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LINHAS de TRANSMISSÃO e GUIAS de ONDA
As linhas de transmissão são os elementos que interligam dois pontos com o intuito de
transferir potência. Um exemplo típico é a interligação de um transmissor e uma antena e em geral
as linhas são compostas por dois condutores separados por um dielétrico (isolante).
Em relação à distribuição física dos condutores as linhas são divididas em bifilares e
coaxiais, Figura 3.1. As linhas bifilares são ditas balanceadas e estão mais sujeitas a irradiação e
captação de ondas eletromagnéticas inclusive ruído, que as linhas coaxiais ditas não balanceadas.
Figura. 3.1 (a) Linha bifilar (balanceada), (b) Linha coaxial (desbalanceada)
3.1 Circuito Elétrico Equivalente
As linhas de baixas perdas (lossy line), Figura 3.2, são representadas pelos parâmetros distribuídos
indutância L, pela resistência R, pela capacitância C e pela condutância G, todos estes parâmetros
referidos por metro de linha. A impedância resultante Z0 é chamada de impedância característica e
independe da frequência e do comprimento físico desta linha e é determinada pela Equação 3.1.
CjG
LjR
Y
ZZ
0 (3.1)
Na faixa de radio frequência a reatância indutiva é muito maior que a resistência. A
susceptância capacitiva muito maior que a condutância. Estas linhas são chamadas sem perdas
(lossless line), Figura 3.3, e a impedância característica Z0 resultante é puramente resistiva
conforme Equação 3.2.
Figura3.2 lossyline - Modelo de parâmetros
distribuídos
3.2 Linhas Bifilares e Coaxiais
A impedância característica para as linhas bi filares e coaxiais muito utilizadas na prática
depende das suas especificidades físicas ou parâmetros de construção. As linhas estão representadas
nas Figuras 3.4 (a) e (b). As Equações 3.3(a) e (b) são para o cálculo das impedâncias
características.
A Figura 3.5 ilustra dois tipos diferentes de cabos coaxiais, o cabo coaxial grosso que
permite maior largura de banda e foi muito utilizado em redes de locais de grande tráfego e o cabo
coaxial fino para menores taxas de tráfego de dados.
Figura 3.3 lossless line - Modelo de parâmetros distribuídos
(3.2)
Figura. 3.4 (a) Linha Bi filar e (b) Coaxial
Comprimento
C
LZ 0
dielétricodorelativaeléticadadePermissivi
ernocondutordodiâmetrod
blindagemexternocondutordodiâmetroD
bd
DZCoaxial
condutoresdosdiâmetrod
condutoresosentreespaços
ad
sZBifilar
r
r
r
int
)(
3.3log138
:
3.32
log276
:
0
0
Figura 3.5 Exemplos de diferentes cabos coaxiais: Banda Base e Banda Larga
A Tabela 3.1 traz alguns cabos coaxiais que ainda são muito encontrados em redes de
comunicação em locais que requerem alguma imunidade ao ruído eletromagnético.
Tabela 3.1 Características elétricas e mecânicas de cabos coaxiais de 50 Ohms
Exemplo 3.1: Um cabo coaxial de 75 Ω de impedância característica e capacitância nominal 69
pF/m. Qual a indutância por metro? Sendo o diâmetro do condutor igual a 0,584 mm, e a constante
dielétrica igual a 2,23. Qual o diâmetro do outro condutor?
mmdDd
DZ
mHLC
LZ
rZ
r
78,3584,0.10.10log138
/388,010.69.75
138
23,275
1380
122
0
0
Exemplo 3.2:Qual a impedância característica mínima de uma linha paralela de dielétrico o ar?
08,832log1
276) quando mínima Impedância(
2log
27600 Zds
d
sZ
r
Exemplo 3.3:Um cabo coaxial tem condutor com diâmetro 0,025 mm e constante dielétrica relativa
igual a 2,56, se a impedância característica for 2 kΩ, qual o diâmetro da blindagem?
luzanosou
kmmmdDrZ
40910.44,9
10.86,3
10.86,310.86,3025,0.10.10
12
15
1521138
56,22000
138
0
Perdas em Linhas de Transmissão: As perdas são tabeladas e expressas em dB/100m,
Tabela 3.1.
- Irradiação:As linhas irradiam parte do sinal como se fossem antenas. As bifilares estão mais
sujeitas a irradiação do que as coaxiais, conforme dito antes, e o efeito é acentuado com o aumento
da frequência.
- Aquecimento do Condutor:Por efeito Joule 2RI . Como a resistência aumenta com a frequência
(efeito pelicular ou skin) a perda aumenta e é proporcional ao comprimento. Parte da energia pode
ser refletida pela carga (não casamento de impedâncias), aumentando mais o aquecimento da linha.
- Aquecimento do Dielétrico:É proporcional a tensão e ao comprimento, inversamente a
impedância característica e aumenta com a frequência para dielétricos sólidos.
3.3 Casamento de Impedâncias
Para que a máxima potência seja transferida da linha para a carga, as impedâncias devem
ser uma o conjugado complexo da outra (Teorema da Máxima Transferência de Potência), senão
parte do sinal será refletido, provocando o aparecimento de ondas estacionárias ao longo da linha,
Figura 3.6. Esta energia refletida pode danificar o transmissor. A relação entre a corrente máxima e
a mínima é chamada relação de onda estacionária ROE ou SWR (Standing Wave Ratio) ou ainda
VSWR (Voltage Standing Wave Ratio). As Equações 3.4 (a) e (b) calculam a SWR que
necessariamente é maior que um, se não houver casamento de impedâncias.
LinhadeimpedânciaZdeimpedânciaZonde
bZZseZ
ZSWRZZse
Z
ZSWR
MínimaTensãoVMáximaTensãoV
aV
VSWR
OL
LO
L
OOL
O
L
MINMAX
MIN
MAX
carga:
4.3
4.3
A relação entre as potencias ou tensões refletida (Vref) e incidente (Vinc) pela carga também
pode ser calculada pela relação de onda estacionária ou pelas impedâncias, Equações 3.5 (a) e (b).
A relação é o módulo do coeficiente de reflexão e representada pela letra grega gama maiúscula
.
bZZ
ZZ
SWR
SWR
aV
V
P
P
L
L
inc
ref
inc
ref
5.31
1
5.3
0
0
Linha
4
A
B
Equivalente
Figura. 3.7 Linha e Equivalente Elétrico
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Figura 3.6 Distribuição da corrente e tensão
3.5 Equivalente Elétrico em função do comprimento da linha
As linhas de transmissão de quarto de comprimento de onda, terminadas em curto, se comportam
como circuito LC sintonizado paralelo. As linhas terminadas em aberto como um circuito série.
Variando o comprimento destas linhas em torno de 4/ temos os circuitos equivalentes, Figura 3.7.
Exemplo 3.4: Uma portadora de 27 MHz com segundo harmônico igual a 54 MHz causa
interferência em receptores de TV próximos. Para eliminar o sinal de 54 MHz na antena pode-se
usar um toco de linha ligado em paralelo (stub) de 2/ terminado em curto ou um stub de 4/
terminado em aberto conforme circuitos equivalentes ilustrados na figura 3.8.
Abertom
Fechadom
mHz
sm
f
vfv
38,14
5556,5
4
78,22
5556,5
2
5556,510.54
/10.3.
6
8
Na prática o toco terminado em aberto não é muito utilizado por irradiar ou captar ruído
pela parte aberta. Pode-se então conectar um toco de linha terminado em curto, no curto a tensão é
igual a zero e a 2/ do curto, ou seja, na antena ou carga a tensão referente ao 2º harmônico É
igual à zero.
3.4 Carga Puramente Resistiva
Para fazer o casamento de impedância entre a linha de transmissão de impedância característica Z0
e a carga de impedância real (resistência) ZL, ZIN na entrada do arranjo trafo mais carga deve ser
igual à Z0. Utilizando um transformador (Trafo) de quarto de onda, de impedância ZT, conectado
diretamente a carga e a linha, Figura 3.8. Os trafos, na verdade, são linhas de transmissão com
comprimento igual a um quarto do comprimento de onda. A impedância ZIN na entrada do arranjo
trafo mais carga é calculada pela Equação 3.6.
Isolando ZT na Equação 3.6 temos a Equação 3.7.
L
TIN
Z
ZZZ
2
0 (3.6)
LT ZZZ 0 (3.7)
Figura. 3.8 Trafo de quarto de onda ligado à carga
Exemplo 3.5:Ligar uma carga de impedância ZL de 200 Ω a uma linha de impedância característica
Z0 igual a 300 Ω, para que SWR seja reduzida a um podemos usar um transformador de quarto de
onda de impedância ZT. Da Equação 3.7, temos:
2453002000 LT ZZZ
3.6 Carga Complexa
Com a carga complexa conectada, a tensão e a corrente tem seus valores variado ao longo da linha,
consequentemente a impedância também varia, vide Figura 3.7.
Para impedância de carga puramente resistiva o trafo de 4/ ligado entre a linha e a carga
resolve bem o problema e “casa as impedâncias” evitando a reflexão de energia. Sendo a carga
complexa, pelo teorema da máxima transferência de potencia, devemos casar as impedâncias
anulando a parte reativa, além de igualar a parte real. O trafo pode ser ligado em série, mas
colocado a certa distância da carga. Outra alternativa é ligar em paralelo um toco de linha (stub).
Somando duas admitâncias em que as susceptâncias tenham mesmo módulo e sinal contrário é
possível anular a parte complexa, restando apenas a parte real.
Os cálculos tanto para o trafo de 4/ como para o stub são muito facilitados com o uso de
solução gráfica de fácil compreensão através da utilização da carta de Smith.
3.6.1 Carta de Smith
Na carta, Figura 3.9, uma volta completa no sentido horário representa deslocar-se ao longo
da linha de transmissão a uma distância de meio comprimento de onda 2/ da carga em direção
a fonte.
Os círculos da carta representam os valores reais da impedância normalizada (r = resistência
elétrica) ou valores reais da admitância (g = condutância).
Os arcos que iniciam do lado direito da carta representam as partes imaginárias da
impedância normalizada (+jXL = reatância indutiva ou -jXC = reatância capacitiva) ou valores
imaginários da admitância (-jBL = susceptância indutiva ou +jBC = susceptância capacitiva). A
carta que usamos é geral e não para uma impedância específica de linha de transmissão, portanto é
necessário normalizar a impedância da carga, para isto basta dividir a impedância de carga pela
impedância da linha que estiver sendo utilizada no projeto, o Exemplo 3.7 ilustra como localizar
alguns valores na carta.
Exemplo 3.7: Como inserir pontos na carta e fazer a leitura dos valores dos mesmos utilizando a
carta de Smith normalizada para a linha sem perdas.
Considerando linha lossless de impedância característica 3000Z e carga 150150 jZL ,
normalizando a impedância de carga 5,05,0300
150150j
j
com isto plotamos, Figura 3.9, o
ponto P e com o centro da carta e traçamos o circulo de (SWR=2,6), o ponto Q = 1,0-j1,0
(admitância) é dado pela intersecção do círculo com o prolongamento da reta P pelo cento da carta.
A uma distância 1,0 da carga, ao longo da linha em direção da fonte, a impedância normalizada é
1,14,1 j . Multiplicando o valor determinado (normalizado) pela impedância da linha temos o
valor 300+j330 Ω.
3.6.2 Trafo de quarto de onda e carta de Smith
Utilizando Trafo de quarto de onda (ligação em série) os passos a seguir servem como
roteiro para aplicação prática da carta ao Exemplo 3.8
1. Calcular a impedância de carga normalizada.
2. Localizar o ponto A referente à impedância normalizada na carta.
3. Traçar o círculo da SWR e a reta que une o centro ao ponto A determinado anteriormente.
4. Percorrendo o circulo SWR no sentido horário até encontrar a reta de valores apenas reais e
marcar o ponto de intersecção B.
5. Traçar a reta que une o centro ao ponto B anterior.
6. Determinar a distância entre a carga e o trafo pelo ângulo entre as retas.
7. Conectar o trafo a carga, a admitância resultante é somente a condutância (parte real) da carga.
8. Transformar a condutância em resistência e calcular TZ do trafo de 4/ .
Figura. 3.9 Carta de Smith para o Exemplo 3.7
Exemplo 3.8: Conectar (em série) a certa distância da carga e ao longo da linha um trafo de quarto
de onda, determinado utilizando a Carta de Smith, capaz de reduzir a SWR a um. Frequência igual
a 300 MHz, carga 50100 jZL e linha 750Z . Calcular :
(a) O ponto mais próximo à carga para conectar o trafo de 4/ .
(b) ZT do trafo.
Solução:(a) Normalizar m.
.,j,
jZL 1
10300
103670331
75
501006
8
plotamos o
ponto A e o círculo SWR = 1,9, Figura 3.11. Onde o círculo SWR encontrar o eixo r (puramente
resistivo) no sentido horário, partindo do ponto A determinamos o ponto B. A distância é
184,0316,0500,0 ou 0,184 m e o valor da resistência é 83975530530 ,.,ou,r .
60547539750 ,,.ZZZ)b( RT
Figura. 3.10 Cálculo da posição do trafo de 4/ utilizando a carta de Smith
3.6.3 STUB e carta de Smith
Utilizando stub (ligação em paralelo) devemos além de determinar à posição onde o mesmo será
conectado a linha e partindo da carga, devemos determinar o comprimento deste mesmo stub
conforme Figura 3.11.
Figura 3.11 Variações da distância a carga e comprimento do stub
Os passos a seguir e o Exemplo 3.9 servem para ilustrar a aplicação do stub:
1. Calcular a impedância de carga normalizada.
2. Localizar o ponto P referente à impedância normalizada na carta. 3. Traçar o círculo da SWR e a
reta que une o centro ao ponto determinado anteriormente.
3. Localizar o ponto Q referente a admitância, este ponto é a intersecção entre o prolongamento da
reta e o círculo SWR.
4. Percorrendo o circulo SWR no sentido horário até encontrar o círculo r=1 e marcar o ponto de
intersecção R.
5. Traçar a reta que une o centro ao ponto anterior R.
6. Determinar a distância entre a carga e o stub pelo ângulo entre as retas.
7. A parte imaginária do R é utilizada para determinar na outra porção da carta o ponto S.
8. Traçar a reta determinada pelo centro e por S.
9. A distância entre a carga e o stub é determinada pelo ângulo entre a reta traçada anteriormente e
a reta real.
Exemplo 3.9: Carga 600450 jZL e f = 10 MHz é conectada a linha 3000Z . Calcular a
posição e o comprimento do stub.
Normalizar m.
.,j,
jZL 30
1010
1030251
300
6004506
8
e plotar o ponto P e o circulo SWR =
4,6 (Figura 3.13) o ponto Q é a intersecção da reta com o círculo de SWR Q( 32,024,0 jYL ). O
ponto R jB1 é a 1ª intersecção do circulo e condutância normalizada (G = 1 ou r = 1), R
7,11 j a distância entre Q e R é à distância da carga que o stub deve ser conectado a linha,
,,,,dstub 1300051018101 m,.,dstub 9033013001
Como a susceptância da linha onde o stub esta conectado é igual a + j 1,7 a susceptância do
stub deve ser – j 1,7 para resultar nula a susceptância marca-se o ponto S e a distância entre S e o
eixo real r = 0 é o comprimento do stub 085,0250,0335,01 stubL , m,.,L mstub 5523008501
P/ o gerador
Distância do STUB
Comprimento do STUB
A segunda intersecção do circulo e condutância normalizada (G=1 ou r = 1), R’ 7,11 j e
repetindo os procedimentos anteriores tem-se um segundo ponto e um novo comprimento
alternativo para o stub.
Exercícios P
Figura. 3.13 Posicionamento e comprimento do stub para casamento de impedâncias
EXERCÍCIOS
(3.1)Uma linha de transmissão sem perdas tem capacitância paralela igual a 100 pF/m e indutância
série de 4 µH/m. Qual a impedância característica?
(3.2) O condutor externo de uma linha coaxial tem diâmetro 6 mm, impedância característica 50 e
constante dielétrica 1,60. Qual o diâmetro do condutor interno?
(3.3) Uma linha de 300 terminada numa carga puramente resistiva tem tensão máxima 7,5V e
tensão mínima 5,0V. Qual o valor da resistência de carga?
(3.4) Um transformador de quarto de onda interliga uma linha de 75 a uma carga de 50. Qual a
impedância característica deste transformador?
(3.5) A relação de ondas de onda estacionária em uma linha de impedância característica 150, é
igual a 3. Para reduzir a VSWR a 1 quais valores possíveis para o trafo de quarto de onda?
(3.6) A velocidade de uma OEM dobra quando esta onda passa de uma linha com 4r para um
guia de onda com que valor de r ?
(3.7) O condutor externo de uma linha coaxial tem diâmetro 6 mm, impedância característica 50
e constante dielétrica 1,60. Qual o diâmetro do condutor interno?
(3.8) Determinar a relação de onda estacionária e corrigir para SWR igual a 1, utilizando um trafo
de quarto de onda, sendo as impedâncias da linha e antena iguais a 600 Ω e 150 Ω respectivamente.
(3.9) O que é um balun (“balanced" + "unbalanced”)e qual a sua principal aplicação?
(3.10) A relação de onda estacionária em uma linha de transmissão de impedância 600 , ligada a
certa carga, é igual a 6. Quais as impedâncias (em ) de um trafo de quarto de onda capaz de
reduzir a SWR para o valor ideal?
(3.11) Uma linha de transmissão bifilar tem diâmetro dos condutores igual à 1,00 mm e distância
entre eles igual à 5,00 mm, sendo a constante dielétrica do isolante entre os condutores igual à
1,215. Determinar a impedância característica desta linha em Ohm.
(3.12) Linha de 150 conectada a uma carga de impedância )75225( j . Com a carta de Smith
achar a SWR, menor distância à carga do trafo de 0'4/ Ze .
(3.13) Carga 450250 jZL e linha 3000Z . Calcular
(a) O ponto mais próximo à carga para conectar o trafo de 4/ .
(b) 0'Z do trafo.
(3.14) Calcular o comprimento de uma linha terminada em aberto se a admitância de entrada e a
impedância característica são respectivamente 5010.80 0
3 ZeSjYin
(3.15) Uma linha de 500Z terminada numa carga )5050( jZL .
(a) Determinar a SWR e LY
(b) Determinar a posição e o comprimento do stub.
(c) Determinar a posição e o 0'Z do trafo.
(3.16) Linha 50 Ohm, carga 100 Ohm e 63 MHz.
(a) Achar o stub.
(b) passando a frequência para 70 MHz qual a nova SWR?