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Introdução
Ao efetuarmos uma serie de medidas do diâmetro de um objeto utilizando um Paquímetro ou um Micrometro, podemos calcular a incerteza padrão da medida deste mesmo objeto, usando o conceito de desvio padrão e incerteza sistemática residual. No entanto, como calcular a incerteza da medida de uma grandeza, cujo resultado necessita da incerteza da medida de outras grandezas. A experiência descrita no presente relatório teve como objetivo determinar a densidade de três cilindros distintos, seguida de sua incerteza. Veremos que essas grandezas derivadas não podem ser medidas diretamente através dedos instrumentos disponíveis, assim, teremos grandes dificuldades em como propagar as incertezas individuais.
Material e Método
Para a realização deste experimento, foram utilizados:
Um Paquímetro (530-104 BR 6x150mm Mitutoyo / Resolução 0,05mm);
Dois cilindros de metal (tamanhos distintos);
Um cilindro de madeira;
Uma balança.
1) Prioritariamente denominamos os três cilindros, como sendo: cilindro de metal 1, cilindro de metal 2 e cilindro de madeira.O processo de medição ocorreu da seguinte maneira: fizemos a medida da Altura e do Diâmetro de cada cilindro utilizando o Paquímetro, e a massa utilizando a Balança. Para a Altura, cada cilindro foi medido quatro vezes. Para o Diâmetro foram efetuadas três medidas. Estas medidas fazem referencia ao valor do Diâmetro nas extremidades e no centro de cada cilindro. Para medirmos a massa usamos a Balança quatro vezes.Anotamos os dados obtidos na tabela1, 2 e 3, que corresponde à Altura , Diâmetro e Massa de cada cilindro.
Os valores obtidos a seguir correspondem aos cálculos efetuados com as medidas encontradas no cilindro de madeira.
2) Dos valores apresentados nas tabelas acima, foi possível encontrar o valor médio da Altura, do raio e da Massa, através da aplicação da seguinte formula:
onde é o valor médio ( , ou ), é o número total de medidas realizadas
e é o valor da -ésima medida ( , uo ).
Para a altura temos:
104,7625 mm
Para o Raio, dividimos os valores dos Diâmetros por dois.
4,9333 mm
Para a Massa temos:
7,15 g
Tabelas de dados
Amostra Altura (h) (± 0,05 mm)
h1 h2 h3 h4
Cilindro de madeira 104,80 104,80 104,70 104,75
Cilindro de metal 1 100,90 101,10 101,20 101,00
Cilindro de metal 2 49,45 49,45 49,50 49,40
Tabela 1: Medidas da altura de cilindros.
Amostra Diâmetro (D) (± 0,05 mm)
D1 D2 D3
Cilindro de madeira 10,10 9,80 9,70
Cilindro de metal 1 9,55 9,50 9,55
Cilindro de metal 2 9,60 9,20 9,55
Tabela 2: Medidas do diâmetro de cilindros.
Amostra Massa (m) (± 0,1 mm)
m1 m2 m3 m4
Cilindro de madeira 7,2 7,2 7,1 7,1
Cilindro de metal 1 59,1 59,0 59,1 58,9
Cilindro de metal 2 29,1 29,0 28,8 29,0
Tabela 3: Medidas da massa de cilindros.
3) Com o conhecimento do valor médio foi possível encontrar os valores da variância e posteriormente do desvio padrão e do desvio padrão do valor médio.Para encontrar a variância aplicamos a formula abaixo:
Para a Altura temos:
0,00171875
Para o Raio temos:
0,041582593
Para a Massa temos:
0,0025
Como o valor do desvio padrão equivale a raiz quadrada da variância temos:
Para a Altura temos:
0,041457809
para o Raio temos:
0,203918104
para a Massa temos:
0,05
com o valor do desvio padrão disponível encontramos o desvio padrão do valor médio aplicando a seguinte formula:
Logo o desvio padrão do valor médio foi estimado:
Para Altura temos:
0,020728904
Para o raio temos:
0,117732172
Para a Massa temos:
0,025
Para encontrar o valor da incerteza padrão foi preciso calcular também o valor da incerteza sistemática residual, que consiste na metade da ultima divisão do micrômetro (o que justifica a formula seguinte):
onde é o limite de resolução do instrumento e consiste na própria
incerteza sistemática residual.
Para Altura temos:
0,025 mm
Para o Raio temos:
0,025 mm
Para a Massa temos:
0,05 g
Na posse de todos esses dados foi possível encontrar o valor da incerteza padrão aplicando a formula abaixo:
Sendo o valor da incerteza padrão ao quadrado.
Para a Altura temos:
0,032475952
Para o Raio temos:
0,120357236
Para a Massa:
0,055901699
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para a Altura, Raio e Massa, com suas respectivas incertezas:
(104,763 ± 0,032) mm
(4,93 ± 0,12) mm
(7,150 ± 0,056) g
Os valores a seguir foram encontrados com base nos dados obtidos anteriormente.
4) Para calcular a densidade foi necessário obter o valor do volume através da fórmula:
onde R e h são respectivamente a Raio e a Altura média, calculados
anteriormente, é igual a 3,14. Logo:
7,99523831 103 mm3
Conhecendo o volume, calculamos a Densidade através da seguinte formula:
onde é a massa e é a densidade. Logo:
8,942822869 10-4
Com o valor do volume foi possível calcular a incerteza do Volume e posteriormente, a incerteza da Densidade. O calculo da incerteza foi encontrado com o auxilio de derivadas parciais, através da seguinte formula:
onde é a incerteza da Densidade, é a incerteza da Massa e é a
incerteza do Volume.
Para a incerteza do Volume foi preciso determinar a incerteza do Raio e da Altura, e aplicar a seguinte formula:
Resolvendo a formula temos (VII) :
389,2281878
De posse da incerteza do Volume, encontramos a incerteza da Densidade resolvendo a formula (IX):
1,382019356 10-4
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para Densidade do cilindro de madeira, com sua respectiva incerteza:
(0,00089 ± 0,00014)
Observação: note que substituindo em foi possível obter outra
expressão para calcular :
Mostramos que resolvendo as derivadas parciais teríamos a equação a seguir:
A dedução desta formula foi feita após termos determinado a incerteza da Densidade do ultimo cilindro.
Os valores obtidos a seguir correspondem aos cálculos efetuados com as medidas encontradas no cilindro de metal 1.
Os cálculos foram elaborados aplicando as mesmas formulas que foram utilizadas para o cilindro de madeira.
Para encontrarmos o valor médio da Altura, do raio e da Massa, aplicamos a
formula , e obtemos os seguintes valores:
101,05 mm
4,766667 mm
59,025 g
A variância e o desvio padrão foram encontrados utilizando-se da formula
e , respectivamente:
Para a Altura temos:
0,0125
0,111803
Para o Raio temos:
0,00682293
0,082601
Para a Massa temos:
0,00236093
0,048589322
com o valor do desvio padrão disponível encontramos o desvio padrão
do valor médio aplicando a seguinte formula :
logo o desvio padrão do valor médio foi estimado:
Para Altura temos:
0,0559015
Para o raio temos:
0,476897095
Para a Massa temos:
0,024294661
O calculo incerteza sistemática residual, foi a mesma para para os três cilindro, logo:
Para Altura temos:
0,025 mm
Para o Raio temos:
0,025 mm
Para a Massa temos:
0,05 g
Na posse de todos esses dados foi possível encontrar o valor da
incerteza padrão aplicando a formula :
Para a Altura temos:
0,061237061
Para o Raio temos:
0,477551923
Para a Massa:
0,055589842
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para a Altura, Raio e Massa, com suas respectivas incertezas:
(101,050 ± 0,061) mm
(4,77 ± 0,48) mm
(59,025 ± 0,056) g
Os valores a seguir foram encontrados com base nos dados obtidos anteriormente.
Para calcular a densidade foi necessário obter o valor do volume através da fórmula:
onde R e h são respectivamente a Raio e a Altura média, calculados
anteriormente, é igual a 3,14. Logo:
7,219426911 103 mm3
Conhecendo o volume, calculamos a Densidade através da seguinte formula:
Note que usamos as mesmas formulas, medimos com os mesmos instrumentos, porém os dados usados são diferentes.
logo a Densidade é:
0,00817586
Com o valor do volume foi possível calcular a incerteza do Volume e posteriormente, a incerteza da Densidade. O calculo da incerteza foi encontrado com o auxilio de derivadas parciais, através da seguinte formula
e :
Resolvendo a formula temos (VII) :
1445,789038
De posse da incerteza do Volume, encontramos a incerteza da Densidade resolvendo a formula (IX):
1,637345301 10-3
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para Densidade do cilindro de madeira, com sua respectiva incerteza:
(0,0082 ± 0,0016)
Os valores obtidos a seguir correspondem aos cálculos efetuados com as medidas encontradas no cilindro de metal 2.
Os cálculos foram elaborados aplicando as mesmas formulas que foram utilizadas para o cilindro de madeira e no cilindro de metal 1.
Para encontrarmos o valor médio da Altura, do raio e da Massa, aplicamos a
formula , e obtemos os seguintes valores:
49,45 mm
4,725 mm
28,98 g
A variância e o desvio padrão foram encontrados utilizando-se da formula
e , respectivamente:
Para a Altura temos:
0,00125
0,035355
Para o Raio temos:
0,007917
0,088976
Para a Massa temos:
0,015573
0,124791
Com o valor do desvio padrão disponível encontramos o desvio padrão
do valor médio aplicando a seguinte formula :
logo o desvio padrão do valor médio foi estimado:
Para Altura temos:
0,0176775
Para o raio temos:
0,102740057
Para a Massa temos:
0,0623955
O calculo incerteza sistemática residual, foi a mesma para os três cilindro, logo:
Para Altura temos:
0,025 mm
Para o Raio temos:
0,025 mm
Para a Massa temos:
0,05 g
Na posse de todos esses dados foi possível encontrar o valor da
incerteza padrão aplicando a formula :
Para a Altura temos:
0,030618523
Para o Raio temos:
0,105737974
Para a Massa:
0,079957478
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para a Altura, Raio e Massa, com suas respectivas incertezas:
(49,450 ± 0,031) mm
(4,725 ± 0,089) mm
(28,98 ± 0,18) g
Os valores a seguir foram encontrados com base nos dados obtidos anteriormente.
Para calcular a densidade foi necessário obter o valor do volume através da fórmula:
onde R e h são respectivamente a Raio e a Altura média, calculados
anteriormente, é igual a 3,14. Logo:
3,4665668 103 mm3
Conhecendo o volume, calculamos a Densidade através da seguinte formula:
Note que usamos as mesmas formulas, medimos com os mesmos instrumentos, porém os dados usados são diferentes.
logo a Densidade é:
0,00835986
Com o valor do volume foi possível calcular a incerteza do Volume e posteriormente, a incerteza da Densidade. O calculo da incerteza foi encontrado com o auxilio de derivadas parciais, através da seguinte formula
e
Resolvendo a formula temos (VII):
132,5034074
De posse da incerteza do Volume, encontramos a incerteza da Densidade resolvendo a formula (IX):
1,637345301 10-3
Usando as regras de arredondamento de algarismos significativos, foi possível estimar um valor razoável para Densidade do cilindro de madeira, com sua respectiva incerteza:
(0,00840 ±0,00034)
A seguir mostraremos como foi deduzida a equação ,
resolvendo a as derivadas parciais.
Temos que:
onde , e , é a incerteza na determinação da
Massa, é a incerteza na determinação do Raio e é a incerteza na
determinação da altura.
derivando a equação acima, temos que:
Multiplicando cada membro por , temos:
Fazendo , temos:
Simplificando a equação ,temos:
logo:
Conclusão
Analisando os resultados obtidos podemos afirmar que a quantidade de medidas efetuadas implicou erros grandíssimos no valor e na incerteza da Densidade. No entanto, podemos observar que o valor da Densidade do cilindro de metal 1 e aproximadamente igual a do cilindro de metal 1, fato que justifica pertencerem ao mesmo material. Observe também que as incertezas das Densidades dos cilindros possuem valores altos em relação à própria Densidade, isso poderia ser explicado pelo fato de termos feitos poucas medidas para adquirir o valore médio do raio e da altura. Assim, podemos comprovar que o grau de confiabilidade das medidas depende da amostra, do instrumento de medição utilizado, e também do operador.
