Apostila de Geom Plana

8/16/2019 Apostila de Geom Plana

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Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.


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Relação das aulas. Página

Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ 02

Aula

02

-

Pontos notáveis de um triângulo.........................................

17 Aula 03 - Congruência de triângulos.................................................. 27

Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................ 36 Aula 05 - Polígonos convexos............................................................ 45 Aula 06 - Ângulos na circunferência................................................... 58


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Geometria plana Aula 01

Conceitos iniciais de Geometria Plana.

I) Reta, semirreta e segmento de reta.

A B reta AB

A B semirreta AB

A B semirreta BA

A B segmento AB

II) Ângulo.

A

O

B

OA - lado OB - lado O - vértice

ângulo AOB ou ângulo

Definições. a) Segmentos congruentes.

Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.

b) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence

ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas

de mesma origem.

b) Ângulos congruentes.Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma

medida.

c) Bissetriz de um ângulo.É a semirreta de origem no vértice do ângulo que

divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ângulo.

a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º.

1º = 60' º - grau '

-

minuto

1' = 60" " - segundo

IIb) Classificação dos ângulos.

= 0º - ângulo nulo. 0º


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III) Triângulos.

vértice

lado i - ângulo interno

e e - ângulo externo

i

Num mesmo

vértice, tem-se

i + e = 180º

Ângulo externo.

O ângulo externo dequalquer polígono

convexo é o ânguloformado entre um

lado e o

prolongamento dooutro lado.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos:

- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.

Propriedades dos triângulos. 2) Em todo triângulo, a medida de 1) Em todo triângulo, a soma das um ângulo externo é igual à soma medidas dos 3 ângulos internos das medidas dos 2 ângulos

é 180º. internos não adjacentes.

+ + = 180º

e e = +

3) Em todo triângulo, a soma das 4) Em todo triângulo isósceles, e3 medidas dos 3 ângulos externos os ângulos da base são congru-

é 360º. entes. Observação - A base de um

triângulo isósceles é o seu lado e1 e1 + e2 + e3 = 360º diferente.

e2

Exercícios.

01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.

a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"

c) 90º - 61º 14' 44"

e) 4 x (68º 23' 54")

b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")

03


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g)125º 39' 44"

h)118º 14' 51"

4 3

i)125º 12' 50"

j)90º

5 13

02) Determine o ângulo que é o dobro do seucomplemento.

03) Determine o ângulo que excede o seusuplemento em 54º

04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seusuplemento e o triplo do seu complemento é igual a54º.

05) Dois ângulos são suplementares. O menor é ocomplemento da quarta parte do maior. Determineas medidas desses ângulos.

06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento domaior é igual ao complemento do menor.

07) Determine um ângulo sabendo que osuplemento da sua quinta parte é igual ao triplo doseu complemento.

04


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08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.

a) b)

r 16 º x

r // s

s 41º x

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

x r x r

53º

r // s

53º r // s

39º s 39º s

e) f) r r

55º 35º 62º x r // s

40º s x

s 38º 47º

g) h)

r

28º

54º x r // s

88º

s x 21º º

126

i) j) AB = AC

x

A x

º 14 3º 12 1

k) AC = BC C l)

46º x

x

A B

05

158º

67º

B

73º

C

38º


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09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos- 10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo tos. Qual é o valor de x + y, em graus ? equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas

dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.

x

x y

y

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.

30º y

x

x

t z y

z

u

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam , , , e as medidas em m. graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da

figura, respectivamente. A soma

+ + + + é

x

igual a: F

a) 120º 4m b) 150º

c) 180º

3m d) 210º

C e) 240º D

m E

A B

15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu- uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente. coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân- D E A gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo

ABC. A

R x

F

Q T

25º

B P C C B

06


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Respostas desta aula.

01) a) 176º 19' 21"c) 28º 45' 16"e) 273º 35' 36"g) 31º 24' 56"

i) 25º 02' 34"

02) 60º

03) 117º

04) 72º

05) 60º e 120º

06) 17º e 107º

07) 225º / 7

b) 124º 05' 04"

d) 46º 47' 48"f) 214º 11' 36"h) 39º 24' 57"

j) 06º 55' 23"

08) a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º

f) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º

9) 270º

10) 240º

11) 210º

12) 180º

13) 2m

14) c

15) 70º, 80º e 30º

16) 25º

07


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m) r // s

n) r // s r

x t // u t // u r

s

43º

t

58º s

x u t

u

o) p)

62º 52º

79º x x

67º

q)

r)

52º 21x

x 18x 15x

81º

s) (Triângulo isósceles) t) (Triângulo isósceles)

AB = AC

AB = AC

A

38º x

138º

x B C

B C

u) AB = AC v) A

152º

y

y

62º 98º x

x

B C

x) AB = BC = CD z) AB = BD = DE D

D 98º

B E

x x y

y A

C A B C

09


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02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

a) b)

37 73º º

116º x

148º

31º x

c) d)

x

3 4

x

24º

º101

38º

triz

bisse

128º

36º

e)

D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)

A

40º

2

º D

7

x D x

g) B

h)

68º

r x 60º

r // s

s 5y

3y

º x

+ 30

i) j)

9x 43º

12x 62º

6x

k) ABCD é um quadrado.l)

A B

3 0

º x

x

D C

10

AD e BD são bissetrizes.

42º C

2x

x

60º

118º


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m) AC = CD n)

AB = BC = CD = DE e AD = AE

A D

38 B x

º

A x

B C D

C

E

o) AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF p) AB = AC , BD = BE e CE = CF.

D B

D F

B

x E A x A 44º

C F E

C

q)

ABC é um triângulo equilátero

r)

BCD é um triângulo equilátero

A e DEFG é um quadrado. A B

e ABDE é um quadrado.

G F C

x

E x

D B D E C

s) CDE é um triângulo equilátero t) BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são

A

B

e ABCD é um quadrado.

A

C

quadrados.

E x

B

G x

D

D C F E u) ACE e BDF são triângulos v) AB = AC e DE = DF.

A

B

C

equiláteros.

A

D

x x

70º

F D B

65º

F E E C

x) z) AB = AC AB = AD = BD = DC e AC = BC. AD é bissetriz de B C

A A

AE é bissetriz de BÂD.

D C

x

x 38º

B B E D C

11


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03) Na figura abaixo, determine x, y e z. 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

4x

x

x

2y

37º y z

z

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.

E D

t

z

40º 2x y 4x

y 4x

x

A B C

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz

de AOD e OB é bissetriz de AOC.

D

C E

57º x B

A

x

28º

F

O

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os z. mesmos formam uma progressão aritmética de razão

10º. z + 26º

2x

y

y 2z - 84º

z x

12


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11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da somax + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é umtriângulo inscrito no quadrado ABCD.

x A E B

t t // s y z

s x

F 120º v

140º t

D u

C

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi- 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bis- ne o valor de x. setriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.

A A x

B C D 2x

E

B x

D C

15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. em função de x.

5y D y

y

x

2y

x

A B C

17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles a + b = c + d. r mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo

a formado pelas bissetrizes dos outros dois ngulos

c internos.

b r // s

d s

19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de

externos de um triângulo é 360º. z.

e2 r x

y r // s

e1 z s

e3

13


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21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u. x e y podemos afirmar que : a) x = y

r y b) x = -y c) x + y = 90º s A B z

x - y = x x e) x + y = 180º

y

t

D C u

23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor de z e t o sêxtuplo de z. em graus de x + y ?

z 40º y

x

x t

80º

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD demonstre que vale a relação z - y = x - t. é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do

A

ângulo CBF é :

D

a) 38º A b) 27º c) 18º d) 19º e) 71º

x y z

B t

D C C

E F B

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se quesoma das medidas dos ângulos x, y e z. os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o

triângulo BCE é equilátero. A

B

x A

y C x E

z

E

D

B

C

D

14


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29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v. dos ângulos x, y, z e t.

x r x v

y y u r // s

z

s t

t

z

31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o dos ângulos x, y, z e t. vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.

y Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.

A’

z A E 140º

B

x t D’

x

D F C

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma

x - y A dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB

igual a . em relaç o a AD, determine a medida do ngulo ADB. 2 A

N

M

P

x

y

B D C

B C

B’

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AEcongruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,sabendo-se que BAD = 48º.

A

E

B D C

15


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01) b) 123º c) 107º d) 107º e) 49º

21) c a) 43º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º 22) 540º k) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º 23) 50º

u) 104º

v) 46º

x) 123º

z) 108º

24) 130º 02) a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18º 25) demonstração f) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20º 26) d p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º

u) 120º v) 60º x) 150º z) 116º 27) 360º

03) 143º, 37º e 143º 28) 45º

04) 36º, 18º e 144º 29) 360º

05)

20º,

60º,

80º

e 60º

30)

180º

06) 100º 31) 540º

07) 33º 32) 65º

08) 19º 33) demonstração

09) 22º, 44º e 110º 34) 130º

10) 50º, 60º e 70º 35) 24º

11) 70º

12) 270º

13) 10º

14) 36º

15) x = 8y

16) y = 3x

17) demonstração

18) 40º

19) demonstração

20) x = y - z


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Pontos notáveis de um triângulo.

Segmentos notáveis do triângulo.

mediana

altura mediatriz

Mbissetriz

ponto médio

Mediana - É o segmento que une o vértice aopontomédio do lado oposto.

Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado dotriângulopelo seu ponto médio.

Bissetriz - É a semi-reta de origem no vérticequedivide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Altura - É a distância entre o vértice e a retasuportedo lado oposto.

Todo triângulo tem: Pontos notáveis do triângulo 3 medianas B - baricentro 3 mediatrizes I - incentro

3 bissetrizes

C -

circuncentro

3 alturas O - ortocentro Baricentro (G).

Incentro (I).

É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.

Propriedade. Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-

O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo. to que contém o ponto médio do lado oposto. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3

(razão 2 : 1) lados do triângulo.

Observação - As três medianas dividem o triângulo

original em seis triângulos de mesma área.

A S Área de cada triângulo

2

AG = 2.GM BG = 2.GN x

S S N

CG = 2.GP

I

P

G

S S r

x

S S r - raio da circunferência inscrita.

B M C

Circuncentro (C). Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.

Propriedade.

Propriedade.

A

O circuncentro é o centro da circunferência circuns- Não tem. crita (externa) ao triângulo.

O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 A

hA

vértices do triângulo. h B

mediatriz h

A O C

B

B hC

h A

R

C ponto médio B

hC

C h

A

B

O

O

h

R - raio da circunferência C

ortocentro B C circunscrita.

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Observações.

1) O baricentro e o incentrosempre estão localizados nointerior do triângulo.

2) O circuncentro e o ortocentropodem estar localizados no exterior

do triângulo.

3) Num triângulo isósceles, os quatro 4) No triângulo retângulo, o ortocen- ponto notáveis (BICO: baricentro, in- tro é o vértice do ângulo reto e o cir- centro, circuncentro e ortocentro) es- cuncentro é o ponto médio da hipo- tão alinhados.

mediana tenusa.

mediatriz ortocentro circuncentro bissetriz

mediatriz

altura

C

mediana G R C R

bissetriz I hipotenusa

O

altura

Triângulo eqüilátero. (importante)

Em todo triângulo eqüilátero, os r R

R = 2r quatro pontos notáveis (baricentro, l

r

l

incentro, circuncentro e ortocentro)

h

e

estão localizados num único ponto. BICO r r

h = 3r

l - lado do triângulo eqüilátero.

r - raio da circunferência inscrita. l R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo.

1) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm,determinar : a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.

l

R

l h c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

d) o que o ponto O é do triângulo. O r

l

02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O estáinscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAOmede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.

A

03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O estáinscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOCmede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.

A

O O

B C B C

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04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas,as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e oortocentro do triângulo.

A

I

C B

05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :

a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.

l

l

R

h

r

l

06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos 07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.

médios dos lados do triângulo ABC. Se

AB = 2x,

Determine a medida do ângulo

DFE sabendo que os AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º

determine o perímetro do triângulo BDG, em função de e 70º. x, y, z, w, k e n.

A A

E

F E

D F

B

G

C

B

C

D

19


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08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em mapa da localização faz menção a três grandes árvores função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de AE. um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o

C segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?

Sibipiruna

Peroba

E

A

B

Jatobá D

10) O triângulo ABC 2 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos da figura tem rea 120 cm .

Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:

A a) a área do triângulo ABC; b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG.

F A

G

B D E C F E G

(

) G é o baricentro do triângulo ABC.

( 2 ) A rea do tri ngulo AEC 40 cm .

B D C

( 2

) A área do triângulo BFG é 40 cm .

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na casas, sendo que as casa não são colineares e estão praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden- localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa poço de modo que ele fique à mesma distância das estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com

ficar a uma mesma distância das três ruas que seus conhecimentos de geometria, que sugestão determinam a praça.

poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio.

1 Rua

u

a

3

R

Ru a

2

20


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01) a) (5 3 / 2) cmb) (5 3 / 6) cmc) (5 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

02) 118º

03) 72º

04) Desenho ao lado.

05) a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm

06) 2k + w + z

07) 128º

08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3

9) Desenho ao lado.

10) F , V e F

11)

a) 42 cm2 b) 7 cm2 c) 28 cm2

12) O poço deve localizar-se no circuncentrodo triângulo cujos vértices são as três casas.

13) A estátua deve ser colocada no incentrodo triângulo formado pelas três ruas.

04)

A

I G C

O

B C

09) Sibipiruna

Peroba

O

Jatobá

tesouro

21


23/71

Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo.

Exercícios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :

a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.

k k R

h

O

r

k

02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triânguloeqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;b) a altura do triângulo;c) o lado do triângulo;d) o perímetro do triângulo;e) o que o ponto O é do triângulo.

l R

h

O r

l

03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC emtrês ângulos congruentes. Da mesma forma, CD eCE, divi-dem o ângulo ACB em três ânguloscongruentes. Assinale a alternativa correta.

A

D

P E

S

R Q

C B G F

a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centroO consideram-se, como na figura, os triângulos

equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a

razão entre a altura de T2 e a altura de T1.

T2

T1

O

R

22


24/71

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe- dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a do triângulo ABC e que BG = 2.GN. BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do

A triângulo ADE. A

M N

G

I

B P C

D E

B C

07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD

das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.

A C

D E

A D B

B M C

RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.

09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la- Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.

a medida do ângulo BFC.

A A

40º

O D

B C E

F

B C

11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me- e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?

A

a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º

D

B C

23


25/71

13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas afirmativa falsa . A AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que

BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

E A

D

F

B

C

E

a) F é o ortocentro do ABC.

b) A é o ortocentro do FBC.

c) Os circuncentros do BDC e do BEC coincidem. B D C d) BF = 2.FE.

e) O ABC é acutângulo.

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo. circulares S1, S2 e S3, em função de S. A

B

0

º

1 10 2

1

º

S3 S1 D 130º

S2 B C

A C

17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e tro do triângulo.

ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-

A ferência. B

º

1

O

20

0 A

1

º

D 110º

B C C

19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os 20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo do segmento AD. ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a

A razão entre x e y.

A A

D

B

C

P

P

B B C

C 24


26/71

21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.

A A M D

P

B D C

B C

23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos

24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência

médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo e AR = 10 cm, determinar : m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos , a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o , e e dizer o que a semirreta CO significa para o triângulo ABC. ângulo ACB. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. A c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

O

M

R

N

B C

B P C

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon- 26) (UEM-PR) Em um plano , a mediatriz de um tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o médio do segmento de reta AB e é perpendicular a triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

que é a reta FD. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância A

de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um

F

E

triângulo qualquer em é o circuncentro do triângu-

D lo. c) Qualquer ponto do plano que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.

B C d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem

G se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em .

25


27/71


01) a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO

02) a) (5 / 2) cmb) (15 / 2) cmc) 5 3 cmd) 15 3 cme) BICO

03) d

04) 2

05)

A

M G

S é ponto médio de BGR é ponto médio de CG

MNRS é um paralelogramoPortando, SG = GN = BS

N Razão 2 : 1

17) 55º, 65º e 60º

18) 5 cm

19) 6 cm

20) 23 / 26

21) 4 cm

22) 1 / 2

23) a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm

24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz

25) circuncentro e mediatriz

26) d

S R

B P C

06) 19 cm

07) 10 cm

08) 130º

9) 110º

10) 105º

11) 135º

12) d

13) d

14) 2 5

15) 23 S / 72

16) 80º, 40º e 60º

26


28/71


Congruência de triângulos.

A D

B C E

Dois triângulos são congruentes se têm os ladosdois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-

los dois a dois ordenadamente congruentes. A D

ABCDEF B E C F AB DE AC DF

F BC EF

Casos de congruência. Caso especial (CE). Observação. 1) L.A.L. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do 2) A.L.A. congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no dese- 3)L.L.L. congruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteri- 4) L.A.AO triângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.

5) Caso especial (CE)

do outro triângulo

L.A.L. -

dois lados e o ângulo entre

Onde: eles. A.L.A. - dois ângulos e o lado entre L - lado. eles. A - ângulo junto ao lado.

AO - ângulo oposto ao lado.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD A são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.

B D

C

02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- A lo ABC. Prove que os ângulos ABD e CBD são congruentes.

B D

C

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen- A tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.

B

D

C

27


29/71

04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD éperpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB.

C A

E

D

B

05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, medianae mediatriz.

A

B H C

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto

médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

P

A B M

mediatriz

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine ospontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio dosegmento AB.

r

M P O

s

28


30/71

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são 09) (UFMG) Observe a figura: congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é

r isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.

A

A D

P

B E

O

R

B C s

C

Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é . Determine, em função de , a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.

10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os 11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, segmentos DE e FB são congruentes e paralelos BFE, CGF e GDH são congruentes entre si. entre si.

A E B A E B

F

D C H

F

D G C

12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC. são congruentes entre si.

A

A

B

B

F E

E D C

D C

29


31/71

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferência e um ponto P, Pexterior a , se A e B são os pontos de tangência dasretas tangentes a por P, então PA = PB.

A

P

PA = PB B

Consequência do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante. A

B

DC

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior. 15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no A triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-

P mine a medida do segmento CT. A

B

S R

B C T

16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-

cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo

se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e que a distância PB mede 17 cm. BC = 3x + 1.

A A

B C

P

D D

C

E

B

18) Determinar a medida da base média de um trapé- 19) Determine a medida do raio da circunferência ins- zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,

desse trapézio medem 15 cm cada. 15 cm e 17 cm.

A B

D C

30


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Observação - Dependendo dos dados, um exercíciopode ser provado por mais de um caso decongruência. Levando em conta essa possibilidadenas respostas aqui registradas, em cada caso, foiconsiderado o caso de congruência mais evidente.

01) Caso especial (CE)

02) L.A.AO.

03) L.L.L.

04) Caso especial

05) É possível provar por vários casos.

06) L.A.L.

07) Demonstração ao lado.

08) L.A.L.

09) Pelo caso L.A.L. prova-se que ostriângulos APO e BPO são congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulosBRO e CRO também são congruentes. AOP =BOP = e COR = BOR = Portanto AOC = 2

10) L.A.L.

11) A.L.A.

12) L.A.AO.

13) L.A.AO.

14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)

15) 8

16) 34 cm

A 17) S = { x R x > 3 / 4 }

18)

15 cm

19) 3 cm

07)

Resolução Seja BP // OA r

OM = MP (L) - por hipótese

OMA = PMB (A) - OPV

A AOM = BPM (A) - alternos internos

O M P

Pelo caso A.L.A., temos

OAM = PBM

B Portanto AM = MB s

CQD

31


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Geometria plana Congruência de triângulos.


01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.

A

D

M

B C

02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que Mtambém é ponto médio do segmento BD.

A

D

M

B C

03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que ossegmentos AB e CD são congruentes.

A D

M

B C

04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas. A

D

M

B C

05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Provar queos segmentos AC e AD são congruentes.

C

A B

D 32


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06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.

A F

G

B D C E

07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABCtambém é um triângulo isósceles.

A

B D E C

a gura a a xo, , e . rovar que os tr ngu os e s o congruen-

tes.

C

D

A

B

E

09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEFé eqüilátero.

A

F

D

B C

E

Jeca 33


35/71

10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulosinternos desse losango.

B

k k

A M

C

k

k

D

11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.

A B

L

F

E

J

G

D C K M

H

12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceirolado e vale a metade desse terceiro lado.

A

D E

B C

13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paraleloàs bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

E F

D C

34


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Observação - Dependendo dos dados, um exercíciopode ser provado por mais de um caso decongruência. Levando em conta essa possibilidadenas respostas aqui registradas, em cada caso, foiconsiderado o caso de congruência mais evidente.

01) LAL

02) ALA

03) LAAO

04) LAL

05) LAAO

6) Caso especial

7) LAL

8) ALA

9) LAL

10) LLL

11) ALA

Demonstração do exercício nº 12.

A A

D

E

D

E

F

B C B C

Seja CF // AB (por construção) > DAE FCE (alternos internos)

> AE CE (E é ponto médio) AED CEF (opostos pelo vértice)

Pelo caso ALA, temos: ADE CFE > CF AD

Mas D é ponto médio de AB >CF AD DB

Se BD //CF e BD CF >BCFD é um paralelogramo >

>DF // BC e DF BC

Mas DE EF > DE =BC

eDE // BC (CQD)

2

Demonstração do exercício nº 13.

A

B

E F

D C

A B

E F

D G

C

AFB CFG (A) (opostos pelo vértice) BF FC (L) (F é ponto médio de BC) BAF

CGF (A) (alternos internos)

Pelo caso LAAO, temos:

ABF

CGF

> AF

FG

e AB CG

Considerando apenas o triângulo ADG, temos:

A

E F

D G

C

DG = DC + CG = DC + AB

Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:

EF //AB // CD e EF = AB + CD 2

(CQD)

35


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Quadriláteros notáveis.

I) Trapézio. É o quadrilátero que tem

+ = 180º

dois lados paralelos.

base menor

base maior

A altura de um trapézio é h

a distância entre as retas

suporte de suas bases. Trap zio Trap zio Trap zio retângulo isósceles escaleno

II) Paralelogramo. III) Retângulo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos

A

B

congruentes e iguais a 90º. A b B AB // CD

e

AD //BC

h

h

D C D C b

IV) Losango. V) Quadrado. o quadril tero que tem os lados congruentes. o quadril tero que tem

45º B

os lados congruentes e

todos os ângulos internos

AB // CD congruentes (90º). A C e

AD // BC

D

Propriedades dos quadriláteros notáveis.

1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são: respectivos pontos médios. a) perpendiculares entre si;

A

B

b) bissetrizes dos ângulos internos.

M B

y y

D C A x x

C x x

M é ponto médio de AC y y

e

D M é ponto médio de BD.

3) Base média de trapézio. 4) Base média de triângulo. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos Em todo triângulo, o segmento que une os pontos

médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a bases e vale a média aritmética dessas bases. metade desse 3º lado.

A A B

MN // AB // CD MN // BC e e

N M

N BC

M MN =AB + CD MN =

base média

base média

D

C

B

C

36


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01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x 02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. e a medida da diagonal BD.

A B A B 7

2x 1

c +

k m 2x m 7

c c 12 m

D

C

+

5

k

x

D C

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos

a medida da diagonal BD. ângulos a, b, c e d. B

d

A B A a b C x cm c

-

4 58º

3y D c m

D C

05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, ospon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA doquadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é umparalelogramo. sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

A A

L P L P

B D B D

M N M N

C

C

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo 08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com interno de um paralelogramo sabendo-se que dois medidas iguais, então todos os seus ângulos internos ângulos internos consecutivos desse paralelogramo têm medidas iguais. estão na razão 1 : 3. Para mostrar que essa proposição é falsa , pode-se

usar como exemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero; b) losango; c) trapézio; d) retângulo; e) quadrado.

37


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09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e 10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontosmédios dos

AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe- lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as rímetro do trapézio BCED. medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A A

D

E

D F

B E C B C

11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z. 12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua- são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva- drilátero BDEF. mente. Determine a medida da base média EF.

A A B

D E E F

D C

B F C

13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC,

medida da base menor AB.

respectivamente, determinar os perímetros dos trapé- A B zios ABFE e CDEF.

A B

E

F

E F

D

C

D C

15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-

A B mentos EH, EF, GH e FG. A B

E F

E H G H F G

D

C

D

C

38


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17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são 18) Determine as medidas dos ângulos internos de um os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter- paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º. que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

M

F

C

P

E

N D L

19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos 20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o triângulo DEF igual a 23 cm, determinar : perímetro do quadrilátero AEFD. a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. A

b) a medida do perímetro do triângulo BCF. A

D E

D

E

F

F C B

B C

21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos

22) Demosntre que o ângulo formado pelas bissetri-

médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,

zes de dois ângulos internos consecutivos de um

AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo paralelogramo é um ângulo reto. GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.

A

E G

D

C F B

23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo quea diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.

A B

D C

39


41/71


01) 6 cm

02) 4

03) 11 cm e 4 cm

04) 32º, 64º, 90º e 116º

05) 16 cm

06) Propriedade da base média dotriângulo. BD // LP // MN e AC // LM // PN Portanto LMNP é um paralelogramo.

07) 45º

08) b

9) 25 cm10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm

11) x + z

12) 14 cm

13) 36 cm e 42 cm

14) 12 cm

15) 5 cm e 14 cm

16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm

17) 22 cm

18) 117º e 63º

19) Baricentro e 46 cm

20) (x + y + 2w + t) / 2

21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro

22) 2 + 2 = 180 (alternos

internos) Portanto + = 90º

23) 45º

40


42/71

Geometria plana Quadriláteros notáveis.


01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 58º, 02) (UERJ-RJ) Se um polígono tem todos os lados determine as medidas dos ângulos assinalados. com medidas iguais, então todos os seus ângulos

B internos têm medidas iguais.

Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se y

usar como exemplo a figura denominada: t a) losango

A z C b) trapézio x c) retângulo

58º d) quadrado

D e) paralelogramo

03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as 04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre- diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y. sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede

A B

4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

y B

2 x A C

D

32º

C D

05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é 06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi- um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao ções. lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-

I. Todo quadrado é um losango.

tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o II. Todo quadrado é um retângulo. lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do III. Todo retângulo é um paralelogramo. segmento FC.

E B IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.

A

Pde-se afirmar que:

F a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas.

D C

41


43/71

07) (PUC-SP) Sendo: 08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: A = {x / x é quadrilátero} a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal B = {x / x é quadrado} oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. C = {x / x é retângulo} b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois D = {x / x é losango} ângulos consecutivos de um paralelogramo. E = {x / x é trapézio} c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para- F = {x / x é paralelogramo} lelogramo são paralelas entre si.

Então vale a relação:

d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-

ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos

a) A D E congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

b) A F D B c) F D Ad) A F B Ce) B D A E

09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-

10) Determine as medidas dos ângulos internos de um

quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme- paralelogramo sabendo que a diferença entre as tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí- medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º. metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:

a) 48 m E

C B b) 49 m c) 50 m d) 51 m

G e) 52 m F

D

H

I

A

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de- 12) (ITA-SP) Dadas as afirmações: compõe esse losango em dois triângulos congruentes. I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte- Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais ro são suplementares. são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-

triângulos considerados ?

lelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-

diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas II é verdadeira. e) Apenas III é verdadeira.

42


44/71

13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife- 14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu- AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados lo adjacente à base maior. Isso significa que: formam um ângulo de 60º.

a) a base menor tem medida igual à dos lados a) Indicando por , , e , respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,

oblíquos. calcule + + + . b) os ângulos adjacentes à base menor não são b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de congruentes. AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.

c) a base maior tem medida igual à dos lados

c) Calcule a medida do ângulo MJN. oblíquos.

d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.

D C

A B

15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F

16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas

é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm ponto médio de CE. Determine as medidas dos e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos segmentos FG e GH. lados do quadrilátero dado, então o perímetro do

A quadrilátero RSTU vale: a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm

D E e) 12 cm

F

I

G

H

B C

17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se 18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento AF e EJ em função de x e de y. DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-

A

F

termine a medida do segmento EF.

B G A

C H

D I D E

E J F

B C

43


45/71


01) x = 32º, y = 116º, z = 64º, t = 90º

02) a

03) x = 64º, y = 116º

04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm

05) 6 cm

06) b

07) b

08) e

9) c

10) 64º e 116º11) 50º, 65º e 65º

12) c

13) a

14) a) 360ºb) 1 e 1c) 60º

15) FG = 6 cm e GH = 6 cm

16) d

17) AF = 3x - y EJ = 3y - x 2 2

18) 4cm

44


46/71

I) Polígonos convexos.

d

vértice

i

e lado d - diagonal i - ângulo interno e - ângulo externo

i + e = 180º


Polígonos convexos.

Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).

3 lados - triângulo 11 lados - undecágono 4 lados - quadrilátero 12 lados - dodecágono 5 lados - pentágono 13 lados - tridecágono 6 lados - hexágono 14 lados - quadridecágono 7 lados - heptágono 15 lados - pentadecágono 8 lados - octógono 16 lados - hexadecágono 9 lados - eneágono 17 lados - heptadecágono

10 lados - decágono 18 lados - octodecágono 19 lados - eneadecágono 20 lados - icoságono

II) Soma das medidas dos ângulosinternos de um polígono convexo.

(Si)

i4

i3 in

i2 i1

Si = i1 + i2 + i3 + ... + in

Si = 180 (n - 2)

n - nº de lados do polígono

III) Soma das medidas dos ângulosexternos de um polígono convexo.

(Se) e4

e3

e2 en

e1

Se = e1 + e2 + e3 + ... + en

Se = 360º

Para qualquer polígono convexo

IV) Número de diagonais de umpolí-gono convexo.

(d)

Diagonal é o segmento que unedois vértices não consecutivos.

d =n (n - 3)2

n - nº de lados do polígono

V) Polígono regular.

e

i e

i

i

e

e i i

e

C ângulo

central

Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.

Classificação dos polígonos regulares

3 lados - triângulo equilátero

4 lados - quadrado

5 lados - pentágono regular 6 lados - hexágono regular

etc

Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.

i = i

> i = 180 (n - 2)

n n Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.

e 360 (importante) e = n > e = n

Observação- Todo polígono regular pode ser inscritoecircunscrito numa circunferência.

45


47/71

01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo. convexo.

03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº cada ângulo externo de um eneágono regular. de diagonais de um octógono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-

nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais. 06) Determinar o nº de diagonais de um polígonoregu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.

07) Determinar o nº de diagonais de um polígono

regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulointerno excede a medida do ângulo externo em 132º.

08) Determinar a medida do ângulo externo de um

polígono regular que tem 14 diagonais.

46


48/71

09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-seque B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.Determine quais são os polígonos A e B.

10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-seque B tem 6 lados a mais do que A e a diferençadas medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.

11) Determine a medida do ângulo agudo formadoentre a diagonal AF e lado AB de um dodecágonoregular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ângulo agudo formadopelos prolongamentos das diagonais AC e DG deum dodecágono regular ABC...KL.

47


49/71

13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen- 14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí- tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma gono convexo medem 130º cada um e os demais estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu- ângulos internos medem 128º cada um. O nº de

ra. Nestas condições, o ângulo mede: lados desse polígono é:

a) 108ºb) 72ºc) 54ºd) 36ºe) 18º a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da 16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, n lados, n > 4, são prolongados para formar uma que formam entre si o ângulo . A soma dos ângulos

estrela.

A medida, em graus, de cada vértice da

internos A e D desse quadrilátero corresponde a: estrela é:

a) /4b) /2c) d) 2e) 3 a)360º

n b)(n - 4) . 180º

D N n

c) (n - 2) . 180º C n

d) 180º _

90º

n

e)180º

M n

A

B

48


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1) 2340º e 90 diagonais


3) 140º e 40º


5) 1980º

6) 54 diagonais

7) 90 diagonais

8) 360º / 7

9) Heptágono e undecágono

10) Eneágono e pentadecágono11) 60º

12) 75º

13) d

14) b

15) d

16) b

49


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Geometria plana Polígonos convexos.


01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:

a) a soma das medidas dosângulos internos.

b) a soma das medidas dosângulos externos.

c) o número de diagonais dessepolí-gono.

02) Dado um undecágono convexo, determinar:

a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse polí- internos. externos. gono.

03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma dasmedidas dos ângulos internos é 2160º.

04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.

50


52/71

05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B

C

E D

06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que opolígono B.

07) Dado um eneágono regular, determinar :

a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. internos.

d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo- externos. no.

08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de umângulo interno.

51


53/71

09) Dado um pentadecágono regular, determinar :

a) o número de lados dopentadecá-gono.

b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulointerno. internos.

d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ânguloexterno. externos.

f) o número de diagonais dopenta-decágono.

10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que adiferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.

11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o

lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do

dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. A

L

K

C B

D

E

F

O

G

J H I

52


54/71

13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :

A

J B

I

C

O

H

D

G E

F

a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.

internos do decágono.

d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtusoforma-do pelos prolongamentosdos lados BC e DE.

f) a medida do ângulo agudoforma-do pelos prolongamentosdos lados BC e EF.

g) a medida do ângulo agudo forma- h) a medida do ânguloEOG. do entre as diagonais BI e AG.

i) a medida do ângulo EBC.

53


55/71

14) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 15) No icoságono regular abaixo, determinar as medi- medida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z.

AB ND e BJ. A T

U

B C

P S D

N

C

z

R x y E

M D

Q

F

O

O L E P G

K F N H

M

I

J G L K J

I H

DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos

16) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-

17) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK

minar as medidas dos ângulos x, y, z e t. inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-

A nar as medidas dos ângulos x, y, z e t. L B A

L B

Kx C y y K C

z x t

D J O J D

O

I E t z

I

E H F

G H F G

DICA - Aplique ângulos inscritos


18) A figura abaixo representa um octógono regular 19) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF. AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A

A I

B

x B H

z y

H C

t O

G C O G D

F D x F

E

E

DICA - Aplique ângulos inscritos 54



56/71

20) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

93º y

x

105º

88º

22) Se a soma dos ângulos internos de um polígonoregular é 1620º, sendo x a medida de cada ânguloexterno então: a) x = 18ºb) 30º < x < 35ºc) x = 45ºd) x < 27ºe) 40º < x < 45º

24) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüiláteroe DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se queD pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G eH pertencem ao lado BC, determinar as medidas

dos ângulos ADE e CDH.

A

E

D F

C B

H

G

21) Dado um polígono convexo ABCD... com nlados, n > 3, o número de diagonais do polígonoque não passam pelo vértice A é dado por:

a) 5n - 4 2

b) n - 11n 2

c) n - 5n + 6

2d) n(n-3)2

2 e) 2n - 4

23) Três polígonos têm o número de ladosexpressos por números inteiros consecutivos.Sabendo que o número total de diagonais dos trêspolígonos é igual a 28, determine a polígono commaior número de diagonais.

25) Dado o eneágono regular ao lado, determinar amedida do ângulo formado pelos prolongamentosdos lados AB e DE.

A

I B

H

X

C

G D

F E

55


57/71

26) Os lados de um polígono regular de n lados,com n > 4, são prolongados para formar umaestrela. Dar a expressão que fornece a medida decada um dos ân-

27) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a somade dois ângulos internos consecutivos mede 190º.O maior ângulo formado pelas bissetrizes internasdos dois outros ângulos mede:

a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º

28) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígonoregular de 2n lados, que não passam pelo centro dacircunferência circunscrita a esse polígono, é dadopor:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d) n(n - 5)2

e) n.d.a.

29) (FEI) O menor ângulo interno de um polígonocon-vexo mede 139º, e os outros ângulos formamcom o primeiro uma progressão aritmética de razão2. De-termine o número de lados do polígono.

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Respostas desta aula

01) 16) x = 75º, y = 45º, z = 30º e t = 120º a) 2700º b) 360º c) 119

17) x = 105º, y = 90º, z = 75º e t = 90º 02)

18) x = 135º, y = 135º, z = 67,5º e t = 112,5º a) 1620º b) 360º c) 44

03) 14 lados e 77 diagonais 19) 40º

04) 1620º 20) 74º

05) 360º 21) c

06) Quadridecágono e dodecágono 22) b

07) 23) heptágono a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º

24) 24º e 48º e) 40º f) 27

08)

Eneágono

25)

60º

09) 26) 180 (n - 4) a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º n

e) 24º f) 90 27) d

10) Pentadecágono e dodecágono 28) a

11) 18º 29) 12

12) 120º

13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º

f) 72º

g) 54º

h) 72º

i) 36º

14) 72º

15) x = 27º, y = 108º e z = 45º

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59/71


Ângulos na circunferência.

I) Elementos da circunferência.

A

r

C r P

r

D B

II) Posições relativas entreponto e circunferência.

C - centro da circunferência

AC = r - raio da circunferência AB = 2r - diâmetro da circunferência ACD = - ângulo central APD - arco da circunferência AD - corda da circunferência

III) Posições relativas entrereta e circunferência.

A

A - ponto

B

exterior B - ponto da

circunferência

CD - ponto

interior D

C - centro dacircunferência

ponto de tangência

reta

tangente

reta secante

reta exterior

IV) Propriedades da circunferência.

1) Em toda circunferência, amedida do ângulo central é igual à

medida do arco correspondente.

A APB =

C P

B

2) Em toda circunferência, o raio éperpendicular à reta tangente no

ponto de tangência.

C

3) Em toda circunferência, o raio,quando perpendicular à corda,

divi-de essa corda ao meio.

C

B

M A

AM = MB

V) Ângulos na circunferência.

a) Ângulo inscrito na circunferência.É o ângulo que tem o vértice na "linha" da

circun-ferência e os dois lados secantes a essacircunferência.Propriedade- O ângulo inscrito vale a metadedoângulo central ou a metade do arcocorrespondente.vértice

- ângulo central

- ângulo inscrito

=

2

b) Ângulo de segmento.É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-

rência, um lado secante e um lado tangente a essacircunferência.Propriedade- O ângulo de segmento vale a metadedoângulo central ou a metade do arco correspondente.

n

t e

a - ângulo central

c

e s

- ângulo de segmento

értice =

2

tangente 58


60/71

IV) Consequências do ângulo inscrito.

1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circun- inscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. são congruentes. diâmetro.

ângulo arco de

mediana medida inscrito

2

relativa à

R

hipotenusa

R R

Hipotenusa hipotenusa e diâmetro

4) Em todo quadrilátero inscrito nu- 5) Ângulo excêntrico de vértice 6) Ângulo excêntrico de vértice ma circunferência os ângulos inter- interno. externo. nos opostos são suplementares. x

= a + b x

= a - b + = 180º 2 2

e

+ = 180º

C

a b

a b x x

vértice

vértice

Exercícios- 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c) x

x

xO O

118º

O

46º

41º

d) e) f)

x 39º

O

O

62º

O

x

x

g) h) i)

x

62º O O x O 104º

x 87º

59


61/71

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.

a) b) c)

B

x 3x

A x

O

55º 12

4º C O O

x

D

d) e) f)

x 50º 52º

x

35º x

O

O

O

g) h) Tente fazer por outro método. i)

88º

x x x

37º 37º

O

O

O

56º

) k) l)

87º

142º º 8

O O

O

x

34º

33º

º

x 3

4

x

m) n) o)

165º

x

146º en te

O O O n

x

a

54º

x

º 77

60


62/71

03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que: 04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja H P um ponto da circunferência distinto de A e de B.

G A Pode-se afirmar que :

70º a) PA = PB

F b) PA + PB = constante B c) PA > PB

2 2 E d) (PA) + (PB) = constante

2 2

D C

e) (PA) - (PB)

= constante

a) as medidas dos arcos AHG e EDG são iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.d) o arco GFE é maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C 06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo- da circunferência de centro O. O valor de x + y é : se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a a) 242º medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do b) 121º ângulo x. c) 118º

D d) 59º

B

e) 62º A x

O

1 18

º

A C y

G x

C

E F B

07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o 08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma

P, B e S estão na circunferência de centro R

e os

que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro em B e em E, respectivamente. Determine a medida,

S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, em graus, do menor arco BE dessa circunferência. mede :

A a) 23º B b) 21º 30’ M c) 22º

A d) 22º 30’ P

R S C

e) 43º

B N

K E D

09) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, DCE mede 38º, determine a medida do ângulo EFD. o arco MSN mede:

C

a) 60ºb) 70ºc) 80ºd) 100ºe) 110º

P

M

A B S

F N

D

T

E Q

61


63/71

11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e NE e BJ.

A z.

P A B U B

N

C

T C

S D

M D R E

z

O Q L E O

F

K F P

y G

x H

J G N

M I I H L K J


13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-

14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK

minar as medidas dos ângulos x, y, z e t. inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-

A nar as medidas dos ângulos x, y, z e t. L B A

L B

K x C y

z y K C

x J t D

O J D O

I E z

I

E

H F t

G F H G


15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD

… de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE. AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as

A

medidas dos ângulos x, y, z e t.

A

I

B

x I B

T H C

H x C O

O z G D

y G D

F E

F P E

DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 62


64/71


01) a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90º f) 28º g) 28º h) 76º i) 87º

02)

a) 28º

b) 22º 30'

c) 110º

d) 20º

e) 40º f) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120º

k) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º

03) E

04) D

05) 35º

06) D

07) B

08) 144º

9) 108º

10) a

11) 84º

12) 45º, 99º e 36º

13) 75º, 30º, 45º e 60º

14) 60º, 90º, 120º e 90º

15) 140º, 140º, 70º e 140º

16) 40º

63


65/71

)

Geometria plana Ângulos na circunferência.



a)

86ºO x V

d)

x

136º

O

g)

x 94º

70º

O

j)

33º

O

x

n)

51º

O

x

b)

º 6 O 4

2

e)

x

O

h) x

23º

O

87º

l)

º

1 O

o)

x

O

56º

x V

88º

38

º

c)

x

O

76º

V

f)

29º

O

x

i)

x

º

68 O

m)

x

O

x

p) 196º

x

O

102º

64


66/71


a)

x

O

2x

d)

x

57º O

g)

56º

O

140º

x

j)

x

O 82º

68º

n)

56º

O x

b) c)

x

O

98º

x

e) f)

x

4 x º

O

h) i)

94º O

26º

x

l) m)

x

55º 115º

120º O

o) p)

x O

44º

65

78º

O

58º 88

O

x

O

40º 36º

x

O

0

0

º

1

48º

O

x


67/71

03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um 04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da circunferência de centro C nos pontos A e B. medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar

ECD e AFE. a medida do arco ADB.

A

B P

C

F C

A

D D

B

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de

cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do a medida do ângulo AEB. diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e

ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.

C B E x

28º A

72º

O

D R O

07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir- pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun- DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE. ferência diferente de A e de B, determine :

C

a) a medida do ângulo ADB.

b) o tipo do triângulo ADB. c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.

d) a medida do segmento CD.

A B B C

F D A

E D

66


68/71

09) A figura abaixo representa um eneágono regular 10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD GB e HD. respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.

A A

I

B

J

B

H C I C

x O

O

G D H D

F E G

E

F


11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono re- inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter- medida do ângulo BDG.

minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD

e BI.

A A

P B

G B N C

M D

O O

F

C

L

E

K F

E D J G

I H

DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 67


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13) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão 14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do âng

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Apostila de Geom Plana