Cálculo elétrico de linhas de transmissão - Notas de aula

Carlos Kleber da Costa Arruda∗

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - Cefet-RJ

22 de março de 2013

1 Introdução

1.1 Sobre a apostila

Este material tem como objetivo subsidiar a disciplina de cálculo elétrico de linhas de transmissão,lecionada no Cefet-RJ. Para o assunto, existe uma literatura muito vasta, incluindo artigos, normas,teses e dissertações. Partiu-se da ideia de resumir alguns conceitos, considerados básicos, deixandopartes de maior profundidade para capítulos seguintes, formando assim uma �espiral� que retornaao ponto inicial, de forma mais detalhada.

Devido a disciplina não abranger o cálculo mecânico, cuja interação com a parte elétrica émuito íntima, aborda-se somente alguns conceitos nesta parte, como �echa e ampacidade, �candoao aluno consultar livros como [6].

Procurou-se incluir referências adicionais, que apesar de estarem fora do escopo da graduação,são inspiração para pontos de partida para estudos subsequentes.

1.2 Nota sobre unidades de medida e convenções

Todas as unidades são no sistema métrico, exceto quando a unidade é referência usual (como porexemplo a especi�cação de cabos usa-se MCM), mas mesmo estas tendem a serem substituídas.

Em todas as fórmulas e equações supõe-se que as grandezas estejam sem múltiplos e submúlti-plos, ou seja, recomenda-se atenção ao omitir mili, micro, quilo, mega; em várias tabelas, utiliza-semúltiplos e submúltiplos para deixar o texto mais legível, evitando as potências de 10.

2 Estudos em linhas de transmissão

Uma linha de transmissão é um elemento fundamental em um sistema de potência, ligando fontesde geração com cargas consumidoras [5, 7, 9, 12, 13].

O projeto de uma linha de transmissão inicia-se com a necessidade de transportar uma quan-tidade de energia entre dois pontos. Após estudar a distribuição de carga nas linhas existentes,observa-se o efeito de uma nova linha no sistema, chegando a um novo ponto de equilíbrio.

Estima-se que esta energia obtida seja distribuída, ao longo da vida útil da linha, em um per�lde demanda, resultando na linha transmitindo uma potência média, com eventuais necessidadesde sobrecarga. Para um estudo mais didático, podemos assumir uma potência constante.

A distância entre os dois pontos está sujeita ao traçado da linha, aonde observa-se desde atopogra�a até a viabilidade de aquisição dos terrenos. A distância real pode variar não mais doque 10% de um traçado em linha reta.

Assumindo assim a potência e o comprimento da linha, chega-se aos critérios de escolha do tipo(CA ou CC) e nível de tensão.

∗carloskleber@gmail.com

1

Figura 1: Exemplo de seleção de nível de tensão [9]

2

3 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelagem básica

Nesta parte será apresentado o modelo básico de linha de transmissão para estudo em regimepermanente. Assume-se que a linha é trifásica, fazendo-se uma aproximação monofásica, que deacordo com o sistema de componentes simétricas é aplicável para sistemas equilibrados ou não.

Inicialmente demonstra-se a relação de parâmetros entre fases, aonde existem componentespróprias (que afetam somente a fase em questão) e componentes mútuas (que afetam as fasesvizinhas). Por reciprocidade, as componentes mútuas são simétricas, ou seja, o efeito que a fase acausa na fase b é igual ao efeito da fase b na fase a.

Sabe-se pela teoria de circuitos que impedância e admitância são grandezas recíprocas. Porconvenção em linhas de transmissão, nomeia-se como impedância a componente longitudinal porunidade de comprimento, sendo em geral um elemento RL em série1. Nomeia-se como admitân-cia a componente transversal (paralela ou shunt) por unidade de comprimento, sendo em geralum elemento RC em paralelo, sendo a resistência R, representativa da corrente de fuga, desprezí-vel2. Desta forma pode-se estimar a impedância e admitância total de uma linha multiplicando-sediretamente seus respectivos valores pelo comprimento;

3.1 Teoria eletromagnética de linhas de transmissão

Para uma linha relativamente longa em relação ao seu comprimento de onda, o modelo de circuito�concentrado� perde a validade, sendo necessário a modelagem por circuito distribuído. Seja umalinha ao longo do eixo x, e sendo z e y as relações entre corrente e tensão longitudinal e transversal,as relações entre tensão e corrente, v e i, para cada trecho in�nitesimal de linha é ditado pelosistema:

dv

dx= i z (3.1)

di

dx= v y (3.2)

Desenvolvendo,

d2v

dx2= z

di

dx(3.3)

d2i

dx2= y

dv

dx(3.4)

Sendo a solução na forma exponencial,

v = A1 exp(x√y z) +A2 exp(−x√y z) (3.5)

3.2 Resistência

A resistência é determinada pela condutividade ou resistividade do cabo, a seção transversal e ocomprimento:

R = ρS

l(3.6)

sendo ρ a resistividade e a condutividade o seu inverso: σ = 1/ρ, l o comprimento e S a seçãotransversal. Observa-se que a maioria dos cabos é composta por �os entrelaçados, havendo entãoespaços vazios entre os �os. Outra característica comum é a presença de dois materiais no mesmocabo, como alumínio e aço. Estas e outras características acrescentam uma complexidade no cálculoexato da resistência, particularmente ao se considerar os efeitos da temperatura.

Em geral as resistências são tabeladas, incluindo o efeito pelicular (�resistência CA�). Tambémé usual tabelar a resistência para algumas faixas de temperatura.

Para um cálculo iterativo, é prudente iniciar o cálculo da resistência com um valor de tempera-tura próximo do nominal, e após determinar a temperatura real do condutor, realizar a correção.

Para uma con�guração de feixe de condutores, a resistência será dividida pelo número de cabosem cada fase.

A tabela 1 exempli�ca a resistividade dos materiais usados em linhas de transmissão, bem comooutros parâmetros relevantes para o projeto.

1Em linhas CC, o elemento L não se aplica em regime permanente, mas em estudos transitórios, como porexemplo na propagação de surtos, ele é determinante.

2Em linhas CC, pela falta da corrente pelo efeito capacitivo, a resistência shunt R torna-se novamente relevante,por exemplo, no cálculo de coordenação de isolamento.

3

Tabela 1: Características físicas de alguns materiais.Condutividade

IACS (%)Resistividade(W·mm2/m)

Coe�ciente de variação daresistência (�−1)

Massaespecí�ca(g/cm3)

Alumínio 1350 61,0 0,028264 0,00403 2,705Alumínio liga 6201 52,5 0,032840 0,00347 2,690Cobre duro comercial 97,0 0,017775 0,00381 8,89Cobre padrão IACS 100,0 0,017241 0,00393 8,89

Observa-se que apesar do cobre possuir uma condutividade mais favorável, sua massa e preçoinviabilizam a aplicação em linhas de transmissão.

3.3 Indutância

A indutância é o efeito do campo magnético sobre um circuito, representado por exemplo pelalei de Faraday. Pode-se ter indutância própria, quando uma linha de corrente no condutor induzpotencial em outra seção do próprio condutor, ou indutância mútua, quando uma corrente em umcondutor externo induz este potencial.

Assim como as cargas elétricas, todas as correntes que não sejam constantes induzem potencialem qualquer elemento condutor, e se esse elemento fechar um circuito, surge a corrente induzida.Logo, uma linha pode induzir em cercas metálicas, cabos aterrados, encanamentos, etc.

A indução também dependerá se os elementos estiverem paralelos, então a indução será mínimase os condutores estiverem perpendiculares.

3.3.1 Premissas

Uma consideração, geralmente pouco evidenciada, é sobre a corrente: para que haja uma correnteelétrica em regime permanente, supôe-se que ela vai e volta para a sua fonte de energia. Esteretorno pode ser por um segundo condutor, ou pelo solo, fechando um laço de corrente.

O entendimento delaço de corrente é fundamental para a validade da lei de Ampére, quenos fornecerá a propriedade da indutância do circuito. Então, não faz sentido pensar em umcondutor singelo com uma corrente, pois a equação só fecha com uma corrente retornando emsentido contrário.

O cálculo da indutância em um condutor é dividido na sua parte interna e na parte externa.Em ambos, parte-se da lei de Ampére.

Seja como primeira aproximação um condutor com uma seção circular, com raio r, aondeatravessa uma corrente I distribuída uniformemente.

Lii =µ

2πln

2h

r′(3.7)

sendo r′ = re−1/4 ∼= 0, 7788r e µ a permeabilidade magnética do condutor, sendo de alumíniopodendo ser considerado como µ0 = 4π · 10−7H/m.

3.4 Impedância mútua

Lij =µ

2πlnDij

dij(3.8)

sendo Dij a distância do condutor i a imagem do condutor j, e dij a distância do condutor i parao condutor j.

Impedância em coordenadas de faseA matriz Z é a impedância da linha sem transposição.Impedância em coordenadas de modo (parâmetros de sequência)

3.5 Distância média geométrica e raio médio geométrico

Média das distâncias entre condutores. Se tratar de um feixe de condutores, também é chamadode raio médio geométrico (RMG ou GMR), representando um condutor equivalente.

Para n condutores, o RMG será igual a

RMG = n2

√√√√ n∏i=1

n∏j=1

dij = n2√

(d11 d12 · · · d1n)(d21 d22 . . . d2n) · · · (dn1 dn2 · · · dnn) (3.9)

4

No qual dii será igual ao raio do condutor i, com a correção da impedância interna, r′i, ou seuRMG interno, RMGi.

O RMG pode ser aplicado tanto para cabos em feixe como para cada �o de um cabo, sendoesta uma tarefa mais laboriosa, e que usualmente acaba-se de utilizar valores tabelados, obtendo-se valores ligeiramente diferentes ao aproximar o cabo para um cilindro sólido. Maiores detalhespodem ser visto no apêndice B.

Para feixes regulares, ou seja, condutores formados em polígonos de lado d, o RMG do feixeserá

RMG2 =√r′ d (3.10a)

RMG3 =3√r′ d2 (3.10b)

RMG4 = 1, 094√r′ d3 (3.10c)

No qual RMG2, RMG3 e RMG4 é o RMG para feixes de 2, 3 e 4 condutores.Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporado na impedância. Logo

teremos um RMG para o cálculo da impedância e um RMG para a admitância. Por exemplo, paraum feixe de 4 condutores, teremos

RMGZ4 = 1, 094√r′ d3 (3.11a)

RMGY4 = 1, 094√r d3 (3.11b)

(3.11c)

De�nindo como M a matriz característica da geometria da linha:

L =µ

2πM (3.12)

sendo

Mii = ln2hiri

(3.13a)

Mij = lnDij

dij(3.13b)

E a matriz impedância será

Z = R I + j ωL = R I + j ωµ

2πM (3.14)

abrindo os termos das matrizes:

Z =

R 0 00 R 00 0 R

+ j ωµ

2π

ln 2ha

raln Dab

dabln Dac

dac

ln Dba

dbaln 2hb

rbln Dbc

dbc

ln Dca

dcaln Dcb

dcbln 2hc

rc

(3.15)

Sendo R a resistência de cada condutor, considerando iguais, e I a matriz identidade (nãohaverá resistência mútua). Observar que, para feixes de condutores, dividir a resistência individualpelo número de condutores e trocar ri por RMGi.

3.6 Capacitância e admitância transversal

A capacitância da linha também será de�nida a partir de sua geometria. Sendo M a matriz jáde�nida anteriormente, tem-se

C = 2π ε0M−1 (3.16)

No qual ε0 a permissividade do ar, igual a 8, 85 · 10−12 F/m. Aqui não há �capacitância interna�,logo não há correção do raio dos condutores, como visto na equação 3.7. Entretanto, continuaválido usar o RMG para feixe de condutores.

A admitância, desconsiderando a condutância devido à corrente de fuga, é de�nida por:

Y = j ωC (3.17)

5

3.7 Efeito da transposição

Para obter um equilíbrio nos parâmetros da linha, as fases são trocadas de posição em algunspontos da linha. Matematicamente, sera equivalente a trocar linhas nas matrizes Z e Y. Seja asmatrizes Z(1), Z(2) e Z(3) referentes a três trechos:

Z(1) =

Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc

(3.18)

Z(2) =

Zbb Zbc ZbaZcb Zcc ZcaZab Zac Zaa

(3.19)

Z(3) =

Zcc Zca ZcbZac Zaa ZabZbc Zba Zbb

(3.20)

Sendo uma transposição ideal (no caso de uma linha de circuito simples, dividida em trêstrechos), tem-se uma matriz média

Z =1

3

(Z(1) + Z(2) + Z(3)

)=

1

3

Zaa + Zbb + Zcc Zab + Zbc + Zca Zac + Zba + ZcbZba + Zcb + Zac Zbb + Zcc + Zaa Zbc + Zca + ZabZca + Zab + Zbc Zcb + Zac + Zba Zcc + Zaa + Zbb

(3.21)

Podemos de�nir um termo de impedância própria, Zp = 13 (Zaa + Zbb + Zcc), e considerando

que temos uma simetria do tipo Zij = Zji, um termo de impedância mútua Zm = 13 (Zab + Zbc + Zca),

a matriz de uma linha idealmente transposta é igual a

Z =

Zp Zm ZmZm Zp ZmZm Zm Zp

(3.22)

Para a matriz admitância, segue-se a mesma metodologia:

Y =

Yp Ym YmYm Yp YmYm Ym Yp

(3.23)

sendo Yp = 13 (Yaa + Ybb + Ycc) e Ym = 1

3 (Yab + Ybc + Yca).

4 Desempenho elétrico de uma linha de transmissão

4.1 Representação em componentes simétricas

O método de componentes simétricas é utilizado em sistemas trifásicos equilibrados ou desequi-librados, de forma a decompor o estudo em três circuitos monofásicos, no qual seus equivalentesThevenin podem ser combinados no estudo de regime permanente, faltas e defeitos em geral. Nestaseção apresenta-se como representar uma linha de transmissão neste sistema. Maiores detalhes so-bre esta metodologia podem ser encontrado, por exemplo, em [7, 13].

Para a transformação linear da matriz Z, dita em coordenadas de fase, para o sistema decoordenadas de modo, ou componentes simétricas, utiliza-se a matriz A, de�nida por

A =

1 1 11 a2 a1 a a2

(4.1)

no qual a = 1 120° e a2 = 1 −120°, obtem-se a matriz de impedâncias em coordenadas de modo,Z012. Se as matrizes Z e Y corresponderem a uma linha de transmissão idealmente transposta,obtem-se as matrizes Z012 e Y012 somente com termos na diagonal:

Z012 = A−1 ZA =

Zp + 2Zm 0 00 Zp − Zm 00 0 Zp − Zm

(4.2)

6

Y012 = A−1 YA =

Ys + 2Ym 0 00 Ys − Ym 00 0 Ys − Ym

(4.3)

Para estudos de �uxo de potência em regime permanente, ou estudo de faltas simétricas, utiliza-se somente os parâmetros de sequência positiva, Z1 = Zp−Zm e Y1 = Yp−Ym, correspondentes aoelemento na posição (2,2) da matriz. Destes parâmetros que se obtém a impedância característicaZc e a constante de propagação γ, vistos a seguir.

4.2 Impedância característica

A impedância característica3 é de�nida como o balanço entre os campos elétrico e magnético dalinha, no qual uma carga resistiva neste valor terá a maior e�ciência de absorção de um pulso,também dito como �casamento de impedância�. É um parâmetro em comum como outros tipos delinha de transmissão (em RF, microondas, coaxial ou microstrip, etc).

É calculada pelos parâmetros de sequência positiva Z1 e Y1, simpli�cados aqui em diante comoZ e Y :

Zc =

√Z

Y=

√R+ j ω L

G+ j ω C(4.4)

Ao considerar a linha com perda desprezível (retirando R e G), a impedância será

Zc ∼=√L

C(4.5)

4.3 Constante de propagação

A constante de propagação demonstra a deformação da onda ao longo da linha. É de�nida como

γ =√Y Z =

√(R+ j ω L)j ωC (4.6)

Desmembrando a constante de propagação na forma γ = α+ j β, pode-se obter o comprimentode onda da linha λ:

λ =2π

β(4.7)

Considerando a linha como sem perdas, γ possuirá somente a componente imaginária β:

γ =√j ω L j ω C = j ω

√LC (4.8)

β = ω√LC (4.9)

A velocidade de propagação na linha é calculada por v = λ f , e é muito importante no estudode surtos rápidos (entre 100 kHz e 1 MHz). Observa-se que a velocidade de propagação é da ordem,mas nunca igual ou superior, a velocidade da luz no vácuo.

4.4 Potência característica

A potência característica Pc é a potência entregue pela linha para um carga resistiva, com valorigual à impedância característica:

Pc =U20

Zc(4.10)

Sendo U0 a tensão nominal entre fases da linha. Para linhas longas, é um critério adequadopara estimar a capacidade de transmissão em geral.

3Em inglês referenciado como surge impedance, ou impedância de surto.

7

4.5 Modelo de circuito

O equivalente monofásico (modelo π) será composto pela impedância Z1 em série e a admitânciaY1 dividida em duas, em cada extremidade. Para linhas curtas (até 200 km), multiplica-se aimpedância pelo comprimento da linha. Acima de 200 km, o efeito da propagação torna-se maisevidente, necessitando realizar uma correção hiperbólica:

Ze = Zc sinh γ l (4.11)

Ye2 =1

Zctanh

γ l

2(4.12)

no qual Ye2 já é a metade da admitância da linha. Naturalmente pode-se usar a formulação delinha longa direto para linhas curtas.

5 Modelo do quadripolo

Um quadripolo relaciona dois pares de grandezas elétricas, tensões e correntes, associados a doisbipolos, um de entrada e outro de saída. O quadripolo é uma alternativa aos modelos convencionaisde circuitos, aonde pela aproximação que duas grandezas são variantes, determina-se o outro parde grandezas.

O modelo de quadripolo de parâmetros generalizados, ou ABCD, relaciona tensão e correntede entrada, V1 e I1, com tensão e corrente de saída, V2 e I2, em um modelo monofásico, no qual astensões aplicadas são as fase-neutro. Usando a convenção da corrente I1 entrando no quadripolo ea corrente I2 saindo:

V1 = AV2 +B I2 (5.1)

I1 = C V2 +D I2 (5.2)[V1I1

]= T

[V2I2

]=

[A BC D

] [V2I2

](5.3)

desenvolvendo a relação entre entrada e saída, para linhas curtas, teremos

V1 =

(V2Y

2+ I2

)Z + V2 (5.4)

V1 =

(Z Y

2+ 1

)V2 + Z I2 (5.5)

I1 = V1Y

2+ V2

Y

2+ I2 (5.6)

I1 = V2 Y

(1 +

Z Y

4

)+

(Z Y

2+ 1

)I2 (5.7)

Comparando com as equações do quadripolo

V1 = AV2 +B I2 (5.8a)

I1 = C V2 +D I2 (5.8b)

temos como parâmetros

A =Z Y

2+ 1 (5.9a)

B = Z (5.9b)

C = Y

(1 +

Z Y

4

)(5.9c)

D = A (5.9d)

Para linhas longas, desenvolve-se as equações a partir da teoria do eletromagnetismo [7, p. 211],chegando na forma:

V1 = V2 cosh γ l + I2 Zc sinh γ l (5.10a)

I1 = I2 cosh γ l +V2Zc

sinh γ l (5.10b)

8

sendo então os parâmetros do quadripolo:

A = cosh γ l (5.11a)

B = Zc sinh γ l (5.11b)

C =1

Zcsinh γ l (5.11c)

D = A (5.11d)

do modelo do quadripolo é que pode-se calcular o circuito π equivalente da linha longa. Con-siderando o mesmo circuito da �gura, trocando somente Z por Ze e Y por Ye:

V1 =

(Ze Ye

2+ 1

)V2 + Ze I2 (5.12)

Obtemos aquiZe = Zc sinh γ l (5.13)

para a admitância

Ze Ye2

+ 1 = cosh γ l (5.14)

Ye Zc sinh γ l

2+ 1 = cosh γ l (5.15)

Ye2

=1

Zc

cosh γ l − 1

sinh γ l(5.16)

aproveitando-se de uma relação hiperbólica:

tanhx

2=

coshx− 1

sinhx(5.17)

chegamos à relação apresentada na equação (4.11):

Ye2

=1

Zctanh

γ l

2(5.18)

sendo a propriedade AD − BC = 1, representativa de um quadripolo simétrico, ainda válidana equações (5.9a) e (5.11a). O modelo de linhas longas também é válido para o cálculo de linhascurtas.

Ze

Ye2 Ye2

I1

V1

I2

V2

Figura 2: Representação por quadripolo (modelo longo de linha), com as convenções de tensões ecorrentes.

O modelo por quadripolo ABCD é apropriado quando se fornece a tensão e a corrente noreceptor (V2 e I2). Para uma potência aparente trifásica S2 = S φ, pode se arbitrar uma tensãodesejada U0 e calcular a corrente:

V2 =U0√

3(5.19)

I2 =S2

U0

√3−φ (5.20)

podendo por exemplo escolher U0 a tensão nominal da linha, sendo que no quadripolo a tensãodeve ser fase-terra, e S2 = Pc, a potência característica. Outras opções são arbitrar uma condiçãode sobrecarga, curto-circuito (V2 = 0) ou circuito aberto (I2 = 0).

9

5.1 Desempenho de linhas em série

Através da teoria dos quadripolos, pode-se estudar a associação de linhas em cascata. Sendo doisquadripolos Q1 e Q2, a associação em série será igual a Q = Q1 ·Q2, ou:[

V1I1

]=

[A1 B1

C1 D1

]·[A2 B2

C2 D2

] [V2I2

]=

[A1A2 +B1C2 A1B2 +B1D2

C1A2 +D1C2 C1B2 +D1D2

] [V2I2

](5.21)

sendo que a ordem dos circuitos é relevante, logo a associação Q′ = Q2 · Q1. De maneira geral,Q 6= Q′.

5.2 Desempenho de linhas em paralelo

O quadripolo equivalente será dado por[V1I1

]=

[A1B2+A2B1

B1+B2

B1B2

B1+B2

C1 + C2 + (A1−A2)(D2−D1)B1+B2

B2D1+B1D2

B1+B2

] [V2I2

](5.22)

Se tratar de duas linhas idênticas,[V1I1

]=

[A B

22C+ D

] [V2I2

](5.23)

6 Cálculo do �uxo de potência

Sendo as grandezas fasoriais, resolvendo a partir do quadripolo:

V1 = A V2 + B I2 (6.1)

I2 =V1 − A V2

B(6.2)

sendo

A = A α (6.3a)

B = B β (6.3b)

V1 = V1 0° (6.3c)

V2 = V2 δ (6.3d)

tem-se

I2 =V1B

δ − β − AV2B

α− β (6.4)

Para a potência aparente S2 = V2 I∗2 :

S2 =V1 V2B

β − δ − AV 22

Bβ − α (6.5)

Para a potência ativa

P2 =V1 V2B

cos(β − δ)− AV 22

Bcos(β − α) (6.6)

A potência máxima será obtida quando β = δ:

P2max =V2B

[V1 −AV2 cos(β − α)] (6.7)

10

7 Compensação de linhas

A compensação de reativo em uma linha consiste em balançar a impedância ou a admitância comcapacitores em série ou reatores em paralelo, respectivamente. No ponto de vista elétrico, o efeitoserá de �encurtar� a linha.

A compensação em geral é especi�cada em um percentual relativo à impedância ou admitânciada linha. Pode-se, a grosso modo, subtrair as reatâncias da linha com a da compensação paraobter o equivalente. Na prática, os módulos de compensação serão instalados nas extremidades dalinha, dentro das subestações.

Para linhas muito longas, a compensação é distribuída ao longo da linha, criando-se subestaçõesintermediárias.

Um módulo de compensação série/ paralelo também pode ser modelado como circuito um comoum quadripolo. Um capacitor série teria como parâmetros ABCD:

A = 1 (7.1a)

B =1

j ω C(7.1b)

C = 0 (7.1c)

D = 1 (7.1d)

Um reator shunt seria

A = 1 (7.2a)

B = 0 (7.2b)

C =1

j ω L(7.2c)

D = 1 (7.2d)

8 Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo detalhado

Nesta seção apresenta-se um modelo que incorpora elementos adicionais, cuja in�uência pode serdeterminante em certas condições e estudos.

8.1 Modelo de impedância própria, considerando efeito pelicular

A premissa de corrente uniforme na equação 3.7 é uma aproximação usual, porém pouco usada naprática. Para incorporar o efeito pelicular no cálculo da impedância interna, é necessário resolveruma equação diferencial, cujo resultado é igual a

Zi =1

2π r

√−j ω µσ

I0(ρ)

I1(ρ)(8.1)

ρ = r√−j ω σ µ (8.2)

sendo I0 e I1 as funções de Bessel de primeira e segunda espécie4, σ a condutividade do material,e µ a permeabilidade magnética. Esta fórmula é válida para condutores de seção circular, e jáfornece diretamente a resistência e a reatância.

8.2 Efeito do solo

As equações 3.7 e seguintes assumem que o solo é �ideal�, ou seja possui condutividade in�nita ouresistividade zero, no qual desta forma comportará como um �espelho� no método das imagens.

Ao se considerar o solo com uma resistividade diferente de zero, e de fato podemos ter valoresde 10 a 10.000W·m, o efeito do �espelho� será distorcido. Algumas teorias usuais são a aproximaçãode Pollaczek [10], Carson [2] e Deri [3], esta última conhecida como �profundidade complexa�: o

4Implementado no Matlab e Scilab como besseli(0,x) e besseli(1,x), respectivamente.

11

efeito do solo é embutido nas equações existentes como um número complexo, ou seja, a parcela hserá igual a:

h′ = h+ d (8.3)

d =1√

σ j ω µ(8.4)

sendo σ a condutividade do solo e µ a permeabilidade magnética, em geral próxima do vácuo (µ0).

8.3 Modelo de circuito duplo

Pode-se modelar uma linha com dois (ou mais) circuitos unindo a fase de cada circuito. Porém, ouso do RMG deixa de ter validade para distâncias muito longas. Será necessário um tratamentomatricial.

Seja uma linha de seis condutores genéricos, com uma relação entre tensão e corrente porunidade de comprimento representada abaixo:

V1V2V3V4V5V6

=

z11 z12 z13 z14 z15 z16z21 z22 z23 z24 z25 z26z31 z32 z33 z34 z35 z36z41 z42 z43 z44 z45 z46z51 z52 z53 z54 z55 z56z61 z62 z63 z64 z65 z66

I1I2I3I4I5I6

(8.5)

Sendo agora esse sistema ligado como um circuito duplo, no qual Va = V1 = V4, Vb = V2 = V5e Vc = V3 = V6. Por sua vez, as correntes serão somadas, Ia = I1 + I4, Ib = I2 + I5 e Ic = I3 + I6.

Para manipular a matriz, vamos dividi-la em 4, da seguinte forma:Esse procedimento pode ser encontrado em [1, p. 108], podendo inclusive ser usada para o

cálculo preciso da impedância de feixe de condutores.

8.4 Efeito dos cabos para-raios

Os cabos para-raios protegem as fases ou polos contra descargas atmosféricas diretas. Mas suaproximidade provoca uma interação eletromagnética. Em nosso modelo o cabo será uma �fase�adicional, acrescentando mais uma linha e uma coluna na matriz.

Neste ponto é determinante o tipo de ligação dos para-raios, que podem ser aterrados ouisolados5. O para-raio aterrado terá potencial zero (Vg = 0) e terá corrente induzida, enquanto queisolado não haverá corrente (Ig = 0), mas terá potencial induzido. Cada ligação tem vantagens edesvantagens.

8.5 Cálculo das componentes de sequência zero

Como visto nas equações 4.2 e 4.3, a impedância e a admitância de sequência zero é muito in-�uenciada pela componente mútua (Zm e Ym). Neste ponto a modelagem correta do solo serádeterminante, e a aproximação de solo ideal deixa de ser desprezível.

Da mesma forma que na sequência positiva, podemos deduzir uma impedância característica

de sequência zero, Zc0 =√

Z0

Y0, que determinará a propagação de componentes homopolares.

Conforme é mostrado em estudos de �uxo de potência e componentes simétricas, a componentede sequência zero é in�uente no cálculo de falhas de curto-circuito, especi�camente em curtomonofásico, sendo este o tipo mais comum de ocorrência em linhas de transmissão.

Estudos recentes buscam otimizar a recuperação da linha frente a defeitos monofásicos, reali-zando o religamento monopolar.

9 Requisitos elétricos de projeto de linhas de transmissão

Nesta seção serão listados os requisitos elétricos, a parte do cálculo dos parâmetros básicos, fun-damentais para avaliar o desempenho ou segurança do projeto. Basicamente os requisitos sãorelacionados ao desempenho e a segurança.

5Na verdade a isolação do para-raio é mínima, somente para não circular corrente em condições normais, poisna incidência de uma descarga ele deve escoar para o solo

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Entende-se como desempenho os aspectos que descreveram o efeito da linha sob diversas con-dições, como em regime permanente e em regime transitório, como ao manobrar uma chave ou aoincidir uma descarga atmosférica.

Os requisitos de segurança traduzem o efeito da linha no ambiente, em pessoas ou outros seresvivos, na forma de radiação não-ionizante, ruído e até riscos de queda e poluição visual. Para estesefeitos, a distância é elemento determinante, e o que vai estipular a faixa de passagem da linha,sendo parcela importante no custo �nal.

Sobre o critério elétrico, podemos também dividir os efeitos na origem: seja na tensão, comoem linhas EHV, ou na corrente, mais evidente em linhas de distribuição.

9.1 Efeitos originados pela tensão

9.1.1 Efeito corona

O efeito corona é a causa de diversos fenômenos presentes particularmente em linhas de extra-altatensão (345 kV e superior), mas pode ocorrer em níveis de tensão mais baixos, de acordo com ainstalação.

O efeito coroa é uma descarga parcial que ocorre em um meio gasoso, na presença de umgradiente de campo elétrico intenso, geralmente presente em condutores com pequeno raio decurvatura, mas no qual não provoca a disrupção completa do gás. A geometria do condutorprovocará uma deformação no campo, tornando a descarga autossustentada e com a ionizaçãocon�nada próxima ao condutor.

Deste fenômeno origina-se principalmente perdas elétricas, interferência eletromagnética, eruído audível. Outros aspectos são a geração de ozônio, degradação de materiais e surgimentode um brilho violeta.

9.1.2 Radio-interferência

O efeito corona produz ruído eletromagnético em uma ampla faixa de frequência, que estende-sepelas ondas de rádio e de TV. Atualmente não existe consenso (normatização atualizada) quantoaos limites a serem impostos, especi�camente quanto a medição da interferência. Isto deve-se aosequipamentos, que usualmente medem somente uma frequência, ex. 500 kHz ou 1 MHz, mas ainterferência nem sempre se concentra em um valor usual.

9.1.3 Ruído audível

O efeito mais perceptível nas linhas de transmissão em condições normais é o ruído acústico. Oruído de alta frequência assemelha-se a um som de �fritadeira�, característico do efeito corona emcabos e ferragens de linhas, enquanto que o ruído de 120 Hz, é mais grave, originado na vibração dosnúcleos de transformadores, e eventualmente também nas linhas. Novamente, temos dois efeitosoriginados da tensão (corona) e da corrente (vibração magnética).

9.2 Campo elétrico

A linha emitirá campo elétrico em toda a sua vizinhança, sendo proporcional a sua tensão. Esteefeito é atenuado se as três fases (ou os dois polos) estarem mais próximas entre si, fazendo comque o campo elétrico distante de cada fase ou polo se anule. Por razões óbvias há um limite práticona aproximação das fases. Os cabos para-raios também interagem com o campo elétrico, podendoatenuá-lo como uma blindagem. Inclusive já se utiliza cabos aterrados abaixo das linhas paraatenuar o campo elétrico em áreas críticas.

O efeito que o campo elétrico provoca em pessoas e objetos é a indução de corrente por polari-zação. Este efeito é ampli�cado devido à distorção do campo provocada pela presença da pessoa,ou seja, o campo tende a se concentrar de 10 a 20 vezes na cabeça [4], comparado ao campo naausência de objetos. Portanto, o campo elétrico calculado ou medido (de 1 a 10 kV/m) aparentaser relativamente baixo, mas na prática ele eleva-se para 20 a 200 kV/m.

Um experimento (http://www.richardbox.com) demonstrou a indução em lâmpadas �uorescentesdevido puramente ao campo elétrico.

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP [8], no qual limita a exposição ocupacional (ou seja,por pessoal quali�cado) em 10 kV/m a 50 Hz, ou 8,33 kV/m a 60 Hz, e exposição do público emgeral em 5 kV/m a 50 Hz, ou 4,2 kV/m a 60 Hz.

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9.2.1 Polarização e indução em cabos próximos

O campo elétrico também provoca polarização em objetos, incluindo circuitos, cercas e canali-zações. Se os objetos estiverem isolados, a tensão induzida tende a se descarregar ao realizar ocontato com o terra, que pode ser por exemplo uma pessoa abrindo uma cerca, ou uma manobrade manutenção em um gasoduto...

Pode-se simular o efeito da polarização em outros condutores (cabos telefônicos, linha de distri-buição ou rede de dados, cercas e encanamentos) através de uma matriz: cada cabo paralelo entracomo uma linha e uma coluna adicional na matriz impedância e admitância. Pode-se inclusive as-sumir uma simulação em alta frequência, supondo um sinal originado do efeito corona, induzindointerferência em uma rede de dados, entre outras possibilidades.

9.2.2 Corrente iônica (CC)

Na presença de efeito corona, ocorre a geração de íons da mesma polaridade do eletrodo, que serãorepelidos. No caso da corrente alternada, a inversão de polaridade provoca uma atração destesíons no ciclo seguinte, porém em CC sempre haverá produção e repulsão de íons, preenchendo oambiente em torno do condutor.

A propagação dos íons no espaço é a corrente iônica, que provoca um aumento do campo elétricono solo, aumentando ainda mais os efeitos sobre seres vivos.

Adicionalmente, os íons tendem a atrair partículas no ar, como poluição, provocando o acúmuloanormal, por exemplo, em cadeias de isoladores, motivo pelo qual o isolamento em linhas de CC éum ponto crítico de projeto.

9.3 Efeitos originados pela corrente

9.3.1 Ampacidade

A capacidade de corrente de um cabo depende simultaneamente de três fatores: resistência elétrica,temperatura máxima e �echa. O equilíbrio destes três fatores indica a melhor aplicação do cabo.

A resistência elétrica traduz diretamente para perdas, logo em linhas longas este fator serádeterminante. Eventualmente um cabo com maior resistência pode ser usado em trechos especí�cos,tais como uma travessia, aonde a �echa será crítica.

A �echa do condutor é de�nida pela temperatura atual no condutor, e a tração mecânica noqual o cabo está solicitado. Atualmente estuda-se a elevação da tração de projeto, com o adventoda monitoração on-line da linha pode-se acompanhar o desempenho.

A temperatura do cabo é in�uenciada pela corrente e radiação solar como elementos de entradade energia, e a dissipação por convecção natural, convecção forçada (vento) e radiação. O conjuntodestes elementos produz um alcance estatistico da capacidade do cabo, que por sua vez in�uencianos dois fatores anteriores.

Um aspecto mais complexo é o cálculo da ampacidade em condições transitórias, como em curto-circuito. Nesta modelagem o cabo recebe um pulso de energia térmica, no qual sua dissipação érelativamente lenta, e o entendimento desta dinâmica é fundamental para condições de emergência.

9.3.2 Campo magnético

Adota-se no Brasil a orientação do ICNIRP, no qual limita a exposição ocupacional em 500 µT a50 Hz, ou 420 µT a 60 Hz, e exposição do público em geral em 100 µT a 50 Hz, ou 83 µT a 60 Hz.

9.3.3 Indução

Da mesma forma que a polarização pelo campo elétrico, na seção 9.2, a indução magnética seráprovida pela indutância mútua entre circuitos. Neste caso, a matriz impedância �expandida�(incorporando os condutores externos) é que determinará o efeito, ao contrário da polarização queé vista pela matriz admitância.

9.4 Manutenção em linha viva

Em sistemas como do Brasil, com pouca tolerância à saída de linhas, é necessária a prática demanutenção em linha viva. Para o projeto de linhas, não há uma metodologia de�nida, sendonecessário adotar a prática de cada empresa.

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9.5 Desempenho em sobretensões

9.5.1 Sobretensões de frente rápida (atmosféricas)

Ordem de 1 a 10 µs de tempo de frente, 50 a 100 µs de tempo de cauda. O tempo de norma é 1,2/50 µs.

9.5.2 Sobretensões de frente lenta (manobra)

Ordem de 100 a 500 µs de tempo de frente, 1 a 5 ms de tempo de cauda. O tempo de norma é250/ 2500 µs.

9.6 Aterramento

10 Considerações �nais

Esta apostila apresenta um resumo muito breve do assunto, que possui aspectos muito relevantestanto para prática quanto para pesquisa e desenvolvimento. Fica como sugestão um artigo [11]que aborda de forma geral mas com alguns detalhes que, apesar da aparente complexidade, inspiracuriosidade.

A Tabela comparativa de parâmetros

A tabela a seguir ilustra alguns valores de parâmetros para algumas con�gurações de linhas detransmissão, incluindo impedância e admitância, mais a impedância em pu na base da potênciacaracterística da linha (Z1).

Vff [kV] Condutor PC [MW] Z1 [W/m] Y1 [µS/m] Zc [W] Z1 [pu/100 km]138 1× Linnet 47,8 0,205 + j0,490 j3,370 390 0,050 + j0,121345 1× Drake 403 0,045 + j0,377 j4,397 295 0,015 + j0,128500 4× Rail 1075 0,018 + j0,295 j5,484 232 0,008 + j0,127765 4× Bittern 2024 0,016 + j0.371 j4,474 289 0,006 + j0,1281000 6× Bluebird 4195 0,007 + j0,305 j5,441 238 0,003 + j0,128

Referências

[1] Anderson, P. M., and Anderson, P. Analysis of faulted power systems. IEEE press NewYork, 1995.

[2] Carson, J. R., et al. Wave propagation in overhead wires with ground return. Bell systemtechnical journal 5, 539-554 (1926).

[3] Deri, A., Tevan, G., Semlyen, A., and Castanheira, A. The complex ground returnplane a simpli�ed model for homogeneous and multi-layer earth return. Power Apparatus andSystems, IEEE Transactions on, 8 (1981), 3686�3693.

[4] EPRI. EPRI AC transmission line reference book: 200 kV and above, 3rd ed. No. 1011974.Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, EUA, 2005.

[5] Fuchs, R. Transmissão de Energia Elétrica: Linhas Aéreas; teoria das Linhas em Regime

Permanente, 2ª edição ed. Editora livros Técnicos e Cientí�cos, Rio de Janeiro, RJ, 1979.

[6] Fuchs, R. D., and Almeida, M. T. Projetos mecânicos das linhas aéreas de transmissão.1982.

[7] Grainger, J., and Stevenson, W. Power systems analysis. McGraw-Hill, 1994.

[8] ICNIRP. Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, magnetic, and electro-magnetic �elds (up to 300 ghz). Health Physics 74, 4 (1998), 494�522.

[9] Kiessling, F., Nefzger, P., Nolasco, J., and Kaintzyk, U. Overhead power lines:

planning, design, construction. Springer, 2003.

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[10] Pollaczek, F. Uber das feld einer unendlich langen wechselstromdurch�ossen einfachleitung.Elektr. Nachr. Technik 3, 9 (1926), 339�360.

[11] Portela, C. M. J. C. M., and Tavares, M. C. Modeling, simulation and optimizationof transmission lines. applicability and limitations of some used procedures. In Proceedings

IEEE Transmission and Distribution 2002 (São Paulo, SP, Março 2002).

[12] Project UHV. Transmission Line Reference Book 345 kV and Above, 2nd ed. Electric PowerResearch Institute EPRI, 1982.

[13] Stevenson, W. Elementos de análise de sistemas de potência. McGraw Hill, 1978.

A Cálculo dos parâmetros elétricos - modelo simpli�cado

Atenção: o cálculo apresentado abaixo é uma aproximação, usualmente encontrada na literatura.Recomenda-se realizar os cálculos como demonstrado nas seções anteriores.

Para um cálculo expedito, utiliza-se o DMG entre as fases, Deq = 3√dab dbc dac, obtendo-se

Z = R+ j ωµ

2πlnDeq

r′(A.1)

Y = j 2π ω ε0

(lnDeq

r

)−1(A.2)

Lembrando que o efeito pelicular, representado por r′, só é incorporado na impedância, valendoa regra de aplicar um RMG para impedância e outro para a admitância.

B Impedância de condutores compostos

Para cabos de construção composto, ex. múltiplo �os ou diferentes materiais, o raio interno serádado pelo RMG (veja a seguir), em geral tabelado.

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