capacitncia de um capacitor de placas paralelas no vcuo ser dada por:

18

44. Duas cascas esfricas condutoras concntricas esto separadas pelo vcuo. A casca esfrica interna possui carga total +Q e raio externo ra = 9,5 cm e a casca esfrica externa possui carga Q e raio interno rb = 10,5 cm. Calcule a capacitncia C desse capacitor esfrico.

ab

ba0

rr

rr4C

Resposta: C = 1,1 x 10-10 F ou C = 110 pF.

4.5. Capacitores em Srie e em Paralelo.

4.5.1. Capacitores em Srie.

Em uma ligao de capacitores em srie, o mdulo da carga em todas as placas sempre o mesmo.

a C1 Vac = V1 Vab = V c C2 Vcb = V2 b

1

1acC

QVV ;

2

2cbC

QVV ;

21

21abC

1

C

1QVVVV

Capacitor Equivalente (Ceq): o capacitor que sozinho equivale a todos os capacitores ligados no circuito.

...321eq C

1

C

1

C

1

C

1

O inverso da capacitncia equivalente de uma associao de capacitores conectados em srie igual soma dos inversos das capacitncias de cada capacitor. Em uma ligao de capacitores em srie, a capacitncia equivalente sempre menor do que qualquer uma das capacitncias individuais.

4.5.2. Capacitores em Paralelo.

Em uma ligao em paralelo a diferena de potencial a mesma atravs de todos os capacitores.

a Vab = V C1 Q1 C2 Q2 b

VCQ 11 VCQ 22 ... 321eq CCCC

A capacitncia equivalente de uma combinao de capacitores ligados em paralelo igual a soma das capacitncias individuais.

45. Considere nas figuras abaixo, C1 = 6,0 F, C2 = 3,0 F e Vab = 18 V. Encontre o capacitor (capacitncia) equivalente e calcule a carga e a diferena de potencial para cada capacitor quando os capacitores so conectados: a) Em srie: a C1 Vac = V1 Vab = V c C2 Vcb = V2 b

21eq C

1

C

1

C

1 VCQ eq

1

1acC

QVV

2

2cbC

QVV cbacab VVV

Respostas: Ceq = 2,0 F; Q = 36 C; Vac = 6,0 V; Vcb = 12,0 V.

Para capacitores ligados em srie:

Para capacitores ligados em paralelo:

19

b) Em paralelo: a Vab = V C1 Q1 C2 Q2 b

46. Calcule o capacitor (capacitncia) equivalente da combinao de capacitores da figura abaixo:

a Resposta: Ceq = 6,0 F C3 12F C1 3F C2 11F C4 6F

C5 9F b 4.6. Armazenamento de Energia em Capacitores.

A funo mais importante dos capacitores armazenar energia. A energia potencial eltrica, armazenada em um capacitor carregado exatamente igual ao trabalho realizado para carreg-lo, ou seja, o trabalho necessrio para separar cargas opostas e deposit-las em diferentes condutores. A energia potencial de um capacitor ser:

2

VQ

2

VC

C2

QU

2

4.7. Energia do Campo Eltrico.

Podemos carregar um capacitor transferindo diretamente eltrons de uma placa para outra. A energia estar armazenada no campo na regio entre as placas. Vamos calcular a energia por unidade de volume no espao entre as placas de um capacitor de placas paralelas com rea A e separadas de uma distncia d. Essa grandeza denomina-se densidade de energia, designada pela letra u.

2

0 E2

1u

47. Na figura abaixo, carregamos um capacitor de carga C1 = 8,0 F conectando a uma fonte de energia potencial V0 = 120 V. A chave S est inicialmente aberta. Depois de carregar C1, a fonte da diferena de potencial desconectada. a) Qual a carga Q0 sobre C1 quando a chave S mantida aberta?

b) Qual a energia armazenada em C1 quando a chave S mantida aberta?

c) O capacitor C2 = 4,0 F est inicialmente descarregado. Depois de fechar a chave S, qual a diferena de potencial atravs de cada capacitor e qual a carga de cada capacitor? d) Qual a energia total do sistema depois de fecharmos chave S?

Q0

C1 = 8,0F V0 = 120V C2 = 4,0F S

010 VCQ 00inicial VQ2

1U

21

0

CC

QV

; VQ2

1U 0final 210 QQQ .

Respostas: a) Q0 = 960C; b) Uinicial = 0,058 J; c) Q1 = 640C; Q2 = 320C; d) Ufinal = 0,038 J.

48. Suponha que voc queira armazenar 1,00 J de energia potencial eltrica em um volume de 1,00 m no vcuo. Qual o mdulo do campo eltrico necessrio? Caso o mdulo do campo eltrico fosse dez vezes maior, qual seria a quantidade de energia armazenada por metro cbico?

2

0 E2

1u Resposta: E = 4,75 105 V/m.

Energia potencial eltrica acumulada em um capacitor.

Densidade de Energia eltrica no vcuo em um capacitor.

Respostas:

Ceq = 9,0 F; Q1 = 108 C; Q2 = 54 C.

20

4.8. Dieltricos.

Quase todos os capacitores possuem entre suas placas condutoras um material isolante, ou dieltrico. Colocar um dieltrico entre as placas possui trs objetivos: 1 - Resolver o problema mecnico de manter duas placas metlicas grandes separadas por uma distncia muito pequena sem que ocorra contato entre elas; 2 - Aumentar a diferena de potencial mxima entre as placas, porque qualquer material isolante, quando submetido a um campo eltrico suficientemente elevado, sofre uma ruptura dieltrica, uma ionizao parcial que permite a conduo atravs dele. Assim o capacitor pode acumular maior quantidade de carga e de energia; 3 - Proporcionar uma maior capacitncia do que o mesmo capacitor com vcuo entre as placas.

0C

CK

K

VV 0

4.9. Carga Induzida e Polarizao.

Quando um material dieltrico inserido entre as placas, enquanto a carga mantida constante, a diferena de potencial entre as placas diminui de um fator K. Portanto, o campo eltrico entre as placas deve diminuir do mesmo fator. Sendo E0 o valor no vcuo, quando o dieltrico est presente o valor igual a E, ento:

K

EE 0

K

11i

0K

E

d

A

d

AKCKC 00 .

E2

1EK

2

1u 0

49. Suponha que cada uma das placas paralelas da figura abaixo possua uma rea igual a 2000 cm (2x10-1m) e que a distncia entre as placas seja igual a 1 cm (1x10-2m). O capacitor est ligado a uma fonte de alimentao e carregado at que a diferena de potencial atinja um valor V0 = 3000 V = 3,00kV. A seguir, ele desconectado da fonte de alimentao e uma camada de material plstico isolante inserida entre as placas do capacitor preenchendo completamente o espao entre elas. Verificamos que a diferena de potencial diminui para 1000 V, enquanto a carga de cada capacitor permanece constante. Calcule: a) A capacitncia original C0; Resposta: C0 = 177pF.

b) O mdulo da carga Q de cada placa; Resposta: Q = 0,531C. c) A capacitncia C depois de inserido o dieltrico; Resposta: C = 531pF. d) A constante dieltrica K do dieltrico; Resposta: K = 3,00.

e) A permissividade do dieltrico; Resposta: = 2,66x10-11 C/N.m. f) O mdulo da carga induzida Q1 em cada face do dieltrico; Resposta: Q1 = 3,54x10

-7 C.

g) O campo eltrico original E0 entre as placas; Resposta: E0 = 3,00x105 V/m.

h) O campo eltrico E depois que o dieltrico inserido. Resposta: E = 1,00x105 V/m.

Definio de constante dieltrica.

Para Q constante.

Campo eltrico, quando inserido um dieltrico entre as placas (para Q constante).

Densidade superficial de carga induzida devido polarizao do capacitor.

Definio de permissividade do dieltrico.

Campo eltrico dentro do dieltrico

Capacitor com placas paralelas, dieltrico entre as placas.

Densidade de energia eltrica em um dieltrico.

21

+ - + - + Vcuo - + - + - + - + -

-

-i i - + - + - + - Dieltrico + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + -

-i i -

50. Calcule a energia total acumulada no campo eltrico do capacitor do exerccio anterior e a densidade de energia, antes e depois de o dieltrico ser inserido.

2

000 VC2

1U . ; 2VC

2

1U . ;

2

000 E2

1u ; 2E

2

1u . .

Respostas: U0 = 7,97x10-4

J; U = 2,66x10-4

J; u0 = 0,398 J/m; u = 0,133 J/m.

4.10. Ruptura Dieltrica.

Quando um dieltrico submetido a um campo eltrico suficientemente forte, ocorre uma ruptura dieltrica e o dieltrico se transforma em um condutor. Em virtude dessa ruptura dieltrica, os capacitores sempre possuem um valor de voltagem mxima impresso sobre o capacitor. Quando um capacitor submetido a uma tenso superior a esse valor mximo, pode ocorrer um arco voltaico atravs das camadas do capacitor, queimando-o a ponto de explodi-lo. O mdulo do campo eltrico mximo que um material pode suportar sem que ocorra ruptura dieltrica denomina-se RIGIDEZ DIELTRICA.

51. Um capacitor possui capacitncia igual a 7,28 F. que quantidade de carga deve ser colocada em cada uma de suas placas para produzir uma diferena de potencial (ddp), entre as placas, igual a 25,0 V?

VCQV

QC . Respostas: Q = +1,82x10-4 C e -1,82x10-4 C.

52. Um capacitor com placas paralelas possui capacitncia igual a 245 pF e um mdulo de carga de 0,148 C em cada placa. A distncia entre as placas igual a 0,328 mm. a) Qual a diferena de potencial entre as placas? Resposta: V = 604 V. b) Qual a rea de cada placa? Resposta: A =9,08 x10-3 m. c) Qual o mdulo do campo eltrico entre as placas? Resposta: E = 1,84 x106 V/m.

d) Qual a densidade de carga em cada placa? Resposta: = 16,3 x10-6 C/m.

a) C

QV

V

QC ; b)

d

AC 0 ; c)

d

VEdEV ; d) 0

0

EE

53. Um capacitor esfrico constitudo por duas cascas esfricas condutoras concntricas separadas pelo vcuo. A superfcie esfrica interna possui raio de 12,5 cm e a superfcie esfrica externa possui raio de 14,8 cm. Uma diferena de potencial (ddp) de 120 V aplicada aos terminais do capacitor. a) Qual a capacitncia do capacitor? Resposta: C = 89,5 pF. b) Qual o mdulo de E para a capacitncia do capacitor? Resposta: E = 6,08x10 V/m. c) Qual o mdulo de E para r = 14,7 cm, para um ponto prximo da superfcie interna da esfera externa? Resposta: E = 4,47x10 V/m.

; ; ;

; ;

; ;

22

a) ab

ba0

rr

rr4C

; b)

V

QC ;

r4

QE

0

; c)

r4

QE

0

54. No circuito indicado na figura abaixo, C1 = 3,00 F, C2 = 5,00 F e C3 = 6,00 F. O potencial aplicado Vab = 24 V. Calcule a carga e a diferena de potencial em cada capacitor, bem como a diferena de potencial entre os pontos a e d.

Respostas: Q1 = 30,84C; Q2 = 51,40C; Q3 = 82,30C; V1 = 10,28 V; V2 = 10,28 V; V3 = 13,72 V; Vad = 10,28 V. C1 a C2 d b C3

21eq CCC 1 ; 31eqeq C

1

C

1

C

1 ; VCQ eq ; SrieCircuitoQQQQ 3dbad : ;

3

dbC

QV ; dbadab VVV ; ParaleloCircuitoVVV ad21 : ; 111 VCQ ; 222 VCQ

55. No circuito indicado na figura abaixo, cada capacitor possui C = 4,00 F e Vab = 28 V. Calcule a carga e a diferena de potencial em cada capacitor, bem como a diferena de potencial entre os pontos a e d.

C1 C2 Respostas: Q1 = Q2 = 22,40C; Q3 = 44,80C; Q4 = 67,20C; V1 = V2 = 5,60 V; V3 = 11,20 V; V4 = 16,80 V; Vad = 11,20 V. a C3 d b C4

21

21eq

CC

CCC

1

; 31eq2eq CCC ;

42eq

42eq

eqCC

CCC

; VCQ eq ;

SrieCircuitoQQQQ 4dbad : ;

4

4dbC

QVV ; dbadab VVV ; ParaleloCircuitoVV ad3 : ; 333 VCQ ;

SrieCircuitoQQ 21 : ; ParaleloCircuitoQQQ 31 : ; 1

11

C

QV .

Observao: Quando tivermos capacitores de mesmo valor (mdulo) de capacitncia associados em srie, obteremos facilmente o capacitor equivalente, dividindo esse valor igual de capacitncia pelo nmero de capacitores associados em srie. Exemplo: Se em um circuito qualquer tivermos capacitores iguais associados em srie com as seguintes configuraes:

2 capacitores de 8 F Ceq = 8 F 2 Ceq = 4 F.



56. No circuito em paralelo da figura abaixo, C1 = 3,00 F, C2 = 5,00 F e Vab = 52 V. Calcule:

A carga em cada capacitor; Resposta: Q1 = 156 C; Q2 = 260 C. A diferena de potencial atravs de cada capacitor. Resposta: V1 = V2 = 52 V. a

Vab = V C1 Q1 C2 Q2

b

; ; .

23

57. No circuito do exerccio 4.5., suponha que o capacitor C1 = 3 F seja substitudo por outro, alterando a

capacitncia equivalente entre os pontos a e b de 6 F para 8 F. Qual o valor da capacitncia do capacitor que

substituiu C1 ? Resposta: C1 = 57F. a

C1 3F C2 11F C3 12F

C4 6F

C5 9F b

58. Um capacitor de placas paralelas de 5,80 F imerso no ar e com uma distncia entre as placas igual a 5,00 mm submetido a uma ddp de 400 V. Calcule a densidade de energia (u) na regio entre as placas, em unidades de J/m. Resposta: u = 0,0238 J/m.

dEV ; 20 E2

1u .

59. Um capacitor de 450 F carregado at 295 V. A seguir um fio conectado entre as placas. Calcule a energia total que ser descarregada desse capacitor em joules (J).

2VC2

1U Resposta: U = 19,6 J.

60. Considere o capacitor esfrico do exerccio 52. (a) Qual a densidade de energia para E = 6,08 kV/m? (b) Qual a densidade de energia para E = 4,47 kV/m?

2

0 E2

1u Respostas: (a) u = 1,64 x 10-4 J/m. (b) u = 8,84 x 10-5 J/m.

61. Duas placas paralelas possuem cargas iguais e opostas. Quando existe vcuo entre as placas, o mdulo do campo eltrico E0 = 3,20 x 105 V/m. Quando o espao entre as placas preenchido por um dieltrico, o mdulo do campo eltrico E = 2,50 x 105 V/m. Qual o valor da constante dieltrica? Qual a densidade de carga em cada

superfcie do dieltrico (i)?

E

EK 0 EK 0 ;

K

11i Respostas: K = 1,28; i = 6,20x10

-7 C/m.

62. O dieltrico que deve ser usado em um capacitor com placas paralelas possui constante dieltrica igual a 3,60 e uma rigidez dieltrica de 1,60 x 107 V/m. O capacitor deve possuir uma capacitncia igual a 1,25 x 10-9 F e ser capaz de suportar uma diferena de potencial (ddp) de 5500 V. Qual a rea mnima que cada placa do capacitor deve ter? Resposta: A = 0,0135 m.

E

Vd ;

0K

dCA

;

63. Quando um capacitor de 360 nF (360 x 10-9) imerso no vcuo est conectado a uma fonte de tenso, a energia acumulada no capacitor igual a 1,85 x 10-5 J. Mantendo o capacitor conectado com a fonte de tenso, inserimos uma camada de dieltrico que preenche completamente o espao entre as placas. Isso produz um acrscimo de 2,32 x 10-5 J na energia armazenada. Qual a diferena de potencial entre as placas? Qual a constante dieltrica do material?

C

U2V 0

;

0U

UK ; Respostas: V = 10,1 V; K = 2,25.

; ;

24

64. Um capacitor com placas paralelas no vcuo constitudo por duas placas quadradas com um mesmo lado de 16 cm e separadas por uma distncia de 4,7 mm. Ele conectado a uma bateria de 12 V. Qual a capacitncia? Qual a carga de cada placa? Qual o campo eltrico entre as placas? Qual a energia armazenada no capacitor?

d

AC 0 ; VCQ

A

QE

0

; VQ2

1U ;

Respostas: C = 48,2 pF; Q = 578,5 pC; E = 2553,4 V/m; U = 3,4710-9 J.

65. Supondo que a bateria permanea ligada e a seguir as placas sejam puxadas at que a distncia entre elas passe para 9,4 mm, quais seriam as respostas dos itens (a), (b), (c) e (d)?

Respostas: C = 24,1 pF; Q = 289,3 pC; E = 1276,7 V/m; U = 1,7410-9 J.

66. Trs capacitores com capacitncias de 8,4; 8,4 e 4,2 F so conectados em srie atravs de uma diferena de

potencial de 36 Volts. Qual a carga do capacitor de 4,2 F? Qual a energia total acumulada nos 3 capacitores? Os capacitores so desconectados da diferena de potencial sem que eles se descarreguem. A seguir eles so conectados em paralelo, qual a voltagem atravs de cada capacitor? Qual a energia total acumulada nos

capacitores? Respostas: C = 75,6 F; U = 1,3610-6 J; V = 36 V; U = 0,0136 J.

67. Na figura abaixo, C1 = C5 = 8,4 F e C2 = C3 = C3 = 4,2 F. A diferena de potencial aplicada Vab = 220V. Qual a capacitncia equivalente do circuito entre os pontos a e b? Resposta: Ceq = 2,52 F. Calcule a carga de cada capacitor e a diferena de potencial atravs de cada capacitor?

a C1 C3 C2 b

C5 C4

68. Na figura abaixo, cada capacitncia C1 igual a 6,9 F e cada capacitncia C2 igual a 4,6 F. Calcule a capacitncia equivalente entre os pontos a e b. Calcule a carga dos trs capacitores mais prximos de a e de b, quando Vab = 420 V. Determinar Vcd quando entre a e b a diferena de potencial igual a 420 V. C1 C1 c C1 a C2 C2 C1 b

C1 C1 d C1

CAPTULO 5: CORRENTE, RESISTNCIA E FORA ELETROMOTRIZ.

5.1. Introduo.

Nos quatro captulos anteriores, estudamos as interaes de cargas eltricas em repouso; agora, estamos preparados para estudar as cargas em movimento. Uma corrente eltrica o movimento de cargas de uma regio para outra. Quando esse movimento ocorre ao longo de um caminho que forma um circuito fechado, o caminho denomina-se circuito eltrico. Um circuito eltrico fornece basicamente um caminho para transferir energia de um local para outro. medida que as partculas carregadas fluem atravs do circuito, a energia potencial eltrica transferida de uma fonte (tal como uma bateria ou um gerador) at um dispositivo no qual essa energia armazenada ou ento convertida em outras formas de energia: em calor em uma torradeira ou em luz em uma lmpada. Os circuitos nervosos dos animais e do homem so circuitos eltricos especiais que transmitem sinais vitais de uma parte do corpo para outra.

5.2. Corrente.

Uma corrente qualquer movimento de cargas de uma regio para outra.

Respostas: Q1 = 5,5x10-4 C; V1 = 66 V; Q2 = 3,7x10-4 C; V2 = 88 V;

Q3 = 1,8x10-4 C; V3 = 44 V; Q4 = 1,8x10-4 C; V4 = 44 V;

Q5 = 5,5x10-4 C; V5 = 66 V.

Respostas: Ceq = 2,3 F; Q1 = 9,7 10-4

C e Q2 = 6,4 10-4

C;

Vcd = 47 Volts.

25

Em um metal comum, tal como no caso do cobre ou do alumnio, alguns eltrons podem mover-se livremente no interior do material condutor. Esses eltrons livres se movem caoticamente em todas as direes, de modo anlogo ao movimento das molculas de um gs, logo, no existe nenhum fluxo efetivo de cargas em nenhuma direo fixa e, portanto, no h corrente. Entretanto, os eltrons no escapam do material condutor porque eles so atrados pelos ons positivos do material. Considere agora o que ocorre quando um campo eltrico E estacionrio e constante estabelecido no interior de um condutor. Uma partcula carregada (tal como um eltron livre) no interior do material condutor

submetida a uma fora estacionria F = qE, esta fora estacionria produziria uma acelerao estacionria na mesma direo da fora F e depois de certo tempo a carga estaria se deslocando nessa mesma direo. Contudo, quando as partculas carregadas se movem no interior de um condutor, elas colidem frequentemente com os ons grandes do material que permanecem praticamente estticos. O efeito resultante do campo eltrico E tal que, alm do movimento catico das partculas carregadas, existe tambm um movimento muito lento, ou movimento de

arraste, de um grupo de partculas carregadas na direo da fora eltrica F = qE. Esse movimento descrito pela

velocidade de arraste dv das partculas. Consequentemente, surge uma corrente efetiva no condutor.

Definimos a corrente designada pela letra i, como o movimento (fluxo), ordenado de eltrons livres, no interior de um condutor. Podemos dizer que a corrente atravs da rea com seo reta A como igual ao fluxo total das cargas atravs da rea por unidade de tempo. Logo, se uma carga total Q flui atravs de uma rea A, em um intervalo de tempo t, a corrente i atravs da rea dada por:

t

Qi

O sentido de uma corrente, no uma grandeza vetorial. Em um fio que transporta uma corrente, a corrente sempre flui ao longo do comprimento do fio tanto em fios retilneos quanto em fios curvos. A corrente flui no sentido horrio em torno do circuito. A unidade SI de corrente denomina-se ampre; um ampre definido como um Coulomb por segundo (1 A = 1 C/s). Em uma lanterna comum, a corrente que passa em seu circuito da ordem de 0,5 a 1,0 A; a corrente que passa nos fios do circuito do motor de arranque de um automvel da ordem de 200 A. As correntes de rdios e

televises so expressas em miliampres (1 mA = 10-3 A) ou microampres (1 A = 10-6 A), j as correntes em circuitos de computadores so expressas em picoampres (1 pA = 10-12 A).

5.3. Corrente, Velocidade de Arraste e Densidade de Corrente.

Podemos expressar uma corrente com base na velocidade de arraste das cargas que se movem:

Avqni d (expresso geral da corrente).

Sendo: n = nmero de partculas carregadas (concentrao das partculas); q = carga de cada partcula; vd = velocidade de arraste de todas as partculas; A = rea da seo transversal do condutor. A densidade de corrente J definida como a corrente que flui por unidade de rea da seo reta:

dvqnA

iJ (expresso geral da densidade de corrente).

A unidade de densidade de corrente ampre por metro quadrado (A/m). A corrente em um condutor igual ao produto da concentrao das cargas que se movem (n), vezes o mdulo da carga que se move vezes o mdulo da velocidade de arraste e vezes a rea da seo reta do condutor. Em muitos circuitos simples, tal como o de uma lanterna, o sentido da corrente sempre o mesmo; essa corrente denomina-se corrente contnua. No entanto, os aparelhos eletrodomsticos (torradeira, geladeira, forno eltrico) utilizam a corrente alternada, que muda de sentido permanentemente (pulsos positivos e negativos).

69. Um fio de cobre com um dimetro nominal de 1,02 mm. Esse fio est conectado a uma lmpada de 200 W e

conduz uma corrente de 1,67 A. A densidade dos eltrons livres de 8,5 1028 eltrons por metro cbico. Calcule os mdulos:

26

a) Da densidade de corrente; 4

dA

2

; A

IJ Resposta: J = 2,04 106 A/m.

b) Da velocidade de arraste. qn

JvvqnJ dd

Resposta: vd = 1,5 10

-4 m/s.

5.4. Resistividade.

A densidade de corrente total J em um condutor depende do campo eltrico E, e das propriedades do

material. Assim podemos definir a resistividade de um material, como a razo entre o mdulo do campo eltrico e o mdulo da densidade de corrente:

J

E (Definio de resistividade).

A unidade de V.m/A. Um OHM (1) = 1 V/A. A unidade do Sistema Internacional (SI) para a resistividade .m (ohm x metro).

Um condutor perfeito deveria ter resistncia igual zero, e um isolante perfeito deveria ter resistncia infinita. Os metais e as ligas metlicas so os materiais com menor resistividade e tambm os melhores condutores. A resistividade de um isolante cerca de 1022 vezes mais elevada do que a resistividade de um condutor.

O inverso da resistividade a condutividade. Sua unidade no SI (m)-1. Um bom condutor de eletricidade possui condutividade muito maior do que um isolante. Um bom condutor de eletricidade, tambm um bom condutor de calor. Um mau condutor eltrico, tal como um plstico, costuma ser um mau condutor de calor.

Um semicondutor possui uma resistividade entre a de um metal e a de um isolante. Um material que obedece razoavelmente a Lei de Ohm denomina-se condutor hmico ou condutor

linear.

5.5. Resistividade e Temperatura.

A resistividade de um condutor metlico cresce com o aumento da temperatura. A medida que a temperatura aumenta, diminui a corrente. Havendo um intervalo pequeno de temperatura (at 100C), a resistividade de um metal pode ser representada pela equao:

)()( 00 TT1T (Resistividade em funo da temperatura). Sendo:

0 = resistividade para uma temperatura de referncia T0 (geralmente 0C ou 20C); (T) = resistividade para uma temperatura T (que pode ser maior ou menor do que T0); = coeficiente de temperatura da resistividade.

5.6. Resistncia.

Para um condutor com resistividade , a densidade de corrente J em um ponto que possui campo eltrico E dada pela equao: JE

A razo entre a tenso V e a corrente i para um dado condutor denomina-se resistncia R: i

VR

Que tambm pode ser representada pela equao da 2 Lei de Ohm:

A

LR

(Relao entre resistncia e resistividade).

Quando for constante, teremos: iRV (Relao entre tenso, corrente e resistncia).

1 Lei de Ohm: R

Vi iRV

i

VR

V Corrente Tenso Resistncia R i

Como a resistividade de um condutor varia com a temperatura, a resistncia de um condutor tambm varia com a temperatura, e pode ser representada pela equao:

)()( 00 TT1RTR (Resistncia em funo da temperatura). Sendo:

27

R0 = resistncia a uma temperatura de referncia T0 (geralmente 0C ou 20C); R(T) = resistncia a uma temperatura T;

= coeficiente de temperatura da resistncia.

70. Um fio de cobre possui seo reta A = 8,2 10-7 m e dimetro d = 1,02 mm. Ele conduz uma corrente i = 1,67 A. Sendo do cobre igual a 1,72 10-8 .m, calcule:

a) O mdulo do campo eltrico; A

iE

Resposta: E = 0,035 V/m.

b) A diferena de potencial (Tenso eltrica) entre dois pontos do fio separados por uma distncia de 50 m.

LEV Resposta: V = 1,7 V.

c) A resistncia de um segmento do fio de comprimento de 50 m. i

VR ou

A

LR

Resposta: R = 1,0.

71. Suponha que a resistncia do fio do exerccio anterior, seja igual a 1,05 para uma temperatura igual a 20C. Calcule a resistncia a 0C e 100C. Dado: coeficiente de resistividade do cobre = 0,00393 (C)-1

)()( 00 TT1RTR Respostas: Para T = 0C R = 0,97; Para T = 100C R = 1,38.

72. Uma corrente eltrica de 3,6 A flui atravs da lmpada do farol de um automvel. Quantos Coulombs fluem atravs dessa lmpada em 3,0 h? tiQ Resposta: Q = 3,9 x 104 C.

73. Um fio de prata com dimetro igual a 2,6 mm transfere uma carga de 420 C em 80 minutos. A prata contm

5,8 1028 eltrons livres por metro cbico. Qual a corrente eltrica no fio? Qual o mdulo da velocidade de arraste dos eltrons? Respostas: I = 8,75 10-2 A; vd = 6,77 10

-28 m/s.

t

Qi Avqni d

4

dA

74. Existe uma corrente de 5,0 A que atravessa um resistor, em 4 minutos. Quantos Coulombs atravessam qualquer seo transversal do resistor nesse intervalo de tempo? tiQ Resposta: Q = 1200 C.

75. O cobre contm 8,5 1028 eltrons livres por metro cbico. Um fio de cobre que possui dimetro de 2,05 mm, possui comprimento de 71,0 cm e conduz uma corrente eltrica de 4,85 A. Qual o tempo necessrio para um eltron percorrer o comprimento do fio? Resposta: t = 6,57 x 10 s ou t = 110 minutos.

4

dA

AvqnI d tempo

ocomprimentVelocidade C1061q 19e

,

76. Um fio condutor possui 1,0 mm de dimetro, um comprimento de 2,0 m e uma resistncia de 50 m. Qual a resistividade do material?

A

LR

4

dA

Resposta: = 1,96 10-9.m.

77. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50 mA passar por seu corao. Um eletricista, trabalhando com as mos suadas, faz bom contato com os dois condutores que ele est segurando (um

em cada mo). Se a resistncia de seu corpo for de 2000 , qual poderia ser a voltagem fatal? iRV Resposta: V = 100 Volts.

78. Nas instalaes eltricas residenciais, geralmente se usa um fio de cobre com dimetro de 2,05 mm para os circuitos de tomadas de energia. Calcule a resistncia de um fio de cobre com comprimento de 24,0 m.

4

dA

A

LR

Resposta: R = 0,123 .

79. Em uma experincia realizada em temperatura ambiente, uma corrente eltrica de 0,820 A flui ao longo de um fio com dimetro de 3,26 mm. Calcule o mdulo do campo eltrico no fio supondo que o material do fio seja:

a) Tungstnio = 5,25 x 10-8 .m. 4

dA

A

iE

Resposta: E = 5,16 10-3 V/m.

28

b) Alumnio = 2,75 x 10-8 .m. JE Resposta: E = 2,70 10-3 V/m.

80. Um fio de ouro com dimetro igual a 0,84 mm conduz uma corrente eltrica. O campo eltrico do fio igual a

0,49 V/m. Se a resistividade do ouro igual a 2,44 10-8 m, qual a:

a) Corrente eltrica no fio? 4

dA

AEi

Resposta: I = 11,12 A.

b) Diferena de potencial entre dois pontos separados por uma distncia de 6,4 m?

LEV Resposta: V = 3,136 V. c) Resistncia de um comprimento de fio igual a 6,4 m?

A

LR

ou i

VR Resposta: R = 0,282 .

81. A diferena de potencial entre dois pontos de um fio separados por uma distncia de 75,0cm de 0,938V

quando a densidade de corrente igual a 4,40 107 A/m. Calcule:

O mdulo do campo eltrico no fio; L

VE Resposta: E = 1,251 V/m.

A resistividade do material do fio. J

E Resposta: = 2,84 x 10-8.m.

82. a) Qual a resistncia de um fio de nicromo [ = 0,0004 (C)-1] para 0C, se sua resistncia igual a 100

para 11,5C? )( 00 TT1RR Resposta: Para T0 = 0C R0 = 99,54. b) Qual a resistncia de uma barra de carbono [ = - 0,0005 (C)-1] a 25,8C, se sua resistncia igual a

0,0160 para 0C? )( 00 TT1RR Resposta: Para T = 25,8C R = 0,0158. 5.6. Fora Eletromotriz e Circuitos.

Em algum ponto do circuito eltrico, deve existir um dispositivo que desempenha um papel semelhante ao da bomba na fonte de gua. Na bomba, a carga se desloca para cima, fluindo de uma energia potencial mais baixa para uma mais elevada. Em eletricidade, o agente que faz a corrente fluir do potencial mais baixo para o mais elevado denomina-se fora eletromotriz (fem). A unidade do Sistema Internacional (SI) da fem a mesma de potencial o Volt (1V = 1 J/C). Exemplo: Uma pilha de lanterna possui fem igual a 1,5 V; isso quer dizer que a pilha realiza o trabalho de 1 Joule sobre cada Coulomb de carga que passa atravs dela. Para designar uma fem, usaremos o smbolo E (uma letra E manuscrita maiscula).

Todo circuito completo por onde passa uma corrente deve possuir algum dispositivo que fornea uma fem. Tal dispositivo denomina-se fonte de fem. Pilhas, baterias, geradores eltricos, clulas solares e clulas de combustvel, so exemplos de fontes de fem. Todos esses dispositivos convertem algum tipo de energia (mecnica, qumica, trmica e assim por diante) em energia potencial eltrica e transferem essa energia para o circuito no qual o dispositivo esteja conectado.

RIVab (fonte de fem ideal)

5.7. Resistncia Interna.

Uma fonte ideal em um circuito no se comporta exatamente da maneira que descrevemos; a diferena de potencial entre os terminais de uma fonte real no igual fem, como indica a equao acima. A razo disso que a carga que se move no interior do material de qualquer fonte real encontra uma resistncia chamada de resistncia interna da fonte e designada pela letra r.

rIVab (voltagem nos terminais da fonte com resistncia interna).

A diferena de potencial Vab, chamada de voltagem nos terminais, e menor do que a fem E em virtude

do termo I.r, que representa a queda de potencial atravs da resistncia interna r.

rR

IRIrI

(corrente na fonte com resistncia interna).

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5.8. Smbolos Usados nos Diagramas de Circuitos.

Nos smbolos, inclumos dois instrumentos de medida usados nas medidas das propriedades dos circuitos. Um medidor ideal no perturba o circuito no qual ele est conectado. Um voltmetro mede a diferena de potencial entre os pontos nos quais seus terminais so conectados; um voltmetro ideal possui resistncia interna infinita, e quando mede uma diferena de potencial, nenhuma corrente desviada para ele. Um ampermetro mede a corrente que passa atravs dele; um ampermetro ideal possui resistncia igual a zero e no apresenta nenhuma diferena de potencial entre seus terminais. R Resistor + E -

Fonte de fem (a linha vertical mais longa indica o terminal positivo). + E - r

Fonte de fem com resistncia interna r.

V Voltmetro (mede uma diferena de potencial entre seus terminais). A Ampermetro (mede uma corrente que passa atravs dele). 83. No circuito abaixo, qual a leitura indicada no voltmetro e no ampermetro? Vab Respostas: I = 2A; VR = 8V; Vab = 8V.

a r=2 + E =12V b

i R=4 i A

84. No circuito abaixo, substitumos a resistncia de 4 , por um condutor de resistncia igual zero, qual a leitura indicada no voltmetro e no ampermetro? Vab Respostas: I = 6A; Vab = 0.

a r=2 + E =12V b

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Apostila de Física II - Engenharias - 6ªed - 2012