Linguagem, Lógica e a Natureza da Matemática

Ruy J.G.B. de Queiroz Centro de Informática da UFPE

IV Congresso da ALIDI, UNICAP, Recife, Set/2016

Linguagem versus “Realidade”

• “O mundo é a totalidade de fatos, não de coisas”

• “Os limites de minha linguagem significam os limites de meu mundo”

• “Sobre o que não podemos falar, devemos passar em silêncio” Ludwig Wittgenstein (1889- 1951)

Lógica: Ciência da Argumentação, Princípios da Racionalidade

• Aristóteles (380a.C.– 322 a.C.): o que há por trás do raciocínio dedutivo

• Leibniz (1646-1716): linguagem simbólica visando objetividade

• Frege (1848-1925): tratamento matemático a argumentos

“Toda Filosofia é uma Crítica da Linguagem”

• “Escreví um livro chamado Tractatus Logico-Philosophicus contendo todo o meu trabalho dos últimos 6 anos. Acredito que resolví nossos problemas finalmente. Isso pode parecer arrogante, mas não consigo evitar.” (1919)

Filosofia como Crítica da Linguagem

• Fritz Mauthner (1849-1923)

• Wittgenstein: “Toda filosofia é ‘crítica da linguagem’. (Todavia, não no sentido de Mauthner)” (Tractatus, 4.0031)

• Linguagem como Spielregel.

• “Linguagem nada mais é do que seu uso.”

• “Se eu quiser ascender à crítica da linguagem, que é a mais importante ocupação da humanidade pensante, então devo destruir a linguagem por trás de mim e em mim, passo a passo: tenho que destruir todos os degraus da escada enquanto estou escalando-a.” (B. i. 2)

Bertrand Russell (1872-1970) (co-autor do “Principia Mathematica”)

• “O Tractatus Logico-Philosophicus do Sr. Wittgenstein, se chega ou não a revelar a verdade última sobre os assuntos de que trata, certamente merece, pela sua amplitude e o alcance e profundidade, ser considerada um evento importante no mundo filosófico. A partir dos princípios do Simbolismo e as relações que são necessárias entre palavras e coisas em qualquer idioma, o trabalho aplica o resultado desta busca a vários departamentos da filosofia tradicional, mostrando em cada caso como a filosofia tradicional e as soluções tradicionais surgem da ignorância dos princípios do Simbolismo e como resultado do mau uso da linguagem.” (Maio, 1922)

Família Wittgenstein em Viena

• Karl Wittgenstein: 2o mais rico do Império Áustro- Húngaro (atrás dos Rotschilds). Dono da Siderúrgica Krupp

• Klimt pintou Gretl (irmã)

• Ravel compôs peça (mão esquerda) para Paul

• Brahms, Mahler e Strauss freqüentavam a casa

• 1919: renúncia à herança

Professor primário, Jardineiro, Arquiteto (1919-1928)

Palestra em Viena (Março/1928): “Matemática, Ciência e Linguagem”

• Leis do Intuicionismo (1906):

1. Matemática é alingüística

2. Há objetos da Matemática que são criados, e não descobertos. (Sequencias de escolha)

Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966) e o Intuicionismo • Matemática também como um

ato de criação, e não apenas de descoberta. Objetos matemáticos como construções mentais.

• A concepção de espaço não é a priori, embora a de tempo o seja.

• Controvertido, porém respeitado: ajudou a criar a Topologia.

• Na Universidade aos 16.

Livro Azul (1930) • “As perguntas ‘O que é

comprimento?’, ‘O que é significado?’, ‘O que é o número 1?’, etc., produzem em nós uma cãibra mental.

• Sentimos que não podemos apontar para nada em resposta a elas, e mesmo assim deveríamos apontar para algo.”

Santo Agostinho e o Aprendizado de Linguagem

• “Quando Santo Agostinho fala sobre o aprendizado de linguagem ele fala sobre como associar nomes a coisas, ou entender os nomes das coisas.

• Nomear aqui aparece como os fundamentos,a base e tudo o que diz respeito a linguagem.

• Nessa visão de linguagem encontramos as raízes da seguinte idéia: Toda palavra tem um significado. Esse significado está correlacionado com a palavra. É o objeto para o qual a palavra aponta.”

Jogos de Linguagem • “Vou chamar o todo,consistindo de linguagem e as ações

nas quais ela está entrelaçada, de ‘jogo de linguagem’.”

• “A palavra ‘jogo-de-linguagem’ é usada aqui para enfatizar o fato de que falar numa linguagem é parte de uma atividade, ou uma forma de vida.”

• “Quando penso através da linguagem, não existem ‘significados’ passando pela minha mente em conjunto com as expressões verbais: a linguagem é em si mesma o veículo do pensamento”. (Não há linguagem privada).

Significado como “Condições de Verdade”

• Alfred Teitelbaum/Tarski (1901-1983) é mais conhecido por seu trabalho em teoria dos modelos, metamatemática, e lógica algébrica.

• Em 1933 publicou artigo sobre “uma definição de ‘verdade’ em linguagens formalizadas”, usando “condições de verdade”, via a distinção entre linguagem e metalinguagem. Dá suporte teórico à “teoria da correspondência”.

Incompletude• Kurt Gödel (1906-1978), ficou

conhecido por seu trabalho no uso de lógica e teoria dos conjuntos para entender os fundamentos da matemática.

• 1930:

1. “Qualquer formalização da Aritmética ou é inconsistente ou é incompleta.”

2. “Nenhuma teoria formalizada pode provar sua própria consistência.”

3. “Nem toda verdade aritmética é demonstrável.”

Gramática Filosófica (1933)

• “Qualquer interpretação ainda fica pendurada no ar juntamente com o que ela interpreta, e não pode lhe dar suporte.

• Interpretações por si só não determinam significado.”

Investigações Filosóficas (1945)

• “Para uma ampla classe de casos—embora não para todos—nos quais empregamos a palavra ‘significado’ ela pode ser definida assim: o significado de uma palavra é seu uso na linguagem”

• “Filosofia é uma batalha contra o enfeitiçamento de nossa inteligência por meio da linguagem”.

Significado como “Condições de Prova”

• Arend Heyting (1898-1980), discípulo de Brouwer, é mais conhecido pela chamada “interpretação de Brouwer-Heyting-Kolmogorov” da linguagem da matemática.

• Em 1930 publica artigo definindo o significado de proposições matemática por suas “condições de prova”.

Fundamentos da Matemática (1941-4)

• “Eu disse uma vez: ‘Se você quiser saber o que uma proposição matemática diz, olhe para o que sua demonstração prova’

• Agora,será que não há tanto veracidade quanto falsidade nisso?”

Intuicionismo como Verificacionismo

• Michael Dummett (1925-2011), conhecido por seu trabalho sobre verdade e significado e suas implicações para os debates entre realismo e anti-realismo, um termo que ele ajudou a popularizar.

• Retomada do Intuicionismo, porém com base no paradigma “significado é uso” de Wittgenstein

• O significado de um enunciado matemático é determinado pelo que conta como uma prova dele. (1977)

Teoria Verificacionista do Significado

• Dag Prawitz (1936-), mais conhecido por seu trabalho em teoria da prova e os fundamentos da dedução natural.

• Teoria do Significado baseada na idéia de que o modo de provar um enunciado determina seu significado

• Junta-se a Dummett para reformular o Intuicionismo sem o exoticismo de Brouwer (“Matemática é alingüística”).

Dummett, 1977

• “the meaning of each [logical] constant is to be given by specifying, for any sentence in which that constant is the main operator, what is to count as a proof of that sentence, it being assumed that we already know what is to count as a proof of any of the constituents.”

Prawitz, 1977• “As pointed out by Dummett, this whole way of arguing with its

stress on communication and the role of the language of mathematics is inspired by ideas of Wittgenstein and is very different from Brouwer's rather solipsistic view of mathematics as a languageless activity. Nevertheless, as it seems, it constitutes the best possible argument for some of Brouwer's conclusions.”

• I have furthermore argued that the rejection of the platonistic theory of meaning depends, in order to be conclusive, on the development of an adequate theory of meaning along the lines suggested in the above discussion of the principles concerning meaning and use. Even if such a Wittgensteinian theory did not lead to the rejection of classical logic, it would be of great interest in itself.”

Semântica Baseada em Jogo ou Diálogo

• Paul Lorenzen (1915-1994), Jaakko Hintikka (1929-2015)

• Significado de uma sentença na linguagem da matemática definido pela forma de interação, ao invés de suas “condições de verdade”.

• Dialogue Semantics versus Game-Theoretical Semantics

Significado e Conseqüências

• “Será que você vai achar que estou louco se eu der a seguinte sugestão: o enunciado ‘todo x tem a propriedade P’ só tem significado quando estabelecemos que ‘a’ tem a propriedade P, qualquer que seja esse elemento ‘a’?” (Carta a Russell em 1912)

• “A questão não é ‘O que estou fazendo quando . . .?’ (pois isso poderia apenas ser uma questão psicológica) – mas sim, ‘Que significado o enunciado tem, o que pode ser deduzido dele, que conseqüências ele tem?’ (1947-1948)