Universidade Federal de Alagoas

Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Fsica

Laboratrio de ensinoFsica LaboratrioProf Maria Cristina Hellmeister

RELATRIO

O que ? A descrio de um trabalho realizado.

Para que serve? Registrar e/ou divulgar um trabalho realizado.

interessante notar que o relato de um trabalho cientfico, de um projeto de engenharia, ou simplesmente de um experimento de laboratrio de disciplina de graduao pode ser dividido nas seguintes partes:

Ttulo;

Objetivos;

Material utilizado;

Fundamentao;

Procedimento; e

Concluso.

Ttulo: Todas as coisas tem nome para serem identificadas, existe a necessidade de identificao do seu trabalho.

Objetivo: Deve mostrar a finalidade do seu experimento.Material Disponvel: A descrio do material com as suas caractersticas principais. til no julgamento de deciso do mtodo utilizado para chegar ao objetivo de seu trabalho.

Fundamentao: Uma descrio fenomenolgica dos conceitos envolvidos no experimento com suas principais relaes. til para a compreenso dos procedimentos adotados para chegar ao objetivo de seu trabalho.

Procedimento: Nesta parte devem ser apresentados os resultados das suas medidas (tabelas, grficos, clculos, etc.) e uma descrio de como e porque foram feitas. Uma das razes desta descrio melhor avaliar a preciso dos resultados do seu trabalho.

Concluso: nesta parte que se deve apresentar uma discusso sobre seus resultados, os mtodos de medida utilizados, tendo em vista o objetivo do seu trabalho.OBJETIVOS DO LABORATRIO

Este curso foi preparado com intuito de orientar os alunos a adquirirem conhecimentos sobre fsica experimental, visando especificamente: a compreenso dos conceitos fundamentais, a medio das grandezas relacionadas com esses conceitos, interpretao e representao correta dessas medidas.

O texto dessa apostila est dividido em duas partes. Na primeira, o aluno ter conhecimento sobre algarismos significativos, medidas, erros, desvios, incertezas como tambm o tratamento adequado para representar corretamente os resultados dos experimentos, quer seja uma nica medida ou de um conjunto de medidas. A segunda parte visa familiarizar o aluno na construo de grficos, linearizao de curvas e a determinao da dependncia funcional entre as grandezas medidas a partir do conhecimento dos dados experimentais.

Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos bsicos para que ele possa expressar corretamente as medidas e resultados de suas experincias, assim como discuti-los com um mnimo de correo e rigor tanto do ponto de vista numrico como conceitual.ELEMENTOS DA TEORIA DE ERROS E MEDIDAS

I INTRODUO

Toda operao de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes instrumentos. No basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra atravs de uma rgua; preciso saber expressar corretamente essa medida e avaliar adequadamente a sua incerteza, que vem das caractersticas dos aparelhos usados na sua determinao e mesmo do prprio experimentador. Assim a experincia mostra que sendo uma medida repetida vrias vezes com as mesmas precaues pelo mesmo observador ou observadores diferentes, os resultados achados no so, em geral idnticos. Muitas vezes efetuam-se diversas medidas de uma mesma grandeza; neste caso a melhor maneira de expressar o valor desta grandeza ser atravs do valor mdio dos dados. A incerteza destas grandezas ser obtida por um tratamento estatstico elementar.

H grandezas ainda que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como reas, volume, densidade, etc. Assim so feitas vrias medidas e atravs de frmulas matemticas ou fsicas determina-se a grandeza desejada. claro que, em geral, cada termo da frmula est afetado de uma incerteza e que todas elas interferiro no valor final da grandeza. Observamos que as incertezas se propagam e o processo de clculo para determin-las denomina-se propagao de incertezas.

II ERROS E DESVIOS

Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, trs situaes so possveis:

1. O valor da grandeza j conhecido com exatido Ex. A soma dos ngulos internos de um tringulo.

2. O valor da grandeza no conhecido exatamente, mas h um valor adotado como melhor Ex. A acelerao da gravidade num determinado local.

3. O valor da grandeza no conhecido Ex. O comprimento de uma barra, o volume de uma esfera, etc.

Quando valor obtido para uma grandeza difere do seu valor real (verdadeiro) (item 1), dizemos estar afetado de um erro. Matematicamente:

(Valor em mdulo)

Quando o valor obtido difere do valor adotado como melhor (item 2), dizemos estar afetado de um desvio. Ento:

(Valor em mdulo)

Embora Conceitualmente haja diferena entre erro e desvio, matematicamente so equivalentes. A partir deles define-se desvio (ou erro) relativo e percentual, sendo que este ltimo permite avaliar melhor o resultado de uma experincia.

Exemplo: Ao determinar a acelerao da gravidade, onde g 9,80 m/s2 um experimentador obteve 10,04 m/s2. Determine:

DESVIO =

DESVIO RELATIVO =

DESVIO PERCENTUAL =

Para avaliao dos resultados, qual deles nos d uma informao mais objetiva?

III ALGARIMOS SIGNIFICATIVOS

Seja AB o comprimento de uma barra medida em uma rgua centimetrada.

Se trs experimentadores fossem anotar o comprimento AB, por exemplo:

AB = 12,8 cm (exp. 1)

AB = 12,7 cm (exp. 2)

AB = 12,6 cm (exp. 3)

Algum desses valores estaria errado? Se um quarto experimentador avaliasse 12,75 cm, em que sentido se poderia atribuir a esse resultado?

Medindo-se com rgua centimetrada tem sentido avaliar dcimos (isto , milsimos), mas discutvel ou mesmo inaceitvel avaliar centsimos ou fraes menores. Em medies, costume fazer estimativas com aproximaes at dcimos da menor diviso da escala do instrumento.

Estimar centsimos ou milsimos da menor diviso da escala est fora dos limites de percepo da maioria dos seres humanos.

Na medida do segmento AB, observamos que existe uma divergncia entre os trs observadores na avaliao da frao da menor diviso da escala do instrumento (nos algarismos ou dgitos 8, 7 e 6), na qual reside a dvida ou incerteza da medida, enquanto que, os dgitos 1 e 2 que constituem o nmero 12 so isentos de dvidas.AB = 12,8 cmAB = 12,6 cmAB = 12,7 cm

OS ALGARISMOS CORRETOS (NO DUVIDOSOS) E TAMBM O ALGARISMO DUVIDOSO (UM S), CONSTITUEM OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA MEDIDA.

EXERCCIO 1: Quantos so os algarismos significativos das seguintes medidas?a) 12,6 cm

b) 9 cm

c) 2 cm

d) 12,6 x 10-5 m

e) 1,2 x 103 m.

OS DGITOS DE UM NMERO CONTAM-SE DA ESQUERDA PARA A DIREITA, A PARTIR DO PRIMEIRO NO NULO, SO SIGNIFICATIVOS TODOS OS CORRETOS, TAMBM O PRIMEIRO ALGARISMO DUVIDOSO E MAIS NENHUM.

IV MEDIDAS E INCERTEZAS

Para estudar um fenmeno fsico preciso adotar um procedimento que se possa repetir e variar tantas quantas forem necessrias, at que se tenha reunido certa quantidade de dados experimentais. Esses dados so obtidos atravs do processo de medidas. A importncia desses processos e muitas vezes sua complexidade tornam o ato de medir uma tarefa fundamental e freqentemente nada simples.

Nenhuma medida pode ser considerada absolutamente precisa. Por exemplo, o valor atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vcuo :

c = (2,99792458 0,00000004) x 108 m/s

Isto significa que, apesar das sofisticadas tcnicas empregadas e do esforo de muitos cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4 m/s na velocidade da luz.

Na obteno de uma medida podem ocorrer dois tipos de erros: o aleatrio e o sistemtico. Este ltimo deve ser evitado de todas as formas; um instrumento mal calibrado ou com defeito, um experimentador que repete erro na operao, de interpretao ou de leitura ou de fatores externos ao laboratrio, como fenmenos climticos, so fontes de erros sistemticos que devem ser controlados pelo experimentador. O erro aleatrio decorre de flutuaes dos resultados das medidas em torno de um valor mdio, essas flutuaes acarretam uma impreciso para mais ou para menos nesse valor. Qual , ento, o valor de uma grandeza que se quer medir? Nem sempre a resposta simples e em parte a soluo deste problema est num estudo mais profundo da teoria de erros. Apesar de caber nesta disciplina a anlise mais geral deste problema, podemos convencionar critrios para obter um valor confivel da grandeza a ser medida.

Para escrever o resultado final da medio de uma grandeza, adotaremos a forma:

(valor mais provvel incerteza) x 10N unidades de grandeza

A incerteza estimada ser escrita com no mximo um algarismo significativo

Se o experimentador realizar apenas uma medida da grandeza, o valor mais provvel desta ser a prpria medida. A incerteza estimada depender da forma como foi construdo o instrumento de medidas. Se o instrumento no permitir avaliar o algarismo duvidoso, a incerteza estimada ser a menor diviso na escala do instrumento.

Exemplo. Um estudante fez um experimento onde o intervalo de tempo num cronmetro eletrnico. A figura abaixo mostra o valor no cronmetro.796ms

A medida expressa como

(796 1) ms

ou(796 1) x 10-3 s

Se for possvel avaliar o algarismo duvidoso, a incerteza estimada ser adotada como a metade da menor diviso da escala do instrumento.

Exemplo: Um estudante mede o comprimento de um pndulo simples, em relao ao centro de massa, como o indicado abaixo. A medida expressa como:(774,3 1) mmou(77,43 0,05) cm

Se o experimentador tiver um conjunto de medidas, o valor mais provvel da grandeza ser a mdia aritmtica das medidas.

e a incerteza estimada poder ser obtida, de uma maneira mais apurada, atravs da mdia aritmtica dos desvios absolutos:

onde

EXERCCIO 2: Determinar a fora eletromotriz de uma pilha eltrica e a sua incerteza (ver tabela abaixo).Ordem de medidaEM (V)EM -

11,55

21,56

31,57

41,54

51,55

61,56

71,53

81,54

91,55

101,54

111,55

121,57

131,56

141,55

151,54

V PROPAGAO DE INCERTEZAS

Nem sempre possvel determinar certas medies diretamente; para determinar a densidade de um objeto, por exemplo, preciso medir a sua massa e o seu volume, que por sua vez determinado pela medida de suas dimenses. Todas estas medidas estaro afetadas de incertezas que na, determinao da densidade, se propagaro e daro origem a uma incerteza na densidade.

Inicialmente vamos uniformizar a nossa linguagem; ao invs de erros, desvios e incertezas, utilizaremos apenas incertezas, que nos parece mais abrangente. Quanto representao matemtica, para grandezas tais como X, Y, T, V, etc. representaremos suas incertezas por X, Y, T, V, etc. e conseqentemente suas incertezas relativas por: X/X, Y/Y, T/T, V/V, etc.

A) Incerteza devido soma ou subtrao

Suponha que vamos determinar a grandeza,

S = A + B + C +

para qual a foram feitas a seguintes medidas:

A A; B B; C C; etc.

Como determinar S? Para simplificar, adotaremos o critrio mais desfavorvel, isto , vamos supor que todas as incertezas tenham o mesmo sinal, ento obteremos:

S = A + B + C +

Exemplo: Na determinao do permetro de u quadriltero mediram-se seus lados a, b, c e d com instrumentos diferentes:

a = (2,03 0,02) cm

b = (4,1 0,2) cm

c = (0,842 0,001) cm

d = (1,26 0,03) cm

o permetro ser:

p = a + b + c + d

ento,

p = 2,03 + 4,1 + 0,842 + 1,26 = 8,232 cm

a incerteza ser:

p = a + b + b + d

portanto,

p = 0,02 + 0,2 + 0,001 + 0,03 = 0,251 cm

O resultado de permetro ser expresso como:

p = (8,232 0,251) cm ou p = (8,2 0,3) cm

Observe que em nossos clculos, propositalmente, colocamos grandezas com nmeros de algarismos significativos diferentes. Como a incerteza ser representada por um e somente um algarismo significativo, que atua no duvidoso, ela quem comandar o nmero de algarismos significativos no resultado final.B) Incerteza devido a outras operaes

Para Calcular a incerteza numa expresso envolvendo multiplicaes, divises, potenciao e/ou radiciao como emY =

Usaremos a seguinte expresso,

=

Para verificar o resultado acima, lembre que o diferencial de uma funo Y = Y(a, b, c) dado pro:

dY =

que aps dividirmos ambos os lados por Y e tomarmos os mdulos, da origem a expresso para a incerteza estimada.

Exemplo: Na determinao do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas:r = (2,02 0,03) cm, h = (8,432 0,005) cm.

Sabemos que V = , ento:

V = 3,14 (2,02)2 (8,432) = 108,0346 cm3De acordo com a primeira expresso, j que = 0 por ser constante, temos:

= = 0,0303

V = V x 0,0303 = 108,0346 x 0.0303 = 3,2734 cm3Teremos ento,

V = (108 3) cm3EXERCCIO 3: Num tubo capilar de raio r, um lquido de densidade e tenso superficial , devido a capilaridade, ergue-se de uma altura h, tal que, = , onde g a acelerao da gravidade. Dados obtidos:

r = (0,030 0,001) cm

h = (5,000 0,005) cm

g = 9,81 (adotado como exato)

= 1000 kg/m3 (adotado como exato)

Determine a tenso superficial.

VI GRFICOS

Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a maneira de como uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relao outra propriedade ou quantidade. Por exemplo:De que modo a variao do comprimento de um pndulo simples afeta o seu perodo ou como se comporta a fora de atrito entre duas superfcies relativamente fora normal exercida por uma superfcie sobre a outra?

Tais variveis podem convenientemente tratadas pelo mtodo grfico no sentido de ilustrar e sintetizar suas relaes.

As leis fsicas expressam relaes entre quantidades de grandezas fsicas. Estas relaes podem ser expressas de trs modos:

a) Em palavras, formando as sentenas conceituais;

b) Em smbolos matemticos em forma de equaes;

c) Em representaes pictricas conhecidas como grficos.

A escolha do meio (ou meios) para expressar as relaes entre grandezas depende do uso que se pretende fazer destas relaes. Particularmente, analisaremos a terceira representao.Para representar graficamente a relao entre duas variveis deve-se observar os seguintes pontos:

a) No eixo horizontal (abscissa) lanada a varivel independente; no eixo vertical (ordenada) lanada a varivel dependente. Evite tomar margens do papel como eixos.

b) Em geral a curva deve cobrir pelo menos trs quartos do papel. Em muitos casos no necessrio ou possvel que a interseo dos eixos represente simultaneamente o valor zero.

c) Escolha as escalas de forma que as divises principais possam ser facilmente subdivididas. A escala do eixo vertical no necessita ser a mesma do eixo horizontal.

d) Se os valores forem excessivamente grandes ou pequenos utilizar um artifcio que permita usar um ou dois dgitos para indicar os valores das divises principais. Pode-se usar um fator multiplicativo como 10-2, 10-3, etc., direita da escala.e) Escreva em cada eixo o ttulo, ou seja, o nome da grandeza e sua unidade, separados por vrgula ou parnteses.

f) Localizar o ponto e no escreva no eixo o valor relativo ao ponto localizado, se estiver fora da diviso adotada na escala.

g) A representao grfica de uma grandeza feita por uma barra de incerteza que um pequeno segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro deve estar contido. Se houver incerteza nos dois eixos a grandeza ser representada por uma cruz cujos braos sero as barras de incertezas, como mostra a figura.h) O traado da curva deve ser suave e contnuo, adaptando-se da melhor forma aos dados experimentais a menos que no se trate de uma funo contnua. Unir pontos experimentais com traos retos implica em que a relao entre duas grandezas tenha forma quebrada o que, exceto circunstncias especiais, pouco provvel ocorrer.i) Se for preciso desenhar vrias curvas na mesma folha, faa a distino das curvas por smbolos diferentes (crculos, quadrados, tringulos, etc.), ou utilize cores diferentes ou ainda linhas deferentes (pontilhadas, interrompidas, etc.).

VII AVALIAO DE INCERTEZAS EM GRFICOS

A representao grfica, como vimos, tem a sua importncia, no sentido de ilustrar e sintetizar as relaes entre as variveis de grandezas representativas de um fenmeno. Estas variveis a serem plotadas em papel grfico, podem originar-se de:

a) Medies diretas atravs de instrumentos de medio.

b) Derivadas de medies diretas, mediante operaes matemticas.

De qualquer forma, as variveis vm afetadas de incertezas (preciso experimental, desvios provenientes de propagao, etc.). Essas incertezas podem ser representadas, graficamente, por uma barra de incerteza, que um segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro est contido.Os dados emersos de um grfico viro, portanto, afetados de incertezas. Como avali-los? Concentraremos no caso especfico de um grfico linear cujo coeficiente angular tem significado fsico, e muitas vezes representa a quantidade procurada em ensaios experimentais. Para uma melhor avaliao, o experimentador deve tomar alguns cuidados iniciais, ou seja:

Ter certeza que a curva traada representa mais de do papel grfico, para uma melhor visualizao do comprimento das barras de incerteza.

Desprezar pontos que fogem consideravelmente da tendncia geral, derivados de erros grosseiros.

A) Coeficiente angular: avaliao de sua incerteza

a) Traar duas retas paralelas que contenham a maioria das barras de incertezas, formando uma figura retangular.b) Traar duas retas que correspondero s diagonais da figura retangular, nos pontos ABCD.

c) Determinar seus coeficientes angulares.

A mdia aritmtica entre esses dois coeficientes angulares dar a reta mdia e a metade do intervalo entre esses coeficientes dar a incerteza angular.Exemplificando: Vamos supor que o grfico construdo foi para determinar o coeficiente angular K de uma reta.

Da figura, temos que:

Reta BC = KmaxReta AD = KminO coeficiente angular da reta mdia ser:

e a sua incerteza

logo:

unid. arbt.

Pela dificuldade que se tem para traar a reta mdia achamos sempre prefervel a determinao do coeficiente angular pela mdia dos coeficientes mximo e mnimo, como no exemplo acima.

interessante observar, que muitas vezes as barras de incerteza so to pequenas que, no grfico reduzem-se no prprio ponto, mesmo, assim este processo para determinao do coeficiente angular pode ser aplicado.

EXERCCIO 4: Determine a constante elstica de uma mola ideal, bem como a sua incerteza. Preciso do instrumento de medida (dinammetro) igual a 0,5 N.

F (N)4,17,912,215,820,123,730,932,4

X (cm)510152025303540

VIII DETERMINAO DA DEPENDNCIA FUNCIONAL A PARTIR DOS DADOS EXPERIMENTAIS

Feita a representao grfica de duas grandezas, a anlise do grfico pode conduzir a uma relao matemtica, embora isso nem sempre seja possvel. Se o grfico mostrar que tal relao existe, deve-se continuar a anlise procura do tipo de relao, ou seja, da forma que define a curva encontrada.

Uma norma do mtodo analtico que apenas duas grandezas podem ser relacionadas de uma s vez. Tanto o experimento como os dados devem ser ordenadas de modo a manter todas as variveis constantes, exceto duas, estudando-se ento a maneira como uma destas variveis afeta a outra.

A equao que descreve uma curva desconhecida, nem sempre pode ser definida com exatido. Relaes do tipo 1/x e 1/ facilmente podem ser confundidas num grfico. Esta dificuldade desaparece quando se obtm uma linha reta. A linha reta , portanto, a chave da anlise grfica. Ela pode ser identificada com segurana. O problema ento como lanar dados experimentais no grfico para obter uma linha reta. Embora no exista um mtodo geral, normalmente preciso fazer algumas tentativas antes de obter-se um a soluo. Falaremos aqui apenas do mtodo grfico, o mais facilmente aproveitvel no laboratrio no caso de duas grandezas Y e X, relacionadas por uma dependncia funcional simples.A) Relaes lineares

Y = aX + b (equao de uma reta)

A equao acima mostra a dependncia linear entre duas grandezas Y e X. Para X = 0 o valor de Y intercepta o eixo y, definido a constante b. o quociente define a constante a (inclinao da reta) e suas unidades so dadas pelo quociente das unidades de Y e X. Seja (X1, Y1), (X2, Y2) dois pontos quaisquer da reta, de modo que;Y2 = aX2 + b

e

Y1 = aX1 + b

A inclinao da reta obtida subtraindo essas duas equaes.

a = =

Quando a reta traada sobre uma sucesso de pontos, deve-se escolher o traado de modo a deixar alguns pontos acima e outros abaixo. Convm, entretanto, tomar o cuidado de no converter a reta em alguma curva suave.

O exemplo a seguir mostra como, a partir de grficos construdos com dados experimentais, se pode obter um a relao matemtica entre as variveis envolvidas no experimento. A figura abaixo representa o grfico plotado da velocidade em funo do tempo. A reta mostra a relao linear entre velocidade e tempo.

A equao correspondente , ento, da forma:

Y = aX + B ou V = b + at

Onde as constantes a e b so:

a = coeficiente angular da reta (inclinao da reta)

b = coeficiente linear da reta (ordenada p/ abscissa zero, X = 0)

A inclinao da reta (a) obtida dos pontos A e B do grfico.

que a acelerao da gravidade g, e a constante b o valor da velocidade para t = 0, ou seja, a velocidade inicial V0.b = V0 = 15 m/s

Logo, a equao a reta no grfico :

V = b + at = V0 + gt = 15 + 9,8t (m/s)

A partir da equao obtida, frequentemente, outras informaes podem ser derivadas, atravs de processos matemticos. Por exemplo:

,

Integrando, tem-se:

B) Relaes no lineares

Como vimos, sempre que os pontos experimentais caem sobre uma linha reta, alei de variao que relaciona as quantidades fsicas so facilmente deduzidas. Entretanto, quando os pontos experimentais no se ajustam a uma linha reta como frequentemente acontece, o problema torna-se um pouco mais difcil.

O mtodo mais simples para encontrarmos as leis de variao entre duas quantidades relacionadas entre si que obedecem as equaes no lineares o que consiste em transformar tais equaes em lineares e fazermos o mesmo tratamento usado anteriormente para equaes da reta.

Vamos supor que duas grandezas fsicas obedeam s seguintes leis de variao no linear:

a) Y2 = a + bX3Se fizermos Y2 igual a uma nova varivel (v) e X3 igual a (u) a equao tornar-se-:v = a + bu

que uma equao linear, portanto, o grfico de v x u ser linear e todo tratamento relatado anteriormente pode ser empregado aqui.b) Y = AXBAplicando a funo logartmica na base a a ambos os lados da relao teremos:

loga Y = loga (AXB) = loga A + loga (XB) = loga A + Bloga XFazendo loga Y = Y; loga A = A; e loga X = X; teremos:

Y = A + BX,

que uma equao linear.

c) Y = AeBXAplicando a funo logartmica na base a a ambos os lados dessa equao teremos:

loga Y = loga (AeBX) = loga A + Bloga (eX) = loga A + (Bloga e)X

Fazendo loga Y = Y; loga A = A; X = X e sabendo que loga e uma constante, teremos ento:Y = A + Bloga (e) X

que uma equao linear.IX ESCALA REGULAR E ESCALA LOGARTMICA

Neste item desenvolveremos algumas noes bsicas sobre escalas, principalmente a logartmica, usa no papel log-log e no papel mono-log.A) Escala regular

O exemplo mais comum de um papel para grficos com escala regular o milimetrado. Neste tipo de papel os traos so igualmente espaados tanto no eixo das ordenadas como no eixo das abscissas podendo este espaamento ser em mm, cm, m, etc.

Durante a representao de grandezas fsicas neste tipo de papel, faz-se corresponder o valor da grandeza a ser representada com uma das distncias entre os traos. Deste modo, cada intervalo corresponde a uma distncia fixa em cada eixo.

B) Escala logartmica

Vamos comear a incurso no assunto atravs do papel log-log (ou di-log).

B.1 algumas caractersticasa) A origem no no ponto (0,0), mas sim no ponto (1,1) podendo deslocar o eixo de um ciclo a mais ou a menos de acordo com os dados experimentais. (Lembrem que na origem log x = 0, log y = 0 x = 1, y = 1.)b) Em ambos os eixos a escala sempre a mesma, ou seja, ela fixada no prprio papel.

c) Se o primeiro ciclo vai de 1 (100) at 10 (101), o segundo ciclo vai de 10 (101) at 100 (102) e assim por diante, pois em cada ciclo os nmeros variam de um fator de dez.

d) A distncia entre os pontos de 1 a 2 no primeiro ciclo, a mesma de 10 a 20 no segundo, de 100 200 no terceiro e assim por diante.e) No necessrio calcular o logaritmo dos nmeros, pois o papel j se apresenta na escala logartmica.

B.1 grfico retilneo no papel log-log

O papel log-log aquele que apresenta escala logartmica nas duas dimenses, isto , tanto no eixo das ordenadas quanto no eixo das abscissas.

A representao da relao entre duas grandezas, neste tipo de papel, pode resultar uma curva qualquer. No caso particular da curva mais simples, isto , segmento de reta, pode-se facilmente determinar a correspondente equao matemtica. A equao da reta serY = aX + b

onde Y = log (y); X = log (x) e B = log (b). Y e X so grandezas plotadas nos eixos das ordenadas e no das abscissas, respectivamente, a e b so constantes. A equao que representa uma reta no papel di-log :

log y = alog x + log b

que pode ser modificada aplicando a transformao logartmica inversa para y = bxa que a funo y = f(x) procurada.

DETERMINAO DAS CONSTANTES a E b

Se a funo y = bxa, a constante b ser igual a y para x = 1.

y = b(1)a = b

ou ento da equao, log (y)= alog (x) + log (b)

x = 1 log (y) = alog (1) + log (b) = log (b)

log (y) = log (b) y = b

Como se pode observar no grfico do papel di-log procura-se o valor de y para x = 1 e desta forma encontra-se, neste caso, y = b = 80.

Para determinar a constante a, basta tomar dois pontos quaisquer da reta. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) dois pontos pertencentes a reta dada pela equao:

log y = alog x + log b

ento,

log y2 = alog x2 + log b

log y1 = alog x1 + log b

Como as escalas das ordenadas e das abscissas so iguais, podemos medir com uma rgua as variaes log y = y e log x = x e obter o valor da constante a.

Do grfico do papel di-log temos que, y = 5,9 cm e x = 9,8 cm, portanto, a = 0,6 e a equao para y ser:

y = 80x0,60que a funo procurada.

A determinao de coeficiente angular torna-se bastante simples quando em ambos os eixos a escala a mesma, como no caso do papel di-log, e o procedimento o adotado na determinao da constante acima.C) PAPEL MONO-LOG

Em geral o papel mono-log apresenta o eixo das ordenadas em escala logartmica e o eixo das abscissas em escala regular. Neste caso pode-se atribuir origem igual a ZERO quando da graduao do eixo das abscissas, enquanto que para o eixo das ordenadas prevalecem as normas da escala logartmica.

Neste papel, quando os pontos plotados estiverem alinhados (linha reta) a funo pode ser uma exponencial da forma:

y = aebxonde a e b so constantes positivas ou negativas e e = 2,718 (base do logaritmo neperiano). A razo de uma funo exponencial transparecer como uma reta (funo linear) no papel mono-log pelo seguinte:log y = log a + bx log eou

log y = blog e + log a

onde a constante blog e o coeficiente angular e a constante log a o coeficiente linear da reta.

Podemos observar que a varivel dependente (eixo das ordenadas) varia logaritmicamente enquanto a varivel independente (eixo das abscissas) varia linearmente. Para se determinar a funo exponencial, devemos determinar os valores das constantes a e b.

DETERMINAO DAS CONSTANTES a E b

Como a funo exponencial y = aebx observa-se que para x = 0 tem-se que y = aeb0 = y = ae0 = = a. Portanto, determina-se a procurando-se o valor de y = a para x = 0, ento do grfico do papel mono-log, a = 23,2.

Para se determinar a constante b toma-se dois pontos quaisquer, que pertenam a reta do papel mono-log, (t1,I1) e (t2,I2) onde,log I2 = (blog e) t2 + log a

log I1 = (blog e) t1 + log a

subtraindo as equaes tem-se

do grfico no papel mono-log, b = -1,4 x 10-3 s-1.

Substituindo a e b na equao y = aebx tem-se

I =

que a funo procurada.

Algarismos duvidosos

(sempre o ltimo direita)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

B

A

78

77

X CM

y

x

Inclinao mxima

Inclinao mnima

D

B

C

A

x = x x0

X

Y

y = y y0

b

x0

x

y0

y

y = ax + b

EMBED Equation.3

Grfico funo linear

x = 4,6 - 5

v = 60 - 20

v = 15 + 9,8t

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