Apostila - derivada1

5/9/2018 Apostila - derivada1 - slidepdf.com

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DERIVADAS

Derivada como taxa de variação

Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x.

A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y

x0 → f(x0 ) ∆ x = h x

y

∆

∆= taxa de variação da grandeza y

x0 + h → f(x0 +h) ∆ y = f((x0 +h) - f(x0 ) em relação à grandeza x

Se lim x

y

∆

∆existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y

∆ x 0→ em relação à grandeza x.

Fixemos um valor de x = x0

lim x

y

∆

∆= lim

h

x f h x f )()( 00 −+.

∆ x 0→ h→ 0

Esse limite é chamada de derivada de f(x) no ponto de abscissa x = x0 e indicamos por:

f’(x0) = limh

x f h x f )()( 00 −+

h→ 0

Exemplo: Encontre a derivada de f(x) = x2 no ponto de abscissa x = 4

f’(4) = limh

f h f )4()4( −+= lim

h

h 22 )4()4( −+= lim

h

hh 16816 2−++

= limh

hh )8( += 8

h→0 h→0 h→0 h→0

Exercícios:

Calcule a derivada de f(x) no ponto indicado:

1) f(x) = x2 ; x = -2

2) f(x) = 3x + 4 ; x = 4

3) f(x) = 2x – x2 ; x = -2



4) f(x) = x3 ; x = -1

Derivada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa

x = x0

Significado geométrico da derivada

A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de

derivada.

x

y

∆

∆

= tangente do ângulo que

f(x0 + h) – f(x0) a reta forma com o eixo x

)

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela

tangente à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta

tangente ao gráfico da função no ponto x0.

m = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x = x0

lim x

y

∆

∆= mt = f’(x0) = lim

h

x f h x f )()( 00 −+

∆ x 0→ h →0

Inclinação = taxa média de

variação

f

x

f(x)

0 x

X0 + h

h

B

A

Inclinação = taxa instantânea de

variação

x

f(x)

a

B

A

B

B



Exemplo: Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2

no ponto P(-1, f(-1))

x0 = -1 → f( x0) = f(-1) = (-1)2

= 1. Assim P( -1,1)

m = f’(-1) = limh

f h f )1()1( −−+−= lim

h

h 22 )1()1( −−−= lim

h

hh 1122−+−

= limh

hh )2( −= -2

h →0 h →0 h →0 h →0

m = -2, isto é, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2

no ponto P é igual a (-2).

Podemos também escrever a equação dessa reta tangente utilizando a expressão: y – y0 = m( x – x0)em que x0 e y0 são as coordenadas do ponto P e m é o coeficiente angular.

No exemplo acima, a equação da reta tangente é : y -1 = -2( x +1)

y -1 = -2x -2 ou y = -2x -1

Exercícios.

Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto indicado:1) f(x) = x

2+ x + 1 ; P( 2, f(2))

2) f(x) = x3

– x ; P( -2, f(-2))

Função Derivada

A derivada de uma função f é a função f’ definida por f’(x) = limh

x f h x f )()( −+, desde que o limite exista

h→0

Regras de derivação:

1) Derivada de uma função constante:

f(x) = c

f’(x) = 0

A derivada de uma constante é nula.

2) Derivada de uma função potência:

f(x) = xn

f’(x) = n x

n-1

3) Derivada do produto de uma constante por uma função :

f(x) = c . g(x)

f’(x) = c . g’(x)

4)Derivada de uma soma

f(x) = g(x) + h(x)

f’(x) = g’(x) + h’(x)

5) Derivada de uma diferença:

f(x) = g(x) – h(x)

f’(x) = g’(x) – h’(x)



6) Derivada de um produto:

p(x) = f(x) . g(x)

p’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)

7) Derivada de um quociente:

q(x) =)(

)(

xg

x f

q’(x) =)(

)(').()(').(2 xg

xg x f x f xg −

Lista de exercícios:

1) Usando a definição de derivada , calcule as derivadas das funções seguintes, para os respectivos valores de x

indicados:

a) f(x) = 3x + 2 ; x = 2

b) f(x) = 5x2- 4x ; x= -1

c) f(x) = 4 – 2x ; x = 1

d) f(x) = 3 – 2x2; x = -1

e) f(x) = x3

; x = 2

f) y= x ; x = 4

2) Seja f(x) = x. Usando ainda a definição ,mostre que f’(x) =1 para todo x real

3) A posição s de um ponto que se move em uma reta é dada por s(t) = 4 t2

+ 3t ( s em metros e t em segundos).

Determine a velocidade de P em t = 1

4) ) Calcule o coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto P(a,f(a)):

a) f(x) = x2

; P(4,f(4))

b) f(x) = 2x3- x

2; P(1,f(1))

c) f(x) = x2

– 1 ; P(1,f(1))

d) f(x) = x3

; P(-1,f(-1))

5) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto indicado:

a) f(x) = 3x2

+ x : P(-1,f(-1))

b) f(x) = x2

– 3x ; P(1, f(1))

c) f(x) = x3

– x2

; P( -1,f(-1))



6) Utilizando as regras de derivação, calcule f’(x) de cada função dada:

a) f(x)= - x

2

+ 3

b) f(x) = x2

+ x +8

c) f(x) =3

3 x-

42

2 x x+

d) f(x) = x x

532−

e) y = -2t

-1

+ 2

4

t

f) y = ( 3-x2) ( x

3–x +1)

g) f(x) = ( x -1) ( x2

+ x +10)

h) f(x) = ( x2-1) ( x + 5 + )

1

x

i) f(x) =

5,0

42

+

−

x

x

j) y =23

52

−

+

x

x

k) y = ( 1 – t) ( 1+ t2)

-1

7) Usando as regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em P

a) f(x) =21

5

x+P(-2,1)

b) f(x) = 3x2

– 2 x P( 4,44)

8) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t3

-6t2

+ 9t +5.

a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo no instante t R: v(t) = 3t2

-12t +9 ; a(t) + 6t - 12

b) Em que instante o corpo está estacionário? t=1 e t = 3

9)Esboce o gráfico da função f(x) = x2- 4x -5.Use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é

mínima. R: (2,-9)

10)Determine dois números a e b tais que o mínimo da função f(x) = ax2

+ bx seja o ponto (3,-8) R: a = 8/9 e b = -16/3.



11)Esboce o gráfico de f(x) = 3-2x –x2

e use os métodos de cálculo para determinar o ponto em que a função é

máxima.

REGRA DA CADEIA

Função Composta;

Sejam f e g funções tais que para todo x do domínio A de g, g(x) está no domínio de f. Define-se a

composta de f e g , indicada por f0g como sendo a função de domínio A, dada por:

(f0g)(x) = f(g(x))

Se g é derivável em x, f é derivável em g(x) e f0g está definida, então

(f0g)’ = f’(g(x)). g’(x)

Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) ,então:

ondedu

dyé calculada em u = g(x)

Exemplos:

y = 9x4 + 6x2 +1 = (3x2 +1 )2 é a função composta de y = u2 e u = 3x2 + 1

Calculando as derivadas, temos :

dxdu

dudy . = 2u. 6x = 2(3x2+1) . 6x = (6x2+2 ).6x = 36x2+ 12x

Exercícios:

Encontre as derivadas das seguintes funções:

1) f(x) = (2x+1)5

2) f(x) = ( 4

2

)18 x

x x −+

dx

du

du

dy

dx

dy.=



3) f(x) = t −3

4) f(x) = (4x+3)4(x+1)-3

Derivadas de ex e lnx

f(x) = ex f(x) = ln x

f’(x) = ex f’(x) = x

1

lim (1+h) h

1

= e e≅ 2,718281

h→0

Exemplos:

1) Encontre a derivada de y = xe x

x+

2(1

)

2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = lnx no ponto de abscissa x = 1

3) Calcule a derivada de :

a) ln ( 2x+6)

b) ln ( x2+4)

c) ln ( )1+ x

x

Derivadas das funções trigonométricas:

1) A derivada da função seno é a função cosseno.

f(x) = sen x

f’(x) = cos x



2) A derivada da função cosseno é o oposto da função seno

f(x) = cos x

f’(x) = - sen x

Derivadas de outras funções trigonométricas:

(tg x)’= sec2

x

(cotg x)’ = - cossec2

x

(sec x)’ = sec x . tg x

(cossec x )’ = - cossec x . cotg x

Exemplos:

Calcule as derivadas das seguintes funções:

1) y = x2

– sen x

2) y = 4 cos x

3) y = t – t2

cos t

4) y= t3

sen t

5) y =3x sen x

6) y = x

senx

7) y = 5 ex

+ cos x



8) y =senx

x

−1

cos

Lista de exercícios:

1) Calculedx

dyno ponto x = -1 para y = u

3– 3u

2+ 1 e u = x

2+2 R: 6x

3(x

2+2)

2) Calculedx

dyno ponto x = 1 para y =

1+u

ue u = 3x

2-1 R: 2/3

3) Calcule a derivada da função f(x) = 232++ x x R:

232

32

2

++

+

x x

x

4) Calcule a derivada de f(x) =5)32(

1

+ xR: -

6)32(

10

+ x

5) Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta:

a) f(x) = (2x+1)4

R: 8( 2x+1)3

b) f(x) = (x5

– 4x -7)8

R: 8x2( x

5- 4x

3-7)

7(5x

2-12)

c) f(t) =265

12

+− t t R:

22 )265()35(2

+−

−−

t t t

d) f(x) = (x+2)3(2x-1)

5R: ( x+2)

2((2x-1)

4(16x+17)

e) f(x) =4

5

)1(

)1(

x

x

−

+R:

5

4

)1(

)9()1(

x

x x

−

−+

f) f(x) = x

x

41

13

−

+R:

2

3

)41(

65

x

x

−

−

g) f(x) = sen(x2+2) R: 2x cox(x

2+2)

h) f(x) = cos ( 5 x3) R: -15 x

2. sem( 5x

3)

6) Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto indicado pelo valor

de x:

a) f(x) = (3x2+1)

2; x = -1 R; y = -48x -32

b) f(x) = (x + )1 x

; x = 1 R: y = 32



c) f( x) =6)12(

1

− x; x = 1 R: y = -12x +13

7) Determine todos os valores de x para os quais a reta tangente à função dada é horizontal:

a) f(x) = (x2+ x)

2R: x = 0; x = -1; x = -1/2

b) f(x) = 2)23( − x

xR: x = -2/3

c) f(x) = 542+− x x R: x = 2

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