4. GUIAS DE ONDA E CAVIDADES RESSONANTES

4.1 Reflexão por um plano condutor (ou superfície metálica). Incidência normal

4.2 Campos na superfície e dentro de um condutor

4.3 Cavidades ressonantes paralelepípedas

4.4 Cavidades cilíndricas e guias de onda

4.5 Modos de propagação em guias de onda retangulares

4.6 Atenuação em guias de ondas

4.7 Modos TE e TM em cavidades ressonantes cilíndricas

4.8 Perdas na cavidade; fator Q

1

4. GUIAS DE ONDA E CAVIDADES RESSONANTES

4.1 REFLEXÃO POR UM PLANO CONDUTOR (OU SUPERFÍCIE METÁLICA) INCIDÊNCIA NORMAL.

Vamos considerar agora a reflexão e transmissão de ondas planas incidindo perpendicularmente na interface plana de separação entre um material não-condutor e um material condutor. Vamos sòmente considerar meios não magnéticos e considerar as permeabilidades 121 (Heald-Marion, Seç. 6.4).

2

No caso de meio 2 ser um condutor, as expressões a que chegamos no caso da reflexão e refração de ondas planas monocromáticas no caso de dois meios dielétricos (não condutores) permanecem válidas, desde que se substitua o índice de refração do meio 2 pelo índice de refração complexo:

2

222

4ˆ inn ou ic

in 14

ˆ 222

no limite de alta condutividade

224

com sendo o comprimento de penetração.

22

c

3

É conveniente introduzirmos o comprimento de onda reduzido

c

2

Então, com 2

2c

, onde 2

A amplitude refletida para incidência normal é

1

1

12

12

0

1

1

1

ˆ

ˆ

ni

ni

nn

nn

E

E

O coeficiente de reflexão (ou refletividade) é dado por

1/1

1/12

1

21

2

0

2

1

n

n

E

Er

Para bons condutores , a razão é pequena

comparada com a unidade até as frequências ópticas.Portanto

4

,i.e.

211 2121~

nnr

O coeficiente de transmissão (ou transmissividade) é então

,/22~1 211 nnrt

o que representa a fração da energia média incidente na superfície que é transmitida (e absorvida) ao meio condutor.

4

Como a refletividade é quase 1 para a superfície metálica, os tamanhos dos vetores são quase iguais: 10 e EE

xeEE tzki ˆ100

xeEE tzki ˆ101

xeeeEEEE zikzikti ˆ~ 11010

no meio 1; tomando a parte real

xzksentsenEE ˆ2~ 10

5

6

(Heald-Marion, Seç. 6.4)

Então, o campo elétrico total no meio 1 é representado por uma onda estacionária, com modos separados pela distância .

2 1n

campo no interior do metal: 222ˆ iKnn

xeeEEz

cKtiz

cin

ˆ22

2

(ver Sec. 3.7)

Note que a reflexividade é tanto maior quanto maior fôr um condutor perfeito seria também um refletor perfeito (r = 1), o que é natural, pois o campo não pode penetrar no seu interior, devendo então ser totalmente refletido.

:2 2

7Introduction to electrodynamics, D. J. Griffiths, 3rd ed. (1999)

´1

n

Ktg

tiruc

inruc

KeeEE

..

0

EueKnEun

H i

ˆ1

ˆˆ ´22

iKnn ˆ

2

cDEPTHSKIN

alta condutividade: 4

21

~~c

ik

A distãncia correspondente a uma atenuação de é dada por1e

KkK 0

0 1

2

(ver Sec. 3.7)

ˆ

ck

4.2 CAMPOS NA SUPERFÍCIE E DENTRO DE UM CONDUTOR

Vamos rever as condições de contorno envolvendo os campos na fronteira que separa o meio 1 do meio 2:

4.ˆ 21 DDn

0ˆ 21 EEn

0.ˆ 21 BBn

Kc

HHn 4

ˆ 21

onde são, respectivamente, as densidades de carga e corrente. O vetor unitário é normal à superfície e dirigido do meio 2 para o meio 1. Vamos considerar o meio 2 como sendo um condutor PERFEITO e o meio 1 como um meio não-condutor.

Ke

n

8

Para um CONDUTOR PERFEITO, vamos assumir que as cargas são tão móveis que respondem INSTANTANEAMENTE em resposta às mudanças nos campos (não importando quão rápidas) e sempre produzem a densidade superficial de carga correta de forma a termos um CAMPO ELÉTRICO ZERO dentro do condutor perfeito. Da mesma forma, a densidade de corrente superficial é tal que o CAMPO MAGNÉTICO é zero dentro do condutor perfeito.

H

K

As condições de contôrno então ficam:

4.ˆ 1Dn

0ˆ 1 En

0.ˆ 1 Bn

Kc

Hn 4

ˆ 1

Portanto, na superfície do condutor perfeito, o campo elétrico é NORMAL e o campo magnético TANGENCIAL. PARA UM BOM CONDUTOR,ESSAS CONDIÇÕES DESCREVEM BASTANTE BEM AS CONFIGURAÇÕESREAIS DOS CAMPOS, PORÉM MUITAS PROPRIEDADES FÍSICAS (TAISCOMO PERDAS, ATENUAÇÃO DO SINAL, ETC...) NÃO PODEM SER OBTIDAS COM TAL APROXIMAÇÃO. 9

Vamos agora procurar tratar um condutor bom mas não perfeito, partindo do conhecimento sobre o comportamento dos campos nas vizinhanças da superfície de um condutor perfeito. Portanto, se analisarmos a região próxima à superfície de um bom condutor, vemos que pelo fato de termos a lei de OHM , válida para um condutor com condutividade finita, não pode existir uma corrente superficial, o que modifica a condição de contorno sobre a componente tangencial do campo magnético para

onde o índice c se refere ao condutor.

EJ

0ˆ cHHn

(campos perto da superfície de um condutor perfeito)

10

EH

E

||H

||EH

Condutor perfeito

Vácuo

= 0

Vamos supor que fora do condutor, mas muito próximo da superfície, o campo elétrico seja apenas normal

e o campo magnético tangencial

EE

~

.~//HH

Usando as condições de contorno e resolvendo as equações de Maxwell no condutor, podemos obter os campos no condutor, bem como pequenas correções aos campos no exterior. Como no interior do condutor os campos variam espacialmente muito mais rapidamente na direção normal à superfície do que na direção paralela à superfície, podemos desprezar as derivadas em relação às coordenadas tangenciais à superfície, em comparação com as derivadas normais à superfície.

A equação implica na existência de uma componente de paralela à superfície e que pode ser obtida da lei de Ampére-Maxwell

cH

,41

Jct

D

cH

0ˆ cHHn

11

desprezando-se a corrente de deslocamento, uma vez que estamos considerando um bom condutor. Neste caso temos

.4~

cc Ec

H

Evidentemente, pela lei de Faraday,

,1

t

B

cE

podemos obter o campo magnético no interior do condutor em termos do rotacional do campo elétrico Considerando a variação temporal dos campos como sendo HARMÔNICA temos

.cE

cc

c Hc

iE

,tie

Sendo o vetor unitário para FORA do condutor e a coordenada normal para DENTRO, podemos escrever para o operador nabla

n

n~

12

e então teremos:

*ˆ4

~

c

c

Hn

cE

**ˆ

c

cc

En

icH

Se agora levamos , obtemos *** em

cc

c Hnncic

H

ˆˆ

4~

2

2

ou, usando A x (B x C) = (A . C) B – (A . B) C,

nnHnnHiH ccc ˆ.ˆˆˆ.2

~2

22

13

onde

c

c

2

é o comprimento de penetração. Como esperamos que o campo magnético no interior do condutor seja fundamentalmente tangencial,

,0~.ˆ cHn

e portanto a equação diferencial de segunda ordem para a componente

tangencial de é dada porcH

0~ˆ2

ˆ22

2

cc Hni

Hn

14

)ˆ( cHn

cuja solução é

////

ic eeHH

onde é o campo tangencial fora da superfície.//H

Da equação (*) obtemos o campo elétrico no interior do condutor que, dentro das aproximações consideradas, é dado por

//

//

1ˆ

4~ i

c eei

Hnc

E

ou

//

//ˆ18

~ icc eeHniE

15

Eq. (8.9) Jackson 2nd ed.

Eq. (8.10) Jackson 2nd ed.

As soluções obtidas para os campos no interior do condutor apresentam um rápido decaimento espacial dado por um comportamento exponencial. Apresentam uma diferença de fase em relação aos campos no exterior do condutor. Finalmente, para um bom condutor, o campo elétrico no interior é muito menor que o campo magnético, ambos são paralelos à superfície e se propagam perpendicularmente a ela, com amplitudes que dependem apenas de sendo o campo tangencial fora da superfície.

//// com, HH

Utilizando as condições de contôrno para as componentes tangenciais de ,E

,0ˆ 1 cEEn

vemos que logo fora do condutor existe uma pequena componente tangencial do campo elétrico dada por

//// ˆ18

~ HniE c

Nesta aproximação também existe uma pequena componente normal de logo fora do condutor. Esta componente pode ser obtida pela lei de Faraday e é da mesma ordem de grandeza que

[veja tratamento e discussão diferentes em T. H. Boyer, Phys. Rev. A9, 68 (1974) ]

H

.//E

16

Eq. (8.11) Jackson 2nd ed.

17

HE

ze

E

||E

H

||H

0z z

bom condutor

(envelope)

(campos perto da superfície de um bom condutor)

A existência de uma pequena componente tangencial do campo elétrico fora da superfície além da componente normal de e tangencial de indica a existência de um fluxo de potência para o interior do condutor. A potência média absorvida por unidade de área é

E

H

2

//*

16.ˆRe

8HHEn

c

dA

Pd closs

Podemos interpretar este resultado como sendo a perda ohmica no condutor, uma vez que uma corrente volumétrica existe no condutor cuja expressão é dada pela lei de OHM

J

//

//ˆ18

icc eeHniEJ

Existe uma energia por unidade de volume dissipada no condutor, cuja média temporal é

22*

2

1

2

1.

2

1JEEJ cc

18

de modo que a taxa de dissipação de energia por unidade de área do condutor é

2

//

0

/22

// 168HdeH cc

que é o mesmo resultado obtido anteriormente e que representa a dissipação de energia através do vetor de Poynting. Como a densidade de corrente está confinada em uma região muito próxima da superfície do condutor, podemos formalmente definir uma densidade de corrente superficial efetiva dada por

J

effK

0

/1//

0

ˆ18

di

eff eHnic

dJK

ou

//ˆ4

Hnc

Keff

(I)

19

Se agora comparamos esta equação com

Kc

Hn 4

ˆ

para um condutor perfeito, vemos que um bom condutor se comporta exatamente como um condutor perfeito em que a densidade de corrente superficial idealizada é substituída por uma densidade superficial de corrente efetiva que de fato está distribuída em uma região muito pequena próxima à superfície.

Como vimos anteriormente,

2

//16H

dA

Pd closs

ou, equivalentemente

2

2

1eff

loss KdA

Pd

(II)

20

Isto nos mostra que a quantidade tem o papel de uma resistência superficial do condutor. A equação (II) com dado por (I) permite calcular as perdas resistivas em cavidades reais, guias de onda e linhas de transmissão em casos reais, desde que conheçamos os campos obtidos a partir de uma situação ideal onde o condutor é perfeito.

1

effK

Note que o coeficiente de proporcionalidade entre é chamado

impedância superficial

//// KeE

;sZ i

ZEZ

K ss

1com

1////

para um bom condutor

21

(Prob. 2, Lista 5)

4.3 CAVIDADES RESSONANTES PARALELEPÍPEDAS

Vamos considerar inicialmente o problema mais simples relacionado com a propagação ou excitação de ondas eletromagnéticas em objetos metálicos ôcos, que é o problema de uma cavidade com superfícies retangulares de dimensões a, b e c.

Vamos considerar as superfícies como sendo condutoras perfeitas de modo que no interior do condutor (no limite, o condutor é a superfície) os campos elétrico e magnético são nulos. Utilizando as condições do contôrno, devemos ter na cavidade

00ˆ tang EEn

00.ˆ norm BBn

Para problemas onde não existem fontes não precisamos introduzir os potenciais, e podemos trabalhar diretamente com os campos. Porém vamos utilizar esta situação simples para exemplificar o uso dos potenciais. Como não há fontes na cavidade, podemos escolher um gauge (de Coulomb) para o qual e basta então obtermos o potencial vetor satisfazendo as condições de contôrno apropriadas.

0A

01

0.2

2

22

t

A

cAA

22

Os campos são dados em têrmos de pelas relaçõesA

.,1

ABt

A

cE

Tanto a condição 0como0 normtang BE

no interior do condutor são satisfeitas pela condição de continuidade nas componentes tangenciais do potencial vetor. As soluções da equação de onda homogênea podem ser obtidas fàcilmente; para a componente x teremos

;02

22 xx A

cA

fazendo 2

22

cK

ou

cK

23

022 xx AKA

Esta equação pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis,tomando-se

zZyYxXzyxAx ,,

o que resulta em três equações diferenciais para as funções ., ZeYX

022

2

Xdx

Xdx

022

2

Ydy

Ydy

022

2

Zdz

Zdz

24

com o vínculo 2222zyxK

Portanto, a solução para a componente x do potencial vetor é dada por

ysenByAxsenBxAA yyxxx ´´coscos

zsenBzA zz ´´´´cosx

De modo similar para :yA

2222zyxK

yAxxcos

xsen x

yycos zzcos

ysen y zsen z

(simbòlicamente)

25

2222zyxK

zAxxcos

xsen x

yycos

ysen y

zzcos

zsen z

(simbòlicamente)

Vamos agora impor as condições de contôrno sôbre as componentes tangenciais de nas superfícies definidas pela figura abaixoA

czbyAx ,0parae,0para0

czaxAy ,0parae,0para0

byaxAz ,0parae,0para0

26

Consequentemente, devemos ter como solução

zsenysenxBsenxAA zyxxx cos

zsenxsenysenByAA zxyyy ´´cos

ysenxsenzsenBzAA yxzzz ´´´´cos

Como , devemos ter0. A

iii

0´´´ BBB

com cnbnan zzyyxx /,/,/ 27

A solução do problema de contôrno é então

zsenysenxA zyxxx cos

zsenyxsenA zyxyy cos

zysenxsenA zyxzz cos

sujeita à condição o que implica na relação,0. A

0 zzyyxx

Em geral, existem dois vetores linearmente independentes

que satisfazem essa condição, correspondendo a DUAS DIREÇÕES DEPOLARIZAÇÃO.

t

A

cEEA

1

poisou

28

• Também é claro que pelo menos dois dos inteiros devem ser não nulos para que os campos não sejam nulos.

zyx nnn ,,

• As frequências permitidas dentro da cavidade são dadas por

2

1

2

2

2

2

2

2

c

n

b

n

a

n

cK zyx

nnn zyx

4.4 CAVIDADES CILÍNDRICAS E GUIAS DE ONDA

Uma situação prática de grande importância é a propagação ou excitação de ondas eletromagnéticas em cilindros metálicos ôcos. Se o cilindro tem as extremidades abertas é chamado de GUIA DE ONDAS; caso contrário é uma CAVIDADE.

Vamos admitir que as superfícies de fronteira sejam condutores perfeitos.

29

Vamos ainda assumir que a forma e tamanho da seção reta do cilindro sejam constantes ao longo do eixo do cilindro. Supomos que o interior do cilindro é constituido por um meio uniforme, não dispersivo, caracterizado por uma constante dielétrica e uma permeabilidade ; a dependência temporal dos campos elétrico e magnético dentro do cilindro é harmônica da forma

tie

As equações de Maxwell no meio são dadas por:

0. E

0. B

t

B

cEB

c

iE

1

t

D

cJ

cHE

ciB

14

Tomando o rotacional das equações à direita e usando as equações à esquerda, encontramos

30

02

22

E

c

02

22

B

c

Vamos supor que existe propagação de ondas na direção que é a direção do eixo do guia de ondas,

z

tiikzeyxEtzyxE ,,,,

tiikzeyxBtzyxB ,,,,

Os sinais nas equações acima representam ondas que se propagam nos dois sentidos do eixo z ; soluções estacionárias podem ser obtidas através de combinações lineares dessas soluções. O número de onda k é no momento ainda desconhecido podendo ser real ou complexo.

31

Vamos agora escrever cada vetor como a soma de uma parte transversa (ao eixo z), designada pelo índice t, e de uma componente paralela ao eixo z; faremos a mesma decomposição para o operador gradiente e laplaciano, o que nos leva às relações:

BE

e

zt EEE

zt BBB

zzt

2

222

zzt

Temos então:

Bc

iE allongitudinztt B

ciE

ltransversattzt Bc

iEz

zE

(1)

(2)

Ec

iB

allongitudinztt Ec

iB

ltransversattzt Ec

iBz

zB

(3)

(4) 32

z

ztt

EEE

.50.

z

ztt

BBB

.60.

Temos também que

7022

22

Ek

ct

8022

22

Bk

ct

33

Vamos agora mostrar que as componentes tranversas dos campos elétrico e magnético podem ser expressas em têrmos de . Na verdade, êste resultado é um caso particular de um teorema geral que estabelece que as soluções da equação de onda vetorial podem ser sempre expressas em têrmos de duas funções escalares [ A. Nisbet, Proc. Roy. Soc. 231A, 250 (1955) ]. [ Note que se multiplicarmos as eqs. (1) e (3) por e as eqs. (2) e (4) por , obteremos as eqs. (8.23) e (8.24) do Jackson (segunda edição).]

zz BE e

.zz

Como desejamos obter os campos transversos em têrmos das componentes longitudinais de , substituimos o valor de na eq. (4), resultando emBE

e

tB

ttz

ztz

zt Ec

iEzEi

czB

ou

92

2

tt

zz

ztzt E

ciEz

Ez

i

cB

34

Vamos agora estudar o têrmo utilizando a identidade vetorial

zt Ez

BAABABBABA

...

e identificando os vetorestzEBzA

e,

Neste caso obtemos

ztzt EzE

ou

z

Ez

z

E zt

zt

35

É fácil também ver que

Substituindo as duas últimas relações em (9), obtemos:

ttz

tzt Ec

iEki

c

z

E

i

cB

2

ou

ztz

tt Bc

i

z

E

kc

E

22

2

1(10)

Anàlogamente

ztz

tt Ec

i

z

B

kc

B

22

2

1(11)

36

As equações acima expressam as componentes transversas em têrmos das componentes Note que são soluções da equação de ondas bi-dimensional

tt BE

ezz BE e

022

22

z

zt B

Ek

c

(12)

Para um condutor perfeito, as condições de contôrno na superfície do condutor associadas a essas componentes são dadas por: zz BE e

0ˆ Eni

onde é o vetor unitário normal á superfície S, o que implica na condição de contôrno sôbre

nzE

0] szE (13)

37

zz BE e

0.ˆ Bnii

Podemos utilizar a eq. (11) e, lembrando que e que

zz ikBz

B

0] szE

obtemos a condição sôbre a componente Bz que é

0]

sz

n

B(14)

onde é a derivada normal em um ponto da superfície.n

O PROBLEMA DE CONTÔRNO FICA ENTÃO ESPECIFICADO PELASEQUAÇÕES (12) PARA Ez e Bz E PELAS CONDIÇÕES DE CONTÔRNO (13) E (14).

Uma vez que as condições de contôrno em Ez e Bz são diferentes, os autovalores associados ao problema de Sturm-Liouville correspondente são em geral diferentes, correspondendo as duas frequências diferentes, uma para a qual existe Ez mas Bz =0, a outra para a qual Bz é diferente de zero mas Ez =0.

38

• TRANSVERSO ELÉTRICO (ou “ONDAS MAGNÉTICAS”; “H WAVES”) (TE WAVES)

• TRANSVERSO MAGNÉTICO ( ou “ONDAS ELÉTRICAS”; “E WAVES”) (TM WAVES)

Ez=0 em todo o espaço

, condição de contôrno0]

Sz

n

B

Bz=0 em todo o espaço

, condição de contôrno0] SzE

É interessante notar que as equações (10) e (11) para os campos transversos são indeterminadas quando temos um modo degenerado

tt BeE

0 zz BE

e para o qual

.c

k

39

Este modo é denominado modo TEM (modo TRANSVERSO ELETROMAGNÉTICO) pois os campos são sempre transversos à direção de propagação. De fato, a eq. (1) é satisfeita, o que implica )(para TEMt EE

0 TEMt E

e da equação de Laplace [ver eq. (5)], temos para o modo TEM0. E

,0. TEMt E

o que significa que é uma solução do problema ELETROSTÁTICO em duas dimensões, com o número de onda k na direção de propagação

dado por Da eq. (4) podemos obter o campo magnético

associado ao modo TEM; de fato temos

TEME

.c

k

TEMTEM Ec

iBz

z

ˆ40

Fazendo em ambos os lados,z

TEMTEM Ezc

iBz

zz

ˆˆˆ

TEMTEM Ezc

iBz

ˆ

como a dependência em z é ikze

TEMTEM Ez

c

cB

ˆ

ou

TEMTEM EzB

ˆ 41

para ondas se propagando como ; ou seja, os sinais estão associados a ondas que se propagam no sentido positivo ou negativo do eixo z. Note que a conexão entre é a mesma que para ondas planas num meio infinito. Note também que o modo TEM NÃO PODE EXISTIR em um guia constituído por um único cilindro oco com condutividade infinita, pois a superficie do cilindro é uma equipotencial e o campo elétrico é nulo no interior (as componentes transversais do campo são derivadas de um potencial; veja Sec. 7.3 de Heald & Marion); é necessário haver duas ou mais superfícies cilíndricas condutoras para têrmos um modo TEM se propagando. As LINHAS DE TRANSMISSÃO tipo “CABO COAXIAL” são estruturas típicas para as quais o modo TEM é possível.

ikze

TEMTEM EB

e

“CABO COAXIAL” “FIOS PARALELOS” (PROB. 8.1, Jackson, 2nd ed.) (PROB. 8.2)

42

Para ondas TE ou TM, podemos denotar por as componentes Ez ou Bz associadas aos modos TM ou TE, respectivamente. Das equações (7) ou (8), podemos escrever a equação de onda bi-dimensional [ver tb eq. (12)]

022 tt k

onde 2

2

22 k

ckt

A partir das eqs. (10) e (11), obtemos para o caso de ondas TE e TM:

(a) modo TE zz BE ;0

zc

i

kE t

tt

2

1

tt

tt

t k

ik

zkB

22

1

430]

Sn

(b) modo TM zz EB ;0

zc

i

kB t

tt ˆ

12

,1

22

tt

tt

t k

ik

zkE

Usando a identidade vetorial

,aaa

podemos expressar as componentes transversais do campo magnético em função das componentes transversais do campo elétrico

44

0] S

tt EzZ

H

ˆ1

onde

Zck

ck

para o modo TM

para o modo TE

é denominado de IMPEDÂNCIA DO MODO e o sinal tem o mesmo significado anterior.

Assim sendo, os campos transversos são determinados pelas relações

tt

t k

ikB

2

tt

t k

ikE

2

(modo TE)

(modo TM) 45

com satisfazendo

e as condições de contôrno

022 tt k TE

n S 0] ,0] TMS ou

o que estabelece um problema de autovalores relacionado com a constante Vamos mostrar que esta constante deve ser positiva:.2tk

022 tt k

222 tt k ou

e integrando ambos os membros dessa equação sôbre um volume arbitrário,

dvkdv tt 222

Usando a PRIMEIRA IDENTIDADE DE GREEN

dan

dVsv

.2

46

podemos escrever

..2

22 dvsddvk t

S

tt

Portanto, se , o primeiro têrmo do lado direito é nulo e então

0ou0

SS n

,02

2

2

dv

dvk

t

t

22

22 k

ckt

ou

.kc

47

Haverá então um espectro de autovalores

tk

correspondentes às funções autofunções soluções do problema de Sturm-Liouville. Este conjunto é completo e ortogonal sendo as diferentes soluções denominadas MODOS DO GUIA.

,

Para uma dada frequência o numero de onda k é dado por

.22

22

ck

Definindo-se uma quantidade denominada FREQUÊNCIA DE CORTE pela relação

c

48

podemos escrever o número de onda associado à direção de propagação como

21

22

ck ,

o que mostra que para é imaginário e esses modos não se propagam denominando-se modos evanescentes. Para o número de onda é real e ondas do modo se propagam na guia.

k,

k

4.5 MODOS DE PROPAGAÇÃO EM GUIAS DE ONDA RETANGULARES

Vamos estudar os modos de propagação em guias de onda com seção reta retangular e dimensões internas a e b, como mostra a figura abaixo.

49

Consideremos uma onda TE se propagando nesse guia, de modo que

zz HeE 0 satisfaz a equação de onda

*022

2

2

2

tkyx

e satisfaz a condição de contôrno que significa,0]

Sn

axx

,0para0

byy

,0para0

A solução de é então *

b

ym

a

xnHnm

coscos050

com22

222

b

m

a

nk nmt

A frequência de corte associada a é simplesmentenm2

122

b

m

a

ncnm

Se a>b, a menor frequência de corte ocorre para m=0 e n=1, que associa ao modo TE dominante a frequência

21

210

21010 e

ckk

a

cTE

51

Os campos são

tiikzz e

a

xHH

cos0

tiikzx e

a

xsenH

kaiH

0

tiikzy e

a

xsenH

c

aiE

0

4.6 ATENUAÇÃO EM GUIAS DE ONDAS

Só consideramos até agora guias de ondas constituídos por materiais idealizados por um condutor perfeito. Na realidade existem perdas no condutor, pois a condutividade de um material real pode ser grande mas não infinita e o fluxo de potência através do guia será atenuado (por perdas ôhmicas) exponencialmente, isto é

zePzP 0

onde é a constante de atenuação dada por

dz

dP

P

1

onde é a potência dissipada por perdas ôhmicas por unidade de

comprimento do guia de ondas, ou seja, a constante de atenuação é a razão entre a potência perdida por unidade de comprimento e a potência transmitida através do guia de ondas.

dz

dP

52

A potência transmitida através do guia é dada pelo fluxo do vetor de Poynting através da seção reta do guia. A média temporal da componente z do vetor de Poynting é

*Re8 ttz HEc

S

(ver Sec. 3.2 das notas)

Usando a equação

tt EzZ

H

ˆ1

(ver Sec. 4.4 das notas)

podemos expressar em têrmos de e da impedância do modo,tE

tH

,ˆ tt HzZE

o que resulta em

.8

2

tz HcZ

S

53

Portanto a potência TRANSMITIDA será dada por (fluxo do vetor dePoynting através da seção reta do guia de ondas):

dAHcZ

P t

2

8

A PERDA OHMICA por unidade de comprimento pode ser obtida a partir de

,ˆ42

1//

2Hn

cKcomK

dA

Pdeffeff

loss

(ver Sec. 4.2 das notas) ou

dlHnc

dz

dP

C

2

2

2

ˆ2

1

16

onde a integral de linha é em tôrno do contôrno do guia de ondas (veja tb a Sec. 8.5 do Jackson, 2nd ed.). 54

eq. (8.58) do Jackson, 2nd ed

Na região de microondas (~1010 HZ), para guias de ondas de cobre, a constante de atenuação corresponde a distâncias 1/e da ordem de 200 – 400 m.

4.7 MODOS TE e TM EM CAVIDADES RESSONANTES CILÍNDRICAS

Podemos construir uma cavidade ressonante colocando as tampas nos guias cilíndricos discutidos nas seções anteriores. As cavidades assim construídas formam uma classe especial, tendo seus modos classificados como sendo do tipo TE ou TM. Suponhamos que as tampas são planas e colocadas paralelas a uma seção reta do cilindro (perpendiculares ao eixo do cilindro) e tem condutividade infinita. A cavidade é preenchida por um dielétrico com constantes independentes da frequência. Devido às reflexões nas tampas, a dependência em z dos campos não pode ser mais associada com ondas que se propagam na direção do eixo de simetria z, mas devem ser soluções estacionárias do tipo

e

ti

z

z ekzBkzAH

E

sencos,

55

Consideremos o modo TM, de modo que Hz=0 e as condições na superfície são tais que as componentes tangenciais do campo elétrico devem ser nulas, de forma que

00 tampastransvlateralSz EeE

Se as tampas são colocadas em z = 0 e z = d, as componentes tangenciais de sôbre as tampas são dadas por

E

22

22

2com

1k

ck

z

E

kE t

zt

tt

(da eq. 10 na Sec. 4.4 das notas)

Logo temos as condições

• coeficiente B é nulo: B = 0

• sen kd = 0 p=0,1,2,... d

pk

56

tiz ekzBkzAkz

E

cossen, tampasnas0com z

Ez

De modo semelhante, se consideramos o modo TE devemos ter Ez=0 em todo o espaço e a equação da condição implica em

• coeficiente A é nulo: A=0

• dpk /

0

S

z

n

B

Os campos transversais são dados pelas equações (10) e (11) (Sec. 4.4),que resulta:

modo TM

,...2,1,0,cos,

pe

d

zpE ti

z

0zH57

t

ti

tt e

d

zpsen

dk

pE

2

t

ti

tt ze

d

zp

ck

iH

ˆcos

2

modo TE

com 2

2

22

d

p

ckt

0zE

,...3,2,1,,

pe

d

zpsenH ti

z

t

ti

tt ze

d

zpsen

ck

iE

2

t

ti

tt e

d

zp

dk

pH

cos

2 58

com

2

2

22

d

p

ckt

A função escalar é a solução do mesmo problema de contôrno definido por

022 tt k

e pelas condições de contôrno 0] S

ou para ondas TM ou TE,0]

Sn

resultando no espectro de autovalores

com tk

.d

pk

Ou seja, para cada valor de p o autovalor determina uma autofrequência dada por

p

2

12

2

d

pcp

59

Para o caso do guia de ondas retangular, já havíamos resolvido o problema de autovalores e determinado ,

,22

222

b

m

a

nk nmt

(ver Sec. 4.5)

o que resulta para a autofrequência de uma cavidade ressonante

2

1222

d

p

b

m

a

ncnmp

um resultado equivalente ao obtido para a cavidade ressonante paralelepípeda (ver Sec. 4.3)

60

Em têrmos práticos, escolhem-se as dimensões da cavidade (também para o guia) de tal modo que a frequência de operação esteja bastante separada das outras frequências de ressonância. Um modo simples de realizar-se, na prática, essa idéia é considerar, por exemplo, um cilindro cuja seção reta é circular com uma das tampas móveis (um pistão). Assim podemos sintonizar o modo desejado variando a altura da cavidade. Consideremos um cilindro cuja seção reta circular tem raio R e cuja altura é d :

(i) Para o modo TM devemos ter Hz=0 e

tiz e

d

zpE

cos, (ver transp. 56)

com a função escalar satisfazendo o problema de contôrno definido pela equação de onda bidimensional

que em coordenadas polares se escreve como

022 tt k

*011 2

2

2

2

tk

61

e pela condição de contôrno

0,0 RE Sz

A eq. pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis * imeR ,

onde a função satisfaz a eq. de Bessel [ver eq. (3.75) do Jackson] R

02222

22 Rmk

d

dR

d

Rdt

e, portanto, como a solução deve ser regular na origem, apenas as funções de Bessel de primeira ordem são fìsicamente aceitáveis:

,...2,1,0,, mekJ imtm

62

Usando a condição acima temos que ,0, R

R

xkRkJ mn

mnttm 0

onde é a enésima raiz da função de Bessel de ordem m, ou seja,mnx

0xJm

As frequências de ressonância são dadas por

2

12

2

d

pcp

(ver transp. 59)

63

ou 2

1

2

222

d

p

R

xc mnTMmnp

com m = 0,1,2,..., n = 0,1,2,...,p = 0,1,2,... O modo TM mais baixo está associado com a primeira raiz de J0 e com p = 0, tal que o modo (TM010) tem a frequência de ressonância (ver pg. 105, Jackson)

,405.201

010 R

c

R

xcTM

que é independente da altura d da cavidade e consequentemente uma sintonização é impossível (cilindro com pistão) Os campos são (ver transps. 56,57,60), para m = 0, n = 1, p = 0,

tiTMz e

RJEE

405.200

tiTM eR

JEiH

405.210 64

(ii) Se considerarmos o modo TE, devemos usar a condição de contôrno

0

R

Usando a solução imtm ekJ ,

obtemos

0R

tm

d

kJd

R

xk mn

mnt

'

onde 'mnx é a n-ésima raiz de .0' xJm

As frequências de ressonância são

2

1

2

22

2

'2

d

p

R

xc mnTEmnp

m = 0,1,2,... n,p = 1,2,3,...

65

O modo TE mais baixo está associado à frequência (m = n = p = 1)

2

1

2

2

111 912.21841.1

d

R

R

cTE

(ver pg. 356, Jackson, 2nd ed.)

Os campos para m = n = p = 1 são

,cos841.1

10tiTE

z ed

zsen

RJHH

comtt HeE

calculados a partir de , com

cos841.1

, 1

RJ

66

Para “d” grande (d>2.03 R), a frequência de ressonância é menor

que a frequência e portanto o modo TE111 passa a ser o modo fundamental da cavidade. Como a frequência deste modo depende da razão d/R, é possível sintonizar a cavidade modificando a distância entre as tampas da cavidade!

TE111

TM010

NA PRÁTICA, NÃO APENAS FREQUÊNCIAS IDÊNTICAS ÀS FREQUÊNCIAS DE RESSONÂNCIA PODEM EXCITAR OS MODOS NORMAIS DA CAVIDADE, UMA VEZ QUE EXISTEM PERDAS NAS SUPERFÍCIES DAS CAVIDADES E TAMBÉM NO DIELÉTRICO NO INTERIOR DA CAVIDADE. PORTANTO, DE FATO EXISTE UMA FAIXA DE FREQUÊNCIAS EM TÔRNO DAS FREQUÊNCIAS DE RESSONÂNCIA PARA A QUAL PODE OCORRER A EXCITAÇÃO DOS MODOS DA CAVIDADE.

A medida do poder da resposta de uma cavidade a uma excitação externa é dada pela quantidade que se denomina Q DA CAVIDADE definida como

ENERGIA ARMAZENADA POTÊNCIA DISSIPADAQ

67

4.8 PERDAS NA CAVIDADE; FATOR Q DA CAVIDADE (Sec. 8.8 do Jackson, 2nd ed.)

onde é a frequência de ressonância associada ao modo

(ou energia média armazenada ) perda de energia por ciclo

2Q

Uma vez que a conservação da energia requer que a potência dissipada em perdas ôhmicas seja igual ao negativo da taxa de variação da energia armazenada na cavidade, podemos escrever

Q

U

dt

dU

que tem como solução

tQeUU

0

68

A equação acima significa que uma energia U0 armazenada na cavidadedecai exponencialmente no tempo com uma constante que é inversamente proporcional à Q. Tal dependência temporal implica que os campos na cavidade SÃO AMORTECIDOS segundo a expressão

tit

Q eeHtH

2

0

onde é o deslocamento de frequências em tôrno de Temos

deHtH ti

2

1

onde

dteeHH tit

Q

0

20

2

1

tietH

(ver pg. 68 Jackson, 2nd ed.)69

Integrando esta equação,

Qi

HH

2

1

20

Consequentemente, a energia na cavidade tem uma distribuição de frequências do tipo ressonante, dada por

22

2

2

1~

Q

H

A forma de ressonância acima é mostrada na figura abaixo e tem uma largura na metade do máximo da amplitude igual a

./Q

70

PORTANTO A DIFERENÇA DE FREQUÊNCIAS ENTRE OS PONTOS CUJA POTÊNCIA TEM UM VALOR QUE É A METADE DA AMPLITUDE MÁXIMA, DETERMINA A LARGURA E O Q DA CAVIDADE:

,

Q VALORES DE Q NAS CENTENAS OU MILHARES SÃO COMUNS EM CAVIDADES DE MICRO-ONDAS

71