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1.0 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sistemas de numeração são mecanismos usados para numerar determinados eventos, através de uma lei de formação. Todos os sistemas que a seguir terão como referência o sistema DECIMAL conhecido pelo aluno (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.....,1010,1011,1012, etc).

1.1 – Sistema binário de numeração:Sistema no qual possui apenas dois algarismos para representá-lo, o zero

e o um. Também chamado de sistema de base 2, conforme tabela abaixo:DECIMAL BINÁRIO DECIMAL BINÁRIO

012345

000001010011100101

6789

1011

1101111000100110101011

1.2 – Conversão do sistema binário para decimal:Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em

decimal, conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número binário pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número binário é dois. No número 11001(b) = 25 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda1 1 0 0 124 23 22 21 20

1x24 1x23 0x22 0x21 1x20

16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

O número 10011(b) = 19 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda1 0 0 1 124 23 22 21 20

1x24 0x23 0x22 1x21 1x20

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19

2

Exercício: Transforme os números abaixo de binário para decimal:

a) 1110 (b) = b) 1010 (b) = c) 1100110001 (b) =

Respostas: 14 , 10 , 817

1.3 – Conversão do sistema decimal para binário:Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em

binário, conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 2, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número binário referente ao decimal 47?

47/2 = 23 23/2 = 11 11/2 = 5 5 /2 = 2 2/2 = 1 ( 1 < 2, acabou!)

resto: 1 1 1 1 0Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e

o número ficaria assim: 47 = 101111 (b)

b) Qual o número binário referente ao decimal 400?

400/ 2 = 200/ 2 = 100/ 2 = 50/ 2 = 25/ 2 = 12/ 2 = 6/ 2 = 3/ 2 = 1resto : 0 0 0 0 1 0 0 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 400 = 110010000 (b)

Exercício: Transforme os números abaixo de decimal para binário:

a) 21,21 = b) 552,37 = c) 715,419 =

Respostas:

3

DECIMAL OCTAL DECIMAL OCTAL0123456789

01234567

1011

10111213141516171819

12131415161720212223

a)10101,001101 ; b ) 1000101000,010111 ; c)1011001011,011010

1.4 – Sistema octal de numeração:Sistema no qual possui apenas oito algarismos para representá-lo, o

0,1,2,3,4,5,6 e o 7. Também chamado de sistema de base 8, conforme tabela abaixo:

1.5 – Conversão do sistema octal para decimal:Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em decimal,

conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número octal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número octal é oito. No número 144(o) = 100 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerdaX X 1 4 4X X 82 81 80

1x82 4x81 4x80

64 + 32 + 4 = 100

O número 312(o) = 202 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda3 1 282 81 80

3x82 1x81 2x80

192 + 8 + 2 = 202

Exercício: Transforme os números abaixo de octal para decimal:

4

a) 77 (o) = b) 100 (o) = c) 476 (o) = d) Por que o número 3489 não é um número octal?

Respostas: 63 ; 64 ; 318 ; pois possui algarismos oito e nove.

1.6 – Conversão do sistema octal para binário:Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em

binário, conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada algarismo octal e transforme-os em binário individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada número octal:

27(o) = 010111 (b) 536(o) = 101011110 (b)

2 7 5 3 6010 111 101 011 110

Transforme os números abaixo de octal para binário:a) 34 (o) = b) 256 (o) = c) 44675,4 (o) = Respostas: 011100 b ; 010101110 b ; 100100110111101,100 b

1.7 – Conversão do sistema binário para octal:Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em

octal, conforme regra muito simples abaixo:Toma-se cada grupo de três algarismos binários, da direita para

esquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismos octal, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada dígito octal:

110010 (b) = 62(o) 11001100(b) = 314 (o)

110 010 011 001 1006 2 3 1 4

Transforme os números abaixo de binário para octal:b) 10111,11(b) = b) 11010101(b) =

5

c) 1000110011(b) = Respostas: 27,6 (o) ; 325(o) ; 1063(o)

1.8 – Conversão do sistema decimal para octal:Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em

octal, conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 8, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número octal referente ao decimal 92?

92/8 = 11 11/8 =

1resto: 4 3

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 92 = 134 (8)

b) Qual o número octal referente ao decimal 74?

74/ 8 = 9 9/ 8 = 1resto : 2 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 74 = 112 (o)

Exercícios: Transforme os números abaixo de decimal para octal:a) 512,40 = b) 719 = c) 200 =

Respostas: 1000,31463... (o) ; 1317(o) ; 310(o)

1.9 – Sistema hexadecimal de numeração:Sistema no qual possui apenas 16 algarismos para representá-lo,

com letras inclusas. Também chamado de sistema de base 16, conforme tabela abaixo:

6

DECIMAL HEXA DECIMAL HEXA0123456789

0123456789

10111213141516171819

AB C DE F10111213

1.10– Conversão do sistema HEXADECIMAL para decimal:Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em

decimal, conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número hexa pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número hexa é 16. As letras deverão ser substituídas pelo equivalente em decimal para fazer a multiplicação. No número 3f1(h) = 1009 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerdaX X 3 F 1X X 162 161 160

3x162 15x161 1x160

768 + 240 + 1 = 1009

O número 312(h) = 786 (d) ficaria assim:O expoente segue da direita para esquerda

3 1 2162 161 160

3x162 1x161 2x160

768 + 16 + 2 = 786

Exercícios: Transforme os números abaixo de hexadecimal

7

para decimal:

a) 1C3,A (h) = b) 238 (h) = c) 1FC9 (h) =

RESPOSTAS: 451,625 ; 568 ; 8137

1.11 – Conversão do sistema HEXA para binário:Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em

binário, conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada algarismo hexa e transforme-os em binário individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binários para cada número hexa:

A7(h) = 10100111 (b) CE3(h) = 110011100011 (b)

A 7 C E 31010 0111 1100 1110 0011

Transforme os números abaixo de hexa para binário:c) 1ED,1 (h) = b) ABF (h) = c) 37 (h) =

Respostas: 111101101,0001 b ; 101010111111 b ; 110111 b

1.12 – Conversão do sistema binário para hexa:Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em

hexa, conforme regra muito simples abaixo:Toma-se cada grupo de quatro algarismos binários, da direita para

esquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismos hexa, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binários para cada dígito hexa:

11100010 (b) = E2(h) 110011110001(b) = CF1 (h)1110 0010 1100 1111 0001

E 2 C F 1

Exercício: Transforme os números abaixo de binário para hexa:

8

d) 1100011,01(b) = b) 11000111100011100(b) = c) 1000110011(b) = Respostas: 63,4 (h) ; 18F1C(h) ; 233(h)1.13 – Conversão do sistema decimal para hexa:

Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em hexa, conforme regra abaixo:Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 16,

obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra divisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número em questão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemplo abaixo:

a) Qual o número hexa referente ao decimal 1000?

1000/16 = 62 62/16 = 3resto: 8 14

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 1000 = 3E8 (16)

b) Qual o número hexa referente ao decimal 134?

134/ 16 = 8resto : 6

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o número ficaria assim: 134 = 86 (h)

Exercícios: Transforme os números abaixo de decimal para hexa:b) 384,25 = b) 3882 = c) 350 =

Respostas: 180,4(h) ; F2A(h) ; 15E(h)

9

2.0 – OPERAÇÕES ARITMÉTRICAS NO SISTEMA BINÁRIO

Trata-se de um assunto importante para compreensão de como funciona os processos matemáticos digitalmente.

2.1 Adição no sistema binário:Obedece a seguinte tabela:

0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 1

1 + 1 = 10 ,sendo que o dígito 1 da esquerda pertenceria a próxima casa binária:

1010

Exemplo:A) 110 b + 111 b = 1101 b

1 1

1 1 0+ 1 1 1 1 1 0 1

b) 11001 b + 1011 b = 100100 b

1 1 1 1

1 1 0 0 1+ 1 0 1 1

. 1 0 0 1 0 0

Resolva as seguintes somas binárias:a) 11111 b + 111111 b = b) 101101 b + 11100011 b = c) 10101 b + 111 b =

Respostas: 1011110 ; 10010000 ; 11100

2.2– Subtração no sistema binário:

Obedece a seguinte tabela :0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 – 1 = 1 ,

e empresta 1 para próxima

casa binária:

Exemplos:

a) 1000b – 111b = 0001b. 1 0 0 0- 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1

b) 10010 b – 10001 b = 00001 b

. 1 0 0 1 0. - 1 0 0 0 1 1

. 0 0 0 0 1

1111

Resolva as seguintes subtrações binárias:

a) 1111111 b - 111111 b = b) 101101 b - 111 b = c) 10101 b - 101 b = Respostas: 1000000 b ; 100110 b ; 10000 b

2.3– Multiplicação no sistema binário:

Procede como uma multiplicação no sistema decimal:0 x 0 = 01 x 0 = 00 x 1 = 01 x 1 = 1

Exemplos:

a) 1000b x 1b = 10001000

. x 1 . 1000

b) 1100b x 11b = 100100. 1100

. x 1 1

. 1100

. 11 0 0 - 100100

c) 11010 b x 101 b = 10000010 b. 11010. x 10 1 . 11010. 00000*. 110 10 * * . 10000010

Resolva as seguintes multiplicações: a) 10101b x 11b = b) 11001b x 10b = c) 5A (h) * 11b =

Rspostas: 111111b ; 11011 ; 100001110

3.0 – FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS

Existe na matemática eletrônica digital um modelo de sistema lógico para cálculos e formações de sistemas digitais. Esse modelo matemático chama-se álgebra de Boole. Conjuntamente com esse modelo, temos as funções lógicas que vão dar formas estruturadas às expressões geradas pela álgebra de Boole.

Nas funções lógicas, teremos apenas dois estados:- estado 0 (zero);- estado 1 (um).

Esses estados são níveis de eventos opostos entre si, isto é, se o estado zero representa uma torneira fechada, o estado um representa a mesma aberta; se o estado zero representa uma luz apagada, o estado um representa uma luz acesa.

3.1 – Função E ou AND

A função E é aquela que representa a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A and B and ... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a esquerda tem-se o símbolo da porta AND com duas variáveis de entrada.

3.2 – Função OU ou OR

A função OU (OR) é aquela que representa a soma booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expressão, que é o mesmo que S = A ou B ou .... N.

Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a esquerda tem-se o símbolo da porta OU com duas variáveis de entrada.

3.3 – Função NÃO ou NOT

A função NÃO (NOT) é aquela que representa a inversão do estado de entrada da variável, isto é, se na entrada a variável é zero, na saída ficará um; se na entrada a variável é um, na saída ficará zero a S = Ā ou S = A’, sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a esquerda tem-se o símbolo da porta NOT.

3.4 – Função NE ou NAND

A função NE ou NAND é aquela que representa a negativa ou inversão da multiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A nand B nand... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a esquerda tem-se o símbolo da porta NAND com duas variáveis de entrada.

3.5 – Função NOU ou NOR

A função NOU (NOR) é aquela que representa a negativa ou inversão da soma booleana de duas ou mais variáveis. Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a esquerda tem-se o símbolo da porta NOR com duas variáveis de entrada.

EXERCÏCIO : Faça a tabela verdade e o símbolo das portas NAND e ORcom três variáveis de entrada, A,B e C:

3.6 – Função XOR (OU-EXCLUSIVO) E NXOR (NÃO OU-EXCLUSIVO)

Para XOR de duas entradas: função lógica tal que, no caso de duas entradas, o valor da saída é “1” se as entradas são diferentes e “0” se as entradas são iguais.

Para XOR de mais de duas entradas: O valor da saída é “1” se existir um número impar de entradas nível “1”.

TVA B S 0 0 00 1 11 0 11 1 0A tabela de verdade pode ser vista acima e a função lógica e simbologia é dada por: S = A’B + AB’

Para NXOR de duas entradas: função lógica tal que, no caso de duas entradas, o valor da saída é “0” se as entradas são diferentes e “1” se as entradas são iguais.

Para NXOR de mais de duas entradas: O valor da saída é “1” se existir um número par de entradas nível “1”.

Para 3 entradas, a TV será:A B C S0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A expressão será dada por: S= A’B’C’+A’BC+AB’C+ABC’

Simbolicamente S= ABC.

4.0 - CIRCUITOS LÓGICOS, EXPRESSÕES BOOLEANAS E TABELA VERDADE

Através de um ou mais circuitos lógicos associados entre si teremos uma expressão booleana equivalente. O objetivo será exatamente formar um complexo eletrônico no qual busca-se uma solução digital para um ou

mais eventos binário na entrada, através de variáveis.

4.1 – Expressões booleanas geradas por circuitos interligadosExemplificando, temos o seguinte circuito: 1)

AS1 S

B

CQual seria a expressão booleana?

- Temos S1 = A x B- Temos S = S1 + C- Logo, substituindo S1 , teremos S = A x B + C

Circuito 2)

Circuito 3)

Circuito 4)

4.2 - Circuitos obtidos de expressões booleanas:Neste caso teremos uma expressão booleana e formaremos o diagrama

do circuito equivalente:

Expressão 1) S = (A+B) x C x (B+D)

A

B

C

D

Expressão 2) S = A x B + (A+B) x C’

A

B

C

Expressão 3) S = [ (A x B)’ + (C X D)’ + D]

A

B

C

D

Expressão 4) ALUNO FAZERS = { [(A’ + B)’ + (C’ x D)’]’ x E + [ (A x D’ x E’) + (C x D x E)] xA’ }

2020

4.3 - Tabela verdade obtida de expressões booleanas:

Para obtermos a tabela verdade, isto é, qual a saída S para todas as combinações nas entradas pelas variáveis, fazemos da seguinte forma:

a) Montamos o quadro de combinações das variáveis de entrada;b) Montamos as colunas com os agrupamentos da equação, podendo ter

colunas auxiliares, e uma coluna para o resultado final;c) Preenchemos essas colunas independentemente com resultados

obtidos das variáveis;d) Preenche-se a coluna do resultado final obedecendo os operandos dos

agrupamentos da expressão.

Exemplo 1) S = A’ + AB + AB’C (Obs.: Quando coloca-se as variáveis juntas, como AB, é o mesmo que A x B) :

A B C 1o MembroA’

2o MembroAB

AuxiliarB’

3o MembroAB’C

ResultadoS

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

11110000

00000011

11001100

00000100

11110111

Exemplo 2) S = A’B + BCA B C Auxiliar

A'1o Membro

A’B2o Membro

BCResultado

S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

11110000

00110000

00010001

00110001

2121

Exercício 1) Faça a tabela verdade com o resultado S da seguinte expressão: S = (A+B) x C x (B+D)

A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

4.4 - Tabela verdade obtida de circuitos:Basta em primeiro lugar achar a expressão booleana do circuito para

depois montar a tabela verdade:Exercício 1) Ache a expressão do circuito abaixo e monte a tabela verdade:

A

B S

C

2222

Exercício 2) Monte a Tabela verdade da expressão abaixo:

S = [ ( A + B) x C] ‘ + [ D x (C + B)] ‘

A B C D A + B S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

Exercício 3) Prove as seguintes equações, através de tabelas verdades comparando-as:

a) (A’ x B’) ≠ (A x B)’ b) (A’ + B’) ≠ (A + B)’

c) (A’ x B’) = ( A + B)’ d) (A’+ B’) = (A x B)’

Exercício 4) Obtenha dois inversores, um com uma porta NE, outro com uma porta NOU – Dica, fazer a tabela verdade:

4.5 – Expressão obtida de tabela verdade:

Método de Lagrange

A partir de uma tabela, pode-se obter a sua função pelo método de Lagrange. Entretanto, esse método exige que se façam simplificações na expressão obtida para se atingir a forma simplificada. Como exemplo, considere a tabela a seguir, e sua respectiva função:

2323

Apesar de se atingir o resultado esperado, corre-se o risco de não simplificar a função adequadamente, ou ainda, pode-se cometer erros nas simplificações. O método de leitura por “Mapas de Karnaugh” elimina esses problemas, visto que a leitura já é dada na forma mais simplificada possível.

4.6 – Equivalência de Blocos Lógicos:

Quando desejamos construir na prática um circuito lógico deveremos minimizar ao máximo possível os custos, por exemplo diminuindo ao máximo o número de CI's usados. Por outro lado muitas vezes não dispomos de uma determinada porta lógica e podemos usar outra porta fazendo a equivalência.

4.6.1. Obtendo um Inversor a Partir de NOU:Para obter uma porta inversora usando porta NOU temos as duas

possibilidades:a)

=

b)

=

Fig: Equivalência entre portas - Inversor obtido a partir de NE

4.6.2. Obtendo um Inversor a Partir de NE:Para obter uma porta inversora usando portas NE temos as duas

2424

possibilidades: a )

=

( b )

=Fig: Equivalência entre portas - Inversor obtido a partir de NE

4.6.3. Obtendo NOU e OU a partir de NE.

Essas equivalências são obtidas considerando o Teorema de De Morgan:

e .

a) NOU a partir de NE:

b) OU a partir de NE:

2525

4.6.4. Obtendo NE e E a partir de NOR.

a) NE a partir de NOR:

b) E a partir de NOR:

5.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS:

Circuitos combinacionais são aqueles que a saída depende única e exclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entrada. Temos, então que analisar uma situação real, definir as variáveis e convenções, formar uma tabela verdade, chegar a uma expressão e, finalmente, montar o circuito:

SITUAÇÃO A SER ANALIZA- DA

TABELA

VERDADE

EXPRES-SÃO CIRCUITO

EXEMPLO 1)

RUA B

SINAL 1

RUA (A) PREFERENCIAL

Sinal2

SINAL 1

Sinal2

Temos um cruzamento entre as ruas A e B, queremos colocar um sistema que acione os dois sinais (1) e (2), obedecendo as seguintes situações:

1- Quando houver somente carros na rua A , o sinal 1 deverá estar verde;2- Quando houver somente carros na rua B , o sinal 2 deverá estar verde;3- Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, o sinal para rua Aficará verde, pois é preferencial, e o da rua B vermelho;

Através dos dados acima, serão definidos variáveis e estados das mesmas, para se montar a tabela verdade:

a) Existe carro em A -> A = 1 , caso não exista, A = 0 ; Rua A é uma variável

b) Existe carro em B -> B = 1 , caso não exista, B = 0 ; Rua B é umavariável

c) Vd do sinal 1 (V1) aceso, Vd sinal 2 apagado, Vm do sinal 2 aceso => V1 = 1 ; V2 = 0

d) Vd do sinal 2 (V2) aceso, Vd sinal 2 apagado, Vm do sinal 1 aceso => V2 = 1 ; V1 = 0

TABELA VERDADE

SITUAÇÃO RUA A Rua B V1 V20123

0011

0101

X(1)011

X(0)100

Convenciona-se que quando a variável de saída é 1, buscamos as variáveis de entrada. Se estiver 1, temos sua designação igual a mesma sem a barra ou o ‘ . Caso contrário, se estiver 0, temos sua designação barrada ou com ‘. Exemplo: A = 1 ; Ā = 0.

Análise sinal 1:Quando teremos Sinal V1 em verde, e obviamente V2 vermelho? Nas

situações 0 ou 2 ou 3.Situação 0 =>>>>> A’ x B’ = 1 ou Situação 2 =>>>>> A x B’ = 1 ou Situação 2 =>>>>> A x B = 1.

Logo a expressão do Sinal 1 ficará : V1 = A’B’ + AB’ + AB

Análise sinal 2:Quando teremos Sinal V2 em verde, e obviamente V1 vermelho? Na

situação 1.Situação 1 =>>>>> A’ x B = 1Logo a expressão do Sinal 2 ficará : V2 = A’B

Agora podemos fazer os circuitos que farão funcionar os dois sinais nas condições propostas:

V1 = A’B’ + AB’ + AB V2 = A’B

6.0 - ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO:

Muitos dos circuitos já estudados permitem simplificação, diminuindo sua complexidade no ato de se fazer o circuito eletrônico. Para tal fim, far-se-á necessário a compreensão da álgebra de Boole e seus postulados. A álgebra de Boole, que são representadas as variáveis por letras, podem estas assumir apenas os valores 1 ou 0. Desta primícia, foram determinados alguns postulados.

6.1 - Postulados.

6.1.1 – Postulado da Complementação:

Se A = 0 => A’ = 1Se A = 1 => A’ = 0

Então, A” = A

6.1.2 – Postulado da Adição:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1 Então: A + 0 = A

A + 1 = 1A + A = AA + A’ = 1

6.1.3 – Postulado da Multiplicação:

0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1 Então: A x 0 = 0

A x 1 = A A x A = A A x A’ = 0

6.2 – Propriedades:

6.2.1 Propriedade Comutativa:6.2.1.1 - Comutativa na soma: A+B = B+AProvar pela tabela verdade:6.2.1.2 – Comutativa na Multiplicação: AxB = BxA

Provar pela tabela verdade:

6.2.2 Propriedade Associativa:6.2.2.1 – Associativa na Adição: A + (B+C) = (A+B) + C = A + B + C6.2.2.2 – Associativa na Multiplicação: A x (BxC) = (AxB) x C = A x B xC

6.2.3 Propriedade Distributiva:A x (B+C) = (AxB) +(AxC)

6.3 – Teoremas de Morgan:6.3.1 – O complemento do Produto é igual à soma dos Complementos de n variáveis:

(AxB)’ = A’ + B’

6.3.2 – O complemento da Soma é igual ao produto dos Complementos:(A+B)’ = A’ x B’

6.4 – Identidades Auxiliares:

1) A + AB = A

2) A + A’B = A+B 3) (A+B) x (A + C) = A + BC Prove:

6.5 – Simplificação de Expressões booleanas:

Baseado nos postulados, teoremas e identidades acima, podemos, quando possível, fazer simplificações de expressões booleanas, facilitando a execução dos circuitos eletrônicos. Exemplo:

1) S = ABC + AC’ + AB’ Resposta : S = A ; Provar:Desenhar os dois circuitos:

2) S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C Resposta: S = A’C’ + AB’C ; Prove:

Exercícios para aula:

a) S = A’B’ + A’Bb) S = A’B’C’ + A’BC + A’BC’ + AB’C’ + ABC’c) S = (A+B+C) . (A’+B’ + C)Respostas: a) S = A’ ; b) S = C’+ A’B ; c) S = AB’ + A’B + C

Fazer em casa: S = ( (AC)’ + B + D) ‘ + C(ACD)’

Resposta: S = CD’ + A’C

3131

B’ BA’ 00 01

10 11

B’ BA’ 1 1

1 0

B’ B000 001 011 010100 101 111 110C’ C C’

6.6 – Simplificação de Expressões booleanas com diagrama Veitch- Karnaugh:

O diagrama Karnaugh foi elaborado com o propósito de simplificar uma expressão ou diretamente de uma tabela verdade.

6.6.1 – Diagrama Karnaugh com duas variáveis:

A

Exemplo : S = A’B’ + A’B + AB’

A

Tabela verdade:A B S0011

0101

1110

Resposta: S = B’+ A’

6.6.2 – Diagrama Karnaugh com três variáveis:

A ’ A

Exemplo 1) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

10111010

3232

S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’ + A’BC + ABC’

A’B’ B

AC’ C C’

Resposta: S = A’B + C’

A) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

01011110

S = ?

A’B’ B

AC’ C C’

Resposta: S = A’C + AC’ + B’C

B) Faça a tabela verdade e minimize com Karnaugh cada expressão abaixo:

1- S = A’B’C’ + A’B’C + A’BC + AB’C + ABC Resp: S = C + A’B’

2- S = A’BC + AB’C’ + ABC’ Resp.: AC’+ A’BC

3333

C’ CA’ B’

BA

B’D

6.6.2 – Diagrama Karnaugh com quatro variáveis:

C’ CA’ 0000 0001 0011 0010 B’

0100 0101 0111 0110 BA 1100 1101 1111 1110

1000 1001 1011 1010 B’D’ D D’

Exemplo 1)

A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

0111010111011101

S = ?

D’ D’

Resposta: S = D + AC’ + A’B’C

3434

A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

0101111100100001

C’ CA’ B’

BA

B’D

Exemplo 2)

S = ?

D’ D’

Resposta: AB’CD’+ BCD + A’B + A’D

Exercícios:

Minimize FAZENDO ANTES A TABELA VERDADE:

a) S = A’B’C’D’ + A’ B’C’D + A’B’CD’ + A’BC’D + AB’C’D’+ AB’C’D + AB’CD’ + ABC’D + ABCD

Resp: S = ABD + C’D + B’D’

3535

b)A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

1010111110101011

S = ?

RESP: S = A’B +BC +D’

3636

7.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS PARTE 2:

7.1 – CÓDIGOSDentro de um aspecto digital, podemos formar as diversas

combinações das variáveis de entrada em códigos específicos. Por exemplo, o código específico da tabela verdade de quatro variáveis (A,B,C e D), ou quatro bits, é chamado de código BCD 8421, que significaBinary Coded Decimal.

7.1.1 – CÓDIGO BCD 8421Neste código temos exatamente a composição binária de soma

uma (1) unidade binário com a soma de uma (1) unidade decimal

DECIMAL

BCD 8421A B C D

0123456789101112131415

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

7.1.2 – CÓDIGO Excesso 3Neste código temos o início do código binário adiantado de 3 unidades

em relação ao decimal. Neste código temos somente de 0 até 9 decimal. Este código é usado em alguns circuitos aritméticos:

DECIMAL Excesso 3A B C D

0123456789

0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

3737

7.1.3 – CÓDIGO JohnsonNeste código, de 5 bits, isto é, 5 variáveis de saída, temos os bits de

saída = 1 colocados da direita para esquerda, seqüencialmente, como se fosse um “ônibus” atravessando um rua:

DECIMAL JohnsonA B C D E

0123456789

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 1 10 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 0 01 1 0 0 01 0 0 0 0

7.1.4 – CÓDIGO GRAYNeste código temos a característica de deslocar para direita as colunas

da esquerda, começando a primeira COLUNA com 0, a segunda com 00, a terceira com 0000 e a quarta com 00000000:

DECIMAL GRAYA B C D

0123456789101112131415

0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0

C’ CA’ B’

BA

B’D

3838

7.2 – Codificadores e Decodificadores:A função de um decodificador no sistema digital é fazer com que

um código de entrada seja transformado em outro código na saída deste sistema decodificador.

Exemplo:Entrada de dados: Código BCD 8421 Sistema Saída de dados: Excesso 3Vejo o sistema como codificador Vejo o sistema como decodificador

7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:

BCD 8421A B C D

EXCESSO 3S3 S2 S1 S0

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0X X X X X X X XX X X X X X X XX X X X X X X X

Teremos que ter 4 circuitos para definir nosso decodificador. Serão eles S1, S2, S3 e S4. Antes de fazer o circuito, teremos que simplifica-los:

S3 = A’BC’D + A’BCD’ + A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’DS2 = A’B’C’D + A’B’CD’ + A’B’CD + A’BC’D’ + AB’C’D S1 = A’B’C’D’ + A’B’CD + A’BC’D’ + A’BCD + AB’C’D’S0 = A’B’C’D’ + A’B’CD’ + A’BC’D’ + AB’C’D’ + A’BCD’

S3:

D’ D’

Resposta: S3 = A+ BD +BC

C’ CA’ B’

BA

B’D

C’ CA’ B’

BA

B’D

C’ CA’ B’

BA

B’D

3939

S2:

D’ D’

Resposta: S2 = B’D+ B’C + BC’D’

S1:

D’ D’

Resposta: S1 = C’D’+CD

S0:

D’ D’

Resposta: S0 = D’

Fazer o circuito:

EXCESSO 3A B C D

BCD 8421S8 S4 S2 S1

0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

1 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 0

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 1

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

C’ CA’ B’

BA

B’D

4040

7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3, usando as condições irrelevantes:

Na tabela verdade do excesso 3 acima, temos parte da numeração do mapa de Karnaught que não faz parte desta codificação, então tanto faz seu resultado a direita do decodificador, pois na prática, nunca será usado.

S8 = AB’CD + ABC’D’S4 = A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’D + AB’CD’ S2 = A’BC’D + A’BCD’ + AB’C’D + AB’CD’S1 = A’BC’D’ + A’BCD’ + AB’C’D’ + AB’CD’ + ABC’D’

S8:

D’ D’

Resposta: S8 = AB + ACD

C’ CA’ B’

BA

B’D

C’ CA’ B’

BA

B’D

C’ CA’ B’

BA

B’D

4141

S4:

D’ D’

Resposta: S4 = B’D’+ AC’D + BCD

S2

D’ D’

Resposta: S2 = C’D+CD’

S1

D’ D’

Resposta: S1 = D’

Exercício proposto:

Fazer a tabela verdade para acender um display de 7 segmentos, fazendo um decodificador de bcd 8421 para display de 7 segmentos, com a numeração de 0 até 9, simplificar com karnaught e desenhar o circuito. Obedecer a disposição nominal abaixo, para o display de 7 segmentos:

Af b

Ge c

D

Exemplo: Para formar o número 1, temos que acender as letras b e c, logo temos b = 1 e c= 1

4242

Os MUX e DEMUX ou ainda Multiplexadores e Demultiplexadores são sistemas digitais que podem processar informações de diversas formas, funcionando como conversores série/paralelo e vice versa. Neste artigo analisaremos o princípio de funcionamento destes circuitos de grande importância na eletrônica digital, dando prosseguimento à nossa série que deve ser acompanhada por todos que pretendem entender um pouco do princípio de funcionamento dos circuitos dos computadores e de muitos outros equipamentos modernos.

MULTIPLEXADORES

Um multiplexador ou abreviadamente MUX é um sistema digital que possui diversas entradas diferença onde aparecem informações na forma digital, uma saída de dados e entradas de controle, conforme mostra a figura 1.

Os sinais aplicados às entradas de controle determinam qual entrada vai ser conectada à saída, transferindo assim seus sinais. Em outras palavras, com um MUX é possível selecionar qual entrada vai ser conectada a saída, isso simplesmente por meio de comandos lógicos.

Uma tabela verdade pode ser associada ao multiplexador que demos como exemplo em que temos 4 entradas e uma saída:

Veja então que, quando desejamos que a entrada E2 seja a conectada a saída, transferindo seus sinais, tudo que temos de fazer é levar a entrada de controle C0 ao nível baixo e a entrada C1 ao nível alto.

Perceba também que a quantidade de linhas de controle depende justamente da quantidade de entradas que devem ser selecionadas. Para um MUX de 4 entradas precisamos de 2

4343

entradas de controle, pois com dois dígitos cobrimos as 4 combinações possíveis de estados de controle.

Para um MUX de 8 entradas, como o mostrado na figura 2, precisamos de 3 entradas de controle, de modo a se obter as 8 combinações de estados que definem qual entradas será a ativada.

Uma tabela verdade para um MUX de 8 entradas, como o mostrado na figura 2 seria a seguinte:

A implementação de um multiplexador com portas lógicas pode ser feita com relativa facilidade. No caso do multiplexador de 4 entradas e uma saída que tomamos como exemplo inicial podemos usar portas AND e OR além de inversores conforme mostra a figura 3.

4444

A função de multiplexador pode ser encontrada tanto em circuitos integrados de tecnologia CMOS como TTL e nestes componentes temos ainda a possibilidade de encontrar uma entrada adicional de inibição INHIBIT que serve para desativar o circuito em caso de necessidade, desligando-se assim sua saída de qualquer das entradas.

Veja que esta entrada pode ser importante, pois em qualquer combinação de níveis lógicos da entrada de controle sempre teremos uma entrada conectada à saída e pode ser necessário em algum tipo de aplicação que nenhuma entrada seja conectada à saída em determinado instante.

Na figura 4 temos o circuito lógico de um multiplexador de 8 entradas com 3 entradas de controle e uma entrada de INHIBIT.

4545

Este circuito utiliza inversores, portas AND e portas OR.

DEMULTIPLEXADORES

Um circuito demultiplexador ou DEMUX tem uma entrada de dados e um determinado número de saídas, além de entradas de controle, conforme mostra o diagrama simplificado da figura 5.

Pela aplicação de níveis lógicos apropriados nas entradas de controle podemos transferir o sinal da entrada para uma das saídas.

Qual saída receberá o sinal depende dos níveis na entrada de controle conforme a tabela verdade dada a seguir, para o exemplo da figura 5.

Perceba que, neste caso também, precisamos de duas entradas de controle para selecionar uma de 4 saídas. Se tivermos 8 saídas, como no DEMUX da figura 6, serão necessárias 3 entradas de controle e a tabela verdade será a seguinte:

4646

Um circuito demultiplexador pode ser elaborado a partir de funções lógicas comuns. Para um demultiplexador de 4 saídas, como o tomado como exemplo inicial de nosso artigo temos a possibilidade de elaborá-lo com apenas dois inversores e 3 portas AND de 3 entradas, conforme mostra a figura 7.

4747

MUX/DEMUX INTEGRADOS

Conforme explicamos as funções de multiplexadores e demultiplexadores digitais podem ser encontradas na forma de circuitos integrados tanto da família CMOS como TTL. Damos a seguir alguns circuitos integrados comuns dessas duas famílias que podem ser usados em projetos.

74150 - seletor de dados 1 de 16

Este é um multiplexador TTL em invólucro de 24 pinos, mostrado na figura 8.

Na operação normal a entrada de habilitação EN deve ser colocada no nível baixo. Se a entrada EN for levada ao nível alto o circuito é inibido e a saída fica no nível alto independentemente do que acontece em qualquer entrada ou nas linhas de seleção. Este circuito também tem uma característica inversora: isso significa que o nível do sinal da entrada selecionada aparece invertido na saída.

74151 - seletor de dados 1 de 8

Este circuito TTL tem 8 entradas de dados, três linhas de seleção e duas saídas, sendo uma que apresenta o sinal da entrada na forma original e a outra que o apresenta invertido. Na operação normal a entrada EN de habilitação deve ficar no nível baixo. Se esta entrada for levada ao nível alto a saída Y se mantém no nível baixo e a saída Y/ no nível alto independentemente do que acontece nas linhas de dados ou de controle.

O 74151 é apresentado em invólucro DIL de 16 pinos com a disposição de terminais mostrada na figura 9.

74152 - Duplo seletor de dados 1 de 4

4848

Este circuito integrado TTL contém dois multiplexadores de 4 entradas de dados, com duas linhas de controle que atuam ao mesmo tempo sobre os dois circuitos. Na figura 10 temos a pinagem deste componente que é apresentado em invólucro DIL de 16 pinos.

Na operação normal a entrada EN deve ser mantida no nível baixo. Com esta entrada no nível alto, a saída do multiplexador correspondente se mantém no nível baixo independentemente da entrada selecionada.

74154 - Demultiplexador 1 de 16

Este circuito integrado TTL é apresentado em invólucro DIL de 24 pinos com a pinagem mostrada na figura 11.

Este tipo de circuito também é conhecido como distribuidor de dados e na operação normal a entrada EN deve ser mantida no nível baixo. Com esta entrada no nível alto, todas as saídas ficarão no nível alto, independentemente do que ocorre na entrada de dados e nas entradas de controle.

74155 - Duplo Demultiplexador 1 de 4

Este circuito integrado TTL é apresentado em invólucro DIL de 16 pinos, conforme mostra a figura 12.

4949

Na operação normal a entrada EN deve estar no nível baixo. Com a entrada EN no nível alto, todas as saídas dos seletores ficam no nível alto, independente da seleção e dos dados da entrada.

4051 - Seletor 1 de 8 (MUX/DEMUX)

Este circuito integrado CMOS é apresentado em invólucro DIL de 16 pinos e pode trabalhar tanto com sinais analógicos como digitais, dependendo apenas da polarização do pino 7, conforme mostra a figura 13 em que temos a sua pinagem.

É interessante observar que este circuito pode funcionar tanto como multiplexador como demultiplexador já que as chaves usadas são bilaterais.

Quando utilizado em circuitos digitais a tensão de alimentação pode ficar entre 5 e 15 Volts e o pino 7 é aterrado. Se o circuito for utilizado para operar com sinais analógicos (áudio, por exemplo), o pino de alimentação positiva Vdd deve ficar em 5 V e o pino 7 em -5 V. Os sinais chaveados devem ter amplitudes que não ultrapassem esta faixa.

Com a entrada EN no nível alto todas as chaves ficam abertas e nenhum sinal pode passar. Se EN estiver no nível baixo, o canal selecionado pelas entradas de controle é conectado a saída. O sinal tanto pode fluir de um dos canais de entrada (X1, X2, X3 ou X4) para a saída (X) como vice-versa já que a operação é tanto como MUX como DEMUX, conforme explicamos.

5050

As chaves abertas para este circuito têm uma resistência muito alta de centenas de megohms e na condição de fechadas têm uma resistência da ordem de 120 ohms. A corrente em cada chave não pode ser maior que 25 mA.

4052 - Duplo Seletor 1 de 4 (MUX/DEMUX)

Este circuito CMOS funciona exatamente como o 4051 com a diferença que no caso temos dois seletores (MUX/DEMUX) num mesmo circuito integrado em invólucro de 16 pinos, que é mostrado na figura 14.

Como no caso anterior, o circuito pode operar nos dois sentidos, ou seja, tanto como multiplexador como demultiplexador e dependendo da alimentação pode operar com sinais analógicos ou digitais.

4053 - Triplo Seletor 1 de 3 (MUX/DEMUX)

Temos finalmente um circuito CMOS que funciona como os anteriores, e que pode ser usado tanto como MUX como DEMUX tanto para sinais analógicos como digitais.

A pinagem deste circuito integrado é mostrada na figura 15.

As linhas de seleção de saídas/entradas dos três seletores (MUX/DEMUX) deste circuito integrado são independentes, mas para inibição do funcionamento existe uma entrada comum. Esta entrada deve ficar no nível baixo para o funcionamento normal.

5151

Multiplexadores: DetalhesMultiplexador de oito entradas: • CI multiplexador 74151(ou 74LS151, 74HC151). • Entrada de habilitação E, ativa BAIXA. • 2 saídas: normal e invertida. • Quando E está BAIXA, as entradas de seleção S2 S1 S0 selecionarão uma entrada de dados (I0 até I7) que será transmitida para a saída Z. • Quando E está ALTO, o multiplexador está desabilitado, então a saída Z será BAIXA ou ficará em Alta impedância (Tri-State), conforme o tipo de CI.

5252

Aplicações de multiplexadores:1-Multiplexadores Gerador de Funções Lógicas

• Os multiplexadores podem ser usados para gerar funções lógicas diretamente da tabela verdade (sem simplificação). • Estrutura AND-OR de dois níveis. • As entradas de seleção são usadas para as variáveis lógicas. • As entradas de dados são conectadas permanentemente aos níveis ALTO ou BAIXO, de acordo com a tabela verdade.

2-Dados podem ser roteados, através de multiplexadores, de várias origens para um destino.

5353

TV

3-Conversor Paralelo-Série :Transmissão de dados na forma paralela é mais rápida. No entanto, para distâncias longas, não é interessante. Opta-se pela serial, sendo necessária a conversão, que pode ser feita com MUX. Um contador de 8 bits realiza a seleção sequencial de cada entrada em um ciclo de clock (000 a 111).

5454

4-Sequenciamento de operações:

Processo que mistura dois ingredientes e cozinha. 7 passos

000 Parado001Abrir válvula A1 até S1 atuar010Abrir válvula A2 até S2 atuar011Abrir válvula A3 até S3 atuar100Abrir válvula A4 até S4 atuar101Ligar misturador A5 até S5 atuar110Ligar aquecedor A6 até S6 atuar111Ligar bomba A7 até S7 atuar

5555

Interligação de multiplexadores

• Os multiplexadores podem ser interligados para aumentar a capacidade do número de entradas de dados que podem ser transferidas para uma única saída. • Apenas um MUX ficará ativo, transferindo dados para a saída em qualquer instante. • Quando mais de um MUX é interligado, a entrada de habilitação deve ser usada como entrada de seleção (endereço) para selecionar o MUX que deve ser ativo.

Associação Série de Multiplexadores(Ampliação da Capacidade de Canais de Entrada):

A associação série de multiplexadores é uma variação da associação paralela analisada anteriormente, pois, para ampliar a capacidade dos canais de entrada, basta multiplexar os multiplexadores de entrada através de um multiplexador de saída. Exemplo: Deseja-se obter um multiplexador de 16 canais utilizando apenas um multiplexador de quatro canais. 

5656

Para isto, basta utilizar um multiplexador de saída multiplexando 4 multiplexadores de entrada, como mostrado na figura a seguir;

5757

DECODIFICADOR BCD 8421 PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS

5858

A tabela abaixo, mostra o código de entrada de 4 bits e os níveis aplicados em cada segmento.

5959

6060

Simplificação pelo mapa de Karnaugh

6161

Sb =A'B'+A'C'D'+B'D'+AC'D+BCD

Sc = A'C'+A'B+AB'+D

Sd = A'B'D'+A'B'C+AC'+BC'D+BCD'+AD

Se = B'D'+AB+CD'+AC

Sf = A'BC'+AB'+C'D'+BD'+AC

Sg = A'BC'+AB'+B'C+BC'D+CD'