Apostila de Matemc3a1tica Bc3a1sica Para Inss

7/24/2019 Apostila de Matemc3a1tica Bc3a1sica Para Inss

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Curso Intensivo de Matemticapara Concursos

1Skype e e-mail: [email protected] celular: (11) 974006329 Falar com Mrcio

1 Conjuntos Numricos............................................................................................. 4

1.1 Conjunto dos Nmeros NaturaisN............................................................... 4

1.2 Conjunto dos Nmeros InteirosZ ................................................................ 41.3 Conjunto dos Nmeros RacionaisQ ............................................................ 4

1.3.1 Dzimas peridicas simples ..................................................................... 5

1.3.2 Dzimas peridicas compostas : .............................................................. 5

1.3.3 Geratriz de uma dzima peridica ............................................................ 5

1.3.4 Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima: ............... 5

1.3.4.1 Dzima simples ................................................................................. 5

1.3.4.2 Dzima Composta: .................................................................................. 6

1.4 Conjunto dos Nmeros IrracionaisI ............................................................. 6

1.5 Conjuntos dos Nmeros Reais ....................................................................... 6

2 Potenciao ........................................................................................................... 7

2.1 Propriedades .................................................................................................. 8

2.1.1 Exerccios ................................................................................................ 8

2.2 Potncias de ``Base 10'' ................................................................................. 9

3 Radiciao ............................................................................................................. 9

3.1 Propriedades .................................................................................................. 9

3.2 RACIONALIZAO DE DENOMINADORES .................................................. 9

3.2.1 1 caso: ................................................................................................... 93.2.2 2 caso: ................................................................................................. 10

3.2.3 3 caso: ................................................................................................. 10

3.2.4 EXERCCIOS ........................................................................................ 11

4 Produtos notveis ................................................................................................ 13

4.1 Quadrado da Soma de dois nmeros ........................................................... 13

4.2 Quadrado da diferena de dois nmeros ...................................................... 13

4.3 Diferena de Quadrados. .............................................................................. 13

4.4 O cubo da soma de dois nmeros ................................................................ 13

4.5 O cubo da diferena de dois nmeros .......................................................... 13

5 Mnimo Mltiplo Comum (MMC) .......................................................................... 14

6 Mximo Divisor Comum (MDC) ........................................................................... 14

7 Razo .................................................................................................................. 15

7.1 Exerccios ..................................................................................................... 15

8 Proporo ............................................................................................................ 16

8.1 Propriedade Fundamental ............................................................................ 16

8.2 Exerccios ..................................................................................................... 17

9 Sistemas lineares com 2 incgnitas ..................................................................... 18

9.1 Resoluo de sistemas de equaes do 1 grau ( 2 x 2) .............................. 18


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9.1.1 Mtodo da substituio .......................................................................... 18

9.1.2 Exerccios de Aprendizagem ................................................................. 19

9.1.3 Mtodo da comparao ......................................................................... 20

9.1.4 Exerccios de Aprendizagem ................................................................. 21

9.1.5 Mtodo da Adio .................................................................................. 2210 Equao do 1 Grau ......................................................................................... 26

11 Equaes de 2 grau ........................................................................................ 26

11.1 frmula de Bhaskara. .................................................................................... 27

11.2 Discriminante ................................................................................................ 28

11.3 RELAES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZES ............................. 29

11.3.1 Soma das razes (S) .............................................................................. 29

11.3.2 Produto das razes (P) ........................................................................... 29

11.4 COMPOSIO DE UMA EQUAO DO 2 GRAU, CONHECIDAS AS RAZES 30

11.5 FORMA FATORADA .................................................................................... 30

12 EQUAES BIQUADRADAS .......................................................................... 31

13 EQUAES IRRACIONAIS ............................................................................. 33

13.1 RESOLUO DE UMA EQUAO IRRACIONAL ....................................... 33

14 SISTEMAS DE EQUAES DO 2 GRAU ...................................................... 35

15 PROBLEMAS DO 2 GRAU ............................................................................. 37

16 Diviso em partes diretamente proporcionais ................................................... 40

17 Diviso em partes inversamente proporcionais.......................................... 4218 REGRA DE TRS ............................................................................................ 43

18.1 REGRA DE TRS SIMPLES ........................................................................ 43

18.2 REGRA DE TRS COMPOSTA ................................................................... 45

19 Porcentagem .................................................................................................... 46

19.1 EXERCCIOS ............................................................................................... 47

19.2 AUMENTOS E DIMINUIES PERCENTUAIS ........................................... 48

19.2.1 Aumento percentual ............................................................................... 48

19.2.2 Diminuio percentual ........................................................................... 48

19.2.3 Aplicao prtica ................................................................................... 48

19.2.4 EXERCCIOS ........................................................................................ 49

19.3 LUCRO / PREJUZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA ............................ 49

19.3.1 EXERCCIOS ........................................................................................ 50

20 JUROS ............................................................................................................. 51

21 Medidas De Comprimento ................................................................................ 53

21.1 UNIDADES DE REA .................................................................................. 54

21.2 UNIDADES DE VOLUME ............................................................................. 55

21.3 UNIDADES DE LITRO .................................................................................. 5521.3.1 Exerccios .............................................................................................. 56


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22 REAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS ................................................ 57

23 TEOREMA DE THALES ................................................................................... 60

24 SEMELHANA DE TRINGULOS ................................................................... 61

25 Teorema da bissetriz interna ............................................................................ 62

26 Teorema da bissetriz externa ........................................................................... 6227 Tringulo retngulo .......................................................................................... 63

28 Teorema de Pitgoras ...................................................................................... 64

28.1 Aplicaes .................................................................................................... 64

28.1.1 1) Diagonal do quadrado ....................................................................... 64

28.1.2 2) Altura do tringulo equiltero ............................................................. 65

28.1.3 Exerccios de fixao ............................................................................. 65


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1 CONJUNTOS NUMRICOS

1.1 Conjunto dos Nmeros NaturaisN

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

1.2 Conjunto dos Nmeros InteirosZ

Z= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

1.3 Conjunto dos Nmeros RacionaisQ

Q= {x / x = b

a, com a Z, b Ze b 0}

Observaes

ZQ, pois se Qa

aZa 1

, .

1) A representao decimal finita:

6,05

3;75,1

4

7

2) A representao decimal infinita peridica:

...5222,0

90

47...333,0

3

1

H fraes que no possuem representaes decimais exata. Por exemplo:

...8333,06

5

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou maisalgarismos, d-se o nome de numerais decimais peridicosou dzimas peridicas.

Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente,constituem operododessa dzima.

As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicascompostas

.


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1.3.1 Dzimas peridicas simplesso aquelas que o perodo se apresenta logo aps a vrgula.

Exemplos:

a) 0,8888.... perodo = 8

b) 1,232323... perodo = 23

c) -4,08508508... perodo = 085

1.3.2 Dzimas peridicas compostas :so aquelas que entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica.

Exemplos:

a) 0,3424242... No perodo = 3 perodo = 42

b) 1,789999... No perodo = 78 perodo = 9

c)45,0933... No perodo = 09 perodo = 3

Observaes:

1). Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e operodo. Exclumos, portanto da parte no peridica o inteiro.

2). Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:

* 0,555... ou 5,0

* 0,1232323... ou 231,0

1.3.3 Geratriz de uma dzima peridica

possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzimaperidica. Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.

1.3.4 Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima:1.3.4.1 Dzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem:

* numerador = o perodo;

* denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

a)9

4...444,0

b)11

6

99

54...54545,0

c) 99142

99

43

1...43434,1


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1.3.4.2 Dzima Composta:A geratriz de uma dzima composta uma frao com as seguintes caractersticas:

a) numerador = parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica;

b) denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de

tantos zeros quanto forem os algarismos da parte no peridica.Exemplos:

495

62

990

124

990

1125...1252525,0

900

43

900

04047...0477777,0

1.4 Conjunto dos Nmeros IrracionaisI

Considera os nmeros 2 , 3 e , suas representaes decimais so:

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508...

= 3,1415926535...e = 2,71828... (n. de Euler)

1.5 Conjuntos dos Nmeros Reais

R= QU I= { x / x racional ou x irracional}

Portanto, so nmeros reais:

os nmeros naturais;

os nmeros inteiros;

os nmeros racionais;

os nmeros irracionais.


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2 POTENCIAOa) Definies

Se n e a R ,define-se :

fatoresn

....... aaaaa n (n>1)

- a a base;- n o expoente;- o resultado a potncia.

Exemplos:

a) 2733333

b) 4222 2

c) 82222 3

d)16

9

4

3

4

3

4

3 2

Cuidado com os sinais.

Nmero negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:

1622222 4

93323

Nmero negativo elevado a expoente mpar permanece negativo. Exemplo:Ex. 1: 22232

24 8

Se 2x , qual ser o valor de 2x ?

Observe: 422 , pois o sinal negativo no est elevado ao quadrado.

42x 22 os parnteses devem ser usados, porque o sinal negativo -no deve ser elevado ao quadrado, somente o nmero 2 que o valor de x.


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2.1 Propriedades

m

m

m

nnn

n

n

m

n

m n

nm

n

m

nm

n

m

nmnm

b

a

b

a

baba

aa

aa

aa

aa

a

aaa

).(.

1

.

2.1.1 Exerccios1) Calcule as potncias:a) 26 b) (-6)2c) -62d) (-2)3e) -23f) (-8)0

g)4

2

3

h)4

2

3

i)3

2

3

j) (-1)17

2) O valor de [47.410.4]2: (45)7:

a) 16 b)8 c)6 d)4 e)2

3) Simplificando a expresso

2

3

3

1.3

4

1

2

1.3

2

2

, obtemos o nmero:

a)7

6

b)6

7

c)7

6

d)6

7

e)7

5


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2.2 Potncias de ``Base 10''

3 RADICIAO

axxa nn

3.1 Propriedadesnnn baba .. mnn m aa .

np mpn m aa

0, bb

a

b

an

n

n

n mmn aa n mnm

aa Exemplos:

3.2 RACIONALIZAO DE DENOMINADORES

So trs casos:

3.2.1 1 caso:O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI NDICE 2.

O numerador e o denominador da frao devem ser multiplicados pelo radical quese encontra no denominador.

Exemplos:

a) 525

510

5

510

5

5.

5

10

2

b)3

62

3

62

3

3.

3

22

2 c)

2

33

6

39

3.2

39

3.2

39

3

3.

32

9

2

625556258228

00,0093,39

4433

22

poispois

poispois


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3.2.2 2 caso:O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI NDICE DIFERENTE DE 2.

O numerador e o denominador da frao devem ser multiplicados pelo radical de

mesmo ndice e de mesmo radicando, mas com expoente que complementa parase igualar ao ndice.

Exemplos:

a)2

2.5

2

2.5

2

2.

2

5 3

3 3

3

3 1

3 1

3 2

b)4

4

4 4

4

4 3

4 3

4

27.2

3

27.6

3

27.6

3

3.

3

6

3.2.3 3 caso:O DENOMINADOR UM BINMIO EM QUE PELO MENOS UM DOS TERMOS UMNMERO IRRACIONAL SOB A FORMA DE RADICAL.

O numerador e o denominador da frao devem ser multiplicados pelo binmioconjugado.

BINMIO CONJUGADO = Produto notvel (a + b).(ab) = a2b2

Exemplos:

a)

7

23.3

29

23.3

23

23.3

23

23.

23

32

2

ou

7

239

b)

62234

622

32

32.2

32

32.

32

22

2

c) 2

610

35

610

35

610

35

35.

35

222


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3.2.4 EXERCCIOS1) Calcule:

a) 20021 b) 42 c) 4)2( d) 42

e)4

)2(

f)4

2

g) 20 h)2002

1

2) Calcule:

a) 7 1 b)4 0 c) 36 d) 36

e)532 f)

9

16 g)

3 27 h) 4 81

3)Calcule o valor de:

a) 84 2.2 b) 323 c) 23

45

d) 84 2.2 e) 5/35

26 3

2

8 f) 3

233

5.2

4) Simplifique a expresso

3

32

9

2.2

2

5) Fuvest - 33028

10

22 igual a?

6) Se 53a=64, o valor de 5-a.

7) Qual o valor de (0,2)3+(0,16)2?

8) Unicamp

a) Calcule as seguintes potncias: a=33, b=(-2)3, c=3-2e d=(-2)-3.

b) Escreva os nmeros a, b, c e d em ordem crescente.

9). Sendo a, be cnmeros reais positivos, mostrar que 12 263 cbacba .

10) Calcule o valor de5

2

243

1

.


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11) Escrever a expresso 3 222 na forma de um nico radical.

12) Simplificando a expresso

x1-

y1

x

y-

y

x

, obtm-se:

a)xy

y-x b) y-x c)

yx

xy

+

d) yx+ e) y-x

13)Lavras - O resultado da diviso 65

3

2

:b

a

b

a:

a) 6 75ba b)7

5

a

a c) ab d)

b

a e)

a

b

14) Escrever na forma de um nico radical a expresso4 3

6 5

2

2.

15) Escrever o radical na forma de expoente racional:

a) 2 b) 3 22

16) FuvestQual o valor da expresso13

13

13

13

+

++ -

-?

a) 3 b) 4 c) 3 d) 2 e) 2

17) Racionalize5 8

3.

a) E= 3 b) E= 3 c) E=3

3 d) E=9 e) E=3 3

18.)Sendo E= ....3333,2....666,0 , ento :

Respostas

1)a) 1 b) 16 c) 16 d) - 16 e) 12) D 13) C 14) 12 2 15) a) 81

2 b) 32

2 16) B 17)2

435


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4 PRODUTOS NOTVEIS

4.1 Quadrado da Soma de dois nmeros222 ..2)( bbaaba veja que

22222..2..)).(()( bbaababbaabababa

4.2 Quadrado da diferena de dois nmeros222

..2)( bbaaba veja que22222 ..2..)).(()( bbaababbaabababa

4.3 Diferena de Quadrados.22)).(( bababa

4.4 O cubo da soma de dois nmeros32233

..3..3)( bbabaaba ; verifique, fazendo a multiplicao2)).(( baba

4.5 O cubo da diferena de dois nmeros32233

..3..3)( bbabaaba ; verifique, fazendo a multiplicao2)).(( baba


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5 MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)

O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros representado pelo menor valor comumpertencente aos mltiplos dos nmeros. Observe o MMC entre os nmeros 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....

M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...

O MMC entre 20 e 30 equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 atravs da fatorao, em que devemosescolher os fatores comuns de maior expoente e os termos no comuns. Observe:

20 = 2 2 5 = 2 5

30 = 2 3 5 = 2 3 5

MMC (20; 30) = 2 . 3 . 5 = 60

A terceira opo consiste em realizar a decomposio simultnea dos nmeros, multiplicandoos fatores obtidos. Observe:

6 MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O mximo divisor comum entre dois nmeros representado pelo maior valor comumpertencente aos divisores dos nmeros. Observe o MDC entre os nmeros 20 e 30:

D(20) = 1, 2,4,5, 10, 20.

D(30) = 1, 2,3,5, 6,10, 15, 30.

O maior divisor comum dos nmeros 20 e 30 10.

Podemos tambm determinar o MDC entre dois nmeros atravs da fatorao, em queescolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando essemtodo.

20 = 2 2 5 = 2 5

30 = 2 3 5 = 2 3 5

(20; 30) = 2 5 = 10


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7 RAZO

A razo entre a e b o quociente entre esses dois nmeros. A razo

ou a : b onde a

representa o primeiro termo ou antecedente e b representa o segundo termo ou oconsequente.

Exemplos:

1) Thiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos de idade. A razo entre as idades

de Thiago e Rodrigo so:

2) A razo entre

7.1 Exerccios

1) Numa razo igual a 2/5 o antecedente 8. Determine o seu consequente?

2) Num jogo de basquete, Andr fez 60 arremessos obtendo 50 pontos e Paulo, em 30arremessos obteve 20 pontos. Quem tem a maior razo de acertos?

3) Beatriz foi de So Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nessepercurso 8 litros de combustvel. Qual a razo entre a distncia e o combustvelconsumido? O que significa essa razo?

4) Moacir fez o percurso Rio-So Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razo entre amedida dessas grandezas? O que significa essa razo?

7

5

14

10

3

4

31

22

3

10

5

2

10

35

2

10

3

5

2 5

5

e


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8 PROPORO

a igualdade entre duas razes.

ou ( a : b = c : d )

l-se : a est para b, assim como c est para d .

a e d so os extremos e b e c so os meios

a : b = c : dMeios

Extremos

8.1 Propriedade Fundamental

O produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Exemplo:

A razo entre dois nmeros 2/3 e a sua soma 35. Calcule esses nmeros:

Isolando-se x temos: x = 35y (3), substituindo x na equao (1) temos

=

.

multiplicando em cruz temos: 1053y = 2y ,ento isolando y temos :

105 = 2y + 3y 105 = 5y y = 105/5 , portanto y = 21, substitui o valor de y naequao (3) e teremos x = 35 - 21 x =14

d

c

b

a

)2(35

)1(3

2

yx

y

x


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8.2 Exerccios

1) A idade de um filho est para dois assim como a idade de seu pai est para 10.

Determine essas idades, sabendo-se que a soma das idades 54?

2) Calcular o valor de x na proporo:

=

+

.

3) O produto de dois nmeros (positivos) 4800 e a razo entre eles 3/4. Calcule osnmeros.

4) Uma vara de 12 cm fixada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Quecomprimento deveria ter a vara para projetar uma sombra de 45 cm.?

5) A idade de um pai e a de seu filho esto na razo de 3/1. Qual a idade de cada um,sabendo que a diferena entre elas de 24 anos?

6) Um pai tem 36 anos e a sua idade 4/5 da soma das idades de seus dois filhos.Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas esto entre si como 4 est para 5?

7) Calcule

8) Calcular o valor de x nas seguintes propores:

a)

b)

9) Calcular o valor de x e y na proporo

=

sabendo que x+y = 42.

10) Calcular o valor de x e y na proporo

=

sabendo quex-y = 96.

1222

21147)

3335

84)

cba

cba

b

yx

yx

a

12

9

4

x

9

16

12

23

x

x


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9 SISTEMAS LINEARES COM 2 INCGNITAS

Alguns problemas de matemtica so resolvidos a partir de solues comuns a duasequaes do 1 a duas variveis.

Nesse caso, diz-se que as equaes formam um sistema de equaes do 1 grau aduas variveis, que indicamos escrevendo as equaes abrigadas por uma chave. Vejaos exemplos:

a)5

2 9

x y

x y

b)

3 10

18

x y

x y

O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equaes chamado soluodo sistema. Indicamos pela letra S, de soluo.

Por exemplo, o par (7,3) soluo do sistema10

3 2

x y

x y

Pois verifica as duas equaes. Ou melhor:7 3 10

7 3.(3) 2

9.1 Resoluo de sistemas de equaes do 1 grau ( 2 x 2)

Os processos ou mtodos mais comuns so: o mtodo da substituio, mtododa adio, mtodo da comparao, alm do mtodo grfico.

9.1.1 Mtodo da substituio

Para aprender a trabalhar com esse mtodo, voc deve acompanhar os passosindicados nos exemplos a seguir:

1 exemplo: Resolver o sistema7

1

x y

x y

1 passo: Isola-se uma das variveis em uma das equaes. Vamos isolar x na 1equao:

7 7x y x y

2 passo: Substitui-se a expresso encontrada no passo 1 na outra equao. Obtemosento uma equao do 1 com apenas uma incgnita


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1

(7 ) 1

7 1

7 2 1

x y

y y

y y

y

3 passo: Resolvemos a equao obtida no 2 passo:

7 2 1

2 1 7

2 6

6

2

3

y

y

y

y

y

obtendo, assim, o valor de y.

4 passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3 passoem qualquer uma das equao iniciais.

7

(3) 7

7 3

4

x y

x

x

x

5 passo: Por ltimo, escrevemos a soluo do sistema: S = {(4,3)}.

9.1.2 Exerccios de Aprendizagem

Aplicando o mtodo da substituio, resolva os seguintes sistemas 2x2:

5 3 2 6 4) ) )3 9 3 2 2 7

x y x y x ya b cx y x y x y


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9.1.3 Mtodo da comparao

Este mtodo consiste, basicamente, em isolar a mesma varivel nas duas equaes.

1 exemplo: Resolver o sistema

1

) 3 3

x y

a x y

1 passo) Isolando x na 1 equao:

1 1x y x y 1

2 passo: Isolando x na 2 equao:

2

3 passo) Comparando 1 e 2, vem:

1 3 3

3 3 1

2 4

4

2

2

x x

y y

y y

y

y

y

4 passo) Como x = 1+y, temos:

x = 1+(2)

x = 3

Conjunto-Soluo: S = {(3,4)}

2 exemplo: Resolver o sistema5

3 16

x y

x y

3 3 3 3x y x y


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1 passo: x = 5y 1

2 passo: Isola-sex na 2 equao

3 16

16 3 2

x y

x y

3 passo: Comparando 1 e 2, vem

5y = 163y

5y + 3y =16

8y = 16

y = 2

4 passo: Como x = 5y, temos:

x = 5.(2)

x = 10

A soluo S = {(10,2)}

9.1.4 Exerccios de Aprendizagem

2) Aplicando o mtodo da comparao, resolva os seguintes sistemas:

1 3 2 3) ) )

2 3 2 3 1

x y x y x ya b c

x y x y x y

3). Aplicando o mtodo mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas:

3 3 10 2) ) ) )

2 9 2 10 2 8 3 5 55

x y x y x y x ya b c d

x y x y x y x y


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4 7 8 3 9 2 3 0) ) ) )

2 5 9 4 6 12 2 3 6 3 5 2

5 4 1 1

) )2 3 5 3 3

x y x y x y x ye f g h

x y x y x y x y

x y x y

i jx y x y

9.1.5 Mtodo da Adio

Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma novaigualdade.

O mtodo consiste em somar as duas equaes, mas isso deve ser feito sempre de modo aeliminar uma das variveis na nova equao obtida. Ou seja, preciso chegar a uma s equao,com uma s incgnita. Para que isso ocorra, necessrio existam termos opostos nas duasequaes (em relao a uma mesma letra...).

Exemplo 1: Considere o sistema5 3 15

2 3 6

x y

x y

Observe que a equao 1 tem o termo -3y, e a equao 2 tem o termo +3y (oposto de

-3y).

Esse fato nos permite obter uma s equao sem a incgnita y, somando as duasequaes membro a membro.

5 3 15

2 3 6

7 0 21

7 21

3

x y

x y

x

x

x

Agora, s substituir o valor de x em uma das equaes do sistema:


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A nica soluo do sistema o par (3,0)

Exemplo 2: Vamos resolver o sistema2 5 16

3 2 2

x y

x y

Aqui, seria intilsomar imediatamente as equaes. Como no observamos termosopostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obtertermos opostos.

Veja que o MMC entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equaes) 10. Da,multiplicamos a 1 equao por 2 e a 2 equao por -5:

2 5 16 (2)

3 2 2 ( 5)

x y

x y

4 10 32

15 10 10

x y

x y

Voc viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste ltimo sistema.

E como +10y10y = 0, vem:

4 10 32

15 10 10

11 0 22

11 22

22

11

2

x y

x y

x

x

x

x

5 3 15

5.(3) 3 15

15 3 15

3 15 15

3 0

0

x y

y

y

y

y

y


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Agora, levamos x = -2 na 2 equao para encontrar o valor de y:

3 2 2

3( 2) 2 2

6 2 2

2 2 6

2 8

4

x y

y

y

y

y

y

A soluo o par (-2,4).

Exemplo 3: Resolva pelo mtodo da adio o sistema

3 3

3 4 30

x y

x y

Vamos tornar opostos (ou simtricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicara primeira equao por -1 (no mexer na 2):

3 3 .( 1) 3 3

3 4 30 .(1) 3 4 30

3 27

x y x y

x y x y

y

De 3y = 27, tiramos y = 9.

Calculando x:

Substitumos y = 9 na 1 equao:

3 33 (9) 3

3 3 9

3 6

6

3

2

x yx

x

x

x

x

Nota importante: Podemos aplicar o mtodo da adio de outra forma, neste casoprocurando zerar a incgnita y. Veja:


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Multiplicamos a 1 equao por 4 e a 2 por 1... e ento

3 3 .( 4) 12 4 12

3 4 30 .(1) 3 4 30

9 0 18

x y x y

x y x y

x

De 9 18x , encontramos18

29

x

(Viu?!! D o mesmo resultado!). Portanto, pode-

se usar o processo da adio duas vezes seguidas

Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adio6 5 15

7 16 13

a b

a b

Temos que o MMC(6,7) = 42. Ento, multiplicamos a 1 equao por 7 e a 2 por 6,temos:

6 5 15 .(7) 42 35 105

7 16 13 .(6) 42 96 78

a b a b

a b a b

42 35 105

42 96 78

61 183

1833

61

a b

a b

b

b

Substituindo b = 3 na 2 equao, vem:

7 16 13

7 16.(3) 13

7 48 13

7 13 48

7 35

35

7

5

a b

a

a

a

a

a

a


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10 EQUAO DO 1 GRAU

A equao do primeiro grau do tipo ax +b = 0, onde a um nmero diferente

de zero e x possui expoente 1, por isso tambm chamada de equaopolinomial do primeiro grau.

Para resolver esse tipo de equao temos que isolar a varivel x .

Exemplo:

2x + 8 = 10

2x = 108

2x = 2

X =

X=1

S = {1}

11 EQUAES DE 2 GRAUDefinies:

Denomina-se equao do 2 grau na incgnitax, toda equao da forma:

ax2+ bx + c = 0; a, b, c IRe

Exemplos:x2 - 5x + 6 = 0 um equao do 2 grau com a= 1, b= -5 e c= 6.

6x2- x - 1 = 0 um equao do 2 grau com a= 6, b= -1 e c= -1.

7x2- x = 0 um equao do 2 grau com a= 7, b= -1 e c= 0.

x2- 36 = 0 um equao do 2 grau com a= 1, b= 0 e c= -36.


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Nas equaes escritas na forma ax + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de

uma equao do 2 grau na incgnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a sempre o coeficiente de x;

b sempre o coeficiente dex,

c o coeficiente ou termo independente.

11.1 frmula de Bhaskara.

Podemos representar as duas razes reais por x' e x", assim:

Exemplos: resoluo da equao:

Temos


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11.2 Discriminante

Denominamos discriminanteo radical b2- 4acque representado pela letra grega

(delta).

Podemos agora escrever deste modo a frmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos trs casos a considerar:

1 Caso: O discriminante positivo .

O valor de real e a equao tem duas razes reais diferentes, assimrepresentadas:

2 Caso: O discriminante nulo

O valor de nulo e a equao tem duas razes reais e iguais, assim representadas:

3 Caso: O discriminante negativo .

O valor de no existe em IR, no existindo, portanto, razes reais. As razes daequao so nmero complexos.


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Resumindo

Dada a equao ax + bx + c = 0, temos:

Para , a equao tem duas razes reaisdiferentes.Para , a equao tem duas razes reais iguais.Para , a equao no tem razes reais.

11.3 RELAES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZESConsidere a equao ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as razes reais dessa

equao.

Logo:

Observe as seguintes relaes:

11.3.1 Soma das razes (S)

11.3.2 Produto das razes (P)

Como ,temos:


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11.4 COMPOSIO DE UMA EQUAO DO 2 GRAU, CONHECIDAS ASRAZES

Considere a equao do 2 grau ax2+ bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equao desta maneira.

x2- Sx + P= 0

11.5 FORMA FATORADAConsidere a equao ax2 + bx + c = 0.

A forma fatorada da equao ax2 + bx + c = 0 :

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

Escreva na forma fatorada a equao x2- 5x + 6 = 0.

Soluo

Calculando as razes da equao x2- 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2- 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

Escreva na forma fatorada a equao 2x2 - 20x + 50 = 0.

Soluo

Calculando as razes da equao 2x2

- 20x + 50 = 0, obtemos duas razes reais e iguaisa 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2- 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

Escreva na forma fatorada a equao x2+ 2x + 2 = 0.

Soluo

Como o , a equao no possui razes reais.

Logo, essa equao no possui forma fatorada em IR.


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12 EQUAES BIQUADRADASObserve as equaes:

x4- 13x2+ 36 = 0

9x4- 13x2+ 4 = 0

x4- 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros so polinmios do 4 grau na varivel x, possuindo umtermo em x4, um termo em x2e um termo constante. Os segundos membros so nulos.

Denominamos essas equaes de equaes biquadradas.

Ou seja, equao biquadrada com uma varivel x toda equao da forma:

ax4+ bx2+ c = 0

Exemplos:

x4

- 5x2

+ 4 = 0x4- 8x2= 0

3x4- 27 = 0

Cuidado!

x4- 2x3+ x2+ 1 = 0 6x4 + 2x3- 2x = 0 x4- 3x = 0

As equaes acima no sobiquadradas, pois numa equao biquadrada a varivel xs possui expoentes pares.

RESOLUO DE UMA EQUAO BIQUADRADA

Na resoluo de uma equao biquadrada em IR devemos substituir sua varivel,transformando-a numa equao do 2 grau.

Observe agora a sequncia que deve ser utilizada na resoluo de uma equaobiquadrada.


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Sequncia prtica

Substitua x4 por y2( ou qualquer outra incgnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

Resolva a equao ay2+ by + c = 0

Determine a raiz quadrada de cada uma da razes ( y'e y'') da equao ay2+ by + c = 0.

Essas duas relaes indicam-nos que cada raiz positivada equao ay2 + by + c = 0d origem a duas razes simtricas para a biquadrada: a raiz negativa no d origem anenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

Determine as razes da equao biquadrada x4- 13 x2+ 36 = 0.

Soluo

Substituindo x4por y2e x2por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equao, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

Determine as razes da equao biquadrada x4+ 4x2- 60 = 0.

Soluo

Substituindo x4por y2e x2por y, temos:

y2+ 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equao, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .


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13 EQUAES IRRACIONAISConsidere as seguintes equaes:

Observe que todas elas apresentam varivel ou incgnita no radicando. Essasequaes so irracionais.

Ou seja:

Equao irracional toda equao que tem varivel no radicando.

13.1 RESOLUO DE UMA EQUAO IRRACIONAL

A resoluo de uma equao irracional deve ser efetuada procurando transform-lainicialmente numa equao racional, obtida ao elevarmos ambos os membros daequao a uma potncia conveniente.

Em seguida, resolvemos a equao racional encontrada e, finalmente, verificamos seas razes da equao racional obtidas podem ou no ser aceitas como razes daequao irracional dada ( verificar a igualdade).

necessria essa verificao, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equaoa uma potncia, podem aparecer na equao obtida razes estranhas equao dada.

Observe alguns exemplos de resoluo de equaes irracionais no conjunto dos reais.

Soluo

Logo, V= {58}.


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Soluo

Logo, V= { -3}; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional.

Soluo

Logo, V= { 7 }; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional.


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14 SISTEMAS DE EQUAES DO 2 GRAUObserve o seguinte problema:

Uma quadra de tnis tem a forma da figura, com permetro de 64 m e rea de 192 m 2.Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2+ 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2+xy = 48 2

Temos a um sistema de equaes do 2 grau, pois uma das equaes do 2 grau.

Podemos resolv-lo pelo mtodo a substituio:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2, temos:

x2

+ x ( 16 - 2x) = 48x2+ 16x - 2x2= 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2- 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8


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As solues do sistema so os pares ordenados (4,8) e (12, -8).

Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensesda quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a soluo deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2- 6x2 + 2x = -3

-5x2+ 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2- 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-


As solues do sistema so os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:


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15 PROBLEMAS DO 2 GRAUPara resoluo de problemas do 2 grau, devemos seguir etapas:

Sequncia prtica

Estabelea a equao ou sistema de equaes que traduzem o problema para alinguagem matemtica.

Resolva a equao ou o sistema de equaes.

Interprete as razes encontradas, verificando se so compatveis com os dados doproblema.

Observe agora, a resoluo de alguns problemas do 2 grau:

Determine dois nmeros inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja

.

Soluo

Representamos um nmero por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos sero

representados por .

Temos esto a equao: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz no utilizada, pois no se trata de nmero inteiro.Resposta:Os nmeros pedidos so, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.


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Um nmero de dois algarismos tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtm-se um nmero que o excede de 27 unidades. Determine esse nmero, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos 18.

Soluo

Representamos um nmero por 10x + y, e o nmero com a ordem dos algarismostrocada por 10y + x.

Observe:

Nmero: 10x + y

Nmero com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, ento, o sistema de equaes:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18x ( x + 3) = 18x2+ 3x = 18x2+ 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6


y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para soluo doproblema o nmero

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O nmero procurado 36


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Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas maisque a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanqueisoladamente.

Soluo

Consideremos x o tempo gasto para a 1 torneira encher o tanque e x+5 o tempo gastopara a 2 torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte frao do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas enchero do tanque; observe a equaocorrespondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2- 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa no utilizada, teremos como soluo x= 10.

Resposta:A 1 torneira enche o tanque em 10 horas e a 2 torneira, em 15 horas.

Num jantar de confraternizao, seria distribudo, em partes iguais, um prmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentesrecebeu um acrscimo deR$ 400,00 no seu prmio. Quantos foram presentes nessejantar?

Soluo

Podemos representar por:


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Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

16 DIVISO EM PARTES DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS

Se quisermos dividir o nmero 180 em trs partes diretamente proporcionais a 2, 5 e11. Isso significa dividir o nmero em trs parcelas, tais que a razo da primeira parcelapara o nmero 2 seja igual razo da segunda para o nmero 5 e igual a da terceirapara o nmero 11. Assim chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma dasparcelas, Ou Seja;

1152

zyx

Alm disso, como x, y e z so as parcelas em que dividimos o nmero 180, devemoster:

x + y + z = 180

Utilizando a propriedade da proporo que diz : em uma srie de razes iguais, a somados antecedentes est para a soma dos consequentes assim como qualquer

antecedente est para o seu respectivo consequente , ento :

11521152

zyxzyx

ou,115218

180 zyx , como

1018

180 ,ento


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11010.111011

5010.510

5

2010.2102

zz

yy

xx

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, conclumos que as partes procuradas so : 20, 50 e 110.

Exerccio Resolvido:

Divida o nmero 184 em partes diretamente proporcionais a4

3

3

2,

2

1e . De acordo com

outra propriedade dos nmeros proporcionais, se multiplicarmos todos os nmeros da

sequncia4

3

3

2,

2

1e pelo m.m.c dos consequentes (12), obtemos uma sequncia de

nmeros inteiros que mantm a proporcionalidade e facilita os clculos:

Assim: x+ y + z = 184 , 6 + 8 + 9 = 23, logo:

728.9

648.8

488.6

:

823

184

:986

184

z

y

x

ento

k

Como

zyx

zyx

Logo, podemos afirmar que as partes so 48, 64 e 72.

912.4

3812.

3

2612.

2

1


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17 DIVISO EM PARTES INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

Se quisermos dividir o nmero 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6,isso implica em dividirmos o nmero proporcionalmente aos inversos de 3, 5 e 6, ouseja,

6

1

5

1

3

1

zyx

, como o m.m.c (3,5,6) = 30, temos:

530.61630.

511030.

31

Desse modo:

210

5610

zyx

zyx

, como 10+6+5= 21 e 1021

210 , ento :

x = 10 . 10= 100

y = 6 . 10 = 60

z= 5 .10 = 50, logo as partes so 100, 60 e 50.


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18 REGRA DE TRSChamamos de regra de trs uma regra prtica que permite, atravs da comparaode grandezas proporcionais, a resoluo de diferentes situaes-problema do dia-a-dia.Essas grandezas formam uma proporo em que, conforme o nome j diz, trs termos

so conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.Temos dois tipos de regra de trs: a simples,que trabalha com apenas duas grandezas,e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

18.1 REGRA DE TRS SIMPLES

A regra de trs simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezasdiretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos umatabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e,da, obtermos uma equao atravs da aplicao da propriedade fundamental daspropores. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equaoter a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equao serfeita invertendo-se a razo de uma das grandezas. Quando as grandezas foremdiretamente proporcionais dizemos que a regra de trs direta. Quando foreminversamente proporcionais, dizemos que a regra de trs inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de trs simples

1). Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem

ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preo(R$)

5 80,009 x

2) Verificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais

Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical nacoluna onde se encontra o x, na direo dele, e uma seta vertical de mesmo sentido nacoluna dos outros dados.

Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma nacoluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.


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3) Determinar o valor de x, que o termo procurado, atravs da propriedade

fundamental das propores.

Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmotecido?

Nesse exemplo temos uma regra de trs simples e direta. Observe os procedimentosacima: Comprimento(m) Preo(R$)

5 80,00

9 x

9

5 =

x

80 x =5

9.80 x = 144,00

Exerccios:

1.Se 6 operrios fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operrios fariam amesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriamnecessrios para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Trs torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantastorneiras de mesma vazo seriam necessrias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto dever ser pago por umcorte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra ser concluda?


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18.2 REGRA DE TRS COMPOSTA

A regra de trs composta envolve trs ou mais grandezas relacionadas entre si. Osprocedimentos de resoluo sero os mesmos da regra de trs simples. Quando h

dependncia inversa entre a grandeza que contm a varivel com as demais grandezas,invertemos os elementos da respectiva coluna. A equao ser montada, relacionandoa grandeza que contm a varivel com as demais grandezas.

Exemplo:

Trs operrios, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peas. Quantas peas dessemesmo tipo produziro sete operrios, trabalhando 9 dias?

N de operrios N de dias N de peas

3 6 400

7 9 x

Comparando a grandeza que contm o x com as outras duas grandezas, verificamosque so diretamente proporcionais. Ento:

x

400 =9.7

6.3 x

400 =63

18 x

400 =7

2 2x = 2 800 x = 1 400 peas

Exerccios:1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos diaspercorrer 500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa sero necessrios?

3.Seis digitadores preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, demesma capacidade, prepararo 800 pginas?

4.Um automvel, com velocidade mdia de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias

para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia,em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazo de 1 litro por minuto.Quanto tempo ser necessrio para que duas torneiras, com vazo de 2 litros porminuto, encham o mesmo tanque?

6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5pontes. Quantos engenheiros seriam necessrios para projetar 8 pontes, trabalhando 8horas por dia, durante 15 dias?

7.Um livro de 120 pginas, com 25 linhas, impresso em 4 horas. Quantas horas seriamnecessrias para imprimir um livro de 100 pginas com 30 linhas por pgina?


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19 PORCENTAGEMMotivadas pelo sistema de numerao decimal, as pessoas tm o costume de expressara relao entre certa quantidade e o todo quando este geralmente 100. Da o uso dotermoporcentagem(relativo a fraes de denominador 100).

Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 so meninas, o mesmoque dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda, 60 so meninasem cada 100 alunos. Representamos esta situao assim:

100

60

200

120

400

240 (observe que os denominadores referem-se ao todo)

Temos boa noo da proporo de meninas na escola principalmente atravs da ltima frao.

Por tratar-se de fraes especiais (fraes com denominador 100), receberam umanotao especial: %. Assim, por exemplo:

a) 60% = 10060 = 0,6 b) 4% = 100

4 = 0,04 c) 123% = 100123 = 1,23

Obs.: Uma vez que uma porcentagem representa uma frao, pode ser escrita na formadecimal. O contrrio possvel: escrever um nmero decimal ou uma frao (mesmosem denominador 100) na forma de porcentagem:

a)50

7 = 0,14 =100

14 = 14% b)25

2 = 0,08 =100

8 = 8%

c)8

3 = 0,375 =100

5,37 = 37,5% d)9

17 = 1,888... =100

...8,188 189%

Obs.: Note que, se uma frao possui como denominador um divisor de 100 (1, 2, 4, 5,10, 20, 25, 50 ou 100), no difcil escrever a frao de denominador 100 a elaequivalente. No item e)isto no acontece. Neste caso trabalha-se com aproximao.

a)100

75

4

3 = 75% b)

100

26

5

3,1 = 26% c)

100

8,0

25

2,0 = 0,8%

d) 4 =100

400 = 400% e)7

3 = 0,428571... 0,43 =100

43 = 43%


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19.1 EXERCCIOS1Escrever sob a forma de nmeros decimais as porcentagens:

a) 22% b) 3% c) 250% d) 1,85% e) 0,18%

2Escrever sob a forma de frao irredutvel as porcentagens:

a) 30% b) 8% c) 124% d) 0,4% e) 5.000%

3Escrever sob a forma de porcentagem as fraes e os nmeros decimais:

a)2

1 b)20

9 c)8

7 d)11

420 e)2

3

f) 0,12 g) 0,123 h) 0,04 i) 0,4 j) 4

4Escrever sob a forma de porcentagem:

a) (10%) b) %49 c) (12%).(5%) d)%160

%40

APLICAO DA DEFINIO DE PORCENTAGEM

Exemplo:Qual a quantidade que representa 24% de 350 unidades?

Resposta: 0,24 . 350 = 84 ou100

24 . 350 = 84

Calcule ento:

a) 25% de 120 b) 325% de 800 c) 2% de 400

d) 13% de 21 e) 0,2% de 5 f) 4% de 3,5

Voc sabia que: 52 =1000

52 = 0,052 ?


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19.2 AUMENTOS E DIMINUIES PERCENTUAIS19.2.1 Aumento percentualO valor V que um nmero N = 30 ter aps sofrer um aumento percentual de P = 24% assim calculado:

V = 30 + 0,24 . 30 = (1 + 0,24).30 = 1,24 . 30 = 37,2

Note a colocao intencional do fator comum 30 em evidncia. Este procedimentoauxilia na busca de uma regra que oferea diretamente o valor V aps um aumentopercentual. Descubra-a atravs de outros exemplos e aplique-a nas situaes a seguir:

a) N = 250 e P = 8% b) N = 25 e P = 80% c) N = 2.000 e P = 2,4%

d) N = 23 e P = 120% e) N = 4 e P = 340% f) N = 87 e P = 900%

19.2.2 Diminuio percentualO valor V que um nmero N = 30 ter aps sofrer uma diminuio percentual de D =24% :

V = 300,24 . 30 = (10,24).30 = 0,76 . 30 = 22,8

Note novamente a colocao intencional do fator comum 30 em evidncia. Do mesmomodo, busque uma regra que oferea diretamente o valor V aps uma diminuiopercentual. Observando que no ocorre diminuio de mais de 100%, descubra-aatravs de outros exemplos e aplique-a nas situaes a seguir:

a) N = 235 e D = 6% b) N = 29 e D = 60% c) N = 300 e D = 7,2%

19.2.3 Aplicao prticaUm produto custa 40 reais e sofre sucessivamente aumento de 36% e desconto de 25%.Qual seu preo final? Qual o percentual equivalente a estas duas variaespercentuais?

aum. de 36% (1,36) desc. de 25% (

0,75)

Verifica-se que o preo inicial ficou multiplicado por 1,02 (1,36 0,75). Isto significa queocorreu um aumento, e que equivale a 2%.

40,0

54,4

40,8


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19.2.4 EXERCCIOS1Uma geladeira, cujo preo vista de 680 reais, tem um acrscimo de 5% nestepreo se for paga em 3 prestaes mensais iguais. Qual o valor de cada uma destasparcelas?

2O salrio de um trabalhador era de 840 reais e passou a ser de 966 reais. Qual foi

a porcentagem de aumento em seu salrio?

3Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com 87 reais. Quanto ele tinha e quantoele gastou?

4Laura gastou 900 reais na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e deuma estante. A bicicleta custou 60 reais a menos que a estante, e o preo do aparelhode som corresponde a 80% do preo da bicicleta. Quanto custa cada um destesprodutos?

5Um televisor de 685 reais est sendo vendido em uma promoo com desconto de12%. Por quanto est sendo vendido?

6Um fogo est sendo vendido assim: 30% de entrada e o restante em 5 prestaesiguais de 63 reais cada uma. Qual o preo deste fogo?

7 Um objeto que custava R$ 70,00 reais teve seu preo aumentado em R$ 10,50.Qual foi o percentual deste aumento?

19.3 LUCRO / PREJUZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDACom o objetivo de dimensionar lucros e prejuzos (auxiliar na contabilizao de ganhose perdas), o comerciante utiliza-se de medidas percentuais, temas deste item.

O preo de um produto que o comerciante adquire denominadopreo de custo(C). Ovalor a este preo acrescentado para posterior venda chamado lucro (L). O preoresultante da soma de C com L chamadopreo de venda(V). Se o valor da venda

menor que o valor do custo, ento o lucro negativo e ser chamado deprejuzo(P).Assim sendo: e

C

L lucro sobre custoV

L lucro sobre venda

C

P prejuzo sobre custoV

P prejuzo sobre venda

Exemplos:

1Um objeto que custa 60 reais vendido por 75 reais. Qual a porcentagem do lucroem relao ao preo de: a) custo? ; b) venda?

L + C = V a) %2525,060

15

C

L b) %202,075

15

V

L

L + 60 = 75

L = 15

2Um automvel de preo 56 mil reais vendido com um prejuzo de 20% sobre estepreo. Qual foi o preo de venda?

2,0C

P P = 0,2 . 56.000 = 11.200 reais

V = C + L V = CP


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V = CP V = 56.00011.200 = 44.800 reais

3Um vendedor ambulante vende seus produtos com lucro de 20% sobre o preo devenda. Qual seu lucro sobre o preo de custo?

LCLCLLVV

L

V

L CLV 4555

12,0

Da: %2525,04

1

4

L

L

C

L

Obs.: O lucro sobre o custo sempre maior que o lucro sobre a venda.O prejuzo sobre o custo sempre menor que o prejuzo sobre a venda.

19.3.1 EXERCCIOS

1 Uma joia foi comprada por R$ 7.200,00 e vendida por R$ 8.640,00. Qual foi opercentual de lucro sobre o preo de custo desta joia?

2Um vendedor teve prejuzo de 250 reais equivalente a 16% sobre a venda de umamercadoria. Por qual preo ela foi comprada?

3Determinar o preo de custo de um automvel que foi vendido por R$ 37.500,00,sabendo que o lucro sobre a venda foi de 20%.

4 Um livro foi vendido por 136 reais com lucro de 40% sobre o preo de custo.Determine este preo de custo.

5 Uma mquina fotogrfica que custou 450 reais foi vendida com um lucro de 40%

sobre o preo de custo. Por quanto foi vendida?6Uma mercadoria que custa 840 reais vendida com um prejuzo de 20% sobre opreo de venda. Qual o preo de venda?

7 Um vendedor negocia seus produtos com lucro de 50% sobre o preo de venda.Qual seu lucro sobre o preo de custo?

8O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto porxreais epassou a revend-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoes, ele deu a seusclientes um desconto de 20% sobre o preo de venda deste produto. Teve ento umlucro ou um prejuzo sobre o preo de custo?

9Determinar de quanto por cento sobre o custo o prejuzo de 100% sobre a venda?


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20 JUROSAo aplicar (investir) certa quantia (capitalC) em uma instituio financeira (por exemplo,um banco) por um determinado perodo de tempo(t), recebe-se, ao final deste, aquelaquantia acrescida de um valor denominadojuro(J). O valor do juro depende de certa

porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante(M) o resultadoda soma daquela quantia com o juro.

M = C + J

Juros simplesso juros constantes incorporados a um capital, periodicamente, como,por exemplo, acontece na correo de certas dvidas por certo perodo de tempo.

Juros compostosso juros crescentes (ou decrescentes) incorporados a um capital,periodicamente, como acontece, por exemplo, na correo de aplicaes financeiras.

Exemplo de situao envolvendojuros simples:

Uma dvida de 530 reais venceu h 5 dias. cobrada uma multa de 0,2% por dia deatraso no sistema de juros simples. Qual o valor do montante desta dvida?

0,2% . 530 = 0,002 . 530 = 1,06 (juro de um dia)

5 . 1,06 = 5,30 (correo da dvida em juros simples por 5 dias)

montante: M = C + J = 530 + 5,30 = 535,30 reais.

Generalizando: J = C . i . t da:

Exemplo de situaes envolvendojuros compostos:

1Um capital de 40 mil reais foi aplicado taxa de 2% ao ms durante 3 meses. Qualfoi o montante ao final deste perodo?

1 ms: M = 1,02 . 40.000

2 ms: M = 1,02 . (1,02 . 40.000) = 1,02 2. 40.000

3 ms: M = 1,02 . (1,022. 40.000) = 1.023. 40.000 = 42.448,32 reais.

Generalizando:

Obs.: Analogamente conclui-se que um capital, aps descontos sucessivos e iguais,transforma-se no montante:

M = C . (1 + i) t

M = C . (1i) t

M = C . (1 + i . t)


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2Quanto receber de juros, ao final de um semestre, uma pessoa que investiu, a juroscompostos, a quantia de 6.000 reais taxa de 1% ao ms?

M = C . (1 + i) t= 6.000 . 1,0166.369,12 reais (com auxlio de calculadora)

Assim, J = 6.369,126.000 = 369,12 reais.

Obs.: Por tratar-se de uma equao exponencial em t, calcul-lo requerconhecimentos bsicos da teoria de logaritmos.


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21 MEDIDAS DE COMPRIMENTOA unidade principal de comprimento o metro, entretanto para medir grandesextenses, o metro muito pequeno, e para medir pequenas extenses ele muitogrande. Para isso, existem os mltiplos e submltiplos do metro. Observe a tabela

abaixo:

Quilmetro

km

Hectmetro

Hm

Decmetro

dam

Metro

m

Decmetro

dm

Centmetro

cm

Milmetro

mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Regras Prticas :

Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 10a cada casa andada, at chega casa da unidade que se quer a converso.

Ex : 1 m = 100 cm

2 km = 2000 m

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 10 a cadacasa andada, at chegar casa da unidade que se quer a converso.

Ex: 1 cm = 0,001 dam

2 m = 0,002 Km

: 10 x10


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21.1 UNIDADES DE REA

Quilmetro

quadrado

km2

Hectmetro

quadrado

hm2

Decmetro

quadrado

dam2

Metro

Quadrado

m2

Decmetro

quadrado

dm2

Centmetro

quadrado

cm2

Milmetroquadrado

mm2

1x106m2 1x104m2 1x102m2 1 m2 1x10-2m2 1x10-4m2 1x10-6m2

Regras Prticas :

Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 100(pois 10 =100) a cada casa andada, at chega casa da unidade que se quer a

converso.

Ex : 1 m2= 100 dm2

2 km2= 2000000 m2 ou 2 x 106m2

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 100 (pois10 =100) a cada casa andada, at chegar casa da unidade que se quer a converso.

Ex: 1 dam = 0,001 km

1 m = 0,01 dam


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21.2 UNIDADES DE VOLUME

Quilmetro

cbico

km

Hectmetro

cbico

hm

Decmetro

cbico

dam

Metro

cbico

m

Decmetro

cbico

dm

Centmetro

cbico

cm

Milmetro

cbico

mm

1x109m3 1x106m3 1x10 m3 1 m 1x10-3m3 1x10-6 m3 1x10-9m3

Regras Prticas :

Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 1000(pois 10 =1000) a cada casa andada, at chega casa da unidade que se quer a

converso.

Ex : 1 m3= 1000 dm3

2 hm3= 2000000 m3 ou 2 x 106

Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 1000 (pois 10 =1000) a cada casa andada, at chegar casa da unidade que se quer a

converso.

Ex : 1 m3= 0,001 dam3

1 mm3= 0,001 cm3

21.3 UNIDADES DE LITRO

Quilolitro

kl

Hectolitro

hl

Decalitro

dal

Litro

l

Decilitro

dl

Centilitro

cl

Mililitro

ml

1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

As regras prticas para converso de unidades de litro so as mesmas das unidades de

comprimento.

ATENO: Lembre-se que ao multiplicar/dividir por 10, 100, 1000,... basta deslocar a vrgula 1,

2, 3,... casas decimais para direita/esquerda.

OBSERVAO

S no podemos esquecer de que:

1dm = 1 l


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21.3.1 Exerccios1) Transforme:

a) 2 km em m

b) 1,5 m em mm

c) 5,8 km em cm

d) 0,4 m em mm

e) 27 mm em cm

f) 126 mm em m

g) 12 m em km

2) Agora converta as unidades de rea:

a) 8,37 dm2em mm2

b) 3,1416 m2em cm2

c) 2,14 m2em mm2

d) Calcule 40m x 25m e, depois transforme

em km

e) 125,8 m em km

f) 12,9 km em m

g) 15,3 m em mm

3) Depois converta as de volume:

a) 8,132 km3em hm3

b) 180 hm3em km

c) 1 m3em mm3

d) 5 cm em m

e) 78,5 m em km

f) 12 m em cm

g) 139 mm em m

4) Converta em litros:

a) 3,5 dm=

b) 5 m=

c) 2,6 dm=d) 3,4 m=

e) 28 cm=

f) 4,3 m=

g) 13 dm=


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22 REAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS1)Retngulo

2) Quadrado

3) Paralelogramo

4) Trapzio

5) Losango


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6) Tringulos

a) Tringulo qualquer

b) Tringulo retngulo

c) Frmula trigonomtrica da rea

d) Frmula de Heron

onde p o semipermetro e a, be cso os lados.

e) Tringulo equiltero


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f) Em funo dos lados e do raio da circunferncia circunscrita

7) Hexgono regular

8) Polgono regular

Onde

p o semipermetro e a o aptema do polgono.

9) Crculo

Comprimento

C = 2..r

rea

A = .r2


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10) Coroa circular

A = .(R2r2)

11) Setor circular

A =..

23 TEOREMA DE THALES

Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.


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24 SEMELHANA DE TRINGULOS

Dois tringulos so semelhantes quando possvel estabelecer uma correspondncia entre seusvrtices de modo que os ngulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os ladoshomlogos proporcionais.

Essa a definio de tringulos semelhantes. Ela impe duas condies para existir asemelhana:

ngulos correspondentes dois a dois congruentes; lados homlogos proporcionais.

Entretanto, se uma dessas condies ocorre, ento a outra automaticamente tambm se

verifica.

Exemplo 1: O tringulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm semelhante ao tringulo,tambm escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm.

Basta verificar a proporcionalidade entre os lados:

7

14=

8

16=

9

18=

Onde K a razo de semelhana entre os dois tringulos. Implcita est a congruncia entreos ngulos correspondentes, embora nem conheamos os seus valores.

Porm, se um tringulo apresenta como medidas de seus ngulos 50, 60 e 70, ele semelhante a todos os tringulos de ngulos congruentes a esses, independentemente deconhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homlogos dessestringulos so proporcionais.

Exemplo 2: Os tringulos GHI e JKL apresentados so semelhantes.

De fato, os lados dos tringulos so proporcionais:

)semelhanaderazes(2

1k

12

6

8

4

6

3

Alm disso, JIeKHLG , embora no conheamos as medidas desses ngulos.

3

4

6

12


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25 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

A bissetriz interna de um ngulo de um tringulo divide o lado oposto em dois segmentosrespectivamente proporcionais aos outros dois lados desse tringulo.

26 TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNAA bissetriz externa de um ngulo de um tringulo secciona o prolongamento do lado oposto e odivide em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse tringulo.


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27 TRINGULO RETNGULO


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28 TEOREMA DE PITGORAS

28.1 Aplicaes28.1.1 1) Diagonal do quadrado


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28.1.2 2) Altura do tringulo equiltero

28.1.3 Exerccios de fixao

2) Pedro est construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a somade x com y 42 e que as retas r, s e t so paralelas.

A diferena x - y :

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 10.

e) 12.


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3)

A rea do retngulo DEFB acima :

a) 24

b) 160

c) 120

d) 20e) 180

4) A sombra de um prdio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nessemesmo instante, prximo ao prdio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.

A altura do prdio, em metros,

a) 25.

b) 29.

c) 30.

d) 45.

e) 75.


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5) No da figura a seguir, DE//BC nessas condies determine:

a) a medida x

b) o permetro do ABC

4) Aps um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramenteabalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barrasmetlicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros tm alturas de 9 m e 3 m,respectivamente, a que altura do nvel do cho as duas barras se interceptam? Despreze aespessura das barras.

a) 1,50 m

b) 1,75 m

c) 2,00 m

d) 2,25 m

e) 2,50 m


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5) Na figura a seguir, o tringulo ABC retngulo e issceles e o retngulo nele inscrito temlados que medem 4 cm e 2 cm.

Determine o permetro do tringulo MBN.

6) Considerando-se as informaes constantes no tringulo PQR (figura abaixo), pode-seconcluir que a altura PR desse tringulo mede:

Obs.: Todas as medidas se referem mesma unidade de comprimento

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8


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7) O valor de x abaixo :

a) 15

b) 14

c) 13

d) 12

e) 11

8) O valor do raio r do crculo inscrito no trapzio retngulo abaixo :

a) 8 cm

b) 7 cm

c) 6 cm

d) 5 cm

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