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LIMITES DE FUNÇÕES 1) Introdução
O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo
da Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e
aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a
Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.
2) Noção intuitiva de limites
Vamos analisar alguns casos em que aparece a idéia informal e intuitiva
de limite.
Exemplos:
a)Vamos considerar una região quadrada de área igual a 1.
Num primeiro momento vamos colorir a metade do quadrado.
Parte colorida:
21
da figura.
No momento seguinte, colorimos metade da região e mais metade do
que restou:
Parte colorida:
43
41
21
=+ da figura.
No próximo , colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que
restou:
Parte colorida:
87
81
41
21
=++ da figura.
E assim, sucessivamente e indefinidamente, a área da região colorida
resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento,
quando o número de momentos tende ao infinito, é colorir a figura toda, ou seja,
obter uma área colorida igual a 1.
b) Seja a função 12)( += xxf . Vamos dar valores de x que se aproximem de 1,
pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e
calcular o valor correspondente de y:
Pela direita Pela esquerda x 12 += xy x 12 += xy
1,5 4 0,5 2
1,3 3,6 0,7 2,4
1,1 3,2 0,9 2,8
1,05 3,1 0,95 2,9
1,02 3,04 0,98 2,96
1,01 3,02 0,99 2,98
Notemos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou
seja, quando x tende a 1 ( 1®x ), y tende para 3 ( 3®y ), ou seja:
3)12(lim1
=+®
xx
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da
função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de )(xf quando x tende para 1
( 1®x ). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se )(xf tende para 3 ( 3)( ®xf ),
dizemos que o limite de )(xf quando 1®x é 3, embora possam ocorrer casos em
que para 1=x o valor de )(xf não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
bxfax
=®
)(lim
se, quando x se aproxima de a ( ax ® ), )(xf se aproxima de b ( bxf ®)( )
c) Estudaremos agora o comportamento de uma função f nas proximidades de
um ponto. Seja 1,11
)(2
¹--
= xxx
xf .
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais
simples:
1)(1
)1)(1(11
)(2
+=Þ-
+-=
--
= xxfx
xxxx
xf
Vamos analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do
ponto 1=x , ponto este que não pertence ao domínio de f .
Pela direita Pela esquerda x 1+= xy x 12 += xy
1,5 2,5 0,5 1,5
1,3 2,3 0,7 1,7
1,1 2,1 0,9 1,9
1,05 2,05 0,95 1,95
1,02 2,02 0,98 1,98
1,01 2,01 0,99 1,99
Portanto quando nos aproximemos de 1=x , pela esquerda e pela
direita, o valor desta função se aproxima de 2.
Neste caso dizemos que
211)1(lim)(lim11
=+=+=®®
xxfxx
.
Exercícios
1) Considere a região do plano limitada pelo triângulo retângulo de base fixa e igual
a 4cm. Faça a altura ir se aproximando de 3, mas sem nunca atingir 3, isto é, faça
a altura tender a 3. Complete a tabela dada e verifique para que valor está
tendendo a área dessa região.
Base Altura Área
4 1
4 1,5
4 2,0
4 2,5
4 2,9
4 2,999
4 2,999999
2) O que ocorre, no limite, com a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo
se mantivermos a medida de um cateto constante e a do outro cateto for
diminuindo, tendendo a 0 (mas nunca 0)?
3) Considere a sequência .,1
*NÎ+
= nn
nan
a) Explicite essa sequência, escrevendo os valores para
,...1000,...,100,...,10,...,5,4,3,2,1=n
b) Escreva na forma de número decimal os termos da sequência do item anterior.
c) Para que valor esta tendendo essa sequência, quando n tende para infinito?
4) Considere o gráfico da função logarítmica xxf 2log)( = e reponda:
a) à medida que x tende a 1, )(xf tende para que valor?
b) à medida que x tende para uma valor cada vez maior, )(xf tende para quanto?
Gabarito
1) A área tende a 6 quando a altura tende a 3.
2) Se h tende a 0, então a tende a b.
3) a) ,...10011000
,...,101100
,...,...,1110
,...,65
,54
,43
,32
,21
b) ....99900099,0...;...;990099,0...;...;9090,0...;...;833,0;8,0;75,0...;66,0;5,0
c) Tende a 1.
4) a) 0 b) infinito.
3) Definição informal
Considere uma função f definida para valores de x próximos de um ponto
a sobre o eixo x, mas não necessariamente definida no próprio ponto a.
Suponha que exista um número real L com a propriedade de que f(x) fica
cada vez mais próximo de L, quando x se aproxima mais de a. Diz-se então que L é
o limite de f quando x tende para a, que simbolicamente expressa-se por:
Lxfax
=®
)(lim
Obs.: Se não existe um número L com essa propriedade diz-se que não existe
)(lim xfax®
.
Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica
Lxfax
=®
)(lim
Podemos tornar f(x) tão
próximo de L quanto
quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo
de a e x≠a.
O conceito de limites de funções tem grande utilidade na determinação
do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no
comportamento de funções quando x aumenta muito (tende ao infinito) ou diminui
muito (tende para menos infinito).
Exemplos:
a) Verifique como a função 63
2)(
23
--
=x
xxxf se comporta para valores próximos de 2.
Vamos determinar seu domínio:
236
63063 ¹Þ¹Þ¹Þ¹- xxxx
Portanto para 2=x o domínio não está definido.
Vamos verificar para valores próximos de 2.
x
632
)(23
--
=x
xxxf
x
632
)(23
--
=x
xxxf
1,9 1,20333333 2,1 1,47000000
1,99 1,32003333 2,01 1,34670000
1,999 1,33200033 2,001 1,33466700
1,9999 1,33320000 2,0001 1,33346667
1,99999 1,33332000 2,00001 1,33334667
1,999999 1,33333200 2,000001 1,33333467
Se simplificarmos a função 63
2)(
23
--
=x
xxxf obtemos:
3)2(3)2(
632
)(2223 x
xxx
xxx
xf =--
=--
=
Portanto a função363
2)(
223 xx
xxxf =
--
= .
Vamos verificar graficamente:
Podemos concluir que:
34
...333,163
2lim
23
2=@
--
® xxx
x
b) Verifique como a função 1 se 2
1 se1
2)(
2
ïî
ïíì
=
¹--+
x
xx
xxxg se comporta para valores
próximos de 1.
Observe que para 1=x o domínio não esta definido para a primeira parte
da função )(xg .
Simplificando 1-x
2)1)(x-(x1
22 +=
--+
xxx
obtemos 2+x .
Construindo e analisando graficamente temos:
Podemos observar que quando x tende a 1 o valor de y tende a 3, ou
seja 3)(lim1
=®
xgx
, pois o que interessa é o comportamento da função quando se
aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando 1=x .
c) Verifique como a função x
xf1
)( = se comporta para valores próximos de 0.
Temos que o domínio é }0{-Â .
Portanto para 0=x o domínio não esta definido.
Vamos verificar para valores próximos de zero.
x )(xf x )(xf Vamos verificar graficamente:
-0,1 -10 0,1 10
-0,01 -100 0,01 100
-0,001 -1000 0,001 1000
-0,0001 -10000 0,0001 10000
-0,00001 -100000 0,00001 100000
-0,000001 -1000000 0,000001 1000000
Neste caso quando x tende valores negativos e positivos. Cada vez mais
próximo de zero, verificamos que temos dois valores para a f(x). O que contradiz a
nossa definição informal de limite, isto é, não existe xx
1lim
0® .
Exercícios
1) Ache o valor de cada limite, caso exista, usando valores próximos:
a) )2(lim 2
3+
®x
x b) x
x 4lim®
c) 7lim100®x
d) 124
lim1 +
+® x
xx
e) 42
lim5 -
+® x
xx
f) )13(lim2
--®
xx
g) )(lim3
xx
--®
h) 100lim7®x
i) p1
lim-®x
j) )1(lim -®px
2) Use a simplificação algébrica para achar o limite, caso exista, utilizando valores
próximos:
a) )3)(1()4)(3(
lim3 ++
-+-® xx
xxx
b) 1
)3)(1(lim
2
1 +++
-® xxx
x c)
24
lim2
2 --
® xx
x
d) h
xhxh
22
0
)(lim
-+®
e) 82
4lim 22 --
--® zz
zz
f) 3
362lim
23
3 --+-
® xxxx
x
g) 2
lim 2
2
1 -+-
® rrrr
r h)
12732
lim 2
2
3 ++-+
-® rrrr
r i)
28
lim3
2 ++
-® hh
h
j) 28
lim3
2 --
-® hh
h
Gabarito
1) a) 11 b) 4 c) 7 d) 5/3 e) 7
f) –7 g) 3 h) 100 i) π j) –1
2) a) 7/2 b) 4 c) 4 d) 2x e) Não existe
f) 19 g) 1/3 h) –4 i) 12 j) 4
4) Definição de limite
Dizemos que o limite da função )(xf quando x tende a “a” é igual ao
número real L se, e somente se, os números reais )(xf para os infinitos valores de
x permanecem próximos a L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.
Indica-se:
Lxfax
=®
)(lim
5) Propriedades dos limites
1°) Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante.
kkax
=®
lim
Exemplo: 33lim2=
®x
2°) Limite da soma e diferença
O limite da soma é soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax ®®®
±=±
Exemplo: [ ] 4313limlim3lim 2
1
3
1
23
1=+=+=+
®®®xxxx
xxx
3°) Limite do produto
O limite do produto é o produto dos limites.
[ ] )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax ®®®
=
Exemplo: 369.4lim.4lim4lim 2
33
2
3===
®®®xx
xxx
4°) Limite do quociente
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o
denominador não seja zero.
)(lim
)(lim
)()(
limxg
xf
xgxf
ax
ax
ax®
®
®=
Exemplo: 65
4232
)4(lim
)3(lim
)4()3(
lim2
2
2=
++
=+
+=
++
®
®
® x
x
xx
x
x
x
5°) Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência
enésima do limite.
[ ] ( )nax
n
axxfxf )(lim)(lim
®®= *NÎn
Exemplo: ( ) ( ) 16)31()3(lim3lim 222
1
22
1=+=+=+
®®xx
xx
6°) Limite da raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual a raiz enésima do limite
dessa função. *n ,)(lim)(lim NÎ=
®®n
ax
n
axxfxf
Exemplo: 55 4
2
5 4
2483lim3lim ==
®®xx
xx
Exercícios
1) Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que
foram usadas.
a) ( )325lim 2
4+-
®xx
x b) ( )( )323
8621lim xxx
x+-+
® c)
3
421 34131
lim ÷øö
çèæ
+++
® xxx
x
d) 34
2lim 21 -+
--® xx
xx
e) ( ) ( )532
131lim ++
-®tt
t f) 63lim 4
2++
-®uu
u
g) 3 23
254lim xxxx
x-+-
® h)
153
lim52
1 --+
-® xxxx
x i)
22345
2 2lim ÷÷
ø
öççè
æ-
-+--® x
xxxxx
j) 4 234
1132lim +-+-
-®xxxx
x
2) Calcule o limite, caso existir.
a) 7lim4®x
b) 32
lim1-®x
c) ( )xxx
+®
3
25lim d) ÷
øö
çèæ -
-®xx
x 21
4lim 2
4
e) ( )13lim 2
3-+
®xx
x f) ( )1lim 234
0++-
®xxx
x g) 2
16lim x
x® h) )4)(1(lim
3xx
x--
®
i) 1
4lim
2
3 +® xx
x j)
1lim 2
3
5 -® xx
x k) ( )6
112lim -
-®x
x l) ( )223
21523lim -+-
®xxx
x
m) 4 4
181lim x
x® n) 3 2
4lim xx®
o) )4)(3(lim 2
2-+
®xx
x p) 50
2
1)14(lim -
®x
x
q) 5
2lim
4
23
16 ++
® x
xxx
r) 6
1
1lim ÷
ø
öçè
æ +® x
xx
s) 3 2
445lim --
®xx
x t)
1352
lim 2
3 3
3 --+
® xxx
x
u) ( )43lim4
-®
xx
v) )13(lim
2+-
-®x
x
w) 34
5lim
2 +-
-® xx
x
x) 1312
lim4 +
-® x
xx
y) 4
1)52(lim +-
®x
x z) 5
2)13(lim -
-®x
x
3) Calcule o limite, caso existir.
a) 15lim2®x
b) 2lim15®x
c) x
x 2lim
-®
d) xx 3lim®
e) ( )100
393lim -
®x
x
f) ( )50
21
14lim -®
xx
g) ( )723lim 3
2+-
-®xx
x
h) ( )895lim 2
4--
®xx
x
i) ( )( )9743lim3
-+-®
ttx
j)
9216
lim4 -
-® s
ss
k)
7816364
lim 3
2
21 -+
+-® xx
xx
x l)
276352
lim 2
2
21 +-
-+® xx
xx
x
m) 82
lim 32 --
® xx
x
n) 168
lim 4
3
2 -+
-® xx
x
o) 2
211
lim2 -
÷øö
çèæ-÷
øö
çèæ
® xx
x
p) ÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ
+-®
311
3lim
3
x
xx
q) ÷÷ø
öççè
æ-
--® 1
11
lim2
1 xxx
x r)
34
32
8
4
16lim
x
xx
--®
s) 14lim 4
2+-
-®xx
x
t) h
hh
+-®
164lim
0
u) ÷ø
öçè
æ -+
÷øö
çèæ
®1
1
11lim
0 hhh
v) 1
2lim 5
2
1 --+
® xxx
x
w) 1
107lim 6
2
2 -+-
® xxx
x
x) ( )( )32
3943lim vvv
v--
®
y) 32
22343lim ++
®kk
k
z) ( )325lim 2
5+-
®x
x
4) Calcule os seguintes limites, caso existam.
a) )253(lim 2
2+-
®xx
x b)
3432
lim2
1 --+
-® xxx
x c)
22
1 2312
lim ÷÷ø
öççè
æ-+-
® xxx
x
d) 32
23
2 34232
lim+++-+
-® xxxxx
x e) )574(lim 2
1+-
®xx
x f)
)342(lim 23
1+--
-®xxx
x
g) 56
23lim 22 +-
+® xx
xx
h) 12
453lim
2
1 ++-
-® xxx
x i) x
xxx 35
32lim
2
3 --+
-®
j) 3
2
2
2 43523
lim ÷÷ø
öççè
æ++---
® xxxx
x k)
2
2
23
4 292523
lim ÷÷ø
öççè
æ+----
® xxxxx
x l)
45432
lim2
1 --+
-® xxx
x
m) 323
2 34253
lim+
+---® x
xxxx
n) xxx
x 46232
lim2
2 -++
® o)
xxx
x 24
lim 2
2
2 --
®
p) 11
lim2
1 --
® xx
x q)
xx
x +-
-® 24
lim2
2 r)
3294
lim2
23 -
-® x
x
x
s) 634
lim 2
2
3 --+-
® xxxx
x t)
252352
lim 2
2
21 +-
-+® xx
xx
x u)
12523116
lim 2
2
23 --
++-® xx
xx
x
v) 11
lim 2
3
1 --
® xx
x w) 2
3
2 48
limxx
x -+
-® x) 3
4
2 816
limx
xx -
-®
5) Seja a função f definida por
1 se 3
1 se 1
23)(
2
ïî
ïíì
=
¹-+-
=x
xx
xxxf
Calcular )(lim1
xfx®
.
6) Seja a função f definida por
2 se 3
2 se 2
232)(
2
ïî
ïíì
=
¹-
--=
x
xx
xxxf
Calcular )(lim2
xfx®
.
7) Seja a função f definida por
3 se 3
3 se 3
992)(
2
ïî
ïíì
-=
-¹+
++=
x
xx
xxxf
Calcular )(lim3
xfx -®
.
8) Calcule os limites, caso existam.
a) 353142
lim 23
23
1 -+-+-+
® xxxxxx
x b)
233
lim 23
23
1 +---+
-® xxxxx
x c)
3896
lim 3
3
3 ----
® xxxx
x
d) 584463
lim 23
23
1 -+--+-
® xxxxxx
x e) 23
4
2 2410
limxx
xxx -
+-®
f) 132
243lim 23
23
1 +-+--
® xxxxx
x
g) 3423
lim 4
3
1 +-+-
® xxxx
x h)
447212124
lim 23
234
2 -++--++
-® xxxxxxx
x
i) 254
45lim 23
234
1 +++++--
-® xxxxxxx
x j)
81227241252
lim 234
234
2 --++---+
-® xxxxxxxx
x
k) 3
21lim
3 --+
® xx
x l)
11
lim1 -
-® x
xx
m) x
xx
--®
11lim
0
n) 1
23lim
1 --+
® xx
x o)
xxx
x
121lim
2
0
---®
p) x
xxx
--+®
11lim
0
q) 1
12lim
1 -+-
® xxx
x r)
1103
lim 21 ---
® xx
x s)
912
lim 23 -+-
® xx
x
t) 2323
lim 21 +--+
® xxx
x u)
232
4lim
2
2 --+-
® xx
xx
v) 23
3333lim 2
22
1 +--+-+-
® xxxxxx
x
Gabarito
1)a) 75 b) 390 c) ½ d) ½ e) 256 f) 10 g) 0 h) 23
- i) 225 j) 4 8
2) a) 7 b) 32
c) 42 d) 66 e) 29 f) 1 g) 6 h) 2 i) 9 j) 24
125 k) 729 l)625
m) 3 n) 3 22 o) 2025 - p) 1 q) 772
r) 64 s) –2 t) 21
-
u) 8 v) 7 w) 7/5 x) 7/13 y) 81 z) –16807
3) a) 15 b) 2 c) –2 d) 3 e) 0 f) 1 g) –13 h) 36 i)150 j) –23
k) –½ l) Não existe m) 1/12 n) –3/8 o) –¼ p) 9 q) 2 r) 16/3 s) 5
t) 1/8 u) ½ v) 3/5 w) 0 x) 810 y) 8 z) 3
4) a) 4 b) 4/7 c) 4 d) –2 e) 2 f) 4 g) –8/3 h) –12 i) 0 j) 1/8 k) 9/4 l) 35
m) 2 n) –2 o) 2 p) 2 q) 4 r) 6 s) 4/5 t) –7/3 u) 7/11 v) 3/2 W) 3 x) –8/3
5) –1 6) 5 7) –3
8) a)2 b) –4/5 c) 21/19 d) 1 e) 11/2 f) 5/3 g) ½ h) –1/5 i) 8 j) 7/8 k) ¼ l) ½
m) ½ n) ¼ o) –1 p) 1 q) 42 r) 1/12 s) –1/24 t) –1/4 u) –8 v) 3
6) Limites laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua
direita, escrevemos:
bxfax
=+®
)(lim
Este limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua
esquerda, escrevemos:
cxfax
=-®
)(lim
Este limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de )(xf para ax ® existe se, e somente se, os limites laterais à
direita e a esquerda são iguais, ou seja:
ÞSe bxfxfaxax
==-+ ®®
)(lim)(lim , então bxfax
=®
)(lim .
ÞSe )(lim)(lim xfxfaxax -+ ®®
¹ , então não existe )(lim xfax®
.
Vejamos um exemplo de aplicação que envolve limites laterais.
Um gás (tal como vapor d’água ou oxigênio) é mantido a temperatura
constante no pistão da figura abaixo. À medida que o gás é comprimido, o volume
V decresse até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa pressão, o gás
assume forma líquida. Use o gráfico abaixo para acahr e interpretar.
a)
VP -®100lim ; b)
V
P +®100lim ; c) V
P 100lim®
.
a) Vemos pela figura acima que, quando a pressão P em (torrs) é baixa,
a substância é um gás e o volume V (litros) é grande. (A definição de torr, unidade
de pressão, pode ser encontrada em textos de física.) Se P se aproxima de 100 por
valores inferiores a 100, V decresse e se aproxima de 0,8, isto é
8,0lim100
=-®V
P
O limite 0,8 representa o volume no qual a substância começa a se
transformar de gás em líquido.
b) Se P > 100, a substância é um líquido. Se P se aproxima de 100 por
valores superiores a 100, o volume V aumenta muito lentamente (pois os líquidos
são quase incompressíveis), e
3,0lim100
=+®V
P
O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa a se
transformar de líquido em gás.
c) VP 100lim®
não existe, pois os limites lateriais à direita e a esquerda em (a)
e (b) são diferentes. (Em P = 100, as formas gasosa e líquida coexistem em
equilíbrio, e a substância não pode ser classificada seja como gás ou como
líquido.)
Exercícios
1) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim3
xfx -®
. b) )(lim3
xfx +®
. c) )(lim3
xfx®
. d) )(lim xfx -¥®
. e) )(lim xfx +¥®
. f) )(lim4
xfx®
.
2) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim2
xfx --®
. b) )(lim2
xfx +-®
. c) )(lim2
xfx -®
. d) )(lim xfx -¥®
. e) )(lim xfx +¥®
.
3) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim1
xfx -®
. b) )(lim1
xfx +®
. c) )(lim xfx -¥®
. d) )(lim xfx +¥®
. e) )(lim1
xfx®
.
4) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim0
xfx -®
. b) )(lim0
xfx +®
. c) )(lim0
xfx®
. d) )(lim xfx -¥®
. e) )(lim xfx +¥®
. f) )(lim2
xfx®
.
5) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim2
xfx -®
. b) )(lim2
xfx +®
. c) )(lim xfx -¥®
. d) )(lim xfx +¥®
. e) )(lim1
xfx®
.
6) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim2
xfx -®
. b) )(lim2
xfx +®
. c) )(lim2
xfx®
. d) )(lim0
xfx -®
. e) )(lim0
xfx +®
. f) )(lim0
xfx®
.
7) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim2
xfx -®
. b) )(lim2
xfx +®
. c) )(lim2
xfx®
. d) )(lim0
xfx -®
. e) )(lim0
xfx +®
. f) )(lim0
xfx®
.
8) Seja )(xf a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) )(lim2
xfx -®
. b) )(lim2
xfx +®
. c) )(lim2
xfx®
. d) )(lim0
xfx -®
. e) )(lim0
xfx +®
. f) )(lim0
xfx®
.
9) Calcule os limites laterais.
a) 1
2lim
1 -+® xx
x b)
2lim
2
2 --® xx
x c)
3215
lim 2
2
3 --++
+® xxxx
x d)
525
lim2
5 --
-® xx
x
e) 2
lim3
2 -+® xx
x f)
3215
lim 2
2
3 +-+-
+® xxxx
x g)
hh
h
9)3(lim
2
0
-++®
h) 11
lim 2
3
1 --
-® xx
x
i) x
xx -
-+® 2
4lim
2
2 j)
xx
x
22lim
0
-++®
10) Para cada função )(xf abaixo, calcule )(lim xfax +®
, )(lim xfax -®
e )(lim xfax®
, quando
existirem.
a) 6,6
4)( =
-= a
xxf b)
1,
13
)( =-
= ax
xf
c) 0,5
)( =+
= ax
xxf
d)
2,2
)( =-
= ax
xxf
e)
1,
1)(
2
=-
= axx
xf
f)
0,1
)( == ax
xf
g) 0,1
)( 2 == ax
xf
h)
0,1
)( 2 =-
= ax
xf
i)
0,1
)( 3 == ax
xf
j) 0,1
2)( 2 =+= ax
xxf
k) 2,2
35)( =
-+= a
xxxf
l) 1,
)1(5
)( 2 =-
= ax
xxf
m) 1,)1(5
1)( 2 =
-= a
xxxf
n) 3,
)3(4
)( 2 =-
= ax
xxf
o) 3,
)3(41
)( 2 =-
= axx
xf
11) Calcule os limites, caso existam.
a) 39
lim2
3 --
® xx
x b)
xx
x +-
-® 749
lim2
7 c) 25 25
5lim
xx
x --
®
d) xxxx
x 3lim 2
2
0 -+
® e)
xxx
x -® 2
3
0 2lim
f)
134
lim2
1 -+-
® xxx
x
g) 4
127lim
2
4 -+-
® xxx
x h)
231
lim 21 +--
® xxx
x i)
112
lim2
1 -+-
® xxx
x
j) 42
lim 22 --
® xx
x k)
28
lim3
2 --
® xx
x l)
6527
lim 2
3
3 +--
® xxx
x
m) 1
34lim 3
2
1 -+-
® xxx
x n)
231
lim 21 +++
-® xxx
x
Gabarito
1) a) –1 b) 3 c) 1 d) –1 e) 3 f) 3 2) a) 0 b) 0 c) 0 d) +∞ e) +∞
3) a) ½ b) +∞ c) –∞ d) ½ e) ½ 4) a) 0 b) 0 c) 0 d) –∞ e) +∞ f) 4
5) a) 0 b) 0 c) –∞ d) +∞ e) 1 6) a) 3 b) 1 c) não existe d) 2 e) 2 f) 2
7) a) 4 b) 4 c) 2 d) 1 e) 1 f) 1 8) a) 1 b) 1 c) 4 d) 3 e) 3 f) 3
9)a) +∞ b) –∞ c) –∞ d) –∞ e) –∞ f) –0,8333 g) 6 h) 1,5 i) –4 j) 0,3535
10) a) ∞, –∞ e não existe o limite; b) –∞, ∞ e não existe o limite; c) ∞, –∞ e
não existe o limite; d) –∞, ∞ e não existe o limite; e) ∞, –∞ e não existe o
limite; f) ∞, –∞ e não existe o limite; g) ∞, ∞ e ∞; h) –∞, –∞ e –∞; i) ∞, –∞ e não existe o limite; j) ∞, ∞ e ∞; k) ∞, –∞ e não existe o limite; l) ∞, ∞ e ∞; m) ∞, ∞ e ∞; n) ∞, ∞ e ∞; o) ∞, ∞ e ∞.
11) a) 6; b)14; c) 1/10; d) –1/3; e) 0; f) –2; g) 1; h) –1; i) 0;
j) ¼ ; k) 12; l) 27; m) –2/3; n) 1.
7) Continuidade
Dizemos que uma função é continua num ponto a do seu domínio se as
seguintes condições são satisfeitas:
Þ )(af é definida;
Þ )(lim xfax®
existe;
Þ )()(lim afxfax
=®
.
Ao utilizarmos estas condições para mostrar que uma função f é
contínua em c , basta verificar a terceira condição, porque se )()(lim afxfax
=®
, então
)(af deve ser definida e também )(lim xfax®
deve existir, ou seja, as duas primeiras
condições estão satisfeiras automaticamente.
Exemplos: a) Verificar se a função 24
)(2
--
=xx
xf é contínua em 3=x .
Cálculo de )3(f
52343
)3(24
)(22
=--
=Þ--
= fxx
xf
Calculo do )(lim3
xfx®
:
523)2(lim2
)2)(2(lim
24
lim33
2
3=+=+=
--+
=--
®®®x
xxx
xx
xxx
Como )3()(lim3
fxfx
=®
, )(xf é contínua em 3=x .
b) Utilizando a mesma função do exemplo anterior, só que agora no ponto 2=x e
verifificar se a função continua sendo contínua.
Cálculo de )2(f
00
2242
)2(24
)(22
=--
=Þ--
= fxx
xf
Este resultado é chamado de indeterminação e iremos falar no próximo
item. Logo para )2(f a função não esta definida.
Se formos verificar a existância do limite neste ponto temos:
422)2(lim2
)2)(2(lim
24
lim22
2
2=+=+=
--+
=--
®®®x
xxx
xx
xxx
Mas como falhou a primeira das três condições, não precisamos testar
as outras (mesmo sabendo que o limite existe) para saber que a função é
descontinua no ponto 2=x .
Exercícios
1) Dada a função 1
1)(
+-
=x
xxf , diga se )(xf é contínua nos pontos:
a) 0=x . b) 1-=x . c) 2=x .
2) Dada a função 103
5)( 2 -+
+=
xxx
xf , diga se )(xf é contínua nos pontos:
a) 5=x . b) 2=x .
3) Determine se a função é contínua ou não no ponto indicado.
a) 15)( 3 +-= xxxf para 2=x ; 2-=x ; 0=x .
b) ( ) 51)( 2 +-= xxg para 1=x ; 1-=x ; 0=x .
c) 9)( 2 += xxh para 3=x ; 3-=x ; 2=x .
d) 9)( 2 -= xxg para 2-=x ; 3-=x ; 1=x .
e) 1
1)(
-=
xxf para 1=x ; 1-=x ; 0=x .
f) 4
2)( 2 -=
xxh para 2=x ; 2-=x ; 0=x .
Gabarito
1)a)contínua b) descontínua c) contínua 2)a) contínua b) descontínua
3) a) contínua; contínua; contínua. b) contínua; contínua; contínua.
c) contínua; contínua; contínua. d) descontínua; contínua; descontínua.
e) descontínua; contínua; contínua. f) descontínua; descontínua; contínua.
8)Formas indeterminadas
Existem símbolos que não tem significado e são denominados como
símbolos de indeterminação que são 00
, ¥¥
, ¥-¥ , ¥.0 , ¥1 , 00 , 0¥ .
Obs.: Se o limite de uma função der uma destas indeterminações não significa que
o limite não existe, devemos levantar a indeterminação e encontrar o limite da
função.
9) Limites envolvendo infinitos
01
lim =®¥ xx
Exemplo:
01
lim =-¥® xx
¥=+® xx
1lim
0
-¥=-® xx
1lim
0
10) Limites envolvendo funções compostas
Antes de falarmos em limites envolvendo funções compostas, vamos
fazer uma breve revisão para enterdermos o que é uma função composta.
Em primero temos que entender que função é uma relação entre dois
conjuntos. Uma função composta é uma relação de outra relação, ou seja, é uma
relação que depende de outra pra existir.
Costuma-se dizer que função composta é a junção de duas outras
funções. Matematicamente podemos dizer que função composta é:
Considerando três conjuntos distintos A , B e C . Entre eles existem as
seguintes funções: BAf ®: e CBg ®: .
Irá existir outra função CAh ®: , assim a função ))(()( xfgxh = é
chamada função composta. Essa função composta também poderá ser indicada
por ))(( xfgfg =o (lê – se: g composta com f ).
Observando a definição acima de função composta, veja um exemplo de
como encontramos uma função composta:
Dados três conjuntos }3,0,1,2{ --=A , }8,1,0,3{ -=B e }16,2,0,6{ -=C .
Entre eles existem as seguintes funções:
BAf ®: definida por 1:)( 2 -xxf e CBg ®: definida por xxg 2)( = .
Veja o diagrama abaixo que representa essas funções:
Para cada elemento de A existe um elemento em B tal que 1:)( 2 -xxf
e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que xxg 2)( = . Assim,
podemos concluir que existe uma função CAh ®: definida por ))(()( xfgxh = , ou
seja, 22)1(2)( 22 -=-= xxxh . Veja o diagrama abaixo:
Exemplos: a) Sendo dados 2)( 2 += xxf e xxg 3)( = , calcular ))(( xfg e ))(( xgf .
29))((292)3()3())((
63))((63)2(3)2())((222
2222
+=Þ+=+==
+=Þ+=+=+=
xxgfxxxfxgf
xxfgxxxgxfg
b) Dados 12)( -= xxf e 23)( += xxg , calcular ))1((gf .
9363)1(6))1((
361461)23(2)23())((
=+=+=+=-+=-+=+=
gf
xxxxfxgf
Agora retomando nosso limites que envolvem funções compostas.
Se bxgcx
=®
)(lim e f é contínua em b então:
( ) ( ))(lim)()(lim xgfbfxgfcxcx ®®
==
ncx
n
cxxgxg )(lim)(lim
®®=
Exemplo: ( ) ( ) 3
1271
)9333
1)93(
1lim
)93)(3(3
lim 332
323
323
==+---
=+-
=+-+
+-®-® xxxxx
xxx
11) Limite da função polinomial para
nnxxxaxf
±¥®±¥®= lim)(lim
mm
nn
xx xbxa
xgxf
±¥®±¥®= lim
)()(
lim
Exemplos: a) Dada a função 1252)( 23 -+-= xxxxf , calcular )(lim xfx +¥®
.
+¥==++-
÷øö
çèæ ++-=-+-=
+¥®+¥®
+¥®+¥®+¥®
33
32323
2lim)0002(lim
1252lim1252lim)(lim
xx
xxxxxxxxf
xx
xxx
b) Calcular 734152
lim 2
2
-++-
+¥® xxxx
x
21
42
42
lim004002
lim73
4
152
lim734
152
lim734152
lim
2
2
222
2
222
2
2
2
===-++-
=-+
+-=
-+
+-=
-++-
+¥®+¥®+¥®+¥®+¥® xxxxx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxxx
c) Calcular ( )xxxx
-+++¥®
32lim 2
( )( )( )
122
lim2
lim32
32lim
32
32lim
32
3232lim
22
2
22
2
22
==+
=+++
++++
-++=
+++
+++-++
+¥®+¥®+¥®
+¥®+¥®
xx
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xx
±¥®x
Exercícios
1) Calcule os limites, caso existam.
a) ( )72lim ++¥®
xx
b) ( )14lim +--¥®
xx
c) ( )423lim 36 +-++¥®
xxxx
d) ( )xxxx
324lim 27 ++-¥®
e) 5418
lim-+
®¥ xx
x f)
6523
lim 2 +-+
-¥® xxx
x
g) 12lim 23 ++-¥®
xxxx
h) 13
lim 2
2
--
®¥ xxx
x i)
2
3216
lim ÷øö
çèæ
+-
®¥ xx
x
j) xxxx
-+-®¥
75lim 2 k) 742135
lim 2
2
-++-
-¥® xxxx
x l)
xx
x 3274
lim+-
-¥®
m) 322
lim 2
3
-+-
®¥ xxx
x n)
32
lim2
+-
-¥® xx
x o) 3
2
)1(8
lim+
+¥® xx
xx
p) 15
23lim
+-
¥® xx
x q)
2334
lim+-
-¥® xx
x r)
14
lim2
+-
¥® xx
x
s) 11
lim 2
3
+-
-¥® xx
x t)
265343
lim 23
2
+-++-
¥® xxxxx
x u)
184
lim 3
2
-+
-¥® xx
x
v) 33
2
)1(1
limxx
xxx -+
++-¥®
w) )2)(1(
)32(lim
3
++-
¥® xxxx
x x)
)14)(13(2)23(
lim3
-++
-¥® xxxx
x
y) 5
23 )23()32(lim
xxx
x
--¥®
z) 3
44
)32()1()2(
lim+
--+-¥® x
xxx
2) Calcule os limites, caso existam.
a) ( )xxxx
-++¥®
43lim 2
b) ( )xxx
x-++
+¥®23lim 2
c) ( )24lim --+
¥®xx
x
d) ( )xxxx
-+-¥®
1lim 2
e) ( )11lim 22 --+
¥®xx
x f) ( )4354lim 22 +--+-
¥®xxxx
x
g) ( )4lim 2 +-¥®
xxx
h) ( )xbaxxx
-++¥®
2lim
i) 53lim xx -¥®
j) x
xe
¥®lim
k) x
xe
-¥®lim
l) )632(lim 34 ++-
¥®xxx
x
m) )632(lim 34 ++--¥®
xxxx
n) )632(lim 34 ++-¥®
xxxx
o) )632(lim 25 +-¥®
xxx
p) )632(lim 25 +--¥®
xxx
q) 125135
lim 2
24
-++-
¥® xxxx
x r)
125135
lim 2
24
-++-
-¥® xxxx
x
s) 1
523lim
23
+++-
-¥® xxx
x t)
312
lim-+
¥® xx
x u)
312
lim-+
-¥® xx
x
v) 316225
lim--
¥® xx
x w)
xxxx
x 5213
lim 2
2
-++
¥® x)
31
lim 2 +-
¥® xx
x
y) 1
13lim 23
2
-+-+-
-¥® xxxxx
x z)
15214
lim 2 -++
-¥® xxx
x
Gabarito
1) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) –∞ e) 2 f) 0 g) +∞ h) 1 i) 9 j) – 5/2 k) 5/2 l) –7/3 m) –∞ n) +∞
o)1 p) –2/5 q) 4/3 r) +∞ s) –∞ t) 0 u) 0
v) 1/3 w) 8 x) 9/8 y) 72 z) 3/2
2) a) 3/2 b) 3/2 c) 0 d) – ½ e) 0 f) – ½ g) 0 h) a/2 i) –∞ j) +∞ k) 0 l) +∞ m) +∞ n) +∞
o) +∞ p) –∞ q) +∞ r) –∞ s) –∞ t) 2 u) 2
v) 25/16 w) ½ x) 0 y) 0 z) 0
12) Limite exponencial fundamental
exx
x
x
x
x=÷
øö
çèæ +=÷
øö
çèæ +
-¥®+¥®
11lim
11lim
...71828182,2=e
( ) ex xx
=+®
1
01lim
11
lim0
=-
® xex
x
Exemplos: a) 4
4441
1lim1
1lim1
1lim exxx
x
x
x
x
x
x=
úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ +=
úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ +=÷
øö
çèæ +
+¥®+¥®+¥®
b) x
x x
43
1lim ÷øö
çèæ -
-¥®
Neste caso usaremos uma mudança de variável.
Façamos tx 3-= . Se -¥®x
então +¥®t .
Logo 12
1212)3(441
1lim1
1lim33
1lim3
1lim -
-
¥®
-
¥®
-
¥®-¥®=
úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ +=÷
øö
çèæ +=÷
øö
çèæ
--=÷
øö
çèæ - e
tttx
t
t
t
t
t
t
x
x.
13) Limite trigonométrico fundamental
1lim0
=® x
senxx
mk
mxsenkx
x=
®0lim
Exemplos: a) Calcule x
xsenx 3
8lim
0®
38
8.1.31
8.8
8.
31
lim3
8lim
00==÷
øö
çèæ=
®® xxsen
xxsen
xx
b) Calcule xsenxsen
x 45
lim0®
45
1.41.5
44
4
55
5lim
45
lim00
===®®
xxsen
xxsen
xsenxsen
xx
Exercícios
Calcule:
a) x
x x
61
1lim ÷øö
çèæ +
+¥® b)
x
x x
21
11lim ÷
øö
çèæ +
+¥® c)
x
x x
34
11lim ÷
øö
çèæ +
-¥® d)
ax
x x
+
-¥®÷øö
çèæ +
11lim
e) x
xsenx 2
3lim
0® f)
xxsen
x
3lim
0® g)
xsenxsen
x 32
lim0®
h) x
senxx 5lim
0®
i) senx
xx 0lim®
j) xsenxsen
x pp3
lim0®
k) x
xsenx 3
4lim
0® l)
xx
x 52cos1
lim0
-®
m) x
xsenx
3lim
0® n)
senxx
x
2lim
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xsenx
x 53
lim0®
p) x
xsenx 2
3lim
0®
q) x
senxx
2
0lim®
r) 20lim
xsenx
x® s) 2
2
0 53
limx
xsenx®
t) 2
22
0lim
xxsen
x®
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x x
27
1lim ÷øö
çèæ +
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x x
52
1lim ÷øö
çèæ -
-¥®
w) ( )xx
x1
021lim +
®
x) x
e x
x 41
lim0
-®
y) x
xx 4
cos1lim
0
-®
z)
xsenxsen
x 35
lim0®
Gabarito
a) 6e b) e c) 3 ee d) e e) 3/2 f) 3 g) 2/3 h) 1/5 i) 1 j) 1/3
k) 4/3 l) 0 m) 3 n) 2 o) 3/5 p) 3/2 q) 0 r) não existe
s) 9/5 t) 0 u) e14 v) e –10 w) e2 x) ¼ y) 0 z) 5/3