Apostila de Matemática

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria plana.Resumo terico e exerccios.

3 Colegial / Curso Extensivo.

Relao das aulas.

Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ Aula 02 - Pontos notveis de um tringulo......................................... Aula 03 - Congruncia de tringulos..................................................Aula 04 - Quadrilteros notveis........................................................Aula 05 - Polgonos convexos............................................................Aula 06 - ngulos na circunferncia...................................................Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................Aula 08 - Semelhana de tringulos...................................................Aula 09 - Relaes mtricas no tringulo retngulo...........................Aula 10 - Relaes mtricas num tringulo qualquer.......................Aula 11 - Circunferncia e crculo.....................................................Aula 12 - Inscrio e circunscrio de polgonos regulares.............Aula 13 - reas das figuras planas...................................................

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Jeca 01

021727364558708094

107121131141

Pgina

I) Reta, semirreta e segmento de reta.

A B

A B

A B

A B

reta AB

semirreta BA

segmento AB

semirreta AB

Definies.a) Segmentos congruentes. Dois segmentos so congruentes se tm a mesma medida.

b) Ponto mdio de um segmento. Um ponto P ponto mdio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento. a reta perpendicular ao segmento no seu ponto mdio

II) ngulo. A

O

B

OA - ladoOB - ladoO - vrticengulo AOB ou ngulo

Definies.a) ngulo a regio plana limitada por duas semirretas demesma origem.

b) ngulos congruentes. Dois ngulos so ditos congruentes se tm a mesma medida.

c) Bissetriz de um ngulo. a semirreta de origem no vrtice do ngulo que divideesse ngulo em dois ngulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ngulo.

a) Grau. A medida de uma volta completa 360.

1 = 60' 1' = 60"

b) Radiano. A medida de uma volta completa 2pi radianos.

Um radiano a medida do ngulo central de uma circunferncia cuja medida do arco correspondente igual medida do raio da circunferncia.

- grau' - minuto" - segundo

IIb) Classificao dos ngulos. = 0 - ngulo nulo. 0 < < 90 - ngulo agudo. = 90 - ngulo reto.90 < < 180 - ngulo obtuso. = 180 - ngulo raso.

Definies.a) ngulos complementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 90.b) ngulos suplementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 180.

IIc) ngulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.

r

s

t

r // s

a

b c

d

e

f g

h

a) ngulos correspondentes (mesma posio). exemplo - b e f.Propriedade - so congruentes.

b) ngulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - so suplementares (soma = 180)c) ngulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - so congruentes.

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)

Geometria planaAula 01

Conceitos iniciais de Geometria Plana.

Jeca 02

1) Em todo tringulo, a soma das medidas dos 3 ngulos internos 180.

2) Em todo tringulo, a medida de um ngulo externo igual soma das medidas dos 2 ngulos internos no adjacentes.

3) Em todo tringulo, a soma das medidas dos 3 ngulos externos 360.

4) Em todo tringulo issceles, os ngulos da base so congru-entes. Observao - A base de um tringulo issceles o seu lado diferente.

+ + = 180

e

e1e2

e3

i

lado

vrtice

i - ngulo internoe - ngulo externo

Num mesmo vrtice, tem-se

i + e = 180

III) Tringulos.

Propriedades dos tringulos.

Classificao dos tringulos.

a) quanto aos lados: - tringulo equiltero. - tringulo issceles. - tringulo escaleno.

b) quanto aos ngulos: - tringulo retngulo. - tringulo obtusngulo. - tringulo acutngulo.

ngulo externo. O ngulo externo

de qualquer polgono convexo o ngulo formado entre um

lado e o prolongamento do

outro lado.

e e = +

e + e + e = 3601 2 3

Exerccios.01) Efetue as operaes com graus abaixo solicitadas.a) 48 27' 39" + 127 51' 42" c) 90 - 61 14' 44" e) 4 x (68 23' 54")

b) 106 18' 25" + 17 46' 39" d) 136 14' - 89 26' 12" f) 3 x (71 23' 52")

Jeca 03

g) 125 39' 46"4

118 14' 52"3

h)

i) 125 12' 52"5

9013

j)

02) Determine o ngulo que o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ngulo que excede o seu suplemento em 54

04) Determine o ngulo cuja diferena entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento igual a 54.

05) Dois ngulos so suplementares. O menor o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ngulos.

06) As medidas de dois ngulos somam 124. Deter-mine esses ngulos sabendo que o suplemento do maior igual ao complemento do menor.

07) Determine um ngulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte igual ao triplo do seu comple-mento.

Jeca 04

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ngulo x.a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC l)

r

s

r // s

41

x

116

x

39

53

x r

s

r // s

39

53

x r

s

r // s

55

38

40

x

r

s

r // s

r

s

35

47

62

x

r

s

r // s

28

54

88

x 21 126

x

A

B

C

AB = AC

73

x

112 143

x

A B

C

46

x

x

158

67

38

Jeca 05

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em funo de m.

x

4m

3m

m

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ngulos x, y, z, t e u.

xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, esto representados um tringulo equiltero e um retngulo. Sendo x e y as medidas dos ngulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual o valor de x + y, em graus ?

A B

CD E

Fa) 120b) 150c) 180d) 210e) 240

14) (IBMEC-SP) Sejam , , , e as medidas em graus dos ngulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma + + + + igual a:

15) (ITA-SP) Em um tringulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vrtice C coincida com o vrtice A, e uma dobra PQ de modo que o vrtice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o trin-gulo AQR formado issceles com ARQ = 100; cal-cule as medidas dos ngulos internos do tringulo ABC. A

B CP

TQ

R

25

16) Determine x, sabendo-se que ABCD um retngu-lo e que F e E so pontos mdios dos lados AB e AD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

Jeca 06

Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

Jeca

Respostas desta aula.

01) a) 176 19' 21" b) 124 05' 04"c) 28 45' 16" d) 46 47' 48"e) 273 35' 36" f) 214 11' 36"g) 31 24' 56" h) 39 24' 57"i) 25 02' 34" j) 06 55' 23"

02) 6003) 11704) 7205) 60 e 12006) 17 e 10707) 225 / 708)a) 41 b) 64 c) 14 d) 14 e) 47f) 36 g) 62 h) 33 i ) 75 j) 34k) 113 l) 53 09) 27010) 24011) 21012) 18013) 2m14) c15) 70, 80 e 3016) 25

Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autorJeca 07

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

r

s

r //s43

x

a) b)r

s

r // s

57

x

d)c)rr

ss

r // sr // s

4545

6262

xx

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))rr

ss

r // sr // s

1401406565

xx

150150

h)g)

e)r

s

r // s147

82

x

x

126

80

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42

5x - 12

r

s

r // s

j)48

40

x

43

k)

x

55

l)

r

sr // s

135 x

85



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exerccios complementares da aula 01.

Jeca 08

m)

43

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58

xr

s

t u

o)

62

79 x

p)

52

67x

q)

52

81

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38

x

AB = AC AB = AC(Tringulo issceles) (Tringulo issceles)

A

B C

138

x

t)

A

B C

AB = AC

152

x

u) v)

62 98 x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y y

Jeca 09

02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.a)

37

31

116x

b)

x

73

14824

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x

34

38

101

bissetriz

x

128

36

42x

A

B

C

D

AD e BD so bissetrizes.

72

40

xD

e) D o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68

5y3y

x 60

x + 30

2x

i)

6x

9x

12x

43

6260

x

k)

x

A B

CD

ABCD um quadrado.

30

118x

Jeca 10

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38xA

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44x

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC um tringulo equilteroe DEFG um quadrado.

A B

C

DEx

BCD um tringulo equilteroe ABDE um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE um tringulo equilteroe ABCD um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE um tringulo equiltero, ABFG e BCDE so quadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF so tringulosequilteros.

A

B CE F

x

65

70

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

CDx

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38

AB = ACAD bissetriz de BCAE bissetriz de BD.

Jeca 11

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37x

yz

04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2xy4x

40

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ngulo CBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y4x

57x

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

A

B

C

D

E

FO

x 28

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ngulo x, sabendo-se que OD bissetriz de AOE, OC bissetriz de AOD e OB bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.

2x yz + 26

2z - 84

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progresso aritmtica de razo 10.

x

yz

Jeca 12

140

120

x

ts

t // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

Fx

y z

tu

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi-ne o valor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF um tringulo inscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC a bis-setriz do ngulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ngulo x em funo de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em funo de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ngulos internos de um tringulo issceles mede 100. Determinar a medida do ngulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ngulos internos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relao : a + b = c + d. r

s

r // s

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ngulos externos de um tringulo 360.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em funo de y e de z.

x

y

z

r

s

r // s

A

Jeca 13

22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ngulos x, y, z, t e u.

x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ngulo x, sendo y o triplo de z e t o sxtuplo de z.

80

x

y

z

t

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo , demonstre que vale a relao z - y = x - t.

x y z t

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ngulos x, y e z.

A

B C D

Ex

28) Determinar a medida do ngulo x, sabendo-se que os tringulos ABE e CDE so issceles e que o tringulo BCE equiltero.

Jeca 14

40

x

y

24) (FUVEST-SP) No retngulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relao aos ngulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90d) x - y = 90e) x + y = 180

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ngulo EAB mede 38, ABCD um retngulo e AB congruente a AE. A medida do ngulo CBF :a) 38b) 27c) 18d) 19e) 71

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ngulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v

30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ngulos x, y, z e t.

r

s

r // s

x

y

z

t

31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ngulos x, y, z e t.

32) Um retngulo de papel dobrado de forma que o vrtice D pertena ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ngulo x, conhecendo a medida de 140 do ngulo assinalado.

140

x

A B

CD

E

F

A

Dx

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ngulo MPB

igual a

34) Na figura abaixo, os ngulos ABC, ACB e CAB medem respectivamente 30, 80 e 30. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB simtrico do lado AB em relao a AD, determine a medida do ngulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ngulo CDE, sabendo-se que BAD = 48.

A

B CD

E

A

B C

M

N

P x y

x - y2 A

B CD

B

.

Jeca 15


01)a) 43 b) 123 c) 107 d) 107 e) 49f) 46 g) 55 h) 55 i) 30 j) 49k) 55 l) 130 m) 43 n) 122 o) 39p) 119 q) 133 r) 10/3 s) 71 t) 96u) 104 v) 46 x) 123 z) 10802) a) 48 b) 51 c) 29 d) 112 e) 18f) 111 g) 42 h) 70 i) 40/3 j) 45k) 90 l) 43 m) 14 n) 180/7 o) 20p) 68 q) 30 r) 15 s) 75 t) 60u) 120 v) 60 x) 150 z) 11603) 143, 37 e 14304) 36, 18 e 14405) 20, 60, 80 e 6006) 10007) 3308) 1909) 22, 44 e 11010) 50, 60 e 7011) 7012) 27013) 1014) 3615) x = 8y16) y = 3x17) demonstrao18) 4019) demonstrao20) x = y - z

21) c22) 54023) 5024) 13025) demonstrao26) d27) 36028) 4529) 36030) 18031) 54032) 6533) demonstrao34) 13035) 24


Jeca


mediana

mediatriz

bissetriz

altura

M

ponto mdio

Mediana - o segmento que une o vrtice ao ponto mdio do lado oposto.

Mediatriz - a reta perpendicular ao lado do tringulo pelo seu ponto mdio.

Bissetriz - a semi-reta de origem no vrtice que divide o ngulo em dois ngulos congruentes.

Altura - a distncia entre o vrtice e a reta suporte do lado oposto.

Todo tringulo tem: 3 medianas 3 mediatrizes 3 bissetrizes 3 alturas

Pontos notveis do tringuloBICO

- baricentro- incentro- circuncentro- ortocentro

Segmentos notveis do tringulo.

A

B M C

NPG

Baricentro (G). o ponto de encontro das 3 medianas do tringulo.Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contm o vrtice o dobro do segmen-to que contm o ponto mdio do lado oposto. (razo 2 : 1) Observao - As trs medianas dividem o tringulo original em seis tringulos de mesma rea.

SS

SS S

S

S2x

x

AG = 2.GMBG = 2.GNCG = 2.GP

Incentro (I). o ponto de encontro das 3 bissetrizes do tringulo.Propriedade. O incentro o centro da circunferncia inscrita (inter-na) no tringulo. O incentro o ponto do plano eqidistante dos 3 lados do tringulo.

I

r

r - raio da circunferncia inscrita.

Circuncentro (C). o ponto de encontro das 3 mediatrizes do tringulo.Propriedade. O circuncentro o centro da circunferncia circuns-crita (externa) ao tringulo. O circuncentro o ponto do plano eqidistante dos 3 vrtices do tringulo.

C

R

mediatriz

ponto mdio

R - raio da circunferncia circunscrita.

Ortocentro (O). o ponto de encontro das 3 alturas do tringulo.Propriedade. No tem.

hA

h B

h C

B C

A

Oortocentro

A

A

B

B

C

C

hAh B

hCO

hAh B

hCO

rea de cada tringulo




Pontos notveis de um tringulo.

Jeca 17

Observaes.

1) O baricentro e o incentro sempre esto localizados no interior do tringulo.

2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do tringulo.

3) Num tringulo issceles, os quatro ponto notveis (BICO: baricentro, in-centro, circuncentro e ortocentro) es-to alinhados.

4) No tringulo retngulo, o ortocen-tro o vrtice do ngulo reto e o cir-cuncentro o ponto mdio da hipo-tenusa.

IO

GC

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Tringulo eqiltero.(importante)

Em todo tringulo eqiltero, os quatro pontos notveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) esto localizados num nico ponto.

- lado do tringulo eqiltero.- raio da circunferncia inscrita.- raio da circunferncia circunscrita.- altura do tringulo.

rRh

lBICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero 10 cm, determinar :a) a altura do tringulo.b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo.c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo.d) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hl l

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O est inscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BAO mede 33 e que o ngulo ABC mede 56, deter-mine a medida do ngulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O est inscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BOC mede 126 , encontre a medida do ngulo BAC.

Jeca 18

04) Na figura abaixo, o ponto I o incentro do tringulo. Utilizando o quadriculado, traar as trs medianas, as trs mediatrizes, as trs bissetrizes e as trs alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do tringulo.

A

B C

I

05) Sabendo-se que a altura de um tringulo equiltero 3 cm, determinar :a) o raio da circunferncia inscrita no tringulo.b) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo.c) o lado do tringulo. R

r

hl l

l

A

B C

D

EF

G

06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G so os pontos mdios dos lados do tringulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o permetro do tringulo BDG, em funo de x, y, z, w, k e n.

A

B CD

E

F

07) Na figura abaixo, F o ortocentro do tringulo ABC. Determine a medida do ngulo DFE sabendo que os ngulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58 e 70.

Jeca 19

A B

C

D

E

08) Na figura abaixo, E o ortocentro do tringulo equiltero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em funo de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.

Peroba

Jatob

Sibipiruna

09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localizao faz meno a trs grandes rvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vrtice de um tringulo, onde o jatob o primeiro, a sibipiruna o segundo e a peroba o ortocentro do tringulo. Como possvel localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

210) O tringulo ABC da figura tem rea 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmaes abaixo so verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G o baricentro do tringulo ABC.2( ) A rea do tringulo AEC 40 cm .2( ) A rea do tringulo BFG 40 cm .

A

B CD

EFG

11) No tringulo ABC abaixo, F, D e E so os pontos mdios dos respectivos lados. Sendo 30 a medida do ngulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a rea do tringulo ABC;b) a rea do tringulo AFG;c) a rea do quadriltero BCAG.

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa no so colineares e esto localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poo de modo que ele fique mesma distncia das trs casas. Supondo que a fazenda plana, com seus conhecimentos de geometria, que sugesto poderia das a eles ? Justifique o seu raciocnio.

13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praa central, uma esttua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa esttua deve ser colocada, sabendo que ela dever ficar a uma mesma distncia das trs ruas que determinam a praa.

Rua 2

Rua 1

Rua

3

Jeca 20

Respostas desta aula.01)a) (5 3 / 2) cmb) (5 3 / 6) cmc) (5 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.02) 11803) 7204) Desenho ao lado.05) a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm06) 2k + w + z07) 12808) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 309) Desenho ao lado.10) F , V e F11)

2a) 42 cm2b) 7 cm

2c) 28 cm12) O poo deve localizar-se no circuncentro dotringulo cujos vrtices so as trs casas.13) A esttua deve ser colocada no incentro dotringulo formado pelas trs ruas.

A

B C

G CI

O

04)

Peroba

Jatob

Sibipiruna

tesouro

O

09)


Jeca


02) Sabendo-se que o raio da circunferncia circunscrita de um tringulo eqiltero mede 5 cm, determinar :a) o raio da circunferncia inscrita no tringulo;b) a altura do tringulo;c) o lado do tringulo;d) o permetro do tringulo;e) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hl l

l

O



Geometria planaPontos notveis de um tringulo.

Exerccios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero k, determinar :a) a altura do tringulo;b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo;c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo;d) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hO

k

kk

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

03) Na figura, AG e AF, dividem o ngulo BAC em trs ngulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ngulo ACB em trs ngulos congruentes. Assinale a alternativa correta.

a) P incentro de algum tringulo construdo na figura.b) Q incentro de algum tringulo construdo na figura.c) R incentro de algum tringulo construdo na figura.d) S incentro de algum tringulo construdo na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores verdadeira.

T1

T2

O

R

04) (Unifesp) Numa circunferncia de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os tringulos equilteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2a razo entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P so mdios dos lados a que pertencem. Provar que G o baricentro do tringulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

06) Na figura abaixo, o ponto I o centro da circunfe-rncia inscrita no tringulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o permetro do tringulo ADE.

A

B C

D EI

A

B C

DE

M

07) No tringulo ABC da figura, BC = 10 cm e M o ponto mdio de BC. Sabendo que D e E so os ps das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUO - Todo tringulo retngulo pode ser inscrito em uma semi-circunferncia.

A B

C

D

08) Na figura, o tringulo ABC retngulo em C, os segmentos AD e DB so congruentes e o ngulo CAD mede 65. Determine a medida do ngulo BDC.

A

B C

O

09) No tringulo ABC abaixo, ABC = 70 e ACB = 40.Determine a medida do ngulo BOC, sabendo-se que o ponto O o ortocentro do tringulo ABC.

A

B C

D

E F

40

10) No tringulo ABC abaixo, D ponto mdio do la-do AC e CE a bissetriz do ngulo ACB. Determine a medida do ngulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D o centro da circunferncia inscrita no tringulo retngulo ABC. Determine a me-dida do ngulo ADC.

12) (Fuvest) Um tringulo ABC, tem ngulos A = 40 e B = 50. Qual a medida do ngulo formado pelas alturas relativas aos vrtices A e B desse tringulo ?a) 30b) 45c) 60d) 90 e) 120

Jeca 23

AB C

E

DF

13) Considere o tringulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.

a) F o ortocentro do ABC.b) A o ortocentro do FBC.c) Os circuncentros do BDC e do BEC coincidem.d) BF = 2.FE.e) O ABC acutngulo.

A

B CD

E

14) No tringulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE so perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130

120

110

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, no tringulo ABC abaixo, sabendo que D o incentro do tringulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o crculo inscrito no tringulo ABC tem rea S e os ngulos A e B medem 50 e 70, respectivamente. Determine as reas dos setores circulares S , S e S , em funo de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, no tringulo ABC abaixo, sabendo que D o circuncen-tro do tringulo.

D

A

B C

110

120

130

A

B

C

O

18) Na figura, a circunferncia de centro O est inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ngulo central BAC = 60. Determine o raio da circun-ferncia.

A

B C

D

19) O tringulo ABC da figura retngulo em A e os tringulos ABD, BCD e ACD so equivalentes (tm a mesma rea). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.

A

B C

P

20) No tringulo ABC da figura, BAC = 50. Se P for o incentro do tringulo ABC, a medida do ngulo BPC x; no entanto, se P for o ortocentro do tringulo ABC, a medida do ngulo BPC y. Determine a razo entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24

AB C

DM

P

21) Na figura, ABCD um retngulo, M ponto m-dio de AD e o tringulo BMC equiltero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60 e o ngulo DAC o dobro do ngulo DBA. Determine a razo AC / BC.

A

B D C

A

B C

RM N

P

23) No tringulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos mdios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que so os segmentos AP, BN e CM para o tringulo ABC.b) Que ponto notvel do tringulo o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR. A

B C

O

24) Na figura ao lado, O o centro da circunferncia inscrita no tringulo ABC que retngulo em B. Sendo m(ACB) = 30, determinar as medidas dos ngulos , , e e dizer o que a semirreta CO significa para o ngulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G so os pontos mdios dos lados do tringulo ABC. Para o tringulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano , a mediatriz de um segmeno de reta AB a reta r que passa pelo ponto mdio do segmento de reta AB e perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distncia de P ao ponto A igual distncia de P ao ponto B.b) A interseco das mediatrizes de dois lados de um tringulo qualquer em o circuncentro do tringu-lo.c) Qualquer ponto do plano que no pertena reta r no equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um tringulo podem se interceptar em trs pontos distintos.e) A reta r a nica mediatriz do segmento de reta AB em .

Jeca 25


01)a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO02) a) (5 / 2) cmb) (15 / 2) cmc) 5 3 cmd) 15 3 cme) BICO03) d04) 205)

06) 19 cm07) 10 cm08) 13009) 11010) 10511) 13512) d13) d14) 2 5 15) 23 S / 7216) 80, 40 e 60

A

B C

M N

P

G

S R

S ponto mdio de BGR ponto mdio de CGMNRS um paralelogramoPortando, SG = GN = BSRazo 2 : 1

17) 55, 65 e 6018) 5 cm19) 6 cm20) 23 / 2621) 4 cm22) 1 / 223) a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm24) 15, 45, 120, 30 e bissetriz25) circuncentro e mediatriz26) d


Jeca


AB C E F

D Dois tringulos so congruentes se tm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ngu-los dois a dois ordenadamente congruentes.

ABC DEF A DB EC FAB DEAC DFBC EF

Casos de congruncia.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO5) Caso especial (CE)

Onde:L - lado.A - ngulo junto ao lado.A - ngulo oposto ao lado.O

Caso especial (CE). Dois tringulos retngulos so congruentes se tm as hipotenusas congruentes e um cateto de um tringulo congruente a um cateto do outro tringulo

Observao. A posio de cada elemento do tringulo (lado ou ngulo) no dese-nho muito importante na caracteri-zao do caso de congruncia.

L.A.L. - dois lados e o ngulo entre eles.A.L.A. - dois ngulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C so ngulos retos e os segmentos AD e CD so congruentes. Prove que os tringulos ABD e CBD so congruentes.

02) Na figura ao lado, A e C so ngulos retos e BD a bissetriz do ngulo ABC. Prove que os ngulos ABD e CBD so congruentes.

A

B

C

D

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC so congruentes e os segmen-tos AD e CD tambm. Prove que os ngulos A e C so congruentes.

A

B

C

D

A

B

C

D




Congruncia de tringulos.

Jeca 27

rs

OM P

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto mdio do segmento OP, determine os pontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M tambm seja ponto mdio do segmento AB.

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB uma corda da circunferncia de centro C. Provar que se o raio CD perpendicular corda AB, ento E ponto mdio de AB.

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto mdio, provar que qualquer ponto da mediatriz eqidistante das extremidades A e B do segmento.

A BM

P

mediatriz

E

05) (Importante) Provar que em todo tringulo issceles a altura relativa base tambm bissetriz, mediana e mediatriz.

A

B CH

Jeca 28

AB C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE so congruentes. Sabendo-se que o tringulo BCE issceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC so congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

O

C

R

r

s

Nessa figura, os segmentos AB e BC so perpen-diculares, respectivamente, s retas r e s. Alm disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ngulo POR . Determine, em funo de , a medida do ngulo interno AOC do quadriltero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD um paralelogramo e os segmentos AE e CF so congruentes. Prove que os segmentos DE e FB so congruentes e paralelos entre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH est inscrito no quadrado ABCD. Prove que os tringulos AEH, BFE, CGF e GDH so congruentes entre si.

A B

CDE

F

12) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e os segmentos AE e CF so perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF so congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD um paralelogramo e AC e BD so as diagonais, ento o ponto de interseco das diagonais o ponto mdio da diagonal AC.

Jeca 29

Teorema do ponto exterior. Dada uma circunferncia e um ponto P, P exterior a , se A e B so os pontos de tangncia das retas tangentes a por P, ento PA = PB.

A

B

P

PA = PB

Consequncia do Teorema do ponto exterior. Em todo quadriltero circunscrito numa circunfern-cia a soma das medidas dos lados opostos constante.

AB

CD

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferncia est inscrita no tringulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

PC

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D so pontos de tangn-cia. Determinar o permetro do tringulo CEP, sabendo que a distncia PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base mdia de um trap-zio issceles sabendo-se que os lados no paralelos desse trapzio medem 15 cm cada.

A B

CD

A B

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferncia ins-crita no tringulo retngulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

Jeca 30

Respostas desta aula.Observao - Dependendo dos dados, um exerccio pode ser provado por mais de um caso de congruncia. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruncia mais evidente.

01) Caso especial (CE)02) L.A.A .O03) L.L.L.04) Caso especial05) possvel provar por vrios casos.06) L.A.L.07) Demonstrao ao lado.08) L.A.L.09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os tringulosAPO e BPO so congruentes.Pelo mesmo caso, prova-se que os tringulosBRO e CRO tambm so congruentes.AOP = BOP = e COR = BOR = Portanto AOC = 2

10) L.A.L.11) A.L.A.12) L.A.A .O13) L.A.A .O14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)15) 816) 34 cm17) S = { x R x > 3 / 4 }18) 15 cm19) 3 cm

r

s

O M P

Resoluo

A

B

Seja BP // OAOM = MP (L) - por hipteseOMA = PMB (A) - OPVAOM = BPM (A) - alternos internos

Pelo caso A.L.A., temosOAM = PBM

Portanto AM = MB CQD

07)

A


Jeca


01) Na figura abaixo, M ponto mdio de AC e de BD. Provar que o tringulo ABM congruente ao tringulo CDM.A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento AC e os ngulos A e C so congruentes. Provar que M tambm ponto mdio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento BD e os ngulos A e C so congruentes. Provar que os segmentos AB e CD so congruentes.

04) Na figura abaixo, M ponto mdio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD so paralelas.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruncia de tringulos.


A B

C

D

05) Na figura abaixo, AB bissetriz do ngulo CAD e os ngulos ACB e ADB so congruentes. Provar que os segmentos AC e AD so congruentes.

Jeca 32

AB CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o tringulo DCG issceles.

A

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE um tringulo issceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC tambm um tringulo issceles.

09) Na figura abaixo, ABC um tringulo eqiltero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE so congruentes, provar que o tringulo DEF eqiltero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os tringulos ABC e ADE so congruen-tes.

Jeca 33

12) Provar que em todo tringulo, o segmento que une os pontos mdios de dois lados paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

D E

13) Provar que em todo trapzio, o segmento que une os pontos mdios dos lados no paralelos paralelo s bases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais so perpendiculares entre si e bissetrizes dos ngulos internos desse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH so quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vrtice E do outro quadrado. Prove que os tringulos EJL e EKM so congruentes.

Jeca 34


Observao - Dependendo dos dados, um exerccio pode ser provado por mais de um caso de congruncia. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruncia mais evidente.

01) LAL 02) ALA 03) LAA O04) LAL 05) LAA O06) Caso especial07) LAL 08) ALA 09) LAL 10) LLL 11) ALA

A

B C

D E

Demonstrao do exerccio n 12.A

B C

D E F

Seja CF // AB (por construo) >DAE FCE (alternos internos)AE CE (E ponto mdio)AED CEF (opostos pelo vrtice)

Pelo caso ALA, temos: ADE CFE CF AD

Mas D ponto mdio de AB CF AD DB

Se BD //CF e BD CF BCFD um paralelogramo

DF // BC e DF BC

Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)

>

>

> >

> =BC2

>

>

Demonstrao do exerccio n 13.

A B

CD

E F

A B

D

E

C

F

G

>

A

CD

E F

DG = DC + CG = DC + AB

Pelo teorema demonstrado no exerccio 12, temos:

EF // AB // CD e EF

(CQD)=

AB + CD2

G


Jeca


AFB CFG (A) (opostos pelo vrtice)BF FC (L) (F ponto mdio de BC)BAF CGF (A) (alternos internos)

Pelo caso LAA , temos: ABF CGF AF FG O e AB CG

Considerando apenas o tringulo ADG, temos:

I) Trapzio. o quadriltero que tem dois lados paralelos.

Trapzioretngulo

Trapzioissceles

Trapzioescaleno

A altura de um trapzio a distncia entre as retas suporte de suas bases.

h

base menorbase maior

+ = 180

II) Paralelogramo. o quadriltero que tem os lados opostos paralelos.

A B

CD

AB // CDe

AD //BC

III) Retngulo. o quadriltero que tem todos os ngulos internos congruentes e iguais a 90.

A B

CD

b

h

b

h

IV) Losango. o quadriltero que tem os lados congruentes.

V) Quadrado. o quadriltero que tem os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes (90).

A

B

C

D

AB // CDe

AD // BC

45

Propriedades dos quadrilteros notveis.

1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos mdios.

2) Em todo losango as diagonais so: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ngulos internos.

A B

CD

M

M ponto mdio de ACe

M ponto mdio de BD.

A

B

C

D

x

y

x

y y

yxx

3) Base mdia de trapzio. Em todo trapzio, o segmento que une os pontos mdios dos dois lados no paralelos, paralelo s bases e vale a mdia aritmtica dessas bases.

4) Base mdia de tringulo. Em todo tringulo, o segmento que une os pontos mdios de dois lados paralelo ao 3 lado e vale a metade desse 3 lado.

A B

N

CD

M

base mdia

MN // AB // CDe

MN AB + CD2=

A

B C

M N

base mdia

MN // BCe

MN = BC2




Quadrilteros notveis.

Jeca 36

7 cm

7 cm12 c

m

2x

x + 5

2x

+ 1

k

k

04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ngulo BDC, determinar as medidas dos ngulos a, b, c e d.

58

A

B

C

D

A B

CD

3y

12 cmx

- 4

7 cm

01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.

A B

CD

02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.

A B

CD

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.

a bc

d

08) (UERJ) Se um polgono tem todos os lados com medidas iguais, ento todos os seus ngulos internos tm medidas iguais.Para mostrar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) tringulo equiltero;b) losango;c) trapzio;d) retngulo;e) quadrado.

A

B

C

D

L

M N

P

A

B

C

D

L

M N

P

05) Na figura, L, M, N e P so, respectivamente, os pon-tos mdios dos lados AB, BC, CD e DA do quadriltero ABCD. Determinar o permetro do quadriltero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.

06) Na figura, L, M, N e P so, respectivamente, os pon-tos mdios dos lados AB, BC, CD e DA do quadriltero ABCD. Provar que LMNP um paralelogramo.

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ngulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ngulos internos consecutivos desse paralelogramo esto na razo 1 : 3.

Jeca 37

AB C

D E

09) No tringulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos mdios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rmetro do trapzio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No tringulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontosmdios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No tringulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos mdios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o permetro do qua-driltero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapzio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F so os pontos mdios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base mdia EF.

A B

CD

E F

13) No trapzio retngulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos mdios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os permetros dos trap-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapzio ABCD abaixo, a base mdia EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapzio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapzio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H so pontos mdios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 38

MN L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP um quadriltero, C, D, E e F so os pontos mdios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o permetro do quadriltero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ngulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ngulos internos opostos medem 3x - 18 e 2x + 27.

A

B C

D E

F

19) No tringulo ABC abaixo, D e E so os pontos mdios dos respectivos lados. Sendo o permetro do tringulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que o ponto F para o tringulo ABC.b) a medida do permetro do tringulo BCF.

20) No tringulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o permetro do quadriltero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No tringulo ABC abaixo, E e G so os pontos mdios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o permetro do tringulo GEC e dizer o que o ponto D do tringulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapzio issceles, a medida da altura igual da base mdia. Determine o ngulo que a diagonal do trapzio forma com uma das bases do trapzio.

A B

CD

22) Demosntre que o ngulo formado pelas bissetri-zes de dois ngulos internos consecutivos de um paralelogramo um ngulo reto.

Jeca 39


01) 6 cm02) 403) 11 cm e 4 cm04) 32, 64, 90 e 11605) 16 cm06) Propriedade da base mdia do tringulo.BD // LP // MN e AC // LM // PNPortanto LMNP um paralelogramo.

07) 4508) b09) 25 cm10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm11) x + z12) 14 cm13) 36 cm e 42 cm14) 12 cm15) 5 cm e 14 cm16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm17) 22 cm18) 117 e 6319) Baricentro e 46 cm20) (x + y + 2w + t) / 221) (y + z + 6k) / 2 e baricentro22) 2 + 2 = 180 (alternos internos)Portanto + = 9023) 45


Jeca


01) Dado o losango ABCD abaixo e o ngulo de 58, determine as medidas dos ngulos assinalados.

58

A

B

C

D



Geometria planaQuadrilteros notveis.


x

y

zt

02) (UERJ-RJ) Se um polgono tem todos os lados com medidas iguais, ento todos os seus ngulos internos tm medidas iguais. Para mostrar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) losangob) trapzioc) retngulod) quadradoe) paralelogramo

32

x

y

A B

CD

03) No retngulo ABCD abaixo, AC e BD so as diagonais. Determine as medidas dos ngulos x e y.

A

B

C

D

2

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e DCE um tringulo equiltero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retngulo. Sendo DB a diagonal do re-tngulo, F o ponto de interseco entre a diagonal e o lado do tringulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-es.I. Todo quadrado um losango.II. Todo quadrado um retngulo.III. Todo retngulo um paralelogramo.IV. Todo tringulo equiltero issceles.

Pde-se afirmar que:a) s uma verdadeira.b) todas so verdadeiras.c) s uma falsa.d) duas so verdadeiras e duas so falsas.e) todas so falsas.

Jeca 41

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x quadriltero}B = {x / x quadrado}C = {x / x retngulo}D = {x / x losango}E = {x / x trapzio}F = {x / x paralelogramo}Ento vale a relao:a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo no retngulo, a diagonal oposta aos ngulos agudos menor do que a outra.b) reto o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ngulos opostos de um para-lelogramo so paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos mdios dos lados de um tri-ngulo, este fica decomposto em quatro tringulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores so incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retngulo DGHI, o tringulo e-quiltero DEF e o quadrado ABCI, tm todos, perme-tro igual a 24 cm. Se D o ponto mdio de CI, o per-metro da figura fechada ABCDEFGHIA igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ngulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferena entre as medidas de dois ngulos internos consecutivos 52.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compe esse losango em dois tringulos congruentes. Se cada ngulo obtuso do losango mede 130, quais so as medidas dos trs ngulos de cada um dos dois tringulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmaes:I. Quaisquer dois ngulos opostos de um quadrilte-ro so suplementares.II. Quaisquer dois ngulos consecutivos de um para-lelogramo so suplementares.III. Se as diagonais de um paralelogramo so perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto mdio, ento esse paralelogramo um losango.

a) Todas so verdadeiras.b) Apenas I e II so verdadeiras.c) Apenas II e III so verdadeiras.d) Apenas II verdadeira.e) Apenas III verdadeira.

Jeca 42

13) (UFV-MG) Num trapzio issceles de bases dife-rentes, uma diagonal tambm bissetriz de um ngu-lo adjacente base maior. Isso significa que:a) a base menor tem medida igual dos lados oblquos.b) os ngulos adjacentes base menor no so congruentes.c) a base maior tem medida igual dos lados oblquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto mdio.e) as diagonais se interceptam, formando ngulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadriltero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ngulo de 60.a) Indicando por , , e , respectivamente, as medidas dos ngulos internos dos vrtices A, B, C e D, calcule + + + .b) Sejam J o ponto mdio de DC, M o ponto mdio de AC e N o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ngulo MJN.

A

D C

B

A

B C

D E

FG H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D ponto mdio de AB, F ponto mdio de BD, E ponto mdio de AC e I ponto mdio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadriltero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U so os pontos mdios dos lados do quadriltero dado, ento o permetro do quadriltero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapzio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em funo de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o tringulo ABC retngulo em B, o ponto D ponto mdio do lado AB e o segmento DE paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 43


01) x = 32, y = 116, z = 64, t = 9002) a03) x = 64, y = 11604) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm05) 6 cm06) b07) b08) e09) c10) 64 e 11611) 50, 65 e 6512) c13) a14) a) 360 b) 1 e 1 c) 6015) FG = 6 cm e GH = 6 cm16) d17) AF EJ 18) 4cm

=3x - y

2 =3y - x

2


Jeca


I) Polgonos convexos.

ie

d

d - diagonali - ngulo internoe - ngulo externo

Classificao dos polgonos (quanto ao n de lados). 3 lados - tringulo 4 lados - quadriltero 5 lados - pentgono 6 lados - hexgono 7 lados - heptgono 8 lados - octgono 9 lados - enegono10 lados - decgono

11 lados - undecgono12 lados - dodecgono13 lados - tridecgono14 lados - quadridecgono15 lados - pentadecgono16 lados - hexadecgono17 lados - heptadecgono18 lados - octodecgono19 lados - eneadecgono20 lados - icosgonoi + e = 180

II) Soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo.

(S )i

III) Soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo.

(S )e

IV) Nmero de diagonais de um pol-gono convexo.

(d)

i1i2

i3i4

in

S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n

S = 180 (n - 2)in - n de lados do polgono

e1

e2

e3

e4

en

S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n

S = 360ePara qualquer polgono convexo

Diagonal o segmento que une dois vrtices no consecutivos.

d n (n - 3)2=

n - n de lados do polgono

vrtice

lado

V) Polgono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

Um polgono regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ngulos internos congruentes entre si;c) todos os ngulos externos congruentes entre si.

3 lados - tringulo equiltero4 lados - quadrado5 lados - pentgono regular6 lados - hexgono regular etc

Classificao dos polgonos regulares

Medida de cada ngulo interno de um polgono regular.

Medida de cada ngulo externo de um polgono regular.

i =Sin >

180 (n - 2)i = n

e =Sen >

360e = n (importante)

Observao - Todo polgono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferncia.

ngulocentral

C




Polgonos convexos.

Jeca 45

01) Determinar a soma das medidas dos ngulos inter-nos e o nmero de diagonais de um pentadecgono convexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ngulos exter-nos e o nmero de diagonais de um octodecgono convexo.

03) Determinar a medida de cada ngulo interno e de cada ngulo externo de um enegono regular.

04) Determinar a medida de cada ngulo interno e o n de diagonais de um octgono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ngulos inter-nos de um polgono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o n de diagonais de um polgono regu-lar cuja medida de cada ngulo externo 30.

07) Determinar o n de diagonais de um polgono regu-lar sabendo-se que a medida de um ngulo interno excede a medida do ngulo externo em 132.

08) Determinar a medida do ngulo externo de um polgono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 46

09) Dados dois polgonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais so os polgonos A e B.

10) Dados dois polgonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferena das medidas de seus ngulos externos 16. Deter-mine quais so esses polgonos.

11) Determine a medida do ngulo agudo formado entre a diagonal AF e lado AB de um dodecgono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ngulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecgono regular ABC...KL.

Jeca 47

13) (UNIFESP-SP) Pentgonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condies, o ngulo mede:

a) 108 b) 72 c) 54 d) 36 e) 18

14) (FUVEST-SP) Dois ngulos internos de um pol-gono convexo medem 130 cada um e os demais ngulos internos medem 128 cada um. O n de lados desse polgono :

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadriltero ABCD da figura abaixo, so traadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ngulo . A soma dos ngulos internos A e D desse quadriltero corresponde a:

a) /4 b) /2 c) d) 2 e) 3

A

B

C

D

M

N

16) (MACK-SP) Os lados de um polgono regular de n lados, n > 4, so prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vrtice da estrela :a)b)c)d)e)

360n

(n - 4) . 180n

(n - 2) . 180n

180 _ 90n

180n

Jeca 48


01) 2340 e 90 diagonais02) 360 e 135 diagonais03) 140 e 4004) 135 e 20 diagonais05) 198006) 54 diagonais07) 90 diagonais08) 360 / 709) Heptgono e undecgono10) Enegono e pentadecgono11) 6012) 7513) d14) b15) d16) b


Jeca


01) Dado um polgono convexo de 17 lados, determinar:a) a soma das medidas dos ngulos internos.

b) a soma das medidas dos ngulos externos.

c) o nmero de diagonais desse pol-gono.

03) Determinar o nmero de lados e o nmero de diagonais de um polgono convexo cuja soma das medidas dos ngulos internos 2160.

04) Determinar a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecgono convexo, determinar:a) a soma das medidas dos ngulos internos.

b) a soma das medidas dos ngulos externos.

c) o nmero de diagonais desse pol-gono.



Geometria planaPolgonos convexos.


Jeca 50

05) No pentgono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ngulos internos assinalados. A B

C

E D

06) Determinar os polgonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polgono B.

07) Dado um enegono regular, determinar :a) o nmero de lados do enegono. b) a soma das medidas dos ngulos

internos.c) a medida de cada ngulo interno.

d) a soma das medidas dos ngulos externos.

e) a medida de cada ngulo externo. f) o nmero de diagonais do enego-no.

08) Determinar qual o polgono regular cuja medida de um ngulo externo igual a 2/7 da medida de um ngulo interno.

Jeca 51

09) Dado um pentadecgono regular, determinar :a) o nmero de lados do pentadec-gono.

b) a soma das medidas dos ngulos internos.

c) a medida de cada ngulo interno.

d) a soma das medidas dos ngulos externos.

e) a medida de cada ngulo externo. f) o nmero de diagonais do penta-decgono.

10) Determinar dois polgonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferena entre as medidas dos seus ngulos externos 6.

11) Dado um decgono regular ABCDE , determinar a medida do ngulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecgono regular ABCDE , sendo O o centro do dodecgono, determinar a medida do ngulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 52

13) Dado um decgono regular ABCDE , sendo O o centro do polgono, determinar :A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ngulo externo.

d) a medida de cada ngulo interno. e) a medida do ngulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.

f) a medida do ngulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.

g) a medida do ngulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ngulo EOG.

a) a soma das medidas dos ngulos externos do decgono.

c) a soma das medidas dos ngulos internos do decgono.

F

i) a medida do ngulo EBC.

Jeca 53

A B

C

D

E

F

GHI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

MN

P

Q

R

ST

U

O

14) No pentadecgono regular abaixo, determinar a medida do ngulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.

x yz

15) No icosgono regular abaixo, determinar as medi-das dos ngulos x, y e z.

AAB

BC

C

DD

EE

FFG

G

HH

II

JJ

KK

LL

OO

x

yz

t

16) No dodecgono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ngulos x, y, z e t.

x

y

zt

17) A figura abaixo representa um quadriltero BEIK inscrito em um dodecgono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ngulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

18) A figura abaixo representa um octgono regular ABCD de centro O. Sendo OH a bissetriz do ngulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

19) No enegono regular ABCD , determinar a medida do ngulo x formado pelas retas AG e DF.

DICA - Aplique ngulos inscritos DICA - Aplique ngulos inscritos



Jeca 54

20) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105

88

93

21) Dado um polgono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o nmero de diagonais do polgono que no passam pelo vrtice A dado por:a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)22

e) 2n - 4

22) Se a soma dos ngulos internos de um polgono regular 1620, sendo x a medida de cada ngulo externo ento:a) x = 18 b) 30 < x < 35 c) x = 45 d) x < 27 e) 40 < x < 45

A

C

D

E

F

GH

24) Na figura ao lado, ABC um tringulo eqiltero e DEFGH um pentgono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ngulos ADE e CDH.

B

G

H

25) Dado o enegono regular ao lado, determinar a medida do ngulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.

A

B

C

D

EF

I

X

23) Trs polgonos tm o nmero de lados expressos por nmeros inteiros consecutivos. Sabendo que o nmero total de diagonais dos trs polgonos igual a 28, determine a polgono com maior nmero de diagonais.

Jeca 55

27) (MACK-SP) Num quadriltero convexo, a soma de dois ngulos internos consecutivos mede 190. O maior ngulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ngulos mede:

a) 105 b) 100 c) 90 d) 95 e) 85

28) (ITA-SP) O nmero de diagonais de um polgono regular de 2n lados, que no passam pelo centro da circunferncia circunscrita a esse polgono, dado por:

a) 2n(n - 2)b) 2n(n - 1)c) 2n(n - 3)d)e) n.d.a.

n(n - 5)2

26) Os lados de um polgono regular de n lados, com n > 4, so prolongados para formar uma estrela. Dar a expresso que fornece a medida de cada um dos n-

29) (FEI) O menor ngulo interno de um polgono con-vexo mede 139, e os outros ngulos formam com o primeiro uma progresso aritmtica de razo 2. De-termine o nmero de lados do polgono.

Jeca 56

Respostas desta aula

01) a) 2700 b) 360 c) 119 02) a) 1620 b) 360 c) 4403) 14 lados e 77 diagonais04) 162005) 36006) Quadridecgono e dodecgono07) a) 9 b) 1260 c) 140 d) 360 e) 40 f) 2708) Enegono09) a) 15 b) 2340 c) 156 d) 360 e) 24 f) 9010) Pentadecgono e dodecgono11) 1812) 12013) a) 360 b) 36 c) 1440 d) 144 e) 108 f) 72 g) 54 h) 72 i) 3614) 7215) x = 27, y = 108 e z = 45

16) x = 75, y = 45, z = 30 e t = 12017) x = 105, y = 90, z = 75 e t = 9018) x = 135, y = 135, z = 67,5 e t = 112,519) 4020) 7421) c22) b23) heptgono24) 24 e 4825) 6026) 180 (n - 4)27) d28) a29) 12

n


Jeca


I) Elementos da circunferncia.

A

B

C

Dr

r

r P

C - centro da circunfernciaAC = r - raio da circunfernciaAB = 2r - dimetro da circunfernciaACD = - ngulo centralAPD - arco da circunfernciaAD - corda da circunferncia

II) Posies relativas entre ponto e circunferncia.

III) Posies relativas entre reta e circunferncia.

reta tangente

reta secante

reta exterior

ponto de tangnciaA B

D

C

A - pontoexterior

B - ponto dacircunferncia

D - pontointerior

C - centro dacircunferncia

IV) Propriedades da circunferncia.1) Em toda circunferncia, a medida do ngulo central igual medida do arco correspondente.

2) Em toda circunferncia, o raio perpendicular reta tangente no ponto de tangncia.

3) Em toda circunferncia, o raio, quando perpendicular corda, divi-de essa corda ao meio.

C

A

P

B

APB =

C C

A

BM

AM = MB

V) ngulos na circunferncia.a) ngulo inscrito na circunferncia. b) ngulo de segmento. o ngulo que tem o vrtice na "linha" da circun-ferncia e os dois lados secantes a essa circunferncia.Propriedade - O ngulo inscrito vale a metade do ngulo central ou a metade do arco correspondente.

o ngulo que tem o vrtice na "linha" da circunfe-rncia, um lado secante e um lado tangente a essa circunferncia. Propriedade - O ngulo de segmento vale a metade do ngulo central ou a metade do arco correspondente.

vrtice - ngulo central

- ngulo inscrito

= 2

vrtice

seca

nte

tangente

- ngulo central

- ngulo de segmento

= 2




ngulos na circunferncia.

Jeca 58

IV) Consequncias do ngulo inscrito.1) Todo tringulo retngulo pode ser inscrito numa semicircunferncia onde a hipotenusa coincide com o dimetro.

2) Em todo tringulo retngulo, a mediana relativa hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ngulos de uma circun-ferncia inscritos no mesmo arco so congruentes.

4) Em todo quadriltero inscrito nu-ma circunferncia os ngulos inter-nos opostos so suplementares.

5) ngulo excntrico de vrtice interno.

6) ngulo excntrico de vrtice externo.

hipotenusae dimetro

nguloinscrito

hipotenusa

medianarelativa

hipotenusaRR

R

arco demedida

2

+ = 180e

+ = 180C

ab

x

x = a + b2 x =a - b

2

xa b

vrticevrtice

Exerccios - 01) Nas circunferncias abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ngulo ou do arco x.a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x 118

41

x

x

46

39x

x

O x62

O

x

62104

x O

x

87

Jeca 59

AB

C

O124

x

D

x

3x

x 55

x

35 x

50

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferncia, determinar a medida do ngulo ou do arco x.

O O

O O O

a) b) c)

d) e) f)

g) h) Tente fazer por outro mtodo. i)

j) k) l)

m) n) o)

52x

O O

O O O

O O O

37x

O37

xx

88

56

x 33

87

x

118

34

142

34x

146

x

x 54

tange

nte

165

77

x

Jeca 60

AB

CD

E

F

GH

70

03) Na circunferncia abaixo pode-se afirmar que:

a) as medidas dos arcos AHG e EDG so iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC 180.c) a soma dos arcos GFE e ABC 140.d) o arco GFE maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC 220.

04) (J) Dada uma circunferncia de dimetro AB, seja P um ponto da circunferncia distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferncia de centro C tangencia o tringulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ngulo interno D 40 e que a medida do arco AGB 75, determinar a medida do ngulo x.

Gx

A

B

C

O118

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so pontos da circunferncia de centro O. O valor de x + y :a) 242b) 121c) 118d) 59e) 62

A

B

P R S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferncias tm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S esto na circunferncia de centro R e os pontos M, N, R e K esto na circunferncia de centro S. Se o arco APB mede 86, ento o ngulo MKN, mede :a) 23b) 21 30c) 22d) 22 30e) 43

A B

C

D

E

F

09) Na figura abaixo, AB o dimetro e C, D e E so pontos da circunferncia. Sabendo-se que o ngulo DCE mede 38, determine a medida do ngulo EFD.

A

B

C

DE

08) Dado um pentgono regular ABCDE, consti-se uma circunferncia pelos vrtices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferncia, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferncia.

N

S M

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170 e 130. Ento, o arco MSN mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 110

Jeca 61

A B

C

D

E

F

GHI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

MN

P

Q

R

ST

U

O

11) No pentadecgono regular abaixo, determinar a medida do ngulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.

x y

z

12) No icosgono regular abaixo, BK, CN e HN so diagonais. Determine as medidas dos ngulos x, y e z.

AAB

BC

C

DD

EE

FFG

G

HH

II

JJ

KK

LL

OO

x

yz

t

13) No dodecgono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ngulos x, y, z e t.

x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadriltero BEFK inscrito em um dodecgono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ngulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um enegono regular ABCD de centro O. Sendo OI a bissetriz do ngulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No enegono regular ABCD , determinar a medida do ngulo x formado pelas retas IB e DE.




xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 62


01)a) 59 b) 82 c) 92 d) 39 e) 90f) 28 g) 28 h) 76 i) 8702) a) 28 b) 22 30' c) 110 d) 20 e) 40f) 38 g) 53 h) 53 i) 72 j) 120k) 42 l) 92 m) 107 n) 54 o) 5903) e04) d05) 3506) d07) b08) 14409) 10810) a11) 8412) 45, 99 e 3613) 75, 30, 45 e 6014) 60, 90, 120 e 9015) 140, 140, 70 e 14016) 40


Jeca




Geometria planangulos na circunferncia.


O86 x V

a)

246

xO

V

b)

76

x

V

O

c)

O136x

d)

x88

O

e)

x

29

O

f)

x 94

70O O

g)

87

23

xh)

68

102

O

x

i)

33

x

O

j)

O

38

106

x

l)x

O

m)

O

n)51

x

O

56

x

o)

x

O

196p)


Jeca 64

O O O

O

O

O

OO

O

O

OO

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98

x78

x

57

x 42 x

58 88

x

x

56

140 26

x

94

x

4036

x

68

8255

120

x115

100

x

Ox

56

x

44

48

x


Jeca 65

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm um dimetro da cir-cunferncia de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferncia diferente de A e de B, determine :a) a medida do ngulo ADB.b) o tipo do tringulo ADB.c) o que o segmento CD no tringulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

BC

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferncia de centro C abaixo, AB um dimetro e a medida do segmento DE a metade da medida de AB. Determine a medida dos ngulos ADB, ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB so tangentes circunferncia de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ngulo APB mede 48, determinar a medida do arco ADB.

2872

O

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D so pontos da cir-cunferncia de dimetro AD e centro O. Determine a medida do ngulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferncia de centro O, tais que P e Q esto do mesmo lado do dimetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20 e ROQ = 80, calcule o ngulo PQO.

O R

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB o dimetro e C, D e E so pontos da circunferncia. Sabendo-se que o ngulo DCE mede 35, determine a medida do ngulo BFE.

Jeca 66

AB

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um enegono regular inscrito em uma circunferncia de centro O. Determinar a medida do ngulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decgono regular inscrito em uma circunferncia de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ngulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ngulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptgono regular inscrito numa circunferncia de centro O. Determinar a medida do ngulo BDG.

AB

C

D

E

F

GHI

J

K

L

M

N

P

O

12) A figura abaixo representa um pentadecgono re-gular inscrito numa circunferncia de centro O. Deter-minar o ngulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.


DICA - Aplique ngulos inscritos DICA - Aplique ngulos inscritosJeca 67

AB CD

E

F

O

17) No tringulo ABC abaixo, AD, BE e CF so as alturas relativas aos vrtices A, B e C. Sendo as medidas dos ngulos ABC = 48 e ACB = 64,determinar as medidas dos ngulos internos do tringulo DEF.

Desafio

13) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P esto na circunferncia de centro O. Se o arco APC mede 160 e o ngulo BAC mede 63, qual a medida do ngulo ACB ?a) 51b) 43c) 33d) 47e) 37

A

BC

PM

N

O

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P esto na circunferncia de centro O. Se o arco AMB mede 110 e o ngulo ABC mede 63, qual a medida do ngulo BAC ?a) 62b) 64c) 58d) 63e) 59

A

BC

PM

N

O

35A BO

DC

x

15) Na figura abaixo, AB o dimetro da circunferncia de centro O. Determinar a medida do ngulo ADC sabendo que o ngulo BAC mede 35.

16) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um tringulo retn-gulo mede 20 cm e um dos ngulos mede 20.a) Qual a medida da mediana relativa hipotenusa ?b) Qual a medida do ngulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ngulo reto ?

Jeca 68


01) a) 43 b) 123 c) 152 d) 136 e) 44 f) 29 g) 16 h) 128 i) 95 j) 57 l) 34 m) 90 n) 39 o) 124 p) 8202) a) 60 b) 98 c) 204 d) 33 e) 48 f) 156 g) 24 h) 42 i) 112 j) 96 l) 65 m) 70 n) 112 o) 46 p) 4803) 90, 60 e 6004) 22805) 2206) 60 07) 55

08) a) 90 b) tringulo retngulo c) mediana d) 6 cm 09) 6010) 108 11) 360 / 7 12) 108 13) e 14) a 15) 12516) a) 10 cm b) 25

Resoluo do exerccio 17) (Desafio) O quadriltero AFOE inscrito numa circunferncia, pois os os ngulos opostos AFO e AEO so suplementares. Desenhando-se a circunferncia percebe-se que os ngulos EAO e EFO so congruentes pois esto inscritos no mesmo arco da mesma circunferncia. Anlogamente provam-se os demais ngulos. A

B CD

E

F

O

DEF = 84DFE = 52EDF = 44

64

26

26


Jeca


II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales. Em todo feixe de retas paralelas, co

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