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1
Tratamento estatístico de dados experimentais conceitos básicos
1 Incerteza associada a uma medição
2 Propagação de erros
3 Representação gráfica
4 Pequeno guia para criar gráficos
5 Regressão linear
2
Incerteza é o parâmetro associado ao resultado de uma medição de uma grandeza física que caracteriza a dispersão de valores que podem ser atribuídos a essa grandeza
Erro é a diferença entre o valor medido e o “valor verdadeiro” da grandeza em análise
1 Incerteza associada a uma medição
Todas as medidas estão afetadas de uma incerteza porque qualquer instrumento, por melhor que seja, tem uma escala e a expressão da medida real nessa escala implica sempre uma aproximação a medida exata
3
Uma régua comum, graduada em milímetros
1.1 Um exemplo com uma régua milimétrica
a extremidade do objeto está entre os valores 5 mm e 6 mm
l é o comprimento do objeto
5 < l < 6 (mm)
l = 6.0 0.5 (mm)
Significa que podemos estar a cometer um erro máximo de 0.5 mm na nossa leitura
A este valor de 0.5 mm chamamos INCERTEZA INSTRUMENTAL
(0.5 mm é a metade da menor divisão da escala)
4
Agora vamos imaginar que a régua é bem grande e portanto temos uma escala mais ampliada e que por isso podemos perceber com mais clareza
Os valores medidos estão desviados de um quarto da menor divisão relativamente aos valores da escala.
• A marca mais próxima é 6
• Que o comprimento real não ultrapassa 6
As informações anteriores levam-nos a concluir que 5.5 < l < 6.0 (mm)
Portanto, a leitura deverá agora ser expressa como
l = 5.75 0.25 (mm)
Note-se que neste caso o valor medido não coincide com os valores da escala (1,2,3,4,5,6,. . . )
5
1.2 A generalização do exemplo para a regra a seguir nas aulas
Regra 1: A incerteza associada a uma escala analógica corresponde a metade da sua menor divisão
Regra 1 (extendida): A incerteza associada a uma escala analógica pode ir até um quarto da sua menor divisão
O exemplo que foi referido na secção anterior poderia ser generalizado a qualquer escalaanalógica (uma escala contínua)
6
1.3 Escalas digitais
E quanto as escalas digitais, como nos cronómetros ou balanças digitais?
A diferença, é que não temos acesso ao meio da escala escala descontínua
Pensemos, por exemplo, num cronómetro digital de segundos
Imaginemos que fazemos uma cronometragem que deu 5 s
5 < t < 6 s
Portanto poderíamos escrever como anteriormente: t = 5.50.5 s
mas há um problema adicional nas escalas digitais!
7
A calibração do ponto zero também e afetada pela incerteza da escala digital!
incerteza total = incerteza associada a medida + a incerteza associada a calibração do zero
(metade da menor divisão da escala) + (também metade da menor divisão da escala)
Voltando ao exemplo anterior, a leitura do tempo deverá ser então dada por
t = 5 1 s
Regra 2: A incerteza associada a uma escala digital corresponde a sua menor divisão
Regra 2 (extendida): A incerteza associada a uma escala digital pode considerar-se como sendo metade da sua menor divisão se pudermos desprezar as incertezas associadas a calibração do zero
8
1.4 O número de casas decimais de uma medida
Regra 3: O número de casas decimais (nCD) de uma medida deve ser igual ao número de casas decimais da incerteza instrumental
l = 3.0060 0.0005 mExemplos:
9
1.5 Algarismos significativos
O número de algarismos significativos (nAS) associado a uma dada medida é igual ao número de algarismos que têm realmente significado
esta definição quer dizer implicitamente que nem todos os algarismos têm significado
Casos em que um algarismo não conta (não é significativo)
Zeros a esquerda não contam:
o primeiro zero é redundante e não serve para nada - não é significativo
09 = 9
Zeros a direita não contam se apenas indicarem ordem de grandeza
Quando se diz que há 10 milhões de portugueses
este valor é apenas uma ordem de grandeza
Não quer dizer que 10000000 é o valor exato de portugueses
10
Mas suponhamos que o ultimo censo dava exatamente 10000000 - nem um a mais, nem um a menos. Como indicar que agora todos os zeros são significativos, porque derivados de uma contagem real?
(a) Zeros não significativos: 10000000 (sem ponto)
(b) Zeros significativos: 10000000. (com ponto)
Uma outra forma de justificar o ponto anterior (a) e notar que o número de portugueses se pode escrever aproximadamente
O único AS é o 1
7101
Todos os outros zeros estão condensados na potência, a que não associamos nenhum AS
A resposta é: COLOCANDO UM PONTO DECIMAL NO FIM
potência de 10
11
Regra 4: Zeros a esquerda e zeros representativos de ordem de grandeza não são significativos. O primeiro AS conta por 2 se for 5.
12
1.6 Há relação entre o nCD e o nAS?
Se forem números em abstrato o nCD e o nAS são independentes entre si, mas para as medições, podemos dizer que há realmente uma relação entre eles
Exemplo: Um objeto com 3.25682(. . . ) m e medido em duas réguas: uma com escala milimétrica e outra com escala centimétrica.
A leitura na escala milimétrica será l = 3257.0 0.5 mm. nCD=1 nAS=5
Escrevendo a leitura em cm, l = 325.70 0.05 cm.
A leitura na escala centimétrica será l = 326.0 0.5 cm. nCD=1 nAS=4
Para o mesmo objeto e medida, mudar de escala implica mudar de nAS
A escala determina o nCD
nCD=2 nAS=5
o nCD determina o nAS
13
Exemplos:
14
1.7 Series de medidas
Para certas grandezas, normalmente fazemos uma série de medidas
Exemplo: Medição do tempo que uma esfera leva a deslizar sobre um plano inclinado
Resultados
Os tempos não são todos iguais porque há muitos fatores não controláveis a influenciar o resultado da medida: a sincronia da largada do corpo com o início da contagem, o tempo de reação do operador e a própria forma como o corpo e largado.
Tudo o que discutimos ate agora se referiu apenas a uma medida
15
Como representaremos este conjunto de dados?
Vamos supor que fizemos mil medições do tempo, para a mesma experiência.
Fazemos um histograma destas contagens considerando:
a classe 4.5 contém todas as repetições em que se observou t < 4.5 s
a classe 6.5 contem todos as repetições em que se observou 6.4 t s
a classe 4.6 contém todos as repetições em que se observou 4.5 t < 4.6 s
a classe 4.7 contem todos as repetições em que se observou 4.6 t < 4:7 s
. . .
a classe 6.4 contem todos as repetições em que se observou 6.3 t < 6.4 s
16
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
Classe de contagem do tempo em s
250
200
150
100
50
A classe mais observada é a classe 5.5, que corresponde a 5.4 t < 5.5 s com cerca de 200 eventos observados
HISTOGRAMA
Depois seguem-se as classes 5.4 e 5.6 com aproximadamente 170 eventos cada
17
As classes poderiam tornar-se tão estreitas quanto quiséssemos e acabaríamos por obter uma distribuição contínua.
18
DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA OU NORMAL
No nosso caso a distribuição contínua, está representada a vermelho
19
A distribuição Normal (ou Gaussiana ) é simétrica em torno do ponto , e que representa a média da distribuição
A forma do “sino” é definida pelo desvio padrão
2
20
0 2
)(exp
2),,|(
σ
μx
σ
AσAxxN
A forma matemática da distribuição Normal é dada por:
representa o valor da função no ponto x
é a amplitude da função
0A
),,|( 0 σAxxN
20
Dos valores observados na medição
68% no intervalo ],[ σμσμ 95% no intervalo ]2,2[ σμσμ
99.7% no intervalo ]3,3[ σμσμ Por isso a forma ideal de caracterizar a medição é escrever:
x=
21
estimamos o valor de através do cálculo do valor médio
Para um número finito de medições (10 ou mais valores)
)(x
N
xx
N
ii
1 N é o número de medições e é o conjunto das medidas}{ ix
11
2
N
xxs
N
i
consideramos o desvio padrão ( ) da amostra com sendo e que corresponde a
sxx Escrevemos a medição na forma:
s
22
Regra 5: A representação de uma serie de medidas faz-se na forma em que é o valor médio da amostra * e s é o desvio padrão da amostra **, e x é a incerteza da escala.
Para uma medida individual apresentamos o resultado na forma
Podemos ter duas incertezas associadas às medidas
xxx 0 escala a associada incerteza a é
escala da valor o é 0
x
x
Para uma série de medidas apresentamos o resultado na forma
sxx
aestatístic incerteza a é
medidas das médio valor o é
s
x
sxxx ,max
N
xx
N
ii
1 *
1 ** 1
2
N
xxs
N
i
x
23
Regra 6: Os valores da média e desvio padrão devem ser escritos com o mesmo nCD da incerteza instrumental. Em geral, quando se escreve uma medida na forma valor incerteza, o nCD do valor e da incerteza devem ser iguais.
Voltando às medições do tempo de deslizamento duma esfera sobre um plano inclinado
A medição deve apresentar-se na forma:
Note-se que para escrever o resultado final o valor de s foi comutado para o número de casas decimais da incerteza instrumental. Isto constitui a regra seguinte:
s 5422.5x s 2513.0s s 01.0x
s 25.054.5 t
24
2 Propagação de erros (ou propagação de incertezas)
Exemplo: Quero saber a área de um retângulo, de lados a e b. Se consideramos que cada lado do retângulo foi medido com uma régua diferente:
Esta incerteza pode ser calculada através da fórmula de propagação de incertezas (erros) que estudaremos a seguir
a é a incerteza de a
a
b
b é a incerteza de b
Qual será a incerteza A da área A=ab ?
Muitas vezes precisamos calcular uma grandeza a partir de um conjunto de medidas de grandezas experimentais afetadas de incertezas. E depois será necessário quantificar a incerteza da grandeza calculada
A
25
MÉTODO PARA UTILIZAR NAS AULAS PRÁTICAS
2.3 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas caso xx«
A GRANDEZA DEPENDE DE UMA VARIÁVEL
Queremos determinar a incerteza de uma grandeza G que é função de uma outra grandeza x:
De acordo com a expansão de Taylor podemos calcular o valor de f(x + x ) a partir do valor de f(x), se x « x ( que é o nosso caso).
f(x + x )= f(x)+ x f’(x) x f’(x) =f(x + x )- f(x)
G=f(x)
A incerteza de x é x. Denominaremos de G a incerteza de G
Aproximação de 1º ordem da série de Taylor:
x f’(x)= Gou xdx
dGG x = G
dx
dG
26
Exemplo 1. Cálculo da área do quadrado
Resultado da medição do lado do quadrado
m 5.00.5 L
m 5.0
m 0.5
L
L
nAS=2
L
L222 m 255 LA
xdx
dGG Cálculo de V utilizando a expressão: L
dL
dAA
22
m 55.00.522)( LLLdL
dLA
2m 525A
27
Resultado da medição do diâmetro da esfera
Exemplo 2. Cálculo do volume de uma esfera a partir do valor do diâmetro.
mm 025.0015.3 D
33
623
4D
DV
xdx
dGG
GG
Cálculo de V utilizando a expressão:
mm 025.0
mm 015.3
D
D
DdD
dVV
DD
3mm 36.035.14 V nAS=4
nAS=4
28
2.4 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas caso de mais do que uma variável
A GRANDEZA DEPENDE DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
Neste caso, para obter a incerteza G, usamos uma generalização de
Para esse fim temos que utilizar a derivada parcial
xdx
dGG
22
22
2
2
21
2
1
nn
xx
G.....x
x
Gx
x
GG
),...,,( 21 nxxxfG
mmm (ab)ba que sabendo
As derivadas parciais são calculadas em nn xxxxxx e , 2211
22
22
2
11
nn
xx
G.....x
x
Gx
x
GG
29
Exemplo 3 : Cálculo da incerteza da velocidade.
A velocidade depende de duas variáveis : o espaço x que tem uma incerteza x e o tempo t que tem uma incerteza t
t
xv
Para calcular a incerteza da velocidade, v, utilizamos:
22
tt
vx
x
vv
;0167.00.3
05.01)( 11
xt
xtxx
xtx
x
v
1xtvou
2222.00.3
2)(22
21
t
xxt
t
xt
t
v
cm 5.00.2 x
cm 05.0
cm 00.2
x
xs 1.00.3 t
s 1.0
s 0.3
t
t
2228.02222.00167.0 22 v
cm/s 7.0cm/s 6667.00.3
00.2
t
xv
cm/s 2.07.0 v
nAS=2
nAS=2
30
Exemplo 4 : Cálculo do volume de um cilindro a partir do valor do diâmetro e da altura do cilindro e da incerteza do volume.
h
hDπ
hD
πV 22
42
D
2
4
DπA
22
hh
VD
D
VV
55778408.282
03060153
224
2
,,
π..hDππDhπDh
D
V
h,hDDhhDDhhDD
mm 025.0015.3 D
mm 025.0
mm 015.3
D
D
mm 010.0030.6 h
mm 011.0
mm 030.6
h
h
e
13944602.74
0153
44
22
,
2
,
π.DππD
h
V
hhDDhhDD
nAS=4
nAS=4
31
h
D
2
4
DπA
Substituindo os valores na expressão acima
obtemos
3mm 718.0718250978.0 V
22
hh
VD
D
VV
22 011.013944602.7025.055778408.28 V
260061675744.0509716894.0 V
3mm 72.005.43 V3mm VVV
05.430508595.434
030.6015.3
4
22
hD
πV nAS=4
nAS=4
32
3 Representação gráfica
3.1 Regras básicas para construir gráficos
33
Exemplo do que não se deve fazer num gráfico
34
3.2 Barras de erro
A barra de erro tem por amplitude o valor do desvio padrão amostral. Quando olhamos para um gráfico com barras de erro conseguimos visualizar a dispersão dos valores.
Por exemplo, para a primeira altura, h = 0.5m, os valores cronometrados variaram aproximadamente entre 0.28 e 0.36 s, com um valor medio a 0.32 s.
35
3.3 Linearização de gráficos